2020年广西西宁高三一模数学试卷(理科)

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2020年高考模拟试卷广西南宁市高考(理科)数学一模测试试卷含解析

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．255．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．411．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的性质直接求解．解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式知方差不变．故选：A．4．若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．25【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得展开式中x6的系数，再根据展开式中x6的系数为150，求得a2的值．解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，故选：C．5．设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3＝0，变形解可得q的值，由等比数列的前n项和公式可得S4＝＝40a1＝，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，解可得q＝3或，又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，则a4＝a1q3＝9，故选：A．6．已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b ＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝3与点（1，a+b）在切线y＝3x﹣2上，联立求得a，b的值，则答案可求．解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，∴，解得．则a﹣b＝3．故选：B．7．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，利用排除法分析可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，故选：A．8．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD 所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD＝2，则EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝＝，∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．9．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框内的条件．解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0k＝2，S＝0+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．故则①处应填写k≤3？故选：B．10．已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．4【分析】由题意画出图形，可得四边形AF1BF2是平行四边形，利用双曲线定义及余弦定理求解△AF1F2的面积，再由对称性可得△AF2B的面积．解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，∴，，设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，又|r1﹣r2|＝2a，故．∴．则△AF2B的面积为．故选：D．11．已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）【分析】判断函数f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；再把不等式f（lgx）＞3化为0＜|lgx|＜1，求出解集即可．解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；又f（1）＝log22+＝3，所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，解得＜x＜10，且x≠1；所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．故选：D．12．已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④【分析】由函数f（x）在区间（π，2π）内没有最值，列不等式求出ω的取值范围，再结合函数的单调性与ω的取值范围判断题目中的命题是否正确．解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；综上知，所有正确结论的编号是②④．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13．已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【分析】推导出＝1，从而＝＝1，进而＝﹣，由此能求出向量与的夹角．解：∵两个单位向量满足|+|＝||，∴＝1，＝＝1，解得＝﹣1，∴＝﹣，∴cos＜＞＝﹣，∴向量与的夹角为．故答案为：．14．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．则＝＝＝＝18．故答案为：18．15．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【分析】设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，利用椭圆的定义，在△ABF2中，，在△AF1F2中，利用余弦定理，转化求解椭圆的离心率即可．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，又在△AF1F2中，，得，故离心率，故答案为：．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・【分析】连结D1A，AC，D1C，推导出EF∥平面ACD1，EG∥平面ACD1，从而平面EFG∥平面ACD1，推导出点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，由此能求出当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，并能求出最小值．解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．【分析】（1）利用频率分布直方图能求出样本平均数的大小．（2）分别求出＝96.5，＝36.5，100＞96.5，从而该零件属于“不合格”的零件．解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．（2）＝66.5+30＝96.5，＝66.5﹣30＝36.5，100＞96.5，∴该零件属于“不合格”的零件．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．【分析】（1）根据题意，判断出AC⊥平面BCC1B1，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz，求出平面ABB1与平面CBB1的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），由，，得令x＝1，得．又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，由，所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．19．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用和基本不等式的应用求出结果．解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，当a＝b时，最大值为，由于，所以△ABC为等边三角形．利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，解得c＝所以．20．已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．