上海交大杜秀华老师现代控制理论 控制系统状态空间表达式的解
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的能控性和能观性6
三、 多输入多输出系统的标准形旺纳姆（Wonham ）标准形和龙伯格（Luenberger ）标准形。
1.多输入多输出系统的能控标准形考虑线性定常系统:Σx Ax Bu y Cx=+=x 为n 维状态向量，u 为p 输入向量，y 为q 维输出向量如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n ，即cQ 中有n 个线性无关列。
111121212[]c Q b b b Ab Ab Ab A b A b A b n n n p p p ---=对多输入系统，1p >，c Q 中有np 列，所以，在c Q 中可以找出很多种n 个线性无关列的情况。
这里介绍两种寻找n 个线性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。
定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换1x Px Q x -==使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形:Σx A x B u y C xcW c c c =+=式中111211222A A A 0A A A Q AQ 00A m m c mm -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11(11(1)11010011,2,,0001A ,i i ii i mννννααα⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦）112()00,1,,00A i j ij ij ij ij j i m νννγγγ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1(1)11(1)001001B Q B m p c n m np ββββ+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C CQ c =（无特殊形式）证明：见书 例 求如下系统的旺纳姆能控标准形121100*********A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦计算系统的能控性矩阵2101204010101001042BABA B c Q ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3c Q rank =，系统完全能控。
上海交通大学现代控制课程ppt
控制理论的基本概念
自动控制：在无人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过 程自动地按照预定要求进行。 对象：是一个设备，它是由一些机器零件有机地组合在一起的，其 作用是完成一个特定的动作。称任何被控物体（如加热炉、化学 反应器或宇宙飞船）为对象。 过程：称任何被控制的运行状态为过程，其具体例子如化学过程、 经济学过程、生物学过程。
反馈控制：反馈控制是这样一种控制过程，它能够在存在扰动的情 况下，力图减小系统的输出量与参考输入量（也称参据量）（或 者任意变化的希望的状态）之间的偏差，而且其工作正是基于这 一偏差基础之上的。在这里，反馈控制仅仅是对无法预计的扰动 （即那些预先无法知道的扰动）而设计的，因为对于可以预计的 或是已知的扰动来说，总是可以在系统加以校正的，因而对于他 们的测量是完全不必要的。
现代控制理论发展的主要标志
卡尔曼：状态空间法
卡尔曼：能控性与能观性
庞特里雅金：极大值原理
现代控制理论的主要内容
线性控制系统理论 有限维线性时不变系统是实际中最经常遇到的一类系统，因此多变 量线性系统理论一直是多年来研究的重心。其主要内容有系统的结构 问题，如能控性、能观测性、最小性等；以及关于反馈控制问题，如 极点配置、解耦、鲁棒控制等问题。 系统辨识 简而言之，所谓系统辨识就是利用系统(设备)在试验或运行中测得 的数据构造出系统的数学模型，并估计其参数的理论和方法。 自适应控制 自适应控制所研究的对象是具有不确定性的系统。自适应控制是一 个比较复杂的问题，也是控制理论用于实际的重要问题，是目前非常 活跃的研究课题，并且正朝着更高级更复杂的自学习及智能控制系统 等方向发展。
经典控制理论的发展
概括地说，古典控制理论主要包括一个核心概念：传递函数。两 个基本方法：频率响应及根轨迹法。原则上它们只适合用来对单输 入 - 单输出控制系统进行分析、综合与设计。 17 世纪瓦特 (watt)飞锤控制器的应用，可以看成是自动控制学 科发展的起点。到了19世纪后半叶，虽然自动控制技术已取得了许 多重大的进展，例如到1870年，已经在闭环系统中应用完善的PID 控制，与此同时，反馈原理也开始用于笨重机械 ——伺服机械的控 制，但是在控制理论方面却进展迟缓。直到上世纪20年代，常微分 方程及稳定性代数检验方法仍然是控制工程师的唯一分析工具。控 制理论进一步发展的关键性转机来自另一个重要的技术领域 ——通 讯工程。1932年奈奎斯特(Nyquist)的《再生理论》一文，开辟了 频域法的新途径。经过大约10年的时间，控制理论的微分方程法几 乎完全被频域法所取代。
控制系统的状态空间表达式的解(分析) PPT
5
3! 5!
