高中数学1.2.1函数的概念学案新人教A版必修5

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1.2.1 函数的概念

自主学习

1.理解函数的概念,能用集合与对应的语言刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.

2.通过实例领悟构成函数的三要素;会求一些简单函数的定义域.

3.了解区间的概念,体会用区间表示数集的意义和作用.

设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.2.函数的三要素是定义域、值域和对应关系.

3.由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则称这两个函数相同.

4.(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b].

(2)满足不等式a

(3)满足不等式a≤x

b),(a,b].

(4)实数集R用区间表示为(-∞,+∞).

(5)把满足x≥a.,x>a,x≤b,x

对点讲练

判断对应是否为函数

【例1】判断下列对应是否为函数:

(1)x→2

x

,x≠0,x∈R;(2)x→y,这里y2=x,x∈N,y∈R;

(3)集合A=R,B={-1,1},对应关系f:当x为有理数时,f(x)=-1;当x为无理

数时,f (x )=1,该对应是不是从A 到B 的函数?

分析 函数是一种特殊的对应,要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:

(1)定义域和对应关系是否给出;

(2)根据给出的对应关系,自变量x 在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y 与之对应.

解 (1)对于任意一个非零实数x ,2

x

被x 唯一确定,

所以当x ≠0时,→2

x

是函数,

这个函数也可以表示为f (x )=2x

(x ≠0).(2) 当x=4时,y 2

=4,得y=-2,不是有唯一

值和x 对应,所以,x →y (y 2

=x )不是函数.

(3)是函数,满足函数的定义,在A 中任取一个值,B 中有唯一确定的值和它对应. 规律方法 判断函数的标准可以简记成:两个非空数集A 、B ,一个对应关系f ,A 中任一对B 中唯一(即多对一或一对一).

变式迁移1 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数:

(1)A=R ,B=R ,对任意的x ∈A ,x →x 2

(2)A={(x ,y )|x ,y ∈R},B=R ,对任意的(x ,y )∈A ,(x ,y )→x+y ; (3)A=B=N*,对任意的x ∈A ,x →|x-3|. 解 (1)是.

(2)不是,因为集合A 不是数集.

(3)不是,因为当x =3时,在集合B 中不存在数值与之对应.

已知解析式求函数的定义域

【例2】 求下列函数的定义域: (1)y =

3

1-1-x ; (2)y =-x 2x 2-3x -2; (3)y =2x +3-12-x +1

x

.

分析 求函数定义域,其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围.

解 (1)要使函数有意义,需⎩⎨

1-x ≥0,

1-1-x ≠0

⇔⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ≤1x ≠0⇔x ≤1且x ≠0,所以函数y

3

1-1-x

的定义域为(-∞,0)∪(0,1].

(2)要使函数有意义,需⎩

⎪⎨⎪⎧

-x ≥0,

2x 2

-3x -2≠0

⇔⎩

⎪⎨⎪

x ≤0,x ≠2且x ≠-1

2⇔x ≤0且x ≠-1

2

.

故函数y =-x

2x 2-3x -2

的定义域为

⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎦

⎥⎤-12,0. (3)要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪

2x +3≥0,2-x >0,

x ≠0.

解得-3

2≤x <2且x ≠0,

所以函数y =2x +3-

12-x +1

x

的定义域为

⎣⎢⎡⎭

⎪⎫-32,0∪(0,2). 规律方法 求函数定义域的原则:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数;(3)零指数幂的底数不等于零等. 变式迁移2 求下列函数的定义域:

(1)f (x )=6x 2-3x +2; (2)f (x )=3x -1+1-2x +4; (3)f (x )=x +0

|x |-x .

解 (1)由x 2

-3x +2≠0,得x ≠1,x ≠2. ∴f (x )=

6

x 2-3x +2

的定义域是{x ∈R |x ≠1且x ≠2}.

(2)由⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x -1≥01-2x ≥0,得13≤x ≤1

2

.

∴f (x )=3x -1+1-2x +4的定义域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤13,12.

(3)由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x +1≠0|x |-x ≠0,得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ≠-1

|x |≠x ,

∴x <0且x ≠-1,

∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠-1}.

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