数值分析非线性方程的数值解法
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
数值分析第七章非线性方程的数值解法
数值分析第七章非线性方程的数值解法在数值分析中，非线性方程和非线性方程组的求解是非常重要的问题。
线性方程是指变量之间的关系是线性的，而非线性方程则指变量之间的关
系是非线性的。
非线性方程的数值解法是通过迭代的方式逼近方程的解。
非线性方程的求解可以分为两类：一元非线性方程和多元非线性方程组。
接下来，我们将对这两类方程的数值解法进行介绍。
对于一元非线性方程的数值解法，最常用的方法是二分法、牛顿法和
割线法。
二分法是一种直观易懂的方法，其基本思想是通过迭代将方程的解所
在的区间逐渐缩小，最终找到方程的解。
二分法的缺点是收敛速度较慢。
牛顿法是一种迭代法，其基本思想是通过选择适当的初始值，构造出
一个切线方程，然后将切线方程与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。
牛顿法的优点是收敛速度较快，但其缺点是初始
值的选择对结果影响很大，容易陷入局部极值。
割线法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过选择两个初始值，构造
出一条割线，然后将割线与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直
到满足精度要求。
割线法的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
对于多元非线性方程组的数值解法，最常用的方法是牛顿法和拟牛顿法。
牛顿法的思想同样是通过构造切线方程来进行迭代，但在多元方程组中，切线方程变为雅可比矩阵。
牛顿法的优点是收敛速度快，但同样受初
始值的选择影响较大。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过逼近Hessian矩阵来进行迭代，从而避免了计算雅可比矩阵的繁琐过程。
拟牛顿法的收敛性和稳定性较好，但算法复杂度相对较高。
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值分析实验报告4
function f=gg(x) f=sqrt(2.5-(x^3)/4); end
则三种方法运行出的结果分别为： >> BDD(1.5) k= 20 ans = 1.365229578333959 >> WA(1.5) k= 6 ans = 1.365230351032824 >> ATJ(1.5) k= 4 ans = 1.365230013413594 （5）在 MATLAB 的 Editor 中建立一个 M-文件，输入程序代码，实现 matlab 自带函数求根 的程序代码如下：
>>format long BDD(1.5) k= 7 ans = 1.365230575673434
（2）在 MATLAB 的 Editor 中建立一个 M-文件，输入程序代码，实现加权加速求根的程序 代码如下：
function [y,n]=WA(a,eps) if nargin==1 eps=1e-16; end syms x L=subs(diff(sqrt(10/(4+x))),a); xl=gg(a,L); n=1; E=abs(xl-a); while (E>=eps)&(n<=10000) x=xl; xl=gg(x,L); n=n+1; E=abs(xl-x); end
在 command Windows 中输入命令：XJF(1.5)，得出的结果为：
>> XJF(1.5) k= 5 ans = 1.365230020178121 （8）在 MATLAB 的 Editor 中建立一个 M-文件，输入程序代码，实现抛物线法求根的程序
代码如下：
function [y,n] = parabola(fx,a,b,c,eps) if(nargin == 4) eps=1e-6; syms x fa = subs(fx,a); fb = subs(fx,b); fc = subs(fx,c); fb_a = (fb-fa)/(b-a); fc_b = (fc-fb)/(c-b); fc_b_a = (fc_b - fb_a)/(c-a); w = fc_b + fc_b_a*(c-b); x0 = c - 2*fc/(w+(w^2 - 4*fc*fc_b_a)^.5); n=1; if(abs(x0-c) > eps && n <= 10000) a=b; b=c; c=x0; fa = subs(fx,a); fb = subs(fx,b); fc = subs(fx,c); fb_a = (fb-fa)/(b-a); fc_b = (fc-fb)/(c-b); fc_b_a = (fc_b - fb_a)/(c-a); w = fc_b + fc_b_a*(c-b); x0=c - 2*fc/(w+(w^2 - 4*fc*fc_b_a)^.5); n=n+1; end y=x0; n; end end
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
非线性方程求解数值分析上机实验报告
实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton 法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。
重复运行计算，直至满足精度为止。
这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。
数值分析第七章 非线性方程与方程组的数值解法0607)
一、二分法
3. 二分法的一个例题
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到
小数点后2位.
