2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题答案

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湖南省名校2020-2021学年高二上学期第二次联考(12月)数学试题含答案

湖南省教育联合体2020年高二12月联考数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,1,0,1,2-=-A ，{}220--=<x B x x ，则=AB ( )A.{}1,1-B.{}1,0,1-C.{}0,1D.{}0,1,22.已知函数()2=++f x ax x a ，命题0:∃∈p x R ，()00=f x ，若⌝p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3.已知2log =a π，ln =b π，0.93-=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.<<a b cB.<<b a cC.<<c b aD.<<c a b4.在首项为1，公比不为1的等比数列{}n a 中，127=m a a a a ，则m 的值为( )A.20B.22C.24D.285.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值(GDP )y (单位：万亿元)关于年份代号x 的回归方程为()ˆ 6.6050.361,2,3,4,5,6,7=+=yx x ，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值(单位：万元)约为( )A.13.58B.14.04C.14.50D.202.166.若双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线与函数()()ln 1=-+f x x 的图象相切，则该双曲线离心率为( )A.2B.3C.2D.57.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，直线80+-=ax cy 平分圆22640+--=x y x y 的周长，则△ABC 面积的最大值为( )A.32B.3C.332D.2338.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的.常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造.该技术在珠宝、鞋类、工业设计、建筑、工程和施工，汽车航空航天、牙科和医疗产业、教育、地理信息系统、土木工程、枪支以及其他领域都有所应用.某校组织学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上四个顶点在圆锥底面上)，圆锥的底面直径和高都等于()221cm +，打印所用原料密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(取 3.14≈π，参考数据：()32114.07+≈，()221 5.83+≈，精确到0.1)A.21.5gB.30.7gC.45.6gD.55.3g二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2019-2020高三理科数学12月特供卷(二)(湖南省名校联考)附解析 (2)

