量子力学常用数学公式

代入公式得:
∫
2 m( E −
mω 2 x 2 ) dx = nh 2
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 OA 的四倍,要决定振幅 a ,注意在 A 或 B 点动能为 0, E =
1 mω 2 a 2 ,(1)改写为: 2
2∫ mω a 2 − x 2 dx = nh
−a
a
(2)
积分得: mω a π = nh 遍乘
v
p
的误解.
�
�
�
d 2ψ 2m + [ E − V ( x)]ψ = 0 dx 2 ℏ 2
将 方 程 式 左 边 加 减 相 等 的 量 Cψ 得 :
d 2ψ 2m + {[ E + C ] − [V ( x) + C ]}ψ = 0 dx 2 ℏ 2
这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解ψ ( x) , 从能量本征值来说,后者比前者增加了 C。 #
y
h=2
p∫
z 0
y 0 c
p
z
y
∫ p d q = n h = 2 p ∫ dz = 2c p
z
p ,p ,p
x y
z
都是常数,总动量平方 p =
p2 1 2 2 E= = ( px + p2 y + pz ) 2m 2m
=
1 nx h 2 n y h ) 2 + ( nz h ) 2 ] [( ) +( 2 m 2a 2b 2c
(7 x cos axdx =
∫
2x x2 2 cos ax + ( − ) sin ax ) a a3 a2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x c ax 2 + c + ln( a x + ax 2 + c ) 2 2 a
(8)
(a > 0)
∫
ax 2 + c dx = x c −a ax 2 + c + arcsin( x) 2 c 2 −a
2 2 2 ∫ pdq = ma ω ∫ cos ω tdt = nh 0
T
T 是振动周期,T=
mω a 2π = nh
n = 1,2,3
#
2π ,求出积分,得 ω hω E= n = nℏω 2π
正整数
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 a, b, c.
( 解 ) 三维问题 , 有三个独立量子化条件 , 可设想粒子有三个分运动 ,每一分运动是自由运动 .设粒子与器壁作弹性碰撞 ,则每碰一次时 , 与此壁正交方向的分动量变号 (如
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是 r ,线速度 是 v ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
Bev mv 2 = c r
2π
(1)
又利用量子化条件,令 p = 电荷角动量
q = 转角 ϕ
(2)
∫ pdq = ∫
即
0
mrvdϕ = 2πmrv = nh
(3)
mrv = nh
再求（2）的变分 (3)与(4)消去 d
a sec 2 α 1 dα 1 + b sec 2 α 2 d α 2 = δc = 0
和d
α
2
1
α
2
得 (5)
n sinα = n sinα
1 1
2
[乙法]见同一图,取 x 为变分参数,取 0 为原点，则有:
I = n1 a 2 + x 2 + n2 b 2 + (c − x 2 )
2
(3)
ax ∫ e cos axdx =
(4)
∫ x sin axdx = a
2
1
sin ax −
1 x cos ax a
2
(5)
2x 2 x ∫ x sin axdx = a 2 sin ax + ( a 2 − a ) cos ax
(6)
∫ x cos axdx = a
2
1
2
cos ax +
x sin ax a
Ev 仍就成立，E 是 c2
∫ pdl = 0 ，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定 点 A 到定点 B 的路径是两段直线：光程
I = n1 AQ + n2 QB
设 A，B 到界面距离是 a,b(都是常量)有
I = n1 a secα 1 + n2 b secα 2
量子力学常用积分公式 (1)
∫x
n
e ax dx =
1 n ax n n −1 ax x e − ∫ x e dx a a
( n > 0)
(2)
ax ∫ e sin bxdx =
e ax (a sin bx − b cos bx) a2 + b2 e ax (a cos bx + b sin bx) a 2 + b2
由(1)(2)求得电荷动能=
1 2 Beℏn mv = 2 2mc
再求运动电荷在磁场中的磁势能 ,按电磁学通电导体在磁场中的势能
磁矩 * 场强 电流 * 线圈面积 * 场强 ev * πr 2 * B v = , v 是电荷的旋转频率 , v = , = = c c c 2πr
代入前式得 运动电荷的磁势能=
波阵面速度则是相速度
c2
v
,而
v
G
=
c2
G
v
= cn , n 是折射率, n 是波前阵面更引起的 ,而
p
v
p
,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.
δ ∫ ndl = 0
前一非难是将光子的传播速度 v 看作相速度 # [7]当势能 V ( r ) 改变一常量 C 时,即 V ( r ) → V ( r ) + c ,粒子的波函数与时间无关部分变 否?能量本征值变否? (解)设原来的薛定谔方程式是
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的
⋅
角动量 Ι ω ,但 ω = ϕ 是角速度,能量是 E =
1 2 Ιω 2
利用量子化条件 ,将 p 理解成为角动量 , q 理解成转角 ϕ ,一个周期内的运动理解成旋转一周 , 则有
2π
∫ pdq = ∫
(2) ω =
0
Ι ω dϕ = 2πΙ ω = nh
又 AB 沿界面的投影 c 也是常数，因而
α ，α
1
2
存在约束条件：
atg α 1 + btg α 2 = c
求(1)的变分,而将
（2） 看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)
α ,α
1
2
δI = n1 a secα 1 tg α 1 dα 1 + n2 b secα 2 tg α 2 d α 2 = 0
∫
∫
∞
0
sin 2 ax πa dx = 2 2 x
∞
(16)
0
xe − ax sin bxdx =
2ab (a + b 2 ) 2
2
(a > 0)
∫
∞
0
xe − ax cos bxdx =
a 2 −b 2 (a 2 + b 2 ) 2
(a > 0)
第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 V ( x) =
2
1ω 得 2π hω E= = nℏω 2π
[乙法]也是利用量子化条件 ,大积分变量用时间 t 而不用位移 x ,按题意振动角频率为 ω ,直接 写出位移 x ,用 t 的项表示:
q = x = a sin ω t
求微分: dq = dx = aω cos ω tdt
⋅
(4) (5)
求积分: p = m x = maω cos ω t 将(4)(5)代量子化条件:
(11))
∫
∞
0
e − ax x n dx =
2
n! a n +1
(12)
∫
∞
0
e −ax dx =
1 π 2 a
(13)
∫
∫
∞
0
∞
x 2 n e − ax dx =
2
2
(2n − 1)!! π 2 n+1 a 2 n +1
(14)
0
x 2 n +1e − ax dx =
n! 2a n +1
(15)
1 mω 2 x 2 ] 2
(解)(甲法)可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式: pdq = nh
∫
⋅
在量子化条件中,令 p = m x 为振子动量, q = x 为振子坐标,设总能量 E 则
E=
P 2 mω 2 x 2 + 2m 2
p = 2m ( E −
mω 2 x 2 ) 2
(1)
(1) 说明 ω 是量子化的
nh nℏ = 2πΙ Ι
( n = 1,2,3 ……..)
