利用正方形的轴对称性解题

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正方形解题策略

∴四边形BEDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形．
例2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是OC 上一点，AM⊥DF于M，与OD相交于点E。（1）求证：OE=OF （2）若DF平分∠ODC，BD=2，求CF的长。
二、利用正方形的轴对称性解题
D E
A
P
B
归纳小结： 1.通过本节课的学习，你有什么收获？ 2.这节课主要通过哪几种方法来解决正方形的问题？
例3.如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点， AE、AF分别与对角线BD相交于点M、N，若∠EAF=50°，求∠CME+∠CNF的度数。 F D C
N E M A B
例4．如图,点P在正方形的对角线AC上，PM⊥AB， PN⊥BC，PE⊥PD，分别与AB、BC的交点为M、N、E，
二、利用正方形的轴对称性解题
三、利用旋转法解决有关问题四、构造正方形解题
一、利用正方形对角线的性质解题
例1.如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF. (1)请你判断四边形DEBF的形状，并给出合理说明
(2)若正方形边长为4，AE=
2 ，求四边形DEBF的面积
（1）证明：如图，连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OE＝OF，
正方形解题策略
知识回顾正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形正方形的性质＝矩形性质+菱形性质边：对边平行四边都相等
正方形
角：四个角都是直角对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。对称性：是轴对称图形，有四条对称轴

对称性在高中数学中的应用举例

对称性在高中数学中的应用举例对称性在高中数学中有着广泛的应用，它不仅能帮助我们解决数学问题，还能帮助我们理解数学知识。

在数学中，对称性是一个重要的概念，它经常出现在几何、代数和数学分析等不同领域中。

本文将通过几个具体的例子，来介绍对称性在高中数学中的应用。

在几何中，对称性是一个十分重要的概念。

我们知道，对称形状具有特定的对称轴或中心，这些对称轴或中心可以帮助我们简化几何问题的解决过程。

我们常常用到的正方形、矩形和圆形等几何形状都具有对称性。

对称性能够帮助我们寻找到图形的对称轴或对称中心，从而简化问题并找到解决方法。

一个简单的例子就是讨论正方形的对称性。

正方形具有4条对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。

利用正方形的对称性，我们可以很容易地发现正方形的性质和关系。

我们知道正方形的对角线相等，利用对称性我们可以很容易地证明这个定理。

又如，我们知道正方形的每条边都相等，也可以利用对称性来证明这一性质。

这些都是利用对称性来简化问题、思考和解决问题的典型例子。

在代数中，对称性也有着重要的应用。

在解代数方程的时候，我们经常会利用方程的对称性来简化问题的解决过程。

一个常见的例子就是求解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。

我们常常会利用一元二次方程的对称性来推导出解的公式或者判断解的性质。

根据一元二次方程的对称性，我们可以得出表达式b^2-4ac的含义，从而判断方程的解的性质。

又如，在利用配方法解一元二次方程时，我们也可以利用对称性来简化解题的过程。

另一个典型的例子是讨论函数的奇偶性。

在代数分析中，我们经常会用到奇函数和偶函数的概念。

奇函数的图像具有中心对称性，而偶函数的图像具有轴对称性。

这些对称性不仅可以帮助我们画出函数的图像，还可以帮助我们判断函数的性质。

我们知道奇函数的积分区间对称性，在求解奇函数的定积分时可以利用对称性简化计算过程。

又如，在讨论函数的奇偶性时，我们可以利用函数图像的对称性来判断函数的奇偶性，从而简化问题的解决过程。

巧用对称性解决数学中的动点最值问题

巧用对称性解决数学中的动点最值问题作者：段伟刚来源：《成长·读写月刊》2016年第02期【摘要】动点最值问题一直是初中数学的一个难点（尤其是数学竞赛中）许多学生在遇到此类问题时感到无从下手，找不到解题的突破口，此类问题往往同根而异形，利用四个“典型题例”概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。

【关键词】动点最值问题;轴对称;最小值;数形结合一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。

解这类问题二、基本解法：对称共线法。

利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

三、例题解析与归纳经验例1.要在河边修一个小泵站，分别向张村和李庄送水，问水泵站应建在河边的什么地方，可便所用的水管最短？分析：如何证明两线段和最短？考虑到初一学的线段公理“两点之间，线段最短”，那么，如何把这两条线段转化成一条线段呢？此时，轴对称的性质，对称轴是轴对称连线的中垂线。

作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B直线l于P点，此时，两线段的和PA+PB=PA'+PB=A'B最短。

例2.已知A（-1，1）B（2，3），在x轴上找一点P，使AP+BP最短。

此时AP+BP的长为_______分析：（与例1方法相同）过点P作水平线，过点P作垂直于x轴直线，两直线交于点C，A'C=3，BC=4，利用勾股定理求出A'B=5，即AP+BP的长为5。

例3.在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，M是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点。