2019-2020高三理科数学12月特供卷（二）（湖南省名校联考）附解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．162．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，丙所得为（）A ．钱B ．1钱C ．钱D ．钱4．已知函数，是的导函数，则函数的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知，均为单位向量，（）U =R {|(2)0}A x x x =-≤{1,0,1,2,3}B =-()U A Bðz ()1i 12i z -=+z 2343532()2cos f x x x =+()f x '()f x ()y f x '=a b +=a b ()()2+⋅-=a b a bA ．B ．C ．D ．6．内角，，的对边分别为，，，则“为锐角三角形”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在中，，，，则的面积为（）A ．B ．1 C8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位 9．设，，，则（）A ．B ．C ．D ． 10．定义在R 上的奇函数满足，且当时，，则（）A ．B ．C ．D ．111．设函数，若关于x 的方程对任意的有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 12．若，恒成立，则整数k 的最大值为（） 12-1232-32ABC △A B C a b c ABC △222a b c +>ABC △1AB =3AC =1AB BC ⋅=ABC △12()cos2sin 2π6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()cos2g x x =π3π3π6π64log 3a =8log 6b =0.10.5c -=a b c >>b a c >>c a b >>c b a >>()f x (1)(1)f x f x +=-[0,1]x ∈()(32)f x x x =-29()2f =1-12-1221,0(),0x e x f x x ax x ⎧-≤=⎨->⎩()0f x m +=(0,1)m ∈(,2]-∞-[2,)+∞[2,2]-(,2][2,)-∞-+∞(0,)x ∀∈+∞1ln(1)1x kx x ++>+A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．由曲线与直线围成的封闭图形的面积为_______．14．已知向量，，且，则______．15．已知是偶函数，则__________． 16．已知数列的前项和为，，，则当取最大值时，的值为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．22y x x =-+y x =()2,sin α=a ()1,cos α=b ∥a b ()πsin πcos 2αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭()ln(e 1)(0)axf x bx b =+-≠ab={}n a n n S 132020a =()12,n n n a S S n n -=≥∈*N n S n {}n a n n S 519a =555S ={}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T18．（12分）在中，角所对的边分别为，．（1）求；（2）为边上一点，，，求．19．（12分）已知函数，，曲线在点处的切线方程为．（1）求与的值；（2）求的最大值及单调递增区间．ABC △,,A B C ,,a b c 222()2cos a b ac B bc -=+A D BC 3BD DC =π2DAB ∠=tan C ()()cos sin f x x x α=+0πα<<()y f x =()()0,0f 12y x b =+αb ()f x20．（12分）已知数列满足且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．{}n a 1n a >()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++{}n a 2log n n n b a a =⋅{}n b n n T21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．()2xf x e ax a =+++()f x 0x ≤()2f x ≥a22．（12分）已知函数，．（1）若有两个零点，求a 的取值范围；（2）设，，直线的斜率为k ，若恒成立，求a 的取值范围．()ln 1f x x ax =-+a ∈R ()f x 11(,())A x f x 22(,())B x f x AB 120x x k ++>理科数学（二）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】，∴，∴子集个数为4．故选B ． 2．【答案】C【解析】由，可得．在复平面内对应的点为位于第三象限．故选C ． 3．【答案】B【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a ，，，则由题意可知，，即，又，∴，故选B ． 4．【答案】C【解析】因为，显然是奇函数，又，所以在R 上单调递增．只有C 符合，故选C ． 5．【答案】B 【解析】，均为单位向量，且，(,0)(2,)U A =-∞+∞ð(){1,3}U A B =-ð()1i 12i z -=+12i (12i)(1i)13i 213i 1i 2222z ++++-====-+-13i 22z =--13(,)22--2a d -a d -a d +2a d +22a d a d a a d a d -+-=++++6a d =-2255a d a d a a d a d a -+-+++++==1a =()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-()f x '()22cos 0f x x ''=-≥()f x 'ab +a b，，则，故选B ． 6．【答案】A【解析】当为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时成立，当成立时，由余弦定理可得，即C 为锐角，但此时形状不能确定，故为锐角三角形”是“”的充分不必要条件，故选A ． 7．【答案】C【解析】因为，解得，所以．所以的面积为C ． 8．【答案】D【解析】函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选D ．9．【答案】D【解析】，， ∴，，故选D ． 10．【答案】A【解析】∵，，2232∴=+⋅+a a b b 12∴⋅=a b ()()221222+⋅-=-⋅-=a b a b a a b b ABC △222a b c +>222a b c +>cos 0C >ABC △ABC △222a b c +>2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=2cos 3A =sin 3A ==ABC △11sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯=()1cos 2sin 2cos 2cos 2π2622f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22cos 22π3x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()cos2g x x =π6()f x 2log a =2log b =660-<1a b <<0.121c =>()()f x f x -=-()()11f x f x -=+∴，，，故选A ． 11．【答案】B【解析】因为关于x 的方程对任意的有三个不相等的实数根，所以当时，，有一根，当时，恒有两个正根，由二次函数的图象可知，对任意的恒成立，所以，解得．故选B ． 12．【答案】C 【解析】恒成立，即恒成立，即的最小值大于k ，，令，则，∴在上单调递增，又，，∴存在唯一实根a ，且满足，．当时，，；当时，，， ∴，故整数k 的最大值为3．故选C ．(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-4T =29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-()0f x m +=(0,1)m ∈0x ≤(0,1)m ∀∈1x e m -=-0x >2x ax m -=-20240aΔa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩(0,1)m ∈24a ≥2a ≥1ln(1)1x k x x ++>+(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>()h x 21ln(1)()x x h x x --+'=()1ln(1)(0)g x x x x =--+>()01xg x x '=>+()g x (0,)+∞(2)1ln30g =-<(3)22ln20g =->()0g x =(2,3)a ∈1ln(1)a a =++x a >()0g x >()0h x '>0x a <<()0g x <()0h x '<min (1)[1ln(1)]()()1(3,4)a a h x h a a a+++===+∈第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为，，如图：结合图像可知围成的封闭图形的面积为．14．【答案】【解析】向量，，且，所以．．由，所以．故答案为．15．【答案】2【解析】由，得，∴，． 16(0,0)(1,1)1123200111(2)d ()326x x x x x x -+-=-+=⎰45()2,sin α=a ()1,cos α=b ∥a b 2cos sin αα=()2πsin πcos (sin )(sin )sin 2ααααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=24sin 5α=45()()f x f x =-1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax axaxax ax e e bx ebx bx e ax bx e-++-=++=+=+-+2ax bx =2ab=16．【答案】674【解析】由，可得．所以．从而有：是以为首项，为公差的等差数列．所以，所以．当时，递增，且；当时，递增，且．所以当时，取最大值，故答案为674．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设公差为，则，解得，∴．（2）， ∴． 18．【答案】（1）；（2【解析】（1）由已知条件和余弦定理得， ()12,n n n a S S n n -=≥∈*N ()112,n n n n S S S S n n ---=≥∈*N ()11112,n n n n S S --=-≥∈*N 1{}nS 1120203S =1-120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-120233n S n =-1674n ≤≤n S 0n S >675n ≤n S 0n S <674n =n S 41n a n =-()343nn +d 1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩134a d =⎧⎨=⎩()34141n a n n =+-=-()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭11111114377114143n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+2π3222222222a c b a b ac bc ac+--=⋅+即，则，又，．（2）在中，由正弦定理可得，① 在中，，② 由①②可得，即，化简可得19．【答案】（1），；（2）最大值，单调递增区间为，．【解析】（1），，，，．（2），当，时，取得最大值．由，得，， ∴的单调递增区间为，．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，由，得．当时，，222a b c bc --=2221cos 22b c a A bc +-==-0πA <<2π3A ∴=ABC △sin sin120c BCC =︒ABD Rt△()sin 30cCBD︒+=()sin 30sin C C ︒+=1cos 22sin C C C +=tan C =π3α=4b =125πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()()()sin sin cos cos cos 2f x x x x x x ααα'=-+++=+()102f '=π3α=()04f =4b =()2111πsin cos sin 22sin 22244423f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ππ22π32x k +=+k ∈Z ()f x 12πππ2π22π232k x k -≤+≤+5πππ,π1212x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()f x 5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 2nn a =()1122n n T n +=-⋅+1n =()221log 1a =1n a >12a =2n ≥()()()()()2222122211log log log 1216n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=--∴，∴，∵也适合，∴．（2），∴，，两式相减得，∴．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1），若，则，在上单调递增；若时，由，得；由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，即，令，则，，当时，，满足题意；当时，，∴在上递增，由与的图像可得在上不恒成立；当时，由，解得，当时，，单调递减；()()()()()22211log 12112166n a n n n n n n n =++---=2nn a =1n =2nn a =2nn b n =⋅1212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-()1122n n T n +=-⋅+[]1,0-()x f x e a '=+0a ≥()0f x '>()f x R 0a <()0f x '>()ln x a >-()0f x '<()ln x a <-()f x ()(),ln a -∞-()()ln ,a -+∞0x ≤22x e ax a +++≥0x e ax a ++≥()xh x e ax a =++()00h ≥1a ≥-0a =()0xh x e =>0a >()'0xh x e a =+>()h x (],0-∞xy e =()1y a x =-+()0h x ≥(],0-∞10a -≤<()0xh x e a '=+=()ln x a =-()ln x a <-()0h x '<()h x当时，，单调递增．∴在上的最小值为，∴，解得．综上可得实数的取值范围是． 22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），， ①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点；②当时，在区间上，；在区间上，．∴在是增函数，在是减函数，，解得，此时，且，∴在上有1个零点；，令，则， ∴在上单调递增，∴，即，∴在上有1个零点．∴a 的取值范围是．（2）由题意得，∴， ∴在上是增函数，∴在上恒成立，∴， ()ln 0a x -<≤()0h x '>()h x ()h x (],0-∞()()ln h a -()()()ln ln 0h a a a -=-≥10a -≤<a []1,0-(0,1)(-∞1()f x a x'=-0x >0a ≤()0f x '>()f x (0,)+∞0a >1(0,)a ()0f x '>1(,)a +∞()0f x '<()f x 1(0,)a 1(,)a +∞11()ln 0f a a =>01a <<2211e e a a<<1()110a a f e e e =--+=-<()f x 11(,)e a 2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a =--+=--<<2()32ln e F a a a =--222222()0e e aF x a a a-'=-+=>()F a (0,1)2()()130F a F e <=-<22()0e f a<()f x 221(,)e a a (0,1)22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-2()ln m x x x ax =+-(0,)+∞1()20m x x a x '=+-≥(0,)+∞min 1(2)a x x≤+∵，∴时，即时，取等号，∴∴a 的取值范围是x >12x x +≥=12x x =2x =a ≤(-∞。

湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()()2e x f x a x a =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e 【答案】A【解析】【分析】令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e x x x g x -'=，令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极，当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第二象限.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.3．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（） A ．0B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】【分析】根据纯虚数的定义求解即可.【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于060B ．假设三内角都不大于060C ．假设三内角至多有一个大于060D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B【解析】【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 5．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元【答案】D第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.6．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为3,55⎛ ⎝⎭，由于243291525⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,5⎛- ⎝⎭，由于2432915525⎛⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 8．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】【分析】由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【详解】33044223log log 10,,12234a b c<==<<∴<<Q 故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 9．复数1()2i z a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a i z ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标．10．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（）A ．x R ∃∈，31x >-B ．x R ∀∈，31x ≤-C ．x R ∀∈，31x >-D ．x R ∀∈，31x ≥-【答案】C【解析】【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.11．执行如图所示的程序框图，若输出的18S =-，则输入的S =（）A ．-4B ．-7C ．-22D ．-32【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝6时不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S 的值．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i ＝2，满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1，i ＝3满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9，i ＝1满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16，i ＝5满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16﹣25，i ＝6不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S ＝﹣1．故选A ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S 的表达式是解题的关键，属于基础题．12．定积分22aa a x dx --⎰等于( ) A ．214a πB ．212a πC ．2a πD ．22a π【答案】B【解析】【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果。

三湘名校联盟高二12月联考数学答案

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湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷(PDF版)

130
= =13,
13
∴a^=y^－b^ ¯x=31.2
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ^y=13x+31.2 .
令 x=7，得 ^y=13×7+31.2=122.2 （百万元）
所以预测该公司 2019Q3 的销售额为 122.2 百万元--------------------(12 分）
20.【答案】以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直
→ 角坐标系．由已知得 B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)，BC1＝(－2，0,2)，
→
→
FP＝(－1,0，λ)，FE＝(1,1,0)．
→ (1)证明：当λ＝1 时，FP＝(－1,0,1)，
→ 因为BC1＝(－2,0,2)．
→→ 所以BC1＝2FP，可知 BC1∥FP，
19. 解：（I）从 5 个季度的数据中任选 2 个季度，这 2 个季度的销售额有 10 种情况：
（46,56), (46,67), (46,86), (46,96), (56,67) ,(56,86),(56,96),(67,86), (67,96), (86,96)
设‘这 2 个季度的销售额都超过 6 千万元’为事件 A，事件 A 包含（67,86），（67,96）（86,96），
D．105°
8.与圆 C : x2 y2 4x 0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是( )
A. y2 8x
B. y2 8x(x 0) 和 y 0
C. y2 8x(x 0)
D. y2 8x(x 0) 和 y 0(x 0)
9．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概率为（）

2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =U C ．{}1A B x x ⋃=> D ．{}1A B x x ⋂=≤【答案】A【解析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<，所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（） A ．2- B ．7-C ．1D ．5【答案】B【解析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩Q ，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（） A ．23B ．1C ．32D ．3【答案】B【解析】由题意得出()1tan 14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+Q ，()232f x ax '∴=-，又()1tan14f π'==，故321a -=，得1a =．故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（） A ．9 B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+Q ，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.6．已知曲线1:sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2:cos C y x =，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是（）A ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位 B ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位 C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位 D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位【答案】D【解析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为25m 时，水位下降了（）mA ．5B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)5,h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-，抛物线方程为22x y =-，当水面宽为25m h ，由点)5,h -在抛物线上，得52h =，故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为（） A ．22B 2C 3D 3【答案】B【解析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A 2，2222b a =+，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=，由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点，由0AM AN ⋅=uuu r uuu r 知90MAN ∠=o ，故圆心A 2，221b a b ca ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即2b e =，解得2e =故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知圆()22:22C x y -+=，点P 在直线20x y ++=上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 面积的最小值为（） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】C【解析】由题意得出四边形PACB 的面积为22PAC S S ∆==，由勾股定理知，当PC 取最小值时，切线长PA 取最小值，利用圆心到直线l 的距离作为PC 的最小值，并利用勾股定理求出PA 的最小值，从而可得出四边形PACB 的面积S 的最小值. 【详解】如图，四边形PACB 的面积为22PAC S S PA ∆==，故当PA 最小时，S 有最小值，记圆心到直线距离22d =22PC ≥226PA PC CA =-≥2623S ∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题. 10．若两个正实数x 、y 满足411x y +=，对这样的x 、y ，不等式234xy m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,4-B ．()4,1-C ．()(),41,-∞-+∞UD ．()(),14,-∞-+∞U【答案】A 【解析】将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可.【详解】由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4.由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =u u u r u u u r，则MFK ∆的面积为（）A．23B．433C．2D．22【答案】A【解析】由3PF MF=u u u r u u u r可计算出点M的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK∆的面积.【详解】如下图，设点M的坐标为()00,x y，抛物线C的准线方程为1x=-，可设点()1,P p-，抛物线C的焦点为()1,0F，且抛物线的准线与x轴交于点()1,0K-，3PF MF=u u u r u u u rQ，即()()002,31,p x y-=--，()0312x∴-=，解得13x=，200443y x==，233y∴=，因此，MFK∆的面积为123232233MFKS=⨯⨯=△.故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()()()10log0ax xf xx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x是偶函数，且()()2g x g x+=，当[]0,1x∈时，()21xg x=-，若函数()()y f x g x=-恰好有6个零点，则a的取值范围是（）A．()5,+∞B．()5,6C．()4,6D．()5,7【答案】D【解析】作出函数()y g x=与函数()y f x=的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点，故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．【答案】e【解析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足()21*1232222nn na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______．【答案】6364【解析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n nn n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n n a =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值. 【详解】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】9π【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()22222R R -+=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．【答案】()2a m -【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知命题:p 方程22121x y m m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]0,1.【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）；（2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立. 若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. Q “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=I .因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【答案】（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理2222cos22a c bBac+-==，又()0,Bπ∈，4Bπ∴=；（2）设等差数列的公差为d，则0d≠，由（1）11tan22a B a=⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d=⇒+=++21a d d⇒=，d≠Q，12d a∴==，2na n∴=，从而()()14411122111n na a n n n n n n+===-⋅+++.11111111223341nSn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n=-=++.【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：方案一：全场商品打八折；方案二：全场商品优惠如下表：购物金额范围[)200,400[)400,600[)600,800[)800,1000[)1000,1200[]1200,1400商家优惠（元）3050140160280320如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值；（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数；（3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =；（2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大．【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，22SA SC ==，E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值．【答案】（1）见解析；（25. 【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥；（2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =Q ，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =Q I ，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC I 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A ，()0,23,0B ，()2,0,0C -，()0,0,2S()1,3,0E ∴，()0,3,1F .()3,3,0CE ∴=u u u r ，()2,3,1CF =u u u r，设(),,n x y z =r为平面EFC 的一个法向量由33000230x y n CE n CF x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，则3y =-，1z =． ()1,3,1n ∴=-r.又()0,0,2OS =u u u r 为面ABC 的一个法向量，由5cos ,52n OS ==⨯r u u u r 如图知二面角B CE F --的余弦值为5.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且3CD =，道路的后一段是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值；（2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．【答案】（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值；（2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出23QM PN α==，232sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为3236S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值. 【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又3CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知2223OD OC CD =+= 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23sin QM PN α∴==，23cos ON α=，又32sin 3OM QM α==，23cos 2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()23sin 23cos 2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 43sin 6sin 223cos 22343sin 2236παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max 23S =.综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值；（3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，试求12F PF ∠的大小．【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=o. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =算出a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12K K ⋅的值；（3）设直线AB的方程为(y k x =，可得出直线CD的方程为(1y x k=，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB u u u r，同理得出CD u u u r，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭u u u r u u u r ，计算出12cos F PF ∠，即可得出12F PF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F，)2F，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=；（2）设()00,P x y ，则22002x y -=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）；（3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=，联立(22142y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=，记()11,A x y ，()22,B x y，则212212x x k-+=+，21224412k x x k -=+，()224112k AB k +∴==+u u u r，同理()22412k CD k +=+u u u r ，()()()222222111223334414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++u u u r u u u r .由题意：12cos 4AB CD AB CD CD F PF +=⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r，故12113cos 42F PF AB CD ⎛⎫⎪∠==+==⎪⎭u u u r u u u r ，1245F PF ∴∠=o .【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。

