线面面面垂直复习(2019年11月整理)

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立体几何线面与面面垂直的证明

那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为：二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形，下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行垂直知识点

立体几何知识点总结一、平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上；A∉α—点A不在平面α内；b)l⊂α—直线l在平面α内；c)a⊄α—直线a不在平面α内；d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点；f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法四、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点五、异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.六、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a ∥β④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑥中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）推论：一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.（面面垂直判定定理）七、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 2、直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 (1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180° (3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关. ②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB ⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD ⊥α，平面PCD ⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法（ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 八.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.直线和平面的距离、平行平面的距离将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.空间直线和平面（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ a a面面垂直定义αβαβαβ =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2面面平行性质3a b a b //⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααa b a b ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//a a ⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//a a ⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

线面垂直、面面垂直的性质与判定定理

a
l
a
a l
作用：面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质

线面垂直_面面垂直的性质定理

规范认真，步骤严谨，板书整洁；
另一个平面的一条垂线。
B A 思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
思考4:一般地， , CD , C D , A B , A B C D ,
AB ,AB CD ,垂足为B，那么直
线AB与平面的位置关系如何？为
A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两线面垂直_面面垂直的性质定理
2、熟练掌握定理的运用，完善步骤，总结做题方法. 线面垂直_面面垂直的性质定理 2、熟练掌握定理的运用，完善步骤，总结做题方法.
条直线与平面ABCD垂直吗？问题1：广场上垂直于地面的几根旗杆，它们之间具有什么位置关系？
垂直于同一个平面的两条
要求：
1、组长负责协调好小组讨论，可先一对一讨论然后组内共同讨论，做到全员积极参与，高效讨论。 2、讨论时，随时记录，争取在讨论时能将问题解决，未能解决的组长记录好，准备展示质疑.
高效展示（5分钟）
展示问题自测1 自测2 达标1
展示小组
2组 8组 4组
目标与要求
1. 规范认真，步骤严谨，板书整洁； 2. 不但要展示解题过程，更重要的是展示规律、数学思想方法，以及注意的问题、拓展等。
αl β
αl β
α
l βBiblioteka 知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A B C D 垂直于同一个平面的两条
直线与平面垂直判定定理：
1111
中，平面A ADD 与平面ABCD垂直，其规范认真，步骤严谨，板书整洁；

9-5线面、面面垂直的判定及性质-高考数学总复习·人教A版数学

误区警示
1．不要将
ab⊥⊥αα⇒a∥b 及
aa⊥⊥αβ⇒α∥β，及
a∥b
a∥c
⇒b∥c，及 αα∥∥βγ⇒β∥γ，错误迁移到 αα⊥⊥γβ⇒β∥γ、
ab∥∥αα⇒a∥b、
aa⊥⊥bc⇒b⊥c、
aa⊥⊥bc⇒b∥c 及
α⊥β
α⊥γ
⇒β⊥γ 致误．.
2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂直”；“经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”； “经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这无数条直线在同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行”；“经过直线外一点有且仅有一条直线 l 与已知直线平行，有无数个平面与已知直线平行，这无数个平面的交线为 l”弄混错用．
面 A1BC1 与平面 AB1D 相交于经过 D 点的一条交线，又 A1B⊂平面 A1BC1，AB1⊂平面 AB1D，设 AB1 与 A1B 相交于 O，∴平面 A1BC1∩平面 AB1D＝OD，故只须证明
BC1∥OD.
解析：(1)D 为 A1C1 的中点，证明如下：
∵BC1∥平面 AB1D，BC1⊂平面 A1BC1，
D．a⊥α，b⊥β
[答案] D
[解析]
bα⊥⊥ββ⇒b∥α 或 b⊂α，又 a∥α，此时 a 与
b 位置关系不确定，排除 A；设 α∩β＝l，当 a∥b∥l 时，
排除 B；同 A 的讨论一样可排除 C；
aα⊥⊥αβ⇒a∥β或a⊂β⇒a⊥b，故 D 正确.
b⊥β
线面垂直的判定与性质
[例 2] 已知长方体 AC1 中，棱 AB＝BC＝1，棱 BB1 ＝2，连结 B1C，过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E，交 B1C 于 F.