【分析】（1）利用函数导数，结合二次函数图象和性质，判断即可；（2）由（1）的单调性，对m进行分类讨论，判断函数f（x）的最小值，求出m．解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f （m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．21．如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D 四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．【分析】（1）联立抛物线方程和圆方程，运用判别式为0和韦达定理，解不等式可得所求范围；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，运用韦达定理，抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），求得面积S的解析式，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），求得导数，以及最值时t的值，可设P（m，0），再由P，A，D三点共线的条件，解方程可得m的值，即可得到所求坐标．解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，解得2＜r＜3；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x2，﹣2），则S＝（|AB|+|CD|）•（x2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2•＝2•，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得＝，解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，所以P的坐标为（﹣，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）直接利用直线和圆的位置关系式的应用及参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出a的值．（2）利用极径和三角函数关系式的恒等变换及三角函数的性质的应用求出结果．解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，所以圆心坐标满足直线的方程，所以a+1﹣2＝0，解得：a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，则ρ1＝2sinα+2cosα，用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．由于l1⊥l2，所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，故三角形面积的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．【分析】（1）由已知可得，+＝（+）（a+b），展开后利用基本不等式可求；（2）由，展开后结合基本不等式可求范围，然后由（）2+（）2即可证明．解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，∴+＝（+）（a+b）＝＝，当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；（2）证明：∵a+b＝4，∴＝＝1，∴，∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。

2020届青海省西宁市高三复习检测(一)数学试题解析

绝密★启用前2020届青海省西宁市高三复习检测（一）数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{|06},2,4,6,8A x N x B =∈<<=,则A B I = A ．{0,1,3,5} B ．{0,2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{2,4}答案：D先求出集合A 中的元素，再求交集. 解：因为{}1,2,3,4,5A =,所以{}2,4A B =I ,故选D. 点评：本题主要考查集合的交集运算，列举出集合的所有元素，求出公共元素即组成交集. 2．已知(,)a bi a b R +∈是11ii -+的共轭复数，则a b +=（） A ．1- B ．12- C ．12D ．1答案：D 首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 解：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-， ()a bi i i ∴+=--=， 0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D. 点评：本题考查复数的计算，属于基础题型.3．已知向量()2,1a =-r，()1,3b =-r ，则（） A ．//a b r rB ．a b ⊥rrC ．()//a a b -r r rD ．()a ab ⊥-r r r答案：D由题()1,2a b -=--rr ，则()()()()21120a a b ⋅-=-⨯-+⨯-=r r r ，则()a ab ⊥-r r r ．故本题答案选D ．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为() A ．cos 2y x =，x ∈R B ．2log y x =，x ∈R 且x ≠0 C ．2x x e e y --=,x ∈RD ．3+1y x =，x ∈R 答案：B 解：首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C 、D ，对于先减后增，排除A ，故选B.【考点】函数的奇偶性、单调性.5．设函数()cos sin =+f x x b x （b 为常数），则“1b =”是“()f x 为偶函数”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：D根据函数为偶函数得到0b =，得到答案. 解：()cos sin =+f x x b x ，()()()cos sin cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，函数为偶函数，则()()f x f x =-，即cos sin cos sin x b x x b x +=-，0b =. 故“1b =”是“()f x 为偶函数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 点评：本题考查了既不充分也不必要条件，根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力.6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率π的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm ，正方形的边长为1cm ，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的近似值为()A ．14(1)p -B ．11p -C ．114p -D ．41p-答案：A直接利用几何概型公式计算得到答案. 解：根据几何概型：12414S p S ππ-==，解得14(1)p π=-. 故选：A. 点评：本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．函数2sin ()1x xf x x -=+在[,]-ππ的图象大致为() A ． B ．C ．D ．答案：D根据函数为奇函数,且当[,]x ππ∈-时sin x x <,再结合选项进行排除即可得答案. 解：∵函数的定义域为R ,关于原点对称,且2sin()()()()()1x x f x f x x ----==--+, ∴()f x 是奇函数,故排除A,B ；设()()sin ,0,g x x x x π=-∈,则()cos 10x g x '=-≤,故为减函数. 故()()00g x g ≤=.故2sin ()1x xf x x -=+在[0,]π为负,排除C.故选：D. 点评：本题考查根据函数的解析式选择函数的图象,考查数形结合思想,求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.属于中档题.8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为（35，45）和（-45，35），则cos （α+β）的值为（）A ．2425-B ．725-C ．0D ．2425答案：A344324cos ,sin ,cos ,sin cos()cos cos sin sin 555525ααββαβαβαβ===-=∴+=-=-，故选A ．