2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =C ．{}1A B x x ⋃=> D ．{}1A B x x ⋂=≤【答案】A【解析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<，所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（） A ．2- B ．7-C ．1D ．5【答案】B【解析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（） A ．23B ．1C ．32D ．3【答案】B【解析】由题意得出()1tan 14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+，()232f x ax '∴=-，又()1tan14f π'==，故321a -=，得1a =．故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（） A ．9 B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.6．已知曲线1:sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2:cos C y x =，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是（）A ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位 B ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位 C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位 D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位【答案】D【解析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了（）mA ．B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-，抛物线方程为22x y =-，当水面宽为m h ，由点)h -在抛物线上，得52h =，故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为（） A．2BCD【答案】B【解析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A到渐近线的距离为2，2=，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=，由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点，由0AM AN ⋅=uuu r uuu r知90MAN ∠=o ，故圆心A，b a c==，即b e =，解得e =故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知圆()22:22C x y -+=，点P 在直线20x y ++=上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 面积的最小值为（）A B ．C ．D ．4【答案】C【解析】由题意得出四边形PACB 的面积为2PAC S S ∆==，由勾股定理知，当PC 取最小值时，切线长PA 取最小值，利用圆心到直线l 的距离作为PC 的最小值，并利用勾股定理求出PA 的最小值，从而可得出四边形PACB 的面积S 的最小值. 【详解】如图，四边形PACB 的面积为2PAC S S PA ∆==，故当PA 最小时，S 有最小值，记圆心到直线距离d =PC ≥PA =≥S ∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.10．若两个正实数x 、y 满足411x y +=，对这样的x 、y ，不等式234x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,4-B ．()4,1-C ．()(),41,-∞-+∞UD ．()(),14,-∞-+∞【答案】A 【解析】将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可.【详解】由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4.由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =，则M FK ∆的面积为（）A．3B．3CD．【答案】A【解析】由3PF MF =可计算出点M 的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK ∆的面积.【详解】如下图，设点M 的坐标为()00,x y ，抛物线C 的准线方程为1x =-，可设点()1,P p -，抛物线C 的焦点为()1,0F ，且抛物线的准线与x 轴交于点()1,0K -，3PF MF =，即()()002,31,p x y -=--，()0312x ∴-=，解得013x =，200443y x ==，0y ∴=，因此，MFK ∆的面积为12233MFK S =⨯⨯=△. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21x g x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（） A ．()5,+∞ B ．()5,6C ．()4,6D ．()5,7【答案】D【解析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点，故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．【答案】e【解析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______．【答案】6364【解析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n nn n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n n a =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值. 【详解】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】9π【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()222R R -=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．【答案】()2a m -【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知命题:p 方程22121x y m m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]0,1.【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）；（2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立. 若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=.因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【答案】（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈ ，4B π∴=；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，由（1）11tan 22a B a =⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d =⇒+=++21a d d ⇒=，0d ≠，12d a ∴==，2n a n ∴=，从而()()14411122111n n a a n n n n n n +===-⋅+++. 11111111223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a 的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：方案一：全场商品打八折；方案二：全场商品优惠如下表：如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值；（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数；（3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =；（2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大．【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，SA SC ==E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥；（2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值．【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A，()0,B ，()2,0,0C -，()0,0,2S(),0E ∴，()F.()CE ∴=，()CF =，设(),,n x y z =为平面EFC 的一个法向量由300020x n CE n CF x z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，取1x =，则y =1z =． ()1,3,1n ∴=-. 又()0,0,2OS =为面ABC的一个法向量，由cos ,5n OS ==如图知二面角B CE F --.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =，道路的后一段是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值；（2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．【答案】（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值；（2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出QM PN α==，2sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为26S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值. 【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知OD = 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，QM PN α∴==，ON α=，又2sin 3OM α==，2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 6sin 2226παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max S =综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值；（3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅，试求12F PF ∠的大小．【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =算出a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12KK ⋅的值；（3）设直线AB 的方程为(y k x =，可得出直线CD 的方程为(1y x k=，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB ，同理得出CD ，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭，计算出12cos F PF ∠，即可得出12FPF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F ，)2F ，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=；（2）设()00,P x y ，则22002x y-=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）；（3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=，联立(22142y k xx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=，记()11,A x y ，()22,B x y ，则212212x x k-+=+，21224412k xx k -=+， ()2241112k AB k+∴=+=+，同理()22412k CD k +=+，()()()222222111223334414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++. 由题意：123232cos 4AB CD AB CD AB CD F PF +=⋅=∠，故12113cos 4233AB CDF PF AB CD AB CD⎛⎫+⎪∠==+==⎪⎭，1245F PF ∴∠=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。

