线性代数课件第六章

律 (i), (ii), (v), (vi), (vii), (viii) 显然是满足的, 因此只要 L 对运算封闭且满足规律 (iii)、(iv) 即可. 但由线性空间 的性质知, 若 L 对运算封闭,则即能满足规律(iii),(iv). 因 此我们有
定理 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充
那么, V 就称为(实数域 R 上的)向量空间(或线性 空间), V 中的元素不论其本来的性质如何,统称为(实) 向量.
简言之, 凡满足八条规律的加法及乘数运算, 就称为
线性运算; 凡定义了线性运算的集合, 就称为向量空 间.
在第四章中, 我们把有序数组称为向量, 并对它定 义了加法和乘数运算, 容易验证这些运算满足八条规律. 最后, 把对于运算封闭的有序数组的集合称为向量空间. 显然, 那些只是现在定义的特殊情形. 比较起来, 现在的 定义有了很大的推广:
a a; (viii) (a b) (ab) (ab) ab
a b a b .
因此, R+ 对于所定义的运算构成线性空间. 下面讨论线性空间的性质.
三、线性空间的性质
性质 1 零向量是唯一的.
证明 设 0证1, 0明2 是设线性01,空02间是V线中性的空两间个V零中向的量两, 个零向量
这就较清楚地显示出线性空间 Vn 的构造.
若 1 , 2 , ···, n 为 Vn 的一个基, 则对任何 Vn ,
都有一组有序数 x1 , x2 , ···, xn , 使
= x1 1 + x2 2 + ···+ xn n ,
并且这组数是唯一的.
反之 , 任给一组有序数 x1 , x2 , ···, xn , 总有唯一的
所以证明 所(若-以1)证明=0,-在(若-1;)==0,-两在边;乘=10/两, 得边乘 1/ , 得
0 = 1[(+(0)-1=)11[0](=+0(,)-1+)1(-0]=)0, + (- )
而
= [1 而
+((-) =)]([11=+(0)(-)=)]0(,.1=0)=0,.
证毕
所以 所以 = 0 = 0
要条件是 L 对于 V 中的线性运算封闭.
第 二 节 维数、基与坐标
主要内容
向量空间维数的定义 向量在基下的坐标 向量的运算 向量空间同构
一、向量空间维数的定义
在第四章中, 我们用线性运算来讨论 n 维数组 向量之间的关系, 介绍了一些重要概念, 如线性 组合、线性相关与线性无关等等. 这些概念以及 有关的性质只涉及线性运算, 因此, 对于一般的线 性空间中的元素仍然适用. 以后我们将直接引用 这些概念和性质.
元素 = x1 1 + x2 2 + ···+ xn n Vn . 这样, Vn 的元素 与有序数组
(x1 , x2 , ···, xn )T 之间存在着一种一一对应的关系, 因此可以用这组有序数
来表示元素 . 于是我们有
定义 3 设 1 , 2 , ···, n 为线性空间 Vn 的一个
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x1, x2 ,, xn )T (0,0,,0)T
不构成向量空间. 可以验证 Sn 对运算封闭. 但因
1 x 0
不满足运算规律 (v) , 即所定义的运算不是线性 运算, 所以 Sn 不是向量空间.
比较 Sn 与 Rn , 作为集合, 它们是一样的, 但 由于在其中所定义的运算不同, 以致 Rn 构成向量 空间而 Sn 则不是向量空间. 由此可见, 向量空间 的概念是集合与运算二者的结合. 一般地说, 同一 个集合, 若定义两种不同的线性运算, 就构成不同 的向量空间；若定义的运算不是线性运算, 就不
例 3 正弦函数的集合
S[x] {s Asin(x B) | A, B R}
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间. 这是因为通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算
规律, 故只要验证 S[ x ] 对运算封闭:
s1 s2 A1 sin(x B1) A2 sin(x B2 ) (a1 cosx b1 sin x) (a2 cosx b2 sin x) (a1 a2 ) cosx (b1 b2 ) sin x Asin(x B) S[x] ,
(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 )T .