点睛：利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：(1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ；(2)纵坐标y ；(3)该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（）A ．1B ．12C ．22D 3答案：D由三角函数的图象求得()sin(2)3f x x π=+，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.解：由图象可知，1,()2362TA πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+，又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭.结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=，所以1223()()sin(2)sin 66332f x x f ππππ+==⨯+==，故选D. 点评：本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A ．2B ．4C ．26D ．46答案：B先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可．解：解：设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23根据截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =，故由题意知(222R r =+，即(222216R =+=，所以4R =，故选：B ．点评：本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题． 11．关于x 的方程2cos sin 0x x a -+=，若02x π<≤时方程有解，则a 的取值范围（）A ．[1,1]-B ．(]1,1-C ．[1,0]-D ．5,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭答案：B由22215sin cos sin (1sin )(sin )24x x x x a x -=--=+-=，结合0＜x 2π≤，利用正弦函数的单调性可求得﹣121524sinx ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭＜1，从而可得a 的取值范围．解：∵2cos sin 0x x a -+=，∴22215sin cos sin (1sin )(sin )24x x x x a x -=--=+-= ∵02x π<≤，∴01sinx ≤＜， ∴113222sinx +≤＜， ∴2119424sinx ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭＜， ∴﹣121524sinx ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭＜1，即﹣1＜a ≤1．∴a 的取值范围为(]1,1-．故选B ．点评：本题考查三角函数的最值，考查分离变量法的应用，突出考查正弦函数的单调性与配方法，属于基础题．12．（文科）已知点A 为曲线4(0)y x x x=+>上的动点,B 为圆22(2)1x y -+=上的动点,则||AB 的最小值是()A ．3B ．5C ．32D ．42答案：A数形结合分析可得,当()2,4A 时能够取得||AB 的最小值,根据点到圆心的距离减去半径求解即可. 解：由对勾函数的性质,可知44y x x=+≥,当且仅当2x =时取等号, 结合图象可知当A 点运动到()2,4时能使点A 到圆心的距离最小, 最小为4,从而AB 的最小值为413-=.故选：A 点评：本题考查两动点间距离的最值问题,考查转化思想与数形结合思想,属于中档题. 13．已知P 是抛物线上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,是一个定点,则PQ PN +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．21+答案：A 试题分析：恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；14．设()f x ,()g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中0k >.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是() A ．20,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．12,34⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．12,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B根据题意可知,函数()y f x =和()y g x =在(]0,9上的图象有8个不同的交点,作出两函数图象,即可数形结合求出. 解：作出两函数的图象,如图所示：由图可知,函数()y f x =和()12y g x ==-在(]0,9上的图象有2个不同的交点, 故函数()y f x =和()()2y g x k x ==+在(0,1]x ∈上的图象有2个不同的交点,才可以在(0,9]x ∈上在x 轴上方有6个交点.所以,圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为2311kd k =<+,解得204k <<,因为两点()()2,0,1,1-连线斜率为13,所以,1234k ≤<. 故选：B. 点评：本题主要考查了分段函数的图象应用,函数性质的应用,函数的零点个数与两函数图象之间的交点个数关系的应用,意在考查学生的转化能力和数形结合能力,属于中档题. 二、填空题15．若△ABC 中，sinA:sinB:sinC 2:3:4=，那么cosC= 。

青海省西宁市2020届高三复习检测(一)数学试题含答案

Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
６．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一．书中记载了借助“外圆内
方”的钱币（如图１）做统计概率得到圆周率 π的近似值的方法．现将其
抽象成如图２所示的图形，其中圆的半径为２ｃｍ，正方形的边长为１ｃｍ，
三、解答题：共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答。第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共６０分。１７．（１２分）已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝２ａｎ＋ｎ－１，ｂｎ＝ａｎ＋ｎ．（Ⅰ）求证：数列｛ｂｎ｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ．
则｜ＡＢ｜的最小值是
Ａ．３
Ｂ．５
Ｃ．３槡２
Ｄ．４槡２
（理科）已知Ｐ是抛物线ｙ２＝４ｘ上的一个动点，Ｑ是圆（ｘ－３）２＋（ｙ－１）２＝１上的一个动
点，Ｎ（１，０）是一个定点，则｜ＰＱ｜＋｜ＰＮ｜的最小值是
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．５
Ｄ．槡２＋１
１２．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）是定义在Ｒ上的两个周期函数，ｆ（ｘ）的周期为４，ｇ（ｘ）的周期为２，且ｆ（ｘ）是
[ ] Ｄ．１３，槡４２
二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。
１３．在△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ∶ｓｉｎＢ∶ｓｉｎＣ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ＝．
{２ｘ－ｙ≥５
１４．某所学校计划招聘男教师ｘ名，女教师ｙ名，ｘ和ｙ满足约束条件ｘ－ｙ≤２，则该校招聘的ｘ＜６
教师人数最多为名．
( ) ( ) 位圆相交于Ａ，Ｂ两点，若点Ａ，Ｂ的坐标为３５，４５和－４５，３５，

2020年广西高考数学一诊试卷(理科)

