高中数学 求动点轨迹小专题4-消参法【教师版】

求动点轨迹系列小专题4：消参法

消参法：顾名思义，通过消去参数，得到动点()y x P ,的轨迹方程。本课时，敢于突破自己，在各式各样的情境下，多参数情况下，也能够找到消参的路径。

其实消参法学习过后，上课时的相关点法的本质也是消参法，消参的路径就是运用主动点的方程进行消参，相关点法实际上是以特殊的消参身份独立出来。

例1：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，己知两点()()60,26A B -，

，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中21αβ+=.则点C 的轨迹方程为____________.

【答案】65180

x y +-=【解析】

【分析】

设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以6186x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，又由21αβ+=可得出点C 的轨迹方程.

【详解】

设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以626x y αββ=-⎧⎨=⎩，所以6186x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

,又21αβ+=，所以216186

x y y ⎛⎫⨯+

+= ⎪⎝⎭，即65180x y +-=，故填：65180x y +-=.

变式1：在直角坐标系xOy 中，过点(1,0)-的直线与抛物线2:8C y x =相交于A ，B 两点，弦AB 的中点P 的轨迹记为W ，求W 的方程；

【分析】

先设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，根据21122

288y x y x ⎧=⎨=⎩，以及题意，得到121021284y y x x y y y -==+-，再由1201201

y y y x x x -=-+，两式联立，即可得出结果；【解析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由题意可得：21122

288y x y x ⎧=⎨=⎩，则()2212128y y x x -=-，从而121212

8y y x x y y =-+-，因为点P 为弦AB 的中点，所以1202y y y +=，即

121021284y y x x y y y -==+-，又直线AB 过点(1,0)-，所以1201201

y y y x x x -=-+，则000

41y x y =+，即()20041y x =+，而()00,P x y 必在抛物线2:8C y x =的内部，从而()2

000418y x x =+<，即01x >.故W 的方程为24(1)(1)y x x =+>.

变式2：过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于,A B 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦AB 中点的轨迹方程为__________.

【答案】22(1)

y x =-【解析】

由题意知抛物线焦点为(1,0)，

当直线的斜率存在时，设为k ，则焦点弦方程为(1)y k x =-，代入抛物线方程24y x =得2222(24)0k x k x k -++=，

由题意知斜率不等于0，

方程是一个一元二次方程，由韦达定理：2122

24k x x k ++=所以中点横坐标：2122

22x x k x k ++==代入直线方程，则中点纵坐标：2(1)y k x k =-=，即中点为2222(,k k k

+消参数k ，得其方程为22(1)

y x =-当直线的斜率不存在时，直线的中点是(1,0)，符合题意，故答案为：22(1)

y x =-变式3：设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.

【答案】2222230

x y x +--=【分析】

设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则12122,2x x x y y y =+=+,由题意,A B

均在圆O 上则有222211224,4x y x y +=+=.又由BP AP ⊥，得121212121x x y y x x x +=+-=-，

再代入消去参数，得到M 的轨迹方程.

【解析】

设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+.(1)

由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=.(2)

又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅= .

即BP AP ⋅ =1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++=（3）将（1）代入（3）中有：121212121

x x y y x x x +=+-=-（4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++.

即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++（5）

将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-.即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230

x y x +--=变式4：双曲线Γ：22

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x y -=的左右顶点分别为1A ，2A ，动直线l 垂直Γ的实轴，且交Γ于不同的两点,M N ，直线1A N 与直线2A M 的交点为P ，求点P 的轨迹C 的方程；

【解析】

因为()()122,0,2,0A A -，

设(),,P x y ()00,,M x y 则()00,,N x y -且22

00143x y -=①，因为动直线l 交双曲线于不同的两点,M N ，所以02x ≠±且2x ≠±，因为直线2A M 的方程为()0022

y y x x =--②，直线1A N 的方程为()0022

y y x x -=++③，②⨯③得()

22202044y y x x -=--，把①代入上式得()

22344y x =--，化简得22143x y +=，所以点P 的轨迹C 的方程为()22

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x y x +=≠±.变式5：已知椭圆C ：22

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x y +=的短轴端点为1B ，2B ，点M 是椭圆C 上的动点，且不与1B ，2B 重合，点N 满足11NB MB ⊥，22NB MB ⊥.求动点N 的轨迹方程；