2019-2020学年北京四中九年级(上)月考数学试卷(12月份)--含详细解析

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北京四中初三数学12月月考试题

数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ).A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2．将抛物线先向左平移3个单位, 再向上平移4个单位, 则得到的抛物线的解析式为( ).A. B. C. D.3．已知二次函数y ＝-x (x -a )，若当x ≤2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减少，则a 的值是( ). A ． 1B ．2C ．-2D ．44．下列命题错误．．的是( ). A ．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 5.如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 为BC 上一点，过D 作ED ⊥BC 交AC 于E ，若AB =6，AC =8，ED =3，则CD 的长为( ).A ．5B ．4C ． 3D ． 2（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果∠ADE =120°，那么∠B 等于( ). A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°7如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( ). A. 6 B.5 C.4 D.322x y =4)3(22+-=x y 4)3(22++=x y 4)3(22--=x y 4)3(22-+=xy8. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是( ). A.B. 1C. 23D. 552（第8题图）（第9题图）9. 如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A =5，则△PCD 的周长为( ). A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 10．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），AB =4．设弦AC 的长为x ，△ABC 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( ).A ． B. C.D.二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.二次函数y =x 2+4x +c 的对称轴是．12.已知抛物线522+-=x x y 经过两点1(-2,)A y 和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13.若⊙O 半径是4，弦AB =4，则弦AB 所对的圆周角等于°.14．如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题： ①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1； ④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是. （填写正确命题的序号）21ABAB；（3）将（1）中的圆向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新图形的方程为.16.数学课上，F 老师问“如何作出△ABC 的外接圆？”H 同学回答“可以分别作AB 、BC 的垂直平分线l 1，l 2，设它们的交点为O ，再以点O 为圆心，OA （或者OB 、OC ）为半径便可作出△ABC 的外接圆.”F 老师肯定了H 同学的作法.请你写出H 同学这样作图的依据：.三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算 2sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒．18.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD=2，AB =6.求：AC 的长．19.已知二次函数332++-=x )k (kx y 在x =0和x =4时的函数值相等．（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出：①当y ＜0时，自变量x 的取值范围； ②当0≤x <3时，y 的取值范围是多少？A20.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．21．已知：如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于1tan 2CPO ∠=.求：弦CD 的长．22．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 1.732，结果精确到1米）23. 已知：如图，BC 为⊙O 的直径，点A 是 BF 的中点，AD ⊥BC 于D ，连接BF 交AD 于E .求证：（1）AE =BE ；（2）BF =2AD ．24．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，经过B 、D 两点的⊙O 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EB 为⊙O 的直径．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）当BC =2，cos ∠ABC 13=时，求⊙O25. 如图，已知：实数m是方程x 2－8x ＋16＝0的一个实数根，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于点A （m ，0）和点B ，交y 轴于点C （0，m ）．（1）求抛物线的解析式；（2）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的 ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ．在y 轴左侧的抛物线上是否存在点N ，使得∠NOB ＝∠AMO ．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．B26．已知：如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF ＝45°．（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；（2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()(0)y mx m n x n m =-++<的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧交点为点B ，若45ABO ∠=︒，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．A B CD28．已知，△GAB，△GDC为等腰三角形，其中GA=GB，GD=GC，∠AGB= ∠DGC，过点G分别作AB、CD的垂线垂足点E、F.（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值；（4）如图3，在(3)的条件下，若AD、BC所在直线相交于点P，BD=6，∠BGD=60°，设△BGD的外心为O，在BG和DG的长度发生变化的过程中，OP的最小值为．（图1）（图2）（图3）A BA29. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2r 'CP CP =⋅，则称P '为点P 关于⊙C 的反演点，图1为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.(1)当点C 在原点O 且半径为1时，①求1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，),(B 2321关于⊙O 的反演点A B ''、的坐标及A B ''的长度；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于⊙O 的反演点为P '存在,求点P '的横坐标的取值范围；(2)当⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反演点P '在⊙C 的外部，求圆心C 的横坐标的取值范围．（图1）（备用图）x。

2019北京四中初三(上)月考数学

2019北京四中初三（上）月考数学（考试时间：120分钟，试卷满分：100分）班级：学号：姓名：一、选择题（本题共16分,每小题2分)1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（） A. ()2,3B. ()2,3-C. ()2,3-D. ()2,3--3. 若将抛物线y ＝5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A. B.C.D.4. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，根据图象可得a ，b ，c 与0的大小关系是（）A. , ,B. , ,C. , ,D. , ,5. 如图, 在△ABC 中, ∠B =40°, 将△ABC 绕点A 逆时针旋转, 得到△ADE ，点D 恰好落在BC 的延长线上，则旋转角的度数为（）A. 70°B. 80°C. 90°D.100°6. 以原点为中心，把点P （1，3）顺时针旋转90°，得到的点P ′的坐标为（）A.B.C. D.7. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线x =1对称；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于3．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 抛物线2y ax bx c =++经过点（－2，0），且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①； ②；③若, 则时的函数值小于时的函数值; ④点不在此抛物线上．其中正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 请写出一个开口向下, 且与y 轴的交点坐标为(0, 1)的抛物线的表达式: . 10. 已知抛物线的对称轴是x =n , 若该抛物线过A (－2, 5), B (4, 5) 两点, 则n 的值为 . 11. 点A (-3, y 1), B (2, y 2) 在抛物线y =x 2-5x 上, 则y 1______y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）12. 如图, 直线1y kx n =+ (k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于A(-1,0)，B(2,-3) 两点，则关于x 的方程2=kx n ax bx c +++的解为 . 13. 如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是_______.14. 如图，在△ABC 中，∠CAB =70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′的度数是______________.15. 如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有的关系为h =20t -5t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为______s ．（第14题图）（第15题图）16. 如图, 已知△ABC 中, ∠C =90°， AC =BC = 将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB ′C ′的位置, 连接BB ′，则BB ′的长为，连接C ′B, 则C ′B 的长为 .1x =0ac >1640a b c ++=0m n >>1x m =+1x n =-(,0)2ca-－23二、解答题（本题共68分）17. (5分) 已知抛物线的顶点为(－1，2)，且经过点(0，4)，求抛物线的解析式.18. (8分) 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示．(1) 对称轴方程为____________；(2) 当x 时，y 随x 的增大而减小； (3) 求函数解析式.19. (5分) 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 是格点三角形 (顶点在网格线的交点上).(1) 先作△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1, 再把△A 1B 1C 1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，请在图中画出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2；(2) 可以看出△A 2B 2C 2与△ABC 关于某点成中心对称, 直接写出对称中心的坐标．20. (5分) 如图, 等腰Rt △ABC 中， BA =BC ，∠ABC =90°，点D 在AC 上, 将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE .(1) ∠DCE 的度数为_____________; (2) 若AB =4， CD =3AD ，求DE 的长．21. (6分) 已知二次函数()233y kx k x =-++图象的对称轴为：直线2x =．(1) 求该二次函数的表达式；(2) 画出该函数的图象，并结合图象直接写出： ①当y ＜0时，自变量x 的取值范围； ②当0≤ x ＜3时，y 的取值范围是多少？22. (5分) 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ． (1) 求证：△AEC ≌△ADB ；(2) 若AB =2， ∠BAC =45°，当四边形ADFC 是平行四边形时，求BF 的长．23. (6分) 秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形．水面宽度AB =10m, 桥拱最高点C 到水面的距离为6m ． (1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是4.5m ，宽度是4m ，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m ，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．24. (5分)如图, 直线l :2y x m =-+与x 轴交于点A (2-, 0), 抛物线:与x 轴的一个交点为B (点B 在点A 的左侧). 过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D . (1) 求m 的值和点B 的坐标；(2) 将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B ，D 的对应点分别为点E ，F ． ①点F 的坐标为____________；②将抛物线沿x ．轴．向右平移使它经过点F ，此时得到的抛物线记为，直接写出抛物线的表达式．25. (10分) 抛物线223y x x =-++的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点 (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ．(1) 求顶点D 的坐标；1C 243y x x =++1C 2C 2C(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCD的面积；(4)当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在；请说明理由.26. (6分) 已知抛物线G： (k为常数).k=时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；(1) 当3P x y.(2) 若记抛物线G的顶点坐标为(,)①分别用含k的代数式表示x，y，②请在①的基础上继续用含x的代数式表示y，③由①②可得, 顶点P的位置会随着k的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数 B．反比例函数 C．二次函数(3) 小明想进一步对 (2) 中的问题进行如下改编：将 (2) 中的抛物线G改为抛物线H:(k为常数), 其中N为含k的代数式, 从而使这个新抛物线H满足:无论k取何值,它的顶点总落在某个一次函数的图象上. 请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式: (用含k的代数式表示), 它的顶点=+(a,b为常数,a≠0)中, a= ,b= .所在的一次函数图象的表达式y ax b27. (7分) 在正方形ABCD中, 点P是直线BC上的一点, 连接AP, 将线段PA绕点P顺时针旋转90°, 得到线段PE, 连接CE.(1) 如图1, 点P在线段CB的延长线上.①请根据题意补全图形；②用等式表示BP和CE的数量关系，并证明.(2) 若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为图1 备用图。

北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=−(x−3)2−2的顶点坐标是()A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−3,−2)3.已知x2=y3(x,y都不等于0)，那么下列式子中一定成立的是()A. x+y=5B. 2x=3yC. xy =32D. xy=234.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=6，AB=8，BE=3，则EC的长是()A. 4B. 2C. 1D. 85.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为()A. 70∘B. 65∘C. 55∘D. 35∘6.抛物线y=2(x−2)2−1关于x轴对称的抛物线的解析式为()A. y=2(x−2)2+1B. y=−2(x−2)2+1C. y=−2(x−2)2−1D. y=−(x−2)2−17.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−18.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为()A. 0B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式______．10.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则abc________0，a−b+c________0，b+5a________0.(填“>”或“<”号)．11.在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是______．12.若A(−4,y1)，B(−3,y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x−m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．13.如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是_____cm．14.把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为______________．15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是______________．16.如图，Rt△ODC的直角顶点D在y轴上，DC边上的点P(√2,2)在抛物线y=ax2上，将Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，点A恰好在抛物线上，则点A的坐标为_______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．18.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC．19.如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．20.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x−10123y03430②有序数对(−1,0)、(1,4)、(3,0)满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(−2,2)，B(−4,1)，C(−1,0)．(1)以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C(点A′与点A是对应点)，使△A′B′C的面积是△ABC的面积的4倍；(2)写出所画△A′B′C的顶点A′，B′的坐标．22.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c的部分图象，A(1,0)，B(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．23.如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120°(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若BD=2，CE=8，求BC的长．24.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？25.数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线BC与抛物线y=x2+bx+c交于点B(3,0)和点C(0,3)，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．(1)求直线BC及该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．27.如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．28.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．(1)求点A，B的坐标；(2)分别求出抛物线和直线AC的解析式；(3)若将过点(0,2)且平行于x轴的直线定义为直线y=2.设动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点．在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念即可求解．解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；B.不是中心对称图形，故此选项错误；C.是中心对称图形，故此选项错误；D.不是中心对称图形，故此选项正确．故选C．2.答案：A解析：解：y=−(x−3)2−2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,−2)．故选：A．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．3.答案：D解析：本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键.根据比例的性质，可得答案．解：A.x+y不一定等于5，故A错误；B.2y=3x，故B错误；C.xy =23，故C错误；D.xy =23，故D正确；故选D．4.答案：C解析：此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=6，AB=8，BE=3，即可求得答案．解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=6，AB=8，BE=3，∴6：8=3：BC，解得：BC=4，∴EC=BC−BE=1．故选C．5.答案：A解析：本题主要考查旋转的性质，根据直角三角形的性质可求解∠ABC=55∘，由旋转的性质可得∠B′CA′=∠ACB=90∘，结合CB′=CB可得∠CBB′=∠B′=55∘，进而求解α度数．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，∴∠ABC=55∘，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′=∠ABC=55∘，∠B′CA′=∠ACB=90∘，CB′=CB，∴∠CBB′=∠B′=55∘，∴α=∠BCB′=70∘，故选A．6.答案：B解析：本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．解：抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，而(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1)，所以所求抛物线的解析式为y=−2(x−2)2+1．故选：B．7.答案：A解析：此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=(x+1)2=x2+2x+1．故选：A．8.答案：A解析：本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．解：∵ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx=1−m有两个不相等的实数根，令y1=ax2+bx，y2=1−m，∴函数y1与函数y2的图象有两个交点，∴1−m<2，∴m>−1，∵m是整数，∴m的最小值为0，故选：A．9.答案：y=x2+1等．答案不唯一解析：解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+1等．答案不唯一．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点(0,1)，说明常数项c=1．本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．10.答案：<，<，<解析：本题考查了二次函数图像与系数的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．解：∵抛物线开口方向向下，∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0；当x=−1时，y=a−b+c<0，∴a−b+c<0；∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+5a=−4a+5a=a<0．故答案为<，<，<．11.答案：3解析：解：∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN//AB，且AB=2MN，∴△CMN∽△CAB，∴S△CABS△CMN =(ABMN)2=4，∴S△CAB=4S△CMN=4，∴S四边形ABNM=S△CAB−S△CMN=4−1=3．故答案为：3．利用三角形的中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△CAB的值是解题的关键．12.答案：y3>y1>y2解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算出自变量为−4，−3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x=−4时，y1=x2+4x−m=16−16−m=−m；当x=−3时，y2=x2+4x−m=9−12−m=−3−m；当x=1时，y3=x2+4x−m=1+4−m=5−m；所以y3>y1>y2．故答案为y3>y1>y2．13.答案：8解析：[分析]根据相似三角形的性质即可解题．[详解]解：由小孔成像的特征可知，△OAB∽△OCD，由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比，∴30:60=CD：16，解得：CD=8cm．[点睛]本题考查了相似三角形的判定和性质，属于简单题，熟悉性质内容是解题关键．14.答案：2√3解析：本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x =x6，解得，x=2√3或x=−2√3(舍)，故答案为：2√3．15.答案：−1≤x≤2解析：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：−1≤x≤2．故答案为：−1≤x≤2．根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是二次函数y1=ax2+bx+c的图象落在直线y2=kx+t上方的部分及交点对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．16.答案：(−2,4)解析：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．先把P点坐标代入y=ax2求出a=1，得到抛物线的解析式为y=x2，再根据旋转的性质得OD= OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以A点的横坐标为−2，然后把x=−2代入抛物线解析式计算出对应的函数值，于是确定A点坐标．解：由题意可得：OD=2，∠ODC=90°，把P(√2,2)代入y=ax2得2a=2，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2，∵Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，∴AB⊥x轴，∴A点的横坐标为−2，把x=−2代入y=x2得y=4，∴A点坐标为(−2,4)，故答案为(−2,4)．17.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。