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)22．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．5645．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．126．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A ．25 B ．2 C ．15 D ．2112．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = ．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，sin cos sin (2cos )A C C A =-．（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列．（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)2【思路分析】先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出R A ð．【解析】：易知()(){}1|3120{|2}3A x x x x x x =+-=-或厔?，所以1|23R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了补集的定义，是基础题．2．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--【思路分析】利用复数模的计算公式求|34|i -，即可求得z ，则答案可求．【解析】：由题意，得525z i =+g ．则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2(,1)5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“38x >” ⇔ “2x >”，即可判断出结论．【解析】：“38x >” ⇔ “2x >”，∴ “38x >”是“2x >”的充要条件．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【思路分析】C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．【解析】：C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．当0k >时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程224x y k k k -=，其焦距为8=，解得645k =；当0k <时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-．综上，645k =或645k =-．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【思路分析】根据一元二次方程有实数根△0…，求出a 的取值范围，再求对应的概率值．【解析】：因为方程2280x ax -+=有实数根，所以△2()4280a =--⨯⨯…，解得8a …或8a -„，所以方程2280x ax -+=有实数根的概率为12811242P -==-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【思路分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．【解析】：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q ⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得第一次运行时，2k =，332S =+⨯；第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，332333S =+⨯+⨯+⋯，以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，此时刚好不满足2018k <，则输出3(12342018)S =++++⋯+，所以该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值．故选：A ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+【思路分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解析】：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．【解析】：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B ．【总结与归纳】本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴【思路分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．【解析】：由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21w T π==，则()2sin()f x x ϕ=+中，因为5()()36f f ππ=，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==，将7(,2)12π代入2sin()y x ϕ=+，得72()122k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()12k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin(2)2sin()1212f x x k x πππ=-+=-，令22()2122k x k k Z πππππ--+∈剟，得5722()1212k x k k Z ππππ-+∈剟，所以函数()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增．故B 项正确；令322()2122k x k k Z πππππ+-+∈剟，得71922()1212k x k k Z ππππ++∈剟，所以函数()f x 在175[,]1212ππ--上单调递减．故C 项错误；令()122x kx k Z ππ-=+∈，得7()12x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴．故D 项正确．故选：C ．【总结与归纳】考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A 25B ．22C 15D ．217【思路分析】本题根据题意可得22||b PF a=，然后过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据两个直角三角形相似可计算出点Q 坐标，再将点Q 坐标代入椭圆方程，结合222b a c =-，可解出e 的值．【解析】：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得22222||1PF c a b +=，解得22||b PF a=．如图所示，过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据题意及图可知，Rt △211Rt QEF PF F ∆∽， Q 11||4||PF F Q =，∴1221||||4||||F F PF EF QE ==， 121||2||442F F c cEF ∴===，0322c cx c ∴=--=-．又220||||44PF b y QE a =-=-=-Q ．∴点Q 坐标为3(2c-，2)4b a -．将点Q 坐标代入椭圆方程，得222291416c b a a +=．结合222b a c =-，解得21c e a ==，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--【思路分析】根据已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<；解得40a -<<．再根据方程()0g x =只有唯一的正实数根，求导，分析函数()y g x =根的分布，列出不等式得出a 的取值范围即可．【解析】：因为二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<，解得40a -<<．由3223232()()(3)21(3)231g x f x ax a x ax ax ax ax a x ax a x x =+-+++=--+-+++=-+．则2()363(2)g x ax x x ax '=-=-，令()0g x '=，故0x =或2x a =；由于0a <，所以2x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当20x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以2x a=有极小值，0x =时，有极大值；因为(0)1g =．