初一实数复习讲义汇编
(完整word版)七年级实数讲义
1月17日复华七年级数学实数12.1 实数的概念一、引入 数的范围至此扩大到了有理数，复习有理数的定义和分类：定义：整数和分数统称为有理数。
分类： 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数就是用两个整数之比表示的分数：)0,(≠q q p qp都是整数，且 质疑：数的扩充是不是到此为止了呢？有理数是不是够用了？还有没有不是有理数的数呢？ 问题2：正方形ABCD 的边长怎样表示？分析：设正方形ABCD 的边长为x ，那么x 2=2，即x 是这样一个数，它的平方等于2。
这个数表示面积为2的正方形的边长，是现实世界中真实存在的线段长度。
由于这个数和2有关，我们现在用2（读作“根号2”）来表示。
追问：面积为3的正方形，它的边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3：2是有理数吗？ 因为：有理数=分数)0,(≠q q p qp都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数（详见P36），那就不能是有限小数，也不能是无限循环小数，所以2只能是“无限不循环小数”。
问题4：无限不循环小数还有吗？Π是有理数码？ 二、归纳1．无理数（1）无限不循环小数叫做无理数。
（2）无理数包括正无理数和负无理数。
（3）只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
2．实数（1）有理数和无理数统称为实数。
(2)实数可以这样分类：正有理数有理数 零 ——有限小数或无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数三、练习1．将下列各数填入适当的括号内： 0、-3、2、6、3.14159、722、32.0&&&、5、π、0.3737737773…. 有理数：﹛ ﹜；无理数：﹛ ﹜； 正实数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜； 非负数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 提问：常见的无理数的形式有哪几种？(三种形式)2．请构造几个大小在3和4之间的无理数。
七年级下册数学讲义之实数单元复习-学生-春季班
学科教师辅导讲义学员学校：年级：初一课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题实数全章复习授课时间：备课时间：教学目标1、理解实数的分类，了解无理数的概念2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.3、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根4、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。
重点及难点1、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根2、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。
教学内容知识精讲一、主要知识点：注意：(1)实数还可按正数，零，负数分类．(2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n 为整数)表示；奇数一般用2n -1或2n +1(n 为整数)表示．(3)正数和零常称为非负数．1.1.2平方根、算术平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)，即如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．正数a 的平方根，记作：a ±．正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作：a ．正数和零的算术平方根都只有一个．零的算术平方根是零．⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a注意：a 的“双重非负性” ：⎩⎨⎧≥≥．，00a a1.1.3立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根(或叫做a 的三次方根)，即如果a x =3，那么x 就叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面．例题精讲（一）、有理数无理数的判别：1. 在-1.732，2，π， 3.41 ，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为( ). A.5 B.2 C.3 D.4（二）、算术平方根、平方根、立方根的概念：1. 若1-m 与3m+1是同一个数的平方根，则这个数可能是2.一个正数x 的平方根为2a-3和5-a ，则x=．巩固练习1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2、8的立方根是 ；327-＝ ；3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是4、23的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。
人教版七年级数学下册《实数》全章复习与巩固(知识讲解及考点训练)
《实数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算： ⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数2a 0≥0a ≥数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列各式正确的是（ ）A 7=-B 3=±C =D 4=【答案】D举一反三：【变式】如果m 有算术平方根，那么m 一定是（ ）A ．正数B ．0C ．非负数D ．非正数【答案】C2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2=2.2367.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642类型二、与实数有关的问题 3、．把下列各数填入相应的集合中： 3.14，-2π，-917，3100-， 0 ，1.212212221… ，3，0.151151115 无理数集合{ … }；有理数集合{ … }；非正数集合{ … }． 【详解】由立方根的性质得：31000-<，无理数集合{-2π， 1.212212221…，…}；有理数集合{3.14，0，0.151151115，… }；非正数集合{-2π，0，… }；举一反三：【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；类型三、与实数有关计算4、计算：（1）⎛- ⎝； （2|1--【答案】（1；（2）12-解：（1）⎛ ⎝=；（2|1--=914+-=12-举一反三：【变式】计算：（1）83237⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． （2（3）221(12)332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）67；（2）4；（3）-11．