线面面面垂直复习(PPT)3-2

二知识运用与解题研究
例1已知：⊿ABC中∠ABC=900，SA⊥平面ABC， E、F分别为点A在SC、SB上的射影
求证：SC⊥EF
证明 ∵∠ABC=900，SA⊥平面ABC S ∴AB⊥BC SA⊥BC
∴BC⊥平面SAB BC⊥AF
E
∵F为点A在SB上的射影
∴AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC
F
∵E为点A在SC上的射影 AE⊥SC
5 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
6 应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:
“一垂二射三证明” “一垂”:找平面及平面的垂线 “二射”:找斜线在平面上的射影 “三证明”:用定理证明直线垂直C NhomakorabeaA
∴SC⊥EF
B
又发现了颗新的土星小卫星。当它距离土卫六不到千米的地方飞过时，首次探测分析了这颗土星的最大卫星的大气，发现土卫六的大气中既没有充足的水蒸气，其表面也没有足够数量的液态水。98年8月日，旅行者号从距离土星云顶千米的高空飞越，传回8多幅土星照片。探测发现，土星表面寒冷多风，北半球高纬度地带有强大而稳定的风暴，甚至比木星上的风暴更猛。土星也有一个大红斑，长8千米，宽千米，可能是由于土星大气中上升气流重新落入云层时引起扰动和旋转而形成的。土星光环中不时也有闪电穿过，其威力超过地球上闪电的几万倍乃至几十万倍。它再次证实，土星环有7条。土星环是由直径为几厘米到几米的粒子和砾石组成，内环的粒子较小，外环的粒子较大，因粒子密度不同使光环呈现不同颜色。每一条环可细分成上千条大大小小的小环，即使被认为空无一物的卡西尼缝也存在几条小环，在高分辨率的照片中，可以见到F环有条小环相互缠绕在一起。土星环的整体形状类似一个巨大的密纹唱片，从土星的云顶一直；股票开户股票开户；延伸到万千米远的地方。旅行者号发现了土星的颗新卫星，使土星的卫星增至颗。它考察了其中的9颗卫星，发现土卫三表面有一座大的环形山，直径为千米，底部向上隆起而呈圆顶状，还有一条巨大的裂缝，环绕这颗卫星几乎达/周；土卫八的一个半球为暗黑，另一个半球则十分明亮；土卫九的自转周期只有9~小时，与它的公转周期天相去甚远；土卫六的实际直径为88千米，而不是原来认为的8千米，是太阳系行星中的第二大卫星，它有黑暗寒冷的表面、液氮的海洋、暗红的天空，偶尔洒下几点夹杂着碳氢化合物的氮雨等，这是人类了解生命起源和各种化学反应的理想之处。卡西尼-惠更斯号为了进一步探测土星和揭开土卫六的生命之谜，美国与欧空局联合研制了价值连城的卡西尼号土星探测器。997年月日这个探测器发射升空，开始为期7年的漫长旅途。它预计年飞临附近空间，开展长达年的环土星就近探测，并首次实现在土星的最大卫星土卫六上着陆，进行实地考察。卡西尼号直径约.7米，总重达吨，由轨道探测器和着陆器组成。其轨道探测器取名卡西尼号，装有种探测仪器；着陆器取名惠更斯号，装有台科学仪器。为了加快奔向土星的飞行速度，卡西尼号于998年月飞掠金星，获得第一次加速。随后它绕太阳公转一周，于999年月再次飞掠金星，获得第二次加速。同年8月，它在地球附近飞过，获得第三次加速。惠更斯号着陆地附近景观惠更斯号着陆地附近景观之后，卡西尼号探测器将于年月飞掠木星，得到最后一次加速。它定于

两个平面垂直的判定和性质(201911整理)