t 1
1
3! 1
t t
3 2
1
5! 1
t t
5 4
2! 4!
cos t sint
sint
cos
t
2、2状态转移矩阵
2、2状态转移矩阵
转移矩阵定义 转移矩阵的几条重要性质 几个特别的矩阵指数函数 转移矩阵的计算
2、2状态转移矩阵
状态转移矩阵定义 齐次微分方程 xt Axt 的自由解为:
状态转移矩阵定义 转移矩阵的几条重要性质 几个特别的矩阵指数函数 转移矩阵的计算
2、1 线性定常系统齐次状态 方程的解 (自由解)
2、1 线性定常系统齐次状态方程的 解 定义:自由解
自由解:系统在输入为零( u(t))时0,由初始 状态引起的自由运动。
此时,状态方程为齐次微分方程:
x(t) Ax(t) (2、1)
状态转移矩阵的计算
2、化矩阵A为约旦标准型法
例2-3 解:
e 0 1 0
A 0 0 1 ,求
At
2 5 4
1 0
I A 0 1 ( 1)2 ( 2)
2 5 4
1 2 1,3 2
2、2状态转移矩阵
状态转移矩阵的计算
2、化矩阵A为约旦标准型法
得
1 1 0
J 0 1 0
也成为状态e A转t 移矩阵,通常记为
。
(t )
2、2状态转移矩阵
状态转移矩阵定义
t e At表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 eA(tt0) 表示 x(t0 ) 到 x(t ) 的转移矩阵。
如此 x(t) Ax(t) 的解能够表示为:
x(t) (t)x(0)
上海大学 现代控制理论 第1章
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 1.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x (t ) A (t ) x (t ) B (t )u (t ) y (t ) C (t ) x (t ) D (t )u (t ) x
1 a11 x1 a12 x2 a1 n xn b11u1 b12 u2 b1 r ur x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22 u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2 u2 bnr ur x y1 c11 x1 c12 x2 c1 n xn d11u1 d12 u2 d1 r ur y2 a21 x1 a22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22 u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn bm1u1 d m 2 u2 d mr ur
a11 a1n A an1 ann n n c11 c1n C cm1 cmn mn
b11 b1r B bn1 anr nr d11 d1r D d m1 d mr mr
（1.2-1）
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
式中常系数 关。
（1.2-2 1 2 2）
a
11
, ， a nn ; b 1 ,
b ;c
n
1
,
c
现代控制理论第1章 控制系统的状态空间描述PPT课件
五十年代后兴起的现代控制起源于冷战时期的军备 竞赛，如导弹(发射，操纵，指导及跟踪)，卫星，
航天器和星球大战，以及计算机技术的出现。
现代控制理论发展的主要标志
卡尔曼： 状态空间法 卡尔曼： 能控性与能观性
现代控制理论的主要特点
研究对象：线性系统 非线性系统 时变系统 多变量系统 连续与离散系统
数学上：状态空间法
教材:《现代控制理论基础》 王划一 主编 国防工业出版社
主要参考书 :
1.侯媛彬等编著,现代控制理论基础 2.施颂椒等编著,现代控制理论基础,高等教育出版 社,2005.11。
3.赵明旺等编著,现代控制理论, 4.卢伯英等译，现代控制工程（第4版），电子工 业出版社，2003.7。
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数学模型 分析方法
传递函数（输入-输出描述） 时域法、根轨迹法和频域法
状态方程（可以描述内部 行为）
状态空间法
分 析 的 主 要 系统的稳定性和动态特性 内容
系统运动分析、能控/能观 测性、极点配置、状态观 测器设计等
经典控制与现代控制比较
1．模型形式
经典控制—微分方程、传递函数 现代控制—状态空间描述
第1章 动力学系统的状态空间描述
1.1 控制系统状态空间表达式 1.2 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 1.3 根据系统微分方程建立状态空间描述 1.4 传递函数变换为状态空间表达式 1.5 结构图分解法建立状态空间表达式 1.6 状态空间的等价变换 1.7 从状态空间描述求传递函数(阵)
1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念
uu12
动力学系统
yy12
ur
……
ym
x1 x2
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章 线性系统的结构分解6
• • 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 线性定常系统按能控性的结构分解
–
分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1. 2. 3. 计算 从中任意选取k个线性无关的列 选取n-k个列控性分解的规范表达式
为什么?
