2021年高考数学专题复习练习考点23 正弦定理和余弦定理的应用解析版
专题3.2 正弦定理、余弦定理(解析版)——【2021高考数学 专项突破】
1专题3.2 正弦定理、余弦定理一、单选题1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.2、（2020年全国3卷）7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B.13C.12D.23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,AB AC == 1AB AC =-,则ABC ∆的面积为( ) A ．12B ．1C 2D 21【答案】C【解析】11,3,cos 1cos 3AB AC AB AC AB AC A A ====-∴=-故22sin A =，1sin 22S AB AC A =⋅=故选：C4、（2020届河北省衡水中学高三下学期一调）在ABC ∆中，22223sin a b c ab C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，22223sin a b c ab C ++=两式相加，得到()22cos 32cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形，故选D 项.5、在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ，且2S ＝（a +b ）2﹣c 2，则tan C ＝（ ） A ．34B ．43C ．43-D ．34-【答案】C【解析】△ABC 中，∵S △ABC 12ab sinC =⋅，由余弦定理：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，1且 2S ＝（a +b ）2﹣c 2，∴ab sin C ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2﹣2ab cos C ）， 整理得sin C ﹣2cos C ＝2，∴（sin C ﹣2cos C ）2＝4． ∴()2222sinC cosC sin C cos C-=+4，化简可得 3tan 2C +4tan C ＝0．∵C ∈（0，180°），∴tan C 43=-，故选：C ．6、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB =，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=， 解得50h =或100h =- (舍去), 故选：A.7、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）1A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.8、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B 3C ．2D ．4【答案】B【解析】由题意知60B =︒，由余弦定理，262x ππ-=，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 32ABC S ac B ∆=≤故选：B9、已知ABC ∆中， sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是( ) A 3 B 23 C 3 D 43 【答案】A1【解析】∵2020sinA sinBcosC sin B C sinBcosC +=∴++=，（），∴3000sinBcosC cosBsinC cosC cosB +=≠≠，，．化为3tanB tanC =-．可得：B 为锐角，C 为钝角．∴tanA tan B C =-+（）=-tan tan 1tan tan B C B C +- =22tan 13tan B B+ =213tan tan B B+ ≤23=3，当且仅当3∴tanA 3故选A二、多选题10、（2019春•市中区校级月考）在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．10b =，45A =︒，70C =︒ B ．45b =，48c =，60B =︒ C ．14a =，16b =，45A =︒ D ．7a =，5b =，80A =︒【答案】．BC【解析】：选项B 满足sin60c b c ︒<<，选项C 满足sin45b a b ︒<<，所以B ，C 有两解， 对于选项A ，可求18065B A C =︒--=︒，三角形有一解， 对于选项D ，由sin sin b AB a=，且b a <，可得B 为锐角，只有一解，三角形只有一解． 故选：BC ．11、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是( ) A ．2222cos a b c bc A =+- B ．sin sin a B b A = C ．cos cos a b C c B =+ D ．cos cos sin a B b A C +=【答案】ABC【解析】：由在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知：1在A 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，故A 正确； 在B 中，由正弦定理得：sin sin a bA B=， sin sin a B b A ∴=，故B 正确；在C 中，cos cos a b C c B =+，∴由余弦定理得：22222222a b c a c b a b c ab ac+-+-=⨯+⨯， 整理，得2222a a =，故C 正确；在D 中，由余弦定理得222222cos cos sin 22a c b b c a a B b A a b c C ac bc+-+-+=⨯+⨯=≠，故D 错误． 故选：ABC ．12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论正确的是( )A ．当5k =时，ABC ∆是直角三角形B ．当3k =时，ABC ∆是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC ∆是钝角三角形D ．当1k =时，ABC ∆是钝角三角形【答案】ABC ．【解析】：对于A ，当5k =时，sin sin sin 534A B C==，根据正弦定理不妨设5a m =，3b m =，4c m =，显然ABC ∆是直角三角形； 对于B ，当3k =时，sin sin sin 334A B C==，根据正弦定理不妨设3a m =，3b m =，4c m =， 显然ABC ∆是等腰三角形，2222222991620a b c m m m m +-=+-=>， 说明C ∠为锐角，故ABC ∆是锐角三角形； 对于C ，当2k =时，sin sin sin 234A B C==，根据正弦定理不妨设2a m =，3b m =，4c m =， 可得2222222491630a b c m m m m +-=+-=-<，说明C ∠为钝角，故ABC ∆是钝角三角形； 对于D ，当1k =时，sin sin sin 134A B C==，根据正弦定理不妨设a m =，3b m =，4c m =，1此时a b c +=，不等构成三角形，故命题错误． 故选：ABC ．13．下列命题中，正确的是( ) A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 【答案】ABD【解析】：对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =， sin2sin2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-， A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴∆是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误．对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确． 故选：ABD ．14、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列 B a b c 依次成等差数列1C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列 【答案】ABD【解析】ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列， 则：211tan tan tan B A C=+， 利用sin tan cos ααα=， 整理得：2cos cos cos sin sin sin B C AB C A=+，利用正弦和余弦定理得：2222222222222a c b a b c b c a abc abc abc+-+-+-⋅=+， 整理得：2222b a c =+， 即：222,,a b c 依次成等差数列.此时对等差数列222,,a b c 的每一项取相同的运算得到数列a ，b ，c a b c 3a ，3b ，3c ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非a b c ==，但题目没有说ABC 是等边三角形， 故选：ABD.三、填空题15、（2020届江苏省七市第二次调研考试）在ABC ∆中，已知2B A =，3AC BC =，则A 的值是______. 【答案】6π【解析】3AC BC =，3b a ∴=，即sin 3sin B A ，2B A =，sin 23A A ∴=，则2sin cos 3A A A =，sin 0A ≠，3cos 2A ∴=，()0,A π∈，则6A π=.故答案为：6π116、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在ABC ∆中，若60A =︒，2AC =，7BC =则sin B 的值为______. 【答案】217； 【解析】因为60A =︒，2AC =，7BC =由正弦定理可得sin sin a b A B =即72sin 60sin B ︒=，解得21sin 7B = 故答案为：21717、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）在ABC ∆中，若4C π，且1tan 1sin 2tan AA B=+，则BCAC的值为______. 【答案】22； 【解析】因为sin 1tan sin cos cos 111sin sin 2tan cos sin cos AA A BA B A B A B B=+=+=+cos sin sin cos cos sin A B A B A B +=()sin sin cos sin cos sin A B CA B A B +==1sin 2sin cos cos sin CA A A B∴=，又4Cπsin142sin cos cos sin A A A Bπ∴=sin 2sin A B ∴= 由正弦定理得22a b =即22BC AC = 218、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则1ABC △的面积为_________．【答案】63【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23,23c c ==-（舍去）， 所以243a c ==，113sin 43236 3.22ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 19、（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】122，72【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.20、（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若CD 是边AB 上的中线，且CD CA =，则cos cos b Aa B+的最小值为__________. 【答案】233【解析】过点C 作CH AB ⊥,设222BD HD HA t ===，1由三角函数定义得cos 2=233cos333tb A b b a b a b t a B a a b a b a++=+≥=当且仅当3a b 时取等号.所以cos cos b A a B +的最小值为23 故答案为：2321、（2020年全国1卷）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，1由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，6BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-.四、解答题22、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S .【解析】选①∵3cos 5A =，25cos C =4sin 5A =，5sin C =，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+42535115555525=⨯+⨯=， 由正弦定理得1153sin 335254sin 205a Bb A===， ∴11335599sin 32240S ab C ==⨯=.1选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+.∵3a =，∴223b c =-.又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 332S ac B ==选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）.237sin 1cos A A ∴=-= ∴ABC 的面积11537157sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=. 故答案为：选①为9940；选②为3315716. 23、（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()cos A B -的值. 【解析】（1）因为πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据正弦定理sin sin a bA B=， 得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为()0,πA ∈，所以sin 0A >， 所以πsin cos 6B B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+，1整理得sin 3B B =，所以tan 3B = 又()0,πB ∈，故π3B =. （2）在ABC 中，2a =，3c =，π3B =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⋅， 得222π23232cos3b =+-⨯⨯⨯，故7b =由正弦定理sin sin a b A B =得27πsin sin 3A =，解得21sin 7A =. 因为a b <，故A B <，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以222127cos 1sin 17A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()27π21π57cos cos cos sin sin cos sin 373A B A B A B -=+=+=. 24、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为323ABC +∆，求的面积. 【答案】（Ⅰ）23B π= (Ⅱ) 33ABC S =△ 【解析】（Ⅰ）()2cos cos 0a c B b A ++=,()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,()sin 2cos sin 0A B B C ++=，()sin sin A B C +=.11cos 2B ∴=-,20,3B B ππ<<∴=.(Ⅱ)由余弦定理得221922a c ac ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭，()2229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，323,3,23a b c b a c ++=+=∴+= 3ac ∴=，11333sin 322ABCSac B ∴==⨯=. 25、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值． 【解析】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC ∆中，sin 0B ≠，得1cos 2B =-， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭， 解得3a =，所以7b =. （2）由1cos 2B =-，得3sin 2B = 由正弦定理得5353sin sin 7214c C B b ==⨯=26、（2020年江苏卷）.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ==︒．1（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=. 由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=.所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅3254525555525⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.27、（2020年全国2卷）.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，旗开得胜12221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭， 解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为323+28、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知sin sin2B Ca Bb +=. （1）求角A 的值； （2）若1cos()64B π+=，求cos C 的值. 【解析】（1）在ABC 中，因为sin sin 2B Ca Bb +=， 所以sin sincos22AAa Bb b π-==. 结合正弦定理得，sin sin sin cos 2A A B B =，即2sin cos sin sin cos 222A A A B B =. 因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,cos02AB >>， 所以1sin 22A =. 可得,263A A ππ==；旗开得胜1（2）在ABC 中，因为3A π=，则250,,,3666B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，sin()06B π+>. 又因为1cos()64B π+=，则215sin()1cos 664()B B ππ+=-+=. 所以cos cos()C A B π=--cos()A B =-+cos()3B π=-+cos ()66B ππ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦cos()cos sin()sin 6666B B ππππ=-+++3111515324248-=-⨯+⨯=29、（2020年天津卷）.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由2,5,13a b c ===及余弦定理得2222cos 222225a b c C ab +-===⨯⨯， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，22,13a c ==222sin 2sin 13a C A c===1313；旗开得胜1（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由13sin 13A =，可得2cos 1sin A A -=31313， 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=， 所以12252sin(2)sin 2coscos2sin4441313A A A πππ+=+==226.。
正弦定理、余弦定理及其应用-高考数学【解析版】
