上海交大杜秀华老师现代控制理论 控制系统状态空间表达式的解

2
tet t2et et tet t2et 3tet t 2et
1 t2et 2
tet 1 t2et 2
et 2tet 1 t2et
2
3、利用拉氏反变换求eAt
3.2
e At L1[(sI A)1 ]
证： X (t) AX(t) X(0) X0 两边取拉氏变换
SX(s) X(0) AX(s)
解：
I A
1 2 3 2
2 3
( 1)( 2) 1 1 2 2
3.2
变换矩阵为
T
1 1
1 2
T1
2 1
1 1
则
eAt
T et T 1
1 1
1 et 2 0
0 2 1
e2
t
1
1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
2）A的特征值有重根
3.2
J T1AT
则 eAt TeJtT1
0
例： A 0
1
1 0
0
1
3 3
求eAt
解：| I A | 3 32 3 1 ( 1)3 0
将矩阵A变换为约旦标准形的变换矩阵为
1
0
0
1 0 0
T 1
1
0 T1 1 1
0
1
2 1
1 2 1
1
0 00 1
01
0
T1AT 1
1
00
0
1
1
1
1
2 1 1
3 31
2
1
1
0
0
1
1
J
0
0 1
3.2
0 0 1
eAt TeJtT1
3.2
1 eAt 1
1
0 1
0 e t 0 0
tet et
1 t2e 2
tet
t
1 1
0 0 1 0
2
1 0 0 et 1 2 1
et
tet
1 2
t2et
1 2
t
2et
tet
1
t2et
2!
k!
于是
X(t) eAtX0
3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
一、状态转移矩阵
齐次矩阵微分方程的自由解
X(t) eAtX0 或
X(t) eAtt0 X0
eAt称为状态转移矩阵，记为Φ(t)
即： X AX的解，又可表述为 Φ(t) X(t) Φ(t)X(0)
或 X(t) Φ(t t0 )X(t0 )
即 (SI A)X(s) X(0) X0
X(s) (SI A)1X0
X(t) L1[(SI A)1]X0
和式
X(
t
)
e
AtX
比较
0
eAt L1[(SI A)1]
3.2
例：
A
0 0
1 2
求eAt
解：
sI
A
s 0
0 s
0 0
1 2
s 0
1 s 2
1
(sI
A) 1
s
0
1
s(s
1
0
1 0
t 1
1 t2 2!
t
(n
1
1
1)
!
t t
n 1 n2
eAt Φ(t) et
(n 2)!
0 0 0
t
0 0 0
1
4、若
A
3.2
eAt
Φ(t)
e
t
cost sint
sint cost
四、Φ(t)或eAt的计算
3.2
1、按定义直接计算法
e At I At A2t 2 A3t 3 1 Ak t k
X AX
给定初始时刻t0时的状态X(t0) ＝X0，则上式有
唯一确定解 X(t) eA(tt0 )X0 t t 0
给定初始时刻t0＝0时的状态X(t0) ＝X0，则上式
有唯一确定解 X(t) eAtX0 t 0
3.1 证明：和标量微分方程的求解相似
假设 X(t) b0 b1t b2t 2 bk t k 代入齐次状态方程得 b1 2b2t 3b3t2 kbktk1 A(b0 b1t b2t2 bktk ) 上式t的同次幂项的系数相等，有
第三章 控制系统状态空间表达式的解
• 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 • 3.4 线性时变系统的解
3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
自由解：系统输入为零时，由初始状态引起的自 由运动。 状态方程的齐次矩阵微分方程
3.1 b1 Ab 0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A
2
b0
b3
1 3
Ab 2
1 3!
A3
b0
bk
1 k
Ab k1
1 k!
A
k
b
0
由对X(t)的假设式，令 t＝0wenku.baidu.com则 b0=X(0)=X0
3.1
X(t)
(I
At
1 A2t2 2!
1 Aktk k!
)X 0
引入矩阵指数函数eAt
eAt I At 1 A2t2 1 Ak tk
3、性质三（可逆性）
[Φ(t)]1 Φ(t) [eAt ]1 eAt
4、性质四
3.2
Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A
或 Φ (t) AeAt eAtA
5、性质五 对n n矩阵A和B， 当且仅当AB BA时，eAteBt e(AB)t 而当 AB BA 时， e e At Bt e(AB)t 和标量指数函数的性质不同
2! 3!
k0 k!
例：已知
A
0 0
1 0
求 eAt
解：
eAt
1 0
0 1
0 0
1 0
t
1 2!
0 0
12 0
t2
1 3!
0 0
1 0
3
t
3
..
.
1 0
0 1
0 0
1 0
t
1 0
t 1
2、将A变换为约旦标准型
3.2
1）A的特征值互异
T1AT
则 eAt TetT1
例：
A
0 2
1 3
求
eAt
Φ(t1)
由此得状态转移矩阵的一个性
质——组合性质：
X0(t=0)
Φ(t2 t1)Φ(t1) Φ(t2 )
二、状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质 3.2
1、性质一（组合性质或分解性质）
Φ(t)Φ( ) Φ(t )
或 eAteA eA(t )
2、性质二 Φ(t t) I eA(tt) I
X0(t=0)
X(t)(t=t)
状态空间表示法的一个特点（优点）：
3.2
状态的变化在时间上可以分段求取。
X(t2 ) Φ(t2 )X(0) X(t1) Φ(t1)X(0) X(t2 ) Φ(t2 t1)X(t1)
Φ(t2 t1)Φ(t1)X(0)
X(t2)(t=t2) Φ(t2-t1) X(t1)(t=t1) Φ(t2)
三、几个特殊的矩阵指数函数
3.2
1、若A为对角线矩阵
1
0
A
2
0
n
e1t
0
eAt Φ(t)
e2t
0
en
t
2、若A能够通过非奇异变换变为对角线矩阵 3.2
即 T1AT
e1t
0
则 eAt Φ(t) T
e2t
T1
0
en
t
3、若A为约旦标准型矩阵
3.2
1
0
AJ
2)
1
s 2
e At
L1[(sI
A)1 ]