当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根．而当2x a=时，32()31g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值，所以32222()()3()10g a a a a=-+>，解得2a >（舍去）或2a <-．综上所述，实数a 的取值范围是(4,2)--．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = 2 ．【思路分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k 的值【解析】：由题意，得33(1,)(2,4)(5,34)a b k k +=-+-=--rr ，因为(3)//a b a +r r r．所以1(34)5()0k k ⨯----=，解得2k =．故答案为2．【总结与归纳】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是212 ．【思路分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得结论．【解析】：二项式91()2x x-的展开式的通项是3999219911()()(1)()22r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-，令3902r -=，解得6r =．故二项式91()2x x -的展开式中的常数项是669679121(1)()22T C -=-=．故答案为：212【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 15 ．【思路分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)--组成的直线的斜率，目标函数在点(4,0)C 处取得最小值011415min z +==+，故答案为：15．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为17(4)π-．【思路分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．【解析】：正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，由正弦定理可知，BDC∆外接圆半径23243r==及2r=，所以三棱锥的高2044h=-=，又底面积23(23)33BCDS∆=⨯=，根据题意可知ABC∆底BC边上的高120317h=-=，侧面积13323173512ABCS S∆==⨯⨯⨯=，设三棱锥的体积1334433V=⨯⨯=，设内切球的半径为R，则由等体积可得，1()433ABC ACD ABD BCDS S S S R∆∆∆∆+++=，所以171R-=，故内切球的表面积2174(4)S Rππ'==-．故答案为：17(4)π-．【总结与归纳】本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且223a c ac-=，sin cos sin(2cos)A C C A=-．（1）求角B的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长．【思路分析】（1）由sin cos sin (2cos )A C C A =-，可得sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，利用和差公式可得：sin()2sin A C C +=，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得2b c =．根据已知223a c ac -=，利用余弦定理即可得出B ．（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，由正弦定理，得．解得b ．c ．代入223a c ac -=中，得a ，j 即可得出ABC ∆的周长．【解析】：（1）因为sin cos sin (2cos )A C C A =-，所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=，所以sin()2sin A C C +=，所以sin 2sin B C =．由正弦定理，得2b c =．因为223a c ac -=，由余弦定理，得22222222(2)31cos 22222a c b a c c a c ac B ac ac ac ac +-+--=====，又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，则由正弦定理，得．解得4b =．所以2c =．将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=，解得113a =-（舍去）或113a =+．所以ABC ∆的周长是11342137a b c ++=+++=+．【总结与归纳】本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小【思路分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．【解答】（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF ．因为HF 是ABC ∆的中位线，所以12,//2HF BC HF BC ==．又因为2DE =，//DE BC ，所以HF DE =，//HF DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形，所以//EF HD ．因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊂/平面ACE ．所以//DH 平面ACE ．（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG ．易知222211,(5)122OD DE AO AD OD ==-=-=，易知HG 是AOB ∆的中位线，所以//HG AO 且112HG AO ==．因为AD AE =，O 为DE 中点，AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥．因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥．又DE CE E =I ，DE ，CE ⊂平面DBCE ，所以HG ⊥底面DBCE ．所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角．易求等腰梯形DBCE 222242()(5)()222BC DE CE ---=-= 所以1DG =．在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===．得45HDG ∠=︒．故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒．【总结与归纳】本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【思路分析】（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．与抛物线方程联立消去x ，得2480y my --=，利用根与系数的关系即可得出．（2）由（1），知ABF∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-=g g ，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，0m ≠时，推理可得：CDF ∆的面积2S = 【解析】：（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以212121222()44444x x my my m y y m m m +=+++=++=+=+g ．因为124x x +=．所以2444m +=，解得0m =．所以直线AB 的方程为2x =．（2）由（1），知ABF ∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-g g ．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =，但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠．因此，直线CD 的方程为12x y m=-+．同理，CDF ∆的面积2S =所以1212S S ====，当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立．