解：（1）83237⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭ =827-+ =67；（2+=-2+6=4；（3）221(12)332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭ =1(12)96-⨯-=-2-9=-11．5、已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 ．【答案】12．解：∵（a+6）2+=0，∵a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3，可得2b 2﹣4b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简＋∣a －b ∣＝ .【答案】2a-1a 解：∵a ＜0＜b ,∴a －b ＜0 ∴＋∣a －b ∣＝－a －(a －b )＝b －2a .【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】； 类型四、实数综合应用6、小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．） 【答案】3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ， ∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)，即34363r ππ=，解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m ，池深1.5m ，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得答：这个水池的底边长为18m .2a a 2,1,,a a a a -21a a a a <<<-2 1.5486x ⨯=2324x =18x =。
【新】七年级 数学 人教版 实数 讲义【精编版】
有理数和无理数一、知识梳理：知识点一、有理数和无理数的分类：1、按照有理数和无理数分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 2、按照正数和负数分类：3、无理数：无限不循环小数叫无理数，初中遇到的无理数有四种。
eg ：①含有π的，②根号开不尽的，③无限不循环小数④ 部分三角函数例1、下列各数是正数还是负数？是有理数还是无理数？-7.5，0，4，32，38，2，4π，51.0&，-3.2，2013，3.1415926， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅3.141592，⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.131313，2.345，1.121121112…，有理数_____________…，无理数_____________…正实数,_____________…负数_____________… 【变式练习】：在实数4π,271,4227,64,12,49,0,....1234325.0,23,43----π中，共有____个无理数 知识点二、实数中的几个概念：①数轴（三要素）任何实数都可以在数轴上表示； 作用：表示数的位置；比较数的大小例1、比较41,31,21---的大小关系：__________________例2、已知2,,1,10x x xx x ，那么在<<中，最大的数是___________例3、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图1所示，化简：（1） b a a c --+ •-2 -1 0 12 a 图13••bc（2）b c c b c ---+23【变式练习】：1、已知的大小顺序是，则2,,1,01x x xx x <<-___________2、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab > ②相反数与倒数（字母a 、b 不单单表示一个数，也可以是单项式，也可以是多项式）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 ； a 和b 互为倒数⇔1=ab例1、已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，求2m cd mba +-+的值；③绝对值（几何意义：这个数的点到原点的距离，强调三种非负性。
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当 时， ，例如
5、立方根的概念及性质（例8）
（1）立方根的定义：一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的立方根，也叫做 的三次方根.如 ，2叫做8的三次方根.
(2)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
（3）立方根的表示：数 的立方根用符号“ ”来表示，读作“三次根号 ”。其中， 称为被开方数，3称为根指数。
12、近似数（例15）
接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数.
注意：近似数产生的原因主要有两种：（1）有些需要度量的数，由于受到测量工具精度的限制，得到完全准确的数值几乎是不可能的，这就需要用和准确数尽可能接近的数来表示；（2）有时没有必要完全准确，用近似数表示就可以了.
6、开立方（例9）
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
（1）开立方是一种运算，是与加、减、乘、除、乘方一样的运算，是求立方根的过程，立方和开立方互为逆运算.
（2）由立方根的性质可知开立方的结果是唯一的.
7、无理数（例10）
（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.
（2）无理数的常见类型主要有以下3种：
（3）对于带有“文字单位”的近似数，在确定其精确到哪一位时，分为两种情况：文字单位前面是整数，如18亿，则它精确到文字单位这一位（亿位）；文字单位前面是小数，如2.61万，则先将它还原为普通数26100，此时1所在的数位（百位）就是它精确到的数位.
三、例题讲解
1、下列各数中，没有平方根的是（）
A.1 B.0 C. D.
所有带根号且被开方数是开方开不尽的数；
圆周率 及一些含有 的数；
无理数与有理数的和、差，无理数乘或除以一个不为0的有理数所得的结果.
初中数学七年级下册第六章：实数知识讲解
举一反三：
【变式】已知 x、y 是实数，且 3x 4 +（y2－6y+9）=0，若 axy－3x=y，则实数 a 的值是（ ）
1
A．
4
1
B．－
4
7
C．
4
7
D．－
4
【答案】A. ∵ 3x 4 +（y－3）2=0，
3, 4
a3
1 1 3
.
4,
a4
1 . 1 4
1, 3
3
4
a5
1. 1 ( 1)
3, 4
a6
1 1 3
.
4, ……..三个一循环，因此 a2009
a2
1 1 ( 1)
3 .
4
3
4
3
类型三、实数大小的比较
3．若 a 2007 ， b 2008 ，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小．
2008
要点诠释：
若 a a, 则 a 0、 a -a, 则 a 0、 a-b 表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间
的距离.
