【方法指导】复数常用的几种处理方法(苏教版选修1-2)
苏教版选修1-2高中数学3.2.1《复数加、减法与乘法的运算法则》ppt课件
【训练 1】 设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi (x，y∈R)， 且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2. 解 z1＋z2＝(x＋2i)＋(3－yi) ＝(x＋3)＋(2－y)i 又 z1＋z2＝5－6i ∴x2＋－3y＝＝5－，6， 解得xy＝＝28，， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
答案 －2
题型三 复数运算的综合应用 【例3】 (14分)已知f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求
f(－z)． 本题综合考查了复数的加、减、乘的运算，
及实数函数f(x)的性质，同时有共轭复数与复数的代 数形式及复数的相等等知识应用．
【解题流程】 由fz表示出f z ＋i → 设z的代数形式
3．复数乘法的运算律
(1)z1z2＝ z2z1 ； (2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 试一试：z1、z2为复数，若z2－z1>0，则z2>z1成立吗？ 提 数 ＝6示．＋但i，不z1z与成1＝z立2－可，1以＋z2都－i. 是z1>虚0，数即，z此2－时z1z是2>z一1不个成大立于．0的如实z2
解复数方程的常见方法与技巧
解复数方程的常见方法与技巧复数方程是指含有复数变量的方程。
解复数方程是求出满足方程的所有复数解的过程。
在数学中，解复数方程的常见方法和技巧有以下几种。
一、图像法图像法是解复数方程的一种直观方法。
我们可以将复数方程转化为在复平面上的几何问题。
利用复数的模和幅角的性质，我们可以通过观察复平面上的图像来找到解。
例如，对于方程z^2=1，我们可以将其转化为在复平面上求两个点的问题，即找到模为1，幅角为0或π的点作为解。
通过画出复平面上的点和线，我们可以直观地找到方程的解。
二、代数方法代数方法是解复数方程的一种常用方法。
我们可以通过代数运算和方程变形来求解方程。
例如，对于方程z^2+2z+2=0，我们可以利用配方法将其转化为完全平方的形式。
然后，通过求解完全平方后的方程来找到解。
代数方法通常适用于形式更为复杂的复数方程。
三、方程组法方程组法是解复数方程组的一种有效方法。
当复数方程中存在多个未知量时，我们可以将其转化为一个方程组，然后通过求解方程组来找到解。
例如，对于方程组z^2+w=5和2z+w=3，我们可以联立这两个方程，消去变量w，然后求解剩余的未知量z。
通过方程组法，我们可以将复数方程中的多个未知量转化为一个或几个方程，从而求解复数方程。
四、三角形式法三角形式法是解复数方程的一种常用技巧。
利用复数的三角形式，我们可以将复数方程转化为三角方程，然后求解得到解。
例如，对于方程z^2=2，我们可以将复数z表示为模和幅角的形式，然后将方程转化为一个三角方程。
通过求解三角方程，我们可以找到复数方程的解。
总结起来，解复数方程的常见方法和技巧包括图像法、代数方法、方程组法和三角形式法。
不同的方法适用于不同类型的复数方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来解决复数方程。
通过灵活运用这些方法和技巧，我们可以高效地求解复数方程，进而提升数学解题的能力和水平。
这些是解复数方程的常见方法与技巧，希望对你有所帮助。
苏教版高中数学选修1-2《复数的四则运算(第1课时)》参考学案
3.2 复数的四则运算(1)【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则： (2)复数的减法法则:： (3) 两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为 =z =±21z z4．复数的代数形式的乘法运算法则5．乘法运算律：对任何C z z z ∈321,,，*∈N n m ,有=21z z =321)(z z z =+)(321z z z =n m z z =n m z )( =n z z )(216．几个特殊结论：（1）=+14n i =+24n i =+34n i =n i 4(2)如果i 2321+-=ω,则ω= =2ω =3ω =++21ωω =ωω =2ω(3)=+2)1(i =-2)1(i【典型例题】例1． 计算：50325032i i i i ++++例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值．例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．例4．求i 3016+-的平方根．★ 基础训练★1．已知：,21iz -=则150100++z z 的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．=---+-6)2321)(2321)(2321(i i i （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．以上全不对3． 已知复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．43- 4．当复数+-=+=2,3121z i z i 时，=+21z z +i 8，+-=-312z z i ． 5．,1)(,5,3221z z f i z i z -=-=+=则=-)(21z z f ．6．已知集合}{C z z z w w P ∈+==,，{}C z z z w w Q ∈-==,，则=⋂Q P 7．(12)(23)(34)(20062007)i i i i ---+----= 8．32121232++--+++n n n n i i i i = ．9．已知复数,230i z +=复数z 满足,300z z z z +=⋅则复数=z ．10．复数),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==，且321,,z z z 成等比数列，则=2z11．164-x 分解成一次式的乘积为 ．12．已知,,R y x ∈复数xi y x 5)23(++与复数18)2(+-i y 相等，求y x ,．13．设,R m ∈复数,)3(2,)15(2221i m m z i m m m m z -+-=-+++=若21z z +是虚数， 求m 的取值范围．。
苏教版高中数学选修1-2《复数的四则运算(第1课时)》参考教案1
2.复数的减法运算法则：
3.复数的乘法运算法则：
探究三、共轭复数：
探究四、知识应用：.