Q q1 q k 变换关系 QA AQ QB B q k 1 q n A A的各列是AQ的各列关于Q q1 q k | q k 1 q n 的表达 Aq1 Aqk | Aqk 1 Aqn
1
q k 1 q n
q
qk
因rankQc rank[ B AB A n 1B] k 故Aq1 , , Aqk 对q1 q k | q k 1 q n 的表达中从第k 1行以下都为 0 即为规范表达式中的形 式 所以Aq1 , , Aqk都是q1 , , q k的线性组合
对B同理。
说明:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
现代控制理论试题(详细答案)-现控题目
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）12233131835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分）[]100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为2122211(),()3232s s g s g s s s s s -+==++-+求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制理论第1章_控制系统状态空间表达式
L di(t ) u(t ) dt
i(t )
t t0
1 u( )d
L
i0
i0
t0 1 u( )d
L
另一类系统除了输入信息外，还必须知道系统的一组 初始信息才可获得确定的输出信息(输出和输入之间的 关系通常用微分方程描述)，这组初始信息是初始时刻 以前系统所存储的输入信息的体现。
动力学系统：能够储存输入信息的系统。
u
x3
图 1 1 例：C、L 为 两 独 立 储 能 元 件，故 应 有 两 个 独 立 状 态 变量， 不妨取：x1 uc，x2 i。根据电路机理构建微分方程如下：
C d uc dt
•
i，即 Cuc
•
i uc
1i，也 即： C
•
x1
1 C
x2；
L
di dt
R
i
u
c
•
u,即i
1 L
uc
LRi
1
x2
0
1x3 - 1
2 1 0
u1 u2
y1 y2
1 1
0 1
1 0
x1 x2 x3
2
0
1u1
1
u
2
关于状态空间表达式的几点说明
系统的状态与系统的输出：两者在概念上不同，前者是 完全描述系统动态行为的一组变量信息，后者是人们希 望从系统中获得的结果信息。但两者也有联系，输出是 关于状态的函数(在线性系统中，输出常常是状态向量中 某一个分量或几个分量以及输入量的线性组合）。
x1
x
(t)
x2 (t
)，也可简写为：x
x2
xn
(t
)
xn
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第6章 稳定性与李雅普诺夫方法
第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。
6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。
假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。
于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2) 则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。
如果系统是线性定常的，也就是说Ax t x f =),(，则当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。
平衡状态的确定不包括式(6.1)的系统微分方程的解，只涉及式(6.2）的解。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。
现代控制理论课程教学大纲.