考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
C．3 个
D．4 个
【答案】C；
【解析】在上面所给的实数中，只有 3 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是
2
有理数，故选 C. 【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即
“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 4 =2 是
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4.科学计算器的应用
例9.用计算器计算2116.0的按键顺序是______,结果等于_____. 六．复习时需要强调和注意的问题
1．平方根与算术平方根的联系和区别：
(1)联系：只有非负数有平方根和算术平方根．0的平方根，算术平方根都为0．
(2)区别：正数的平方根有两个，互为相反数，正数的算术平方根只有一个，用a表示一个正数，其平方根为a?，其算术平方根为a(a为正数)
(3)当0a?时，0a?；0a?时，a无意义
2．平方根与立方根的性质：
3．无理数是无限不循环小数，一般来说开方开不尽的数，如2,3等都是无理数，但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式，如π就是一个特例．
4．在实数范围内，对于非负数是可以开平方的，但负数开平方是没有意义的．
5．实数的分类
例1判断题：
(1)16的平方根是4?( )
(2)25?是425的平方根( )
(3)25?是425的平方根( ) (4)425的平方根是25?( )。
最新七下实数辅导讲义(一)终极版资料
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
七年级数学实数讲义
实数知识点一（平方根和立方根） 【知识梳理】1．一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．2．一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为a ±．3．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．4．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．5．一般的，如果_一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为3a ．6．求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方．7．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 8．一般的，=-3a 3a -．【例题精讲】题型1：平方根、算术平方根、立方根的概念 例1：25111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 125的立方根是______；81-的立方根是______．例2：判断正误（1）3是9的算术平方根．（ ） （2）3是9的一个平方根．（ ） （3）9的平方根是－3．（ ） （4）（－4）2没有平方根．（ ） （5）－42的平方根是2和－2．（ ） （6）6427的立方根是43±．（ ） （7）有理数一定有立方根．（ ）例3：下列说法中正确的是（ ）A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数题型2：计算例1： 计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412______． （7）=3064.0______； （8）=3216______；（9）=-33)2(______；（10）=364611______ 例2：求下列各式的值：（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅（5）327102-- （6）3235411+⨯ （7）3231)3(27---+-例3：求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x = ⑷225360x -=⑸3512x = ⑹3641250x -= ⑺()31216x -=-题型3：实际应用例1：要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？例2：要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？例3：已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．【课堂练习】一、选择题1. ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4． 2.下列说法正确的是（ ）A 、64-的立方根是4±；B 、64-的平方根是8-；C 、8的立方根是2±；D 、27-的立方根是3-。
七年级数学讲义一：实数
1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
七年级第六章实数知识点
七年级第六章实数知识点实数是数学中的基础概念之一，也是数学中最基本的知识点之一。
本文将介绍七年级第六章实数的知识点，包括实数的定义、实数的分类、实数的运算、实数的性质等方面。
一、实数的定义实数是指所有有理数和无理数的总称，是数学中最基本的数量类型之一。
实数包括整数、分数、小数、无限不循环小数和无限循环小数。
二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是指可以表示成两个整数的比的数，包括正整数、负整数、正分数和负分数。
无理数是指不能表示为两个整数的比的数，无限不循环小数和无限循环小数都是无理数。
三、实数的运算实数可以进行加、减、乘、除四则运算。
具体的运算规则如下：1.加法：两个实数相加，其和仍是一个实数。
2.减法：两个实数相减，其差仍是一个实数。
3.乘法：两个实数相乘，其积仍是一个实数。
4.除法：两个实数相除，其商仍是一个实数。
四、实数的性质实数具有以下性质：1.交换律：实数加法和乘法具有交换律，即a+b=b+a，ab=ba。
2.结合律：实数加法和乘法具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)。
3.分配律：实数乘法对加法具有分配律，即a(b+c)=ab+ac。
4.存在相反数：对于任意实数a，存在它的相反数-b，使得a+b=0。
5.存在倒数：对于任意非零实数a，存在倒数1/a，使得a×(1/a)=1。
6.存在无限接近的实数：对于任意实数a和正数ε，总存在一个实数b，使得|a-b|<ε。
综上所述，实数是数学中最基本的知识点之一。
了解实数的定义、分类、运算和性质对于学好数学非常重要。
我们希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地掌握实数的知识。
《实数》全章复习与巩固基础知识讲解