例1、（1）计算
（2）计算
例2.(1)计算
（2）计算
（3）计算
变式练习：
1.已知复数 ，且 是实数，则实数 等于
2.当复数 时， + ， ．
3.若 ，则当 时，
思考释疑：
（1）在复数范围内解方程
教学
重点
1.复数的加法运算法则
2.复数的减法运算法则
3.复数的乘法运算法则
教学
难点
1.复数的加、减法运算法则
2.复数的乘法运算法则
学法
指导
在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。复数的加、减法运算法则类似于多项式中的合并同类项。复数的乘法与多项式的乘法完全类似，只是在运算过程中要把 换成 ，然后把实部与虚部分别合并。
教学过程
师生互动
反思
模块一预习导学
复习回顾：
1.已知复数 ，其中纯虚数的是
2.复数 的实部是，虚部是
3.若复数 是虚数，则实数 的取值范围是
4.若复数 ，则实数a=
5．若 ，则实数x=，y=
模块二合作探究
探究一、复习回顾：实数运算法则
1、交换律： 或
2、结合律： 或
3、分配律:
探究二、复数的加、减、乘法运算法则：
（2）设 ，在复数集C内，你 ，求Z的值
模块三达标提升
1.(A级) 的值为
2.(A级)i表示虚数单位，则 =
3.(A级)计算： =
4.(B级)已知复数Z满足 ，求Z
导学：可采用待定系数法
5.(B级)若 则
高中数学 第三章 复数问题的五种求解方法素材4 苏教版选修12
复数问题的五种求解方法复数是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，是高考考查的重点内容．为帮助同学们掌握这部分内容，本文介绍几种简求复数题的常用方法，供参考．一、特殊值法对于含有参数范围的客观题，可选定参数范围内一特殊值代入，进行估算，排除干扰支，确定应选支．例1 当213m <<时，复数(32)(1)z m m i =-+-在复平面上对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解析：由于213m <<，取34m =，则1144z i =-，对应的点在第四象限，故选（D ）．二、运用特殊等式牢记一些常用的特殊等式，如2(1)2i i ±=±，313122i ⎛⎫-±= ⎪ ⎪⎝⎭等，有助于复数运算题的快速解决． 例2 计算97613(1)22i i ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭g ．解析： 原式96231313[(1)]2222i i i ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g33231313(2)2222i i i ⨯⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g13843422i i i ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭g ．三、运用共轭复数的性质 共轭复数的性质很多，如z 为实数z z ⇔=，z 为纯虚数z z ⇒=-，2z z z =g 等，若能灵活运用，可简化解题．例3 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最大值和最小值．解析：由2z =，得24z z z ==g ，则224(1)21z z z z z z z z z z z -+=-+=-+=-+g ，若设(2222)z a bi a b =+--≤≤，≤≤，则2421221z z a bi a bi a -+=+-+-=-． 所以当12a =时，2min 40z z -+=；当2a =-时，2max 410z z -+=．四、运用模的性质如果一个复数等式中，一边能够表示成实部和虚部，采用两边取模后，可将虚数问题转化为实数问题．例4 设复数z 满足关系式2z z i +=+，那么z 等于（ ）（A ）34i -+ （B ）34i - （C ）34i -- （D ）34i + 解析：原关系式可化为2z z i =-+，又|z|=||且为实数，两边取模得2(2)1z z =-+，解得54z =，则53244z i i =-+=+，故选（D ）． 五、运用方程一般设未知复数为()z x yi x y =+∈R ，，经运算后再根据复数相等的定义，即用实部与实部相等、虚部与虚部相等求解．例5 若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =，则z =_______．解析：设()z x yi x y =+∈R ，，把z iz =代入2z z i -=得(1)2i z i -=，从而()()2x y x y i i ++-+=，根据复数相等条件，得0121x y x x y y +==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，，，，∴1z i =-+．。
3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案
3. 复数的四则运算-苏教版选修1-2教案引言复数是一个常见的数学对象，它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本教案主要讲解复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
在苏教版选修1-2中，涉及到复数的知识点比较多，但是只要理解了基本的四则运算，就可以举一反三，轻松应对相关的题目。
复数的定义复数是一种可以写成实数和虚数相加的数，它的基本形式为 a+bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是一个虚数单位，满足 i²=-1。
复数的四则运算复数加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和为 (a+c)+(b+d)i。
换句话说，就是实部相加，虚部相加。
复数减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的差为 (a-c)+(b-d)i。
换句话说，就是实部相减，虚部相减。
复数乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。
复数乘法的运算规则可以用 FOIL 规则来表示：F(OIL)=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的商为 (ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
复数除法有点复杂，它需要用到分数的乘法和有理化技巧。
具体地，我们将要除数和被除数同时乘以共轭数，即 (c-di)。
这样，被除数的分母就变成了实数，于是我们就可以进行分数的除法，最终得到商的形式。
总结本教案主要介绍了复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
复数的定义比较简单，就是实数和虚数相加的形式，需要特别注意虚数单位 i 的运算规则。
复数的运算比较复杂，需要灵活运用分数的乘法和有理化技巧，掌握相关的运算规律后，就可以提高解题效率，并应用到其他相关的知识点中。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2素材 课堂导学 3.2 复数的四则运算