求PM+PB的最小值是________________.分析：根据菱形的轴对称性可知，点B关于对角线AC的对称点就是点D，连结PD. 则PB=PD。

巧用轴对称的性质解题

化简，，－５一＝０得ＸＸ６．２解得ｘ＝６或＝一１舍去）（．所以ＡＤ的长为６．点评：本题以“ 轴对称 ” 为工具，把一个在ＡＡＣ中难以解决的问题，巧妙地进行转化，Ｂ借助了正方形的性质和勾股定理构造关于ＡＤ “ 轴对称 ” 是多么的“ 给力 ” ！
‘ ．
．
叉ＧＦ＝厶ＣＫＫＦ．．ＣＦ４。Ｋ＝５．
根据“ 三角形的一个外角等于不相邻的两
的一元二次方程，而获得问题的答案．见个内角的和 ” 从可可得，ＣＦＤ＝Ｃ，ＬＤＫ＝一Ｃ
４５－３＝１。。０。５．
垂直平分线．轴对称是现实生活中广泛存在的
现象．利用轴对称的性质不但能解决．解析：据操作的步骤，根我们可以画出图
中的具体问题，而且能探索许多图形的性质．１２－，将ＡＡＤ沿ＡＢＢ所在的直线折叠，说明近几年的中考试题对轴对称的考查，除了要求ＡＡＤ与 △ 关于直线ＡＢ船Ｂ成轴对称．据根
例２如图２１Ｒ △ＡＣＲＤ， — ，ｔＢｔＡＥＦ
‘ ．
‘
Ｄ＝ＤＭ，．Ｍ．ＡＡＤＭＡＧ ’ ＤＭ，．Ｍ＝．Ｇ ‘
Ａ．
‘ ． ‘
ＪＣ＝Ａ，．Ｉ＋Ｇ＝Ｇ，＋．； ’ ：２Ｋ２
ＭＫＧ＝９．‘ Ｃ０。．．ＫＧ＝９。０．
‘ ．．
解析：本题给我们提供了一条思考问题的略，即引导我们先考虑符合条件的问题的某些特殊情形。从特殊情形的探究中得到启发或探索出一般规律。从而获得解决这类问题的方

轴对称中的折纸问题

根据AE为角平分线,判断出△ABE和△AEF为等腰直角三角形，从而判断出四边形ABEF为正方形
（题型拓展）．有一张矩形纸片 ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将 △ AED 以 DE 为折痕向右折叠，AE 与 BC 交于点 F，则 CF 的长为 2 ．
四、学生差异化发展
2.如图,矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm,AD=8cm，把矩形沿对角线 BD 折叠，点 C 落在 C′处。（1）连接 CC',CC'与 BD 有什么关系？（2）猜想重叠部分△BED 是什么三角形？说明你的理由. （3）求重叠部分△BED 的面积（4）点 P 为 BD 上的一个动点，过点 P 作 PM⊥ED 于点 M，PN⊥BE 于点 N，求 PM+PN 的值
中考同类题型展示
1.（2015 湖北荆州第 8 题 3 分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ B ）
A．
B．
C．
D．
D
二、利用轴对称的性质解决的问题
例 2（2006•聊城）如图，将一张矩形纸片 ABCD 折叠，使 AB 落在 AD 边上，然后打开，折痕为 AE，顶点 B 的落点为 F．你认为四边形 ABEF 是什么特殊四边形？请说出你的理由．
E
同类中考题型展示分析
例3．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（） B A．85° B．90° C．95° D．100°
1．如图，已知四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于 DC 上一点 E，你能获得哪些结论？

三年级轴对称图形教案：如何通过对称性判断面积？

三年级轴对称图形教案：如何通过对称性判断面积？一、教学目标：1.了解轴对称图形的概念和特点。

2.会通过对称性判断面积。

3.能够画出轴对称图形二、教学重点：1.学生能够理解轴对称图形的概念和特点。

2.掌握如何通过对称性判断面积。

三、教学难点：学生能够利用轴对称性判断面积，需要对轴对称图形的对称性有较好的认识和理解。

四、教学过程：1.引入教师将两张图纸贴在黑板上，其中一张是正方形ABCD，轴对称线MN与BC垂直且交点在BC的中点上；另一张是一个长方形EFGH，轴对称线PQ与EF平行且交点在EF的中点上。

教师问学生，哪一张图纸是有对称性的，哪一张不是，学生可以选择回答。

引导学生积极发表自己的看法，让学生了解二者的不同。

2.理解轴对称图形通过以上引导，让学生进一步了解轴对称图形的定义及特点。

教师可以画出图形，让学生观察对称性与非对称性。

让学生能够根据轴对称线来判断图形是否对称，让学生理解轴对称图形会形成镜面对称。

3.通过对称性判断面积态度鲜明地告诉学生，通过利用轴对称性可以很好地判断图形的面积。

教师可以根据轴对称线来对称图形，让学生判断对称后图形的面积是否相等。

从而让学生得出这个结论：如果一个图形有轴对称性，它的面积一定是对称的。

举例：让学生观察上课老师画的图形（类似一个外接圆内接正方形和内切圆）。

此时教师将图形分别放在轴对称线在左右两侧，让学生观察并判断。

4.画出轴对称图形让学生根据既定的轴对称线，来自己画出轴对称图形。

可以先让学生试着自己画，再进行讲解。

五、课后练习通过上课所学内容，让学生完成一些相关的练习，深入练习与巩固。

六、教学评估教师可以定期抽查学生的吸收情况，检查学生是否能够理解、掌握和运用轴对称性来判断面积。

同时，在课堂上突出课堂互动，可以让学生在课上参与度更高。

七、教学体会轴对称图形教学是一种比较新颖的教学方式，可以让学生在理解概念、掌握技能、运用方法等方面更易掌握，帮助学生在数学中拓宽思路及接受各类比较新颖的题目。

中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析

中考数学几何三大变换之轴对称真题与分析轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1.下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3.下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

