江西财经大学数学社2015年下学期第一次讲义

2015年数学社第一次测试 （适用教材:微积分、高等数学、数学分析）

命题人：钱佳威 基础部分

1.(微分方程解的特性考察)已知x x xe y e y ==21和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，求该方程。

2.(对构造幂级数或者拆分法的考察)求∑=∞

→+n

k n k k

1)!

1(lim .

3.(对计算积分进行考察)计算⎰

++1

14

3x dx x .

4.(对三角函数的周期与基本极限的考察)求极限(

)2

lim 1sin 14n

n n π→∞

++.

5.(对极值与隐函数的考察)设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求

()y x 的极值。

6.(积分定义的概念考察)求极限如下：

提高部分

1.(全国大学生数学竞赛.数学类)设f(x)在[0,1]上黎曼可积，在x=1处

可导，f(1)=0,f ’(x)=a ，求证:a dx x f x n n n -=⎰

∞

→1

2

)(lim .

2.(全国大学生数学竞赛.数学类)设f(x)在[0,1]上黎曼可积，]1,0[∈f . 求证：},1,0{)(,0=∃>∀x g ε使得任意ε<-⊆∀⎰|))()((|],1,0[],[b

a dx x g x f

b a .

3.(全国大学生数学竞赛.数学类)设∑+∞=1

n n na 收敛，证明：∑∞

=+∞

→1

lim k k n n ka =0.

参考答案 基础篇

1.

2.

3.C x x x +++++-+|11|ln 43143)1(83343432

4 4.解 因为()

222

sin 14sin 142sin

142n n n n n

π

π

ππ+=+-=++

原式22lim 1sin exp lim ln 1sin 142142n

n n n n n n n ππππππ→∞

→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1

422exp lim sin

exp lim 142142n n n n e n n n n π

π

ππππ→∞

→∞

⎛⎫⎛⎫

=== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝

⎭

5.解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= .故()2222x x y

y y x

+'=-，令

0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-

将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，

将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，

又()()()()

()

222

2

222222422x xy y y x x x y yy x y y

x

''++--+-''=

-

()()()

0,1,0

2,1,02

00220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''

''

=

=-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

6.

提高篇 1.

思路很关键，直接搞是出不来的，要注意几点，对里面那个积分要学会拆分，那个积分就相当于-a/n^2那么积分是一定要分段的。一开始要分段就要用到泰勒对f(x)进行余项处理

接着就着x的范围和嘚他的范围就可以搞出下面这个关键的分割了，在柯西中也是利用分割来减少误差，只不过是区间分割，这里是式子分割

观察这三个式子第一个和第三个可以直接用绝对值放大，第一个乘以n^2后仍然逼近于0，第三个放大后再积分也是逼近于0，第二个让它乘以n^2再+a然后算出来

也就是这个式子乘以n^2再+a，得到了a-a=0，因为第二个式子是逼近于0太厉害了，所以第二个式子的绝对值趋近于-a/n^2，整合一下，总体变换式子得到了-a.

得到

2.

由题目知道f是连续的可积分的这个没问题，g(x)是一种类狄利克雷函数则得用集合论的观点来看待了。

这样我们就限制了1和0了分段了，这样就很厉害的不等式可以用了

3.

由题意可以

这个时候利用了补充项法然后再错位这样就相当于是无穷+M的形式进行更上一步的有上界约束。

核心思想：把通项用R-R的思想其实是把三阶无穷小变成了二阶差，然后错位求和，二阶差一求和变成了一阶值，几个一阶值的和还是一阶值，一阶值仍然趋近于0，所以为0.

然后注意到，这上面分开的三个式子的绝对值都是逼近于0，所以原式子逼近于0，这题利用了条件大化的有界收敛使得放小使得存在逼近于0的子集，则接下来就把目标式子往这个子集化简，反正共同之处都是从某项开始的。