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）正弦、余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C=== a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B C a A=3.余弦定理的变式应用：公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角 （二）三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．（三）常用结论 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ． 4．三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ． 5.海伦公式：()()()()1,2S p p a p b p c p a b c =---=++ 6.向量方法：()()2212S a ba b=⋅-⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==- ()()221cos 2S ab ab C ∴=-cos a b ab C ⋅=∴ ()()2212S a b a b =⋅-⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =- 7.三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）.()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-8.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）证明：在ABD 中2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅ ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅ ②D 为BC 中点 BD CD ∴=ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-∴ ①+②可得：()22222AB AC AD BD +=+（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则AB BDAC CD=证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于EBD BEDC AE∴= EDA DAC ∠=∠ BBEAD 为BAC ∠的角平分线EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BEDC AE ED ∴==而由BED BAC 可得：BE ABED AC=AB BDAC CD ∴=（四）测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i ＝hl＝tan θ135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．【典型考题解析】热点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.【典例2】（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得22sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.【典例3】（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． (1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【总结提升】1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C ． (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C ．(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．热点二 三角形面积问题【典例4】（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】5(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及45a c =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． (1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C ，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 【典例5】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =，求b ．【答案】2 (2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B ==(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 42b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 【规律方法】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 热点三 三角形的周长问题【典例6】（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)663 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. (1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===3a = 由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴= 所以，ABC 的周长为36a b c ++=.【典例7】（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. (1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 【规律方法】求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性. 热点四 判断三角形的形状【典例8】（2020·海南·高考真题）在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：3ab=()3,0a m b m m ==>， 则：22222232cos 323c a b ab C m m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2333ac m m m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：213sin 12A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 3c A m ==，则：23c m ==若选择条件③： 可得1c mb m==，c b =，与条件3=c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin A B ，得5sin 36B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13cos 32B B B =， 得3tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得3a c =． 解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②： 由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得3c =23b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出．【典例9】（2020·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3b c -=代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①， 又3b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =， 所以3a c =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形． 【总结提升】1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3.确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 （2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C =② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求B 时，sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒=，而0,,22B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）热点五 正弦定理、余弦定理实际应用【典例10】（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.【典例11】（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案． 【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【典例12】（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 【解析】 【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值. (1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDS EF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 热点五 平面几何中的解三角形问题【典例13】（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =AC =___________，cos MAC ∠=___________. 【答案】 13239【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以13AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅⨯⨯. 故答案为：213239【典例14】（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C （2）2tan 11DAC ∠=.【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b = 由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+5sin 5C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =- 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC === 在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=． 在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=， 由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ==-==-=∠．由（1）知5sin C =Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，从而115AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==． 所以211DAC ∠=． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得5b =sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【典例15】（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+ 条件③：ABC 33【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,23a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===，解得3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭【总结提升】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【精选精练】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D 在同一水平面上的A ，B 两点，在A 点和B 点测得C 点的仰角分别为45°和30°，测得257AB =150ADB ∠=︒，则云楼的高度CD 为（ ）A ．20米B ．25米C ．7D ．257【答案】B【分析】设CD x =，由锐角三角函数得到AD x =，3BD x =，再在ABD △中利用余弦定理求出x ，即可得解.【详解】解：依题意45CAD ︒∠=，30CBD ︒∠=， 设CD x =，在Rt ACD △、Rt BCD 中，tan 1CD CAD AD∠==，3tan 3CD CBD BD ∠==，所以AD x =，3BD x =，在ABD △中由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即()()22232573232x x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得25x =或25x =-（舍去）， 所以云楼的高度CD 为25米； 故选：B2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos ,,cos 22B C n b p c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共线，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是6π的直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得cos cos 22B Aa b =，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sinsin 22A B=，结合角的范围求得A B =，同理可得B C =，则答案可求． 【详解】向量(,cos )2A m a =，(,cos )2B n b =共线，cos cos 22B A a b ∴=，由正弦定理得：sin cos sin cos 22B A A B =， 2sincos cos 2sin cos cos 222222A A B B B A ∴=，则sin sin 22A B=， 022A π<<，022B π<<，∴22A B =，即A B =．同理可得B C =．ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．3．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为33.65，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为80.51.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（ ）（已知229tan33.65,tan80.5135≈≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出35,229BC AC CD AC ==，再由BD 的长为7米，求出AC ，即可得出答案. 【详解】由图可知229tan33.65,tan80.5135AC AC BC CD =≈=≈， 所以35,229BC AC CD AC ==， 得3577587 5.272295811BD AC AC AC ⎛⎫=-==⇒=≈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 二、多选题4．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ） A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形 【答案】ACD【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.【详解】对于A ，等腰直角三角形的三边比为1:1:2，而三个内角的比为1:1:2，所以A 错误， 对于B ，在ABC 中，当sin sin A B >时，由正弦定理可得a b >，因为在三角形中大边对大角，所以A B >，所以B 正确，对于C ，在ABC 中，若三个角,,A B C 确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C 错误，对于D ，在ABC 中，2220b c a +->时，由余弦定理可知角A 为锐角，而角,B C 的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D 错误， 故选：ACD5．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）在ABC 中，已知2,3,AB AC AD ==是角A 的平分线，则AD 的长度可能为（ ） A ．2.1 B ．2.2 C ．2.3 D ．2.4【答案】ABC【分析】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，由题设可得3AC EC ==且ADB EDC ，进而有23AD ED =，令2AD x =并在ACE 中应用余弦定理求x 范围，即可得AD 范围. 【详解】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，又AD 是角A 的平分线，得CAE BAE E ∠=∠=∠，故3AC EC ==， 而ADB EDC ，则23AD AB ED EC ==， 令2AD x =，则5AE x =，在ACE 中，22221825cos (1,1)218AC EC AE x ACE AC EC +--∠==∈-⋅， 可得605x <<，则122(0,)5AD x =∈，故A 、B 、C 满足要求.故选：ABC6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）．现有ABC 满足::2:7a b c =ABC 的面积63ABC S =△列结论正确的是（ ） A ．ABC 的最短边长是2 B ．ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．ABC 221D ．ABC 的中线CD 的长为32【答案】BC【分析】依题意设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），利用面积公式求出t ，即可求出边长，从而判断A ，再由余弦定理求出C ，即可判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C ，最后由数量积的运算律求出中线CD ，即可判断D.【详解】解：由::2:3:7a b c =，设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），因为63ABC S =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =，故A 错误；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故B 正确； 因为π3C =，所以3sin 2C =，由正弦定理得4212sin 3c R C ==，2213R =，故C 正确； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB ⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故19CD =，故D 错误．故选：BC ． 三、填空题7．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且42c =B =4π，若ABC 的面积S =2，则b =___________. 【答案】5【分析】先由面积公式计算1a =，再利用余弦定理计算5b =. 【详解】由三角形面积公式，1sin 22S ac B ==， 所以，1a =.由余弦定理，2222cos 25b a c ac B =+-=.所以，5b =. 故答案为：5.8．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A bbc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=， ∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 四、解答题9．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin cos 0a B b A -=.(1)求A ； (2)若3c =3a =ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)338【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A ； （2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）因为3sin cos 0a B b A -=所以由正弦定理得3sin sin sin cos A B B A =， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以3sin cos A A =，即3tan 3A =， 又因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）。