课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算 【例1】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R )，且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x ∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线，则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线，则2341Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++，求x 、y 的值. 解：i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5 ⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示 在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di ），并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0)，且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω. 解：ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----， ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0.三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i （z 3）=1-（i 3），求z .思路分析：(1)将方程两边化成a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z =x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2-i ［yi)(x 3+］=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二：∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0， 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ，则b=x -y i ，（x ,y ∈R ）,由条件得：(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x 解得：⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+，分以下三种情况： ①当n=3k 时，原式=ω3k +k 3ω=1+1=2；②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1； ③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上，原式=⎩⎨⎧≠-=kn k n 3,13,2(k ∈Z).。
高中数学 第三章《复数复习课》教学案 苏教版选修1-2
复数的复习课知识要点：1.基础知识总结（1）的概念：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，a ，b 分别叫做它的实部和虚数。
（2）复数的分类：复数),(R b a bi a ∈+，当0=b 时，就是实数；当0≠b 时，叫做虚数；当0,0≠=b a 时叫做纯虚数。
（3）的相等：如果两个复数的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
（4）共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
（5）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴去除原点的部分叫做虚轴。
（6）两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。
（7）相等的充要条件：d b c a di c bi a ==⇔+=+且（8）复数是实数的充要条件：①0=⇔∈+=b R bi a z ；②z z R z =⇔∈；③02≥⇔∈z R z（9）是纯虚数的充要条件：①bi a z +=是纯虚数),(00R b a b a ∈≠=⇔且；②z 是纯虚数)0(0≠=+⇔z z z ； ③z 是纯虚数02<⇔z2.基本方法总结：（1）本章主要的方法是复数问题实数化处理，主要是根据复数相等建立方程，通过解方程或方程组，达到目的。
（2）任何一个复数bi a z +=与复平面内一点),(b a Z 对应，而任一点),(b a Z 又可以与以原点为起点，点),(b a Z 为终点的向量OZ 对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何意义，特别注意||z ，||a z -的几何意义——距离。
（3）复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，注意12-=i 。
（4）加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则。
典型例题：【例1】在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A ，B 对应的复数分别为i 21+，i 53-，求另外两个顶点D C ,对应的。
【例2】.已知ω,z 为，z i )31(+为实数，i z+=2ω，且25||=ω，求ω。
高考数学 复数代数形式的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈ C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 ). ⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行 .
(a+bi )±(c+di) = (a±c) 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di (a,b,c,d是实数) (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
z ?zz ?
练习 1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值. 解: x1,2 1 i , 4 4 x1 x2 (1 i )4 (1 i )4 (2i )2 (2i )2 8. 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 复数的代数形式的乘、除运算2
1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义是什么？
2.计算（1）
（2）
3..复数的乘法法则：
4.共轭复数？
三.质疑探究
1..复数加法的几何意义
问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
由平面向量的坐标运算，有 = =（）
2.①复数的乘法法则：
。
②共轭复数：两复数 叫做互为共轭复数，当 时，它们叫做共轭虚数。
1.复数 的共轭复数是（）
A． B． C． D．
2.复数 的值是（）
A． B． C． D．1
教学反思
2.复数 的值是（）
A． B． C． D．1
五．当堂检测
1.（1） ，
（2） ，
（3）
2.如果复数 的实部和虚部互为相反数，那么实数 的值为（）
A． B． 2 C． D．
3.若 ，则 的值为
4.若复数 满足 ，则 的值为
六、作业布置课本61页第5题；
板
书
设
计
3.2.2复数的代数形式的乘、除运算
1.目标展示
宁县五中导学案
课题
3.2.2复数的代数形式的乘、除运算(2)
授课时间
课型
新授
二次修改意见
课时
1
授课人
科目
数学
主备
任树峰
教学目标
知识与技能
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念。
过程与方法
引导学生自主完成自学任务，给出问题现有学生自己解决，再小组讨论后师生共同解决
情感态度价值观