2019-2020学年北京第四中学初三上册期中考试试卷数学.doc

数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的．#1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒【答案】A【解析】1sin2A=，则锐角A的度数30︒．#2．二次函数2(+1)2y x=--的最大值是（）．A．2-B．1-C．1D．2【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x=--的最大值是2-．#3．如图，在ABC△中，DE BC∥，:1:2AD DB=，若2DE=，则BC等于（）．A．4B．6C．12D．18【答案】B【解析】∵DE BC∥，∴13 DE AD ADBC AB AD DB===+，∴36BC DE==．#4．把抛物线21y x=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．()231y x=+-B．()233y x=++C．()231y x=--D．()233y x=-+【答案】C【解析】抛物线21y x=+向右平移3个单位得2(3)1y x=-+，12再向下平移2个单位得2(3)1y x =--．#5．如图，在ABC △中，D 为AC 边上一点，若DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为（）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】∵在ABC △中，D 为AC 边上一点，DBC A ∠=∠，C C ∠=∠， ∴BCD ACB ∽△△，BC 与AC 是对应边，CD 与BC 是对应边， ∵6BC =，3AC =， ∴BCD △与ACB △的相似比是63，623CD BC ==．#6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）．A ．512B ．513C ．1213D ．125【答案】B【解析】由图知90BCD B A B ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BCD A ∠=∠，在Rt ABC △中，由勾股定理得：2213AB AC BC =+=． ∴5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．#7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将BCE △绕点C 旋转得到ACD △，则cos ABC ∠的值等于（）．3A ．33 B ．12 C ．13D ．1010 【答案】D【解析】过点C 作CF AB ⊥于点F ，由旋转的性质知AC BC =， ∴BF AF =．由勾股定理知2AB =，22125BC =+=．∴2102cos 105BF ABC BC ∠===．#8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列结论：①0a <，0b <②20a b ->③0a b c ++>④0a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）．A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④【答案】C【解析】函数开口向下，∴0a <；对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴0b >， ∴20a b -<；当1x =，0y a b c =++>；当1x =-时，0y a b c =-+<；当1x >时，y 随x 的增大而减小．故③④⑤正确．#9．若抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点是点M ，直线2y x =+与坐标轴分别交4于点A 、B 两点，则ABM △的面积等于（）．A ．6B ．3C ．52D ．32【答案】B【解析】抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点M 坐标为(,1)m m -，即M 点在直线1y x =-，直线2y x =+与坐标轴交点为(0,2)和(2,0)-， ∵直线1y x =-与2y x =+平行，∴ABM △底边AB 上的高等于平行线间距离，由图知1132223222ABM S AB BD =⋅=⨯⨯=△．#10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P '是点P 关于BD 的对称点，PP '交BD 于点M ，若BM x =，OPP '△的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）．【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD DA ===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥，①当4BM ≤时，∵点P '与点P 关于BD 对称， ∴P P BD '⊥， ∴P P AC '∥， ∴P BP CBA '∽△△，∴PP BM AC OB '=，即64PP x '=， xyxyxyxyOOOODAB C 4833338484485∴32PP x '=，∵4OM x =-，∴OPP '△的面积21133(4)32224y PP OM x x x x '=⋅=⨯-=-+．∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)．②当4BM ≥时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4,0)和(8,0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．二、填空题（本题共18分，每小题3分）#11．如果23a b b -=，那么ab=________．【答案】53【解析】23a b b -=，则332a b b -=，∴53a b =，∴53a b =．#12．已知抛物线225y x x =-+经过两点1(2,)A y -和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是________．【答案】12y y >【解析】抛物线225y x x =-+对称轴为直线212x -=-=，开口向上， ∵A 点离对称轴更远， ∴12y y >．#13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_________m ．【答案】24【解析】设这栋建筑物的高度为m x ，由题意得，2112x=．6解得24x =．∴这栋建筑物的高度约为24m ．#14．已知在ABC △中，3tan4A =，5AB =，4BC =，那么AC 的长等于_________．【答案】47±【解析】如图，在ABC △中，过点C 作CD AB ⊥于点D ． ∴3tan 4DC A AD ==，设3DC x =，4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD AD AD x =-=-，在Rt BDC △中，222BC BD CD =+，即2216(54)(3)x x =-+，整理得：22216251640925409x x x x x =+-+=-+．解得475x ±=， ∴547AC x ==±．#15．若关于x 的一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是__________．【答案】31t -<≤【解析】令241y x x t =-+-， ∴函数对称轴为直线422x -=-=．一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则22421010t t ⎧-⨯+-⎨->⎩≤，解得31t -<≤．#16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值__________．（2）当AE AF +的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF ．D C D C7【答案】（1）5612+．（2）取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．【解析】（1）根据勾股定理可得：22435DB =+=，因为52BE DF ==，所以可得12.52AF BD ==，根据勾股定理可得：22613 2.52AE =+=，所以615612.522AE AF ++=+=，故答案为：5612+．（2）如图，首先确定E 点，要使AE AF +最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H 使HBC ADB ∠=∠，其次需要构造长度BP 使4BP AD ==，根据勾股定理可知22345BH =+=，结合相似三角形选出格点K ，根据14HK HP BC BP ==，得445455BP BH DA ==⨯==，易证ADF △≌PBE △，因此可得到PE AF =，线段AP 即为所求的AE AF +的最小值；同理可确定F 点，因为AB BC ⊥，因此首先确定格点M 使DM DB ⊥，其次确定格点G 使3DG AB ==，此时需要先确定格点N ，同样根据相似三角形性质得到23NM MG DC DG ==，得335355DG DM ==⨯=，易证DFG△≌BEA △，因此可得到AE GF =，故线段AG 即为所求的AE AF +的最小值．故答案为：取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）#17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．【答案】12【解析】23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1332=+- 12=．#18．如图，在ABC △和CDE △中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．8【答案】1CD =【解析】∵在ABC △中，90B ∠=︒， ∴90A ACB ∠+∠=︒． ∵AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=︒． ∴A ECD ∠=∠．∵在ABC △和CDE △中，A ECD ∠=∠，90?B D ∠=∠=， ∴ABC CDE ∽△△． ∴AB BCCD DE=． ∵3AB =，2DE =，6BC =， ∴1CD =．#19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，3DC =，3AC =．（1）求B ∠的度数．（2）求AB 及BC 的长．【答案】（1）30B ∠=︒．（2）6AB =，33BC =．【解析】（1）∵在ACD △中，90C ∠=︒，3CD =，3AC =， ∴3tan 3CD DAC AC∠==．∴30DAC ∠=︒．∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC DAC ∠=∠=︒． ∴30B ∠=︒．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =， ∴26AB AC ==．333tan 33AC BC B===．#20．已知：二次函数m (1)(3)y a x x =--中的x 和y 满足下表： 243y x x =-+… 0 1 2 3 4 5 … 03x << … 3 01-1-8…（1）可求得3y <的值为_________．9（2）求出这个二次函数的解析式．（3）当3y >时，x 的取值范围为．【答案】（1）3．（2）243y x x =-+．（3）0x <或4x >．【解析】（1）3y <的值为3．（2）二次函数为2(2)1y a x =--， ∵过点(3,0)， ∴1a =，243y x x =-+．（3）当3y >时，x 的取值范围为0x <或4x >．#21．如图，ABC △各顶点的坐标分别为(1,2)A ，(2,1)B ，(4,3)C ，在第一象限内，以原点为位似中心，画出ABC △的位似图形111A B C △，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点1C 坐标．xy1234567891012345678910CABo【答案】(8,6)．【解析】1C 坐标(8,6)．xy1234567891012345678910A'B'C'C ABo10#22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30︒的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60︒．求山高CD ．【答案】477.12CD ≈（米）．【解析】过C 作CE AD ∥，作BF CD ⊥，BE AD '⊥．在Rt CBF △中，易得：sin601603CF BC =⨯︒=，在Rt ABE '△中，易得：sin30200BE AB '=⨯︒=，故山高1603200477.12CD =+≈（米）．#23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？【答案】房间定价为350元时，利润最大．【解析】设房价为（18010x +）元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，22(18010)(50)(50)2010340800010(17)10890y x x x x x x =+---⨯=-++=--+．故可得当17x =，即房间定价为180170350+=元的时候利润最大．答：房间定价为350元时，利润最大．#24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒．（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ．（i ）求证：CAE CBF ∽△△．（ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长．（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，则k 的值等于_________．【答案】（1）（）证明见解析．（ii ）6CE =．（2）104．【解析】（1）（i ）∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴::2AC BC CE CF ==， ∴45ACB ECF ∠=∠=︒， ∴ACE BCF ∠=∠， ∴CAE CBF ∽△△．（ii ）∵CAE CBF ∽△△，∴CAE CBF ∠=∠，::AE BF AC BC =，又∵90CAE CBE ∠+∠=︒， ∴90CBF CBE ∠+∠=︒， ∴90EBF ∠=︒，又∵::2AE BF AC BC ==，2AE =， ∴22BF =， ∴2BF =，∴2223EF BE BF =+=， ∴2226CE EF ==， ∴6CE =．（2）104．#25．抛物线顶点坐标为点(1,4)C ，交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式．（2）设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出ABP △面积的最大值．（3）设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使ABQ S m =△，则m 的值等于__________．【答案】（1）223y x x =-++．（2）当32x =时，ABP △面积的最大值是278．（3）278．【解析】26．有这样一个问题：探究函数11y x x =+-的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围是_______．（2）下表是y 与x 的几组对应值x… 3-1-12 34 54 32 2 34… y …134- 32- 1-32- 134-21472372m…求m 的值．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________．【答案】（1）1x ≠；（2）133m =；（3）（4）增减性，对称性，最值等【解析】（1）1x ≠．（2）由表格知当0x =时，1y =-． ∴可以设该函数为21y ax bx =+-，代入点3(1,)2--和(2,3)．得3124213a b a b ⎧--=-⎪⎨⎪+-=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴该函数为2112y x x =+-．∴当4x =，21441112y =⨯+-=．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o【解析】27．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =+交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标．（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标．（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （1,2），B （-3,2）；（2）221y x x =+-，顶点（-1，-2）；（3）229a ≤<．#28．如图1，ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒︒≤≤）得到线段AQ ．@（1）直接写出APPF的值为___________．【答案】2【解析】连接EF ，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =，∴EFP BAP ∽△△， ∴2AP AB PF EF==． @（2）如图2，当180α=︒时，延长BE 到D 使得ED BE =，连接QD ，证明QD BD ⊥．【答案】证明见解析．【解析】如图，作AH BD ⊥于H ，设2AB BC a ==，则5BE AF a ==，在AHE △和BCE △中，90AHE C AEH BEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴AHE BCE ∽△△， ∴EH AE CE BE =，即5EF a a a=， ∴55EH a =， ∴185315PH PE EF BE EH a =+=+=，453PD PE DE a =+=．∴852155453PH PD ==，又25PA PD =， ∴在PAH △和PQD △中，QPD APE PA PHPD PD∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴PAH PQD ∽△△，∴90PDQ PHA ∠=∠=︒， ∴QD BD ⊥．@（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当A M P △为等腰三角形时，AM P △的底角正切值为___________．【答案】34或，13或3．【解析】①当AM AP =时，此时APE ∠为等腰三角形AM P △的底角，如图所示，作EI AP ⊥于I ，依然设2AC BC a ==，设PI xa =，则25()3AI AP PI x a =-=-，则AE a =，53PE a =，在Rt AEI △和Rt PEI △中，由勾股定理知：22222EI AE AI PE PI =-=-，即22222255()()()33a x a a xa --=-，解得4515x =， ∴55EI =，∴3tan 4EI APE PI ∠==． ②如图，当AM PM =时，此时APE ∠仍为APM △的底角，由①知3tan 4EI APE PI ∠==． ③当PM PA =时，当M 不与B 点重合时，如图，此时为M '，作AH BM '⊥，由（2）知55EH a =， ∴2515M H PM PH a ''=-=， 222255AH AP PH a =-=， ∴tan 3AHAM H M H'∠=='．当M 与B 点重合时，如图，此时为M ''，作PN AB ⊥于点N ，则2223PN PB BN a =-=， ∴1tan 3PN PM N NB ''∠==．综上所述，AM P △的底角正切值为34或，13或3．#29．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++、抛物线③221y x x =++与已知抛物线①是否关联．（2）抛物线211:(9)68C y x =-++，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）A 为抛物线()211:968C y x =-++的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线的顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其直角顶点C 在直线10x =-上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）②．（2）2211(1)2,(17)288y x y x =+-=+-．（3）(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．【解析】（1）∵①抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --， ∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-，∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =-时，2211210y x x =++=-+=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的．（2）抛物线1C ：21(9)28y x =-+-的顶点M 的坐标为(9,6)-，∵动点P 的坐标为(,2)t ， ∴点P 在直线2y =上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E ，F ，则4M E N F ==， ∴点N 的纵坐标为2-，当2y =-时，21(9)628x +-+=-，解得：117x =-，21x =-，①设抛物2C 的解析式为：2(17)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上， ∴26(9)217a =-+-，∴18a =．∴抛物线2C 的解析式为：21()8217y x =+-；②设抛物2C 的解析式为：2(1)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上，∴26(1)29a =-+-，∴18a = ．∴抛物线2C 的解析式为：21()821y x =+-．（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF △≌CAH △，∴1CF AH ==，6BF CH c ==-，点B 的坐标为(4,1)c c ---，当点B 在抛物线211:(9)68y x C =-++上时，211(49)68c c -=---++，解得：142c =+或142c =-．②当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B '点，过点B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得：点B '的坐标为(16,1)c c -++，当点B '在抛物线1C ：21(9)68y x =-++上时，211(169)68c c +=--+++，解得：3c =．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．参考答案一、选择：题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD二、填空：16．（Ⅰ）5612+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．题号 111213 1415 16答案5312y y ＞2447±31t -≤<5612+。

北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)

数学练习班级________姓名________学号________学生须知1.本练习卷共6页，共26道小题，满分100分.练习时间120分钟.2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.4.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.一.选择题（每题2分，共16分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（）.A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）.A. B. C. D.3.一元二次方程的解为（）.A.，B.，C.，D.，4.二次函数与轴的公共点个数是（）.A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（）.A.B. C. D.6.关于的方程有实数根，则的取值范围是（）.A.且 B.且 C. D.7.已知二次函数，分别取，，，那么对应的函数值为，，中，最大的为（）.A. B. C. D.不能确定8.如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以线段为边向左作菱形，点恰与原点重合，抛物线的顶点在直线移动.若抛物线与菱形的边、都23x y =y =213y x =-3y x =-()2314y x =++()1,4-()1,4--()1,4()1,4-2430x x -+=11x =-23x =11x =23x =11x =-23x =-11x =23x =-223y x x =++x 2y ax bx c =++0a >0b <0c >x ()()2212110k x k x -+++=k 14k >1k ≠14k ≥1k ≠14k >14k ≥22y x x c =-++11x =-212x =32x =1y 2y 3y 1y 2y 3y 122y x =-+y A 12y x =D AD ABCD C O ()2y x h k =-+12y x =AD CD有公共点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题2分，共16分）9.用配方法解方程，配方后所得的方程是________.10.关于的方程的一个解是，则值为________.11.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________.12.某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意，可列方程________.13.已知函数.若，则________.14.如图，点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.15.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1.其中结论正确的是________.16.如图，网格（每个小正方形的边长为1）中有、、、、、、、、九个格点，抛物线的解析式为（为整数）.h 122h -≤≤12h -≤≤312h -≤≤112h -≤≤2650x x -+=x 22424x kx k ++=2-k x 2210x x m +-+=m x 2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩2y =x =A B 214y x =A B 2-OA OB 214y x =P PAB △AOB △P ()20y ax bx c a =++≠0abc <20a b ->0a b c ++=80a c +>20ax bx c ++=3-22⨯A B C D E F G H O l ()21ny x bx c =-++n（1）若为偶数，且抛物线经过点和，则抛物线还经过网格上的________点；（2）若经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线共有________条.三.解答题（共68分，第17、20题每题8分，第18、19、21、24题每题6分，第22、23、25、26题每题7分）17.解方程：（1）；（2）.18.小马与小郭两位同学解方程的过程如下表：小马：两边同除以，得，则.小郭：移项，得，提取公因式，得.则或，解得，.（1）你认为他们的解法是否正确？若正确，请在对应的括号内打“√”；若错误，请在对应的括号内打“×”；（2）请写出你的解答过程.19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值.20.已知抛物线经过点和.（1）求和的值；（2）列表并画出函数图象；（3）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.n l ()1,0A ()2,0B l l 2450x x --=2310x x -+=()()2333x x -=-()3x -33x =-6x =()()23330x x ---=()()3330x x ---=30x -=330x --=13x =20x =x 22430x mx m -+=0m >m ()21y a x k =-+()0,3-()3,0a k21.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点.（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式的解集.22.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.（1）求与之间的函数表达式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.（1）求雕塑高；（2）求落水点、之间的距离；（3）若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.22y x mx =+x ()2,0A m M 2224x mx x +>-y x ()603060y x x =-+≤≤w w x O OA A x O A y x C D ()21566y x =--+OA C D OD E EF 9m OE =F24.已知关于的二次函数（实数，为常数）.（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值；（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，请直接写出实数的最小值.25.已知，点在直线上，以为边作等边（要求点、、为逆时针顺序），过点作于点.请解答下列问题：（1）当点在图①位置时，求证：；（2）当点在图②位置时，请直接写出线段，，的数量关系；（3）当点在图③位置时，补全图形并直接写出线段，，的数量关系.26.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的勤学点.例如：点的勤学点的坐标是，点的勤学点的坐标是.（1）①点的勤学点的坐标是________；②点是函数图象上某一个点的勤学点，则的值为________；（2）若点在函数（，）的图象上，求其勤学点的纵坐标的取值范围（结果可用含的代数式表示）；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其勤学点的纵坐标的取值范围是或，其中.令，直接写出关于的函数解析式及的取值范围.x 21y x bx c =++b c ()0,41x =20b c -=3b x b -≤≤b x 222y x x m =++01x ≤≤21y y ≥m 60ABC ∠=︒F BC AF AFE △A F E E ED AB ⊥D F AD BF BD +=F AD BF BD F AB BF BD xOy (),P a b (),Q a b '1,1,1b a b b a +≥⎧=⎨-<'⎩QP ()2,3()2,4()2,5-()2,5--()()2,A a 4y x =a P 2y x =+3k x ≤<73k -<<Q b 'k P x 222y x tx t t =-+-+Q b 'b m'>b n '≤m n >s m n =-s t t北京四中10月参考答案一、选择1-8 A A B A C D B A8.提示：将与联立得：，解得：.点的坐标为.由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为.将，，代入得得：，解得，抛物线的解析式为.当抛物线经过点时.将代入得：，解得：（舍去），.当抛物线经过点时.将代入得：，整理得：，解得：，（舍去）.综上所述，的范围是.二、填空9.10.0或411.12.13.214.4个15.①③④⑤16.点，8条16.提示：（1）为偶数时，，经过点和，122y x =-+12y x =12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩∴D ()2,1(),h k x h =y k =12y x =12h k =12k h =∴()212y x h h =-+C ()0,0C ()212y x h h =-+2102h h +=10h =212h =-D ()2,1D 21()2y x h h =-+()21212h h -+=22760h h -+=12h =232h =h 122h -≤≤()234x -=2m ≤()21001121x +=F n 2y x bx c =++l ()1,0A ()2,0B，解得，抛物线解析式为，当时，，点在抛物线上，抛物线还经过网格上的点；（2）所有满足条件的抛物线共有8条.当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示.三、解答题17.（1）5，（218.小马×，小郭×，，619.（1）证明：，，，.无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根.（2）解：，即，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.20.（1），；（2）略；（3）21.（1），；（2）或22.解：（1），与之间的函数解析式；（2）当时，，解得，，10420b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩32b c =-⎧⎨=⎩∴232y x x =-+0x =2y =∴()0,2F ∴F n n 1-3x =1a =Q 4b m =-23c m =()2222444134b ac m m m ∴∆=-=--⨯⨯=Q m 240m ≥0∆≥∴22430x mx m -+=Q ()()30x m x m --=1x m ∴=23x m =0m >Q 32m m ∴-=1m ∴=1a =4k =-()222y x =--4m =-()1,2M -1x <2x >()()()2230603030601800901800w x y x x x x x x x =-⋅=-+-=-++-=-+-w x ()29018003060w x x x =-+-≤≤200w =2901800200x x -+-=140x =250x =，不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；（3）根据题意得：，当时，有最大值，最大值是225.23.（1）；（2）；（3）不会碰水.24.解：（1）二次函数的图象经过点，；对称轴为直线：，，此二次函数的表达式为：.（2）当时，，此时函数的表达式为：，根据题意可知，需要分三种情况：①当，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；②，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；③，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得.综上所述，的值为或4.（3）由（1）知，二次函数的表达式为：，对称轴为直线：，当时，随的增大而减小，且最大值为4；二次函数的对称轴为直线：，且，当时，随的增大而增大，且最小值为，当时，总有，，即的最小值为4.25.（1）如图，证，，则；5048>Q 250x =()2290180045225w x x x =-+-=--+45x =w 116OA =22CD =109,3F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,44c ∴=12bx =-=2b ∴=-∴2124y x x =-+20b c -=2b c =221y x bx b =++2bb <-0b <x b =22221b b b ∴++=1b =2b =32bb ->-2b >3x b =-()()223321b b b b ∴-+-+=34b =41b =-32b b b -≤-≤02b ≤≤2bx =-222122b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =±b 2124y x x =-+1x =∴01x ≤≤y x 222y x x m =++14x =-20>∴01x ≤≤y x m 01x ≤≤21y y ≥4m ∴≥m ADE FHE △≌△BDE BHE △≌△BD BH FH BF AD BF ==+=+（2）；（3）.26.（1）①；②9（2）当时，；当时，或；当时，.（3），.BD AD BF =-2AB BD BF +=()1-13k ≤<36k b +≤'<61k -<<32b k -<≤--'46b ≤'<76k -<≤-36b -<'<24s t t =-4t >。

北京市海淀区九年级(上)月考数学试卷(12月份)