高考数学专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形(解析版)
专题23 运用正余弦定理研究三角形或多边形关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比拟多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决 一、题型选讲题型一 、运用正余弦定理研究三角形中的问题例1、【2021年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，3,45a c B ===︒．〔1〕求sin C 的值；〔2〕在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】〔1〕在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =〔2〕在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C ==那么sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠. 从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯变式1、〔2021届山东省潍坊市高三上期末〕在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ，a = (1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【解析】假设选择条件①，那么答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =， 因为sin 0C ≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==， 所以22516sin A =，因为0sinA >，所以4=5sinA . (2)解法1:设BM MC m ==，易知45cos BMC cos BMA sinA ∠=-∠=-=-在BMC △中由余弦定理得:22418225m m ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，解得m =. 所以2113352252BMCSm sin BMC =∠=⨯⨯= 在Rt ABM 中，4,52sinA BM ABM π==∠=所以AB =158ABMS =， 所以31527288ABCS=+= 解法2:因为MB MC =，所以MBC C ∠=∠，因为,2ABM π∠=所以2,222A C C A ππ∠+∠=∠=-∠，所以22sin C sin A cosA π⎛⎫⎪⎝⎭=-= 因为A 为锐角，所以325sin C cosA ==又152sin sin sin 4b c a B C A ===所以152sin ,4b B =152sin ,4c C = 所以11152152445sin sin sin sin sin 2244542ABCSbc A B C C C π⎛⎫==⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭454527sin cos sin 2448C C C === 假设选择条件②，那么答案为:(1)因为252B C bsin asinB +=，所以252Absin asinB π-=， 由正弦定理得252AsinBcos sinAsinB =，因为0sinB ≠，所以25,2A cos sinA =5222A A Acos sin cos =，因为02Acos≠，所以125A sin =，那么225A cos=，所以4sin 2sin cos 225A A A ==. (2)同选择①变式2、(2021徐州、连云港、宿迁三检〕如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． 〔1〕求cos B 的值； 〔2〕求CD 的长．【解析】：〔1〕在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈， 所以2243sin 1cos 1()55A A =-=-=．A B CD同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． 〔2〕在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． 又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，CD==变式3、〔2021·浙江镇海中学高三3月模拟〕在中，，为的平分线，，那么___________．【答案】【解析】原题图形如下图：那么： 设，那么，又解得：此题正确结果：变式4、【2021年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，假设45BDC ∠=︒，那么BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题例2、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，那么cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF 1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 变式1、(2021徐州、连云港、宿迁三检〕如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.(1) 求CD 的长；(2) 求△BCD 的面积．【解析】： (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫∠ADC ＋π4＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010，(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠DACsin ∠ACD ＝5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝255 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7. 变式2、〔2021年苏北四市模拟〕如图，在四边形ABCD 中，AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值；(2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．【解析】： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C→＝5013×10＝513.(2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665 ＝28.题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题例3、〔2021届山东师范大学附中高三月考〕泉城广场上矗立着的“泉标〞，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标〞高度，某同学在“泉标〞的正西方向的点A 处测得“泉标〞顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标〞顶端的仰角为30︒，那么“泉标〞的高度为〔 〕 A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A【解析】如图,CD 为“泉标〞高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=．在CBD 中,BD 3h =,在CAD 中,AD h =,在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB =，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=， 解得50h =或100h =-(舍去), 应选：B.变式1、〔2021·山东新泰市第一中学高三月考〕某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖留鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离〔如图〕，环保监督组织测绘员在〔同一平面内〕同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得〔单位：千米〕，测得、两点的距离为___________千米.【答案】【解析】在中，，，，那么，在中，，，，那么，由正弦定理得，可得，A B D CE D 67.5ADC ∠=C 45ACD ∠=75BCE ∠=E 60BEC ∠=DC =CE A B 3ACD △45ACD ∠=67.5ADC ∠=CD =67.5CAD ∴∠=AC CD ==BCE 60BEC ∠=75BCE ∠=CE 45CBE ∠=sin 45sin 60CE BC=2sin 60sin 452CE BC ===在中，，， 由余弦定理得，因此，〔千米〕.故答案为：.变式2、〔2021届山东实验中学高三上期中〕“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我〞?麦田里的守望者?中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如下图，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量2AB BC CD ===，AD =〔1〕霍尔顿发现无论BD cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； 〔2〕霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.【解析】〔1〕在ABD ∆中，由余弦定理得241216BD A A =+-=-， 在BCD ∆中，由余弦定理得2448cos BD C =+-，1688cos A C -=-， 那么)8cos 8A C -=，cos 1A C -=； 〔2〕1122S A A =⨯⨯=，2122sin 2sin 2S C C =⨯⨯=， 那么()2222221212sin 4sin 1612cos 4cos S S A C A C +=+=-+，由〔11cos A C =+，代入上式得：)22222121612cos 4124cos 12S S A A A A +=---=-++，ABC AC =BC 18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=3AB =3配方得：2221224cos 14S S A ⎛+=-+ ⎝⎭，∴当A =2212S S +取到最大值14.变式3、(2021南京、盐城二模〕如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝120°，CD ＝10 m ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，那么塔高AB ＝________m.【答案】 30解析：在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝sin120°sin30°·10＝103(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝30(m)．二、达标训练1、〔2021届浙江省十校联盟高三下学期开学〕如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，假设b =5c =，2B C =，那么cos C ______，点D 为边BC 上一点，且6BD =，那么ADC∆的面积为______.10【解析】因为b =5c =，2B C =， 由正弦定理可得：sin sin b cB C=，5sin C ==那么cos 5C =；4sin 2sin cos 25B C C ===，14561225ABD S ∆∴=⨯⨯⨯=，由余弦定理可得：2cos C == 解可得5a =〔舍)或11a =， 所以65ABD ADC S BD S CD ∆∆==， 512106ADC S ∆∴=⨯=．，10．2、(2021南通、扬州、淮安、连云港二调〕如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，那么tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.3、〔2021届浙江省高中开展共同体高三上期末〕在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .假设45ADC ∠=.BD sin C =___________.【解析】ABD ∆中，由正弦定理可得，5sin sin135BAD =∠，所以sin 10BAD ∠= AD 为BAC∠的平分线即sin sin BAD CAD ∠=∠=()10sin sin 451021025C DAC ∴=∠+∠=+=..4、(2021南通、扬州、淮安、连云港二调〕如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，那么tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.5、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【解析】 选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠4822202⎛=+-⨯⨯-= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，那么04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA=∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4θθ=- ⎪⎝⎭2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin θ=，所以2sin AC θ==.6、〔2021届山东省济宁市高三上期末〕如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.【解析】 (1)由310,6,8,90cos 5AB km AC km BC km ACB A ===∴∠=∴=，.设当乙到达C 地时,甲处在D 点,那么65310AD km =⨯=所以在ACD ∆中,由余弦定理得:2222231172cos 6323655CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=CD ∴=即此时甲､(2)设乙到达C 地后,经过t 小时,甲､乙两交警之间的距离为()f t km , 在BCD ∆中，48,7,cos 5BC km BD km ABC ==∠= 乙从C 地到达B 地,用时45t =小时,甲从D 处到达B 地,用时75t =小时,所以当乙从C 地到达B 地,此时,甲从D 处行进到E 点处,且454,35DE km BE km =⨯==所以当405t ≤≤时，()t f ==令282()3,1,560,033f t t t t >>∴-+>∴<<或45t >〔舍去〕又当4755t ≤≤时,甲､乙两交警间的距离()753f t t km =-≤因为甲､乙间的距离不大于3km 时方可通过对讲机取得联系 所以,从乙到达C 地这一时刻算起,经过25小时,甲､乙可通过对讲机取得联系.。
2021年高考数学考点23正弦定理和余弦定理的应用必刷题理含解析
考点23 正弦定理和余弦定理的应用1．在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，若，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形【答案】D2．在中，，，为的中点，的面积为，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知在△BCD中，B=，AD=1，∴△BCD的面积S=×BC×BD×sinB=×BC×=，解得BC=3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB=22+32﹣2•2•3•=7，∴AC=，故选：B．3．设△的内角所对的边分别为，若，则△的形状为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形【答案】B4．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】中，由余弦定理可得，，，5．如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出，两点的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在△ABC中，AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理，得AB=故答案为：A.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为A． 4 B． 2 C． 3 D．【答案】A7．在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C8．我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.9．如图，在中，,，点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是__________.【答案】10．中，，为边的中点，，则的取值范围是______．【答案】【解析】当C无限接近A时，BC无限趋近于AB，所以AB近似等于2AM，此时2AB+AC长度趋近于；当B无限接近A时，BC无限趋近于AC，则AC近似等于2AM，此时2AB+AC长度趋近于.11．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为_____________．【答案】12．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．【答案】13．在一幢高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为，塔基的俯角为，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为__________．【答案】40【解析】如图所示，过房屋顶C作塔A B的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，∴AC=2CE=20，∴AE==30．∴AB=AE+BE=30+10=40．故答案为：40．14．如图，在中，，点在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．【答案】.15．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由正弦定理，得即由余弦定理得又由题可知则即的范围.16．的内角的对边分别为，且满足，若点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是______.【答案】17．在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．【答案】【解析】18．如图，在中，，，以为斜边构造等腰直角三角形，则得到的平面四边形面积的最大值为_______.【答案】19．在中，角所对应的边分别为，若，，则当角取得最大值时，三角形的内切圆的半径为__________．【答案】【解析】分析：根据得到，故可用表示，利用基本不等式得到的最大值和取最大值时的取值，最后利用等积法求内切圆的半径．详解：因为，所以且即，．，当且仅当时等号成立，故，所以即，，此时，解得．20．为丰富农村业余文化生活，决定在A,B,N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB ＝8km，BC＝km．经协商，文化服务中心拟建在与A,B等距离的O处，并建造三条道路AO,BO,NO与各村通达．若道路建设成本AO,BO段为每公里万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为万元．（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离.【答案】（1）；（2）即，令当所以当有最小值，这时，答：该文化中心离N村的距离为21．在中，，．（1）求证：平分；（2）当时，若，，求和的长．【答案】(1)见解析;(2),.所以，22．在中,分别是角的对边，且. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由得：，又23．已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若. （1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】（1）由正弦定理得，∴，∵，∴，∴.（2）24．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为. （1）求；（2）若为中点，且，求的最大值.【答案】(1).(2).解法二：（1）同解法一.因为，，所以，即.因为为中点，所以，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.25．已知向量，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．【答案】（1），（2）又因为成等差数列，所以而，．。