可编写可更正《实数》全章复习与牢固（基础）1. 认识算术平方根、平方根、立方根的看法，会用根号表示数的平方根、立方根.2. 认识开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.认识无理数和实数的看法，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；认识数的范围由有理数扩大为实数后，看法、运算等的一致性及其发展变化. 4. 能用有理数预计一个无理数的大体范围.【知识网络】【重点梳理】重点一、平方根和立方根种类平方根立方根项目被开方数非负数任意实数符号表示a 3 a一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；性质相反数；一个负数有一个负的立方根；零的平方根为零；零的立方根是零；数没有平方根；( a ) 2a( a 0)(3 a ) 3a重要a 2a(a0)3a3aaa( a0)3a 3 a重点二、 n 次方根假如一个数的 n 次方（ n 是大于1的整数）等于 a ，那么个数叫做 a 的 n 次方根.当 n奇数，个数 a 的奇次方根；当n 偶数，个数 a 的偶次方根.求一个数 a 的n 次方根的运算叫做开n 次方， a 叫做被开方数，n 叫做根指数.数 a 的奇次方根有且只有一个，正数 a 的偶次方根有两个，它互相反数；数的偶次方根不存在. ；零的n次方根等于零 .重点三、数有理数和无理数称数．1.数的分重点：（ 1）全部的数分成三：有限小数，无穷循小数，无穷不循小数．其中有限小数和无穷循小数称有理数，无穷不循小数叫做无理数．（ 2）无理数分成三：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特别意的数，如π；③有特定构的数，如⋯（3）凡能写成无穷不循小数的数都是无理数，而且无理数不可以写成分数形式 .2.数与数上的点一一.数上的任何一个点都一个数，反之任何一个数都能在数上找到一个点与之.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有以下三种形式：（ 1）任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a | ≥ 0；（ 2）任何一个实数 a 的平方是非负数，即a2≥0；3a 0( a 0 ).（）任何非负数的算术平方根是非负数，即非负数拥有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和还是非负数；（3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0.4.实数的运算：数 a 的相反数是－ a ；一个正实数的绝对值是它自己；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是0.有理数的运算法规和运算律在实数范围内依旧成立. 实数混杂运算的运算序次：先乘方、开方、再乘除，最后算加减. 同级运算按从左到右序次进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法规在实数范围内依旧成立.法规 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右侧的数总比左侧的数大；法规 2．正数大于0， 0 大于负数，正数大于全部负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法规 3.两个数比较大小常有的方法有：求差法，求商法，倒数法，估量法，平方法.重点四、近似数及有效数字1. 近似数：完整吻合实质地表示一个量多少的数叫做正确数；与正确数达到必定凑近程度的数叫做近似数.2. 精确度：近似数与正确数的凑近程度即近似程度. 对近似程度的要求叫做精确度.重点讲解：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．可编写可更正3. 有效数字：从一个数的左侧第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的全部的数字都是这个数的有效数字，如的有效数字有三个：2， 0， 8．重点五、分数指数幂n a mm1ma n a 0 ， a n a0 ，此中m、n为正整数， n 1 .n a mm m上边规定中的 a n和 a n 叫做分数指数幂， a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.重点讲解：设 a 0， b0， p、 q 为有理数，那么（ 1）a p a q a p q， a p a q a p q.（ 2）a p qa pq.pp p（ 3）ab a p b p，aa .b b p【典型例题】种类一、有关方根的问题1、以下命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根必定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④假如一个数的算术平方根是这个数自己，那么这个数是1或 0；⑤假如一个数的立方根是这个数自己，那么这个数是 1 或 0 ，此中错误的有（）个个个个【答案】 B；【分析】①负数有立方根；②0 的平方根是0；⑤立方根是自己的数有0，± 1.【总结升华】掌握平方根和立方根的定义是解题重点.贯穿交融：【变式 1】以下运算正确的选项是（）A．42B．235C．382D．| 2|2【答案】 C；可编写可更正【变式 2】243的 5 次方根是＝ _________. 10243【答案】；42、若102.01 10.1 ，则± 1.0201 ＝若30.7160 ，3 1.542 ，则3367 _____________【答案】±；；【分析】向左挪动 2 位变为，它的平方根向左挪动 1 位，变为，注意符号；向右挪动 3 位变成 367，它的立方根向右挪动 1 位，变为【总结升华】一个数向左挪动 2 位，它的平方根向左挪动 1 位；一个数向右挪动 3 位，它的立方根向右挪动 1 位.种类二、与实数有关的问题3、把以下各数填入相应的会集：－1、3、π、－、9 、 6 2 、2、．2（ 1）有理数会集｛｝；（ 2）无理数会集｛｝；（ 3）正实数会集｛｝；（ 4）负实数会集｛｝．【思路点拨】第一把能化简的数都化简，而后比较看法填到对应的括号里.【答案与分析】（ 1）有理数会集｛－1、－、9、｝；（ 2）无理数会集｛ 3 、π、6 2 、2｝；2（ 3）正实数会集｛ 3 、π、9、62、｝；（ 4）负实数会集｛－ 1、－、2｝．2【总结升华】有理数是有限小数和无穷循环小数，无理数是无穷不循环小数. 总结常有的无理数形式 .贯穿交融：【变式】（ 2015? 绥化）在实数 0、π、、 、﹣ 中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 B ；34、计算（ 1） 3 216 3 1000( 2 ) 2 （ 2）3 （3） (1)235)( 1(11)39 3261 (1 5)2274【思路点拨】 先逐一化简后，再依据计算法规进行计算.【答案与分析】解：（ 1） 3 21631000( 2)2＝6 10 2162333326 1(15)2＝32（ 2）1 1 1 1 127427 4 3 4 121 2 35 1 1 42 18 1 2 13（3）()(1 )(1) ＝3333 273 3.39 39 3【总结升华】 依据开立方和立方， 开平方和平方互逆运算的关系，可以经过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.