【方法指导】复数常用的几种处理方法(苏教版选修1-2)

复数常用的几种处理方法

数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题．下面举例来谈谈复数问题的处理策略．

一、数形结合

例1、若121==z z 且221=

+z z ，求21z z -．

分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是12z z +和21z z -是以1OZ u u u u r 和2

OZ u u u u r

为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．

解：如图1所示，由121==z z ，221=+z z 知四边形为正方形．故另一条对角

线长

221=-z z ．

点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用．

例2、若复数53=-i z ，求2+z 的最大值和最小值． 分析：利用复数的几何意义求最值．

解：如图2，满足53=-i z 的复数z 所对应的点是以()3,0C 为圆心，5为半径的圆．2+z 表示复数z 所对应的点Z 和点()0,2-A 的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A 距离的最大值与最小值是过A 的圆的直径被A 点所分成的两部分． ∴()()1330022

2=-+--=

AC ，

∴1352,1352min max -=++=+z z ．

点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力． 二、待定系数法

例3、已知,x y 为共轭复数，且2

()346x y xyi i +-=-，求,x y . 分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.

图1 图2

解：设(x a bi a =+、)b R ∈，则y a bi =-，代入原式，得222

(2)3()46a a b i i -+=-，

根据复数相等得2

22

44,

3()6,

a a

b ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩

解得1,1;a b =⎧⎨=⎩ 或1,1;a b =⎧⎨=-⎩ 或1,1;a b =-⎧⎨=⎩或1,

1;a b =-⎧⎨=-⎩

∴所求复数为1,1;x i y i =+⎧⎨=-⎩或1,1;x i y i =-⎧⎨=+⎩或1,1;x i y i =-+⎧⎨=--⎩ 或1,1.

x i y i =--⎧⎨=-+⎩

点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想. 例4、已知|2|2z -=，且4

z R z

+

∈，求z . 解：设(z a bi a =+、)b R ∈，则|(2)|2a bi -+=.①

依题意，得222222

44()44()()()()a bi a b

a bi a bi a

b i a bi a b a b a b

-++

=++=++-++++. 4z R z +∈Q ,∴22

4(1)0b a b

-=+.②

由①、②，得0,2;b =⎧=

或22

4, 2.

a b ⎧+=⎪

= 解得0,0a b =⎧⎨=⎩（舍）；4,0;a b =⎧⎨=⎩

或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩

或1,

a b =⎧⎪⎨=⎪⎩

1234,11z z z ∴===.

三、取模法

例5、已知||2z z i +=+，求||z .

解：由题设知2||z z i =-+,

两边同时取模，得||z =平方，得22

||44||||1z z z =-++.

||||z z =Q ,4||5z ∴=,5||4z =

,5

||4

z ∴=. 点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来

处理要简捷得多.

例6、已知z 、ω为复数，(13)i z +为纯虚数，2z

i

ω=

+

，且||ω=ω. 分析：设(z a bi a =+、)b R ∈，利用复数为纯虚数的充要条件求得z ，再代入求ω. 解法1：设(z a bi a =+、)b R ∈，则(13)3(3)i z a b a b i +=-++.由题意，得

30a b =≠.

||2z

i

ω=

=+Q

||z ∴==将3a b =代入，解得15a =±,5b =±.故15(7)2i

i i

ω+=±

=±-+. 解法2：由题意，设(13),0i z ki k +=≠，且k R ∈，则(2)(13)

ki

i i ω=

++

.

||ω=Q 50k ∴=±.故(7)i ω=±-.

四、方程思想

例7、在复数范围内解方程2

3||()2i

z z z i i

-++=

+（i 为虚数单位）. 解：原方程化简为2

||()1z z z i i ++=-.

设(z x yi x =+、)y R ∈，代入上述方程得 22

21x y xi i ++=-,

221,2 1.x y x ⎧+=∴⎨

=-⎩

解得1,22

x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ ∴

原方程的解是122

z =-±. 点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程.

例8、已知2

{(3)(1),8}M a b i =++-，集合2

{3,(1)(2)}N i a b i =-++同时满足

M N M ⋂Ø，M N ⋂≠∅，求整数,a b .

解：依题意得：2

(3)(1)3a b i i ++-=，① 或2

8(1)(2)a b i =-++，②

由①得，3,2a b =-=±，经检验，3,2a b =-=-不合题意，舍去. 3,2a b ∴=-=.

由②得，3,2a b =±=-，又3,2a b =-=-. 3,2a b ∴==-.