(2)
1 2 Ι nℏ 2 n 2 ℏ 2 (3) 代入能量公式,得能量量子化公式: E = Ι ω = ( ) = 2 2 Ι 2Ι
(3)
# [4]有一带电荷 e 质量 m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值.
(4)
从前式解出 p (用 v 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度 v 和它的物质波的群速度 右方, 又用 E = ℏω 于(3)式左方,遍除 h :
v
G
间的关系 .运用德氏的假设 : p = ℏk 于(3)式
ω=
m2c 4 + c 2 k 2 = ω (k ) ℏ2
ℏ2 ℏ2 * =− ∇ ⋅ (ψ ∇ψ )dτ + ∇ψ * ∇ψdτ ∫∫∫ ∫∫∫ 2m 2m
p
x
→−
p
x
),其余分动量不变 ,设想粒子从某一分运动完
成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:
∫ pdq =n h=2 p ∫
x x x
a
x 0 b
dx = 2a dy = 2b
p
x
(1) (2) (3)
2 2 px + p2 y + p z 总能量是:
∫ p dq =n
y y z z
[8]设粒子势能的极小值是
E >V
n
min
(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量 E
E = ∫∫∫ψ * [−
υ
ℏ2 2 ∇ + V (r )ψ ]d 3 x 2m
其中动能平均值一定为正:
ℏ2 2 T = ∫∫∫ψ (− ∇ )ψ d 3 x 2m
*
=−
ℏ2 {∇[ψ * ∇ψ ] − ∇ψ * ∇ψ }dτ 2m ∫∫∫
求此式变分,令之为零,有：
δI =
n xδx
1
a +x
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
2
2
−
n (c − x)δx
2
b + (c − x ) 2
2
=0
(2) 按 前 述 论 点 光 若 看 作 微 粒 则 粒 子 速 度 v 应 等 于 光 波 的 群 速 度
v
G
光程原理作
δ ∫ vGdl = 0 ,依前题相速 v p =
ω k
（ υ 是频率）
利用（5）式得知
vp =
m2c 4 + c2 > c ℏ 2k 2
（ 6）
故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出
v
G
和
v
p
的关系，将（1） （2）相除，再运用德氏波假设：
E ℏω c 2 c 2 ， = = = p ℏk v vG
v
p
=
c2
v
（7）
G
# [6]（1）试用 Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
(3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系 .计算速度 并证明它大于光速. (解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
⋅
q
=
i
∂H ∂
⋅
p
,本题中
i
q
i
= v,
p = p ,因而
i
v=
∂ m 2c 4 + c 2 p 2 = ∂p
c2 p m 2c 4 + c 2 p 2
n sinα = n sinα
1 1 2
2
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 δ
∫ pdl = 0
认 为 p = mv 则
δ ∫ pdl = 0 这将导得下述折射定律
n sinα = n sin α
1 3 3
1
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： p = 粒子能量，从一种媒质到另一种媒质 E 仍不变，仍有 δ
按照波包理论，波包群速度
v
G
是角频率丢波数的一阶导数：
v
G
=
∂ ∂k
m2c 4 + c2k 2 2 ℏ c2k
=
=
c2 p m2c 4 + c 2 p 2
m2c4 + c2k 2 2 ℏ
最后一式按照（4）式等于粒子速度 v ，因而 又按一般的波动理论，波的相速度
v
G
= v。
v
G
是由下式规定
v
p
= υλ =
2
= h [( n x ) 2 + ( n y ) 2 + ( n z ) 2 ] 8m a b c 但 n x , n y , n z = 1,2,3 # [3] 平面转子的转动惯量为 Ι ,求能量允许值. (解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ϕ ）决定,它的运动是一种 正整数.
Beℏn 2mc
(符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E=
Beℏn 2mc
( n = 1,2,3
)
# [5]对高速运动的粒子(静质量 m )的能量和动量由下式给出:
E=
mc 2 v2 1− 2 c mv 2 v2 1− 2 c
(1)
p=
(2)
试根据哈密顿量
H = E = m2c 4 + c 2 p 2
(a<0)
∫
(9)
π 2 0
sin n xdx
=
( n − 1)!! π n!! 2
( n = 正偶数)
∫
π 2 0
cos n xdx
( n − 1)!! n!!
( n = 正奇数)
π 2
(10)
(a > 0)
∫
∞
0
sin ax dx = x −
π 2
( a < 0) ( n = 正整数, a > 0 )