高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (28)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题 (28)

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.在三棱锥P−ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PC=√5，

PB与底面ABC所成的角的余弦值为2√2

3

，则三棱锥P−ABC的外接球的体积为()

A. 9π

2B. 89√89π

6

C. 9π

D. 27π

2

2.如图，四棱锥S−ABCD中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直

线SA与直线AD所成角为α，直线SA与平面ABCD所成角为β，

二面角S−AB−C的平面角为γ，则

A. α>β>γ

B. γ>α>β

C. α>γ>β

D. γ>β>α

3.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱两两垂直，且PA、PB、PC的长分别为以a、b、c，又(a+b)2c=

16√2，侧面PAB与底面ABC成45°角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为()

A. 10π

B. 40π

C. 20π

D. 18π

4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱

(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图，三棱柱ABC−

A1B1C1为一个“堑堵”，底面▵ABC是以AB为斜边的直角三角形且

AB=5，AC=3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当▵APC1的面积

取最小值时，三棱锥P−ABC的外接球表面积为()

A.

B.

C.

D.

5.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，BC1⊥α，点E、F分别为AA1、CC1的中点，C1G

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2GD1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若α∩平面ABCD=m，α∩平面EFG=n，则直线m与直线n所成角的正切值为()

A. 2√2

7B. 3√2

7

C. 4√2

7

D. 6√2

7

6.将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成的二面角，已知直角边AB=4√3，AC=4√6，

下面说法正确的是()

A. 平面ABC⊥平面ACD

B. 四面体D−ABC的体积是16

√6

3

C. 二面角A−BC−D的正切值是√42

5

D. BC与平面ACD所成角的正弦值是√21

14

7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()

A. 点H是△A1BD的垂心

B. AH⊥平面CB1D1

C. AH的延长线经过点C1

D. 直线AH和BB1所成的角为45°

二、多项选择题（本大题共9小题，共36.0分）

8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点，P为四边形DCC1D1内一点(包含边

界)，若PA1//平面AEC，则下列结论正确的是

A. PA1⊥BD1

B. 三棱锥B1−PA1B的体积为定值

D. ∠A1PD1的最小值是45°

C. 线段PA1长度的最小值为2√30

5

9.如图1，四边形ABCD是边长为4的菱形，现将△ABC沿对角线AC折起，连接BD，形成如图2

所示的四面体ABCD，在图2中，设棱AC的中点为M，BD的中点为N，下列结论正确的是()

A. AC⊥BD

B. 若AC=4√2，则四面体ABCD的外接球的半径为2√2

C. 若AC=4√2，则四面体ABCD的体积的最大值为16√2

D. 若AC=4，且四面体ABCD的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN长度的取值范围

为(2,2√3)

10.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，D是AC的

中点，O为A1C的中点.点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是()

A. 当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为

√5

5

B. 无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1

C. 当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且PQ

QA1=1

3

D. 无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°

11.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．因

地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中()

A. AB与CD是异面直线

B. AB与CD是相交直线

C. 存在内切球，其表面积为8

27π D. 存在外接球，其体积为8√6

27

π

12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E、F分别为BB1、CD中点，P是BC1上的动点，则下

列说法正确的有()

A. A1F⊥AE

B. 三棱锥P−AED1的体积与点P位置有关系

C. 平面AED1截正方体ABCD−A1B1C1D的截面面积为9

2

D. 点A1到平面AED1的距离为√2

13.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是()

A. 直线BD1⊥平面A1C1D

B. 三棱锥PA1C1D的体积为定值

C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π

4,π2 ]

D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为√6

3

14.已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，

△BCG，△CDH，△ADE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则()