《现代控制理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：AU3022、课程名称（中/英文）：现代控制理论（Modern Control System）3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：自动控制理论5、面向对象：自动化专业本科生，相邻专业研究生6、开课院（系）、教研室：自动化系7、教材、教学参考书：教材：现代控制理论刘豹机械工业出版社2000教学参考书：Linear System Theory and Design Chi-Tsong Chen Oxford university press 1999二、本课程的性质和任务现代控制理论是自动化专业的高年级本科生的必修课程，课程包括了现代控制理论中的基础理论部分，主要内容为线性系统理论基础内容。
课程首先介绍了控制理论的发展概况和应用概况，说明了线性系统的特性，然后深入讲解系统的状态空间描述，状态空间表达式的求解，线性控制系统的能控性和能观性、系统的稳定性和李雅普诺夫方法、线性定常系统的综合，最优控制问题的概述和线性定常二次型最优控制问题。
通过本课程的学习，学生可以掌握线性系统的基本分析和设计方法，为学生学习后继课程、从事工程技术工作、科学研究及开拓性技术工作打下坚实的基础。
三、本课程教学内容和基本要求《现代控制理论》现代控制理论的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章概论(1)控制理论的发展、现代控制理论的特点及举例、线性系统的特点(1)要求：掌握现代控制理论与经典控制理论的不同点和线性系统的特点。
第二章控制系统的状态空间表达式（7）1．状态变量及状态空间表达式、状态空间表达式的模拟结构图（2）2．状态空间表达式的建立（一）（1）3．状态空间表达式的建立（二）（1）4．状态向量的线性变换（1）5．由状态空间表达式求传递函数阵、时变系统和非线性系统的状态空间表达式（2）要求：熟练掌握系统状态空间表达方法的概念、形式，掌握系统状态空间表达式的各种建立方法、掌握系统的线性变换方法、掌握模型转换方法。
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。
第1章 状态空间表达式-1
线性时变系统
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
Ax Bu x y C x Du
状态方程 输出方程 注意变量和参 数的维数关系
x : n维状态矢量 u: r维输入(或控制)矢量
y:
m维输出矢量
A : nxn系统矩阵 B : nxr输入(或控制)矩阵 C : mxn输出矩阵 D: mxr直接传递矩阵
信息与控制工程学院
连续时间线性系统的方框图
Ax Bu x y C x Du
D
u
B
x
A
x
C
y
信息与控制工程学院
§1-2 状态空间表达式的模拟结构图
首先转换为模拟结构图
信息与控制工程学院
然后根据模拟结构图写出状态空间表达式
K3 1 x x2 T3 2 x 1 K2 x2 x3 T2 T2
x y 1 0 0 K1K 4 T1 K3 T3 1 T2 0 0 0 K2 x 0 u K1 T2 1 T1 T1
信息与控制工程学院
内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两 个数学方程表征——
状态方程：x与u之间的关系 (一阶微分方程组） 输出方程 ：y与x、u之间的关系
u1
u2
ur
x1 , x2 ,, xn
y1 y2
ym
信息与控制工程学院
外部描述和内部描述的比较
外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑 箱内部结构的不能控或不能观测的部分。
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》现代控制理论基础课件第二章1
R 1 1 uc uc uc u L LC LC
传递函数为： 1 U c (s) LC G ( s) U (s) s 2 R s 1 L LC
– n阶微分方程要唯一确定其解，必须已知n个独立的初 始条件 – n阶系统的n个独立变量 – 取决于系统中的独立储能元件的个数
二、状态向量
• 如果n个状态变量用x1(t), x2(t),… xn(t)表示，并 把这些状态变量看作矢量X(t)的分量，则X(t) 称为状态向量。 • 记作
x1 t x t X (t ) 2 ... xn t
y1 (t ) g 1 ( x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ), u1 (t ), u 2 (t ), , u p (t ), t ) y 2 (t ) g 2 ( x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ), u1 (t ), u 2 (t ), , u p (t ), t ) y q (t ) g q ( x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ), u1 (t ), u 2 (t ), , u p (t ), t )
1 x1 0 C 1 u R x2 L L
R-L-C网络的状态方程建立
• 或
2.1
X AX bu 0 x1 式中 X A 1 x2 L 1 0 C b 1 R L L
R-L-C网络的状态方程建立