用正方形的对称性解题

蕊
按一定的方法（平移、翻转、旋转等），把个图形变成另一个图形叫做图形变换．若变换前后的图形全等，即只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换可为研究几何图形、证明几何试题带来许多方便．１．轴对称变换法
Ｄ于Ｆ，则阴影部分的面积是
图３
Ｐ
Ｃ
解析：Ｐ与Ｅ瑚交于点Ｄ，因￣ＥＰ／／ＢＣ，ＢＣ／／ＡＤ，所以ＥＰｆＡＤ，同理，ＦＰｆＡＢ，所以四边形ＡＥ是平行四边形，所以ＩＳＡＡＯＥ＝５ｍ，，所以ｓ阴影＝
一
点，则ａＰＡＢａＰＡＤ，ＡＰＣＢ￣＝ａＰＣＤ，这个
结论具有一般性，利用这个结论可以巧妙、简捷
地解决有关问题．
一
、
有关角的问题
例１如图２，在正方形ＡＢＣＤ中，求／＿ＢＥＣ的度数．
、
图４Ｂ
△∞ ， △ＣＢＦ，于是有ＣＤ
ＣＢＦ，ＤＦ＝ＢＦ，又由条件可得叩
／＿ＢＥＧ，所以ＢＦ／／ＥＧ，又因为Ｆ／／ＣＤ，所以四边形ＢＧＥＦ是平行四边形，
故ＥＧ＝ＦＢ＝ＤＦ＝１０．
．．
ＡＢＥ＝ＤＣＥ，． ‘ ．ＦＡＤ＝ＡＢＥ，
Ｆ＋ＡＢＥ＝ｎＤ＝９

-轴对称例题与讲解

13.1 轴对称1．轴对称图形(1)概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．(2)理解：轴对称图形是对一个图形而言，是一种具有特殊性质的图形，它能被一条直线分割成两部分，沿这条直线折叠时，其中一部分能与这个图形的另一部分重合．(3)对称轴：对称轴是一条直线，有的轴对称图形只有一条对称轴，而有些轴对称图形有几条甚至无数条对称轴．“圆的对称轴是圆的一条直径”为什么不对呢?对称轴是一条直线，而直径是线段，所以圆的对称轴是直径所在的直线．并且圆有无数条对称轴．一定要注意哦！解技巧轴对称图形的识别判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合．另外还可以观察是否有对称轴，能找到对称轴也说明是轴对称图形．【例1】下列图形中，是轴对称图形的是()．A．①②B．③④C．②③D．①④解析：观察图形，①④的图形都能找到一条直线，沿这条直线对折，图形两边能够重合，而②③的图形中找不出这样的直线，因此只有①④是轴对称图形．答案：D2．轴对称(1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴．(2)含义：轴对称图形是两个图形之间的关系，这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，即全等．(3)对称点：折叠后重合的对应点叫对称点，两个图形正是由无数个对称点组合而成的，也正是无数个对称点的重合构成了图形的重合．(4)与轴对称图形的异同：a．区别：轴对称图形指的是一个图形本身的特点，而轴对称指的是两个图形之间的关系．b．联系：都关于某条直线对称，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体图形，那么它就是一个轴对称图形，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称．析规律轴对称的特点图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化后图形的大小、形状都没有改变，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同，判断的方法关键看变换方式．【例2】如图所示，下列每组中两个图形成轴对称的是()．解析：图A、B、C沿某一条直线折叠，左右两个图形不能重合，所以它们不构成轴对称．如图，D 沿右图所画直线折叠，左右两个图形能够重合，所以成轴对称．答案：D3．线段的垂直平分线(1)概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(4)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合．这是线段垂直平分线的集合定义．谈重点线段垂直平分线及性质与判定的理解和应用 ①线段的垂直平分线必须同时具备两个条件：过线段的中点和垂直于这条线段．②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段其中的一条对称轴．③线段垂直平分线的性质是证明线段相等的一种方法，运用过程中可以省去证明三角形全等，使得过程更简便．【例3】已知线段AB ，直线CD 是AB 的垂线，垂足为O ，且OA ＝OB ，若点M 在直线CD 上，则MA ＝__________；若NA ＝NB ，则点N 在__________．解析：本题是线段垂直平分线性质和判定的最基本的应用，根据CD ⊥AB ，又经过线段AB 的中点O ，所以CD 为线段AB 的垂直平分线，所以有MA ＝MB ，因为NA ＝NB ，由线段垂直平分线的判定定理可知点N 在直线CD 上，即线段AB 的垂直平分线上．答案：MB 线段AB 的垂直平分线CD 上4．线段垂直平分线的画法(1)折叠法：将线段两端点对齐，沿线段折叠重合，折痕就是线段的垂直平分线．(2)尺规作图法：如图，①分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D 两点；②作直线CD ；CD 即为所求作的直线．【例4】如图，在某条公路的同旁有两座城市A 、B ，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？分析：两座城市A 、B 到这个医院的路程一样长，说明这所医院要建在AB 的垂直平分线上，又要在公路边，所以应是AB 垂直平分线与公路的交点处．解：如图所示，(1)连接AB ，分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD ，交公路所在直线于P ，则点P 即为所建医院的位置．5．轴对称(轴对称图形)的性质(1)关于某条直线轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等．(2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(3)对应线段所在的直线的交点在对称轴上．谈重点成轴对称的两个图形的性质特征 (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等，正如全等的两个三角形对应边上的高、中线也相等一样．【例5】如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线l 对称，下列结论中：①△ABC ≌△A ′B ′C ′；②∠BAC ′＝∠B ′AC ；③l 垂直平分CC ′；④直线BC 和B ′C ′的交点不一定在l 上．