k ak
bk
xk
f(xk)符号
0 1.0
1.5
1.25
−
1 1.25
1.375
+
2
1.375 1.3125
−
3 1.3125
1.3438
+
4
1.3438 1.3281
+
5
1.3281 1.3203
续，并且
(x*) (x*) ( p1) (x*) 0， ( p) (x*) 0,
只要相邻两次 计算结果的偏
|
xk
x* |
Lk 1 L
|
x1
x0
|
.
(2.5)
差足够小即可
保证近似值xk 具有足够精度
|
xk
x* |
1 1 L
|
xk 1
xk
|
.
(2.6)
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 局部收敛性
- 定义1 设(x)有不动点x*，若对任意x0∈{ x*
的某个邻域R}，迭代公式(2.2)产生的序列 {xk}∈R，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部 收敛.
2). 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有
| (x) ( y) | L | x y |;
则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*.
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 全局收敛的充分条件
- 定理2 设(x) 满足定理1中两条件，则对任意
x0∈[a, b]，迭代法收敛，并有误差估计式
数值分析 第七章 非线性方程(组)的数值解法.
y
,这样就可得缩小有根区间 a1 , b1
y=f(x) y=f(x)
x* a a1 x1 a2 x* x0 b1 b2 b a x0 a1 x1 a2 b b1 b2
23/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.2 二分区间法 ② 对压缩了的有根区间 a1 , b1 施行同样的手法, b 即取中点 x a 2 ,将区间 a1 , b1 再分为两半,然 后再确定有根区间 a 2 , b2 ,其长度是 a1 , b1 的 二分之一。
长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0 的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。
y
0 A
a1 b1 a2 b2
B
x
20/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言
数值解法的三个步骤 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有 根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔 离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。（隔离根） ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种格式 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。
10/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
3/87 郑州大学研究生2014-2015学年课程 数值分析 Numerical Analysis
§7.1 引言 当 f (x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程
f (x)=0为非线性方程。
非线性方程数值解法
对分区间法
对分法的基本思想
对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.
迭代法的整体收敛性
定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式
求根步骤
（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离
确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
(完整版)数值分析重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值分析 李庆扬 第7章 非线性方程与方程组的数值解法
x x3 1
时，在区间
1,2
有：
x 3 x 2 1
不满足定理的条件，无法保证迭代收敛。
a , b
上）
（2） 存在正常数 L 1 ，使对任意
x , y a , b 都有
x y L x y
（迭代函数的增量小于自变量的增量） 则
14
x 在 a , b
上存在唯一的不动点 x 。
2017年1月4日
*
《数值分析》 黄龙主讲
证明：先证不动点存在性。 若
x , y a , b 有
x y x y L x y , a , b
因此，可将上述定理 1 和定理 2 中的条件（2）改为：
x L 1
21
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
例如：
（2） 存在正常数 L 1 ，使对任意
x y L x y
则对任意 由
x0 a , b ：
xk 1 xk 得到的迭代序列 xk
收敛到
x 的不动点 x*
，并有误差估计
k L x k x* x1 x0 1 L
17
2017年1月4日
*
最终取值： x
误差：取有根区间
ak , bk 的中点 （
