赵树杰-信号检测与估计理论-极小化极大准则仿真说明

关于极小化极大准则的仿真
参考文献：
（1）极小化极大优化问题的精确解_刘健康.caj
（2）教材《信号检测与估计理论》第一版，赵树杰赵建勋编著page74~79 例题3.3.1与例题3.3.2
说明：1）利用了例题3.3.1的结论；
2）将例题3.3.2的 {-1，1} 改为 {0，2}，以利用例题3.3.1的结论。

本文件包括：
（1）仿真过程说明；
（2）仿真源程序；
（3）仿真结果。

（1）仿真过程说明
根据极小化极大准则，最佳猜想的先验概率应在曲线1的最大值处，
该点P1g∗同时使得曲线2斜率为0。

由曲线2：
C(P1，P1g)=P(H0)∗[c00∗(1−P Fg)+c10∗P Fg]+P(H1)∗[c01∗(1−P Dg)+c11∗P Dg]可知：C(P1，P1g)=(1−P1)∗A0+P1*A1=A0+(A1−A0)∗P1
点P1g∗处有：A1=A0，且此时C(P1，P1g)=A1
由A1=A0可以求解P1g∗，需解方程：
c01∗(1−P Dg)+c11∗P Dg=c00∗(1−P Fg)+c10∗P Fg
（为积分方程，可以采用数值解法或计算机模拟）
曲线3 A1(P1)；曲线4 A0(P1)
（2）仿真源程序
clear
clc
%在例题3.3.1的基础上，绘制平均代价曲线
%并验证极小化极大准则原理图3.8
%step1 设置参数
c00=1;c10=4;c11=2;c01=8; %设置代价因子的值
P1=0.5;P0=1-P1; %设置先验概率P(H0)与P(H1)
N=1; %设置独立采样次数
A=2; %设置信号幅度
delta2=1/2; %设置高斯白噪声的方差
d2=N*(A^2)/delta2; %计算功率信噪比
d=sqrt(d2);
th=(P0*(c10-c00))/(P1*(c01-c11)); %计算检测门限
gamma=delta2*log(th)/(N*A)+A/2; %计算检验统计量的划分域
Pf=qfunc(log(th)/d+d/2); %计算虚警概率 Pf=P(H1|H0)
Pd=qfunc(log(th)/d-d/2); %计算检测概率 Pd=P(H1|H1)
C=P0*(c00*(1-Pf)+c10*Pf)+P1*(c01*(1-Pd)+c11*Pd); %计算平均代价
%-----------------------------------
%变化先验概率，绘制C(P1)曲线
kk=1001; %曲线绘制的精度
mP1=zeros(kk,1);
thP1=zeros(kk,1);
gammaP1=zeros(kk,1);
CP1=zeros(kk,1);
Pf=zeros(kk,1);
Pd=zeros(kk,1);
A1=zeros(kk,1);
A2=zeros(kk,1);
for i=1:kk
mP1(i,1)=(i-1)/(kk-1);
P0=1-mP1(i,1);
thP1(i,1)=(P0*(c10-c00))/(mP1(i,1)*(c01-c11));
gammaP1(i,1)=delta2*log(thP1(i,1))/(N*A)+A/2;
Pf(i,1)=qfunc(log(thP1(i,1))/d+d/2);
Pd(i,1)=qfunc(log(thP1(i,1))/d-d/2);
%计算平均代价
CP1(i,1)=P0*(c00*(1-Pf(i,1))+c10*Pf(i,1))+mP1(i,1)*(c01*(1-Pd(i,1))+c11*Pd(i ,1));
A1(i,1)=c01*(1-Pd(i,1))+c11*Pd(i,1);
A2(i,1)=c00*(1-Pf(i,1))+c10*Pf(i,1);
end
plot(mP1,CP1,'r-')
hold on
% 若先验概率未知，需要猜测一个先验概率，按照猜测的先验概率gP1来进行域的划分
% 假定猜测的先验概率为gP1=0.2,实际的先验概率[0,1]变化
% 绘制平均代价曲线
gP1=0.5; %猜想的先验概率P1=0.2;mPi(201,1)
gP0=1-gP1;
gth=(gP0*(c10-c00))/(gP1*(c01-c11)); %用猜想的先验概率计算的检测门限
ggamma=delta2*log(gth)/(N*A)+A/2; %用猜想的先验概率计算检验统计量的划分域;
gPf=qfunc(log(gth)/d+d/2); %用上述划分域计算虚警概率Pm=P(H1|H0)
gPd=qfunc(log(gth)/d-d/2); %用上述划分域计算检测概率Pd=P(H1|H1)
gC=gP0*(c00*(1-gPf)+c10*gPf)+gP1*(c01*(1-gPd)+c11*gPd); %猜测状态下的理想最小平均代价
%若真实的先验概率为mP1(i,1)
kk=1001; %曲线绘制的精度
rP1=zeros(kk,1); %实际的P1的取值，为画图准备
rCP1=zeros(kk,1); %实际的平均代价
for i=1:kk
rP1(i,1)=(i-1)/(kk-1);
P0=1-rP1(i,1);
%按照猜想的先验概率计算得到的域的划分，来计算真实的平均代价
rCP1(i,1)=P0*(c00*(1-gPf)+c10*gPf)+rP1(i,1)*(c01*(1-gPd)+c11*gPd);
end
plot(rP1,rCP1,'r-')
hold on
%plot(rP1,A1,'b-')
hold on
%plot(rP1,A2,'m-')
（3）仿真结果
曲线2
曲线1
曲线3
曲线2
曲线1
曲线4。