贯穿交融：【变式】计算 (1) 326 13327(2)2 3(4)2 3( 4)3 ( 1 )2( 3)22【答案】解： (1)26 1 33327312729 1501(2)2 3( 4) 23( 4)3 ( )2 ( 3)2128 44 3432 1 3 36 .225、（ 2015? 资阳）已知：（ a+6） +=0，则 2b ﹣ 4b ﹣ a 的值为．【答案】 12．【分析】解：∵（ a+6） 2+=0，∴ a +6=0， b 2﹣ 2b ﹣ 3=0，2解得， a=﹣6， b ﹣ 2b=3，可得 2b 2﹣ 4b=6，则 2b 2﹣ 4b ﹣ a=6﹣（﹣ 6） =12，故答案为： 12．【总结升华】 本题主要观察了非负数的性质，初中阶段有三各种类的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根） ．当它们相加和为 0 时，一定满足此中的每一项都等于0．贯穿交融：【变式 1】实数 a 、 b 在数轴上所对应的点的地点以以下图：化简 a 2 ＋∣ a － b ∣＝.【答案】解：∵ a ＜ 0＜ b ,∴ a － b ＜ 0∴ a 2 ＋∣ a － b ∣＝－ a － ( a － b ) ＝ b － 2 a .【变式 2】实数 a 在数轴上的地点以以下图， 则 a, a, 1, a 2的大小关系是：；a-1 a 0可编写可更正【答案】1a a2 a ；a6、用四舍五入法，按括号中的要求把以下各数取近似数.(1)( 精确到；(2)( 精确到千分位) ；(3)( 精确到个位 ) ；【答案与分析】解：（ 1）≈；（2）(2)≈；（3）≈ 64.【总结升华】从一个数的左侧第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的全部的数字都是这个数的有效数字.近似数末位的0 不可以随意去掉，去掉了就会改变它的精确度.7、把以下方根化为幂的形式：（1）315；（2）473；（3）1；（4）51. 83【答案与分析】1解：（ 1）31515 3；4 733（ 2）74；11（ 3）8 2；8111153 5.（4）533n a m m【总结升华】 a n a 0 ，此中m、n为正整数， n 1 .种类三、实数综合应用8、现有一面积为150 平方米的正方形鱼池，为了增添养鱼量，欲把鱼池的边长增添6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留 4 个有效数字）可编写可更正【答案与分析】解：由于原正方形鱼池的面积为150 平方米，依据面积公式，它的边长为（米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（＋6）米，因此扩建后鱼池的面积为18.247 2≈（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150 平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增添的 6 米，故新鱼池面积可求．贯穿交融：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486 m3，池深m，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得x2486x2324x18答：这个水池的底边长为18 m .。
初一数学第六章《实数》知识点汇总
初一数学知识点第六章 实数 知识点归纳一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； 3. 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、 无限小数是有理数（×） 无限小数是无理数（×）有理数是无限小数（×） 无理数是无限小数（√）数轴上的点都可以用有理数表示（×） 有理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用无理数表示（×） 无理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用实数表示（√） 实数都可以由数轴上的点表示（√）三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
(word完整版)七年级第三章实数复习讲义
教育学科教师辅导讲义根据定义，巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例题 1： 已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.巩固： 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.巧解方程例2： 解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 （3）27)3(83=--x巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例1 、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.巩固①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
②已知互为相反数，求a ，b 的值§3 .2 实数一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
关于数系扩张后与有理数的知识链接1 关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．2．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、等．3.实数的大小比较 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
最新七下实数辅导讲义(一)
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根的区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
第六章《实数》总复习课件
2、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ）
（2）无限小数都是无理数。
（3）无理数都是无限小数。
（
（
）
）
（4）带根号的数都是无理数。
（
）
）
（5）两个无理数之和一定是无理数。（
（6）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过 来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
练习：计算下列各式的值:
(1) 2 2 2
3 3
(2) 2 2 (1 2)
(3)、 2 9 2
5 2
补充练习
x 1、 x 3 y 3 0， 求 y
x 2、 x 3 3 y 3 0， 求 y
3
3、 | x 3 | y 2 0， 求x 2 xy y
3 （1） － 8 的相反数是2
绝对值是 2 .
