2014广东省高考数学圆锥曲线的反思与探索
一、求轨迹方程的常见方法
1、直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1. 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2
x PB PA =?，则点P 的轨迹为（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
2、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例 2. 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且
b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
3、代入法：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例3. 如图，从双曲线1:2
2
=-y x C 上一点Q 引直线
2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
4、几何法：几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例 4. 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.
5、参数法： 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例 5. 过抛物线px y 22
=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程. C
B y
x
O A
y Q O
x
N P
6、交轨法:求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6. 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线
12
2
22=-b y a x 于M 、N 两点，2
1,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
二、圆锥曲线的最值问题
方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
例1、已知点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |
的最小值为________．
方法2：数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：
①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．
例2、求椭圆x 22＋y 2
＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐
标．
方法3：参数法（函数法）
① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；② 求解关于这个参数的函数最值.
例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 2
3＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为
________．
方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示． ②利用基本不等式求得表达式的最值． 例4、求椭圆x 23＋y 2
＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．
x
A 1 A 2
O y
N
M P
三、圆锥曲线的范围问题
方法1：曲线几何性质法 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
例1、已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝
4|PF 2|，则此双曲线中a
c
的取值范围是________．
方法2：判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零，再结合曲线性质求解．
例2、在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2
＝1有两个不同的交点P 和Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →
共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．
五、圆锥曲线的定值、定点问题
方法1：特殊到一般法：根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题
① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
方法2：引进参数法：定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).
① 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点 例、已知双曲线
C ：x 2－
y 2
2
＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．
答案：一、求轨迹方程的常见方法
1、直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1. 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2
x PB PA =?，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
解：),3(),,2(y x PB y x PA --=---= ，2)3)(2(y x x PB PA +---=?∴2
2
6y x x +--=. 由条件，2
2
2
6x y x x =+--，整理得62
+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D. 2、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例 2. 已知ABC ?中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且
b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2，即4||2||||==+AB CB CA ， 又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3=
'b ，故C 的轨迹方程为
)2,0(13
42
2-≠<=+x x y x . 3、代入法：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例3. 如图，从双曲线1:2
2
=-y x C 上一点Q 引直线
2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. N 在直线l 上，
.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得
,11
1
=--x x y y 即011=-+-x y y x .②
联解①②得???
????-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.
4、几何法：几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条
件，从而得到动点的轨迹方程.
例 4. 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方C
B y
x
O A
y Q O
x
N P
解：由平面几何知识可知，当ABM ?为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为
AB 的中点)1,1(--，半径为2
522
1
=
AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为
13)1()1(22=+++y x .
5、参数法： 参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例 5. 过抛物线px y 22
=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k
1
-
.直线OA 的方程为kx y =，由???==px y kx y 22
解得???????=
=k
p
y k p
x 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -.由中点坐标公式，得
???
???
?-=+=pk k p y pk k p x 2
2
，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 6、交轨法:求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6. 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线
12
2
22=-b y a x 于M 、N 两点，2
1,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得： 直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=
①；直线N A 2的方程为)(11
a x a
x y y -+-=②. ① ② 得)(2
22
21212
a x a
x y y ---=③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(2
2222a x a b y --=，化简得12222=+b
y a x ，
此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆
二、圆锥曲线的最值问题 方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
例1、已知点F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |
的最小值为________．
x
A 1 A 2
O y
N
M P
解析：如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5，即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线，即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9. 方法2：数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：
①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值． 例2、求椭圆x 22＋y 2
＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，
并求取
得最值时椭圆上点的坐标．
解：设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝±3. 当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝
62
， 将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝3
3，
即椭圆上的点????
－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62； 当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝
36
2
， 将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－3
3，
即椭圆上的点??
??
233
，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法（函数法）
② 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；② 求解关于这个参数的函数最值.
例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 2
3＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为
________．
解析：因为椭圆x 23＋y 2
＝1的参数方程为???
x ＝3cos φy ＝sin φ，
(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，
其中0≤φ＜2π. 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2???
?32cos φ＋12sin φ＝2sin ????φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.
方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示． ②利用基本不等式求得表达式的最值． 例4、求椭圆x 23＋y 2
＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．答案：矩形ABCD 面积的最大值为23.
三、圆锥曲线的范围问题
方法1：曲线几何性质法 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
例1、已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝
4|PF 2|，则此双曲线中a
c
的取值范围是________．答案：????1，53 方法2：判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零，再结合曲线性质求解．
例2、在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2
＝1有两个不同的交点P 和Q .
(1)求k 的取值范围；
(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →
共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
代入椭圆方程，得x 2
2＋(kx ＋2)2＝1，整理得????12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.① 由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，得Δ＝8k 2－4????12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－
22或k ＞22，即k 的取值范围为????－∞，－22∪???
?2
2，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．
由方程①，知x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2
)＋22＝22
1＋2k 2
.③ 由A (2，0)，B (0,1)，得AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →
共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝
22.由(1)知k ＜－22或k ＞22
， 五、圆锥曲线的定值、定点问题
方法1：特殊到一般法：根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题
② 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
方法2：引进参数法：定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).
② 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点 例、已知双曲线
C ：x 2－
y 2
2
＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．
证明：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，
代入双曲线方程，得y ＝±2，即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.
(2)当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则
|b |
1＋k
2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0，
则x 1＋x 2＝2kb 2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2
＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋
2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)
2－k
2
，由于b 2＝2(1＋k 2)， 故x 1x 2＋y 1y 2＝0,即OA →·OB →＝0,∠AOB ＝90°.综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点，则∠AOB 的大小为定值90°.