正确的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①由轴对称性质可知，关于某条直线对称的两图形重合，所以△ABC≌△A′B′C′；②由轴对称性质可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，等号两边同时都加上∠CAC′，可得∠BAC′＝∠B′AC；③点C与点C′为对称点．对称轴垂直平分对称点连线，所以也正确；④BC和B′C′为对应线段，由性质可知，所在直线的交点一定在对称轴上．由以上分析可知①②③都正确，只有④错误，所以选B.答案：B6．轴对称(轴对称图形)对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．(1)两个图形成轴对称或轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，这是画图形的对称轴的依据.(2)作已知图形的对称轴的步骤：找特殊对称点→作对称的两点的垂直平分线.【例6】如图，试作出下列图形中的一条对称轴．分析：作图的关键在于找到对称点，等边三角形ABC中B、C是一对对称点，所以作BC的垂直平分线即可得到△ABC的一条对称轴；同样在正五边形ABCDE中，B与E、C与D是对称点，所以作BE 或CD的对称点都能得到正五边形ABCDE的对称轴．解：如图．7．线段垂直平分线性质的应用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，在这个性质中，它的条件是“一条直线垂直平分一条线段”，结论是“这条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等”，它是证明线段相等常用的一种方法．析规律利用线段垂直平分线的性质证明线段相等用线段垂直平分线性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段，因为它省去了证明三角形全等，所以较为简便，它通常和三角形周长，等腰三角形知识相结合运用．8．线段垂直平分线判定的应用与一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，它的题设是“一个点到一条线段的两个端点的距离相等”，结论是“这个点在这条线段的垂直平分线上”，这与线段垂直平分线性质的题设和结论正好相反；线段垂直平分线的判定是为数不多的证明点在线上的定理，很多时候用在作图中，用来确定到两固定点距离相等的点．破疑点判定线段垂直平分线的方法判断一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明该直线上有两个点到线段两端点的距离相等，因为只有两点才能确定一条直线．【例7】如图1，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC 的关系如何？请用一句话表示：________________________________.图1图2 解析：如图2，连接OA 、OB 、OC ，因为EF 垂直平分AB ，所以OA ＝OB .因为GH 垂直平分AC ，所以OA ＝OC . 所以OB ＝OC ，即点O 到边BC 两端点的距离相等．答案：点O 到边BC 两端点的距离相等(答案不唯一，也可以说成点O 在BC 的垂直平分线上)【例8】 (综合应用题)如图，AD 为△ABC 的角平分线，AE ＝AF ，请判断AD 是否是EF 的垂直平分线？如果不是请说明理由，如果是，请给予证明．解：AD 是EF 的垂直平分线．证明：因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，所以△AED ≌△AFD .所以DE ＝DF ，所以D 在EF 的垂直平分线上．同样AE ＝AF ，A 也在EF 的垂直平分线上．所以AD 是EF 的垂直平分线．9．生活中的镜面对称生活中的倒影，镜子中的影像是日常生活中最常见的轴对称，它们都具备轴对称的特点，如果沿某一条直线折叠一样能够重合．因而实物和图形大小形状也完全一样．只要注意观察，会有很多有趣的现象和规律．解技巧镜面问题的解决方法①镜面对称问题可以看作是沿镜子的左右边沿轴对称，镜子的边沿所在的直线就是对称轴，判断标准是沿镜子左或右边沿折叠就会重合，如果是在透明纸上的图案，从反面看到的影像，就是原来的图案；②对于倒影问题，水面所在的直线是对称轴，沿这条直线折叠观察，就可得到原来图案．【例9－1】小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如下图所示，则实际时间是( )．A ．21：10B ．10：21C ．10：51D ．12：01解析：镜面中的影像问题是以镜面的左边沿或右边沿所在的直线为对称轴的轴对称，假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到10：51，或将此图案从反面观察，也可得到10：51.答案：C【例9－2】一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是__________．解析：只需将倒影沿图案上沿或下沿某一条直线翻折，即可得到该车牌的号码为W5236499.同样在纸上也可以从反面，倒看也能得到它的轴对称图形W5236499.答案：W5236499.10.折叠问题中的轴对称折叠问题是近几年中考的热点，它主要分为两类：(1)一类是图形的折叠问题，一般是将矩形、正方形、三角形沿某条线段所在的直线折叠，求角的度数．这类问题，条件隐蔽，要仔细观察图形，善于运用隐含条件解决问题．(2)另一类是折纸问题，大多是将一个正方形纸片，经过几次轴对称折叠，挖取其中的一小部分，观察展开后的图形，观察得到的是哪种图案．解决方法一般是将所给图案按逆顺序复原，看是否能得到折叠后的图案，另一种方法是折叠、观察、想象，最好的办法是动手按题目要求折叠、裁剪、展开观察．析规律利用轴对称性质解决折叠问题解决这类问题的关键是，折叠前后重合的部分全等，即折叠前和折叠后盖上的部分重合，所以对应角、对应线段相等．【例10－1】如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED1＝__________度．解析：因为AD∥BC，所以∠DEF＝∠EFB＝65°.又因为折叠前后重合的部分全等，所以∠AED1＝∠DEF＝65°.所以∠DED1＝130°.所以∠AED1＝180°－∠DED1＝50°.答案：50【例10－2】如下图所示，把一个正方形纸片对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是()．解析：解题关键是明确两条折痕都是对称轴，故本题可借助空间想象，将两次对折后的图形沿两条折痕展开，易知展开后的图形应是B.注意折叠方向和剪去的角度．答案：B。