让学生用所学习的知识解决生活中的实际问题。
2019-2020年苏教版高中数学(选修1-2)3.2《复数的四则运算》word教案2篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修1-2）3.2《复数的四则运算》word 教案2篇一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数12的虚部是．3．复数相等的充要条件 a b i c d i a +=+⇔=且()b d a b c d =∈R ，，， 注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩RR实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应． 2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，． 3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有： 复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为z ． 三、复数代数形式的四则运算 1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±． 其运算法则类似于多项式的合并同类项 ②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有： 交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++． ③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2）， 根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=． 于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····． 分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数 a b i +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc adi c di c di c d c d++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．数系的扩充与复数的引入复习指导『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．『复习过程指导』在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：1数学思想方法之一：类比法 （1）复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．（2）复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：复数集C ＝{}|,a bi a b R +∈与坐标系中的点集{}(,)|,a b a R b R ∈∈一一对应．于是：复数集z ＝a bi +↔复平面内的点(,)Z a b复数集z ＝a bi +↔平面向量OZ 例1．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点 位于 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解答：复数1i i+＋(1＋3i )2＝1132i +++-＝31(22i -++因为复数31(22i -++对应着直角坐标平面内的点31(,22-+，故在第二象限，答案为B ．此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．例2．非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB ，若12||z z +=12||z z - 则向量OA 与OB 的关系必有（ ）A ．OA =OB B ．OA OB =C ．OA OB ⊥D ．OAOB ，共线 解答： 由向量的加法及减法可知：OC ＝ OA OB +AB ＝ OB OA -由复数加法以及减法的几何意义可知： 12||z z +对应OC 的模 12||z z -对应AB 的模又因为12||z z +=12||z z -，且非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB所以四边形OACB 是正方形 因此OA OB =，故答案选B ．注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义（3）复数的化简虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”． 例３若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 解答：由ii a 213++＝(3)(12)(12)(12)a i i i i +-+-＝226(32)12a a i++-+ ＝63255a a i +-+ 因为复数iia 213++是纯虚数所以605a +=且3205a-≠ 解得6a =-故答案选C ．注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数(12)(12)i i -+＝５，一般地（a bi +）（a b i -）＝22a b + 这也是一个复数与实数转化的过程，即63255a ai +-+是纯虚数可得：605a +=且3205a-≠， 2．数学思想方法之二 转化法我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．基础知识：复数a bi +(0)(0)(0)0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（ 例４若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则 实数a 的值为 ． 解答：12z z ＝222(2)(34)3434a i a i i i +++=-+＝38642525a a i -++ 因为12z z 为纯虚数 所以38025a -=且64025a +≠．解得83a = 例５．设a 、b 、c 、d R ∈，若a bic di++为实数，则，（A ）0bc ad +≠（B ）0bc ad -≠ （C ）0bc ad -=（D ）0bc ad +=解答： 由2222a bi ac bd bc adi c di c d c d++-=++++ 因为 a bic di++为实数，所以其虚部220bc adc d -=+，即0bc ad -=故答案选C ． 这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式． 类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．二．解题规律总结１有关虚数单位i 的运算及拓展虚数i 的乘方及其规律：1i i =，2i ＝－１，3i i =-，41i =，5678,1,,1i i i i i i ==-=-=…4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=…（n N *∈）拓展（1）任何相邻四个数的和为０；（2）指数成等差的四个数的和为０；例如：23212123n n n n i i i i --+++++＝０（3）连续多个数相加的规律． 例6．求101112i i i +++ (2006)i的值解答：共有2006－10＋１＝１997项由于1997＝4⨯499＋1 由于连续4个的和等于0因此原式＝10i ＝－12．