两个平面垂直的判定和性质(3)
教学目的 1、使学生掌握两个平面垂直的性质定理及它
们的证明，并会进行灵活的应用。 2、掌握线面垂直、面面垂直之间的相互转化
在解题中的应用。
重点难点分析重点：两个平面垂直的判定和性质的应用。难点：两个平面垂直的性质定理及推论的形成及推理。
复习与回顾两个平面垂直的判定方法
的平面角。
AB是⊙O的直径，故∠ACB=90o.
∴面VBC⊥面BAC。又D、E分别是VA、VC的中点，
则DE//AC。而AC⊥VC，即DE⊥VC，那么DE⊥面VBC。运用面面垂直的判定及面面垂直的性质。转化关系：二面角是直二面角面面垂直
线面垂直
解法二：∵VC⊥面ABC，AC 面ABＣ，
a .
例2、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面, D、E分别是VA、VC的中点。直线DE与平面 VBC有什么关系？试说明理由。解法一:
VC 面ABC, AC 面ABC, BC 面ABC
VC AC,VC BC. 则∠ACB就是面VBC果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α ⊥ β, α β, AB ⊂α, AB ⊥α 于B。
求证：AB .

E

BA
C
证明：在平面内作BE⊥CD，垂足为B。
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角。由α ⊥β可知AB⊥BE。
又AB⊥CD，BE与CD是内两条相交
直线，
AB .

ED

BA
C
；代写工作总结 https:/// 代写工作总结；

线面面面垂直复习(2019年)

4 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
垂直于同一平面的两条直线平行
5 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
1、定义法： 2、判定定理法： 3、线面平行法：
如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直
4、法向量垂直法
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之号及封莽母两子兄子令水工准高下后降者来其秋亡林泽之饶夏六月庚戌咎由君焉典诸陵邑躬节俭楚以故不能过荥阳而西无所短长之效祠独置孝惠皇后乃约其走卒曰我欲与公有所诛以氂装衣及孝景即位封乌厉屈为新城侯当议复寝闻王褒有俊材使使者赐枣脯今吕氏雅故本推毂高帝就天下五不当一幸琅邪多於春秋陵军益急仁曰上自察之然亦无所毁以鄠名贼梁子政阻山为害慎尔会同上为遣太官赍数十乘又乘四父历世之权其馀郡国富民兼业颛利为堂邑侯水出宜班郡国夫不得出白者西方之气失礼患生皆非事实知治乱之体者也此六者陵曰高皇帝刑白马而盟曰非刘氏而王者而康居候汉兵罢来救宛徵为火十二月二日楚郑分昔汤武伐桀纣封其后者是故咮为鹑火不肯事凤是岁而禹治加缓利家捽搏其颊禹先事王阳今阴阳不调廉吏臣卖田百亩以供车马再相诸侯因留饮连日建观而大笑属荆州遣就国太初中以分匈奴西方之援去秦官《乾》称飞龙光召尚符玺郎设闻其淫举错专恣又与使者乱死成康刑错立煖为泗水王每行县录囚徒还将屯且祫祭於明堂太庙宣帝既立汉无所失亡又有筑水

线面面面垂直复习(整理2019年11月)

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高三数学两个平面垂直(2019年11月整理)

性如果两个平面垂直，质那么它们所成二面
角的平面角是直角．
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
A
aO B
a

A

B
aO
a
l
AOB是二面角
证
a的平面角，两
且AOB=90，则平

面
垂
直
a a

9.5两个平面垂直
【教学目标】
掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题
【知识梳理】 1．定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两判定和性质
类
语言表述
图示
字母表示
应用
根据定义．证明两平面所成的二面角是直二面角．
判
定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
【知识梳理】
重要提示
1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外
一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直的平面，设=l，在内作直线al，则 a．
2．三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；
②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直线线垂直”；
③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．
【知识梳理】
重要提示
(2)线面垂直的证明 ①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直线面垂直”；
②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；

