第二章 波函数 Schrodinger 方程剖析
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
粒子性观点：亮处—单位时间内到达该处的电子数多 暗处—单位时间内到达该处的电子数少
统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大 暗处—电子到达该处的概率小
波函数的统计解释--量子力学的基本原理
描述微观粒子的状态用波函数Ψ (r)表示。波函数在 空间某一点的强度（振幅绝对值的平方|Ψ (r)|2 ） 和在该点找到粒子的几率成比例—几率波
一、波函数
问题:
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的解释
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
结论：这种看法是与实验矛盾的
原因：它不能解释长时间单个电子衍射实 验---单个电子就
一定位置和速度
经典概念中 波：
1.实在的物理量的空间分布作周期性 的变化
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释 几率波
我们再看一下电子的衍射实验
➢ 大量电子一
方 法 一
次入射,立即 在屏幕上形 成衍射图样。
电子一个一个的 方 入射，经过足够 法 长的时间，在屏 二 幕上形成同样的
W(t)=∫V dW =∫Vω(r,t)dτ= C∫V|Ψ(r,t)|2 dτ
2. 平方可积
由于粒子一定出现在空间中（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：
C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ= 1,
从而得常数 C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是 绝对值平方可积的函数
具有波动性
证明1：单电子衍射
电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成衍射图 样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳 定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源：
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
证明：实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不 是经典的粒子也不是经典的波 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。”
经典概念中 粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性 2.有确定的运动轨道，每一时刻有
所以，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，
因而波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间 各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相 对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函 数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代 表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
（1）在t时刻，r点，dτ= dxdydz体积内，找到由波函数 Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW(r,t) = C|Ψ(r,t)|2 dτ，
其中，C是比例系数。
（2）在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是 ω(r,t)={dW(r,t)/dτ} = C|Ψ(r,t)|2 --几率密度
（3）在体积V内t时刻找到粒子的几率为：
足
2
(r,t) d 1
（4） 如果Ψ (r , t ) 没有归一化，而函数本身含有不定常数， 可以采用如下方法归一化（实际计算常用方法）
2
| (r ,t) | d 1
从而定出中的不定常数
-----反映微观粒子运动的一种统计规律性
其中|Ψ (r)|2= Ψ Ψ* =
|Ψ (r)|2 表示粒子出现在 r 点附近几率的大小，
|Ψ (r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，体积元 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。
三、波函数的性质
1. 几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
2. 粒子由波组成 电子衍射动画
波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出 干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子的运动速度。
结论：这种看法与实际相矛盾
原因：平面波描写自由粒子，其特点是充满 整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。 如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整 个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛 盾。
§2 波函数和薛定谔方程
本章内容
§2.1 波函数的统计解释
§2.1
§2.2 态迭加原理
§2.2
§2.3 薛定谔方程
§2.3
§2.4 粒子流wk.baidu.com度和粒子数守恒定律 §2.4
§2.5 定态薛定谔方程
§2.5
§2.6 一维无限深势阱
§2.6
§2.7 线性谐振子
§2.7
§2.8 势垒贯穿
§2.8
第二章小结
小结
（2）若 Ψ (r , t ) 没有归一化,∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大
于零的常数），则有
∫∞ |A-1/2 Ψ (r , t )|2 dτ= 1
也就是说，A-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，
与Ψ (r,t )描写同一几率波，A-1/2 称为归一化因子。
（3）令Φ(r,t)=A-1/2Ψ (r , t ) 则 Φ(r,t)为归一化的波函数，满
衍射图样。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一
个电子在许多次相同实验中的计结果。
解释：在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。
波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大 暗处—到达该处电子波的强度小
若
∫∞|Ψ(r,t)|2dτ ∞, 则 C 0, 这是没有意
义的。
3.归一化波函数
（1）Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对 几率是相同的---描述同一状态
因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：