• 根据基尔霍夫定理， 可得含有状态变量的 一阶微分方程组
现代控制理论基础第二章
Elements of Modern Control Theory主讲：董霞现代控制理论基础西安交通大学机械工程学院第二章控制系统的状态空间描述§2.1 基本概念§2.2 系统的状态空间描述§2.3 由微分方程求状态空间表达式§2.4 由传递函数求状态空间表达式§2.5 非线性状态方程的线性化§2.6 系统的传递函数矩阵§2.7 状态方程的线性变换§2.8 机电液系统状态空间表达式的建立§2.9基于Matlab的系统模型转换§2.1 基本概念在对控制系统进行动态分析和研究时,首先需要建立系统的数学描述，即数学模型。
在经典控制理论中，只表明系统输入-输出关系的数学描述通常是微分方程（或差分方程）、传递函数（代数方程）或方框图。
在现代控制理论中，对于系统的数学描述除了表达系统的输入-输出关系外，还要加上反映系统内部状态变化的参量-状态变量，这种描述方法称状态空间描述。
其数学模型为状态空间方程。
基本概念1.状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。
状态可以理解为系统记忆，t=t 0时刻的初始状态能记忆系统在t<t 0时的全部输入信息。
2. 状态变量：动态系统的状态变量是确定动态系统状态的数量最少的一组变量。
如果能用最少的n个变量就能完全描述动态系统的行为，即一旦已知t≥t 0时的输入并且给定t=t 0时的初始状态，则系统在t≥t 0时刻的状态就完全可以确定，那么这样的n个变量就是系统的一组状态变量。
应该注意的是，状态变量的选择具有自由性，它并不一定要在物理上可测量或可观测，但从实用上考虑，应尽可能取容易测量的量作为状态变量，这样会带来很多方便。
1(),x t 2(),,()L n x t x t3.状态向量：如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量，那么可将这n个状态变量看作向量的各个分量，就叫状态向量。
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
1 T 0 x(k 1) x( k ) u ( k ) 0 1 - 2T T
近似离散化方法(5/6)—例3-12
对上述近似离散化法的精度可检验如下: 1. 当T=1s时,精确法的计算结果为 1 0.432332 0.283834 G H 0 0.135335 0.432332 近似法的计算结果为
0 H 0.001
从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 - e 2T ) / 2 T/ 2 - (1 - e 2T ) / 4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 - e ) / 2
近似离散化方法(1/6)
2. 近似离散化方法
下面分别针对
线性定常连续系统和 线性时变连续系统
讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即
研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。 主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。 由此,提出了连续系统的离散化问题。
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第五章4
5.4.9 系统设计的分离性原理：观测器的引入对闭环系统的影响1、闭环系统设计的分离性原理在极点配置的设计过程中，假设真实状态)(t x 可用于反馈。
然而实际上，真实状态)(t x 可能无法量测，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态)(~t x 用于反馈，如 图5.6所示。
因此，该设计过程分为两个阶段，第一个阶图5.6 带观测器的状态反馈控制系统段是确定反馈增益矩阵K ，以产生期望的反馈闭环系统的特征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵e K ，以产生期望的观测器特征方程。
这里不采用真实状态)(t x 而采用观测或重构的状态)(~t x 来实现系统的状态反馈。
需要研究这种方式对闭环反馈系统的影响。
考虑如下线性定常系统Cxy BuAx x =+=且假定该系统状态完全能控且完全能观测。
对基于重构状态x ~的线性状态反馈控制v x K u ＋~-=利用该控制，状态方程为)~()(~x x BK Bv x BK A Bv x BK Ax x-++-=+-=(5.57)将真实状态)(t x 和重构状态)(~t x 之差定义为误差)(t e ，即)(~)()(t x t x t e -=将误差向量代入式（5.57），得BKe Bv x BK A x++-=)(（5.58）注意，观测器的误差方程由式（5.31）给出，重写为e C K A e e )(-=（5.59）将式（5.58）和(5.59)合并，可得v B e x C K A BK BK A e x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00＋ (5.60)又[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e x C y 0式（5.60）描述了带观测器的状态反馈控制系统的动态特性。