正方形对称性与轴对称性的数学教案

正方形对称性和轴对称性是数学中非常重要的概念，它们在几何学、代数学、物理学等领域都有应用。

对于正方形，它具有四个对称轴，分别是：垂直于两两相邻的边且通过正方形中心的两条对角线和与边平行通过正方形中心的两条中垂线。

这四条对称轴将正方形分成了四个全等的部分，这也是正方形的特殊之处。

正方形对称性主要表现在对称轴上。

如果我们沿着正方形的任意一条对称轴将正方形折叠，那么两边就完全一致的。

这体现出了正方形的对称性，即将正方形按照某种规则折叠或旋转后，其形状、大小、位置等特性不会改变。

而轴对称性，则是指某个图形与它的镜像图形具有相同的特征。

如果将正方形沿着水平对称轴折叠，那么折叠后的图形与原图形完全一样，这就是轴对称性的表现。

因此，在进行正方形的图形变换时，轴对称性也是一项非常重要的概念。

了解了正方形对称性和轴对称性，我们可以通过以下教案加深学生对这两个概念的理解：一、教学目标1.了解正方形的对称轴及其特性。

2.掌握正方形的对称变换方法，包括旋转、对称和平移。

3.理解轴对称性的概念和特性。

二、教学重点和难点1.教学重点：正方形对称性的概念和种类、轴对称性的概念和特性。

2.教学难点：正方形对称性和轴对称性的具体应用。

三、教学方法1.理论讲授与实例演示相结合。

2.学生互动，师生探讨。

四、教学过程（一）正方形对称性的概念和种类1.将一张正方形的图片投影在黑板上，让学生辨认出正方形的四条对称轴。

2.让学生手工制作四个正方形，然后沿着其中一条对称轴，用剪刀将它们折叠起来，使两侧的图形完全重合。

3.请学生就此对四个不同的正方形进行操作，观察它们的相同点与不同点，并总结不同的对称性。

4.在学生已掌握对称性的基础上，让他们利用大量的实例进行对称变换的训练。

比如：将一个正方形旋转90°或180°，将一个正方形按照对称轴进行翻折等等。

（二）轴对称性的概念和特性1.生活中经常会用到镜子，那么请学生想象自己站在一个普通的镜子前，左右翻动身体，观察镜中的影像有何变化。

对称性在数学中的应用与实例

对称性在数学中的应用与实例数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，而对称性作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用。

本文将探讨对称性在数学中的应用，并通过实例来说明。

一、对称性的定义与基本概念对称性是指在某种变换下，物体或者形状保持不变的性质。

在数学中，对称性可以分为几种不同的类型，如轴对称、中心对称、旋转对称等。

其中，轴对称是最常见的一种对称性，指的是物体或者形状相对于某条直线对称，即对称轴。

中心对称则是指物体或者形状相对于某个点对称，即对称中心。

旋转对称则是指物体或者形状在某个角度的旋转下保持不变。

二、对称性在几何中的应用1. 轴对称与图形的构造轴对称性在几何中的应用非常广泛。

它可以用于图形的构造，特别是对于对称图形的绘制。

通过找到图形的对称轴，我们可以更加方便地绘制出整个图形。

比如，在绘制一个正方形时，我们只需要找到一个对称轴，然后通过对称性来绘制出其他三条边，从而快速完成整个图形。

2. 中心对称与图形的判定中心对称性在几何中的应用主要体现在图形的判定上。

通过观察图形是否相对于某个点对称，我们可以判断一个图形是否具有中心对称性。

这在几何中的证明问题中尤为重要。

比如，我们可以利用中心对称性来证明两个三角形的相似性，或者证明两个线段相等等。

三、对称性在代数中的应用1. 对称多项式对称多项式是指在变量的任意排列下保持不变的多项式。

它在代数中有着重要的应用。

对称多项式的性质使得我们可以通过研究其中一部分的值来得出整个多项式的值。

这在代数中的方程求解、多项式展开等问题中具有重要意义。

2. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的主对角线两侧的元素相等的矩阵。

对称矩阵在线性代数中有着广泛的应用。

它具有许多重要的性质，如对称矩阵的特征值一定是实数，对称矩阵可以通过正交变换对角化等。

这些性质使得对称矩阵在解决线性方程组、最优化问题等方面起到了关键作用。

四、对称性在组合数学中的应用1. 对称图形的计数对称性在组合数学中被广泛应用于对称图形的计数问题。

《轴对称现象》典型例题

《轴对称现象》典型例题例1指出以下图形中的轴对称图形〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕例2 指出以下图形中的轴对称图形，并指出轴对称图形的对称轴．〔1〕正方形；〔2〕长方形；〔3〕圆；〔4〕平行四边形．例3画出以下图形的对称轴。

例4 指出下边哪组图形是轴对称的，并指出对称轴．〔1〕任意两个半径相等的圆；〔2〕正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；〔3〕长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形；〔4〕两个全等的三角形．例5找出下面的轴对称图形，并说出它们各有几条对称轴．例6 以下图形中，不是轴对称图形的是〔〕〔A〕有两个角相等的三角形〔B〕有一个内角是︒45的直角三角形〔C〕有一个内角是︒120的三角形30，另一个内角为︒〔D〕有一个角是︒30的直角三角形例7观察中(1)～(5)，它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?例8请分别画出以下图中3个图形的对称轴．例9如图，(1)正三角形，(2)正四边形，(3)正五边形，(4)正六边形，(5)正八边形，(6)正九边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数．观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数"有什么关系?根据你的分析结果答复，正十边形，正十六边形，正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?参考答案例1分析：正确理解轴对称图形概念．解：轴对称图形是〔2〕〔3〕〔4〕〔6〕〔7〕〔8〕例2 分析：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是能否找到一条直线使该图的两局部沿这条直线对折后完全重合．解：〔1〕、〔2〕、〔3〕都是轴对称图形，〔4〕不是轴对称图形．正方形的对称轴是两条对边中点所在的直线和正方形对角线所在的直线；长方形的对称轴是两条对边中点所在的直线；圆的对称轴是任意一条直径所在的直线．说明：对称轴是一条直线，不是线段．例3分析：依据定义可以画出，但可能是多条．解：如图例4 分析：判断两个图形是否是轴对称，关键是能否找到一条直线使这两个图形沿这条直线对折后能够重合．解：〔1〕和〔2〕每组的两个图形都是轴对称的．〔3〕和〔4〕每组的两个图形不是轴对称的．〔1〕的对称轴是连结两个圆心的线段的垂直平分线；〔2〕的对称轴就是原正方形分成两三角形时的这条对角线所在的直线．说明：对称轴是直线而非线段．例5分析：此题主要考查识别轴对称图形的能力．根据轴对称图形的概念来认真识别．但要注意．图(9)(10)这两个图也有“对称〞性，但它们没有对称轴．不能把它们误认为是轴对称图形．解：根据图形可知：(1)是轴对称图形，它有3条对称轴；(2)是轴对称图形，它有5条对称轴；(3)是轴对称图形．它有4条对称轴.(4)是轴对称图形．它有1条对称轴；(5)是轴对称图形，它有2条对称轴；(6)不是轴对称图形；(7)是轴对称图形，它有1条对称轴；(8)是轴对称图形，它有1条对称轴；(9)(10)虽然有“对称〞性，但都不是轴对称图形．例6 分析：在〔A〕中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高〔或底边上的中线或顶角的平分线〕. 而〔B〕和〔C〕中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么〔D〕中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以〔D〕不是轴对称图形.解：选〔D〕说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.例7分析：此题主要考查两个图形成轴对称图形的理解．可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆．解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形．可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称．轴对称图形是一个图形．可以有一条或许多条对称轴．(1)～(5)两个图形成轴对称，一般来说只有一条对称轴．例8分析：找对称轴从不同角度观察，全面分析．解：(1)有6条对称轴；(2)有5条对称轴；(3)有6条对称轴．画图略．例9分析：正多边形并不都是轴对称图形．但是，是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系，请仔细找出它们之间的规律．解：正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形就有6条对称轴，正八边形有8条对称轴，正九边形有9条对称轴．正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是：边数是n，对称轴的条数是n条．所以正十边形有10条对称轴，正十六边形有16条对称轴，正二十九边形就有29条对称轴，正五十边形就有50条对称轴，正一百边形就有100条对称轴．。