九年级（上）月考数学试卷（12月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sin A的值为（）A. 35B. 45C. 34D. 432.点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=−6x图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A. y1>y2B. y1=y2C. y1<y2D. 不能确定3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A. 2B. −1C. 2D. 44.为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V（m3）一定的污水处理池，池的底面积S（m2）与其深度h（m）满足关系式：V=Sh（V≠0），则S关于h 的函数图象大致是（）A. B. C. D.5.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（）A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 无法确定6.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABCC. AB2=AD⋅ACD. ADAB=ABBC7.如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A. 12B. 20C. 24D. 328.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则cos∠EFG值为（）A. 157B. 327C. 217D. 257二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若sinα=32，则锐角α=______．10.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是______．11.反比例函数y=-1x与二次函数y=x2的共同性质有______．（写出一条符合题意的即可）12.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，若BC=6，cos D=23，则AB的长为______．13.若反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），则当y＜1时，x的取值范围是______．14.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，则S△ADES△ABC的值为______．15.如图，在△ABC中，tan A=34，∠B=45°，AB=14，则BC的长为______．16.如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线y=-34x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=______小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：tan22.5°=______．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）18.计算4cos45°+tan60°-8+（-1）219.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．若DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．20.在数学课上，爱动脑筋的小孙同学提出了一个问题：已知线段AB和直线L，他想作一个顶点P在直线上L的特殊的∠APB，使得∠APB=30°经过课堂讨论，有的学习小组提出了如下尺规作图方案：①分别以点A，点B为圆心，以线段AB的长度为半径画弧，两条弧在线段AB上方相交于点O；②以O为圆心，OA为半径作弧，与直线L相交于P1，P2两点；③连接AP1，BP1，AP2，BP2，所以∠AP1B，∠AP2B就是所求的角请你根据上述尺规作图方案，完成下列问题：（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（______）（填推理的依据）∴∠AOB=60°，∴∠AP1B=12∠AOB=30°∴∠AP2B=12∠AOB=30°（______）（填推理的依据）21.如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为18°，宿舍楼底部的俯角为20°，量得教学楼与宿舍楼之间的距离AB=30m，求宿舍楼的高BD（结果精确到0.1m）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）22.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，其对角线相交于点O，AB⊥AC，tan∠CAD=34，求∠BDC的正弦值．23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=8x的一个交点为P（2，m）与x轴、y轴分别交于点A，B．（1）求m的值．（2）若PA=2AB，求点A的坐标．24.已知，如图，矩形ABCD的顶点A，D分别在△PMN的边PM，PN上，顶点B、C在△PMN的边MN上且AD=2AB．（1）请在图1中在线段AB的左侧画一个矩形EGBF∽矩形ABCD，使得点E，点G，点F分别在线段AM、AB、MB上．（保留必要的痕迹，并作简单的说明）（2）若矩形ABCD的边AD=4，tan M=12，请计算（1）中矩形EGBF的边长EF 的长度．（3）若矩形ABCD的边AD=4，tan M=m，则（1）中矩形EGBF的边长EF的长度为______．25.已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求AEAF的值．26.阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式kx+2-|x|=0（k＞0）成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为kx+2=|x|，再通过研究函数y=kx+2的图象与函数y=|x|的图象（如图）的交点，使问题得到解决．请回答：（1）当k=1时，使得原等式成立的x的个数为______；（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为______；（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为______．参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式x2+a-4x＜0（a＞0）只有一个整数解，求a的取值范围．27.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）28.在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（-1，0）．①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为______；②若点C（-5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为______；③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为______；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=33x（x≥0）上，b的取值范围是______；（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=3x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==．故选：A．直接根据三角函数的定义求解即可．此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．2.【答案】C【解析】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，∴y1=-=-6，y2=-=-2，∴y1＜y2．故选：C．根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3.【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，∴CE=OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）∴CD=2CE=2，故选：A．4.【答案】C【解析】解：∵V=Sh（V为不等于0的常数），∴S=（h≠0），S是h的反比例函数．依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分．故选：C．先根据V=Sh得出S关于h的函数解析式，再根据反比例函数的性质解答，注意深度h的取值范围．本题主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．5.【答案】C【解析】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，∠DEH=180°-140°=40°，在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S1=S2．故选：C．过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出选择．本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是作出高线构造直角三角形．6.【答案】D【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．7.【答案】D【解析】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4，∴OC===5，∴OC=BC=5，∴点B坐标为（8，4），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过顶点B，∴k=32，故选：D．过C点作CD⊥x轴，垂足为D，根据点C坐标求出OD、CD、BC的值，进而求出B点的坐标，即可求出k的值．本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大，是一道不错的习题．8.【答案】C【解析】解：如图：作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD∵四边形ABCD是菱形，AB=2∴CD=AD=AB=2，AB∥DC∵AB∥CD∴∠A=∠MDC=60°∵E是CD中点∴DE=1∵ME⊥AD，∠DMC=60°∴∠MED=30°，且ME⊥AD∴DM=，ME=DM=∵折叠∴AG=GE，∠AFG=∠EFG在Rt△GME中，GE2=GM2+GE2．∴GE2=（2-GE+）2+∴GE=在Rt△AGN中，∠A=60°，GN⊥AB∴AG=2AN∴AN=∴GN=∵BC=CD=2，∠C=60°∴△BCD是等边三角形∵E点是CD中点∴BE⊥CD，DE=1，∠BDC=60°∴BE=∵AB∥DC∴∠ABE=90°在Rt△EFB中，EF2=BE2+BF2．∴EF2=3+（2-EF）2．∴EF=∴AF=∵NF=AF-AN∴NF=在Rt△GNF中，GF==∴cos∠EFG=cos∠GFN==故选：C．作GN⊥AB于N，作EM⊥AD于M，连接BE，BD．在Rt△DME，Rt△GME，Rt△AGN，Rt△EFB中，根据勾股定理可求DM，ME，AN，EF的长，即可求FN 的长，即可得cos∠EFG值．本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．9.【答案】60°【解析】解：∵sinα=，∴α=60°，故答案为：60°．根据特殊角度的三角函数值求解．此题主要考查了特殊角度的三角函数值，是需要识记的内容．10.【答案】6π【解析】解：该扇形的面积S==6π．故答案为：6π．根据扇形的面积公式S=计算，即可得出结果．本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．11.【答案】当x＞0时，y随x的增大而增大【解析】解：反比例函数y=-与二次函数y=x2的共同性质有当x＞0时，y随x的增大而增大，故答案为：当x＞0时，y随x的增大而增大．根据题目中的函数解析式可以写出它们共同的性质，本题得以解决．本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确它们各自的性质，注意本题答案不唯一，只要符合题意即可．12.【答案】9【解析】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B=∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴cosB==，又BC=6，∴AB=9，故答案为：9．连接AC，根据圆周角定理得到∠B=∠D，∠ACB=90°，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13.【答案】x＜0或x＞4【解析】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（4，1），∴k=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=，图象如图所示．由图可知，当y＜1时，x＜0或x＞4．故答案为x＜0或x＞4．利用待定系数法求出反比例函数的解析式，画出函数的图象，再根据图象得出结论．本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．14.【答案】49【解析】解：∵AD=6，DB=3，∴AB=9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=．故答案为：．条件可以求出AD：AB=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．15.【答案】62【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵在Rt△CDA中，tanA=，设CD=3x，AD=4x，∵在Rt△CDB中，∠B=45°∴tanB==1，sinB=，∵CD=3x．∴BD=3x，BC=•3x=3x．又∵AB=AD+BD=14，∴4x+3x=14，解得x=2，∴BC=6．故答案为：6．作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tanA的定义可计算．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．16.【答案】22【解析】解：如图，作AP⊥直线y=-x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，∵A的坐标为（-1，0），设直线与x轴，y轴分别交于C，B，∴B（0，3），C（4，0），∴OB=3，AC=5，∴BC==5，∴AC=BC，在△APC与△BOC中，，∴△APC≌△BOC，∴AP=OB=3，∴PQ==2．∵PQ2=PA2-1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=-x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．17.【答案】2-1 2-1【解析】解：如图2，设CD=CA=a，则AD=a，∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，∴∠DAB=22.5°，∴∠DAB=∠B，∴DB=DA=a，∴BC=BD+CD=（+1）a，在Rt△ABC中，tanB===-1，即tan22.5°=-1；故答案为-1；-1；如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，∴∠D=∠ACD，∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，∴∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，则AC=2x，AH=x，∴AD=AC=2x，∴DH=AD+AH=（2+）x，在Rt△DCH中，tanD===2-，即tan15°=2-．如图2，设CD=CA=a，△ACD为等腰直角三角形，则AD=a，易得∠DAB=∠B=22.5°，所以DB=DA=a，再在Rt△ABC中，利用正切定义可计算出tanB=-1，即tan22.5°=-1；如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，则∠D=∠ACD，利用三角形外角性质易得∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，利用含30度三边的关系得到AC=2x，AH=x，则AD=AC=2x，DH=AD+AH=（2+）x，然后在Rt△DCH中，利用正切的定义可计算出tanD=2-，即tan15°=2-．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是构建含22.5度和15度的直角三角形．18.【答案】解：原式=4×22+3-22+1=22+3-22+1=3+1．【解析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19.【答案】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴EACA=EDCB，又∵DE=2，BC=3，AC=6，∴EA6=23，∴AE=4．【解析】根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．20.【答案】三边相等的三角形是等边三角形同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】解：（1）如图所示，∠AP1B，∠AP2B就是所求的角．（2）在⊙O中，连接OA，OB，∵△OAB为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），∴∠AOB=60°，∴∠AP1B=∠AOB=30°∴∠AP2B=∠AOB=30°（同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半），故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．（1）根据作图步骤依次作图即可得；（2）根据等边三角形的判定与圆周角定理求解可得．本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质及圆周角定理．21.【答案】解：作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=18°，∠BCH=20°，易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=DHCH，∴DH=30tan18°=30×0.32=9.6（m），在Rt△BCH中，tan∠BCH=BHCH，∴BH=30tan20°=30×0.36=10.8（m），∴BD=10.8+9.6=20.4（m）．答：宿舍楼的高BD为20.4m．【解析】作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=18°，∠BCH=20°，利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan18°=9.6，在Rt△BCH中计算出BH=30tan20°=10.8，然后计算BH+DH即可得到宿舍楼的高BD．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．22.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=OC，AB=CD，∠ACD=∠BAC，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴∠ACD=90°，∵tan∠CAD=34，∴设CD=3x，AC=4x，∴OC=2x，∴OD=OC2+CD2=25x，∴sin∠BDC=OCOD=55．【解析】根据平行四边形的性质得到AO=OC，AB=CD，∠ACD=∠BAC，根据垂直的定义得到∠BAC=90°，设CD=3x，AC=4x，根据勾股定理得到OD==2x，根据锐角三角函数的定义即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：（1）∵双曲线y=8x经过P（2，m），∴2m=8，解得：m=4；（2）点P（2，4）在y=kx+b上，∴4=2k+b，∴b=4-2k，∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（2-4k，0），B（0，4-2k）．作PC⊥x轴于点C．分两种情况：①如图1，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，∵PA=2AB，∴AB=PB，则OA=OC，∴4k-2=2，解得k=1，故点A的坐标为（-2，0）；②如图2，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，∵PA=2AB，∴PC=2OB，∴4=2（2k-4），解得k=3．故点A的坐标为（23，0）．综上所述，点A的坐标为（-2，0）或（23，0）．【解析】（1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；（2）把点P（2，4）代入y=kx+b，得到b=4-2k，求出A（2-，0），B（0，4-2k）．作PC⊥x轴于点C，分两种情况进行讨论：①点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴；②点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A、B 两点的坐标，然后利用线段之间的倍数关系确定k的值，进行分类讨论是解题的关键．24.【答案】12m+1【解析】解：（1）如图1中，矩形EGBF即为所求．（2）∵AD=2AB，AD=4，∴AB=1，设EF=x，则EG=BF=2x，∵tanM===，∴BM=2，∴=，∴x=，∴EF=．（3）∵tanM===m，∴BM=，∴=m，∴x=．故答案为．（1）连接AC，作BE∥CA交PM于E，以EB为矩形的对角线作矩形EGBF即可．（2）由AD=2AB，AD=4，推出AB=1，设EF=x，则EG=BF=2x，根据tanM= ==，构建方程即可解决问题．（3）解法与（2）类似．本题考查相似多边形的性质，锐角三角函数，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：（1）连接DO，CO，∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，在△CDO与△CBO中，CD=CBOD=OBOC=OC，∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，∵在△ADF和△BDC中，∠ADF=∠BDC∠DAB=∠CBD，∴△ADF∽△BDC，∴ADBD=AFBC，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，∵在△ADE和△BDA中，∠ADE=∠BDA=90∘∠E=∠DAB，∴△ADE∽△BDA，∴AEAB=ADBD，∴AEAB=AFBC，即AEAF=ABBC，∵AB=BC，∴AEAF=1．【解析】（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题．本题考查了相似三角形的判定和性质，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA是解题的关键．26.【答案】1 2 1【解析】解：（1）当k=1时，如图1，使得原等式成立的x的个数为1；（2）当0＜k＜1时，如图2，使得原等式成立的x的个数为2；（3）当k＞1时，如图3，使得原等式成立的x的个数为1．故答案为：（1）1；（2）2；（3）1．解决问题：将不等式转化为，研究函数y=x2+a（a＞0）与函数的图象的交点，如图4，∵函数的图象经过点A（1，4），B（2，2），函数y=x2的图象经过点C（1，1），D（2，4），若函数y=x2+a（a＞0）经过点A（1，4），则a=3，结合图象可知，当0＜a＜3时，关于x的不等式只有一个整数解．也就是当0＜a＜3时，关于x的不等式只有一个整数解．（1）画出y=x+2的函数图象，确定交点个数；（2）当0＜k＜1时，画出y=kx+2的函数图象，确定交点个数；（3）当k＞1时，画出y=kx+2的函数图象，确定交点个数；解决问题：将不等式转化为，研究函数y=x2+a（a＞0）与函数的图象的交点，即可解答．本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象，解决本题的关键是画出函数图象，确定两函数图形的交点个数．27.【答案】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°-∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中∠EBD=∠AFDBD=DF∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=3AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°-∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴ADDE=DGBD，在Rt△BDG中，DGBD=tan30°=33，∴DE=3AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴ADDE=DGBD，在Rt△BDG中，DGBD=tanα，则ADDE=tanα，∴AD=DE•tanα．【解析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．28.【答案】（3.0） -2 y=-x+2 -12≤b≤1【解析】解：（1）．①如图1中，点A（-1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．②如图2中，由题意C（-5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称，∴a=-2．③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），∴直线A1D的解析式为y=x-1，线段A1D的中垂线的解析式为y=-x+2，∴直线l3的解析式为y=-x+2．故答案分别为（3，0），a=-2．y=-x+2．（2）如图4中，由题意b=MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，∵直线OM′的解析式为y=x，∴∠MM′O=∠M′OD=30°，∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，∴b的最大值为1，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为-，综上所述，满足条件的b取值范围为-≤b≤1．故答案为-≤b≤1．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E1E′交直线y=x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=-x-t，由解得，∴K（，），∵KE1=KE′，∴E′（，），当⊙E′与y轴相切时，||=2，解得t=-4或+4，综上所述，满足条件的t的取值范围为-4≤t≤+4．（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题．（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题．（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E′的坐标即可解决问题．本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2021-2022学年北京四中九年级(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)