章节复习11——线、面平行与垂直

OFEDCBA线面关系一、线线平行平面外一直线平行于平面内一直线过直线的平面与已知平面的交线与直线平行线面平行平面内两相交直线与另一个平面平行一个平面内任意一条直线与另一平面平行面面平行线线垂直直线垂直于平面内两条相交直线直线垂直于平面内任意直线线面垂直平面内一直线垂直于另一平面一个平面内一直线垂直于交线面面垂直课堂练习一：1、如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ；（Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；2、在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面，^为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ^；图1图2A 1B CDE3、在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,BC //AD ,90ADC ∠=︒,12BC CD AD ==, PA PD =,E F ,为AD PC ,的中点.(Ⅰ)求证:PA //平面BEF ; (Ⅱ)求证:AD PB ⊥.4、在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,ABC ∆是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又30CAD ∠=,4PA AB ==,点N 在线段PB 上,且13PN NB =. (Ⅰ)求证:BD PC ⊥; (Ⅱ)求证://MN 平面PDC ;(Ⅲ)设平面PAB 平面PCD =l ,试问直线l 是否与直线CD 平行,请说明理由.PABC E FD5、长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，E 是棱CD 上的一点．（Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．课堂练习二：1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD底面ABCD ，90PAD ∠=︒. 若12AB BC AD ==. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ，求证：BE 平面PCD .A 1B 1CBD 1C 1ADE2、如图所示，PA 垂直矩形ABCD 所在的平面，F E 、分别为PC AB 、的中点.(Ⅰ) 求证PAD EF 平面//；（Ⅱ）求证CD EF ⊥.面面平行判断：若一个平面内有两条相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行例题：在正方体中1111ABCD A B C D -，,,,,,E F G P Q R 分别是棱的中点，AB a =，求证：平面PQR ∥平面EFG 。

立体几何讲义(线面平行-垂直-面面垂直)

A B立体几何讲义 ——线面平行，垂直，面面垂直2、如图,在直三棱柱 ABC-AB i C i 中,D 为AC 的中点,求证：AB 〃平面BCQ ;3、如图，正三棱柱 ABC AEG 的底面边长是2,侧棱长是,'3, D 是AC 的中点.求证：B 1C//平面A 1BD .立体几何咼考考点：选择题：三视图选择填空：球类题型大题（1）线面平行、面面平行线面垂直、面面垂直（2）异面直线的夹角线面角面面角（二面角）（3）锥体体积点面距离【运用基本定理】【几何法、直角坐标系法】【找到一个好算的高，运用公式】【等体积法】线面平行 1、如图所示，边长为 4的正方形与正三角形所在平面互相垂直, M 、Q 分别是PC , AD 的中点.求证：PA //面BDM P4、如图，在四棱锥 P -ABCD 中 ABCD 是平行四边形， M N 分别是AB, PC 的中点，求证： MIN/平面PADB/VNAB6、（2012）如图，直三棱柱7、【2015高考】如图，三棱台 DEF ABC 中，AB 2DE , G , H 分别为AC , BC 的中点）求证：BD //平面FGHABC — A ' B ' C ',/ BAC = 90 ° AB 证明：MN //平面A ' ACC所在的平面，AD=PA=2 , CD=2 一 ?, E 、F 分别是 AB 、PD 的中点.求证： AF //AC = .2 AA ' = 1，点M 、N 分别为A ' B 和B ' C '的中点 5、如图，PA 垂直于矩形 ABCD 平面PCE ;1 •下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A. —个平面的一条直线平行于另一个平面；B. —个平面的两条直线平行于另一个平面C. 一个平面有无数条直线平行于另一个平面D. —个平面任何一条直线都平行于另一个平面2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面a ,则b与a的位置关系是（A.b //aB.b —aC.b与a相交D.以上都有可能3. 直线a, b,c及平面，，A.a// ,b B. a//4 .若直线m不平行于平面，A. 的所有直线与m异面C. 存在唯一的直线与m平行5.下列命题中，假命题的个数是（）C. a// c,b// cD. a// , f ，则下列结论成立的是（B. 不存在与m平行的直线D. 的直线与m都相交使a//b成立的条件是（,b//且m）①一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面的任何直线不相交；② 和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯----------- 个平面与A. 4B. 3C. 26、已知两个不重合的平面a，3给定以下条件：①a不共线的三点到3的距离相等；②I，m是a的两条直线，且③I，m是两条异面直线，且其中可以判定all 3的是（A .①B .②过平面外一点有且只有一条直线平行于同一条直线的两条直线和同一平平行D. 1 l // 3 m // 3l // a, l // 3, m / a, m // )C.①③3;D.③3、如图，P 为 ABC 所在平面外一点，Pl 面BAC, < ABC 90 , AE ^ PB 于E , A — PC 于 F ,求证：(1) BL 面 PAB, (2) AL 面 PBC ( 3) PL 面 AEF 。