【2019-2020】高二数学12月联考试题理

教学资料参考范本【2019-2020】高二数学12月联考试题理撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x+y ﹣3=0的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2 方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（）222=+ky xA ．B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）),0(+∞3．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A ．若m∥l，m∥α，则l∥αB ．若m⊥α，l⊥m ，则l∥αC ．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD ．若m ⊂α，m∥β，l ⊂β，l∥α，则α∥βA ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点. 若,则该椭圆的离心率为（）AA ．B ．C ．D ．结论是（）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内9. 若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）122=+ny mx 01=-+y x B A ,AB22mnA ．B ．C ．D ．222239210．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（） A ．4 B ．4C ．4D ．811．曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（）A．（，] B．（，+∞）C．（，） D．（﹣∞，）∪（，+∞）12．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C 三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8π B．6π C．11π D．5π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a= ．14．命题“若a∉A，则b∈B”的逆否命题是________．15. 过点作一直线与椭圆相交于A、B两点，若点恰好为弦的中点，则所在直线的方程为．16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．18．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．19．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求点M到平面OCD的距离．20. 已知椭圆C：的上顶点坐标为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求的取值范围.21.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.(Ⅰ) 求证：BC⊥平面ACFE；(Ⅱ) 若点M在线段EF上移动，试问是否存在点，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知椭圆经过点其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于A 、B 两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，为坐标原点.求到直线距离的最小值.高二四校联考数学答案一、选择题1-12 DDCBAB CDBBAB13． a=﹣2 ． 14．若b ∉B ，则a∈A 15. 16． [﹣2，2] ．13-94=+y x17：（1）由圆C 与x 轴交于A （﹣5，0），B （1，0），可得圆心C 在AB 的中垂线上，即C 在直线x=﹣2上，与x ﹣2y+4=0联立，可得C （﹣2，1），半径r==，则圆C 的方程为（x+2）2+（y ﹣1）2=10，圆心到直线x ﹣y+1=0的距离d==，则|EF|=2=2=4；（2）设M （x ，y ），M 为PQ 的中点，且Q （2，1），可得P （2x ﹣2，2y ﹣1），由P 在圆C 上运动，将其坐标代入圆C 的方程可得，（2x ﹣2+2）2+（2y ﹣1﹣1）2=10，即为x2+（y ﹣1）2=．则线段PQ 中点M 的轨迹方程为x2+（y ﹣1）2=．18：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a2＜0，即a ＞或a ＜－1.乙命题为真时，2a2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集， ∴a 的取值范围是.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a ＜－， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13＜a≤1或－1≤a＜－1219.证明：（1）取OB 中点E ，连结ME 、NE ， ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD ，又ME ⊄平面OCD ，CD ⊂平面OCD ， ∴ME ∥平面OCD ，∵OB 中点E ，N 为BC 的中点，∴EN ∥OC ， ∵EN ⊄平面OCD ，OC ⊂平面OCD ， ∴EN ∥平面OCD ，∵EN ∩EM=E ，EN ，EM ⊂平面EMN ， ∴平面EMN ∥平面OCD ，∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD ．解：（2）∵M 是OA 的中点，∴M 到平面OCD 的距离是点A 到平面OCD距离的，取CD 的中点为P ，连结OP ，过点A 作AQ ⊥OP 于点Q ，∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长是点A到平面OCD的距离，∵OP===，AP=，∴AQ===．∴点A到平面OCD的距离为，∴点M到平面OCD的距离为．20解：（1）依题意得：，椭圆方程为（2）解：设，，则---（*）点满足，代入（*）式，得：根据二次函数的单调性可得：的取值范围为21（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，∴，则，∴，∴，又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC、BC、CF两两垂直，以C为原点，AC、BC、CF所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，设，则，，设是平面AMB的法向量，则取x=1，得，显然是平面FCB的一个法向量，于是，化简得，此方程无实数解，∴线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45o.22.（1）由已知，所以, ① 又点在椭圆上，所以，②由①②解之得,故椭圆的方程为（2）当直线有斜率时，设时，则由消去得，，③设则，由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足③式，又点到直线的距离为：，并且仅当时等号成立；当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1，所以点到直线的距离最小值为.2017年下半年高二四校联考数学答题卷二、填空题（5分×4=20分）13、 14、15、 16、三、解答题（70分）17、（10分）18、（12分）19、（12分）20、（12分）21、（12分）22.（12分）。

2019-2020学年湖南省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2019-2020学年湖南省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（） A ．,,a b c 中至少有两个偶数 B ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．,,a b c 都是奇数 D ．,,a b c 都是偶数【答案】B 【解析】【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求. 【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定为“,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B. 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.2．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（） A ．56B ．81100C ．23D ．13【答案】A 【解析】【分析】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ，根据条件概率的计算公式，即可得出结果. 【详解】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ，由题意可得()0.9=P A ，()0.75=P AB ，所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为()0.755()()0.96P AB P B A P A ===.故选A 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.3．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．4．对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得1212z z z z +≤+，（1）正确；设12z a biz c di =+=+，则()()12z z ac bd ad bc i =-++，()()2212z z ac bd ad bc =-++()()()()2222ac bd ad bc =+++()()2222ab c d =++12z z =⋅，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，（3）正确，即正确命题的个数是3，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题. 5．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<，结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．13B ．2C ．-3D ．12-【答案】A 【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到i 、S 的值，可得答案【详解】第1次执行循环体后：3S =-，2i =；第2次执行循环体后：12S =-，3i =；第3次执行循环体后：13S =，4i =；第4次执行循环体后：2S =，5i =；经过4次循环后，可以得到周期为4，因为20205054=，所以输出S 的值为13，故选A ．【点睛】本题考查程序框图的问题，本题解题的关键是找出循环的周期，属于基础题． 7．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可. 【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零，题中图像符合题意；对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（） A ．2 B ．83C ．4D ．163【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】如图：抛物线28x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，由抛物线的定义可得PF PB =,圆()2221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =，可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，由221PM PM PQ PF ≥+，可令()11PF t t +=>，则12p PF t PB y =-==+，即()23,83p p y t x t =-=-，可得：()22224625252562641p p x y PM t t t t PF tt t t+--+===+-≥⨯=+，当且仅当5t =时等号成立，即2241PM PM PQ PF ≥≥+，所以2PM PQ的最小值为4故选：C 【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题. 9．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（） A ．()()22239x y ++-= B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-= D ．()()22233x y -++=【答案】A 【解析】【分析】先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，，以()23-，为圆心，以3为半径的圆的方程为()()22239x y ++-=．故选:A. 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.10．若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（）A ．-2B ．-3C ．125D ．-131 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()782128a =-=-，令0x =得01a =，令1x =得012782a a a a a +++++=-所以127125a a a +++=考点：二项式系数11．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．250【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A考点：分层抽样12．若函数()()2e xf x a xa =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e【答案】A 【解析】【分析】令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e xx x g x -'=，令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极，当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题13．已知33210n n A A =，则345612n n n n C C C C +++++=____________．【答案】462 【解析】【分析】根据排列数计算公式可求得n ，结合组合数的性质即可化简求值. 【详解】根据排列数计算公式可得()()3222122n A n n n =--，()()312n A n n n =--，所以()()()()221221012n n n n n n --=--，化简可解得8n =，则由组合数性质可得345688910C C C C +++4569910C C C =++ 561010C C =+()61111!4626!116!C ===-，故答案为：462. 【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.14．已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）﹣m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3 【解析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可. 详解：画出函数()f x 的图象，如图：若函数y=f （x ）﹣m 有2个零点，结合图象：2m =或3m ≥. 故答案为：2m =或3m ≥.点睛：对于“a ＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y ＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f(x)的图象和直线y ＝a 交点的个数．15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．【答案】32 【解析】试题分析：设高一年级抽取名学生，所以，高一年级抽取24名学生考点：分层抽样16．已知双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则该双曲线的方程为__________．【答案】2217x y -=【解析】分析：根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得m 的值，将m 的值代入双曲线的方程，即可得答案.详解：根据题意，椭圆221124x y +=的焦点在x 轴上，且焦点坐标为()22,0±，若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得7m =，则双曲线的方程为2217x y -=.故答案为2217x y -=.点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(含答案解析)

湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知复数z满足，则（）A． B． C． D．【答案解析】 B方法一：因为，所以，所以.故选B.方法二：设，所以，因为，所以.故选B.2 已知集合，，则（）A．(－1,2) B． C． D．【答案解析】 C因为，，所以，故选C.3 消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%【答案解析】 B根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B.4 已知向量，，若与垂直，则（）A． B． C． D．【答案解析】 A依题意，，又与垂直，所以，即，所以.故选A.5 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A． B．(1,2) C．(－1,2) D．【答案解析】 A依题意，双曲线的离心率为2，所以，即渐近线方程为，结合选项可知，渐近线经过点，故选A.6 已知为锐角，，则（）A． B． C． D．【答案解析】 C方法一：因为为锐角，，所以，所以，故选C.方法二：提示也可以把展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.7 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【答案解析】 D因为，即，在中，所以，所以，所以.故选D.8 新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A． B． C． D．【答案解析】 A由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率.故选A.9 （多选题）关于二项式的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含项 D．常数项为120【答案解析】 BCD因为二项式，令可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为，展开式的通项为，当时，得常数项为240；当时，可得项，所以错误的应选BCD.10 （多选题）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案解析】 AD设，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得或.故选AD.11 （多选题）已知函数的部分图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为(1,0)，如图所示，则下列说法正确的是（）A． B．f(x)的最小正周期为6C．的图像关于直线对称 D．f(x)在单调递减【答案解析】 ABC因为函数经过，所以，所以，又因为时，函数值为0，所以，又，所以，所以，所以，可得的最小正周期为；当，即在，上单调递减，直线是的一条对称轴.故选ABC.12 （多选题）已知偶函数f(x)对任意都有，当时，，实数是关于x的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期是12B．图象的对称轴方程为，C．当时，关于x的方程在上有唯一解D．当时，存在，，，，使得的最小值为0【答案解析】 BCD因为函数是偶函数，且，当时，函数无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为是函数的对称轴，且，所以函数图象关于直线对称，故B正确；当时，结合的单调性和图像可知，当时，关于的方程在上只有唯一解，故C正确；当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，若4个零点不关于对称时，.其中正确的是BCD.13 曲线在点(0,0)处的切线方程为______.【答案解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为.14 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则数列{an}的公差______.【答案解析】方法一：由等差数列性质前项和为公式可知，，所以，所以，又，所以，所以.方法二：，所以.方法三：依题意，，解得.15 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：，其中）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案解析】有依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以，而，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.16 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形B B1C1C 内的动点，当平面时，点Q的轨迹长度为______，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为______.【答案解析】；依题意，平面时，点是平面内的动点，所以可得点与点的轨迹构成的平面与平面平行，如图所示，因为是的中点，取中点，所以点轨迹即为线段，因为正方体棱长为2，所以.球的直径就是，长为3，故球体积为.17 在①，②，③，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，______，，角B的平分线交AC于点D，求BD的长.【答案解析】因为，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在中，因为，由余弦定理可得，，因为，所以；又是角的平分线，所以，所以，在中，由正弦定理可得，，即，所以.18 已知数列是首项为2，公比为2的等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn是数列{an}的前n项和，，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】（1）因为数列是首项为2，公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以①，由①×2可得，②由①－②可得，，所以19 在如图所示的多面体中，平面平面，ABCD为正方形，E，F分别为，的中点，且，，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明：取中点，连接，，点，分别为，的中点，又，，所以，所以是等腰三角形，所以为平行四边形，所以，因为平面平面，为矩形，所以平面，所以，所以，又，所以平面，所以平面.（2）空间向量法：如图所示，在平面内，作，分别以，，为，，轴，建立空间坐标系.所以，，，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，所以，即，所以，所以.所以二面角的余弦值为.立体几何法：如图，在平面内，作，垂足为，连接，即为二面角的平面角，再计算求余弦值即可思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角为，由平面得.20 已知椭圆C：的离心率为，直线l：与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：是定值.【答案解析】（1）依题意可知，，又，所以，所以椭圆的标准方程（2）设点、，联立，消去得，恒成立，由韦达定理得，，因此，.综上所述，.21 国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.【答案解析】（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以（2）依题意，的可能取值为2，3，4，5，6.，，，当时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.，当时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，，所以的分布列为23456所以的数学期望为.22 已知函数.（1）证明：当时，f(x)在上单调递增；（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围.【答案解析】解：（1）证明：因为，所以，，当时，恒成立，在上单调递增. （2）由题意，对，恒成立，设，又设，则，因此在单调递增，所以，①当时，，即，在单调递增，故有，即适合题意.②当时，，，若，则取，时，，若，则在上存在唯一零点，记为，当时，，总之，存在使时，，即，所以单调递减，，故时存在使不合适题意，综上，实数的取值范围是.第（2）题也可解答如下：.设，则，∴在区间上递增，即，∴.而，∴实数的取值范围是.。