有关复数的几个常用化简式 22(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i =-，11,11i ii i i i+-==--+ 例7（2005高考重庆2）．20051()1i i+=- （ ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－20052解答： 2005200545011()()1i i i i i i+===- 故答案选A 3．有关复数的综合运算例７、（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）解法一．设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-由于222||()2z z z i a b ai ++=++32i i-+＝22(3)(2)21i i --+＝1i - 所以222a b ai ++＝1i -根据复数的相等得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b =-=因此，12z =-±即为所求． 解题评注：（1）设复数的代数形式（z =(,)a bi a b R +∈）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（a bi +＝c di +⇔,a c b d ==(,,,a b c d R∈）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；三．高考命题趋势从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.2 复数的四则运算》
复数的除法运算
教学目标：
知识与技能目标：
理解并掌握复数的代数形式的除法运算法那么，熟练进行复数除法的运算。
了解共轭复数的定义及性质
过程与方法目标：
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法那么的运用。
教学过程：
一、复习回忆，新课引入：
问题1、完成练习：〔1〕〔2〕〔3〕问题2、总结复数加、减、乘法运算法那么
加法：
减法：
乘法：
问题3、的共轭复数：
共轭复数性质：，，
二、师生互动、新课讲解：
问题4、复数满足，求
问题5、复数除法定义：
满足的复数叫做除以的商，其中是实数，记为或
思考：〔1〕计算
〔2〕类比化简无理分式的方法，你能给出问题4中其他的解法吗？问题6、除法法那么：
，cdi≠0
总结：分子分母同乘以分母的共轭复数，即把分母“实数化〞
三、稳固练习
问题7、计算：
练习：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕
〔6〕
变式1：，求实数
变式2：假设，，且为纯虚数，求实数的值
四、课堂小结
本节课你有哪些收获？。
复数的解题技巧
复数的解题技巧
解决复数数学问题的技巧和方法如下：
1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的，一般表示为a+bi （其中a为实部，b为虚部）。
2. 复数的四则运算：加减乘除。
对于同类项之间的加减法，只需要分别对实部和虚部进行运算；对于乘法，先对实数部分做乘法，在对虚数部分做乘法；对于除法，需要通过有理化分母的方法将分母转化为实数。
3. 共轭复数：共轭复数指的是，对于一个复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi，即虚部取负数。
4. 模长和幅角：模长指的是一个复数到原点的距离，可以通过勾股定理求出。
即|z|=√(a+b)。
而幅角则指的是复数在平面直角坐标系中与正实轴的夹角，可以通过反三角函数求出。
即θ=tan(b/a)。
5. 解方程：当涉及到复数解时，我们需要根据题目要求，将方程中的实部和虚部分别列出来，然后使用复数的四则运算，最终得到复数解。
6. 注意事项：在使用复数进行运算时，需要特别注意计算细节，尤其是在乘法和除法中更容易出错。
同时，对于复数的定义、模长和幅角等概念也需要掌握清楚，才能够正确地解决问题。
总之，复数是数学中的一种重要概念和工具，应用非常广泛。
熟练掌握复数的基本概念和运算方法，可以帮助我们高效地解决各种数学问题。
苏教版数学高二- 选修1-2教案 3.2复数的代数形式的加减运算
计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
四、精讲点拨
1.复数的加法法则及几何意义： ，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行
2复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若 ，则 。
五、当堂检测
例1．计算（1）
学法
合作交流
教具
多媒体,刻度尺
课堂设计
一、目标展示
复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
二、预习检测
1.与复数一一对应的有？
2.试判断下列复数 在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3.同时用坐标和几何形式表示复数 所对应的向量，并计算 。向量的加减运算满足何种法则？
4.类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
课题
授课时间
课型
教学目标
知识与技能
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
过程与方法
引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导。
情感态度价值观
让学生用所学习的知识解决生活中的实际问题。
教材分析
重难点
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义
教学难点：加、减运算的几何意义
教学设想
教法
引导探究，三主互位导学法
（2）
（3）
（4）
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出 ， 所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
六、作业布置课本61页第1,2题；
板
书
设
计
1.目标展示
2.复数的加法法则及几何意义：
3.复数的减法及几何意义
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
教学反思
苏教版数学高二数学苏教版选修1-2知识必备3.2复数的四则运算
3.2 复数的四则运算知识梳理1.复数的加减法两个复数相加（减）就是把_____________，即a+bi±(c+di)=_____________.2.复数的乘除法（1）设Z 1=a+bi,Z 2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=_____________，它们的商(a+bi)÷(c+di)=_____________(c+di≠0)（2）在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi)÷(c+di)写成_____________形式，再把分子分母都乘以_____________.3.共轭复数当两个复数的实部_____________，虚部互为_____________时，这两个复数叫做互为_____________.4.i 的幂的周期性i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________i 4n+3=___________.(n ∈N *)5.