2021年高考数学专题复习 第23讲 正弦定理和余弦定理练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第23讲正弦定理和余弦定理练习新人教A版[考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C．变形形式①a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角二、三角形常用面积公式1．S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；2．S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .3．S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A 、B 、C ≠π2)．1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63B.223C ．－63D ．－223【解析】 由正弦定理，得sin B ＝b ·sin A a ＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B ＜60°，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 A2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】∵b sin A＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】 B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝( )A．2 B．4＋2 3C．4－2 3 D.6－ 2【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos 30°＝4.∴b＝2.【答案】 A4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.【答案】153 45．(xx·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】在△ABC中，a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC的外接圆半径)．∵2a sin B＝3b，∴2sin A sin B＝3sin B.∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.【答案】 D6．(xx·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】∵b cos C＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．【答案】 B考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形(xx·临沂模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【思路点拨】 (1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解． (2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解． 【尝试解答】 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.规律方法1 1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练 (1)△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a 的值( )A.32B.33C.22D ．1(2)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 等于( ) A.14 B ．－14C.13D ．－13(3)(xx·南昌模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°【解析】 (1)法一 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1.法二 由正弦定理b sin B ＝csin C得sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－B －C ＝π6，∴a ＝b ＝1.(2)由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4可知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝4x ， 则cos C ＝9x 2＋4x 2－16x22·3x ·2x＝－14.(3)由sin C ＝23sin B 可知c ＝23b . 又a 2－b 2＝3bc ，∴a ＝7b .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32.∴A ＝30°.【答案】 (1)D (2)B (3)A考向二 [066] 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(xx·吉林模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．【思路点拨】 求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边． 【尝试解答】 法一(化边为角)：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )， ∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B . ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 法二(化角为边)： 同法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋b 2－b 22ac∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 规律方法2 判定三角形形状的两种常用途径 1通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.对点训练 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sinB ＋sinC )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈(0，π2)，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．考向三 [067] 与三角形面积有关的问题(xx·浙江高考)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积【思路点拨】 (1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；(2)利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积．【尝试解答】 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理asin A ＝b sin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.规律方法3 1.本例2在求解中通过,“b 2＋c 2－bc ＝b ＋c2－3bc ”实现了“b＋c ”与“bc ”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练 (xx·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝ba sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的巧用 ———— [1个示范例] ———— [1个规范练] ————(12分)(xx·课标全国卷Ⅰ)如图3－7－1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.图3－7－1(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【规范解答】 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.2分 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.4分故PA ＝72.6分 (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.7分 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150° ＝sin αsin 30°－α，9分化简得3cos α＝4sin α，11分 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分 【名师寄语】 1熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类问题的关键.2学会用“执果索因”的方式把待求的边角化归到一个三角形中，应用两定理求解.如图3－7－2，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．图3－7－2【解】 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.37235 9173 酳39106 98C2 飂k31069 795D 祝36511 8E9F 躟N27943 6D27 洧29283 7263 牣20437 4FD5 俕35534 8ACE 諎 27497 6B69 歩Ky32046 7D2E 紮。
专题4.5正弦定理和余弦定理的应用(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2D ．1①4①1【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；①若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理，得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos①ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos①BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos①BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192.题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B＝a sin A ，则①ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ，故sin A ＝1，即A ＝π2，因此①ABC 是直角三角形．【例2】在①ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则①ABC 的形状为 ．【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ，A ＝π2或A ＝B ，故①ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.①ABC 的面积公式(1)S ①ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S ①ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ①ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则①ABC的面积为 ．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以①ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以①ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则①ABC 的面积为 ．【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S ①ABC ＝12ab sin C＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且①ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由①ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若①ABC 的面积为3，周长为8，求a .【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求①ABC 外接圆的直径；(2)求a ＋c 的取值范围．【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，①ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知①ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ①R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为①ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，①ABC 的面积为12，求a 的值．【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ①Z ，解得x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ①Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πA ＝1. 因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由①ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1. 【例2】①ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【解析】：(1)法一：在①ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在①ABC 中，a ①b ①c ＝3①5①7，那么①ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形【解析】：因为a ①b ①c ＝3①5①7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t ＝－12，所以C ＝120°，①ABC 是钝角三角形，故选B. 2．(2020·河北衡水中学三调)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B sin C ＝sin 2A ，则①ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：在①ABC 中，因为b 2＋c 2＝a 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A ①(0，π)，所以A ＝π3，因为sin B sin C ＝sin 2A ，所以bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，得(b －c )2＝0，解得b ＝c ，所以①ABC 的形状是等边三角形，故选C.3．(2020·河南南阳四校联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( ) A.823 B.1433 C.73D ．733【解析】：因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D. 4．(2020·湖南省湘东六校联考)在①ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2＝ac ，且sin C ＝2sinB ，则其最小内角的余弦值为( )A ．－24 B.24 C.528D ．34【解析】：由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2＝ac ，所以b ＝2a ，所以c ＝2a ，所以A 为①ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（2a ）2＋（2a ）2－a 22·2a ·2a＝528，故选C.5．(2020·长春市质量监测(一))在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°【解析】：法一：由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sin C ＝12sin C ，又在①ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.6.(2020·河南三市联考)已知a ，b ，c 分别为①ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ①sin B ＝1①3，c ＝2cos C ＝3，则①ABC 的周长为( ) A ．3＋3 3 B ．23 C ．3＋2 3D ．3＋3【解析】：因为sin A ①sin B ＝1①3，所以b ＝3a ， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以①ABC 的周长为3＋23，故选C.7．