该系统的特征方程为00=+--+-CK A sI BKBK A sI e或0=+-+-C K A sI BK A sI e注意，带观测器的状态反馈控制系统的闭环极点由极点配置单独设计产生的极点和由观测器单独设计产生的极点两部分组成。
现代控制理论_控制系统状态空间表达式的解数学知识准备
Y1(s) W11(s)U1(s) W12(s)U2(s) W1 j(s)U j(s) W1r(s)Ur(s)
Yi(s) Wi1(s)U1(s) Wi 2(s)U2(s) Wij(s)U j(s) Wir(s)Ur(s) Ym(s) Wm1(s)U1(s) Wm2(s)U2(s) Wmj (s)U j(s) Wmr (s)Ur(s)
b1 Ab0 2b Ab 2 1 3b 3 Ab2 kb k Abk 1
b1 Ab0 1 b 2 1 Ab1 A 2b 0 2! 2 1 1 b 3 Ab 2 A 3b 0 3! 3 1 b k 1 Ab k 1 A k b 0 k! k
选取
n
2
c1 c x 2 u n c n
i 1
i
y 1 1 1x
对角标准型2
对角标准型2
系统模拟结构图：
1 x
2
c1 c x 2 u n c n
1 s ( s 2) 1 s2
1 传递函数 s ( s 2) 1 组成的矩阵！ s2
耦合关系
Y1(s) W11(s) W12(s) W1r(s) U1(s) Y (s) W (s) W (s) W (s) U (s) 22 2r 2 21 2 Ym(s) Wm1(s) Wm 2(s) Wmr (s) U r(s)
从时间角度看状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换不断地在状态空间中作转移故称为状态转移矩阵转移至的状态转移矩阵为11新的系统矩阵新的状态转移矩阵拉氏反变换法求出的解不是解析形式适合于计算机求解
上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第七章 最优控制
则雷达跟踪的控制问题可描述为
对被控系统，其状态方程为
0 1 0 x x 1 u 0 0
初始状态为 终端状态为 控制力矩 性能指标为
I ( 0 f ) k x(t0 ) I ( ) f k 0
试设计状态调节器，使下列性能指标 1 2 其中 J x 2bx x ax 2 u 2 dt
0 2
1
1 2
2
a ,b 0 a b
为最小。
0 1 0 1 b A , 1 , Q b a , R 1 0 0
线性二次型最优控制问题（LQ问题）的实质 是用较小的控制能量来实现较小误差的最优控制， 从而达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型最优控制问题可归结为如下几种问题： (1)状态调节器问题
如果 C (t ) I , z (t ) 0
1 T 1 tf T J x (t f ) Fx(t f ) t [ x (t )Q(t ) x(t ) uT (t ) R(t )u(t )]dt 2 2 0
1
p12 (t ) p22 (t )
p11 (t ) u t R B P t x t 2 0 1 p21 (t ) 2 p12 (t ) x1 (t ) p22 (t ) x2 (t )
最优控制 u (t ) 为
p12 (t ) x1 (t ) p22 (t ) x2 (t )
状态调节器问题的最优控制规律为
u (t ) K (t ) x(t ) R (t ) B P(t ) x(t )
* T
1
最优性能指标为
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Φ(t1)
由此得状态转移矩阵的一个性
质——组合性质：
X0(t=0)
Φ(t2 t1)Φ(t1) Φ(t2 )
二、状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质 3.2
1、性质一（组合性质或分解性质）
Φ(t)Φ( ) Φ(t )
或 eAteA eA(t )
2、性质二 Φ(t t) I eA(tt) I
2
tet t2et et tet t2et 3tet t 2et
1 t2et 2
tet 1 t2et 2
et 2tet 1 t2et
2
3、利用拉氏反变换求eAt
3.2
e At L1[(sI A)1 ]
证： X (t) AX(t) X(0) X0 两边取拉氏变换
SX(s) X(0) AX(s)
X AX
给定初始时刻t0时的状态X(t0) ＝X0，则上式有
唯一确定解 X(t) eA(tt0 )X0 t t 0
给定初始时刻t0＝0时的状态X(t0) ＝X0，则上式
有唯一确定解 X(t) eAtX0 t 0
3.1 证明：和标量微分方程的求解相似
假设 X(t) b0 b1t b2t 2 bk t k 代入齐次状态方程得 b1 2b2t 3b3t2 kbktk1 A(b0 b1t b2t2 bktk ) 上式t的同次幂项的系数相等，有
2)
1
s 2
e At
L1[(sI
A)1 ]
2! 3!
k0 k!
例：已知
A
0 0
1 0
求 eAt
解：
eAt
1 0
0 1
0 0
1 0
t
1 2!
0 0
12 0
t2
1 3!
0 0
1 0
3
t
3
..
.
1 0
0 1
0 0
1 0
t
1 0
t 1
2、将A变换为约旦标准型
3.2
1）A的特征值互异
T1AT
则 eAt TetT1
例：
A
0 2
1 3
求
eAt
1
0
1 0
t 1
1 t2 2!
t
(n
1
1
1)
!
t t
n 1 n2
eAt Φ(t) et
(n 2)!