1 ； 倒数是 2
；
（2） 3 的倒数是 3
；
（3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ；
若 x 2 5, y 1 2，且xy 0，则x＋y＝ 8或－5 （4）
2、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1 －1 所示， 则它们从小到大的顺序是 c<d<b<a 。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
a b (a b) －2b
2
初一实数总复习(总结全面)
/*总复习一：实数一、单元知识网络：二、考试目标要求：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.具体目标：1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应.(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.(5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.三、知识考点梳理知识点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．4.无理数：无限不循环小数叫无理数．5.实数：有理数和无理数统称为实数．知识点二、实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．知识点三、实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．知识点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.知识点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc知识点六、有效数字和科学记数法1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法：把一个数用(1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．四、规律方法指导1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏.3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢.4.注意观察、分析、总结对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读两量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路.经典例题精析考点一、实数概念及分类1.(舟山市)下列各数中是正整数的是()A.1B.-2C.0.3D.思路点拨：考查实数的分类，首先判断性质符号为正，其次判断是否为整数.答案：A.2.下列实数、sin60°、、、3.14159、、、中无理数有()个A．1B．2C．3D．4答案：C.无理数有sin60°、、.总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【变式1】把下列各数填入相应的集合里：(1)自然数集合：{…}(2)整数集合：{…}(3)分数集合：{…}(4)无理数集合：{…}答案：(1)自然数集合：(2)整数集合：(3)分数集合：(4)无理数集合：考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值3.(1)a的相反数是，则a的倒数是_______．(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:则化简=______．思路点拨:(1)注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.由a的相反数是，所以a=，的倒数为5.(2)此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：答案：(1)5；(2)-a-b.举一反三：【变式1】化简-(-2)的结果是()A．-2B．C．D．2答案：选D.【变式2】若m+1与m–3互为相反数，则m=_______.思路点拨：互为相反数的两个数之和等于0.∴m+1+m–3=0，解得m=1.答案：1.【变式3】-2的倒数是_______.思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1的两个数互为倒数.答案：.【变式4】的绝对值是()A．B．C．D．答案：选B.【变式5】若|x-1|=1-x，则x的取值范围是()A.x≥1B.x≤1C.x<1D.x>1答案：选B.总结升华：(1)考查绝对值的意义；(2)考查绝对值的非负性，绝对值具有以下性质：①|a|≥0，即绝对值的非负性；②若|x|=a(a≥0)，则x=±a，即绝对值的原数的双值性.【变式6】下列说法正确的是()A.-1的倒数是1B.-1的相反数是-1C.1的算术平方根是1D.1的立方根是±1思路点拨：本例考查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术平方根、立方根.解答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知-1的倒数是-1，-1的相反数是1；另一方面根据定义具有的双重性，可知1的算术平方根是1，1的立方根是1.答案：选C.【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=________.解析：欲求|a-b|，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值，因此易得，∴a=0，b=±1，∴|a-b|=|±1|=1.【变式8】(长沙市)如图，数轴上表示数的点是.思路点拨：实数与数轴上的点一一对应，表示正数的点在原点的右侧，.答案：B.考点三、近似数、有效数字、科学记数法4.(1)根据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为()A.1.055×1010元B.1.06×1010元C.1.06×1011元D.1.05×1011元(2)2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在渤海地区发现储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)()A.1.02×107B.1.02×108C.1.02×109D.1.02×1010思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念.精确度的形式有两种：(1)精确到哪一位；(2)保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分，因此(1)中105.5亿元=10 550 000 000元，用科学记数法表示为1.055×1010，保留三个有效数字为1.06×1010；(2)中应表示为1.02×109.答案：(1)B；(2)C.