基本几何形状的对称性、轴对称性的判断和利用

量子力学：量子力学中的对称性，如旋转对称性、平移对称性等，描述了微观粒子运动的规律。
对称性在化学中的应用
分子的对称性：分子结构中的对称元素，如对称面、对称轴等，对于理解分子的性质和行为具有重要意义。
对称性守恒定律：在化学反应中，反应物质的对称元素在反应前后保持一致，这有助于预测反应产物和反应路径。
对称性在圆形中的应用
圆形的对称性：圆是对称性最好的图形之一，其对称轴为任意经过圆心的直线
对称性的判断：可以通过观察图形是否关于某一直线对称来判断其是否具有轴对称性
对称性的利用：在几何图形中，可以利用对称性来简化问题，例如在计算面积或周长时
圆形中的对称性应用：在圆形中，可以利用对称性来证明一些定理或性质，例如圆的切线定理
自然界中的轴对称：许多生物，包括人类，都表现出轴对称的特征。
工程设计：轴对称结构在机械工程、航空航天和土木工程等领域中广泛应用，因为它们具有很高的稳定性和承重能力。
艺术创作：艺术家利用轴对称来创造动态平衡和美感，特别是在绘画、雕塑和摄影中。
利用对称性解决问题
第三章
利用对称性简化问题
对称性在几何问题中的重要性
添加标题
轴对称性的判断可以通过折叠图形的方式进行验证，如果图形能够沿一条直线折叠，使得两侧部分完全重合，则该图形具有轴对称性。
添加标题
轴对称性可以通过观察图形的形状、大小、方向等特征来判断。
添加标题
轴对称性的应用广泛，如建筑设计、图案设计、几何作图等领域。
轴对称性的判断方法
定义法：根据轴对称的定义，判断图形是否关于某直线对称。
对称性匹配原则：在金属催化反应中，反应物的对称性与催化剂的活性有关，对称性匹配可以促进反应的进行。

八下《正方形》提优复习含答案

第九章《正方形》提优复习【知识图解】1．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图：【技法透析】1．正方形是轴对称图形，有四条对称轴正方形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心．2．正方形对角线的特殊性质一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．正方形的判定方法(1)先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；(2)先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．考点1利用正方形的性质解题例1 如图所示，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN ⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．(1)求证：MD＝MN．(2)若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【切题技巧】(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN 中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取中点F，构造△DFM≌△MBN；(2)可类比图(1)中的方法【规范解答】(1)证明：取AD的中点F，连接MF．(2)结论MD＝MN仍成立．证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF．由(1)中结论可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，∴△DFM≌△MBA，∴MD＝NM．【借题发挥】证明两条线段相等的一般思路是，先找到或根据条件构造，使这两条线段分别处在两个“相关”的三角形中，然后再证明这两个三角形全等即可，在探索(2)中结论时，可类比(1)问的分析思路进行．【同类拓展】1．已知在锐角△ABC和锐角△AFH的外面作正方形ABEF和ACGH，AD是△ABC的高，如图所示．求证：DA的延长线平分FH．考点2正方形中规律探究问题例2 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( )A．669 B．670 C．671 D．672【切题技巧】第一次操作，得到4个小正方形；第二次操作得到7个小正方形，即7＝4＋3；第三次操作得到10个小正方形，即10＝4＋3＋3；由此推断第n次操作可得到4＋3（n－1）个小正方形，由4＋3（n－1）＝2011得n＝670，故选B．【规范解答】 B【借题发挥】对于规律问题，要仔细观察、归纳、合理推理，找到变化的特征，从而得出结论．2．如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形边长A1B1C1D1按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图2）；以此类推…，则正方形A4B4C4D4的面积为_______．考点3正方形的判定例3 如图，已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，与∠BCA相邻的外角∠ACD的平分线交于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)当点O运动到何处时四边形AECF是矩形？说明你的理由；(3)若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC的形状如何？并证明你的猜想．【切题技巧】(1)由“角平分线＋平行线等腰三角形”的思路可证OE＝OC＝OF；(2)由矩形的对角线互相平分可知O为AC的中点；(3)在(2)的前提下，可知∠ACE＝45°，即∠ACB＝90°时，四边形AECF为正方形．【规范解答】∴四边形AECF是矩形，∴当点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形．(3)解：若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，O为AC边的中点，理由如下：由(2)可知：若OA－OC，则四边形AECF为矩形．若∠ACB＝90°，则∠ECO＝∠FCO＝45°，即OC平分∠ECF．∵OE＝OF，即OC为△ECF的中线，∴CE＝CF．∵四边形AECF为矩形．∴四边形AECF为正方形．【借题发挥】特殊四边形是指平行四边形、矩形、正方形、梯形，其性质可从边、角、对角线、对称性等方面进行比较（见下表）并记忆掌握，使之在推理中灵活地应用．【同类拓展】3．如图(1)所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．(1)如图(2)，若点E、F，不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）(2)如图(3)，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE ＝DF，此时上面的结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图(4)，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种？并写出证明过程．考点4正方形中面积问题例4 如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积．【切题技巧】由30°＋15°＝45°，联想到∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，结合条件AB ＝AD，∠B＝∠D＝90°，联想到将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置．【规范解答】【借题发挥】(1)将某个图形绕一点旋转90°，拼成一个新的图形，以便集中条件，这是解决几何问题常用的方法之一．(2)利用图形的旋转不变性探索图形在旋转过程中的有关规律，从中体验图形变换的理念与思想．4．如图所示，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．考点5正方形中猜想证明题例5如图所示，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M．探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【切题技巧】由中点这一条件，想到“倍长法”，再证三角形全等．【规范解答】MD和MF的关系是：MD＝MF，MD⊥MF．【借题发挥】探索是学习的生命线，深入探究，学会探索是时代提出的新要求，数学解题中的探索活动可以从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，挖掘出更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题5．如图所示，在DABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是_______；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是_______；(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．参考答案1．略 2. 125 3．(1)成立(2)成立(3)正方形4．45°．5．(1)四边形EGFH是平行四边形．(2) )菱形(3)菱形．(4)四边形EGFH是正方形。