常用的1±i,w 的运算规律. ①i 1=___________,(1±i)2=___________,ii -+11=___________; ②设w=2321+-i,则w 2=___________，w+w =___________， w·w =___________，1+w+w 2=_____________，w n +w n+1+w n+2=___________(n ∈Z );w 3k = ___________,w 3k+1=___________,w 3k+2=___________(k ∈Z ).疑难突破1.复数的减法法则剖析：课本上规定(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi(x,y ∈R )叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数的加法法则和复数相等的定义有⎩⎨⎧=+=+.,b y d a x c 即x=a-c,y=b-d.∴x+yi=(a-c)+(b-di)在学习复数的减法时，首先类比实数的减法规定复数的减法也是加法的逆运算，即用加法定义两个复数的差，然后只要根据复数的加法，复数相等的条件就可以得到复数减法的法则.这里实际上使用的是待定系数法，也是确定复数的一个一般方法.2.复数的除法在学习复数的除法时，可类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则.规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数x+yi,叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商.经计算可得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.根据复数相等的定义，有cx-dy=a,dx+cy=b.由此x=22d c bd ac ++,y=22d c ad bc +-于是(a+bi)÷(c+di)=22d c bd ac +++22d c ad bc +-i(c+di≠0)这就是复数的除法法则.而如果在实际进行复数的除法运算时，每次都按照乘法的逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的.可以设想解决的办法，类比根式的除法，从而得到简便的操作方法.先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简.典题精讲【例1】 计算（1）ii 32132+-+(5+i 19)-22)21(i +; (2)5)31()22(i i -+.思路分析：利用特殊复数的性质进行运算如i 的乘方、及w 性质的运算、关键是变形. 解：（1）i i 32132+-+(5+i 19)-22)21(i+ =i i i 321)321(+++[5+(i 4)4·i 2·i]-11221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+i =i+5-i-i 11=5+i（2）含w=i 2321+-则w 3=1 于是 525544542)2()2321(2)1(2)31()22(wi i i i i -=+--+=-+ =62ww =2w=-1+i 3 绿色通道：（1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,w 3=1,巧用这些性质，可以快速解答许多问题，因此，记住这些小结论将是有益的.【变式训练】（1）计算i i i i 212)1()31(63++--++-; (2)823123⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--i i .思路分析:计算（a+bi)时，一般按乘法法则进行计算，对于复数1±i 计算它的n(n 大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1±i 的平方；对于复数2321±±计算它的n 次方根时，（n 为大于或等于3的自然数）常先计算它的立方.解：原式=5)21)(2(])1[()31(323i i i i -+--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i 8)3()3)(1(33)1(3)1(3223-+-•+-•+--i =i88--i=i-i=0. （2）设w=231i +-则w 3=23i -=wi ∴原式=(wi+w)8=w 8(1+i)8=w 6×w 2(2i)4=16w 2=16(-21-i 23) =-8-i 38.【例2】设Z 是虚数，w=ZZ 1+是实数，且-1＜w ＜2. （1）求Z 的实部的取值范围；（2）设μ=ZZ +-11求证μ为纯虚数； （3）求w-μ2的最小值.思路分析：本题考查复数的基本概念及根据基本不等式求最值问题.（1）（2）利用基本概念求解，（3）中不难得到w-μ2=2a-11+-a a =2a-1+12+a =2(a+1)+12+a -3再利用均值不等式求得最小值，还要注意结论等号是否能成立.解：（1）设Z=a+bi(a,b ∈R ,b≠0) w=a+bi+)()(12222i ba b b b a a a bi a +-+++=+ ∵w 是实数，b≠0 ∴b-22b a b +=0. ∴w=2a ∵-1＜w ＜2 ∴-21＜a ＜1 ∴Z 的实部的取值范围是)1,21(- (2)μ=i a b b a bi b a bi a bi a Z Z 1)1(2111112222+=+++--=++--=+- ∵a ∈)1,21(- b≠0,∴μ为纯虚数.（3）w-μ2=2a+22)1(+a b =2a+22)1(1+-a a =2a-11+-a a =2a-1+12+a =2[(a+1)+)1(1+a ]-3. ∵a ∈)1,21(-,∴a+1＞0, ∴w-μ2≥2×2-3=1,∴当a+1=11+a 即a=0时 上式等号成立，∴w-μ2的最小值是1.绿色通道：设Z=a+bi 将复数问题实数化，是解决复数问题的基本思想；另外，在利用不等式求最值时，特别要注意三点：①自变量是否有范围；②等号是否能够成立（在变量的范围下）；③要注意恒等变形，配凑成能使用不等式的形式.【变式训练】 设i 是虚数单位，复数w 和Z 满足Zw+2iZ-2iw+1=0，若Z 和w 又满足-Z=2i,求w 和Z 的值.思路分析:设复数的代数形式，进而将复数问题转化为实数问题，是解决复数问题时常用的解题技巧.解：∵w -Z=2i ∴Z=w -2i代入Zw+2iZ-2iw+1=0得 （w -2i)w+2i(w -2i)-2iw+1=0∴w w -4iw+2i w +5=0设w=x+yi(x,y ∈R ),则上式可变为（x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,∴x 2+y 2+6y+5-2xi=0, ∴⎩⎨⎧==+++.02,05622x y y x∴⎩⎨⎧-==.1,0y x 或⎩⎨⎧-==.5,0y x ∴w=-i,Z=-i 或w=-5i,Z=3i.【例3】 已知Z=1+i(1)设w=Z 2+3Z -4求w;（2）如果122+-++Z Z b aZ Z =1-i ；求实数a,b 的值. 思路分析：（1）采用代入法求出w;（2）代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解.解：（1）∵Z=1+i,∴w=Z 2+3Z -4=(1+i)2+3(i +1）-4=-1-i.(2)由122+-++Z Z b aZ Z =1-i ，把Z=1+i 代入得 1)1()1()1()1(22++-+++++i i b i a i =1-i ， ∴ii a b a )2()(+++=1-i,∴(a+b)+(a+2)i=1+i ∴⎩⎨⎧=+=+.1,12b a a 得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 绿色通道：通过复数相等的定义，把虚数问题转化成实数问题，是复数重要的数学思想，代入化简时，注意复数的运算技巧.【变式训练】 已知Z 1满足（Z 1-2）i=1+i,复数Z 2的虚部为2，且Z 1·Z 2是实数，求复数Z 2的值.