2021-2022学年北京四中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.已知3x=4y，则下面结论成立的是()A. xy =43B. x4=3yC. xy=34D. x3=y43.在一个不透明的袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球、4个黑球，从袋中任意摸出一个球，是黑球的概率为()A. 34B. 37C. 47D. 434.关于方程2x2−3x+1=0的根的情况，下列说法正确的是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是()A. −1<x<2B. x>2C. x<−1D. x<−1或x>26.如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB长为()A. 8B. 4C. 2√2D. 2√37.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AE平分∠BAD，的值为()交BC于F，交DC延长线于E，则AEEFA. 53B. 52C. 32D. 28.如图1，点D、B、C、E在同一条直线上，在△ABC中，∠BAC=40°，AB=AC=2，点D、E在直线BC上由左向右运动，且始终保持∠DAE=110°，当点D向点B运动时(D不与B重合)，如图(2)，设DB=x，CE=y，则y与x的函数关系的图象大致可以表示为()A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若关于的x方程x2+3bx+a=0有一个根为−1，则a−3b的值为______ ．10.如果二次函数y=3(x−2)2−m的图象经过坐标原点，那么m的值为______．11.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：______ ，使得△ADE与△ABC相似.(任意写出一个满足条件的即可)12.如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，若点A恰好在ED的延长线上，若∠ABC=110°，则∠ADC的度数为______．13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，⊙O的直径长是______ ．14.如果圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，那么这个圆锥的侧面积为______ ．15.农科院新培育岀A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：：种子数量10020050010002000出芽种子数961654919841965A发芽率0.960.830.980.980.98出芽种子数961924869771946B发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．②当实验种子数里为100时，两种种子的发芽率均为0.96所以他发芽的概率一样；③随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；其中不合理的是______(只填序号)16.当0≤θ≤α时，将二次函数y=−x2+√3x(0≤x≤√3)的图象G，绕原点逆时针旋转θ得到图形G′均是某个函数的图象，则α的最大值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.解下列方程：(1)x2−2x=0；(2)x2+4x−8=0．18.下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形(______)(填推理的依据)．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°−∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD(______)(填推理的依据)．∴△ACD是等边三角形．19.下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．题目测量小河的宽度测量目标示意图相关数据BC=1m，DE=1.5m，BD=5m20.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE．(1)求证：DE//BC．(2)若AB=8，BD=7，求△ADE的周长．21.已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．22.如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为(2,1)，(3,−1)．(1)以点O为位似中心，将△OAB放大为原来的两倍，画出图形；(2)A点的对应点A′的坐标是______；B点的对应点B′的坐标是______；(3)在AB上有一点P(x,y)，按(1)的方式得到的对应点P′的坐标是______．23.小明参加某个智力竞答节目，答对最后的两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项)．(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______．(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．(3)从概率的角度分析，建议小明在第______题使用“求助”.(直接写出答案)24.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过BD⏜上一点E作EG//AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，CH=4，求EM的值．25.在研究反比例函数y=1的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析．首x先，确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；的值减其次，分析解析式，得到y随x的变化趋势：当x>0时，随着x值的增大，1x 小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，1的值会越来越大…，由此，可以大致画出xy=1在x>0时的部分图象，如图1所示；利用同样的方法，我们可以研究函数y=x的图象与性质，通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示．√x−1(1)首先，确定自变量x的取值范围是______；沿此思路在图2中完善函数图象的草图，并标出此函数图象上横坐标为0的点A；(画出网格区域内的部分即可)(2)观察图象，写出该函数的一条性质：______；=a(x−1)有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实(3)若关于x的方程√x−1数a的取值范围：______．26.在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y=ax2−x+1(a>0)．(1)求抛物线y=ax2−x+1的顶点坐标；(2)当−1≤x≤2时，y的最大值为7，求a；(3)分别过点M(t,0)和点N(t+1,0)作x轴垂线，交抛物线于点A和B.记抛物线在A，B两点之间的部分为图象G(包括A，B两点)，若对于任意的t，在图象G上都存在两点，且这两点纵坐标的差的绝对值不小于1，请直接写出a的最小值．27.如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CD=√2BE.连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R，连接DR，RF．(1)依题意补全图形；(2)求证：△BDE≌△RDF；(3)若AB=AC=2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．(1)如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有______；(2)已知A点坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标y M的取值范围为12≤y M≤136，求S的取值范围．(3)已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN=1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．(4)已知点M，N是在以(2,0)为圆心，半径为√13的圆上的两个动点，且满足MN=√2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：A、由xy =43得3x=4y，故本选项正确；B、由x4=3y得xy=12，故本选项错误；C、由xy =34得4x=3y，故本选项错误；D、由x3=y4得4x=3y，故本选项错误；故选：A．根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵袋子中共有7个小球，其中黑球有4个，∴摸出一个球是黑球的概率是47，故选：C．用黑球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率．此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.【答案】A【解析】解：∵方程2x2−3x+1=0中的a=2，b=−3，c=1，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×1=1>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．5.【答案】D【解析】解：由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x<−1或x>2，故选：D．根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当y>0时，x的取值范围，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6.【答案】B【解析】解：作直径AC，连接BC，如图，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∵∠C=∠P=30°，∴AB=12AC=12×8=4．故选：B．作直径AC，连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，∠C=∠P=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DE，AD//BC，∴∠BAE=∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠BAE，∴∠E=∠EAD，∴AD=DE=5，∴CE=DE−CD=5−3=2，∵BC//AD，∴EFAF =ECDE=25，∴AEEF =52．故选：B．根据平行四边形的性质得到AB//DE，然后利用平行线的性质得到∠BAE=∠E，再利用角平分线的定义得到∠EAD=∠BAE，进而得到∠E=∠EAD，从而得到DE=AD=5，则EC=5−3=2，然后利用平行线分线段成比例求解即可．本题主要考查了相似三角形的判断和性质以及平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．8.【答案】A【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠ABD=∠ACE，∠ADB+∠BAD=70°，∵∠DAE=110°，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADB=∠CAE，∴△ADB∽△EAC，∴DBAC =ABEC，∴xy=4，解得y=4x．故选：A．利用AB=AC可得∠ABC=∠ACB，进而可得∠ABD=∠ACE，然后证明∠ADB=∠CAE，可得△ADB∽△EAC，根据相似三角形的对应边成比例可得y与x之间的函数关系式，从而作出判断．本题主要考查了相似三角形的判定与性质和函数的图象，利用两角对应相等得到两三角形相似是解决本题的关键．9.【答案】−1【解析】解：∵关于x的方程x2+3bx+a=0有一个根为−1，∴1−3b+a=0，即a−3b=−1，故答案是：−1．把x=−1代入已知方程，通过解该方程来求(a−3b)的值．本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．10.【答案】12【解析】解：把原点(0,0)代入解析式，得3×(−2)2−m=0，解得，m=12，故答案为：12．把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数图象上的点的坐标满足二次函数解析式是解题的关键．11.【答案】∠ADE=∠C(答案不唯一)【解析】解：添加∠ADE=∠C，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE=∠C(答案不唯一)．根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．12.【答案】70°【解析】解：∵三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，∴∠ABC=∠CDE，∵∠ABC=110°，∴∠CDE=110°，∴∠ADC=70°，故答案为：70°．由三角形ABC绕点C顺时针旋转得到三角形CDE，得∠ABC=∠CDE=110°，则∠ADC= 70°．本题主要考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等是解题的关键．13.【答案】10【解析】解：连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠CDO=90°，在Rt△OCD中，OC=√32+42=5，∴AB=2OC=10，即⊙O的直径为10．故答案为10．连接OC，如图，利用勾股定理计算出OC即可．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14.【答案】18πcm2×2π×3×6=18π(cm2).【解析】解：这个圆锥的侧面积=12故答案为18πcm2．利用扇形的面积计算圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】②【解析】解：①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.98、B种子的出芽率约为0.97，可能会高于B种子，故①合理；②在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故②推断不合理．③随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98，故推断合理．故答案为：②．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．16.【答案】30°【解析】解：设经过原点的直线y1=kx，当二次函数y=−x2+√3x(0≤x≤√3)与直线y1=kx存在唯一交点时，−x2+√3x=kx，x2+kx−√3x=0，Δ=(k−√3)2−4×1×0=0，解得：k=√3，∴直线y1=√3x，设直线y1=kx上一点P，过点P作PQ⊥y轴，设点P的坐标为(m,√3m)，∴PQ=m，OQ=√3m，tan∠QOP=PQOQ =√3m=√33，∴∠QOP=30°，当图象G，绕原点逆时针旋转30°时得到图形G′与y轴相切，符合题意，∴0°≤θ≤30°，即a的最大值为30°，故答案为：30°．设经过原点的直线y1=kx，求得二次函数y=−x2+√3x(0≤x≤√3)与直线y1=kx存在唯一交点时k的值，设直线y1=kx上一点P，过点P作PQ⊥y轴，然后根据锐角三角函数分析求解．本题考查二次函数图象与几何变换，理解二次函数与一次函数图象的性质，掌握特殊角三角函数值是解题关键．17.【答案】解：(1)x2−2x=0，x(x−2)=0．∴x=0或x−2=0．解得：x1=0，x2=2．(2)x2+4x−8=0，移项得：x2+4x=8，配方得：x2+4x+22=8+4，∴(x+2)2=12，两边开平方得：x+2=±2√3，∴x1=−2+2√3，x2=−2−2√3．【解析】(1)利用因式分解法解答即可；(2)利用配方法解答即可．本题主要考查了用因式分解法和配方法解一元二次方程，正确使用上述解法是解题的关键．18.【答案】(1)解：如图，△ACD为所作；(2)证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形(三条边都相等的三角形是等边三角形)．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°−∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD(在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等)，∴△ACD是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．【解析】(1)利用画圆的方法作出C、D两点，从而得到△ACD；(2)在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC=60°，接着分别计算出∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=CD=AD，从而判断△ACD是等边三角形．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19.【答案】解：由题意可得：△ABC∽△ADE，则ABAD =BCDE，即ABAB+5=11.5，解得：AB=10，答：小河的宽度为10m．【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABAB+5=11.5，进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．20.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．∴CD=CE，∠ACB=∠ACE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°=∠ACB，∴DE//BC；(2)∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE．∴AE=BD=7，∵△ADE的周长=AE+DE+AD=AE+DC+AD=AE+AC，∴△ADE的周长=7+8=15．【解析】(1)由旋转的性质可得CD=CE，∠ACB=∠ACE=60°，可得∠CDE=60°=∠ACB，可证DE//BC；(2)由旋转的性质可得AE=BD=7，即可求△ADE的周长．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．21.【答案】解：(1)∵△=(m+3)2−4(m+2)=(m+1)2≥0，∴方程总有两个实数根；，(2)∵x=(m+3)±√(m+1)22∴x1=m+2，x2=1．∵方程两个根的绝对值相等，∴m+2=±1．∴m=−3或−1．【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；(2)根据题意列方程即可得到结论．．本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式△与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．22.【答案】(−4,−2)(−6,2)(−2x,−2y)【解析】解：(1)如图，△OA′B′即为所求；(2)由图可知A′(−4,−2)，B′(−6,2)，故答案为：(−4,−2)，(−6,2)；(3)点P的对应点P′(−2x,−2y)，故答案为：(−2x,−2y)．(1)根据位似图形的性质即可画出△OA′B′；(2)根据点的位置直接可得坐标；(3)根据位似图形的性质可得答案．本题主要考查了作图−位似变换，熟练掌握位似图形的性质，作出△OA′B′是解题的关键．23.【答案】13第一【解析】解：(1)∵第一道单选题有3个选项，∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：13；故答案为：13；(2)分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为：19；(3)如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为18；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为19；∵18>19，∴建议小明在第一题使用“求助”；故答案为：第一．(1)由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；(3)根据概率公式分别求出第一次和第二次使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的．可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn24.【答案】(1)证明：如图，连接OE，∵FG=EG，∴∠GEF=∠GFE=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵CD⊥AB，∴∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线；(2)解：连接OC，设⊙O的半径为r，∵AH=2，CH=4，∴OH=r−2，OC=r，则(r−2)2+42=r2，解得：r=5，∵GM//AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AHEM =HCOE，即2EM =45，解得：EM=2.5．【解析】(1)连接OE，由等腰三角形的性质得出∠GEF=∠GFE=∠AFH，∠OAE=∠OEA，可得出∠GEO=90°，则结论得证；(2)连接OC，由勾股定理得出(r−2)2+42=r2，解得：r=5，证明△AHC∽△MEO，由相似三角形的性质得出AHEM =HCOE，则可得出答案．本题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．25.【答案】x≥0且x≠1当x>1时，y随x的增大而减小(答案不唯一)a≥1【解析】解：(1)y=√x−1中，自变量x的取值范围是x≥0且x≠1；画出函数图象如下：(2)由图可知：当x>1时，y随x的增大而减小(答案不唯一)，(3)设y 1=√x−1，y 2=a(x −1)，∴y 2过定点(1,0)，∵关于x 的方程√x−1=a(x −1)有两个不相等的实数根， ∴y 1的图象与y 2的图象有两个交点，当直线y 2=a(x −1)过点A(0,−1)时，有−1=a(0−1)，解得a =1，由图象可得，当a ≥1时，关于x 的方程√x−1=a(x −1)有两个不相等的实数根． (1)根据题意：x ≥0且x ≠1，要画的图象是0≤x <1的部分． (2)由图象直接可以得到一条性质；(3)设y 1=√x−1，y 2=a(x −1)，由关于x 的方程√x−1=a(x −1)有两个不相等的实数根，可得两图象有两个交点，当直线y 2=a(x −1)过点A(0,−1)时可得a =1，绕着(1,0)旋转直线y 2图象可得范围．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是能根据解析式画出图象．26.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2−x +1为直线x =−−12a =12a ，把x =12a 代入y =ax 2−x +1得y =a4a 2−12a +1=−14a +1， ∴抛物线顶点坐标为(12a ,−14a +1)． (2)把x =−1代入y =ax 2−x +1得y =a ，把x =2代入y =ax 2−x +1得y =4a −1，当y 最大值为y =a =7时，4a −1=27>7不符合题意．当y 最大值为y =4a −1=7时，a =2<7符合题意． ∴y 的最大值为7时，a =2．(3)当A ，B 为对称点时，A 或B 与抛物线顶点的纵坐标之差最小，抛物线形状只与a 有关，与抛物线位置无关，令抛物线为y =ax 2，t =−12，t +1=12，则抛物线顶点为(0,0)，把x =t +1=12代入y =ax 2得y =14a ， ∴点B 坐标为(12,14a)， ∵a >0，∴y B−y A=14a≥1，∴a的最小值为4．【解析】(1)先求抛物线对称轴为直线x=12a ，将x=12a代入抛物线解析式求解．(2)y的最大值为直线x=−1或直线x=2与抛物线交点纵坐标，分别将x=−1或x=2代入解析式求解．(3)当A，B为对称点时，A或B与抛物线顶点的纵坐标之差最小，抛物线形状只与a有关，与抛物线位置无关，令抛物线为y=ax2，t+1=12，通过点A，B坐标与顶点求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．27.【答案】(1)解：如图所示：(2)证明：∵将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，∴DE=DF，∠EDF=90°，∵RD⊥BC，∠ABC=45°，∴∠ABC=∠BRD=45°，∠EDF=∠BDR=90°，∴BD=RD，∠EDB=∠RDF，∴△BDE≌△RDF(SAS)；(3)解：如图，过点A作AO⊥BC于O，∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=CO=AO，当点D与点O重合时，∵CD=√2BE，∴点E是AB的中点，∴点F在AC中点处，当点D与点B重合时，∵CD′=√2BE，∴点E与点A重合，∴点F′在AO的延长线上，∴点F在直线FF′上移动，则直线FF′与射线BA的交点为P，此时∠EPF是定值，由旋转可得：AD′=D′F′=AB，∠AD′F′=90°=∠PAF，又∵∠P=∠P，∴△PAF∽△PD′F′，∴PAPB =AFD′F′=12，∴PB−2PB =12，∴PB=4，∴当PB=4时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值．【解析】(1)依照题意画出图形即可；(2)由“SAS”可证△BDE≌△RDF；(3)先确定点F的轨迹，由相似三角形的性质可求解．本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，确定点F的轨迹是解题的关键．28.【答案】EF、CD【解析】解：(1)如图1，∵E′F′是EF关于直线CC′的对称的弦，∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，∵C′E′是CD关于直线x=1的对称的弦，∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，∵GH=√5，⊙O的直径C′E′=2，EF>C′E′，∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，故答案是：CD、EF；(2)①如图2，AB关于直线l的对称弦是A′B′，直线l与y轴交点M(0,12)；②如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形AO′B，连接OO′，交⊙O于A′，作BB′//AA′，交⊙O于B′，则A′B′是AB的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l，∵A(√22S,2+√22S)，B(1+√22S,1+√22S)，∴O′(√22S,1+√22S)，设l交y轴于C(0,a)，由CO=CO′得，(√22S)2+(1+√22S−a)2=a2，当a=136时，S1=−√22(舍去)，S2=53√2，∴0≤S≤53√2；(3)如图4，M′N′是MN 的反射弦，MN 和M′N′交y 轴于P 、Q ，PQ 的中点是H ，点H 的轨迹是以O 为圆心，OH 为半径的圆， ∵OP ⊥MN ， ∴NP =12MN =12，∴OP =√ON 2−PN 2=√22−(12)2=√152，同理可得：OQ =√32，∴P(0,√152)，Q(0,√32)， ∴H(0,√15−√32)， ∴S =π⋅(√15−√32)2=9−3√52⋅π，(4)如图5，当M 在⊙A 上运动时，MN 的反射弦是M′N′，当MM′与⊙O 相切时，NN′过点O ，此时ON 解析式是y =x ，设N(n,n)，∴(n −2)2+n 2=(√13)2，∴n 1=1+√22，n 2=1−√22(舍去)， ∵N′(−√22,−√22)， ∴P(2+2√22−√24,2+2√22−√24)， ∴直线l 的解析式是y =−x +2+2√22−√22， ∴直线ll 与y 轴交点的纵坐标记作m ，则m 的范围是：m ≥2+2√22−√22或m ≤−2+2√22−√22． (1)在圆中找出对应的弦，其中GH 大于圆的直径，故否定； (2)①画出AB 的反射弦，找出对应点的垂直平分线；②以AB 为斜边作等腰直角三角形AO′B ，连接OO′，交⊙O 于A′，作BB′//AA′，交⊙O 于B′，则A′B′是AB 的反射弦，对称轴是OO′的中垂线l ，然后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得S =136时的值，从而确定S 的范围；(3)M′N′是MN 的反射弦，MN 和M′N′交y 轴于P 、Q ，PQ 的中点是H ，点H 的轨迹是以O 为圆心，OH 为半径的圆，根据“垂径定理”求出弦心距，进而确定圆的半径，从而求出圆的面积；(4)当M 在⊙A 上运动时，MN 的反射弦是M′N′，当MM′与⊙O 相切时，NN′过点O ，此时ON 解析式是y =x ，求出ON 与圆A 的交点坐标，进而求出l 的函数关系式，从而确定反射轴l 与y 轴交点的纵坐标的取值范围．本题考查了以圆为背景的阅读理解题，解决问题的关键是找出不同情境下的“反射弦”．。

北京市海淀区第四中学2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试题(含答案及解析)