ak bk xk 作为近似根，则： 2 b ak b a x* x k k k 1 2 2
特点：算法简单，可保证收敛，但收敛太慢。用于求近似解。
8
2017年1月4日
《数值分析》 黄龙主讲
P214例2 求方程 f x x 3 x 1 0 在区间 1.0 ,1.5 内的一个实根， 要求准确到小数点后的第二位。
数值分析教案_非线性方程的数值解法
定理 2（不动点迭代法的全局收敛性定理） 设 ( x) C[a, b] 满足定理 1 中的两个条 件，则对任意的 x0 [a, b] ，由（2.1）式生成的迭代序列 {xk } 收敛到 ( x) 在 [a, b] 上的不 动点，且有
| x* xk | | xk 1 xk | , 1 L
ak bk ） 。记第 n 次过程得到的隔根区间为 2
[an , bn ] ，则 [a0 , b0 ] [a1, b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ]
an x* bn ， n 0,1, 2,
bn an bn 1 an 1 2 b0 a0 2n
k
则称迭代方程（2.1）收敛。 2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 定义 若存在常数 L ，使对任何 x1 , x2 [a, b] 有
| ( x1 ) ( x2 ) | L | x1 x2 |
则称 ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz（利普希茨）条件， L 称为 Lipschitz 常数。 显然， 若 ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件， 则 ( x) 在 [a, b] 上连续。 若 ( x ) 在 [ a, b] 上一阶导数存在且有界，则 ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件。 定理 1（不动点存在性定理） 设 ( x) C[a, b] 满足以下两个条件： （1）对任意 x [a, b] ，有 ( x) [a, b] ； （2） ( x) 在 [a, b] 上满足 Lipschitz 条件，且 Lipschitz 常数 L 1 ； 则 ( x) 在 [a, b] 上存在唯一的不动点。 证明：先证明不动点的存在性，记 g ( x) x ( x) ，由定理条件有 g (a) a (a) 0 及 g (b) b (b) 0 ，若有一等号成立，则 g (a) 0 或 g (b) 0 ，即 有不动点，否则必 有 g (a) g (b) 0 ，因 g ( x) C[a, b] ，则必有 x* [a, b] 使 g ( x* ) x* ( x* ) 0 ，x* 即为 的 不动点。
数值分析-第三章小结
姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。
求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。
在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。
二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。
取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。
则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。
如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。
非线性方程的数值解法
非线性方程:f(x)=0 包括：代数方程（多项式）、超越方程（三角函数、指
数函数或对数函数）。
求解方法：直接求解法、间接求解法； 直接求解法一般为解析法，能够得到精确解，如二次方 程求根公式等。简单但不一定总有效。 间接求解法一般较复杂，可以利用计算机进行计算，其 结果为近似解，但误差可以控制。
L L2 | x * xk | | x k x k 1 | | x k 1 xk 2 | ...... 1 L 1 L 注：定理条件非必要条件，对某些问题在区间 [a, b]上不 k L 满足| φ ’(x) | L < 1 ，迭代也收敛。 | x1 x0 | 1 L
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(m)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
应用： 3 f x x 2x 5, a, b 2,3, 0.01 ，求x=? 例、设 解： k ba a x b
0 1 2 3 4 5 6
23+ 2.5+ 1 22.5+ 2.25+ 0.5 22.25+ 2.125+ 0.25 22.125+ 2.06250.125 2.06252.125+ 2.093750.0625 2.09375 2.125+ 2.109375+ 0.03125 2.09375 2.109375 2.1015625 0.015625 0.02
L | x k x k 1 | ? ④ | x * xk | 1 L
3 简单迭代法
| x xk | L | x xk 1 | L | x * xk xk xk 1 | | xk xk |) 1 |来 L(| x * x可用 | | x x k k k 1 (1 L) | x x | L | x x | 控制收敛精度
数值分析实验报告_清华大学_非线性方程的解法
