动圆过定点问题

一个圆过定点问题的探究和推广

已知圆O 的方程为221x y +=,直线1l 过定点(3,0)A 且与圆O 相切.

(1)求直线1l 的方程;

(2)设圆O 与x 轴交与,P Q 两点,M 是圆O 上异于,P Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为 2l ,直线PM 交直线2l 于点'P ,直线QM 交直线2l 于点'Q .求证:以''Q P 为直径的圆C 总经过定点,并求出定点坐标.

解:(1)省略;

(2)对于圆方程122=+y x ,令0y =,得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -.

又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =.

设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1

++=x s t y 解方程组3,(1)1x t y x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩

,得).14,3('+s t P 同理可得,).1

2,3('-s t Q ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-

+--s t y s t y x x ， 又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t

-+-++=， 若圆C '经过定点,只需令0y =,从而有2610x x -+=,

解得3x =±

∴圆C '

总经过定点坐标为(3±.

备注:本题是09年江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)第三次调研考试第17题)

笔者对命题者提出的参考解法不是很认同,参考解法中引进的参数不太合理,导致后期定点的出现不自然,同时完全掩盖了该问题的几何背景.对此,笔者给出了如下的改进解法:

解:设直线,PM QM 的斜率分别为12,k k ,则121k k =-

直线1:(1)PM y k x =+,令3x =,则1'(3,4)P k ,

直线2:(1)QM y k x =-,令3x =,则2'(3,2)Q k ,

以P Q ''为直径的圆C '的方程为12(3)(3)(4)(2)0x x y k y k --+--=,

即2211

1(3)82(2)0x y k y k -+---= 令0y =,

则3x =即以P Q ''为直径的圆C '

总经过定点坐标为(3±.

从上述的改进解法中,我们注意到,由点M 在圆上运动而生成的两个动点,P Q ''始终满足一个不变的条件,即它们纵坐标的乘积始终为定值.记以P Q ''为直径的圆与x 轴的交点为12,H H ,则由圆的相交弦定理可

得到结论:2212AH AH AP AQ ''==⋅,易知,点12,H H 即为以P Q ''为直径的圆C '经过的定点.

由此,我们不难发现,此类圆过定点的问题是根据圆的相交弦定理来命制的.将问题一般化后,即可得到如下的命题:

命题1:已知圆222:O x y a +=与x 轴交与,A B 两点,垂直于x 轴的直线l 过定点(,0)()Q m m a >,P 是圆O 上异于,A B 的任意一点,若直线PA 交直线l 于点M ,直线PB 交直线l 于点N ,则以MN 为直径的圆C

总经过定点(m .

证明:设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则121k k =-

直线1:()PA y k x a =+,令x m =,则1()M y k m a =+,

直线2:()PB y k x a =-,令x m =,则2()N y k m a =-,

2212()()()M N y y k m a k m a m a ⋅=+-=--

即22QM QN m a ⋅=-

设以MN 为直径的圆C 与x 轴的交点为12,H H ,则由圆的相交弦定理可得2212QH QH QM QN ==⋅,所

以12((H m H m +即为以MN 为直径的圆C 经过的定点.

在得到圆的优美结论后,我们自然会产生联想,圆锥曲线也有这样的优美性质吗?笔者经过探究,得到如下的一组命题:

命题2:已知椭圆22

22:1(0)x y O a b a b

+=>>与x 轴交与,A B 两点,垂直于x 轴的直线l 过定点(,0)()Q m m a >,P 是椭圆O 上异于,A B 的任意一点,若直线PA 交直线l 于点M ,直线PB 交直线l 于点N ,则以MN 为直径的圆C

总经过定点(m ±. 证明:设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则2

122b k k a

=-

直线1:()PA y k x a =+,令x m =,则1()M y k m a =+,

直线2:()PB y k x a =-,令x m =,则2()N y k m a =-,

2

22122()()()M N b y y k m a k m a m a a

⋅=+-=-- 即22QM QN m a ⋅=-

设以MN 为直径的圆C 与x 轴的交点为12,H H ,则由圆的相交弦定理可得2212QH QH QM QN ==⋅,所

以12((H m H m +即为以MN 为直径的圆C 经过的定点. 特别地,当2

a m c

=时,以MN 为直径的圆C 经过椭圆的右焦点. 命题3:已知双曲线22

22:1(,0)x y O a b a b

-=>与x 轴交与,A B 两点,垂直于x 轴的直线l 过定点(,0)(0)Q m m a <<,P 是双曲线O 上异于,A B 的任意一点,若直线PA 交直线l 于点M ,直线PB 交直线

l 于点N ,则以MN 为直径的圆C 总经过定点(m . 证明:设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,则2

122b k k a

=- 直线1:()PA y k x a =+,令x m =,则1()M y k m a =+,

直线2:()PB y k x a =-,令x m =,则2()N y k m a =-,

2

22122()()()M N b y y k m a k m a m a a

⋅=+-=-- 即22QM QN m a ⋅=-

设以MN 为直径的圆C 与x 轴的交点为12,H H ,则由圆的相交弦定理可得2212QH QH QM QN ==⋅,所

以12((H m H m +即为以MN 为直径的圆C 经过的定点. 特别地,当2

a m c

=时,以MN 为直径的圆C 经过椭圆的右焦点. 命题4:已知抛物线2

:2(0)O y px p =>,垂直于x 轴的直线l 过定点(,0)(0)Q m m <,P 是抛物线O 上异于O 的任意一点,点P 在直线l 上的射影为点M ,直线PO 交直线l 于点N ,则以MN 为直径的圆C