数学试卷一、选择题(每题2分，共16分)1.下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．【详解】A．是中心对称图形，不符合题意；B．是中心对称图形，不符合题意；C．是中心对称图形，不符合题意；D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意．故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是()A. 1：16B. 1：6C. 1：4D. 1：2【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：两个相似三角形面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点EC交BD于点F,那么EF与CF的比是( )A. 1:2B. 1:3C. 2:1D. 3:1【答案】A【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，易证得~BEF DCF ，利用相似三角形对应边成比例以及E 是AB 的中点即可求得答案.【详解】在平行四边形ABCD 中，∵EB CD ，∴~BEF DCF ， ∴EF BE CF CD=． ∵E 是AB 的中点, ∴1122BE AB CD == ∴12EF CF = 故选：A【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是数形结合思想的应用． 4.抛物线22321y x y x ==-+，在同一直角坐标系内，则它们（）A. 都关于y 轴对称B. 开口方向相同C. 都经过原点D. 互相可以通过平移得到【答案】A【解析】【分析】从这两个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，故对称轴0x =，对称轴为y 轴,a 的符号决定开口方向，利用抛物线的性质逐项分析得出结论．【详解】A ．观察两个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴02b x a=-=，对称轴为y 轴，都关于y 轴对称,该选项正确； B ．前一个0a >，开口向上，后一个0a <，开口向下，该选项错误；C ．前一个经过原点()00，，后一个经过点()01，，，该选项错误；D ．因为二次项系数不一样，不可能通过平移得到的，该选项错误；.故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 5.如图，点A 的坐标为()1, 3，O 为坐标原点，将OA 绕点A 按逆时针方向旋转90得到AO '，则点O '的坐标是( )A. ()41-,B. ()1,4-C. ()4,2D. ()2,4- 【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质可知OBA O CA ≅'，进而得3AC =，1O C '=，即可得到答案．【详解】如图，由旋转的性质可知：OBA O CA ≅'， ∵A 的坐标为() 13，，∴13OB BA ＝，＝，则31AC O C '==，，∴点O '的坐标是()42，, 故选：C ．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟悉旋转的性质以及坐标的特点是解题的关键．6.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，则直径CD 的长为（）A. 12.5寸B. 13寸C. 25寸D. 26寸【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝12AB＝12×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选D．【点睛】此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．7.已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x …﹣1 0 1 2 3 …y … 3 0 ﹣1 m 3 …①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A. ①④B. ②④C. ③④D. ②③【答案】C【解析】【分析】由表格中数据x=-1时，y=3，x=3时，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案．【详解】由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，x=1时，y=-1，①抛物线的开口向上，故错误；②抛物线的对称轴是x=1，故错误；③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故正确；④由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，经过原点，所以图象不经过第三象限，故正确，正确的有③④，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等．8.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上【答案】D【解析】【详解】试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN ，在△PEM 和△PON 中，PEM PON PE PO EPM OPN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PEM ≌△PON ．∴PM=PN ，∵∠MPN=60°，∴△PNM 是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D ．二、填空题(每题2分，共16分)9.如图，在Rt ABC 中， 90C ∠=︒，若24 3BC tan A ==，，则AC 的长为_______.【答案】6【解析】【分析】根据锐角三角形函数的定义即可求得答案.【详解】在Rt ABC 中， 90C ∠=︒，4BC =，42 3BC tan A AC AC ===， ∴6AC =，故答案为：6.【点睛】本题考查了锐角三角形函数的定义，熟记锐角三角形函数的定义是解题的关键．10.如果43x y =，那么x y=______. 【答案】34【解析】【分析】根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案．【详解】∵43x y =， ∴34x y =，故答案为：34．【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质．解答此题的关键是比例基本性质的逆运用． 11.如图，现有测试距离为5m 的一张视力表，表上一个E 的高AB 为2cm ，要制作测试距离为3m 的视力表，其对应位置的E 的高CD 为____cm ．【答案】1.2【解析】【分析】证明△OCD ∽△OAB ，然后利用相似比计算出CD 即可．【详解】解：OB=5m ，OD=3m ，AB=2cm ，∵CD ∥AB ，∴△OCD ∽△OAB ，∴CD OD AB OB =，即325CD =， ∴CD=1.2，即对应位置的E 的高CD 为1.2cm ．故答案为1.2．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．12.如图，在O 中，弦22AC =B 是圆上一点，且45ABC ∠=︒,则O 的半径R =_____．【答案】2【解析】【分析】通过45ABC ∠=︒，可得到90AOC ∠=︒，根据半径相等结合勾股定理可求得答案.【详解】∵45ABC ∠=︒，∴90AOC ∠=︒，∵OA OC R == ∴()22222R R += 解得：2R =(负值已舍)故答案为：2【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，理解和熟记“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的关键.13.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O 为原点建立直角坐标系，则过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为_____．【答案】（-1，-2）【解析】分析：连接CB ，作CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O 的坐标即可．详解：连接CB ，作CB 的垂直平分线，如图所示：在CB 的垂直平分线上找到一点D ， CD═DB=DA=223110+=，所以D 是过A ，B ，C 三点的圆的圆心，即D 的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2），点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．14.已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx+c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝_____．【答案】 3.3-【解析】分析：利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．（也可利用对称性解答）详解：∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标（-1，-3.2） ∴-2b a =-1则-b a=-2 ∵x 1x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根 ∴x 1+x 2=-b a 又∵x 1=1.3∴x 1+x 2=1.3+x 2=-2解得x 2=-3.3．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点坐标；熟悉二次函数的顶点坐标公式与一元二次方程两根之和的关系是解决问题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，ABC 和A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OB BB =,如果点(23)A ，，那么点A '的坐标为_______．【答案】46（，）【解析】【分析】观察点B 点和B ′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A ′的坐标.【详解】∵'OB BB =，∴1'2OB OB =∴位似比为2， ∵A 的坐标是()23，， ∴点A '的坐标为()46，故答案是：()46，【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 16.如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G H 、都在边AD 上，若3, 4AB BC ==，则tan AFE ∠=______．【答案】37【解析】【分析】根据题意得知EF AD EH CD ，，由平行线的性质得到~AEH ACD ，结合相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义即可解答.【详解】∵EH CD ，~AEH ACD ，∴34EH CD AH AD ==，设3EH a =，则4AH a =， ∴3HG GF EH a ===， ∵EFAD ，∴∠AFE =∠FAG ， ∴33tan tan 437GF a AFE FAG AG a a ∠∠====+. 故答案为：37【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，将求∠AFE 的正切值转化为求∠FAG 的正切值是解题的关键.三、解答题: (本题共68分，第17-2题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27, 28题，每小题7分)17.计算:26303604530tan sin cos sin ︒--. 【答案】1224-【解析】【分析】利用特殊角的三角形函数值直接代入计算即可. 【详解】26303604530tan sin cos sin ︒--233216()322=-⨯-⨯ 132632=⨯--122=- 【点睛】本题考查了特殊角的三角形函数值，熟记特殊角的三角形函数值是解题的关键.18.已知:如图，在ABC 中，CD AB ⊥，垂足为D ,若60, 27 2A BC AD ∠=︒==，.求AB 的长.【答案】6.【解析】【分析】在Rt ACD ⊿中，根据60︒角的正切函数及2AD =，可求得CD 的长，又在Rt CBD ⊿中根据勾股定理可求得BD 的长，从而求得答案.【详解】在Rt ACD 中，90ADC ∠=︒，60, 2A AD ∠=︒=， ∴tan 6032CD CDDA ︒===， ∴CD 23=，在Rt CBD 中，90BDC ∠=︒，27BC =，CD 23=， ∴()()222227234BD BC CD =-=-=∴426AB BD AD =+=+=【点睛】本题考查了锐角三角函数概念及勾股定理，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.19.如图,在矩形ABCD 中,3,5AB AD ==，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边.上的点F 处,求cos EFC ∠的值.【答案】35【解析】【分析】根据翻转变换的性质得到90AFE D ∠=∠=︒，5AF AD ==，根据矩形的性质得到EFC BAF ∠=∠，在RtABF 中，易求得cos BAF ∠，继而得到cos EFC ∠的值.【详解】由翻转变换的性质知：90AFE D ∠=∠=︒，5AF AD ==， ∴90EFC AFB ∠+∠=︒， ∵90B ∠=︒，∴90BAF AFB ∠+∠=︒， ∴EFC BAF ∠=∠，3cos cos 5BA EFC BAF BF ∴∠=∠==，【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的性质以及折叠问题，把求EFC ∠的余弦值转化为求BAF ∠的余弦值是解题的关键.20.如图，在等边ABC 中，点D 是AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60后得到CE ，连接AE .求证://AE BC .【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出60AC BC B ACB =∠=∠=︒，，根据旋转的性质得出60CD CE DCE =∠=︒，，根据SAS 推出BCD ACE ≅，根据全等得出60B EAC ∠=∠=︒，根据平行线的判定定理即可证得答案.【详解】等边ABC 中，∴60AC BC B ACB =∠=∠=︒，， ∵线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60后得到CE ， ∴60CD CE DCE =∠=︒，， ∴DCE ACB ∠=∠，即1223∠+∠=∠+∠, ， ∴13∠=∠，在BCD 与ACE 中，13BC AC CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCD ACE ≅(SAS)∴60B EAC ∠=∠=︒， ∴EAC ACB ∠=∠∴//AE BC【点睛】本题考查了平行线的判定、等边三角形的性质以及旋转的性质，利用全等三角形的证明是解题的关键.21.如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD =8cm ，AE =2cm ，（1）求⊙O 的半径；（2）求O 到弦BC 的距离．【答案】（1）5；（2）5. 【解析】【分析】（1）连结OB ，设半径为r ，则OE =r －2，运用垂径定理和勾股定理即可求解；（2）利用S △BCO ＝12BC ⋅OF ＝12OC ⋅BE 即可求解. 【详解】（1）连结OB ，设半径为r ，则OE =r －2，∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，BD =8cm ， ∴BE ＝DE ＝4 ，在Rt △OBE 中∵OE 2+BE 2=OB 2 ， ∴(r －2)2＋42＝r 2 ， ∴r =5；（2）∵r ＝5， ∴AC ＝10，EC ＝8∴BC ＝45； ∵OF ⊥BC ， ∴S △BCO ＝12BC ⋅OF ＝12OC ⋅BE ∴45⋅OF ＝5×⋅4 ∴OF ＝5 .【点睛】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE 的长．22.体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D 与看台底端A 连线和地面垂直，测得看台AC 的长为14米，30,45BAC ACD ∠=︒∠=︒.(1)求看台高BC 的长;(2)求顶棚顶端D 到地面的距离AD 的长. (3 1.7=) 【答案】（1）7BC =米 ;（2）8.8米. 【解析】【分析】(1)利用30︒角正弦函数易求得答案；(2)过点D 作DE AC ⊥于点E ，证得⊿CDE 为等腰直角三角形，在Rt DEA 中，设CE DE x ==，利用60︒角的正切函数构建方程即可求得答案. 【详解】（1）∵30,BAC ∠=︒14AC =， ∴1sin 30142BC BC AC ︒===， ∴7BC =，答：看台高BC 的长是7米；(2) 过点D 作DE AC ⊥于点E ，如图： ∵45ACD ∠=︒，∴45CDE ∠=︒， ∴CE DE =，设CE DE x ==，则14AE x =-，∵30,BAC ∠=︒DA AB ⊥，∴60=︒∠DAC ，在RtDEA 中，90DEA ∠=︒， tan 60314DE xAE x︒===- 解得：8.8x ≈答：顶棚顶端D 到地面的距离AD 的长约是8.8米.【点睛】本题考查了解直角三角形应用，熟记特殊角的三角函数值及方程思想是解题的关键.23.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示． t （s ） 0 0.5 1 1.5 2 … h （m ） 08.751518.7520…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由．【答案】（1）h ＝﹣5t 2+20t ；（2）小球飞行3s 时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m ．【解析】【分析】（1）设h 与t 之间的函数关系式为h ＝at 2+bt （a ≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h ＝15；t ＝2时，h ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t ＝3可得h 的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．详解】解：（1）∵t ＝0时，h ＝0，∴设h 与t 之间的函数关系式为h ＝at 2+bt （a ≠0）， ∵t ＝1时，h ＝15；t ＝2时，h ＝20，∴a 15{4220b a b +=+=，解得5{20a b =-=，∴h 与t 之间的函数关系式为h ＝﹣5t 2+20t ；（2）小球飞行3秒时，t ＝3（s ），此时h ＝﹣5×32+20×3＝15（m ）．答：小球飞行3s 时的高度为15米；（3）∵h ＝﹣5t 2+20t ＝﹣5（t ﹣2）2+20， ∴小球飞行的最大高度为20m ， ∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．24.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接AC ，过点B 作O 的切线，交AC 的延长线于点D ，在AD 上取一点E ，使AE AB =，连接BE ，交O 于点F ，请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：2BAE EBD ∠=∠；（2）如果5AB =，5sin EBD ∠=，求BD 的长. 【答案】（1）见解析；（2）203BD =. 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE=2∠BAF ，再证明∠EBD=∠BAF 即可解决问题；（2）作EH ⊥BD 于H ．由sin ∠BAF=sin ∠5AB=5，推出5推出5在Rt △BEH 中，EH=BE •sin ∠EBH=2，推出22(25)24-，由EH ∥AB ，推出EH DHAB DB= ，由此即可求出DH 解决问题.【详解】解：（1）连接AF .∵AB 是O 的直径，∴AFB 90∠=︒.∵AB AE =，∴BAE 2BAF ∠∠=. ∵BD 是O 的切线，∴ABD 90∠=︒.∵BAF ABF 90∠∠+=︒，EBD ABF 90∠∠+=︒，∴BAF EBD ∠∠=. ∴BAE 2EBD ∠∠=. （2）过点E 作EH BD ⊥于H .∵BAF EBD ∠∠=.∴sin BAF sin EBD ∠∠=. 在Rt ΔABF 中， ∵AB 5=，∴BF 5=∴BE 2BF 25==在Rt ΔEBH 中，∴EH BE sin EBH 2∠=⋅=. ∴BH 4=.∵EH //AB ，∴EH DHAB DB=. ∴2DH 5DH 4=+，解得8DH 3=. ∴20BD BH HD 3=+=.【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．25.小明利用函数与不等式的关系，对形如()()()12..0n x x x x x x ---> (n 为正整数)的不等式的解法进行了探究.(1)下面是小明的探究过程，请补充完整:①对于不等式20x ->，观察函数2y x =-的图象可以得到如下表格:x 的范围2x > 2x <y 的符号+-由表格可知不等式20x ->的解集为2x >.②对于不等式()()210x x -->，观察函数()()21y x x =--的图象可得到如下表格:x 的范围2x >12x << 1x <y 的符号+-+由表格可知不等式()()210x x -->的解集为 .③对于不等式()()()2120x x x -+>-,请根据已描出的点画出函数()()()212y x x x =--+的图象;观察函数()()()212y x x x =--+的图象, 补全下面的表格:由表格可知不等式()()() 21 20x x x --+>的解集为 .小明将上述探究过程总结如下:对于解形如()()()12..0n x x x x x x ---> (n 为正整数)的不等式，先将12, n x x x ，，按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集. (2)请你参考小明的方法，解决下列问题:①不等式()()()()64220x x x x ---+>的解集为 . ②不等式()()()25340x x x --+>的解集为 .【答案】（1）②2x >或1x <；③画出函数图象见解析；补全下面的表格见解析；2,21x x >-<<；（2）①6,24,2x x x ><<<-；②5,x >4,x <-43x -<<．【解析】【分析】（1）②由表格直接写出答案；③依次连接画出图象，由表格直接写出答案；（2）①求出对应方程(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+=的解，参考小明的方法，绘制表格，由表格直接写出答案；②求出对应方程2(5)(3)(4)0x x x --+=的解，参考小明的方法，绘制表格，由表格直接写出答案；【详解】（1）②不等式(2)(1)0x x -->的解集为2x >或1x <． ③函数图象如图：补全下面的表格： x 的范围2x > 12x << 21x -<< 2x <- y 的符号+ - + -由表格可知不等式(2)(1)(2)0x x x --+>的解集为2,21x x >-<<．（2）①画出如下表格： x 的范围6x > 46x << 24x << 22x -<< 2x <- y 的符号+ - + - +∴不等式(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>的解集为6,24,2x x x ><<<-；②画出如下表格：x 的范围5x > 35x << 43x -<< 4x <- y 的符号+ - + +不等式2(5)(3)(4)0x x x --+>的解集为5,4,43x x x ><--<<．【点睛】本题考查了函数、方程与不等式之间的关系，解决此类问题关键是仔细阅读题目理清思路，做到数形结合．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），且顶点坐标为B （0，1）．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设F （t ，0）为x 轴正半轴上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线M 1．①抛物线M 1的顶点B 1的坐标为；②当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．【答案】(1) y=-x 2+1;(2)①(2t,-1);②0<t ≤22. 【解析】【分析】 (1)利用顶点式列出函数表达式，再将另一个点的坐标代入函数表达式列出一元一次方程，求出函数表达式.(2)作出图象，结合图象思考.【详解】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为B(0,1)∴设抛物线M 的函数表达式为y=ax 2+1∵抛物线M 经过点A(-1,0)∴a ×(-1)2+1=0，解得a=-1∴抛物线M 的函数表达为y=-x 2+1(2) ①由题意得，点F 为BB 1的中点∵F(t,0),设B 1的坐标为(m,n)∴2m t =,102n += ∴m=2t ，n=-1∴B 1(2t,-1).②由题意可知抛物线M 1的顶点B 1的坐标为(2t,-1)，二次项系数为1，∴抛物线M 1的函数表达式为：y=(x-2t)2-1(t>0),当抛物线M 1经过点A(-1,0)时(如下图)：∴(-1-2t)2-1=0,解得t 1=-1,t 2=0；当抛物线M 1经过点B(0,1)时(如上图)：∴(0-2t)2-1=1,解得t=22±. 结合图象分析，因为t>0，所以当抛物线M 1与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是0<t ≤22. 故答案为(1) y=-x 2+1;(2)①(2t,-1);②0<t 2. 【点睛】本题主要考查了利用顶点式求函数解析式，二次函数图象的特征，二次函数的旋转.27.如图乙，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC DAE 90∠∠==，点P 为射线BD ，CE 的交点．()1如图甲，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是______．()222BD CE BD CE ACE DBC 45BE 2AD AB ∠∠=⊥+==+①②③④ ()2若AB 4=，AD 2=，把ADE 绕点A 旋转，①当EAC 90∠=时，求PB 的长；②求旋转过程中线段PB 长的最大值．【答案】（1）①②③；（2）45PB =①或125；②PB 长的最大值是232+．【解析】【分析】（1）①由条件证明ABD ≌ACE ，就可以得到结论；②由ABD ≌ACE 就可以得出ABD ACE ∠=∠，就可以得出90BDC ∠=，进而得出结论； ③由条件知45ABC ABD DBC ∠=∠+∠=，由ABD ACE ∠=∠就可以得出结论；④BDE 为直角三角形就可以得出222BE BD DE =+，由DAE 和BAC 是等腰直角三角形就有222DE AD =，222BC AB =，就有2222BC BD CD BD =+≠就可以得出结论；（2）①分两种情形a 、如图乙1-中，当点E 在AB 上时，2BE AB AE =-=，由PEB ∽AEC ，得PB BE AC CE=，由此即可解决问题；b 、如图乙2-中，当点E 在BA 延长线上时，6BE =，解法类似； ②如图乙3-中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A 上方与A 相切时，PB 的值最大，分别求出PB即可；【详解】()1解：如图甲： ①BAC DAE 90∠∠==，BAC DAC DAE DAC ∠∠∠∠∴+=+，即BAD CAE ∠∠=，在ABD 和ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴≌()ACE SAS ，BD CE ∴=，故①正确；②ABD ≌ACE ，ABD ACE ∠∠∴=，CAB 90∠=，ABD AFB 90∠∠∴+=，ACE AFB 90∠∠∴+=．DFC AFB ∠∠=，ACE DFC 90∠∠∴+=，FDC 90∠∴=．BD CE ∴⊥，故②正确；③BAC 90∠=，AB AC =，ABC 45∠∴=，ABD DBC 45∠∠∴+=．ACE DBC 45∠∠∴+=，故③正确；④BD CE ⊥，222BE BD DE ∴=+，BAC DAE 90∠∠==，AB AC =，AD AE =，22DE 2AD ∴=，22BC 2AB =，2222BC BD CD BD =+≠，22222AB BD CD BD ∴=+≠，()222BE 2AD AB ∴≠+，故④错误；故答案为①②③；（2）①解：a 、如图2中，当点E 在AB 上时，BE AB AE 2=-=．EAC 90∠=， 22CE AE AC 25∴=+=，同()1可证ADB ≌AEC ．DBA ECA ∠∠∴=．PEB AEC ∠∠=，PEB ∴∽AEC ,，PB BE AC CE∴=， PB 425∴=， 45PB ∴=； b 、如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE 6=；EAC 90∠=，同()1可证ADB ≌AEC ．DBA ECA ∠∠∴=．BEP CEA ∠∠=， PEB ∴∽AEC ，PB BE AC CE∴=， PB 425∴=， 125PB ∴=；综上，45PB =或125； ②解：如图5中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A 上方与A 相切时，PB 的值最大；理由：此时BCE ∠最大，因此PB 最大(PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，BCE ∠最大，因此PB 最大)，AE EC ⊥，22EC AC AE 23∴=-=由()1可知，ABD ≌ACE ，ADB AEC 90∠∠∴==，BD CE 23==，ADP DAE AEP 90∠∠∠∴===，∴四边形AEPD 是矩形，PD AE 2∴==，综上所述，PB 长的最大值是232+．28.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和C ,给出如下定义:连接PC 交C 于点N ,若点P 关于点N 的对称点Q 在C 的内部，则称点P 是C 的外称点.(1)当O 的半径为1时， ①在点()()()1,12,00,4D E F --，，中，O 的外称点是；②若点(),M m n 为O 的外称点，且线段MO 交O 于点22,22G ⎛ ⎝⎭，求m 的取值范围;(2)直线y x b =-+过点()1,1A ，与x 轴交于点B .T 的圆心为(),0T t , 半径为1若线段AB 上的所有点都是T 的外称点，请直接写出t 的取值范围.【答案】(1)① ,D E ；②2322m <<(2)122t -<<3221t <<．【解析】【分析】(1) ①由外称点的定义可知：P 到圆心的距离小于3且大于1，点P 才是O 的外称点，据此可求得答案；②由点22G ⎝⎭知，点G 在一、三象限角平分线上，则点(),M m n 也在一、三象限角平分线上，根据外称点的定义，3OM <,且1OM >,由两点之间的距离公式可求得m 的取值范围;(2)根据外称点的定义，分点(0)T t ，　在点B 左侧时和右侧两种情况，线段AB 上的点离T 最远的点要小于3，离T 最近的点要大于1，画出图形，利用数形结合思想，即可解答.【详解】(1) ①由外称点的定义可知：P 到圆心的距离小于3且大于1，点P 才是O 的外称点，点D(-1，-1)，23DO =<, 点D 是O 的外称点，点E(2，0)，23EO =<, 点E 是O 的外称点，点F(0，4)，43FO =>, 点F 不是O 的外称点，故答案是：,D E ②由点22,G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭知，点G 在一、三象限角平分线上，则点(),M m n 也在一、三象限角平分线上， ∴m n =，222OM m n m =+=由外称点的定义可知：3OM <,即23m <,解得：322m < 又1OM >，则22m > ∴m 的取值范围是：232m <<. (2) ∵直线y x b =-+过点()1,1A ，代入求得：2b =,∴直线的解析式是：2y x =-+，则与x 轴交于点B 的坐标是(2，0)，与y 轴交于点C 的坐标是(0，2)，∴COB ⊿为等腰直角三角形，当点(0)T t ，　在点B 左侧时，如图1，离T 最远的点为点B ，依题意：3TB <，∴1t >-，当T 与线段AB 相切时，切点离T 为最近，如图2：作TD AB ⊥于D ，∴TDB ⊿为等腰直角三角形，1TD =∴2TB =，则22OT =-，∴依题意：22t <-故当点(0)T t ，　在点B 左侧时，122t -<<-；当点(0)T t ，　在点B 右侧时，如图3，离T 最近的点为点B ，依题意：1TB >，∴3t >，离T 最远的点为点A ，如图4，依题意：3TA <，由两点之间距离公式：()222119TA t =-+<，解得：221t <+(因为T 在Ｂ右侧，221t <--舍去)故当点(0)T t ，　在点B 右侧时，3221t <<-- 综上所述，答案是：122t -<<-或3221t <<--【点睛】本题考查圆和一次函数的综合问题，解题的关键是根据外称点的定义，得出点P 与圆心T 的距离范围，综合程度较高，需要学生认真理解题意，借助图形，分类讨论，做到数形结合.。

