江西财经大学数学社2015年下学期第一次讲义

2015年数学社第一次测试 （适用教材:微积分、高等数学、数学分析）
命题人：钱佳威 基础部分
1.(微分方程解的特性考察)已知x x xe y e y ==21和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，求该方程。

2.(对构造幂级数或者拆分法的考察)求∑=∞
→+n
k n k k
1)!
1(lim .
3.(对计算积分进行考察)计算⎰
++1
14
3x dx x .
4.(对三角函数的周期与基本极限的考察)求极限(
)2
lim 1sin 14n
n n π→∞
++.
5.(对极值与隐函数的考察)设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求
()y x 的极值。

6.(积分定义的概念考察)求极限如下：
提高部分
1.(全国大学生数学竞赛.数学类)设f(x)在[0,1]上黎曼可积，在x=1处
可导，f(1)=0,f ’(x)=a ，求证:a dx x f x n n n -=⎰
∞
→1
2
)(lim .
2.(全国大学生数学竞赛.数学类)设f(x)在[0,1]上黎曼可积，]1,0[∈f . 求证：},1,0{)(,0=∃>∀x g ε使得任意ε<-⊆∀⎰|))()((|],1,0[],[b
a dx x g x f
b a .
3.(全国大学生数学竞赛.数学类)设∑+∞=1
n n na 收敛，证明：∑∞
=+∞
→1
lim k k n n ka =0.
参考答案 基础篇
1.
2.
3.C x x x +++++-+|11|ln 43143)1(83343432
4 4.解 因为()
222
sin 14sin 142sin
142n n n n n
π
π
ππ+=+-=++
原式22lim 1sin exp lim ln 1sin 142142n
n n n n n n n ππππππ→∞
→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1
422exp lim sin
exp lim 142142n n n n e n n n n π
π
ππππ→∞
→∞
⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
5.解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= .故()2222x x y
y y x
+'=-，令
0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-
将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，
将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，
又()()()()
()
222
2
222222422x xy y y x x x y yy x y y
x
''++--+-''=
-
()()()
0,1,0
2,1,02
00220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''
''
=
=-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

6.
提高篇 1.
思路很关键，直接搞是出不来的，要注意几点，对里面那个积分要学会拆分，那个积分就相当于-a/n^2那么积分是一定要分段的。

一开始要分段就要用到泰勒对f(x)进行余项处理
接着就着x的范围和嘚他的范围就可以搞出下面这个关键的分割了，在柯西中也是利用分割来减少误差，只不过是区间分割，这里是式子分割
观察这三个式子第一个和第三个可以直接用绝对值放大，第一个乘以n^2后仍然逼近于0，第三个放大后再积分也是逼近于0，第二个让它乘以n^2再+a然后算出来
也就是这个式子乘以n^2再+a，得到了a-a=0，因为第二个式子是逼近于0太厉害了，所以第二个式子的绝对值趋近于-a/n^2，整合一下，总体变换式子得到了-a.
得到
2.
由题目知道f是连续的可积分的这个没问题，g(x)是一种类狄利克雷函数则得用集合论的观点来看待了。

这样我们就限制了1和0了分段了，这样就很厉害的不等式可以用了
3.
由题意可以
这个时候利用了补充项法然后再错位这样就相当于是无穷+M的形式进行更上一步的有上界约束。

核心思想：把通项用R-R的思想其实是把三阶无穷小变成了二阶差，然后错位求和，二阶差一求和变成了一阶值，几个一阶值的和还是一阶值，一阶值仍然趋近于0，所以为0.
然后注意到，这上面分开的三个式子的绝对值都是逼近于0，所以原式子逼近于0，这题利用了条件大化的有界收敛使得放小使得存在逼近于0的子集，则接下来就把目标式子往这个子集化简，反正共同之处都是从某项开始的。