0 0 0
t
0 0 0
1
4、若
A
3.2
eAt
Φ(t)
e
t
cost sint
sint cost
四、Φ(t)或eAt的计算
3.2
1、按定义直接计算法
e At I At A2t 2 A3t 3 1 Ak t k
2!
k!
于是
X(t) eAtX0
3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
一、状态转移矩阵
齐次矩阵微分方程的自由解
X(t) eAtX0 或
X(t) eAtt0 X0
eAt称为状态转移矩阵，记为Φ(t)
即： X AX的解，又可表述为 Φ(t) X(t) Φ(t)X(0)
或 X(t) Φ(t t0 )X(t0 )
X0(t=0)
X(t)(t=t)
状态空间表示法的一个特点（优点）：
3.2
状态的变化在时间上可以分段求取。
X(t2 ) Φ(t2 )X(0) X(t1) Φ(t1)X(0) X(t2 ) Φ(t2 t1)X(t1)
Φ(t2 t1)Φ(t1)X(0)
X(t2)(t=t2) Φ(t2-t1) X(t1)(t=t1) Φ(t2)
第三章 控制系统状态空间表达式的解
• 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 • 3.4 线性时变系统的解
3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
自由解：系统输入为零时，由初始状态引起的自 由运动。 状态方程的齐次矩阵微分方程
3.2
J T1AT
则 eAt TeJtT1
0
例： A 0
1
1 0
0
1
3 3
求eAt
解：| I A | 3 32 3 1 ( 1)3 0
将矩阵A变换为约旦标准形的变换矩阵为
1
0
0
1 0 0
T 1
1
0 T1 1 1
0
1
2 1
1 2 1
1
0 00 1
01
0
T1AT 1
1
00
解：
I A
1 2 3 2
2 3
( 1)( 2) 1 1 2 2
3.2
变换矩阵为
T
1 1
1 2
T1
2 1
1 1
则
eAt
T et T 1
1 1
1 et 2 0
0 2 1
e2
t
1
1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
2）A的特征值有重根
3、性质三（可逆性）
[Φ(t)]1 Φ(t) [eAt ]1 eAt
4、性质四
3.2
Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A
或 Φ (t) AeAt eAtA
5、性质五 对n n矩阵A和B， 当且仅当AB BA时，eAteBt e(AB)t 而当 AB BA 时， e e At Bt e(AB)t 和标量指数函数的性质不同
即 (SI A)X(s) X(0) X0
X(s) (SI A)1X0
X(t) L1[(SI A)1]X0
和式
X(
t
)
e
AtX
比较
0
eAt L1[(SI A)1]
3.2
例：
A
0 0
1 2
求eAt
解：
sI
A
s 0
0 s
0 0
1 2
s 0
1 s 2
1
(sI
A) 1
s
0
1
s(s
0
1
1
1
1
2 1 1
3 31
2
1
1
0
0
1
1
J
0
0 1
3.2
0 0 1
eAt TeJtT1
3.2
1 eAt 1
1
0 1
0 e t 0 0
tet et
1 t2e 2
tet
t
1 1
0 0 1 0
2
1 0 0 et 1 2 1
et
tet
1 2
t2et
1 2
t
2et
tet
1
t2et
3.1 b1 Ab 0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A
2
b0
b3
1 3
Ab 2
1 3!
A3k1
1 k!
A
k
b
0
由对X(t)的假设式，令 t＝0，则 b0=X(0)=X0
3.1
X(t)
(I
At
1 A2t2 2!
1 Aktk k!
)X 0
引入矩阵指数函数eAt
eAt I At 1 A2t2 1 Ak tk
三、几个特殊的矩阵指数函数
3.2
1、若A为对角线矩阵
1
0
A
2
0
n
e1t
0
eAt Φ(t)
e2t
0
en
t
2、若A能够通过非奇异变换变为对角线矩阵 3.2
即 T1AT
e1t
0
则 eAt Φ(t) T
e2t
T1
0
en
t
3、若A为约旦标准型矩阵
3.2
1
0
AJ