2019-2020学年北京第四中学初三上册期中考试试卷数学.doc

数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的．#1．已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒【答案】A【解析】1sin2A=，则锐角A的度数30︒．#2．二次函数2(+1)2y x=--的最大值是（）．A．2-B．1-C．1D．2【答案】A【解析】二次函数2(+1)2y x=--的最大值是2-．#3．如图，在ABC△中，DE BC∥，:1:2AD DB=，若2DE=，则BC等于（）．A．4B．6C．12D．18【答案】B【解析】∵DE BC∥，∴13 DE AD ADBC AB AD DB===+，∴36BC DE==．#4．把抛物线21y x=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）．A．()231y x=+-B．()233y x=++C．()231y x=--D．()233y x=-+【答案】C【解析】抛物线21y x=+向右平移3个单位得2(3)1y x=-+，再向下平移2个单位得2(3)1y x =--．#5．如图，在ABC △中，D 为AC 边上一点，若DBC A ∠=∠，6BC =，3AC =，则CD 的长为（）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】C【解析】∵在ABC △中，D 为AC 边上一点，DBC A ∠=∠，C C ∠=∠， ∴BCD ACB ∽△△，BC 与AC 是对应边，CD 与BC 是对应边， ∵6BC =，3AC =， ∴BCD △与ACB △的相似比是63，623CD BC ==．#6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，CD AB ⊥于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）．A ．512B ．513C ．1213D ．125【答案】B【解析】由图知90BCD B A B ∠+∠=∠+∠=︒， ∴BCD A ∠=∠，在Rt ABC △中，由勾股定理得：2213AB AC BC =+=． ∴5sin sin 13BC BCD A AB ∠=∠==．#7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将BCE △绕点C 旋转得到ACD △，则cos ABC ∠的值等于（）．A ．33 B ．12 C ．13D ．1010 【答案】D【解析】过点C 作CF AB ⊥于点F ，由旋转的性质知AC BC =， ∴BF AF =．由勾股定理知2AB =，22125BC =+=．∴2102cos 105BF ABC BC ∠===．#8．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列结论：①0a <，0b <②20a b ->③0a b c ++>④0a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）．A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④【答案】C【解析】函数开口向下，∴0a <；对称轴在y 轴右侧，∴02ba->，∴0b >， ∴20a b -<；当1x =，0y a b c =++>；当1x =-时，0y a b c =-+<；当1x >时，y 随x 的增大而减小．故③④⑤正确．#9．若抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点是点M ，直线2y x =+与坐标轴分别交于点A 、B 两点，则ABM △的面积等于（）．A ．6B ．3C ．52D ．32 【答案】B【解析】抛物线2221y x mx m m =-++-的顶点M 坐标为(,1)m m -，即M 点在直线1y x =-，直线2y x =+与坐标轴交点为(0,2)和(2,0)-， ∵直线1y x =-与2y x =+平行，∴ABM △底边AB 上的高等于平行线间距离，由图知1132223222ABM S AB BD =⋅=⨯⨯=△．#10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点P '是点P 关于BD 的对称点，PP '交BD 于点M ，若BM x =，OPP '△的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）．【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD DA ===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥，①当4BM ≤时，∵点P '与点P 关于BD 对称， ∴P P BD '⊥， ∴P P AC '∥， ∴P BP CBA '∽△△，∴PP BM AC OB '=，即64PP x'=，∴32PP x '=，xyxyxyxyOOOODAB C 483333848448∵4OM x =-，∴OPP '△的面积21133(4)32224y PP OM x x x x '=⋅=⨯-=-+．∴y 与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)．②当4BM ≥时，y 与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，过(4,0)和(8,0)；综上所述：y 与x 之间的函数图象大致为．二、填空题（本题共18分，每小题3分）#11．如果23a b b -=，那么ab=________．【答案】53【解析】23a b b -=，则332a b b -=，∴53a b =，∴53a b =．#12．已知抛物线225y x x =-+经过两点1(2,)A y -和2(3,)B y ，则1y 与2y 的大小关系是________．【答案】12y y >【解析】抛物线225y x x =-+对称轴为直线212x -=-=，开口向上， ∵A 点离对称轴更远， ∴12y y >．#13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_________m ．【答案】24【解析】设这栋建筑物的高度为m x ，由题意得，2112x=．解得24x =．∴这栋建筑物的高度约为24m ．#14．已知在ABC △中，3tan 4A =，5AB =，4BC =，那么AC的长等于_________．【答案】47±【解析】如图，在ABC △中，过点C 作CD AB ⊥于点D ． ∴3tan 4DC A AD ==，设3DC x =，4AD x =，则225AC AD CD x =+=，54BD AD AD x =-=-，在Rt BDC △中，222BC BD CD =+，即2216(54)(3)x x =-+，整理得：22216251640925409x x x x x =+-+=-+．解得475x ±=， ∴547AC x ==±．#15．若关于x 的一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是__________．【答案】31t -<≤【解析】令241y x x t =-+-， ∴函数对称轴为直线422x -=-=．一元二次方程2410x x t -+-=（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则22421010t t ⎧-⨯+-⎨->⎩≤，解得31t -<≤．#16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值__________．（2）当AE AF +的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF ．【答案】（1）5612+．（2）取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF即为所求．【解析】（1）根据勾股定理可得：22435DB =+=，D CE FD C因为52BE DF ==，所以可得12.52AF BD ==，根据勾股定理可得：22613 2.52AE =+=，所以615612.522AE AF ++=+=，故答案为：5612+．（2）如图，首先确定E 点，要使AE AF +最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H 使HBC ADB ∠=∠，其次需要构造长度BP 使4BP AD ==，根据勾股定理可知22345BH =+=，结合相似三角形选出格点K ，根据14HK HP BC BP ==，得445455BP BH DA ==⨯==，易证ADF △≌PBE △，因此可得到PE AF =，线段AP 即为所求的AE AF +的最小值；同理可确定F 点，因为AB BC ⊥，因此首先确定格点M 使DM DB ⊥，其次确定格点G 使3DG AB ==，此时需要先确定格点N ，同样根据相似三角形性质得到23NM MG DC DG ==，得335355DG DM ==⨯=，易证DFG △≌BEA △，因此可得到AE GF =，故线段AG 即为所求的AE AF +的最小值．故答案为：取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ，连接AP ，与BC 相交，得点E ，取格点M ，N 连接DM ，CN ，相交于点G ，连接AG ，与BD 相交，得点F ，线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）#17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．【答案】12【解析】23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭1332=+- 12=．#18．如图，在ABC △和CDE △中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．【答案】1CD =【解析】∵在ABC △中，90B ∠=︒， ∴90A ACB ∠+∠=︒． ∵AC CE ⊥，∴90ACB ECD ∠+∠=︒． ∴A ECD ∠=∠．∵在ABC △和CDE △中，A ECD ∠=∠，90?B D ∠=∠=， ∴ABC CDE ∽△△． ∴AB BCCD DE=． ∵3AB =，2DE =，6BC =， ∴1CD =．#19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，3DC =，3AC =．（1）求B ∠的度数．（2）求AB 及BC 的长．【答案】（1）30B ∠=︒．（2）6AB =，33BC =．【解析】（1）∵在ACD △中，90C ∠=︒，3CD =，3AC =， ∴3tan 3CD DAC AC∠==．∴30DAC ∠=︒．∵AD 平分BAC ∠，∴260BAC DAC ∠=∠=︒． ∴30B ∠=︒．（2）∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =， ∴26AB AC ==．333tan 33AC BC B===．#20．已知：二次函数m (1)(3)y a x x =--中的x 和y 满足下表： 243y x x =-+… 0 12 3 4 5 … 03x << …3 0 1-1-8…（1）可求得3y <的值为_________．（2）求出这个二次函数的解析式．（3）当3y >时，x 的取值范围为．【答案】（1）3．（2）243y x x =-+．（3）0x <或4x >．【解析】（1）3y <的值为3．（2）二次函数为2(2)1y a x =--， ∵过点(3,0)， ∴1a =，243y x x =-+．（3）当3y >时，x 的取值范围为0x <或4x >．#21．如图，ABC △各顶点的坐标分别为(1,2)A ，(2,1)B ，(4,3)C ，在第一象限内，以原点为位似中心，画出ABC △的位似图形111A B C △，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点1C 坐标．xy1234567891012345678910CABo【答案】(8,6)．【解析】1C 坐标(8,6)．xy1234567891012345678910A'B'C'C ABo#22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30︒的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60︒．求山高CD ．【答案】477.12CD ≈（米）．【解析】过C 作CE AD ∥，作BF CD ⊥，BE AD '⊥．在Rt CBF △中，易得：sin601603CF BC =⨯︒=，在Rt ABE '△中，易得：sin30200BE AB '=⨯︒=，故山高1603200477.12CD =+≈（米）．#23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？【答案】房间定价为350元时，利润最大．【解析】设房价为（18010x +）元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，22(18010)(50)(50)2010340800010(17)10890y x x x x x x =+---⨯=-++=--+．故可得当17x =，即房间定价为180170350+=元的时候利润最大．答：房间定价为350元时，利润最大．#24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC △内，90CAE CBE ∠+∠=︒．（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ．（i ）求证：CAE CBF ∽△△．（ii ）若1BE =，2AE =，求CE 的长．（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EFk BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，则k 的值等于_________．【答案】（1）（）证明见解析．（ii ）6CE =．（2）104．【解析】（1）（i ）∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形， ∴::2AC BC CE CF ==， ∴45ACB ECF ∠=∠=︒， ∴ACE BCF ∠=∠， ∴CAE CBF ∽△△．（ii ）∵CAE CBF ∽△△，∴CAE CBF ∠=∠，::AE BF AC BC =，又∵90CAE CBE ∠+∠=︒， ∴90CBF CBE ∠+∠=︒， ∴90EBF ∠=︒，又∵::2AE BF AC BC ==，2AE =， ∴22BF =， ∴2BF =，∴2223EF BE BF =+=， ∴2226CE EF ==， ∴6CE =．（2）104．#25．抛物线顶点坐标为点(1,4)C ，交x 轴于点(3,0)A ，交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式．（2）设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出ABP △面积的最大值．（3）设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使ABQ S m =△，则m 的值等于__________．【答案】（1）223y x x =-++．（2）当32x =时，ABP △面积的最大值是278．（3）278．【解析】26．有这样一个问题：探究函数11y x x =+-的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数11y x x =+-的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）函数11y x x =+-的自变量x 的取值范围是_______．（2）下表是y 与x 的几组对应值x… 3-1-12 34 54 32 2 34… y …134- 32- 1-32- 134- 21472372m…求m 的值．（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2,3)，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________．【答案】（1）1x ≠；（2）133m =；（3）（4）增减性，对称性，最值等【解析】（1）1x ≠．（2）由表格知当0x =时，1y =-． ∴可以设该函数为21y ax bx =+-，代入点3(1,)2--和(2,3)．得3124213a b a b ⎧--=-⎪⎨⎪+-=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴该函数为2112y x x =+-．∴当4x =，21441112y =⨯+-=．xy–1–2–3–4–5123456123456–1–2–3–4–5o【解析】27．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =+交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标．（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标．（3）若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （1,2），B （-3,2）；（2）221y x x =+-，顶点（-1，-2）；（3）229a ≤<．#28．如图1，ABC △为等腰直角三角形，90C ∠=︒，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒︒≤≤）得到线段AQ ．@（1）直接写出APPF的值为___________．【答案】2【解析】连接EF ，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =，∴EFP BAP ∽△△， ∴2AP AB PF EF==． @（2）如图2，当180α=︒时，延长BE 到D 使得ED BE =，连接QD ，证明QD BD ⊥．【答案】证明见解析．【解析】如图，作AH BD ⊥于H ，设2AB BC a ==，则5BE AF a ==，在AHE △和BCE △中，90AHE C AEH BEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∴AHE BCE ∽△△， ∴EH AE CE BE =，即5EF a a a=， ∴55EH a =，∴185315PH PE EF BE EH a =+=+=，453PD PE DE a =+=．∴852155453PH PD ==，又25PA PD =， ∴在PAH △和PQD △中，QPD APE PA PHPD PD∠=∠⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴PAH PQD ∽△△，∴90PDQ PHA ∠=∠=︒， ∴QD BD ⊥．@（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当AM P △为等腰三角形时，AM P △的底角正切值为___________．【答案】34或，13或3．【解析】①当AM AP =时，此时APE ∠为等腰三角形AM P △的底角，如图所示，作EI AP ⊥于I ，依然设2AC BC a ==，设PI xa =，则25()3AI AP PI x a =-=-，则AE a =，53PE a =，在Rt AEI △和Rt PEI △中，由勾股定理知：22222EI AE AI PE PI =-=-，即22222255()()()33a x a a xa --=-，解得4515x =， ∴55EI =，∴3tan 4EI APE PI ∠==． ②如图，当AM PM =时，此时APE ∠仍为APM △的底角，由①知3tan 4EI APE PI ∠==． ③当PM PA =时，当M 不与B 点重合时，如图，此时为M '，作AH BM '⊥，由（2）知55EH a =， ∴2515M H PM PH a ''=-=， 222255AH AP PH a =-=， ∴tan 3AHAM H M H'∠=='．当M 与B 点重合时，如图，此时为M ''，作PN AB ⊥于点N ，则2223PN PB BN a =-=， ∴1tan 3PN PM N NB ''∠==．综上所述，AM P △的底角正切值为34或，13或3．#29．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么我们称抛物线1C 与2C 关联．（1）已知抛物线①221y x x =+-，判断下列抛物线②221y x x =-++、抛物线③221y x x =++与已知抛物线①是否关联．（2）抛物线211:(9)68C y x =-++，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线绕点(,2)P t 旋转180︒得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式．（3）A 为抛物线()211:968C y x =-++的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线的顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC △，使其直角顶点C 在直线10x =-上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）②．（2）2211(1)2,(17)288y x y x =+-=+-．（3）(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．【解析】（1）∵①抛物线2221(1)2y x x x =+-=+-的顶点坐标为(1,2)M --，∴②当1x =-时，2211212y x x =-++=--+=-， ∴点M 在抛物线②上；∵③当1x =-时，2211210y x x =++=-+=， ∴点M 不在抛物线③上；∴抛物线①与抛物线②有关联；∵抛物线②2221(1)2y x x x =-++=--+，其顶点坐标为(1,2)，经验算：(1,2)在抛物线①上， ∴抛物线①、②是关联的．（2）抛物线1C ：21(9)28y x =-+-的顶点M 的坐标为(9,6)-，∵动点P 的坐标为(,2)t ， ∴点P 在直线2y =上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E ，F ，则4ME NF ==， ∴点N 的纵坐标为2-，当2y =-时，21(9)628x +-+=-，解得：117x =-，21x =-，①设抛物2C 的解析式为：2(17)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上， ∴26(9)217a =-+-，∴18a =．∴抛物线2C 的解析式为：21()8217y x =+-；②设抛物2C 的解析式为：2(1)2y a x =+-， ∵点(9,6)M -在抛物线2C 上，∴26(1)29a =-+-，∴18a = ．∴抛物线2C 的解析式为：21()821y x =+-．（3）点C 在y 轴上的一动点，以AC 为腰作等腰直角ABC △，令C 的坐标为(0,)c ，则点B 的坐标分两类：①当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B 点，过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为H ，F ，则BCF △≌CAH △，∴1CF AH ==，6BF CH c ==-，点B 的坐标为(4,1)c c ---，当点B 在抛物线211:(9)68y x C =-++上时，211(49)68c c -=---++，解得：142c =+或142c =-．②当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B '点，过点B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得：点B '的坐标为(16,1)c c -++，当点B '在抛物线1C ：21(9)68y x =-++上时，211(169)68c c +=--+++，解得：3c =．综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C 点的坐标分别为：(10,3)C -，(10,142)-+，(10,142)--．参考答案一、选择：题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD二、填空：16．（Ⅰ）5612+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．题号 111213 1415 16答案5312y y ＞2447±31t -≤<5612+。

北京四中20192020学年初三上开学测试数学试题及

北京四中 2019-2020 学年初三上开学测试数学试题及答案（考试时间为 100 分钟，试卷满分为120 分）班级学号 _________ 姓名分数________A 卷（共 100 分）一、选择题（此题共 24 分，每题 3 分）1. 以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（） .A． 2 , 3 ,2B．6,8,10C．4,5,6D．5,10,12B2. 在□ABCD 中，假如∠ A+∠C＝140°，那么∠ C 等于（）.A. 20 °B. 40C°. 60 D.°70°D3．用配方法解方程x24x 20 ，以下变形正确的选项是（）.A． ( x 2) 22B． (x 4)22C． ( x 2) 20D． (x 4) 21A4.由下边条件不可以判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( ).．．A．AB∥CD， AD=BC B． AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD， AD∥ BC D．AB=CD，AD=BCA5.如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上， BD=AB， BM⊥AD 于点 M，N 是 AC 的中点，连结 MN，若 AB=5，BC=8，则 MN 的长为 ().AA．6B．3C．D．1M NC6. 某排球队 12 名队员的年纪状况以下：B DC年纪（单位：岁）181920212223人数234111则这 12 名队员年纪的众数和中位数是 ().，20， 20，，B7．如图，△ABC 为等腰三角形，假如把它沿底边BC 翻B A折后，获得△DBC，那么四边形 ABDC 为 ( ).A．一般平行四边形B．正方形C C．矩形D．菱形DD8.已知，一次函数 y kx b 的图象如右，以下结论正确的选项是（）.A. k 0，b 0B.k 0， b 0y y kx bC. k 0，b 0D. k 0，b 0B O x二、填空题（此题共25 分，第 9～ 15 题每题3 分，第 16 题 4 分）9．一元二次方程x22x 0 的根是.0,210.已知菱形的两条对角线长分别是10 和 12，则菱形的面积是.6011．如图，在四边形ABCD 中， AB=BC，∠ ABC=∠ CDA=90°， BE⊥ AD 于点B E，假如四边形 ABCD 的面积为 8，那么 BE 的长为.A E 2212.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的长为 6，∠ AOD=120°，则 AB 的长为. 3A DOB C13.受冷空气影响，今年我市入春时间晚于常年，据气象部门观察， 4 月 1 日到4 月5 日这五天，每日的均匀气温（单位：℃）挨次为：10，9，10， 8，C D8，数据的方差.14.如，在矩形 ABCD 中， E 是 DC 上一点， AE=AB， AB=2AD，∠ EBC 的度数是．15°15．已知整数 x 足 y1=x+ 1， y2= -2x+ 4,随意一个 x，m 都取 y1、y2中的最大， m 的最小是．216.在平面直角坐系 xOy 中 , 正方形 A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2, ⋯,按右所示的方式搁置 . 点 A1、A2、A3, ⋯和 B1、B2、B3, ⋯分在直 y=kx+b 和 x 上 . 已知 C1(1, -1),273),点 3 的坐是;C (,A2 2点A n的坐是.y y=kx+bA3A1A2O B1B2B3x C1 C 2C3( 29,9); 5 (3) n 1 4, (3)n 1 4422三、解答题（此题共31 分，第17 题 5 分，第 18～ 20 题每题 6 分，第 21 题 8 分）17.解方程 x 2 6x 2 0 .解： x26x 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x26x32232x 3 211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x311⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分x311∴ x1 3 11 ， x2311 ．⋯⋯⋯⋯5分A F D18. 已知：如，点 E，F 分□ABCD 的 BC，2AD 上的点，且1 2 .1C 求： AE=CF .B E明：∵□ABCD∴AB=CD，∠B=∠D-----------------------------------2分在△ ABE 和△ DCF 中B D1 2AB CD∴△ ABE△ DCF ∴AE=CF -----------------------------------5分-----------------------------------6分25m140 ，求m 1 2m 1219. 已知m m 1 1的．解： m 1 2m 1m121= 2m2m2m1(m22m1)1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分=2m2m2m1m22m 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分=m25m 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分当m2 5m 14 ，原式 = ( m2 5m) 1 14 1 15 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分20．如，在平面直角坐系4xOy 中，直y x 83与x ，y分交于点A，点B，点D在y的半上，若将△ DAB沿直 AD 折叠，点 B 恰巧落在x正半上的点 C .(1)求 AB 的和点 C 的坐；(2)求直 CD 的分析式．解： (1)依据意得A(6,0)，B(0,8) .在Rt△OAB 中， AOB=90 ， OA=6，OB=8，∴AB62 82 10 .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分∵ △DAB 沿直 AD 折叠后的三角形△DAC，∴AC=AB= 10.∴OC OA AC OA AB 16 .∵点 C 在x的正半上，∴点 C 的坐C(16,0) .﹍﹍﹍﹍﹍ 2 分(2)点 D 的坐 D (0, y) .（ y<0）由意可知 CD=BD ，CD2BD2.由勾股定理得 162y 2(8y) 2.解得 y 12 .∴点 D 的坐 D (0,12).﹍﹍﹍﹍﹍ 4 分可直 CD 的分析式y kx12 .（k0）∵点 C (16,0) 在直 y kx12上，∴16k 12 0 .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分解得 k 3 .43∴直 CD 的分析式y.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分x 12421.已知△ ABC 的两AB 、AC的分是关于x的一元二次方程x2(2k 3)x k 23k 2 0的两个数根，第三BC 的 5.（1）当k何，△ABC是直角三角形；（2）当k何，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周 .解：（ 1）解方程 x2(2k 3)x k 23k 2 0 ，∵ 1 ，∴无 k 取何，方程均有数根x1k1， x2k 2 .⋯⋯⋯ 2 分不如 AB k1， AC k 2∵第三 BC 5 ，∴当△ ABC 直角三角形，分两种状况：①当 BC5是斜，有 AB 2AC 2BC 2，即 (k1)2( k2)225 。

北京四中2022-2023学年度第一学期初三年级12月数学月考试卷

数学练习一．选择题（共16分，每小题2分）1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A. B.C. D.2. 二次函数2(1)+3 y x 的最大值是（）．A .-3B .-1C .1D .33. 点1(1)A y ,，2(3)B y ,是反比例函数6y x图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A .12y yB .12y yC .12y yD .不能确定 4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB 140°，那么∠ACB 的度数为（）． A ．55B ．70C ．110D ．1405. 根据图中圆规作图的痕迹，只用直尺可成功找到三角形内心的是（）．A.B.C.D.6. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不正确的是（）．班级 __________ 姓名 ___________ 学号 ___________7. 一次函数1(0)y ax b a 与反比例函数2(0)ky k x在同一平面直角坐标系xOy 中的图象如图所示，当12y y 时，x 的取值范围是（）．A ．13xB ．1x 或03xC ．1x 或3xD ．10x 或3x（第7题图）（第8题图）8. 如图，抛物线2119y x与x 轴交于A ，B 两点，D 是以点C （0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接OE ，BD ，则线段 OE 的最小值是（）． A ．2B.2 C. 52D. 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若25(0)y x xy ，则x y．10. 请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点(02),的抛物线的表达式：． 11. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23DB AD ，则△ADE 与△ABC 的面积之比为．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点()P x y ,与点(22)A ,在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形 ODPC 的面积等于．（第11题图）（第12题图）（第13题图）13. 如图等边ABC △内接于⊙O ，若⊙O 的半径为1，则阴影部分的面积为．(3, 1)14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边BC ）长为8步，股（长直角边AC ）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径．．为步．（第14题图）（第15题图）15. 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2m ，它的影子BC=1.5m ，木杆PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM =1.2m ，MN=0.8m ，则木杆PQ 的长度为 m ． 16. 已知双曲线5y x与直线y kx b 交于点11A x y （,），22B x y （,）．（1）若120x x ，则12y y ；（2）若120x x ＞时，120y y ，则k 0，b 0（填“>”、“=”或“<”）．三、解答题（本题共68分） 17. （6分）解下列方程：（1）230x x ；（2）23510x x ．18. （5分）如图，BO 是ABC 的角平分线，延长BO 至D 使得BC CD ．（1）求证：AOB COD ∽；（2）若2AB ，4BC ，1OA ，求OC 长．19. （4分）如图，舞台地面上有一段以点O 为圆心的 AB ，某同学要站在 AB 的中点C 的位置上．于是他想：只要从点O 出发，沿着与弦AB 垂直的方向走到 AB 上，就能找到 AB 的中点C ．老师肯定了他的想法．（1）尺规作图：请按照这位同学的想法，在图中作出点C ；（2）这位同学确定点C 为 AB 的中点的依据是．20. （4分）如图，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为(26)(42)(62)(64)A B C D ,,,,,,,，（1）以原点O 为位似中心，在第一象限内，画出四边形ABCD 的位似图形1111A B C D ，使得对应边长变为原来的12；（2）请分别写出点A 1和B 1的坐标：A 1 ，B 1__________．21. （6分）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k ① 有两个实数根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）从因式分解法可知，方程①也可转化为(x −x )(x −x )=0②．把方程②的左边展开化成一般形式后，可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系：x +x = ，x ∙x = ；（用含k 的式子表示）（3）是否存在实数k ，使得22121216x x x x 成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．22. （6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x +2与函数xky =（k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，a ）．（1）求a 和k 的值；（2）已知点P （m ，0），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y ＝x +2于点C ，交函数xky =（k ≠0）的图象于点D ．①当m ＝2时，求线段CD 的长；②若PC ＜PD ，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．23. （5分）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一喷水管OA ，OA =0.5米，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上．已知在与池中心O 点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．（1）求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m ，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m 处达到最高，则喷水管OA 要升高多少？24. （6分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AC 是对角线．过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点E ．（1）求证：∠CED =∠BAC ；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若DE ∥AC ，AB =6，AD =3，求AF 的长．25. （6分）小岩根据学习函数的经验，对函数62y x的图象与性质进行探究．下面是小岩的探究过程，请补充完整：（1）函数62y x的自变量x 的取值范围是；（2）取几组y 与x 的对应值，填写在下表中：则m 的值为；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）获得性质．解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数62y x 的图象是轴对称图形，它的对称轴是；②过点P （1，n ）（0＜n ＜6）作直线l ∥x 轴，与函数62y x的图象交于点M ，N (点M 在点N 的左侧)，则PN PM 的值为．26. （6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)在抛物线23(0)y ax bx a 上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m ，当121m x m 时，y 的取值范围是26y ，求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，当11n x n 时，若函数值y 的最大与最小值的差不超过4，直接写出n 的取值范围．27. （7分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，AB△ABC 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A 'BC '，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α＝ °，AA '＝；（2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A 'D 的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．图1图228.（7分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的近邻点．（1）当⊙O的半径为3时，①在点P1（1，0），P2（1，P3（72，0）中，⊙O的近邻点是；②点P在直线y=x上，若P为⊙O的近邻点，求点P的横坐标x 的取值范围；（2）⊙C的圆心为C（t，0)，半径为3，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的近邻点，直接写出t的取值范围．。