湖南省2019-2020学年高二12月联考数学(理)试题Word版含解析

湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设数列的前项和，则的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 642.设命题，则为A. B.C. D.3.若非零向量,满足，则与的夹角为( )A. B. C. D.4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )A. 2B.C.D.5.等比数列中，则的值为( )A. 10B. 20C. 36D. 1286.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7.若，则等于（）A. 2B. 0C.D.8.在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（）A. B. C. 或 D.9.双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（）A. B. C. D.10.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为A. B. 7 C. D. 911.在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．A. 4B.C.D. 112.函数的图象关于直线对称，当时，成立，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，若，则 ________。

14.已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为__________.15.若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。

16.已知M是内的一点（不含边界），且，，若和的面积分别为则的最小值是______。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)19.已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．(1) 求数列的通项公式；(2) 设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．20.如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.21.已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点任作一直线，交椭圆于，两点，求的取值范围.22.已知函数，，其中.（1）讨论的单调性；（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（理）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.设数列的前项和，则的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 64【答案】B【解析】【分析】根据当时，求解即可得到答案．【详解】由题意得，，故选B．【点睛】本题考查数列的项与前n项和之间的关系，考查变化能力和计算能力，属于基础题．2.设命题，则为A. B.C. D.【答案】C全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.3.若非零向量,满足，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有，由于两个向量的模相等，故上式化简得.4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )A. 2B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以选B.考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5.等比数列中，则的值为( )A. 10B. 20C. 36D. 128【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可得，然后根据对数的运算性质可得所求结果．【详解】∵数列为等比数列，且，∴，∴．【点睛】在等比数列的计算问题中，除了将问题转化为基本量的运算外，还应注意等比数列下标和性质的运用，即“若，则”，用此性质进行解题可简化运算，提高运算的效率．6.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】又及的到实数的关系，比较后可得结论．【详解】由可得；由得．所以当“”成立时，“”不成立；反之，当“”成立时，“”也不成立，所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件．故选D．【点睛】判断条件是条件的什么条件时，一般根据定义进行求解，也可转换为条件和条件对应的集合间的关系进行求解，而对于含有否定性词语的命题，在判定时常转化为其等价命题处理，解题时要注意转化的合理性和准确性，属于基础题．7.若，则等于（）A. 2B. 0C.D.【答案】D【解析】,选D.8.在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再根据可得，，从而可得前项和的最大值为．【详解】∵等差数列中，，∴，∴，又，∴，，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值．∴数列的前项和的最大值为．故选A．【点睛】求等差数列前n项和最大值的方法：（1）根据题意求出前项和的表达式，然后根据二次函数的知识求解；（2）根据题意求出等差数列中正负项的分界点，根据正项和负项的位置进行判断，即在等差数列中，若，则前项和有最大值；若若，则前项和有最小值．9.双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出图形，将用、和表示出来，然后再根据双曲线的定义求解即可得到结论．【详解】如图，设内切圆的半径为．由得，整理得．因为P为双曲线右支上一点，所以，，所以．故选D．【点睛】本题以焦点三角形的内切圆和三角形的面积为载体考查双曲线的定义，解题的关键在于转化，注意将条件中给出的三角形的面积用线段长度表示出来，然后再用定义求解，属于基础题．10.如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为A. B. 7 C. D. 9【答案】C【解析】如下图，作连CE,所以ABDE为矩形，，AB=DE=4，,,选C.11.在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．A. 4B.C.D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．【详解】由题意得．设椭圆上一点，则，∴，又，∴当时，取得最小值．故选C．【点睛】解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及到复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解．12.函数的图象关于直线对称，当时，成立，若，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象关于直线对称可得函数的图象关于直线对称，即函数为偶函数．再根据题意构造函数，则为偶函数，且，故在上单调递减．最后通过比较到y轴距离的大小可得的大小关系．【详解】∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，即函数为偶函数．设，则为偶函数，又当时，，∴在上单调递减．又，∴，即．故选B．【点睛】本题综合考查函数性质和导数求导法则的应用，解题的关键是根据题意构造函数，然后根据此函数的奇偶性和单调性将比较函数值大小的问题，转化为比较自变量大小的问题．考查转化思想方法的运用和计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列的前项和为，若，则 ________。

2019-2020年高二上学期12月联考试题数学含答案

2019-2020年高二上学期12月联考试题数学含答案1．椭圆的焦距为▲．2．双曲线的渐近线方程是▲．3．已知抛物线，则它的准线方程是▲．4．已知函数，为的导函数，则的值是▲．5．已知圆O：，圆C：，则两圆的位置关系为▲．（从相离、相内切、相外切、相交中选择一个正确答案）6．直线被圆截得的弦长为等于▲．7．设m、n是两条不同的直线、是两个不同的平面,则下列命题中正确的是▲．填序号).①；②∥∥；③∥；④；⑤若不垂直于，则不可能垂直于内无数条直线.8．已知函数,求函数的单调减区间为▲．9．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为▲．cm3．10．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则的值为▲．11．已知圆经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率▲．12．函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是▲．13．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是▲．14．过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分14分）已知三点、（－2，0）、（2，0）。

（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；（2）求以、为顶点且以（1）中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．（1）求证：FG//平面PBD ；（2）求证：BD ⊥FG ．17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，已知点，，若,分别为线段,上的动点，且满足．(1) 若，求直线的方程；(2)证明：△的外接圆恒过定点（异于原点）．18．（本小题满分15分）如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四OABD C xy个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ．（1）求正四棱锥的体积V (x )；（2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？19．（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为. （1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数（，是自然对数的底数）．（1）若，求函数在处的切线方程并研究函数的极值。