(2020·湖南师大附中4月模拟)若①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，①ABC的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B.5 C.13D ．17【解析】：因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A . 所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.易得cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a ＝1.故选A. 8．(2020·开封市定位考试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，①ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( ) A ．10 B ．12 C ．8＋ 3D ．8＋23【解析】：因为①ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cosA ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以①ABC 为正三角形，所以①ABC 的周长为3×4＝12.故选B.9．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，①D ＝90°，①BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B.6C.7D ．22【解析】：如图，在①ACD 中，①D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以①CAD ＝60°.又①BAD ＝120°，所以①BAC ＝①BAD －①CAD ＝60°.在①ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos①BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.10.(2020·广州市调研测试)已知①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2Cc ＝sin A sin Ba cos B ＋b cos A ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为( )A ．(0，4)B ．[2，4)C ．[1，4)D ．(2，4]【解析】：根据正弦定理可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin A cos B ＋cos A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin C ＝sin A sin Bsin （A ＋B ），由三角形内角和定理可得sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，再根据正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab .因为a ＋b ＝4，a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤4，(a ＋b )2＝16，得a 2＋b 2＝16－2ab ，所以16－2ab －c 2＝ab ，所以16－c 2＝3ab ，故16－c 2≤12，c 2≥4，c ≥2，故2≤c ＜4，故选B.二、填空题1.在①ABC 中，角A ，B ，C 满足sin A cos C －sin B cos C ＝0，则三角形的形状为 ． 【解析】：由已知得cos C (sin A －sin B )＝0，所以有cos C ＝0或sin A ＝sin B ，解得C ＝90°或A ＝B . 2．(2020·天津模拟)在①ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ，则cos B ＝ ．【解析】：在①ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sinC ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.3．(2020·河南期末改编)在①ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，则C ＝ ，BC ＝ ．【解析】：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sin C ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sin C ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sin C ．结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.4.在①ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则①ABC 的面积为 ．【解析】：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S ①ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.5．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在①ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝ ，①ABC 的面积等于 ．【解析】：①ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×sinπ323＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S ①ABC ＝12×2×23＝2 3.6．在①ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S ①ABC ＝574，则b 的值为 ．【解析】：由sin A sin B ＝5c 2b ①a b ＝5c 2b ①a ＝52c ，①由S ①ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，①联立①，①得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34， 由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长．【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0，所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0，即sin B (sin A ＋cos A )＝0，由于B 为三角形的内角，所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角，所以A ＝3π4. (2)在①ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求cos B 的值．【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33.(2)因为sin A a ＝cos B 2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求①ABC 面积的最大值．【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6. (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ， 所以bc ≤4(2＋3)，所以S ①ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故①ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：①ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且①ADB ＝2①ACD ，a ＝3，求b 的值．【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ，所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ，由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c .故①ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1，因为①ADB ＝2①ACD ＝①ACD ＋①DAC ， 所以①ACD ＝①DAC ，所以AD ＝CD ＝1.又因为cos①ADB ＝－cos①ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以①B ＝①C ，又因为①DAC ＝①ADB －①C ＝2①C －①C ＝①C ＝①B ， 所以①CAB ①①CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)①ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知①ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．【解析】：(1)因为S ①ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7.所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13.所以BD ＝13.。
专题4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用(解析版)
2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题4.6 正弦定理、余弦定理的综合应用目录一、题型全归纳 (1)题型一解三角形中的实际问题 (1)题型二平面几何中的解三角形问题 (5)题型三与三角形有关的最值(范围)问题 (8)二、高效训练突破 (10)一、题型全归纳题型一解三角形中的实际问题【题型要点】1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2.实际测量中的常见问题等)．【例1】．(2020·宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．【答案】805【解析】由已知，在∠ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， 所以∠DAC ＝15°，由正弦定理，得 AC ＝80sin150°sin15°＝406－24＝40(6＋2)，在∠BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， 所以∠DBC ＝30°， 由正弦定理CD sin∠CBD ＝BCsin∠BDC，得BC ＝CD ·sin∠BDC sin∠CBD ＝80×sin15°12＝160sin15°＝40(6－2)；在∠ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝32000，解得AB ＝805，则A ，B 两点的距离为80 5.【例2】(2020·长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为OD ，灯柱OB 高为10 m ，灯杆AB 长为1 m ，且灯杆与灯柱成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2θ，灯罩轴线AC 与灯杆AB 垂直．若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O ，另一条与地面的交点为E .则该路灯照在路面上的宽度OE 的长是________ m.【答案】4033【解析】在∠AOB 中，由余弦定理可得OA ＝111 m ， 由正弦定理得sin∠BAO ＝53737，因为∠BAO ＋θ＝π2，所以cos θ＝sin∠BAO ＝53737，sin θ＝2337，则sin2θ＝2sin θcos θ＝20337.易知∠ACO ＝60°，则sin∠AEO ＝sin(60°－θ)＝33237，在∠AOE 中，由正弦定理可得OE ＝OA sin2θsin∠AEO ＝4033m.【例3】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．【答案】2114【解析】在∠ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800， 得BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin∠ACB ＝BCsin∠BAC，即sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 则cos∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114. 题型二 平面几何中的解三角形问题【题型要点】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【例1】(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，0＜∠DAB ＜π2，AD ＝2，AB ＝3，∠ABD的面积为332，AB ∠B C.(1)求sin∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求BC 的长．【答案】（1）217 （2）33【解析】(1)因为∠ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin∠DAB ＝12×2×3sin∠DAB ＝332，所以sin∠DAB ＝32. 又0＜∠DAB ＜π2，所以∠DAB ＝π3，所以cos∠DAB ＝cos π3＝12.由余弦定理得BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos∠DAB ＝7， 由正弦定理得sin∠ABD ＝AD sin∠DAB BD ＝217.(2)因为AB ∠BC ，所以∠ABC ＝π2，sin∠DBC ＝sin(π2－∠ABD )＝cos∠ABD ＝1－sin 2∠ABD ＝277.在∠BCD 中，由正弦定理CD sin∠DBC ＝BD sin∠DCB 可得CD ＝BD sin∠DBC sin∠DCB ＝433.由余弦定理DC 2＋BC 2－2DC ·BC cos∠DCB ＝BD 2，可得3BC 2＋43BC －5＝0，解得BC ＝33或BC ＝－533(舍去)． 故BC 的长为33. 【例2】如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ∠AD ，AB ＝1.(1)若AC ＝5，求∠ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin∠CA D.【答案】（1）12；（2）255【解析】(1)在∠ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ， 即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以∠ABC 的面积S ∠ABC ＝12AB ·BC ·sin∠ABC ＝12×1×2×22＝12.(2)设∠CAD ＝θ，在∠ACD 中，由正弦定理得AC sin∠ADC ＝CD sin∠CAD ，即AC sin π6＝4sin θ，∠在∠ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－(π2－θ)＝θ－π4，由正弦定理得AC sin∠ABC ＝ABsin∠BCA ，即AC sin 3π4＝1sin （θ－π4），∠ ∠∠两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin （θ－π4）sin θ，即4(22sin θ－22cos θ)＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin∠CAD ＝255.题型三 与三角形有关的最值(范围)问题【题型要点】1.解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 2.求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【例1】(2019·全国卷Ⅲ)∠ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若∠ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求∠ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B ＝60°（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3383，【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知∠ABC 的面积S ∠ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于∠ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S ∠ABC ＜32. 因此，∠ABC 面积的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛3383，【例2】(2020·宁德模拟)在∠ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且2c －3b ＝2a cos B ，a ＝7. (1)若c ＝3，求∠ABC 的面积；(2)若∠ABC 为锐角三角形，求3b －c 的取值范围． 【答案】（1）3；（2）(7，21)【解析】(1)∠2c －3b ＝2a cos B ，由正弦定理得2sin C － 3 sin B ＝2sin A cos B ， ∠2sin(A ＋B )－3sin B ＝2sin A cos B ，∠2cos A sin B ＝3sin B.∠B ∠(0，π)，∠sin B ≠0，∠cos A ＝32.又∠A ∠(0，π)，∠A ＝π6. 由余弦定理得7＝b 2＋3－2×3×32b ， 即b 2－3b －4＝0，(b －4)(b ＋1)＝0，∠b ＝4或b ＝－1(舍去)， ∠S ∠ABC ＝12bc sin A ＝12×4×3×12＝ 3.(2)由(1)知A ＝π6.由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝712＝27，∠3b －c ＝27[3sin B －sin(5π6－B )]＝27(32sin B －12cos B )＝27sin(B －π6)．∠∠ABC 是锐角三角形，∠π3＜B ＜π2，π6＜B －π6＜π3，12＜sin(B －π6)＜32， ∠3b －c ∠(7，21)．二、高效训练突破一、选择题1．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 kmB ．30 2 kmC ．45 2 kmD ．60 2 km【答案】B【解析】作出示意图如图所示依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°， ∠∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在∠AMB 中，由正弦定理，得60sin45°＝BMsin30°，解得BM ＝30 2.2．如图，在离地面高400 m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC ＝60°，则山的高度BC 为( )A ．700 mB ．640 mC ．600 mD ．560 m【答案】C【解析】在Rt∠AMD 中，AM ＝MD sin45°＝40022＝4002(m)，在∠MAC 中，∠AMC ＝45°＋15°＝60°，∠MAC ＝180°－45°－60°＝75°，∠MCA ＝180°－∠AMC －∠MAC ＝45°，由正弦定理得AC ＝AM sin∠AMC sin∠MCA ＝4002×3222＝4003(m)．在Rt∠ABC 中，BC ＝AC sin∠BAC ＝4003×32＝600(m)．3.一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200 m 后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( ) A ．50(3＋1)m B ．100(3＋1)m C ．50 2 m D ．