人教版初二数学下册正方形、梯形知识点总结及例题-2b95

正方形一周强化一、一周知识概述1、正方形的定义及性质、正方形的定义及性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特，因此它具有矩形和菱形的所有性质．殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．2、正方形的判定、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳1、利用正方形对角线的性质解题、利用正方形对角线的性质解题2、利用正方形的轴对称性解题、利用正方形的轴对称性解题上．例4、已知，如图，在正方形ABCD中，点E在AC上．3、利用旋转法解决有关正方形问题、利用旋转法解决有关正方形问题 ∴．4、构造正方形解题、构造正方形解题5、利用正方形性质解选择题、利用正方形性质解选择题梯形一周强化一、一周知识概述 1、梯形的概念、梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形．等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形． 2、等腰梯形的性质与判定、等腰梯形的性质与判定 (1)等腰梯形的性质等腰梯形的性质①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； ②等腰梯形同一底边上的两个角相等；②等腰梯形同一底边上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形的两条对角线相等． (2)等腰梯形的判定等腰梯形的判定同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． 3、梯形中常见辅助线作法、梯形中常见辅助线作法(1)平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图(1))； (2)平移一条对角线，使两条对角线及两底之和构成一个三角形，并且能得出两底之和(如图(2))；(3)延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图(3))； (4)作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图(4))；(5)延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图(5))；(6)将梯形割补为平行四边形(如图(6))；1、直接利用等腰梯形的性质或判定解题、直接利用等腰梯形的性质或判定解题∴EF∥AD，．∴EF∥BC．又，∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴．2、梯形辅助线的作法、梯形辅助线的作法在Rt△BDE中，∴∴∴AF=7cm ∴．同理．∴．∴．(3)若AD=3，BC=7，，求证：AC⊥BD．(1)分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则．又AE=DF=4，∴(2)．∴．∵，∴BD2＋DG2=BG2．点评：(1)是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由(3)知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．。