思路分析:本题考查复数的乘法，除法的运算法则.解：由（Z 1-2）i=1+i,得Z 1=ii +1+2=(1+i)(-i)+2=3-i ∵Z 2的虚部为2，∴可设Z 2=a+2i(Z ∈R )Z 1·Z 2=(3-i)(a+2i)=(3a+2)+(6-a)i 为实数∴6-a=0,即a=6 因此Z 2=6+2i.问题探究对于任意一个非零复数Z ，M z ={w ｜w=Z 2n-1,n ∈N *}（1）设α是方程21=+x x 的一根，试用列举法表示集合M α,若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P.（2）若复数w ∈M z ,求证M w ⊆M Z .导思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，化简的依据是i 的周期性，即i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i(n ∈N )复数的代数形式运算，基本思路是直接用法则运算，但有时能用上特殊复数i 或w 的一些性质，以及一些常见的结论如(1+i)2=2i(1-i)2=-2i,ii -+11=i 等，可更有效的简化运算，提高计算速度. 探究：（1）由方程21=+xx ,得x=22±i 22 当α1=22+i 22时，w=α12n-1=1121212222)(ααααn n n i i =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=由i n 的周期性知，w 有四个值.n=1时，w=i i i22222222+=+; n=2时，w=i i 222222221+-=+-; n=3时，w=i i i22222222--=+- n=4时，w=i i 222222221-=+. 当α2=i 2222-时，w=α22n-1=2222)()(αααn n i -= n=1时，w=i i i22222222-=--; n=2时，w=i i 222222221--=--; n=3时，w=i i i22222222+-=-; n=4时，w=i i 222222221+=-; ∴不论α=i 2222+，还是α=i 2222- M α=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+--+i i i i 2222,2222,2222,2222 则P=3162224==C(2)∵w∈M z则w=Z2m-1m∈N,任取x∈M z则x=w2n-1,n∈Z,而w=Z2n-1∴x=(Z2m-1)2n-1=Z(2m-1)(2n-1). ∵(2m-1)(2n-1)为正奇数，∴x∈M Z, ∴M w≤M Z.。
苏教版数学高二- 选修1-2素材 3.2确定复数须认识那些注意事项
3.2 确定复数须认识那些注意事项确定复数是复数问题中的最基本的问题.不掌握复数的确定就谈不上解决复数的其他问题.但复数的确定也须要认识到许多注意事项.一.除掌握待定系数法外还应认识到复数模长的解题功效例1. 已知i z z +-=-1,求复数z .分析：因为每一个复数z 都可表为a ＋bi 的形式（a ，b ∈R ）.欲求z,只需求a 、b.为此,把z ＝a ＋bi 代入已知等式中,便可根据复数相等的条件,列出关于a ，b 的方程组.解：设复数()R b a bi a z ∈+=,,则a bi a bi i a ab bi i +-+=-+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=-+1122，即由复数相等，得：a a b b a b -+=-=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎩221101 ∴=+=+⋅=z a bi i i 01.题后反思：以上解法是利用复数相等的条件，把复数问题转化为实数问题求解的，也就是说，“复数相等”是“由虚化实”的桥梁。
另外，注意到本题的条件式的特征，含有z 、|z|，其他项为已知数，若能求出|z|，代入已知等式，则也能求出z.为此，需考虑复数模的性质作变形.由得：，两边同时取模，得：z z i z z i -=-+=-+11 ()z z i z z z =-+=-+11122，即，解关于的方程，得：z z i z i =-=-+∴=111，代入原等式，得：，（这是解决复数问题的一种基本方法）.二. 确定复数时还应注意一些特定的判断工具 例2.已知复数Z 满足i Z Z 44-=-且R Z Z Z ∈--+114,求z.. 分析：确定一个复数要且仅要两个实数a 、b,而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a 、b 确定z.解：设z=x+yi(x ，y ∈R)将z=x+yi 代入|z -4|＝|z -4i|可得x ＝y ，∴z=x+xi(2)当|z -1|2＝13时，即有x 2-x -6=0 则有x=3或x=-2综上所述 故z ＝0或z=3+3i 或z=-2-2i题后反思：判断一个复数是否为实数除用定义外,还可用⇔∈R Z Z Z =,使运算简化．注意熟练地运用共轭复数的性质,其性质有：(),2,Z R Z Z Z Z =+=(),,,,22121212122Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z iI Z Z ⋅=⋅±=±==⋅=-()022121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Z Z Z Z 等.三.确定复数时还应注意共轭复数的涵义例3.已知R y x ∈,,且()i x y x x +++222和()i y x 13+-是共轭复数,求复数yi x z +=和z .分析：共轭复数的涵义是：实部相等，而虚部互为相反数的两个复数。
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复数常用的几种处理方法数的扩充，带来了复数的引入，从而解决了我们所遇到的一些新问题．下面举例来谈谈复数问题的处理策略．一、数形结合例1、若121==z z 且221=+z z ，求21z z -．分析：由已知条件不难联想到本题所隐含的“形”是12z z +和21z z -是以1OZ u u u u r 和2OZ u u u u r为两邻边的平行四边形的两条对角线的长．解：如图1所示，由121==z z ，221=+z z 知四边形为正方形．故另一条对角线长221=-z z ．点拨：这样巧妙地以形译数，数形结合不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用．例2、若复数53=-i z ，求2+z 的最大值和最小值． 分析：利用复数的几何意义求最值．解：如图2，满足53=-i z 的复数z 所对应的点是以()3,0C 为圆心，5为半径的圆．2+z 表示复数z 所对应的点Z 和点()0,2-A 的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A 距离的最大值与最小值是过A 的圆的直径被A 点所分成的两部分． ∴()()13300222=-+--=AC ，∴1352,1352min max -=++=+z z ．点拨：利用复数的几何意义解题，形象直观，提高数形结合的解题能力． 二、待定系数法例3、已知,x y 为共轭复数，且2()346x y xyi i +-=-，求,x y . 分析：解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.图1 图2解：设(x a bi a =+、)b R ∈，则y a bi =-，代入原式，得222(2)3()46a a b i i -+=-，根据复数相等得22244,3()6,a ab ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩解得1,1;a b =⎧⎨=⎩ 或1,1;a b =⎧⎨=-⎩ 或1,1;a b =-⎧⎨=⎩或1,1;a b =-⎧⎨=-⎩∴所求复数为1,1;x i y i =+⎧⎨=-⎩或1,1;x i y i =-⎧⎨=+⎩或1,1;x i y i =-+⎧⎨=--⎩ 或1,1.x i y i =--⎧⎨=-+⎩点拨：利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想. 