非线性方程的解法实验1.算法设计与比较问题提出：非线性方程组的求解方法很多，基本的思想是线性化。
不同的方法效果如何，要靠计算的实践来分析、比较。
实验内容：考虑算法(1)牛顿法(2)拟牛顿法分别编写它们的matlab程序。
实验要求：(1)用上述方法，分别计算两个例子。
在达到精度相同的前提下，比较迭代次数、浮点运算次数和CPU时间等。
1.1程序清单为使用flops统计浮点运算次数，使用MATLAB5.3版本%f1.m原函数f1function y=f(x)y(1)=12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;y(2)=x(1)^2+10*x(2)-x(3)-8;y(3)=x(2)^3+10*x(3)-8;end%ff1.m原函数f1的雅克比矩阵function y=ff(x)y(1,:)=[12,-2*x(2),-4];y(2,:)=[2*x(1),10,-1];y(3,:)=[0,3*x(2)^2,10];end%f1.m原函数f2function y=f2(x)y(1)=3*x(1)-cos(x(2)*x(3)) -1/2;y(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;y(3)=exp(-x(1)*x(2))+20*x(3)+1/3*(10*pi-3);end%ff2.m原函数f2的雅克比矩阵function y=ff2(x)y(1,:)=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3))];y(2,:)=[2*x(1),-2*81*(x(2)+0.1),cos(x(3))];y(3,:)=[-x(2)*exp(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(-x(1)*x(2)),20]; end%牛顿法(以第一个方程组为例)clear;x0=[0,0,0]';n=10;tol=1e-6;x(:,1)=x0;i=1;u=[1,1,1]';tic;while (norm(u)>tol*norm(x(:,i))&(i<n))A=ff1(x(:,i));b=f1(x(:,i))';u=-A\b;x(:,i+1)=x(:,i)+u;i=i+1;end;x(:,i)iter=i-1t=toc%拟牛顿法(以第一个方程组为例)clear;x0=[0,0,0]';n=10;tol=1e-6;x(:,1)=x0;i=1;p=[1,1,1]';A=ff1(x(:,1));tic;while (norm(p)>tol*norm(x(:,i))&(i<n))x(:,i+1)=x(:,i)-A\f1(x(:,i))';p=x(:,i+1)-x(:,i);q=f1(x(:,i+1))'-f1(x(:,i))';A=A+(q-A*p)*p'/norm(p,2)^2;i=i+1;end;iter=i-1t=tocx(:,i)1.2运行结果1.2.1第一个方程组精确解为*T =(0.886020214719037, 0.796444775323146, 0.749479574122230)x 取最大迭代次数n=5000，相对误差限Tol=1e-6 (1)取()(0)1,1,1x T=牛顿迭代法迭代3次收敛，浮点运算次数为440，每次迭代平均浮点运算次数为147，CPU 耗时t =0(s)拟牛顿法迭代4次收敛，浮点运算次数为1048，每次迭代平均浮点运算次数为262，CPU 耗时t =0(s)(2)取()(0)000x T =，， 牛顿迭代法迭代4次收敛，浮点运算次数为510，每次迭代平均浮点运算次数为128，CPU 耗时t =1.600e-002(s)拟牛顿法迭代6次收敛，浮点运算次数为1493，每次迭代平均浮点运算次数为248，CPU 耗时t =1.50e-002(s)(3)取()(0)50,5050x T=，牛顿迭代法迭代15次收敛，浮点运算次数为2118，每次迭代平均浮点运算次数为141，CPU 耗时t =1.600e-002(s)拟牛顿法迭代338次收敛，浮点运算次数为88454，每次迭代平均浮点运算次数为262，CPU 耗时t =3.100e-002(s)1.2.2第二个方程组精确解为*T =(0.886020214719037, 0.796444775323146, 0.749479574122230)x 取最大迭代次数n=5000，相对误差限Tol=1e-6(1)取()(0)000x T=，， 牛顿迭代法迭代5次收敛，浮点运算次数为776，每次迭代平均浮点运算次数为155.2，CPU 耗时t =0(s)拟牛顿法迭代6次收敛，浮点运算次数为1635，每次迭代平均浮点运算次数为273，CPU 耗时t =0(s)(2)取()(0)888x T=，， 牛顿迭代法迭代9次收敛，浮点运算次数为1519，每次迭代平均浮点运算次数为169，CPU 耗时t =0(s)拟牛顿法迭代21次收敛，浮点运算次数为5924，每次迭代平均浮点运算次数为282，CPU 耗时t =1.600e-002(s)(3)对于离精确解更远的初值（如()(0)101010x T=，，），在计算中会出现奇异或接近奇异的矩阵，计算结果误差很大或计算根本无法进行下去。
数值分析 清华李庆杨第五版第七章 非线性方程的数值求法
x轴交点的横坐标。
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单
值连续, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少有一个 实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减， 则仅有一个实根。
y
y=f(x)