【总结与归纳】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列．（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ，b ．（2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知1~(4,)4X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由题意，得2(0.010.03)1010.01a b a b +++⨯=⎧⎨=⎩，解得0.04a =，0.02b =．（2）估计这100名选手的平均成绩为：650.1750.3850.2950.484x =⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）由题意知1~(4,)4X B ，则4431()()()44i i iP X i C -==，(0i =，1，2，3，4)，X 0 1 2 3 4 P 812562764271283641256()414E X =⨯=．【总结与归纳】本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数()()1g x f x mx =--，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．【解析】：（1）由已知得()1x af x e x '=++，则0(0)1f e a a '=+=+．又因为直线210x y ++=的斜率为12所以1(1)()12a +⨯-=-，解得1a =．所以()(1)x f x e ln x =++，定义域为(1,)-+∞，所以1()01x f x e x '=+>+．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间．（2）令()()1g x f x mx =--．则1()1x g x e m x '=+-+令1()1x h x e x =++，则21()(1)x h x e x '=-+当0x …时，211,01(1)x e x <+厔，所以()0h x '…．所以函数()(0)y h x x =…为增函数．所以()(0)2h x h =…，所以()2g x m '-…．①当2m „时，20m -…，所以当2m „时，()0g x '…，所以函数()(0)y g x x =…为增函数，所以()(0)0g x g =…，故对0x ∀…，()10f x mx --…成立；②当2m >时，11m ->，由0x …时，1011x <+„，1()()11x x g x f x m e m e m x ''=-=+-<+-+，当(0x ∈，(1))ln m -，知10x e m +-<，即()0g x '<．所以函数()y g x =，(0x ∈，(1))ln m -为减函数．所以当0(1)x ln m <<-时，()(0)0g x g <=．从而()10f x mx --<，这与题意不符．综上，实数m 的取值范围为(-∞，2]．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解析】：（1）由直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：390x y -+=．所以：直线l 的普通方程为390x y -+=．曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．转换为直角坐标方程为：2212350x y x +++=．故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=．（2）直线390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0)-，(0,9)，不妨设(3,0)M -，(0,9)N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=，由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )A αα-+，所以22||||AM AN +最22222(3cos )sin (6cos )(sin 9)18(sin cos )128)1284πααααααα=-+++-++-=-++=-++，当sin()14πα+=-，即54πα=时，最大值为128．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．【思路分析】（1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．【解析】：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<，则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >．故所求不等式的解集为(2,)+∞．证明：（2）2222(4)(4)(88)a b a b ++-+222()4416ab a b =--+ 222()4416ab a b =--+ 22(4)(4)a b =--，因为2b>，a>，2所以24b>，a>，24所以22-->．(4)(4)0a b所以原不等式2222++>+成立．(4)(4)88a b a b【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。

2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(有解析)

2020年广西高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1−2x x+3<0}，则∁R A = ( ) A. (−∞,−3]⋃[12,+∞)B. (−∞,−3)⋃(12,+∞) C. [−3,12]D. (−3,12) 2. 在复平面内，复数z =2+4ii (i 为虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为( )A. √63 B. √62 C. 3√55 D. √525. 在区间[−1,3]上随机取一个实数x ，则x 使不等式|x|≤2成立的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 34 6. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，己知S 2=3，S 4=15，则S 3=( )A. 7B. −9C. 7或−9D.7. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为( )A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220238.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 369.函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C. D.10.函数y=Asin(wx+φ)的部分图象如图所示，则()A. y =2sin (x +π6)B. y =2sin (2x −π6)C. y =2sin (x +π3)D. y =2sin (2x −π3)11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=|F 1F 2|且cos∠PF 2F 1=23，则椭圆离心率为( ) A. 12 B. 37 C. 23 D. 34 12. 定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)使得f′(x 1)=f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a ，则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=13x 3−m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [43,83]B. (43,83)C. (43,+∞)D. (−∞,83) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，若a ⃗ //b ⃗ ，则k 等于______ ．14. 二项式(2x x )6的展开式的常数项为______．15. 实数x ，y 满足{x +2y −4≤0x ≥1y ≥1，则z =x −2y 的最小值为______．16. 高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知cosC +cosAcosB −√3sinAcosB =0(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =1，求b 的取值范围．