例4、已知|2|2z -=，且4z R z+∈，求z . 解：设(z a bi a =+、)b R ∈，则|(2)|2a bi -+=.①依题意，得22222244()44()()()()a bi a ba bi a bi ab i a bi a b a b a b-++=++=++-++++. 4z R z +∈Q ,∴224(1)0b a b-=+.②由①、②，得0,2;b =⎧=或224, 2.a b ⎧+=⎪= 解得0,0a b =⎧⎨=⎩（舍）；4,0;a b =⎧⎨=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1234,11z z z ∴===.三、取模法例5、已知||2z z i +=+，求||z .解：由题设知2||z z i =-+,两边同时取模，得||z =平方，得22||44||||1z z z =-++.||||z z =Q ,4||5z ∴=,5||4z =,5||4z ∴=. 点拨：显然，上述两边取模的方法从整体的角度来处理，比利用复数相等的充要条件来处理要简捷得多.例6、已知z 、ω为复数，(13)i z +为纯虚数，2ziω=+，且||ω=ω. 分析：设(z a bi a =+、)b R ∈，利用复数为纯虚数的充要条件求得z ，再代入求ω. 解法1：设(z a bi a =+、)b R ∈，则(13)3(3)i z a b a b i +=-++.由题意，得30a b =≠.||2ziω==+Q||z ∴==将3a b =代入，解得15a =±,5b =±.故15(7)2ii iω+=±=±-+. 解法2：由题意，设(13),0i z ki k +=≠，且k R ∈，则(2)(13)kii i ω=++.||ω=Q 50k ∴=±.故(7)i ω=±-.四、方程思想例7、在复数范围内解方程23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）. 解：原方程化简为2||()1z z z i i ++=-.设(z x yi x =+、)y R ∈，代入上述方程得 2221x y xi i ++=-,221,2 1.x y x ⎧+=∴⎨=-⎩解得1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ ∴原方程的解是122z =-±. 点拨：本题主要考查复数方程等知识，一般是设出代数形式，利用复数相等的充要条件转化为代数方程.例8、已知2{(3)(1),8}M a b i =++-，集合2{3,(1)(2)}N i a b i =-++同时满足M N M ⋂Ø，M N ⋂≠∅，求整数,a b .解：依题意得：2(3)(1)3a b i i ++-=，① 或28(1)(2)a b i =-++，②由①得，3,2a b =-=±，经检验，3,2a b =-=-不合题意，舍去. 3,2a b ∴=-=.由②得，3,2a b =±=-，又3,2a b =-=-. 3,2a b ∴==-.综合①、②得3,2a b =-=或3,2a b ==-..点拨：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，解题时应注意思维的广阔性和严谨性的训练.五、转化思想例9、当实数m 为何值时，226(56)3m m z m m i m --=++++. （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数z 对应的点在复平面的第二象限内.分析：根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.解：（1）若z 为实数，则2560,30,m m m ⎧++=⎨+≠⎩得2m =-.（2）若z 为虚数，则2560m m ++≠，且30m +≠，得2m ≠-，且3m ≠-且m R ∈.（3）若z 为纯虚数，则2260,3560m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪++≠⎩得3m =.（4）若复数z对应的点在第二象限，则2260,3560m m m m m ⎧--<⎪+⎨⎪++>⎩3,23,3, 2.m m m m <--<<⎧⇒⎨<->-⎩或或 3,23m m ∴<--<<或.点拨：本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式，若不然，则应先化为代数形式再依据概念求解.例10、计算：（1；（2）81()22i +-. 分析：（1）将45i +化为(54)i i -，使分子、分母可以约分，简化了运算.（2）找到括号内两个复数之间的内在联系：1()22i i +=-是简化运算的关键. 解：（1）原式=34222)(54)))])(54)(1)(1)(1)2i i i i i i ii i i i i i +-++====----+；（2）设ω=，则31ω=i ω=.∴原式=888()(1)i i ωωω+=+=6242(2)16i ωωω⋅==2116()822i --=-+. 点拨：（1）复数a bi +与b ai -及b ai -+有如下关系：b ai -=()()a bi i +⋅-，b ai -+=()a bi i +⋅本例的两个小题都运用了上述关系，达到了简化运算的目的.（2）分子分母同乘以1i +，使分母实数化，也是常用的化简技巧. 六、分类讨论例11、已知286z i =+，求310016z z z--. 分析：如果由题设求86i +的平方根z ，再代入计算，则会很复杂，所以可以先对所求式子进行变换，需要什么，再由已知条件求什么.解：原式=42222216100(8)164(6)164200200200||z z z i z zz z z z z zz-----===-=-=-， 22|||||86|10z z i ==+=Q ，又由2286[(3)]z i i =+=±+，得(3)z i =±+，3z i ∴=-或3z i =-+当3z i =-时，原式=200(3)602010i i ⨯--=-+.当3z i =-+时，原式==200(3)602010i i ⨯-+-=-.综上，原式=6020i -+或6020i -.点拨：（1）求一个数的平方根有两个基本方法：①设出代数形式，然后根据复数相等的充要条件求解；②配方，如上例中的解法.（2）对于条件求值问题，何时使用条件，应根据问题而定，一般情况下，应先化简再求值.例12、已知复数z 满足|4||4|z z i -=-且141zz R z -+∈-，求z 的值. 分析：确定一个复数需且仅需两个实数a 、b ，而题目恰给出了两个独立条件，采用待定系数法可求出a 、b 确定z .判断一个复数是否为实数除用定义外，还可用z R z z ∈⇔=，可使运算简化. 解：设(z x yi x =+、y R ∈），141zz R z -+∈-Q ，141411z z z z z z --∴+=+--，即13()[1]0(1)(1)z z z z --=--，解得z z =或2|1|13z -=将z x yi =+代入|4||4|z z i -=-，可得x y =，z x xi ∴=+当z z =时，即z R ∈，则有0x =；当2|1|13z -=时，即有260x x --=，则有3x =或2x =-.综上所述，0z =或33z i =+或22z i =--.点拨：注意熟练运用共轭复数的性质，其性质有： ||||z z =，2z z a +=，2z z bi -=，22||||z z z z ⋅==，12z z ±12z z =±，12z z ⋅12z z =⋅， 11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.。