2
2
C(r1, t) (r1, t)
C(r2 , t)
(r2 , t)
统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大 暗处—电子到达该处的概率小
波函数的统计解释--量子力学的基本原理
描述微观粒子的状态用波函数Ψ (r)表示。波函数在 空间某一点的强度（振幅绝对值的平方|Ψ (r)|2 ） 和在该点找到粒子的几率成比例—几率波
一、波函数
问题:
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的解释
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
结论：这种看法是与实验矛盾的
原因：它不能解释长时间单个电子衍射实 验---单个电子就
一定位置和速度
经典概念中 波：
1.实在的物理量的空间分布作周期性 的变化
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释 几率波
我们再看一下电子的衍射实验
➢ 大量电子一
方 法 一
次入射,立即 在屏幕上形 成衍射图样。
电子一个一个的 方 入射，经过足够 法 长的时间，在屏 二 幕上形成同样的
W(t)=∫V dW =∫Vω(r,t)dτ= C∫V|Ψ(r,t)|2 dτ
2. 平方可积
由于粒子一定出现在空间中（不讨论粒子产生和湮灭 情况），所以在全空间找到粒子的几率应为1，即：
C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ= 1,
从而得常数 C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是 绝对值平方可积的函数
具有波动性
证明1：单电子衍射
电子一个一个的 入射，经过足够 长的时间，在屏 幕上形成衍射图 样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳 定性以及能量量子化这样一些量子现象。
错误的根源：
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面， 而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
证明：实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不 是经典的粒子也不是经典的波 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。”
经典概念中 粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性 2.有确定的运动轨道，每一时刻有
所以，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，
因而波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间 各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相 对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函 数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代 表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。
（1）在t时刻，r点，dτ= dxdydz体积内，找到由波函数 Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：
dW(r,t) = C|Ψ(r,t)|2 dτ，
其中，C是比例系数。
（2）在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是 ω(r,t)={dW(r,t)/dτ} = C|Ψ(r,t)|2 --几率密度
（3）在体积V内t时刻找到粒子的几率为：
足
2
(r,t) d 1
（4） 如果Ψ (r , t ) 没有归一化，而函数本身含有不定常数， 可以采用如下方法归一化（实际计算常用方法）
2
| (r ,t) | d 1
从而定出中的不定常数
-----反映微观粒子运动的一种统计规律性
其中|Ψ (r)|2= Ψ Ψ* =
|Ψ (r)|2 表示粒子出现在 r 点附近几率的大小，
|Ψ (r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，体积元 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。
三、波函数的性质
1. 几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
2. 粒子由波组成 电子衍射动画
波包：波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出 干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子的运动速度。
结论：这种看法与实际相矛盾
原因：平面波描写自由粒子，其特点是充满 整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。 如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整 个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛 盾。
§2 波函数和薛定谔方程
本章内容
§2.1 波函数的统计解释
§2.1
§2.2 态迭加原理
§2.2
§2.3 薛定谔方程
§2.3
§2.4 粒子流wk.baidu.com度和粒子数守恒定律 §2.4
§2.5 定态薛定谔方程
§2.5
§2.6 一维无限深势阱
§2.6
§2.7 线性谐振子
§2.7
§2.8 势垒贯穿
§2.8
第二章小结
小结
（2）若 Ψ (r , t ) 没有归一化,∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大
于零的常数），则有
∫∞ |A-1/2 Ψ (r , t )|2 dτ= 1
也就是说，A-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，
与Ψ (r,t )描写同一几率波，A-1/2 称为归一化因子。
（3）令Φ(r,t)=A-1/2Ψ (r , t ) 则 Φ(r,t)为归一化的波函数，满
衍射图样。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：
许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一
个电子在许多次相同实验中的计结果。
解释：在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。
波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大 暗处—到达该处电子波的强度小
若
∫∞|Ψ(r,t)|2dτ ∞, 则 C 0, 这是没有意
义的。
3.归一化波函数
（1）Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对 几率是相同的---描述同一状态
因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：
2
2
C(r1, t) (r1, t)
C(r2 , t)
(r2 , t)