a b x
由此可大体确定根所在子区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步搜索法
y=x y Q2 P* P2 x* x2 x1 x0 x x1 x3 x* x2 x0 x P1 Q1 P0 y
y= (x)
(x )
P y=x
*
y= (x )
(a)
0 ( x * ) 1
(b)
1 ( x * ) 0
y
P
*
y=x
y
y= (x) (x )
f ( x * ) f ( x * ) f
( m 1)
( x * ) 0, f
( m)
( x* ) 0
当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程 为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数 方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方 程等）。一般称n次多项式构成的方程
如果由迭代格式 xk 1 ( xk ) 产生的序列 x n 收敛, 即 *
lim x n x
n
则称迭代法收敛。
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做 下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足
x k x k 1
即可结束计算并取
当然，迭代函数
x
*
xk
( x)
3 x k 1 2 ( x k ) x k 1
非线性方程求解的数值方法研究
非线性方程求解的数值方法研究非线性方程求解是数学领域中的重要问题之一。
与线性方程不同，非线性方程存在更加复杂的形式和求解方法。
本文将针对非线性方程求解的数值方法进行研究，探讨其应用和效果。
一、引言非线性方程是指未满足线性关系的方程，形如f(x) = 0。
相比于线性方程，非线性方程更具挑战性和难度。
在实际问题中，非线性方程常常出现，如物理、经济、工程等领域。
因此，研究非线性方程的数值解法对解决实际问题具有重要意义。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法。
其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。
具体来说，牛顿迭代法通过将非线性方程化为一系列线性方程的解来逼近方程的根。
该方法的迭代过程如下：1. 选取初始近似解x_0；2. 对于第n+1次迭代，计算x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)；3. 若满足终止准则，如|f(x_{n+1})| < ε，则停止迭代，得到近似解x_{n+1}。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其对于初始值选择合适的情况下，其迭代过程可以较快地接近方程的根。
然而，该方法也有其局限性，如可能出现迭代发散或震荡等问题。
三、二分法二分法是一种较为简单但有效的非线性方程求解方法。
其思想是通过判断非线性方程在区间内的正负性来逼近方程的根。
该方法的基本过程如下：1. 选取区间[a, b]，满足f(a) * f(b) < 0；2. 对区间[a, b]进行二分，计算c = (a + b) / 2；3. 判断f(c)和f(a) * f(c)的正负关系，更新区间[a, b]；4. 若满足终止准则，如|f(c)| < ε，则停止迭代，得到近似解c。
二分法的优点在于其简单性和稳定性，适用于一些函数有明显单调性的情况。
然而，该方法的收敛速度较慢，尤其对于复杂的非线性方程，可能需要较多的迭代次数才能得到较精确的解。
四、弦截法弦截法是一种综合了牛顿迭代法和二分法思想的非线性方程求解方法。
计算方法 第2章 非线性方程数值解法
第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。
2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。
用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。
定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。
定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。
寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。
例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。
解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。
例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。
解：计算出)(x f 在一些点的值。
从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。
如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。
从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。
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[0,1], [1.5, 2.5] and [3,4]， 利用前面的公式可计算 迭代次数为k=23.