举一反三：【变式1】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为_________立方米.解：600×50=30000=3×104.总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考查科学记数法以及分析问题的能力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，促使我们从小就要热爱大自然，树立环保意识.【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是()A. B. C. D.思路点拨：首先选项C、D所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a不符合只有一位整数数位，B中的n值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有改变数的大小.答案：A.【变式3】近似数0.030万精确到______位，有_____个有效数字，用科学记数法表示记作__________.思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为以“个”为单位的数，再确定其精确的位数.如，即“1”后面的第一个“0”在十位上，因此精确到十位，而不是百位.答案：十；2；.考点四、实数的大小比较5.比较下列每组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与；(4)a与(a≠0).思路点拨：(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.解：(1)，，，所以(2)因为所以；(3)，，而与可以很容易进行比较得到，所以；(4)当a<-1或O<a<1时，a<；当-1<a<0或a>1时，a>；总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.考点五、快速准确地进行实数运算6.计算：.思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．解：总结升华:本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0指数)幂的意义，而使举一反三：【变式1】填空：-1-1-1-1=_________；=_________；=__________；(为正整数)=__________；=___________；=____________；=__________.思路点拨：(1)根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值.(2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除.(3)合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便.答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、.【变式2】计算：(1)(2)(3)思路点拨：(1)题可将改写成……，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得结果；(2)题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；(3)题注意混合运算的顺序，不能先算.答案：(1)11109；(2)-110；(3).7.已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.思路点拨：此题考查的是非负数的性质.解：即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.举一反三：【变式1】已知，求的值.思路点拨：利用≥0，≥0，≥0(为自然数)等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，再代入后本题得以解决.答案：-3.考点六、探索与创新8．计算：思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高.解：设n=2001，则原式=(把n2+3n看作一个整体)==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.9. 下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：(1)第四个图形中火柴棒的根数是______________；(2)第个图形中火柴棒的根数是______________.思路点拨：观察各个图形的根数与图形个数之间的关系，并由此归纳出第个图形中火柴棒的根数.答案：(1)13；(2).10.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值.思路点拨：近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.(1)由题意可知，图形满足勾股定理，(2)因为OA1=，OA2=，OA3=…，所以OA10=(3)S12+ S22+ S32+…+ S102.中考题萃：实数一、考试目标：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。
初一实数复习讲义汇编
(A)x(B)x—x+1(C)x—2\：x+1+1(D)x—2、：x+1+23.立方根如果一个数的立方等于A,那么这个数叫做A的立方根.例6•立方根等于3的数是【】(A)9(B)土9(C)27(D)土27例7.3—8等于【】(A)2(B)-2(C)3(D)-3例8.3迈836的值为【】(A)3.049(B)3.050(C)3.051(D)3.0524•科学计算器的应用例9.用计算器计算容°2116的按键顺序是，结果等于.六•复习时需要强调和注意的问题1.平方根与算术平方根的联系和区别：(1)联系：只有非负数有平方根和算术平方根.0的平方根，算术平方根都为0.(2)区别：正数的平方根有两个，互为相反数，正数的算术平方根只有一个，用a表示一个正数，其平方根为土丿a，其算术平方根为、：万(a为正数)⑶当a n0时，w n0;a<0时，w无意义2•平方根与立方根的性质：3.无理数是无限不循环小数，一般来说开方开不尽的数，如4矗等都是无理数，但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式，如n就是一个特例.4.在实数范围内，对于非负数是可以开平方的，但负数开平方是没有意义的.5•实数的分类例1判断题：⑴J16的平方根是±4()2匡-⑵5是'25的平方根()24-⑶5是25的平方根()4-2⑷25的平方根是5()A . 1B .2C .3D .42. A . B .正整数C .D .1 A 整数B 有理数C 无理数D 实数A.、7B.0.5C.2兀D.0.151151115…（两个5之间依次多1个DA .-0.7D .0.49A . 0.25是0.5的一个平方根B . •正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C . 72的平方根是7D . 负数有一个平方根7.数的平方根等于它 的立方根， 个数是A.0B.-1C.1D.不存在8.111②.(-4)2=±4，③玄一1=一3：1④\：16254 520补充练习（一）•精心选一选1.有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数包括正无理数.零.负无理数;（3）无理数是无限不循环小数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