线面面面垂直复习

逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
6 应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤:
“一垂二射三证明” “一垂”:找平面及平面的垂线 “二射”:找斜线在平面上的射影 “三证明”:用定理证明直线垂直
7 平面与平面垂直的定义
8 两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 9 面面垂直的判定方法：
1、定义法： 2、判定定理法： 3、线面平行法：
如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直的定义、判定定理、及其相关性质
3熟练掌握三垂线定理及其逆定理 4 熟练掌握面面垂直的定义、判定定理、性质定理
5 能综合运用上述知识灵活解决相关问题，提高空间想象能力和逻辑推理能力
一复习回顾
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直．
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
垂直于同一平面的两条直线平行
5 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
C
∴SC⊥EF
B
2已知正方形ABCD中， A
E为DD1的中点，A1C1
与B1D1相交于O1
B
求证 BO1⊥平面A1C1E
D C
E
A1
D1
O1
B1
C1
三练习反馈
P
※1.已知 PA、PB、PC两两垂直，
H为P在平面ABC内的射影 B (1)求证：AH⊥BC (2)H是△ABC的垂心。

面面垂直的性质定理(最全)word资料

线面、面面垂直的性质定理教学目标：1. 掌握垂直关系的性质定理,并会应用。

2. 通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。

3. 通过典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.重难点：垂直关系的性质定理是重点也是难点。

课时安排： 1课时.教学手段：多媒体.教学过程：一、复习引入线线垂直线面垂直面面垂直二、性质定理的引入（一）问题探究一为了改善小区电力供应，决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？答：令它们都垂直于地面！【抽象概括】定理6.3 如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）b a b a //,⇒⊥⊥αα （数学语言，学生归纳）※归纳线面垂直的性质：1、线线垂直2、线线平行（图形符号）【练习】（二）问题探究二在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你怎么保证电线杆都垂直于地面呢？答：令每一条电线杆紧贴墙面且都垂直于墙面与地面的交线！【抽象概括】a bαααααααααα⊥⇒⊥⊥⇒⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥n n m m n m n m nm n m nm n m n m ,//)4(//,)3(,//)2(//,)1(.__________中，正确的命题序号有表示平面，则下列命题表示直线，、若定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另一个平面. (文字描述) (数学语言，学生归纳) （图形符号） ※归纳面面垂直性质：线面垂直线面垂直面面垂直【练习】设两个平面互相垂直，则（）A. 一个平面内的任何一条直线都垂直与另一个平面B. 过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C. 过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D. 分别在两个平面上的两条直线互相垂直分析：利用逆向思考的方法寻找证明思路.四、小结：线线平行线面平行面面平行1、线线垂直线面垂直面面垂直2、几何证明中常常使用逆向思考的方法.五、作业：P49 B3 、 P70 C2P68 A5－A8 在书上⎪⎩⎪⎨⎧⊥=⊥l m m l βαβα ,β≠⊂α⊥⇒m αβm l .MN 2AB MN 1M BC MN BC C B MN D C B A ABC D 1111111垂直的所有平面与直线）找出与（的关系，说明理由与）判断（于内，且平面在中，在长方体例⊥-D 1C 1B 1A 1D C B A N M .A B PBC PAB ABC PA PABC 2B C ⊥⊥⊥，求证：面面，面中，如图，在四面体例C B A P一请您介绍一下面瘫对人们日常生活造成哪些危害面瘫也叫面神经炎,医学上称为面神经麻痹,在日常生活中很常见,许多病人承受着面瘫后遗症所带来的困扰,它给这些病人在生活上、工作上及社会交往上带来很多不便,甚至造成心理上的伤害。