100 2 m【答案】A 【解析】如图所示在∠ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，AB ＝200 m ，由正弦定理，得BC ＝200×sin 30°sin 45°＝1002(m)，所以河的宽度为BC sin 75°＝1002×2＋64＝50(3＋1)(m)． 4.如图所示，一座建筑物AB 的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD .在它们之间的地面上的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为( )A ．30 mB ．60 mC ．30 3 mD ．40 3 m【答案】B【解析】在Rt∠ABM 中，AM ＝ABsin∠AMB ＝30－103sin15°＝30－1036－24＝206(m)．过点A 作AN ∠CD 于点N ，如图所示易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°.又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM ＝30°.在∠AMC 中，由正弦定理得MC sin45°＝206sin30°，解得MC ＝403(m)．在Rt∠CMD 中，CD ＝403×sin60°＝60(m)，故通信塔CD 的高为60 m.5.已知∠ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12D ．－12【答案】C【解析】因为cos 2A ＋cos 2B ＝2cos 2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C. 6.(2020·安徽省江南十校联考)在钝角∠ABC 中 ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A.2B.98 C ．1 D.78【答案】B【解析】∠a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∠sin A ≠0，∠cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∠B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2(sin A －14)2＋98，∠sinA ＋sin C 的最大值为98.7.在∠ABC 中，sin B ＝13，BC 边上的高为AD ，D 为垂足，且BD ＝2CD ，则cos∠BAC ＝( )A ．－33 B.33 C ．－1010D.1010【答案】A【解析】依题意设CD ＝x ，AD ＝y ，则BD ＝2x ，BC ＝3x .因为sin B ＝13，所以AB ＝ADsin B ＝3y .因为BC 边上的高为AD ，如图所示所以AB 2＝AD 2＋BD 2＝y 2＋4x 2＝9y 2，即x ＝2y .所以AC ＝AD 2＋CD 2＝x 2＋y 2＝3y .根据余弦定理得cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝9y 2＋3y 2－9x 22·3y ·3y ＝－6y 263y 2＝－33.故选A.8．在∠ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ·cos B ＝2a ＋b ，若∠ABC 的面积为S ＝32c ，则ab 的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【解析】在∠ABC 中，由已知及正弦定理可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，即2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋sin B ，所以2sin B cos C ＋sin B ＝0.因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，C ＝2π3.由于∠ABC 的面积为S ＝12ab ·sin C ＝34ab ＝32c ，所以c ＝12ab .由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，整理可得14a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时，取等号，所以ab ≥12. 9.在∠ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则∠ABC 面积的最大值为( ) A ．8 3 B ．43 C ．2 3D.3【答案】B【解析】由已知等式得a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.由C ∠(0，π)，所以sin C ＝32.又16＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，则ab ≤16，所以S ∠ABC ＝12ab sin C ≤12×16×32＝4 3.故S max ＝4 3.故选B.10．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E .从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°.若测得DC ＝23，CE ＝2(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为( )A. 6 B ．2 2 C ．3 D ．23【答案】C【解析】根据题意，在∠ADC 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝67.5°，DC ＝23，则∠DAC ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC ＝DC ＝23，在∠BCE 中，∠BCE ＝75°，∠BEC ＝60°，CE ＝2，则∠EBC ＝180°－75°－60°＝45°，则有CE sin∠EBC ＝BC sin∠BEC ，变形可得BC ＝CE ·sin∠BECsin∠EBC＝2×3222＝3，在∠ABC 中，AC ＝23，BC＝3，∠ACB ＝180°－∠ACD －∠BCE ＝60°，则AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝9，则AB ＝3. 11.在∠ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若sin B ＋2sin A cos C ＝0，则当cos B 取最小值时，ca ＝( ) A. 2 B.3 C ．2 D.33【答案】B【解析】由sin B ＋2sin A cos C ＝0，根据正弦定理和余弦定理得b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，∠a 2＋2b 2－c 2＝0，∠b 2＝c 2－a 22，∠cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 2＋c 24ac ＝3a 4c ＋c 4a ≥32，当且仅当3a 4c ＝c 4a ，即ca＝3时取等号，cos B 取最小值32.故选B. 12.(2020·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC 和DE ，两标杆之间的距离BD ＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H 在同一直线上，从前面的标杆B 处后退123步，人眼贴地面，从地上F 处仰望岛峰，A ，C ，F 三点共线，从后面的标杆D 处后退127步，人眼贴地面，从地上G 处仰望岛峰，A ，E ，G 三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )A ．1 255步B ．1 250步C ．1 230步D ．1 200步【答案】A【解析】因为AH ∠BC ，所以∠BCF ∠∠HAF ，所以BF HF ＝BCAH .因为AH ∠DE ，所以∠DEG ∠∠HAG ，所以DG HG ＝DEAH.又BC ＝DE ，所以BF HF ＝DG HG ，即123123＋HB ＝127127＋1 000＋HB ，所以HB ＝30 750步，又BF HF ＝BCAH ，所以AH ＝5×（30 750＋123）123＝1 255(步)．故选A. 二、填空题1.线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________ h 后，两车的距离最小． 【答案】7043【解析】如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t ＝12900t 2－42000t ＋40000. 当t ＝7043时DE 最小．2．(2020·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.【答案】3－1【解析】由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得 ∠DBA ＝135°，∠ADB ＝30°. 在∠ABD 中，根据正弦定理可得 AB sin∠ADB ＝BD sin∠BAD ，即50sin30°＝BDsin15°，所以BD ＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)． 在∠BCD 中，由正弦定理得CD sin∠DBC ＝BD sin∠BCD ，即25sin45°＝25(6－2)sin∠BCD，解得sin∠BCD ＝3－1. 所以cos θ＝cos(∠BCD －90°)＝sin∠BCD ＝3－1.3．在∠ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则∠ABC 周长的最大值为________．【答案】12 【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A. 又在∠ABC 中，sin B ＞0，∠sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3.∠0＜A ＜π，∠A ＝π3.由于a ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ＝(b＋c )2－3bc ，又bc ≤(b ＋c 2)2，∠(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8，∠a ＋b ＋c ≤12.4.如图，在∠ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．【答案】66【解析】设AB ＝a ，∠AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∠AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3. 在∠ABD 中，cos∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∠sin∠ADB ＝63，∠sin∠BDC ＝63. 在∠BDC 中，BD sin C ＝BC sin∠BDC ，∠sin C ＝BD ·sin∠BDC BC ＝66.5．(2020·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________ m. 【答案】80【解析】设塔高为h m ，依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin (90°－γ)sin γcos (90°－γ)cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h240＝1，解得h＝80，所以塔高为80 m.6．如图所示，在∠ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ∠AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝________．【答案】64【解析】∠AD ＝DB ，∠∠A ＝∠ABD ， ∠∠BDC ＝2∠A .设AD ＝DB ＝x ，∠在∠BCD 中，BC sin∠BDC ＝DB sin C ，可得4sin 2A ＝xsin π3.∠在∠AED 中，DE sin A ＝AD sin∠AED ，可得22sin A ＝x1.∠ 联立∠∠可得42sin A cos A ＝22sin A 32，解得cos A ＝64.7.(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．【答案】805【解析】由已知得，在∠ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°，由正弦定理得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)．在∠BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，所以∠DBC ＝30°， 由正弦定理CD sin∠CBD ＝BCsin∠BDC，得BC ＝CD sin∠BDC sin∠CBD ＝80×sin 15°12＝160sin 15°＝40(6－2)．在∠ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝1 600×(8＋43)＋1 600×(8－43)＋2×1 600×(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000， 解得AB ＝80 5.故图中海洋蓝洞的口径为80 5. 三、解答题1．在∠ABC 中，b ＝3，B ＝60° (1)求∠ABC 周长l 的范围； (2)求∠ABC 面积最大值．【答案】（1）23＜l ≤33；（2）334【解析】(1)l ＝3＋a ＋c ，b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∠(a ＋c )2－3ac ＝3，∠(a ＋c )2－3＝3ac ≤3×(a ＋c 2)2，∠a ＋c ≤23，当仅仅当a ＝c 时，取“＝”，又∠a ＋c ＞3， ∠23＜l ≤3 3.(2)∠b 2＝3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ， ∠ac ≤3，当且仅当a ＝c 时，取“＝”， S ∠ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin 60°＝334，∠∠ABC 面积最大值为334.2.已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一座发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100 m 和BN ＝200 m ，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m 后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．【答案】100 5 m【解析】 在Rt∠AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100， ∠PM ＝100 3.连接QM ，在∠PQM 中，∠QPM ＝60°，PQ ＝1003， ∠∠PQM 为等边三角形，∠QM ＝100 3.在Rt∠AMQ 中，由AQ 2＝AM 2＋QM 2，得AQ ＝200. 在Rt∠BNQ 中，tan θ＝2，BN ＝200，∠NQ ＝100，BQ ＝1005，cos θ＝55.在∠BQA 中，BA 2＝BQ 2＋AQ 2－2BQ ·AQ cos θ＝(1005)2，∠BA ＝100 5.即两发射塔顶A ，B 之间的距离是100 5 m.3．在四边形ABCD 中，AD ∠BC ，AB ＝3，∠A ＝120°，BD ＝3.(1)求AD 的长；(2)若∠BCD ＝105°，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）3；（2）123－94. 【解析】(1)∠在∠ABD 中，AB ＝3，∠A ＝120°，BD ＝3，∠由余弦定理得cos 120°＝3＋AD 2－92×3AD，解得AD ＝3(AD ＝－23舍去)，∠AD 的长为 3. (2)∠AD ∠BC ，∠A ＝120°，BD ＝3，AB ＝AD ＝3，∠BCD ＝105°，∠∠DBC ＝30°，∠BDC ＝45°，∠由正弦定理得BC sin 45°＝DC sin 30°＝3sin 105°，解得BC ＝33－3，DC ＝36－322. 如图过点A 作AE ∠BD ，交BD 于点E ，过点C 作CF ∠BD ，交BD 于点F ， 则AE ＝12AB ＝32，CF ＝12BC ＝33－32， ∠四边形ABCD 的面积S ＝S ∠ABD ＋S ∠BDC ＝12BD ·(AE ＋CF )＝12×3×(32＋33－32)＝123－94. 4．(2020·绵阳模拟)在∠ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2c sin B ＝3a tan A.(1)求b 2＋c 2a 2的值； (2)若a ＝2，求∠ABC 面积的最大值．【答案】（1）4；（2）7【解析】(1)∠2c sin B ＝3a tan A ，∠2c sin B cos A ＝3a sin A ，由正弦定理得2cb cos A ＝3a 2，由余弦定理得2cb ·b 2＋c 2－a 22bc＝3a 2，化简得b 2＋c 2＝4a 2， ∠b 2＋c 2a 2＝4. (2)∠a ＝2，由(1)知b 2＋c 2＝4a 2＝16，∠由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6bc， 根据基本不等式得b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤8，当且仅当b ＝c 时，等号成立，∠cos A ≥68＝34. 由cos A ＝6bc ，得bc ＝6cos A ，且A ∠(0，π2)， ∠∠ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×6cos A×sin A ＝3tan A. ∠1＋tan 2A ＝1＋sin 2A cos 2A ＝cos 2A ＋sin 2A cos 2A ＝1cos 2A， ∠tan A ＝1cos 2A－1≤169－1＝73.∠S ＝3tan A ≤7. ∠∠ABC 面积的最大值为7.5.如图，在∠ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长；(2)求∠ADE 的面积．【答案】（1）6；（2）156 【解析】(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，所以cos C ＝b 2c ＝14. 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14， 所以a ＝4，即BC ＝4.在∠ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos∠ACD ＝6，所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S ∠ABE S ∠ACE ＝12AB ·AE ·sin∠BAE 12AC ·AE ·sin∠CAE ＝AB AC ＝2， 又S∠ABE S ∠ACE ＝BE EC ，所以BE EC＝2， 所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23. 又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.又S∠ADE＝S∠ACD－S∠ACE，所以S∠ADE＝12×DE×AC×sin C＝156.。
专题24 正弦定理与余弦定理的应用-高考复习资料(解析版)
C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察
点 A，B 两地相距 100 米，∠BAC＝60°，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.A 地测得该仪器在 C 处
的俯角为∠OAC＝15°，A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度 CH 为( )
2·
27 7
(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为 cos∠CAD=2 7,cos∠BAD=- 7,
7
14
所以 sin∠CAD=
1-cos2∠CAD=
1-
27 7
2
=
21,
7
sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 1- - 7 2=3 21.