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只有非负数才能开平方，成立的条件是a≥0，这一条件解题时往往被我们忽略。
3．实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。
4．二次根式的运算错误
在进行二次根式的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。
五．平方根和立方根考点例析
教学内容与过程：
1教学内容回顾
2新知识点讲解及例题
要点1平方根．立方根的定义与性质
1．要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。2．因为正数．0．负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。
要点2实数的分类与性质
要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。
4．公式：⑴( )2=a(a≥0)；⑵ = (a取任何数)。
5．区分( )2=a(a≥0)，与 =
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0(此性质应用很广，务必掌握)。
7.易混淆的三个数：(1) (2) (3)
3随堂练习
[例1]判断题：
(1)绝对值等于它本身的实数只有零．( )
(2)倒数等于它本身的实数只有1．( )
(3)相反数等于它本身的实数只有0．( )
(4)算术平方根等于它本身的实数只有1．( )
(5)有算术平方根的数是有理数．( )
(6)0是最小的实数．( )
(7)无限小数都是无理数．( )
(8)带根号的数都是无理数．( )
要点6数形结合题
数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。
要点7与二次根式有关的探究题
这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。
在中考试题中，平方根和立方根的考点有以下几个方面：
三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ考查要点
1．利用平方根．算术平方根．立方根的定义与性质解题
学生姓名：
年级：初一
辅导科目：数学
课时数：2
授课课题：实数
授课时间：2015年07月13日星期一
教学目标与重点：
理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小
借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|是意义
理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算
在中考试题中，平方根和立方根的考点有以下几个方面：
1.平方根的概念
如果一个数的平方等于A，那么这个数叫做A的平方根．
例1.9的平方根是【】
(A) 3(B)-3(C) 81(D)
例2.(-5)2的平方根是【】
(A)5(B)-5(C)±5(D)±
例3. 的平方根是【】
(A)±9(B)±3(C)9(D)3
(1)如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．
2．考查实数的有关概念及实数大小的比较
(2)比较大小：7 ．(填“＞”．“＝”或“＜”)
3．考查二次根式的概念
(3)根号x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
(A)x>1 (B)x≥l (C)x<1 (D)x≤1
4．考查同类二次根式
(9)不带根号的数都是有理数．( )
(10)两个无理数的和为无理数．( )
特别注意
1．平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2．每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3． 本身为非负数，有非负性，即 ≥0； 有意义的条件是a≥0。
(1)联系：只有非负数有平方根和算术平方根．0的平方根，算术平方根都为0．
(2)区别：正数的平方根有两个，互为相反数，正数的算术平方根只有一个，用a表示一个正数，其平方根为 ，其算术平方根为 ( 为正数)
(3)当 时， ； 时， 无意义
2．平方根与立方根的性质：
3．无理数是无限不循环小数，一般来说开方开不尽的数，如 等都是无理数，但是并不是所有的无理数都可以写成根号的形式，如π就是一个特例．
(A)9(B) (C)27(D)
例7. 等于【】
(A) (B) (C)3 (D)-3
例8. 的值为【】
(A)3.049 (B)3.050 (C)3.051 (D)3.052
4.科学计算器的应用
例9.用计算器计算 的按键顺序是______,结果等于_____.
六．复习时需要强调和注意的问题
1．平方根与算术平方根的联系和区别：
分析：掌握同类二次根式的概念是解决此类问题的关键。首先要把能化简的二次根式化成最简二次根式，再分别看被开方数是否相同即可。
5．考查二次根式的化简与运算
(4)化简 的结果是()
A．10 B．2 C．4 D．20
四．考试易错点
1．对平方根．算术平方根．立方根的概念与性质理解不透
理解不透平方根．算术平方根．立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上正负号，成了平方根等等。
要点3二次根式的性质及有关概念
二次根式要紧扣两个要素，即：根指数为2；被开方数大于或等于0。
要点4实数的混合运算
在实数范围内进行加．减．乘．除．乘方和开方运算，运算顺序依然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。
要点5非负数
非负数，即不是负数，也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值．实数的算术平方根．实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。
4．在实数范围内，对于非负数是可以开平方的，但负数开平方是没有意义的．
5．实数的分类
例1判断题：
(1) 的平方根是 ( )
(2) 是 的平方根( )
(3) 是 的平方根( )
(4) 的平方根是 ( )
(5) 的平方根是 ( )
6．有算术平方根的数是正数．
这六道判断题，主要是考查了学生对平方根和算术平方根这两个概念的掌握．
2.算术平方根
正数A的正的平方根叫做A的算术平方根.
例4.| -4|的算术平方根是【】
(A)2(B)±2(C)4(D) ±4
例5.设 为正整数，若 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是【】
(A) (B) (C) (D)
3.立方根
如果一个数的立方等于A，那么这个数叫做A的立方根．
例6.立方根等于3的数是【】