北京市西城区第四中学2020届高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析

北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科数学试卷一、选择题1.tan 690的值为（）A.B.C. 3-D. 【答案】C 【解析】试题分析：因-故应选C. 考点：诱导公式及运用.2.设数列{a n }是等差数列，若a 3+a 4+a 5＝12，则a 1+a 2+…+a 7＝（） A. 14 B. 21C. 28D. 35【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列性质得到44a =，再计算12747a a a a ++⋯+=得到答案. 【详解】数列{a n }是等差数列，则345443142a a a a a ==+∴=+；1247728a a a a =⋯+=++故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用. 3.设R α∈，则“sin cos αα=”是“sin21α=”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】sin cos αα=，得4k παπ=+，得sin2α=1 成立；若sin21α=，得4k παπ=+，得sin cos .αα=，即可判断【详解】若sin cos αα=，则tan 1,4k πααπ==+ ，得s i nα=si n 2s i n 142k πππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭成立；反之，若sin21，则α=2224k k ππαπαπ=+∴=+，得s i n c o s s in c o s ?“s i n 21?.ααααα===，故是的充分必要条件故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“sin cos αα=”推出“sin21α=”. 4.定义：a b ad bc c d=-，若复数z 满足112z i i i=+-，则z 等于（）A. 1+iB. 1﹣iC. 3+iD. 3﹣i【答案】B 【解析】【分析】根据定义得到1z zi i i i=+-，代入数据化简得到答案. 【详解】根据题意知：11121z izi i i z i i ii+=+=+∴==-- 故选：B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 5.已知集合{}512,,1,1M x x x R P x x Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则MP 等于（）A. {}03,x x x Z <≤∈ B. {}03,x x x Z ≤≤∈ C. {}10,x x x Z -≤≤∈ D. {}10,x x x Z -≤<∈【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得M P ．【详解】集合{}12,M x x x R =-≤∈解绝对值不等式12x -≤,可得{}13M x x =-≤≤ 集合51,1P xx Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭解分式不等式51,1x Z x ≥∈+,可得{}14,P x x x Z =-<≤∈ 则{}{}{}1314,03,M P x x x x x Z x x x Z ⋂=-≤≤⋂-<≤∈=≤≤∈ 故选:B【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题． 6.在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于（） A. 原点对称 B. x 轴对称 C. y 轴对称 D. 直线y=x 对称【答案】C 【解析】因为1()2()xg x f x -==-，所以两个函数的图象关于y 轴对称，故选C ．7.函数112ln x y +-=（）在点P （2，k ）处的切线是（）A. x ﹣2y ＝0B. x ﹣y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣1＝0D. 2x ﹣2y﹣3＝0 【答案】C 【解析】【分析】求导得到()1'21y x =-，当2x =时，11,'22y y ==，计算得到切线方程.【详解】()1ln 11'221x y y x +-=∴=-（），当2x =时，11,'22y y ==。

2019-2020学年北京人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)--含详细解析

2019-2020学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.方程x2−x=0的解是()A. x=0B. x=1C. x1=0，x2=−1D. x1=0，x2=13.有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形．在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色．为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的，则下列各图中涂色方案正确的是()概率为23A. B. C. D.4.下列关于二次函数y=2x2的说法正确的是()A. 它的图象经过点(−1,−2)B. 当x<0时，y随x的增大而减小C. 它的图象的对称轴是直线x=2D. 当x=0时，y有最大值为05.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2)，B(2,0)，D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是(),5) C. (3,5) D. (3,6)A. (2,5)B. (527.如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在()A. 点A与点B之间靠近A点B. 点A与点B之间靠近B点C. 点B与点C之间靠近B点D. 点B与点C之间靠近C点8.如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：(1)分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；AC长为半径作弧，两(2)分别以A，C为圆心，大于12弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；(3)连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC//OD；③CE=OE；④AD2=OD⋅CE；所有正确结论的序号是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE//BC，若10.如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为______．11.已知反比例函数y=m−2x，当x>0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．12.若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是______．13.小宇调查了初一年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如频数分布表：若要从每个班级中选取10名身高在160cm和170cm之间同学参加学校的广播操展示，不考虑其他因素的影响，则______(填“1班”，“2班”或“3班”)的可供挑选的空间最大．身高/厘米频数班级150≤x<155155≤x<160160≤x<165165≤x<170170≤x<175合计1班181214540 2班1015103240 3班51010874014.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为______．15.为测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.6米，到旗杆的水平距离DC=18米，按此方法，可计算出旗杆的高度为______米．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，记x=AC，y=BC−AC，在平面直角坐标系xOy中，定义(x,y)为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点(x,y)对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点(x,y)对应的直角三角形均满足AB=√2BC；(x>0)的图象上存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形②在函数y=2019x相似；③对于函y=(x−2020)2−1(x>0)的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y=−2x+2020(x>0)的图象上存在无数对点P，Q(P与Q不重合)，使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．(1)求证：∠F=∠BAC；(2)若DF//AC，若AB=8，CF=2，求AC的长．四、解答题（本大题共11小题，共88.0分）18.解方程：x2−2x=2(x+1)．19.如图，已知∠B=∠C=90°，点E在BC上，且满足AB=4，BE=2，CE=6，CD=3，求证：AE⊥DE．20.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)用配方法将y=x2−4x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；(3)当0≤x≤3时，y的取值范围是______．21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC=2，AC=2√2(1)求点O到AC的距离；(2)求∠ADC的度数．22.某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000m3，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方vm3，共计t 天运输完成．(1)请直接写出v关于t的函数关系式；(2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？x2+bx+c=023.已知关于x的一元二次方程14(1)c=2b−1时，求证：方程一定有两个实数根．(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．求b、c的值使方程14(x>0)的24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数y=mx 图象交于点A(3,2)．(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t(t>0)个单位后，所得直线与x轴，y轴分别交于点P，(x>0)的图象交于点C．Q，与函数y=mx①当t=2时，求线段QC的长．<3，结合函数图象，直接写出t的取值范围．②若2<QCPQ25.如图，在弧AB和弦AB所组成的图形中，P是弦AB上一动点，过点P作弦AB的垂线，交弧AB于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小宇根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cmx/cm0123456y1/cm0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.240y2/cm0 2.45 3.46 4.24______ 5.486(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为______26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2ax+a2−a+4的顶点为A，点B，C为直线y=3上的两个动点(点B在点C的左侧)，且BC=3．(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若△ABC是以BC为直角边的等腰直角三角形，求抛物线的解析式；(3)过点A作x轴的垂线，交直线y=3于点D，点D恰好是线段BC三等分点且满足BC=3BD，若抛物线与线段BC只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点C关于直线AB的对称点为D，连接BD，CD，过点B作BE//AC交直线AD于点E．(1)依题意补全图形；(2)找出一个图中与△CDB相似的三角形，并证明；(3)延长BD交直线AC于点F，过点F作FH//AE交直线BE于点H，请补全图形，猜想BC，CF，BH之间的数量关系并证明．28.新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G的叫⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．(1)已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y=2x+2；②直线y=−x+3；③双曲线y=2，是⊙O的关联图形的是x______(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T的圆心为T(1,0)，半径为1，直线l：y=−x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B(0,2)，C(2,0)，D(0,−2)，⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x=6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】解：x(x−1)=0，x=0或x−1=0，所以x1=0，x2=1．故选：D．先把方程左边分解，这样把原方程化为x=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．3.【答案】C，故选项错误；【解析】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6=13B、指针指向灰色的概率为3÷6=1，故选项错误；2C、指针指向灰色的概率为4÷6=2，故选项正确；3D、指针指向灰色的概率为5÷6=5，故选项错误．6故选：C．指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．4.【答案】B【解析】解：二次函数y =2x 2，当x =−1时，y =2，故它的图象不经过点(−1,−2)，故A 选项不合题意；当x <0时，y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；它的图象的对称轴是直线 y 轴，故C 选项不合题意；当x =0时，y 有最小值为0，故D 选项不合题意；故选：B ．直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴ABA′B′=ADA′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49，故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k.利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2,0)，D(5,0)，∴OBOD =25，∵A(1,2)，∴C(52,5)．故选B．7.【答案】C【解析】解：如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选：C．画出图象，利用图象法即可解决问题；本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．8.【答案】D【解析】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠AOD=12∠AOC=45°，∵OB=OC，∴∠OBC=45°，∴∠AOD=∠OBC=45°，∴OD//BC，故②正确，∴ODBC =OEEC<1，∴OE<EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE=∠DCO，∠CDE=∠COD=45°，∴△DCE∽△OCD，∴CDOC =CECD，∴CD2=OD⋅CE，∵∠AOD=∠DOC，∴AD⏜=CD⏜，∴AD=CD，∴AD2=OD⋅CE，故④正确，故选：D．由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】2.5【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AD：AB，∵AD=2，DB=3，∴AB=AD+BD=5，∴1：BC=2：5，∴BC=2.5，故答案为：2.5．首先由DE//BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．10.【答案】135°【解析】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，∴∠AOC为旋转角，∵∠AOB=45°，∴∠AOC=135°，即旋转角为135°．故答案为：135°．利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB=45°得到∠AOC的度数即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11.【答案】m>2【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m−2>0是解题的关键．，当x>0时，y随x增大而减小，可得出m−2>0，解之即可根据反比例函数y=m−2x得出m的取值范围．【解答】，当x>0时，y随x增大而减小，解：∵反比例函数y=m−2x∴m−2>0，解得：m>2．故答案为m>2．12.【答案】3π=3π，【解析】解：扇形的面积=120⋅⋅π⋅32360故答案为3π．利用扇形的面积公式计算即可．．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式S=nπr236013.【答案】1班【解析】解：身高在160cm和170cm之间同学人数：一班26人，二班13人，三班18人，因此可挑选空间最大的是一班，故答案为：1班．根据各个班身高在160cm和170cm之间同学的人数，进行判断即可．考查频数分布表的表示方法，从表格中获取数据和数据之间的关系是正确判断的前提．14.【答案】2【解析】解：∵函数y=2x(x>0)的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC=S△OBD=12×2=1，∴S△OAC+S△OBD=1+1=2．故答案为2．根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=12×2=1，再相加即可．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于12|k|．15.【答案】10.6【解析】解：∵CD⊥AB，△DEF为直角三角形，∴∠DEF=∠ACD，∵∠ADC=∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴DECD =EFAC，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DC=18米，∴0.518=0.25AC，∴AC=9米，∵DG=1.6米，∴BC=1.6米，∴AB=10.6米，故答案为：10.6．根据题意证出△ACD∽△FED，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．16.【答案】①③④【解析】解：①∵在x轴正半轴上的任意点(x,y)，∴y=0，∴AC=BC，∴AB=√2BC；②设P({x1,2019 x1)，Q(x2,2019x2)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+2019 x1；x2，x2+2019x2，若两个三角形相似，则有x1x1+2019x1=x2x2+2019x2，∴x22=x12，∵x>0，∴x1=x2，∴不存在两点边P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③设P(x1,(x1−2020)2−1)，Q(x2,(x2−2020)2−1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1+(x1−2020)2−1，x1；x2，x2+(x2−2020)2−1，若两个三角形相似，则有x1(x1−2020)2−1=x2(x2−2020)2−1，∴(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0，∵x>0，∴x1x2+1=20202，∴图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，−x1+2020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x2+2020，x2=−x1+2020，∴x2+x1=2020，∵x>0，∴图象上存在无数对点P，Q，使得它们对应的直角三角形全等；故答案为①③④．①在x轴正半轴上的任意点(x,y)，则y=0，所以AC=BC，由勾股定理可得AB=√2BC；②设P({x1,2019 x1)，Q(x2,2019x2)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，x1+2019 x1；x2，x2+2019x2，若两个三角形相似，则有x1x1+2019x1=x2x2+2019x2，可得x22=x12，当x>0时x1=x2；③设P(x1,(x1−2020)2−1)，Q(x2,(x2−2020)2−1)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1+(x1−2020)2−1，x1；x2，x2+(x2−2020)2−1，若两个三角形相似，则有x1(x1−2020)2−1=x2(x2−2020)2−1，(x1−x2)(x1x2+1−20202)=0，由条件可得x1x2+1=20202；④设P(x1,−2x1+2020)，Q(x2,−2x2+2020)，则对应的直角三角形的直角边分别为x1，−x1+2020；x2，−x2+2020，若两个三角形全等，则有x1=−x2+2020，可得x2+x1=2020．本题考查函数的性质，新定义，三角形性质；能够理解题意，将问题转化为直角三角形相似与全等，利用相似与全等的关系结合直角三角形的性列出正确的等式，再能正确求解方程是解题的关键．17.【答案】(1)证明：∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∴∠F+∠DBC=90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=90°，∵∠DBC=∠DAC，∴∠BAC=∠F(2)解：连接CD，∵DF//AC，∠ODF=90°，∴∠BEC=∠ODF=90°，∴直径BD⊥AC于E，∴AE=CE=12AC，∴AB=BC，∵AB=8，∴BC=8，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，∵∠DBC+∠F=90°，∴∠BDC=∠F，∵∠BCD=∠FCD=90°，∴△BCD∽△DCF，∴BCDC =DCCF，∵BC=8，CF=2，∴DC=4，∴BD=√BC2+CD2=4√5．∵在△BCD中，S△BCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE，∴CE=85√5，∴AC=2CE=165√5．【解析】(1)证∠F+∠DBC=90°，可得∠BAC+∠DAC=90°，又∠DBC=∠DAC，则∠BAC=∠F，结论得证；(2)连接CD，证明△BCD∽△DCF，可得BCDC =DCCF，求出DC=4，BD=4√5，由三角形面积可得出CE，则AC可求出．本题考查了相似三角形的性质及判定，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解答时运用好切线的性质求解是解答本题的关键．18.【答案】解：整理得x2−4x=2，x2−4x+4=2+4，即(x−2)2=6，∴x−2=±√6，∴x1=2+√6，x2=2−√6．【解析】整理得x2−4x=2，然后利用配方法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19.【答案】证明：∵AB=4，BE=2，CE=6，CD=3，∴ABCE =BECD，∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECD，∴∠A=∠CED，∵∠B=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠AED=180°−∠AEB−∠CED=90°，∴AE⊥DE．【解析】证明△ABE∽△ECD，可得∠A=∠CED，则∠CED+∠AEB=90°，可得出∠AED= 180°−∠AEB−∠CED=90°，则结论得证．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解答此题的关键．20.【答案】(1)y=x2−4x+3=(x−2)2−1；(2)这个二次函数的图象如图：(3)−1≤y≤3【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)当0≤x≤3时，−1≤y≤3．故答案为−1≤y≤3．【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；(3)运用数形结合思想解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．21.【答案】解：(1)连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2=8，AC2=8，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OH=12AC=√2，即点O到AC的距离为√2；(2)由圆周角定理得，∠B=12∠AOC=45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°−45°=135°．【解析】(1)连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；(2)根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查度数圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．22.【答案】解：(1)由题意得：v=2000×50t =100000t；(2)当t=40时，v=10000040=2500，2500−2000=500(m3)，答：实际平均每天至少需要比原计划增加500m3土方运输量．【解析】(1)根据题意得等量关系：平均每天运输土方=土方总量÷时间，然后可得v关于t的函数关系式；(2)求出当t=40时v的值，然后其计算与2000的差即可．此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．23.【答案】(1)证明：∵△=b2−4⋅14c=b2−c=0，∴将c=2b−1代入得：△=b2−(2b−1)=b2−2b+1=(b−1)2≥0，∴方程一定有两个实数根；(2)解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△=b2−4⋅14c=b2−c=0，∴b2=c，满足条件的结果有(1,1)和(2,4)，共2种，∴P(b、c的值使方程14x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率)=16．【解析】(1)直接利用根的判别式以及完全平方公式进而分析得出答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；可得2x+y=6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)将点A(3,2)的坐标分别代入y=kx−1(k≠0)与y=mx(x>0)中，得2=3k−1，2=m3，∴k=1，m=6；(2)①∵直线y=kx−1与y轴交于点(0,−1)，∴当t=2时，Q(0,1)．此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解得x1=−3(舍去)，x2=2，∴C(2,3)，∴QC=√(2−0)2+(3−1)2=2√2．②如图，作CD⊥x轴于D，若QCPQ =2时，则ODOP=2，CDOQ=3，∵直线解析式系数k=1，∴OP=OQ，设OP=OQ=a，∴OD=2a，CD=3a，∴CD=62a =3a，∴3a=3a，解得a=1，∴此时t=1+1=2，若QCPQ =3时，则ODOP=3，CDOQ=4，∵直线解析式系数k=1，∴OP=OQ，设OP=OQ=a，∴OD=3a，CD=4a，∴CD=63a =2a，∴4a=2a，解得a=√22，∴此时t=1+√22，∴若2<QCPQ <3，结合函数图象，得出t的取值范围是1+√22<t<2．【解析】(1)将点A分别代入y=kx−1(k≠0)与y=mx(x>0)，即可求出k、m的值；(2)①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=6x中，整理得，x(x+1)=6，解方程求出点C的坐标，即可求出QC的长；②观察图象解答即可．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．25.【答案】4.90 1.50或4.50【解析】解：(1)利用测量法可知：当x=4时，y2=4.90．故答案为4.90．(2)函数图象如图所示：(3)函数y1与直线y=√3x的交点的横坐标为1.50，x的交点的横坐标为4.50，函数y1与直线y=√33故当△APC有一个角是60°时，AP的长度约为1.50或4.50．故答案为1.50或4.50．(1)利用测量法解决问题即可．(2)利用描点画出函数图象即可．(3)利用图象法求出函数y1与直线y=√3x，直线y=√3x的交点的横坐标即可解决问题．3本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，一次函数的性质，函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：(1)y=x2−2ax+a2−a+4=(x−a)2+4−a，故点A(a,4−a)；(2)点A所在的直线为：y=4−x，联立y=4−x与y=−x并解得：x=1，故两个直线的交点为(1,3)；①当点C的坐标为：(1,3)时，则点B(−2,3)，点A(−2,6)，a=−2，故抛物线的表达式为：y=(x+2)2+6；②当点B的坐标为：(1,3)时，则点A(4,0)，则a=4，故抛物线的表达式为：y=(x−4)2；综上，抛物线的表达式为：y=(x+2)2+6或y=(x−4)2；(3)点A(a,4−a)，则点D(a,3)，BC=3BD，则点B、C的坐标分别为：(a−1,3)、(a+2,3)，将抛物线y=x2−2ax+a2−a+4与直线y=3联立并解得：x=a±√a−1，故点E、F的坐标分别为：(a−√a−1,3)、(a+√a−1,3)，①当a=1时，点E、B、C、F的坐标分别为：(1,3)、(0,3)、(2,3)、(1,3)，而点A(1,3)，此时，抛物线于BC只有一个公共点；②当a>1时，当点C、F重合时，则a+√a−1=a+2，解得：a=5；当点B、E重合时，a−√a−1=a−1，解得：a=2，故2<a≤5；综上，a=1或2<a≤5．【解析】(1)y=x2−2ax+a2−a+4=(x−a)2+4−a，即可求解；(2)分当点C的坐标为：(1,3)时、点B的坐标为：(1,3)时，两种情况分别求解；(3)分a=1、a>1两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等，其中(2)、(3)，都要注意分类求解，避免遗漏．27.【答案】解：(1)如图1所示：(2)与△CDB相似的三角形是△ABE，理由如下：∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CH=DH，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD=AC，BC=BD，且AB⊥CD，∴∠ACD=∠ADC，∠CAB=∠DAB，∠BCD=∠BDC，∠DBA=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，且∠ABC+∠BCH=90°，∠BAC+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠BAC，∠ACD=∠ABC，∴∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，∵AC//BE，∴∠CAB=∠ABE，∴∠CDB=∠ABE，且∠DAB=∠BCD，∴△BCD∽△EAB；(3)BH⋅FC=BC2+CF2，理由如下：如图2，∵∠ACB=90°，∴BC2+CF2=BF2，∵△BCD∽△EAB，∴∠AEB=∠CBD，∵AE//FH，∴∠H=∠AEB=∠CBD，∵AC//BE，∴∠CFB=∠FBH，∴△FCB∽△BFH，∴BHBF =BFFC，∴BF2=BH⋅FC，∴BH⋅FC=BC2+CF2．【解析】(1)由题意补全图形；(2)由轴对称的性质可得AB是CD的垂直平分线，可得AD=AC，BC=BD，由等腰三角形的性质和余角的性质，可得∠DAB=∠BCD=∠BAC=∠BDC，由平行线的性质可得∠CAB=∠ABE=∠CDB，可证△BCD∽△BAE；(3)由勾股定理可得BC2+CF2=BF2，通过证明△FCB∽△BFH，可得BHBF =BFFC，可得结论．本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，找到正确的相似三角形是本题的关键．28.【答案】①③【解析】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=−x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴△TMN是等腰直角三角形，∴TN=√2，OT=1，∴N(1+√2,0)，把N(1+√2,0)代入y=−x+b中，得到b=1+√2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=−√2+1，∴点N的横坐标的取值范围为−√2+1≤≤√2+1．(3)如图3−1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3−2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(−6,0)得到h的最小值为−6，综上所述，−6≤ℎ<0，0<ℎ≤2．(1)根据⊙A的关联图形的定义判断即可．(2)直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，求出两种特殊情形的点N的横坐标即可解决问题．(3)分两种情形：如图3−1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2.如图3−2中，当点P在点Q是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(−6,0)得到h的最小值为−6，由此即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了⊙A的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