若另取一 个基
q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3, q5 x4 ,
例 6 在线性空间 P[ x ]4 中,
p1 = 1, p2 = x , p3 = x2 , p4 = x3 , p5 = x4 就是它的一个基. 任一不超过 4 次的多项式
p = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 都可表示为
p = a0p1 + a1p2 + a2p3 + a3p4 + a4p5 , 因此 p 在这个基下的坐标为
在第四章中我们已经提出了基与维数的概念, 这当然也适用于一般的线性空间. 这是线性空间 的主要特性, 特再叙述如下.
定义 2 在线性空间 V 中, 如果存在 n 个元素 1 ,
2 , ···, n 满足: (i) 1 , 2 , ···, n 线性无关; (ii) V 中任一元素 总可由 1 , 2 , ···, n线性表示.
第 六 章 线性空间与线性变换
第一节 线性空间的定义与性质 第二节 维数、基与坐标 第三节 基变换与坐标变换 第四节 线性变换 第五节 线性变换的矩阵表示式 知识要点 习题课
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第六章 线性空间与线性变换
向量空间又称线性空间, 是线性代数中一个 最基本的概念. 在第四章中, 我们把有序数组叫向 量, 并介绍过向量空间的概念. 在这一章中, 我们 要把这些概念推广, 使向量及向量空间的概念更 具一般性. 当然, 推广后的向量概念也就更加抽象 化了.
基. 对于任一元素 Vn , 总有且仅有一组有序数 x1 ,
x2 , ···, xn , 使
= x1 1 + x2 2 + ···+ xn n , x1 , x2 , ···, xn 这组有序数就称为元素 在基 1 , 2 , ···,
n 下的坐标, 并记作
= (x1 , x2 , ···, xn)T .
构成向量空间. 所以, 所定义的线性运算是向量空 间的本质, 而其中的元素是什么倒不重要, 由此 可以说, 把向量空间叫做线性空间更为合适.
为了对线性运算的理解更具有一般性, 请看 下例.
例 5 正实数的全体, 记作 R+ , 在其中定义
加法及乘数运算为
加法: a b ab (a,b R ) ,
四、子空间
在第四章中, 我们提过子空间, 今稍作修正.
定义 设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一个非空子
集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和数乘两种运算也构
成一个线性空间, 则称 L 为 V 的子空间.
一个非空子集要满足什么条件才构成子空间? 因 L 是 V 的一部分, V 中的运算对于 L 而言, 规
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x (a0 ) P[x]n ,
所以 P[ x ]n 是一个向量空间.
例 2 n 次多项式的全体
Q[x]n {p an xn a1x a0 | an ,, a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间. 这 是因为 0 p = 0 xn + ···+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 Q[ x ]n 对运 算不封闭.
即对性任何质即2对V任任, 一有何向量+的0V1 负,=有向,量+是+00唯12==一的,..于+是0的2特=负向. 于量是特
记别作有- . 别有 02 + 01 = 020,2 0+1 0+1 0=2 0=2 0, 10.1 + 02 = 01 .
所以证明所设以证0有1明=两0个1设+负0向20有=1量=两020个+1，+0负10，向=2 =即0量20.2+，01，= 即02 .
(i) + = + ;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0， 对任何 V ,
都有 + 0 = ;
(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi) ( ) = ( ) ;
(vii) ( + ) = + ; (viii) ( + ) = + .
即零向量是即唯零一+向的量=. 是0 ,唯一++的 =. 0., + = 0.
于是 于是
证毕
性质 3 0 = 0 ; (-1) = - ; 0 = 0.
证明 + 证0 明= 1++00==1(1 + 0) = (11+=0),= 1 =
所以 所0以 = 0 ; 0 = 0 ;
性+ 质(-1)4 =如1+果(-+1)(-1=)=01, 则=[+1(+-=1(0-) 1或)]=[1==+00(.-1=)]0; = 0 = 0
(1) 向量不一定是有序数组; (2) 向量空间中的运算只要求满足八条运算规律, 当然也就不一定是有序数组的加法及数乘运算.
二、举例
下面举一些例子.
例1 次数不超过 n 的多项式的全体, 记作P[ x ]n , 即