14
14
于是 sin α=sin(∠BAD-∠CAD)
11 的速度是乙的速度的 倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 C 处．经测量，AB＝1 040 m，BC
9
＝500 m，则 sin∠BAC 等于________．
5 【答案】
13
【解析】依题意，设乙的速度为 x m/s，
11 则甲的速度为 x m/s，
9
因为 AB＝1 040 m，BC＝500 m，
2021 高考领跑一轮复习资料·数学篇
专题 24 正弦定理与余弦定理的应用
一、【知识精讲】 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线 下方叫俯角(如图 1).
2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为α(如图 2). 3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30°，北偏西 45°等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解. [微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形， 一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 二、【典例精练】 考点一 求距离、高度问题 角度 1 测量高度问题 【例 1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
2021届高考数学一轮基础过关训练23：正弦定理和余弦定理及其应用
1．已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶1∶3 B ．2∶2∶ 3 C ．1∶1∶2D ．1∶1∶4解析：选A.△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝23π，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶12∶32＝1∶1∶ 3.A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：选D.因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D.A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，所以cos C cos B ＝b c 或cos Ccos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c .当C ＝90°时，△ABC 为直角三角形．当cos C cos B ＝b c 时，由正弦定理，得b c ＝sin B sin C ，所以cos C cos B ＝sin B sin C ，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B ，C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27答案：75°解析：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC＝12bc sin A ＝12×833×12＝233. 答案：233解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B2＝0.因为sin C ＝sin(A＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以bc＝2.答案：2解析：因为a cos A ＝b cos B ，由正弦定理可知，sin A cos A ＝sin B cos B⇒tan A ＝tan B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，所以A ＋B ＋C ＝2B ＋C ＝π，得2B ＝π－C ，则cos 2B ＝－cos C ＝－14＝1－2sin 2 B ，解得sin B ＝104，cos B ＝64，tan B ＝153. 因为AB ＝c ＝3，所以C 到AB 的距离h ＝AB 2×tan B ＝32×153＝152，所以△ABC 的面积为12×AB ×h ＝3154. 答案：315411．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.(1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)若cos A ＝78，且△ABC 的周长为5，求△ABC 的面积．解：(1)证明：根据正弦定理及b cos C ＝a cos 2B ＋b cos A cos B ，可得sin B cos C ＝sin A cos 2B ＋sin B cos A cos B ＝cos B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝cos B sin(A ＋B )，即sin B cos C ＝cos B sin C ， 所以sin(B －C )＝0，由B ，C ∈(0，π)，得B －C ∈(－π，π)， 故B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．(2)由(1)知b ＝c ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2＝78，得b ＝2a .△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5a ＝5，得a ＝1，b ＝c ＝2. 故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×2×1－⎝⎛⎭⎫782＝154.。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解(2021年整理)
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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )km。
( ）A．a B.错误!aC．2a D。
错误!a[答案] D[解析］依题意得∠ACB＝120°.由余弦定理cos120°＝错误!∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos120°＝a2＋a2－2a2错误!＝3a2∴AB＝错误!a.故选D.2．(文）(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中,“sin A〉错误!”是“∠A>错误!”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A［解析] 在△ABC中，若sin A〉错误!，则∠A>错误!，反之∠A>错误!时,不一定有sin A>错误!，如A＝错误!时，sin A＝sin错误!＝sin错误!＝错误!。
(理）在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b"是“a cos A＝b cos B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件［答案] A［解析] 当a＝b时，A＝B，∴a cos A＝b cos B;当a cos A＝b cos B时，由正弦定理得sin A·cos A＝sin B·cos B,∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝错误!.则a＝b或a2＋b2＝c2.所以“a＝b”⇒“a cos A＝b cos B”,“a cos A＝b cos B"⇒/ “a＝b”，故选A。
2021年广东省高考数学总复习第23讲：正弦定理和余弦定理
2021年广东省高考数学总复习第23讲：正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725 B ．－725 C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ．又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ， ∴8sin B ＝10sin B cos B ． ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45， ∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33解析：c 2＝(a －b )2＋6， 即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，② 由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ， 所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，① 由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab5＝4， ∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2021·模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝32.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列， 所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°， 解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°， 此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ， 即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6.解析：由sin C ＝23·sin B 得c ＝23b ， 所以a 2－b 2＝3bc ＝3·23b 2， 即a 2＝7b 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32 又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. 于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22， 因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，则A ＝π3， 由AB→·BC →＞0知，B 为钝角， 又asin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ．3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得， sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝ 23sin A cos B ＋23cos A sin B ， 即13sin A cos B ＝53sin B cos A ， 得tan A ＝5tan B ，从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ， 即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 的面积为3或233.解析：法1：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )， 即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )， 又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ， 即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233； 当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ， 由正弦定理可知b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形， 又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2， ∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.法2：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π， ∴－π3＜2B －π3＜π，∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3. 综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2021·模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ， ∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ． ∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝ 3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
高中数学正弦、余弦定理知识点详解-应用解答。配套习题
正弦定理和余弦定理第一部分 知识梳理1.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== 正弦定理可以解决两类解三角形问题（1）已知两角和任一边，求另两边和另一脚（2）已知两边和其中一边的对角，求其它边和角2.利用正弦定理确定三角形解的情况已知三角形两边和其中一条边的对角，利用正弦定理求其他边和角时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩余弦定理可以解决两类解三角形问题（1）已知三角形的三边求三角形三角（2）已经三角形的两边及其夹角解三角形第三边及其余两角4.三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高） （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；第二讲 精讲点拨考点1 正弦定理（1） ① 有关正弦定理的叙述：① 正弦定理只适用与锐角三角形 ② 正弦定理不适用与直角三角形 ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值 ④ 在ABC ∆中，C B A c b a sin :sin :sin ::=，其中正确的个数是（ ）.A 1 B . 2 C. 3 D 4b a b a b a b a a 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA A CB AC B1A B A C B2C H H② 在ABC ∆中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ︒60B ︒120C ︒30D ︒60或︒120考点2 正、余弦定理在解三角形中的应用(2) ① 在ABC ∆中，已知︒==45.10A c ,︒=30C ，解这个三角形。
备战2021高考文数热点题型和提分秘籍 专题22 正弦定理和余弦定理(解析版)