轴对称图形：轴对称的性质含答案

第2章《轴对称图形》：轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长=8厘米，则CD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：．专题：．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：．专题：．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：；．专题：．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：；．专题：．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：；．专题：．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°；∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质．7．故填55．考点：；．专题：．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得．解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的，∴∠ABC的内错角=∠ABC=110°；∵是折叠得到的∠1，∴∠1=×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．故填65．考点：；．专题：．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等，即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：；．专题：．分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°，∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°， ∴∠2=180°-70°=110°．点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 10．故填115°．考点：；．专题：．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答．11．故答案为：40°．考点：；．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．解答：解：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°，∴80°+2（180°-∠B）=360°，∴∠B=40°．故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm2．考点：．专题：．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：．专题：；．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．故答案为：8．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．答案为18．考点：．分析：根据图形的对称性，则阴影部分的面积即为正方形的面积的一半．解答：解：根据图形的对称性，知阴影部分的面积=正方形的面积的一半=12×6×6=18（cm2）．点评：此题要能够利用正方形的对称性，把阴影部分的面积集中到一起进行计算．16．答案为1：2．考点：．专题：．分析：本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．解答：解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．点评：本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．17．答案为120°．考点：．专题：．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．解答：解：根据图示可知∠CFE=180°-3×20°=120°．故图c中的∠CFE的度数是120°．点评：本题考查图形的翻折变换．18．答案为50°．考点：．专题：．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．点评：本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．19．故答案为：2．考点：．专题：．分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC 边上移动的最大距离为2．解答：解：当点P 与B 重合时，BA′取最大值是3，当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC 边上移动的最大距离为3-1=2．故答案为：2点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．20．答案为3cm ．考点：．专题：．分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC 的周长．解答：解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE ，=BC+AB+AC ，=3cm ．点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．21．答案为60°．考点：．专题：．分析：由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．解答：解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60°．点评：本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角． 22．故答案为：2 3 3．考点：．专题：．分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB 是等腰三角形，有DF=FD ，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G 是BD 的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=2 3 3．解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，∴∠DBE=∠CDB，∴DF=FB，∴△DFB 是等腰三角形，过点F 作FG⊥BD，则点G 是BD 的中点∵BD=ADsin30°=4∴BG=2∴FG=BGtan30°=2 3 3．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； 2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．23．故答案为：60．考点：．专题：．分析：由折叠的性质知，∠DA 1E=∠A=90°；DA 1=AD=2CD ，易证∠CDA 1=60°．再证∠EA 1B=∠CDA 1．解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，∴∠CA′D=30°，∴∠EA′B=180°-∠EA′D -∠CA′D=180°-90°-30°=60°．故答案为：60．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．24．答案为10 ．考点：．分析：先判定三角形BDE 是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．解答：解：连接BD，交EF于点G，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，则△BDE是等腰三角形，由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，∴BG=GD，BD⊥EF，则点G是矩形ABCD的中心，所以点G也是EF的中点，由勾股定理得，BD=310 ，BG=3102，∵BD⊥EF，∴∠BGF=∠C=90°，∵∠DBC=∠DBC，∴△BGF∽△BCD，则有GF：CD=BG：CB，求得GF=102，∴EF=10 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．25．答案为80°．考点：；．专题：；．分析：根据中位线的定义得出ED∥BC，再根据平行的性质和折叠的性质即可求．解答：解：∵D、E为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，ED∥BC，∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°，∴∠ADE=50°，由于对折前后两图形全等，故∠EDF=50°，∠BDF=180°-50°×2=80°．点评：本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．26．答案为 2 cm．考点：．专题：．分析：根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．解答：解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，∴BD=ED，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE= 2 BD= 2 BC= 2 cm．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．27．答案为60°．考点：．专题：．分析：解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角．解答：解：根据对顶角相等，翻折得到的∠E=∠ACB可得到∠θ=∠EAC，∵△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∠BAC=150°，∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°．∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC-360°=150°+150°+150°-360°=90°．∴∠θ=∠EAC=∠DAC-∠DAE=60°．点评：翻折前后对应角相等．28．答案为9．考点：．专题：．分析：由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED的周长为AD+DE+AE=AC+AE．解答：解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

“两种对称”正方形,“以美启真”助破题——2013年杭州卷第23题思路突破与解后反思

成轴对称，设它们的面积和为ｓ
（１）求证：／＿＿ＡＰＥ＝ＣＦＰ；
Ｂ
Ｆ
—
Ｃ
于是可以用含的式子表示出来，而ｓ也很容易用含的式子表示，于是Ｊｙ关于的函数解析式能表示出来；而自变量的取值范围只要注意“ 题干 ” 中“ 点Ｅ在Ａ日边上”
￣ｌＪｙｔ￣＝４ — ２ — １＝１．
所以），关于的函数解析式为ｙ — ８＋８１（２ ≤ ≤
— 一
而在ＡＰＦＣ中，由于Ｐ哟正方形ＡＢＣＤ的对角线，则
尸Ｇ＝４５。．
４），ｙ的最大值为１．
② 图中两块阴影部分图形关于点Ｐ成中心对称，
所以，
（２） ① 因为／ＡＰＥ＝ＣＦＰ，且／＿ＦＣＰ＝ＬＰＡＥ＝４５。，
￣）ｆ１Ａ）ＡＡＰＥ蝴
ＰＦ．￣ｌＪＡＣＦ＝．
而在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ为对角线，
１．发现“ 两个１８０￣ ” 快速解题
由题意，不难发现两个１８０。的等式：
一
是Ａ咫＋／＿ＥＰＦ＋－ＣＡＰＦ＝１８０。：
组合在一起，能否想象出如下的草图（如图３）就很重要
了！
二是ＡＰＦＣ＋－ＰＡＣＦ＋－ＣＡＰＦ＝１８０￣．
初中版十。擞・？
考卷解析
二、规范解答问题

巧用正方形的对称性解题

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源第 1 页共 1 页◎于秀坤巧用正方形的对称性解题正方形有四条对称轴，分别为对角线和对边中点的连线所在的直线.运用正方形的轴对称性可使许多问题巧妙解决.例1 如图1，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线于E ，求∠BEC的度数.解：因为BD 所在的直线是正方形ABCD 的一条对称轴，点E 在BD 上，点A 和点C 关于BD 对称，所以△AED 和△CED 关于BD 对称.所以∠ECD=∠EAD=25°.因为DB 平分∠ADC ，所以∠EDC=45°.所以∠BEC=∠ECD+∠EDC=25°+45°=70°.例2 如图2，点P 在正方形ABCD 的对角线BD 上，且PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD于点F ，请猜想EF 与AP 的数量关系，并说明理由.解：AP=EF .理由：连接PC.因为PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠DCB=90°，所以四边形ECFP 是矩形.所以PC=EF.因为正方形ABCD 关于BD 所在的直线对称，点P 在BD 上，点A 和点C 关于BD 对称，所以AP=PC. 所以AP=EF.例3 如图3，已知E ，F 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AE ，AF 分别与对角线BD 相交于点M ，N .求证：EAF CNF CME ∠=∠+∠2. 证明：连接AC .因为BD 所在的直线是正方形ABCD 的一条对称轴，点M ，N 在BD 上，点A 和点C 关于BD 对称，所以NCM NAM ∠=∠. 因为C M E ∠，CNF ∠分别是△MAC ，△NAC 的外角，所以 ACM CAM CME ∠+∠=∠， ACN CAN CNF ∠+∠=∠.所以ACN CAN ACM CAM CNF CME ∠+∠+∠+∠=∠+∠NAM NCM NAM ∠=∠+∠=2. 图3ACE。