平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题

平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题

17.0 圆锥曲线几何性质

如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离

心

率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余 弦定理等几何性质的应用•

PF t +PF 2

| =2a 》£沪2方程为椭圆，

椭圆方程的第一定义：PF 1 - PF 2 =2a F I F 2无轨迹，

PF 1 - PF 2 =2a = F t F 2以F"F 2为端点的线段 |PF t _PF 2| =2aYF t F 2方程为双曲线

双曲线的第一定义： PF 1 _PF 2 =2a - F 1F 2无轨迹

PF i -PF 2 =2a=F i F 2以F i ,F 2的一个端点的一条射线

圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F 和定直线|的距离之比为常数e 的点的轨迹.简言之就 是“ e=

点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.

点线距

当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线；

当e =0时，轨迹为圆（e =£，当c =0, a =b 时）.

a

圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势

b

=・,1 —e 2、双曲线中 b . e 2 -1 . a a

圆锥曲线的焦半径公式如下图：

特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点

17.1圆锥曲线中的精要结论:

.其中e =c ，椭圆中

a

a ex

a —ex

=1:

1.焦半径：

2 2

(1)椭圆2+ y2=1(a Ab =0): PR = a + ex；3, PF2 = a —exj ；(左+ 右- a b

2 2

椭圆X2+E—1(a >b>0):

b a

a2 a2

PR =6(X0 —)=a+ex)(X0<0), PF2 =e(—-X0)=ex)-a(X0〉O)

c c

=1:

2 2

筈•与=t(t 是大于0的参数，a -b -0)的离心率也是e=£，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a 2 b 2 a

5. 双曲线中的结论：

2 2

2

2

(1) 双曲线W 1 ( a 0,b 0)的渐近线：D 0 ；

2.2 2 .2

a b

a b

b 2 2

(2) 共渐进线y = _b

x 的双曲线标准方程为 D (-为参数，■工0)；

a a 2

b 2

(3) 双曲线焦点三角形：

2

⑵双曲线冷-

a 2

b 2 “长加短减”原则:

MF ! =ex 0 a

M F - _ex 0 _a

构成满足MF ! _MF 2|=2a

MF 2 =ex 0 -a

M F 2 - -ex 0 a

(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算， 而双曲线不带符号)

MF j =ey 0 -a

MF 2 = ey 0 a

M F i = —ey o M F 2 = -ey 0

⑵抛物线：PF =x 0 +卫

2

2.弦长公式:

AB = 1 k 2 X 2 - X i = (1 k 2)[(x i X 2)2 -4X I X 2】

n 二(i

：2)[(y i y 2)2 -4%y 2]；

【注】：(1)焦点弦长：i .椭圆：| AB 2a _&为• x 2)；

.抛物线：

AB 为 * X 2 * p - p

； sin «

(2)通径(最短弦) i .椭圆、双曲线： ii .抛物线：2p .

2b 2 a

2 2

3. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

mx • ny =1

( m, n 同时大

于 时表示双曲线)； 4. 椭圆中的结论：

(1) 内接矩形最大面积：

2ab ；

1 111

(2) P, Q 为椭圆上任意两点，且 OP _0Q ，贝U - - m

|OP | |OQ| a b

(3) 椭圆焦点三角形：

9

,,

0时表示椭圆,

ii .点M 是PF |F 2内心，

⑷当点P 与椭圆短轴顶点重合时

⑸共离心率的椭圆系的方程：椭圆

PM 交 F 1F 2于点 N ，则 L PM _|

；

| MN | c

—F 1PF 2 最大;

2 2

务与=1(a -b -0)的离心率是

a b

e =* (c = . a 2 -b 2)，方程

a

2 0 ①

i - S PF 1F 2 = b cot —,(寸=F 1PF 2);

2 2

ii . P 是双曲线X 2 —与=1(a >0, b > 0)的左(右)支上一点，F i 、F 2分别为左、右焦点，则厶PF 1F 2 a b 的内切圆的圆心横坐标为 _a,(a)； ⑷等轴双曲线：双曲线x 2_y 2 离心

率e =$2 . 二a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y 二x(渐近线互相垂直)， (5)共渐近线的双曲线系方程:

△ =0时，它的双曲线方程可设为 a b (6)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2

线.笃 a

⑺若P 在双曲线 2

y 孑

2 X

a 则P 到两准线的距离比为 _e_ PF? 简证：岂二

d 2

2 2 2 $_牛「(，0)的渐近线方程为笃 a 2 b 2 a 2 2 2 —(=0). a b 2

V 如果双曲线的渐近线为 二二枭互为共轭双曲线, 2 一一爲=1，则常用结论 b 2 m ： n . 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲 2 2 —0 . a 2 b 2 ▲

它们具有共同的渐近线: 1 : P 到焦点

的

3

3

3

1

x

y

e

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离

(8)直线与双曲线的位置关系：

无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 2条；

即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线， 合计3 条; 2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计 4条；

即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线， 即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

等于b . 区域① 区域② 区域③ 区域④ 区域⑤ 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 若

直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 根之和与

两根之积同号.

6.抛物线中的结论：

(1)抛物线y 2 = 2 px ( p ■ 0)的焦点弦AB 性质：

2 p %X 2

4

1 | AF |

•以AB •以AF ii .

iii iv v . S .AOB (2)抛物线y 2

x 1x 2 2

y 1 y 2 - - p ;

|BF | p '

为直径的圆与准线相切；

(或BF )为直径的圆与y 轴相切; 2

P 2 sin :

^2 px (p - 0)内结直角三角形 OAB 的性质:

2 2

=4P ,y 』2 = -4P ；

ii . I AB 恒过定点(2p,0)；

iii .代B 中点轨迹方程：y 2二p(x-2p)；

iv . OM _ AB ，则 M 轨迹方程为：(x - p)2 y 2 二 p 2 ； 2

V . (S AOB ) min _ 4 p .

合计 2条; 0、2、 3、4 条. 法与渐近线求交和两