专题二十二 正弦定理和余弦定理【高频考点解读】把握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题． 【热点题型】题型一 利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中留意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【举一反三】在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围．【热点题型】题型二 三角形外形的推断例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的外形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系推断三角形的外形时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而推断三角形的外形；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而推断出三角形的外形，此时要留意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．留意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【举一反三】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试推断△ABC 的外形．【热点题型】题型三 三角形的面积问题例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【提分秘籍】三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 去求．计算时留意整体运算及正、余弦定理的应用．【举一反三】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【热点题型】 题型四 解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简洁的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式消灭．【高考风向标】1．(2022·浙江卷) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A －B2＋4sin A sin B＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．2．(2022·安徽卷) 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值．3．(2022·北京卷) 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝________；sin A＝________．4．(2022·福建卷) 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．5．(2022·广东卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件6．(2022·湖北卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．7．(2022·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3. (1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-48．(2022·江苏卷) 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．9．(2022·江西卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.7210．(2022·辽宁卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．11．(2022·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .12．(2022·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补， AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．13．(2022·山东卷) △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．14．(2022·陕西卷) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cos B的值．15．(2022·重庆卷) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos2B2＋sin B cos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值．16．(2021·安徽卷) 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝()A.π3 B.2π3C.3π4 D.5π617．(2021·北京卷) 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59C.53D．118．(2021·全国卷) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C.19．(2021·福建卷) 如图1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2 2，点M在线段PQ上．(1)若OM＝5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．图1－6 20．(2021·湖北卷) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5 3，b＝5，求sinB sin C的值．21．(2021·湖南卷) 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π1222．(2021·江西卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求ab的值．23．(2021·辽宁卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π624．(2021·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－125．(2021·山东卷) △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．126．(2021·陕西卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的外形为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定27． (2021·天津卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．28． (2021·四川卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝ 4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【随堂巩固】1．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案：D2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π43．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π34．在△ABC 中，A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则B 的值为( ) A.π6B. π3C.2π3D.5π65．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.346．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24 D.237．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝6cos A ·sin C ，则b 的值为________．8．在锐角△ABC 中，a ， b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A . (1)求角C 的度数；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．9．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，若f (A )＝1，AB →·AC →＝2，求△ABC 的面积．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b cos C＝2a－c，(1)求B；(2)若△ABC 的面积为3，求b的取值范围．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m ∥n.(1)求角A的大小；(2)若a ＝4，求△ABC面积的最大值．。
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所以 α＝135°时，BD Hale Waihona Puke 得最大值为 7 2 6 1 6 ．
故答案为：1 6 ．
14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中荆州中孝感中襄阳四中.襄阳五中)2019 届高三第
二次联合考）如图所示，在平面四边形 ABCD 中，若 AD 2 ，CD 4， ABC 为正三角形，则 BCD 面
5．（安徽省巢湖市 2019 届高三年级三月份联考）已知锐角 ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
c 1，三角形 ABC 的面积 S ABC 1 ，则 a2 b2 的取值范围为 ( )
A．
17 2
,
B． 9,
C．
17 2
,
9
D．
17 2
,
9
【答案】D
【解析】
因为三角形为锐角三角形，所以过 C 作 CD AB 于 D，D 在边 AB 上，如图：
3．（吉林省长春市 2019 年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有
取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行
一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦
与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆 和 ，之间距离为
（1）求角 A ；
（2）设 D 为 AB 的中点，求中线 CD 的长.
【答案】（1） A ；（2） 4
2
【解析】
（1）∵ cos C 5 ，∴ sin C 1 cos2 C 1 1 2 5 .
5
55
10
由正弦定理
a sin A
c sin C
，即
10 sin A
4 25
.
5
得 sin A 2 ，∵ cos C 5 0 ，∴ C 为钝角， A 为锐角，
B． 步
C． 步
D． 步
因为
，所以
，所以
；
又
，所以
，所以
；
又
，所以
，
即
，所以
步，
又
，所以
步.
2
故选 A．
4．（陕西省咸阳市 2019 届高三模拟检测三）已知 a、b、c 分别是△ABC 的内角 A、B、C 的对边，若
sin C cos A ，则 ABC 的形状为（ ） sin B
A．钝角三角形
B．直角三角形
2sin C cos C
1
3 tan C
.
22
2
由△ABC 是锐角三角形，可得 0 C π ， 0 2π C π ，则 π C π ，
2
3
26
2
所以 π C π ， 2 3 tan C 1.
12
4
2
所以1 3 a b 1 3 =4 2 3 . 2 3
11．（河北省衡水市 2019 届高三四月大联考理）ABC 中，BAC 120 ，AB AC 4 ，点 D 在边 BC 上，且 DC 3BD . （1）求 AD 的长； （2）若 DH AC 于 H ，求 cosADH .
N 分别在线段 AB ， AC 上，将 AMN 沿线段 MN 进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点 A 在线
段 BC 上，则线段 AM 的最小值为_______．
【答案】 2 3 3
【解析】
设 AM x ， AMN ，则 BM 1 x ， AMB 180 2 ，∴ BAM 2 60，
在
ABM
中，由正弦定理可得
AM sin ABM
BM sin BAM
，
即
x 3
1 x
sin 2 60
，∴
x
2
3
2
，
3 sin 2 60
2
3
∴当 2 60 90 即 75 时， x 取得最小值 2 2 3 3 ．
3 1 2
故答案为： 2 3 3 ．
5
9．（四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以
因为： S ABC 1 AB CD 1，所以 CD 2， 2
在三角形 ADC 中， AD AC2 CD2 b2 4 ， 在三角形 BDC 中， BD BC2 CD2 a2 4 ，
3
AD BD AB 1， a2 4 b2 4 1，
a2 b2 a2 4 b2 4 8 ( a2 4)2 ( b2 4)2 8 ( a2 4)2 (1 a2 4)2 8
2
5
故A . 4
（2）∵ B A C ，
A． 25 3
【答案】D 【解析】
B． B(m, 0)
C． 1)
D． 75 3 7
△ABC 是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得 CB 10 3m ，
DEF 是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝ π +θ；则 CE＝xcosθ， 6
△BFE
x 中由正弦定理，可得 sin π
积的最大值为___．
9
【答案】 4 4 3
【解析】
设 ADC ， ACD ，
由余弦定理可得 AC2 42 22 2 4 2cos 20 16cos ， cos AC2 12 ， 8 AC
由正弦定理可得
AD sin
AC sin
，即 sin
2sin AC
，
所以 S
BCD
1 2
BC
sin A sin C
3
由
a sin A
b sin B
c sin C
，可得 a
c sin A sin C
3 sin C
，
b
c sin B sin C
2
sin
2π 3
C
sin C
，
所以 a b 3 sin C
3 cos C sin C 1 sin C
3 1 cosC
sin C
1
2 3 cos2 C 2
CD
sin
3
2BC
1 2
sin
3 2
cos
，
2BC
1 2
2sin AC
3 2
AC2 12 8 AC
2sin
3
20
16cos 8
12
4sin
3
4
3，
故当 5 时， BCD 面积最大，最大值为 4 4 3 ． 6
15．（内蒙古呼伦贝尔市 2019 届高三模拟统一考试理）如图：在 ABC 中，a 10 ，c 4 ，cos C 5 . 5
【答案】 4 2
【解析】
依题意有 AB 24 20 8, BAS 30 , ABS 180 75 105 , ASB 45 ，由正弦定理得 60
BS sin 30
AB sin 45
，解得 BS 4
2.
8．（山东省实验中学等四校 2019 届高三联合考试理科）如图所示，边长为 1 的正三角形 ABC 中，点 M ，
6
10 3 xcosθ
sin
π 6
θ
可得 x
10 3
3sinθ 2cosθ
10 3
7sin θ
α
，其中
tanα
23 3
；
∴x 10 3 ； 7
4
则△DEF 面积 S 1 x2 sin π 75 3
2
37
故选：D．
7．（2019 届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以 24km / h 的速度沿着正北方 向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30 方向上， 20 min 后到点 B 处望见电视塔在电 动车的北偏东 75 方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是__________ km ．
C．锐角三角形
D．等边三角形
【答案】A
【解析】
因为在三角形中， sinC <cosA 变形为 sin C sin Bcos A sinB
由内角和定理可得 sin(A B) cos Asin B
化简可得： sin Acos B 0cos B 0 所以 B
2
所以三角形为钝角三角形
故选 A．
2( a2 4)2 2 a2 4 9
a2 4 0,1 ．设 t a2 4 0,1 a2 b2 2t2 2t 9 结合二次函数的性质得到：
a2
b2
17 2
,
9
．
故选：D．
6．（四川省成都市 2019 届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形 ABC 区域进行 改建,在三边上各选一点连成等边三角形 DEF ,在其内建造文化景观.已知 AB 20m , AC 10m,则 DEF 区域内面积(单位： m2 )的最小值为（ ）
考点 23 正弦定理和余弦定理的应用
1． 则 的形状为（ ） A．等边三角形 C．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 因为 、 、 依次成等差数列，
中，内角 、 、 的对边 、 、依次成等差数列，且 ，
B．直角边不相等的直角三角形 D．钝角三角形
所以
由余弦定理可得：
将
代入上式整理得：
所以 ，又 可得： 为等边三角形 故选：A． 2．
观察者找到在同一直线上的三点
．从 点测得
如图，为了测量某湿地 两点间的距离，
，从 点测得
，
，
从 点测得
.若测得
，
（单位:百米），则 两点的距离为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
根据题意，在△ADC 中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2 ，