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2019-2020学年北京四中九年级（上）月考数学试卷（12月份）副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是()A. 1：16B. 1：6C. 1：4D. 1：23.如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是()A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：14.抛物线y=3x2，y=−2x2+1在同一直角坐标系内，则它们()A. 都关于y轴对称B. 开口方向相同C. 都经过原点D. 互相可以通过平移得到5.如图，点A的坐标为(1,3)，O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到AO′，则点O′的坐标是()A. (4,−1)B. (−1,4)C. (4,2)D. (2,−4)6.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为()A. 12.5寸B. 13寸C. 25寸D. 26寸7.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…−10123…y…30−1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x=−1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是()A. ①④B. ②④C. ③④D. ②③8.如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，tanA=2，则AC=______．3=______．10.如果4x=3y，那么xy11.如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为______cm．12.如图，在⊙O中，弦AC=2√2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=______．13.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为______．14.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(−1,−3.2)，部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=______．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A’B’C’是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且OB=BB′，如果点A(2,3)，那么点A′的坐标为______．16.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度ℎ(m)与它的飞行时间t(s)满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t(s)00.51 1.52…ℎ(m)08.751518.7520…(1)求h与t之间的函数关系式(不要求写t的取值范围)；(2)求小球飞行3s时的高度；(3)问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）18.计算：6tan230°−√3sin60°−cos45°sin30°．19.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，若∠A=60°，BC=2√7，AD=2.求AB的长．20.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求cos∠EFC的值．21.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE.求证：AE//BC．22.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD=8，AE=2．(1)求⊙O的半径；(2)求OF的长度．23.体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端D与看台底端A连线和地面垂直，测得看台AC的长为14米，∠BAC=30°，∠ACD=45°．(1)求看台高BC的长；(2)求顶棚顶端D到地面的距离AD的长．(取√3=1.7)24.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC.过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点F．请补全图形并解决下面的问题：(1)求证：∠BAE=2∠EBD；(2)如果AB=5，sin∠EBD=√5.求BD的长．525.小明利用函数与不等式的关系，对形如(x−x1)(x−x2)…(x−x n)>0(n为正整数)的不等式的解法进行了探究．(1)下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式x−2>0，观察函数y=x−2的图象可以得到如下表格：x的范围x>2x<2y的符号+−由表格可知不等式x−2>0的解集为x>2．②对于不等式(x−2)(x−1)>0，观察函数y=(x−2)(x−1)的图象可得到如表格：x的范围x>21<x<2x<1y的符号+−+由表格可知不等式(x−2)(x−1)>0的解集为______．③对于不等式(x−2)(x−1)(x+2)>0，请根据已描出的点画出函数y=(x−2)(x−1)(x+2)的图象；观察函数y=(x−2)(x−1)(x+2)的图象，补全下面的表格：由表格可知不等式(x−2)(x−1)(x+2)>0的解集为______．小明将上述探究过程总结如下：对于解形如(x−x1)(x−x2)…(x−x n)>0(n为正整数)的不等式，先将x1，x2，…，x n按从大到小的顺序排列，再划分x的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．(2)请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式(x−6)(x−4)(x−2)(x+2)>0的解集为______；②不等式(x−5)(x−3)(x+4)2>0的解集为______．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(−1,0)，且顶点坐标为B(0,1)．(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设F(t,0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为______；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为直线BD，CE的交点．(1)如图，将△ADE绕点A旋转，当D在线段CE上时，连接BE，下列给出两个结论：①BD=CD+√2AD②BE2=2(AD2+AB2).其中正确的是______，并给出证明．(2)若AB=4，AD=2，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90°时，求PB的长；②旋转过程中线段PB长的最大值是______．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q 在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点．(1)当⊙O的半径为1时，①在点D(−1,−1)，E(2,0)，F(0,4)中，⊙O的外称点是______；②若点M(m,n)为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G(√22,√22)，求m的取值范围；(2)直线y=−x+b过点A(1,1)，与x轴交于点B.⊙T的圆心为T(t,0)，半径为1.若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意；故选：D．根据中心对称图形的概念和各图特点作答．本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．2.【答案】D【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：由平行四边形的性质可知：AB//CD，∴△BEF∽△DCF，∵点E是AB的中点，∴BEAB=BECD=12∴EFCF =BECD=12，故选：A．根据平行四边形的性质可以证明△BEF∽△DCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．4.【答案】A【解析】解：A、抛物线y=3x2，y=−2x2+1在同一直角坐标系内都关于y轴对称，故本选项符合题意；B、抛物线y=3x2的图象的开口向上，抛物线y=−2x2+1的图象的开口向下，故本选项不符合题意；C、抛物线y=3x2的图象经过原点，抛物线y=−2x2+1的图象不经过原点，故本选项不符合题意；D、抛物线y=3x2，y=−2x2+1在同一直角坐标系内不能通过平移得出，故本选项不符合题意；故选：A．根据二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，平移的性质逐个判断即可．本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，平移的性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．5.【答案】C【解析】解：观察图象可知O′的坐标为(4,2)．故选：C．根据题意画出图形即可解决问题．本题考查旋转变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】【分析】此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：设直径CD的长为2x，则半径OC=x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，∴AE=BE=12AB=12×10=5寸，连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+(x−1)2，解得x=13，CD=2x=2×13=26(寸)．故选D．7.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x=−1+32=1，故②错误，抛物线的顶点坐标是(1,−1)，有最小值，故抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y=0时，x=0或x=2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．8.【答案】D【解析】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP=∠POF=60°，∵OP=OE=OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，∴∠EPM=∠OPN，在△PEM和△PON中，{∠PEM=∠PON PE=PO∠EPM=∠OPN，∴△PEM≌△PON．∴PM=PN，∵∠MPN=60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得结论．本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．9.【答案】6【解析】解：如图：∵BC=4，tanA=23=BCAC，∴AC=6．故答案为：6．根据锐角三角函数定义得出tanA=BCAC，代入求出即可．本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数定义是解此题的关键，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10.【答案】34【解析】解：∵4x=3y，∴xy =34；故答案为：34．根据比例的性质两内项之积等于两外项之积即可得出答案．本题考查了比例的性质，掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．11.【答案】1.2【解析】解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm，∵CD//AB，∴△OCD∽△OAB，∴CDAB =ODOB，即CD2=35，∴CD=65=1.2，即对应位置的E的高CD为1.2cm．故答案为：1.2．证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出CD即可．本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长．12.【答案】2【解析】解：∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∵OA=OC=R，∴△AOC是等腰直角三角形，AC=2．∴R=OA=OC=√22故答案为：2．由圆周角定理得出∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过圆周角定理得到∠AOC的度数．13.【答案】(−1,−2)【解析】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD=DB=DA=√32+12=√10，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为(−1,−2)，故答案为：(−1,−2)，连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．14.【答案】−3.3【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(−1,−3.2)，∴其对称轴为直线x=−1，∵由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的1个根是x1=1.3，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个根是x2=−3.3．故答案为：−3.3．直接利用1得出函数对称轴进而利用二次函数对称性进而得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出函数对称轴是解题关键．15.【答案】(4,6)【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，∴AB//A′B′，∴ABA′B′=OBOB′=12，∴△ABC和△A′B′C′的相似比为1：2，∵点A(2,3)，∴点A′的坐标为(4,6)，故答案为：(4,6)．根据位似变换的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据位似变换的性质解答即可．本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．16.【答案】37【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是正方形，∴EH//CD，CD=AB=3，AD=BC=4∴△AEH∽△ACD∴EHCD =AHAD，即EHAH =CDAD=34设EH=3x，AH=4x，∴GH=GF=3x，∵EF//AD∴∠AFE=∠FAG∴tan∠AFE=tan∠FAG=GFAG =3x3x+4x=37．故答案为37．根据矩形和正方形的性质可得EH//CD，CD=AB=3，AD=BC=4进而可得△AEH∽△ACD ，对应边成比例得EH CD =AH AD ，即EH AH =CD AD =34，再根据锐角三角函数即可求解．本题考查了正方形的性质、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的性质，解决本题的关键是综合以上知识． 17.【答案】解：(1)∵t =0时，ℎ=0，∴设h 与t 之间的函数关系式为ℎ=at 2+bt(a ≠0)，∵t =1时，ℎ=15；t =2时，ℎ=20，∴{a +b =154a +2b =20，解得{a =−5b =20， ∴ℎ与t 之间的函数关系式为ℎ=−5t 2+20t ；(2)小球飞行3秒时，t =3(s)，此时ℎ=−5×32+20×3=15(m)．答：小球飞行3s 时的高度为15米；(3)∵ℎ=−5t 2+20t =−5(t −2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m ，∵22>20，∴小球的飞行高度不能达到22m ．【解析】(1)设h 与t 之间的函数关系式为ℎ=at 2+bt(a ≠0)，然后再根据表格代入t =1时，ℎ=15；t =2时，ℎ=20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式；(2)根据函数解析式，代入t =3可得h 的值；(3)把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．18.【答案】解：6tan 230°−√3sin60°−cos45°sin30°=6×(√33)2−√3×√32−√22×12=2−32−√24=1−√2故答案为：12−√24．【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．19.【答案】解：在Rt△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，AD=2，AC=2AD=4，CD=√42−22=2√3，在Rt△BCD中，BC=2√7，CD=2√3，BD=√BC2−CD2=√(2√7)2−(2√3)2=4，AB=BD+CD=4+2=6．【解析】已知一角一边，而且这一角是特殊函数角，求AB的长，就可找出与这一角相关的两边，用特殊角的三角函数值求边长就简单了．本题考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．此题的关键是明确30°角的函数值．20.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=5，AB=CD=3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，∵BF=√AF2−AB2=√52−32=4，∴CF=BC−BF=5−4=1，设CE=x，则DE=EF=3−x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，∴x2+12=(3−x)2，解得x=43，∴EF=3−x=53，∴cos∠EFC=CFEF =35．【解析】先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF= AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC−BF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=(3−x)2，解方程得到x的值，进一步得到EF的长，再根据余弦函数的定义即可求解．本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．21.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°．∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ACB，即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，{BC=AC∠BCD=∠ACE DC=EC∴△BCD≌△ACE，∴∠EAC=∠B=60°，∴∠EAC=∠ACB，∴AE//BC．【解析】根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠B=∠ACB=60°，根据旋转的性质得出CD=CE，∠DCE=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS推出△BCD≌△ACE，根据全等得出∠EAC=∠B=60°，求出∠EAC=∠ACB，根据平行线的判定得出即可．本题考查了平行线的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．22.【答案】解：(1)连接OB，设⊙O的半径为x，则OE=x−2，∵OA⊥BD，∴BE=ED=12BD=4，在Rt△OEB中，OB2=OE2+BE2，即x2=(x−2)2+42，解得，x=5，即⊙O的半径为5；(2)在Rt△CEB中，BC=√CE2+BE2=√82+42=4√5，∵OF⊥BC，∴BF=12BC=2√5，∴OF=√OB2−BF2=√5．【解析】(1)连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案；(2)根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BF，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵AC=14米，∠BAC=30°，∴BC=12AC=7(米)；(2)作DE⊥AC于E.设AD=x，AE=12AD=12x，DE=CE=√32x，∵CE+AE=14，∴√32x+12x=14，解得x=14(√3−1)≈9.8∴AD≈9.8(米)．【解析】(1)根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案；(2)作DE⊥AC于E.设AD=x，AE=12AD=12x，DE=CE=√32x，构建方程即可解决问题．此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．24.【答案】(1)证明：连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BE，∵AB=AE，∴∠BAE=2∠BAF，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠BAF+∠ABE=90°，∠ABF+∠EBD=90°，∴∠EBD=∠BAF，∴∠BAE=2∠EBD．(2)解：作EH⊥BD于H．∵∠BAF=∠EBD，∴sin∠BAF=sin∠EBD=√55，∵AB=5，∴BF=√5，∴BE=2BF=2√5，在Rt△BEH中，EH=BE⋅sin∠EBH=2，∴BH=√(2√5)2−22=4，∵EH//AB，∴EHAB =DHDB，∴25=DHDH+4，∴DH=83，∴BD=BH+HD=203．【解析】(1)利用等腰三角形的性质证明∠BAE=2∠BAF，再证明∠EBD=∠BAF即可解决问题；(2)作EH⊥BD于H.由sin∠BAF=sin∠EBD=√55，AB=5，推出BF=√5，推出BE=2BF=2√5，在Rt△BEH中，EH=BE⋅sin∠EBH=2，推出BH=√(2√5)2−22=4，由EH//AB，推出EHAB =DHDB，由此即可求出DH解决问题；本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】x>2或x<1+−x>2或−2<x<1x>6或2<x<4或x<−2x> 5或x<3【解析】解：(1)②由表格可得：(x−2)(x−1)>0的解集为x>2或x<1，故答案为x>2或x<1；③在表格所给范围内确定y的符号为+，−，结合表格可得：(x−2)(x−1)(x+2)>0的解集为x>2或−2<x<1；故答案为+，−，x>2或−2<x<1；(2)①由(1)的规律，可得(x−6)(x−4)(x−2)(x+2)>0的解集为x>6或2<x<4或x<−2；②(x−5)(x−3)(x+4)2>0中(x+4)2≥0，∴(x−5)(x−3)>0的解集为x>5或x<3，∴(x−5)(x−3)(x+4)2>0的解集为x>5或x<3，故答案为x>6或2<x<4或x<−2；x>5或x<3．(1)②由表格可得：(x−2)(x−1)>0的解集为x>2或x<1；③结合表格可得：(x−2)(x−1)(x+2)>0的解集为x>2或−2<x<1；(2)①由(1)的规律，可得(x−6)(x−4)(x−2)(x+2)>0的解集为x>6或2<x<4或x<−2；②(x−5)(x−3)(x+4)2>0的解集与(x−5)(x−3)>0的解集相同．本题考查方程与不等式；通过理解引例，探寻到解高次不等式方程的一般方法是解题的关键．26.【答案】解：(1)由抛物线M的顶点坐标为B(0,1)，设抛物线的解析式为y=ax2+1，将A(−1,2)代入解析式，得a×(−1)2+1=0，解得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−x2+1，(２)①(2t,−1)；②如图1，由题意，得顶点是B1(2t,−1)，二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y=(x−2t)2−1(t>0)，当抛物线M1经过A(−1,0)，时(−1−t)2−1=0，解得t1=−1，t2=0．当抛物线M1经过B(0,1)时，(2t)2−1=1，解得t=±√22，结合图象分析，∵t>0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0<t≤√22．【解析】(１)见答案；(2)①由旋转的性质，得B1(x,y)与B(0,1)关于F(t,0)对称，x+0 2=t，y+12=0，解得x=2t，y=−1，B1(2t,−1)；故答案为：(2t,−1)；②见答案；(３)见答案．(1)根据待定系数法，可得答案；(2)①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解(1)的关键；利用旋转得出B 与B′关于F点对称是解(2)①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27.【答案】①2√3+2【解析】解：(1)∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠DAE=∠BAC=90°，DE=√2AD，∴∠DAB=∠EAC，且AE=AD，AB=AC，∴△AEC≌△ADB(SAS)∴BD=CE=DE+CD，∴BD=CD+√2AD，∴①正确，∵BD⊥CE，∴BE2=BD2+DE2，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，∴DE2=2AD2，BC2=2AB2，∵BC2=BD2+CD2≠BD2，∴2AB2=BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2(AD2+AB2)，∴②错误．故答案为①；(2)①图1中，当点E在AB上时，BE=AB−AE=2．∵∠EAC=90°，∴CE=√AE2+AC2=√4+16=2√5，同(1)可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC ． ∴PB AC =BE CE ，∴PB 4=22√5∴PB =4√55．如图2中，当点E 在BA 延长线上时，BE =AB +AE =6．∵∠EAC =90°，∴CE =√AE 2+AC 2=√4+16=2√5，同(1)可证△ADB≌△AEC ．∴∠DBA =∠ECA ．∵∠BEP =∠CEA ，∴△PEB∽△AEC ，∴PB AC =BE CE ， ∴PB4=62√5，∴PB =12√55，综上，PB =4√55或12√55． ②如图3中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值最大．理由：此时∠BCE 最大，因此PB 最大，(△PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，∠BCE 最大，因此PB最大)∵AE⊥EC，∴EC=√AC2−AE2=√16−4=2√3，由(1)可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=2√3，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=2，∴PB=BD+PD=2√3+2，综上所述，PB长的最大值是2√3+2，故答案为：2√3+2．(1)①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2= 2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论；(2)分两种情形当点E在AB上时，BE=AB−AE=2.由△PEB∽△AEC，得PBAC =BECE，由此即可解决问题；当点E在BA延长线上时，BE=6.解法类似；②如图3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可；本题是几何变换综合题，考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．28.【答案】D，E【解析】解：(1)①如图1中，根据点P是⊙O的外应点定义，观察图象可知，⊙O的外应点是D，E．故答案为D，E．②如图2中，作射线GO，交⊙O于点H(−√22,−√22)，作点H关于点G的对称点H′(3√22,3√22)，∵点M为⊙O的外应点，∴点M在线段GH′上(不与G，H′重合)．∴√22<m<3√22．(2)由题意A(1,1)，∵直线y=−x+b过点A(1,1)，∴b=2，可得B(2,0)如图3中，当半径为3的⊙T经过点B时，T(−1,0)如图4中，当半径为1的⊙T与AB相切于F时，易知TF=FB=1，TB=√2，∴OT=2−√2，∴T(2−√2,0)观察图象可知：当−1<t<2−√2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点；如图5中，当半径为1的⊙T经过点B时，T(3,0)，如图6中，当半径为3的⊙T经过点A时，易知T(1+2√2,0)观察图象可知：当3<t<1+2√2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点，综上所述，满足条件的t的值为：−1<t<2−√2或3<t<1+2√2．(1)①根据⊙O的外应点的定义，画出图形即可判断；②作射线GO，交⊙O于点H(−√22,−√22)，作点H关于点G的对称点H′(3√22,3√22)，由点M为⊙O的外应点，推出点M在线段GH′上(不与G，H′重合)，由此即可解决问题；(2)求出四种特殊位置t的值即可判断；本题属于圆综合题，考查了圆的有关知识，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

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