湖南省2019-2020学年高二12月联考数学(文)试题Word版含解析

湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列{a n}的前n项和S n=n3，则a4的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 642.椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（）A. 3B. 5C. 7D. 93.等差数列{a n}满足，则其前10项之和为( )A. －9B. －15C. 15D. ±154.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是（）A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5.函数在区间上的最小值是（）A. -9B. -16C. -12D. 96.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）A. 10B. 8C. 6D. 47.如果数列的前n项和为，则这个数列的通项公式是（）A. B.C. D.8.已知实数，满足：，，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知．下列四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A. B. C. D.10.若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.11.若椭圆与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.12.在正项等比数列中，存在两项，使得且则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数 (e为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________14.已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=_________________________15.若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_______________________16.椭圆T：＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.18.已知函数，若其导函数的x的取值范围为（1，3）.（1）判断f(x)的单调性（2）若函数f(x)的极小值为－4，求f(x)的解析式与极大值19.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：（1）求关于的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出关于的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2010年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程，其中）20.已知等比数列的公比，且是的等差中项，数列满足，数列的前项和为.(1)求的值.(2)求数列的通项公式.21.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆经过点,且的面积为. （1）求椭圆的标准方程;（2）设斜率为的直线与以原点为圆心,半径为的圆交于两点,与椭圆交于两点,且,当取得最小值时,求直线的方程并求此时的值.22.已知函数，其中（1）求的单调区间（2）若，且存在实数，使得对任意实数，恒有成立，求的最大值.湖南省2019-2020学年高二12月联考数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设数列{a n}的前n项和S n=n3，则a4的值为（）A. 15B. 37C. 27D. 64【答案】B【解析】【分析】利用，求得数列的通项公式，从而求得.【详解】当时，，故.故选B.【点睛】本小题主要考查已知数列的前项和公式求数列的通项公式.对于已知数列的前项和公式的表达式，求数列的通项公式的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用.另一个方向是如果题目给定的表达式中含有的话，可以考虑将转化为，先求得数列的表达式，再来求的表达式.2.椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义，由此可求得的值.【详解】根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程.解答时要主要椭圆的焦点是在轴上.属于基础题.3.等差数列{a n}满足，则其前10项之和为( )A. －9B. －15C. 15D. ±15【答案】D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故选D.4.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是（）A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.【详解】由于计算得，根据独立性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B.【点睛】本小题主要考查联表，考查独立性检验的知识，根据独立性检验的知识可直接得出结论，属于基础题.5.函数在区间上的最小值是（）A. -9B. -16C. -12D. 9【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比较区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比较这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于基础题.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，则等于（）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为。

湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二12月联考数学试题含答案

机密★启用前2019年12月湖湘教育三新探索协作体联考试卷高二数学班级：____________ 姓名：____________ 准考证号：______________ （本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）由联合命制注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1},{21},x A x x B x 则A ．{0}AB x x B ．A B RC ．{1}A B x xD ．{1}A B x x2．已知函数221log ()(0)()3(0)x x a x f x x ，若f [ f (2) ]=1，则a =A ．-2B ．-7C ．1D ．53．已知曲线3()21f x ax x 在x =1处的切线的倾斜角为4，则a = A ．23B ．1C ．32D ．34．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是 A ．14 B ．4C ．16D ．65．在等差数列{a n }中，n S 为前n 项和，且7925a a ，则9S 的值为A ．9B ．36C ．45D ．546．已知曲线12:sin(2),:cos 4C y xC y x ，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位．B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位．C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4个单位． D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8个单位．双峰县一中永州市四中澧县一中临澧县一中郴州市一中浏阳一中鼎城区一中岳阳县一中洞口县一中浏阳一中7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了( )m AB ．2C ．1D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的右顶点为A ,以A 为圆心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ,则C 的离心率为A．22 B C ．32 D9．已知圆22:(2)2C x y ，点P 在直线20x y 上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B,则四边形P ACB 面积的最小值为 AB．C ．D ．410．若两个正实数x,y 满足411xy,对这样的x,y ，不等式234x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(,4)(1,)D ．(,1)(4,)11．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ,P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF,则△MFK 的面积为ABCD ．12．已知函数1(0)()log (0)a x x f x x x ，函数g (x )是偶函数，且(2)()g x g x ，当[0,1]x 时，()21x g x ，若函数y =f (x )-g (x )恰好有6个零点，则a 的取值范围是A ．(5,+∞)B ．(5,6)C ．(4,6)D ．(5,7)二．填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分。

湖南省名校联盟2019-2020学年高二12月联考化学试题

湖南省名校联盟2019—2020学年高二12月联考化学（本试卷共6页，19题，全卷满分：100分，考试用时：90分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。

5．试卷中可能用到相对原子质量：H —1、C —12、O —16、Na —23、Fe —56第Ⅰ卷（选择题共42分）一、选择题（每题只有一个正确选项。

每题3分，共42分） 1、“笔、墨、纸、砚”是中国古代的文房四宝，纸的主要成分是A ．蛋白质B ．纤维素C ．油脂D ．合成纤维2、下列有关化学用语表示正确的是 A ．乙烯的结构简式：CH 2CH 2 B ．氯化氢的电子式： C ．CO 2D ．中子数为20的氯原子：3717Cl3、从古至今化学与生产、生活密切相关。

下列说法正确的是 A ．活字印刷使用的胶泥由Al 2O 3、SiO 2、CaO 等组成，它们都属于碱性氧化物 B ．指南针由天然磁石制成，磁石的主要成分是Fe 2O 3C ．我国自主研发的东方超环（人造太阳）使用的氘、氚与氕互为同位素D ．华为研制的麒麟系列手机芯片，主要成分是硅。

其性质稳定，不与酸、碱发生反应4、下列反应中能量变化与右图一致的是 A ．木炭燃烧 B ．过氧化钠与水反应 C ．氢氧化钠溶液与盐酸反应D ．NH 4Cl 晶体与Ba(OH)2·8H 2O 晶体反应H +[:Cl:]－5、涂改液的主要成分之一是甲基环己烷（），下列有关叙述正确的是A．甲基环已烷易溶于水，也易溶于乙醇B．一氯代物有5种C．能使溴的四氯化碳溶液褪色，也能使高锰酸钾酸性溶液褪色D．是甲烷的同系物6、设N A是阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．标准状况下，11.2 L 二氯甲烷中含有极性共价键的数目为2N AB．2.0 g H218O中含有的中子数为N AC．2.24 L Cl2与足量水反应时转移的电子数为0.1N AD．78 g苯中含有的碳碳双键的数目为3N A7、25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A．无色透明的溶液中：K+、Cu2+、SO2-4 、Cl—B．加石蕊试液后变红色的溶液中：Ba2+、Na+、CH3COO—、NO-3C．滴加KSCN溶液显红色的溶液：NH+4、K+、I—、Cl—D．c(OH—)＝0.1mol·L-1的溶液中：K+、Na+、ClO—、CO2-38、镭是居里夫人发现的元素。

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