Remark2:要区别根与奇异 点
Consider f(x) = tan(x) on the interval (0,3).Use the 20 iterations of the bisection method and see what happens. Explain the results that you obtained. （如下图）
2k ε k
ln 2
例1 用二分法求 x 3 4 x 2 10 0
在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 解：
1 102 2
f(1)=-5<0 有根区间
中点 xn
f(2)=14>0 f(1.5)>0 f(1.25)<0
-(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5)
xx21
1.5
xb2
bb1
停机条件（termination condition ）：
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
误差 分析：
第1步产生的
x1
a
2
b
有误差
|x1
x*|
b
2
a
第 k 步产生的 xk 有误差
|xk
x*|
ba 2k
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数
k：
ba
lnb a ln ε
Remark3:二分发不能用来求重根
§3.2 单个方程的迭代法
f (x) = 0
等价变换
x = g (x)
f (x) 的根
g (x) 的不动点
f(x)=0化为等价方程 x=g(x)的方式是不唯一 的,有的收敛,有的发散
For example：2x3-x1=0
(1) 如果将原方程化为等价方程
则迭代格式为：xk1 2xk3 1
x7 1.368 x8 1.364
例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：
k
a
bk
0
0
1
xk 0.5000
f(xk)符号 －
1
0.5000 －
0.7500
－
2
0.7500 －
12
Remark1：求奇数个根
Find solutions to the equation
on the intervals [0, 4]，Use the bisection method to compute a solution with an accuracy of 10－7. Determine the number
简介（Introduction）
❖ 我们知道在实际应用中有许多非线性方程的 例子，例如
❖ （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求x-tanx=0的 根
❖ （2）在行星轨道（ planetary orbits）的计算 中,对任意的a和b，我们需要求x-asinx=b的根
|g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2|， (5) 则称g(x)是［a,b］上的一个压缩映射，
称为压缩系数
定理3.2.1 考虑方程 x = g(x), g(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]；
( II )在［a,b］上成立不等式：|g(x1)-g(x2)|≤ |x1-x2| 。
取初值 x0 0
x 2x3 1
x1 2x03 1 1
x2 2x13 1 3 x3 2x23 1 55
由此可见，这种迭代格式是发散的
(2) 如果将原方程化为等价方程
仍取初值
x0 0
3
x1
x0 1 2
3 1 2
x3 x1 2
0.7937
x2 3
x1 1 2
3
1.7937 2
0.9644
依此类推,得
x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000
同样的方程
⇒ 不同的迭代格式
有不同的结果
什么形式的迭代法能 够收敛呢?
已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000
收敛性分析
定义2 若存在常数(0≤ <1),使得对一 切x1,x2∈［a,b］,
1.25
x3 1.375
f(1.375)>0 (1.25,1.375)
x4 1.313
f(1.313)<0 (1.313,1.375) x5 1.344
f(1.344)<0 (1.344,1.375) x6 1.360
f(1.360)<0 (1.360,1.375) f(1.368)>0 (1.360,1.368)
❖
（3） 在数学中，需要求n次多项式xn
1+...+an-1 求x f+(xa)n=＝0的0的根 根
+
a1
xn-
§3.1 对分区间法 (Bisection Method )
原理：若 f(x) C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则f(x) 在 (a, b) 上必有一根。
a
aax211 x*
0.8750
＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3
－
0.8750 0.8125
＋
4
－
0.8125 0.7812
＋
5
－
0.7812 0.7656
－
6
0.7656 －
0.7734
＋
7
－
0.7734 0.7695 －
8 0.7695 －
0.7714
－
9
0.7714 －
0.7724
－
10
0.7724 －
0.7729
＋
取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。
则（1）g在［a,b］上存在惟一不动点x*
（2）任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 {xk}（ ［a,b】） 收敛于x* 。
（3）k次迭代所得到的近似不动点xk与精确不动点x*有有误差估
计式：
xk x*
1
xk xk 1
xk x*
k
1
x1 x0
证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？
§3 Fixed-Point Iteration
令G(x)=g(x)-x, x∈［a,b］，由条件①知G(a)=g(a)-a≥0, G(b)=g(b)-b≤0.
由条件②知G(x)在［a,b］上连续，又由介值定理知
存在x*∈［a,b］，使G(x*)=0，即x*=g(x*).
✓
② 不动点唯一？
若有x′∈［a,b］,满足g(x′)=x′，