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若E为SC的中点，求证：SA//平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求CE与平面BDE所成的角．19.已知过点M(p2,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2+y2−2x=0与直线l相交于C，D(A,C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，BD 的长构成等差数列，求直线l的方程．20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a，b，c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．21.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)⩽3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了补集的定义与运算，不等式求解，是基础题．根据补集的定义写出运算结果即可．解：因为1−2xx+3<0⇔(2x−1)(x+3)>0，所以A={x|x>12或x<−3}，所以∁R A={x|−3⩽x⩽12}．故选C．2.答案：D解析：解：z=2+4ii =2i+4=4−2i，对应的点的坐标为(4,−2)，位于第四象限，故选：D．将复数进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2−6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2−6x+5=0⇔(x−3)2+y2=4，由此知道圆心C(3,0)，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴a2+b2=9①又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±bax⇔bx±ay=0，∴√a2+b2=2②连接①②得{b=2a2=5，可得c=3，所以双曲线的离心率为：ca =3√55．故选：C．5.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法，求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率是关键．首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度求概率．解：在区间[−1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的x范围为[−1,2]，所以由几何概型的公式得到概率为2+13+1=34；故选D．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比即可求出答案．解：己知S 2=3，S 4=15，则{a 1(1−q 2)1−q =3a 1(1−q 4)1−q =15，解答{a 1=−3q =−2或{a 1=1q =2，故S 3=a 1(1−q 3)1−q =−3×(1+8)3=−9，或S 3=a 1(1−q 3)1−q =1×(1−8)−2=7．故选C ．7.答案：C解析：解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，可得s =11×2+12×3+⋯+12021×2022=1−12022=20212022．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题．解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V =13×12×(4+4)×4×8=1283，故选A ．9.答案：C解析：[分析]本题考查函数的性质与图象．根据函数的解析式并结合选项，列举出几组点的坐标，应用排除法找出正确的选项．[解答]解：当时，，说明函数图象上应该有点(−1,−1)，所以舍去A，D；当x=2时，，说明函数图象上应该有点(2,−1)，所以舍去B；故选C．10.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意求出A，T，代入点，得φ，即可得出结果．解：由图像得A=2，，即T=π，则，，代入点，得，即，，则，取k=0，得，，选项B符合题意，故选B．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．通过|PF1|=|F1F2|可得△PF1F2是以PF2为底的等腰三角形，且底边长为2a−2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∴△PF 1F 2是以PF 2为底的等腰三角形，|PF 2|=2a −2c ，过F 1作F 1A ⊥PF 2交PF 2于A ，则有cos∠PF 2F 1=|AF 2||F 1F 2|=12|PF 2||F 1F 2|=a−c 2c=23， ∴3a =7c ，即离心率e =ca =37，故选B ．12.答案：B解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．根据题目给出的定义得到g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，即方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解，利用二次函数的性质能求出m 的取值范围．解：∵g(x)=13x 3−m 2x 2，∴g′(x)=x 2−mx ，由题意可知g′(x)=x 2−mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)，满足g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，∴方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解．令ℎ(x)=x 2−mx +m −43，则{Δ=m 2−4(m −43)>0ℎ(0)=m −43>0ℎ(2)=83−m >00<m 2<2，解得43<m <83．故选B ．13.答案：−12解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴2k +1=0，解得k =−12．故答案为：−12根据向量平行列方程解出k ．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：60解析：解：设二项式(2x +1√x )6的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅x −12r =C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r ，令6−32r =0得：r =4，∴二项式(2x +√x )6的展开式的常数项为T 5=C 64⋅22=15×4=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r 中x 的幂指数为0求得r ，从而可求二项式(2x +√x )6的展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.答案：−2解析：解：由z =x −2y 得y =12x −z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小，由{x =1x +2y −4=0，解得{x =1y =32，即A(1,32). 代入目标函数z =x −2y ，得z =1−2×32=1−3=−2 ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−2．故答案为：−2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16.答案：(√17−1)348π解析：解：正四棱锥的斜高为√17，正四棱锥内切球的半径为r 由等体积可得13×22×4=13(4+4×12×2×√17)r ， ∴r =√17−14， ∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为43⋅π⋅(√17−14)3=(√17−1)348π．故答案为：(√17−1)348π．由等体积可得内切球半径r ，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积．本题主要考查内切球半径r ，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b2=1−3ac，利用基本不等式求出b≥12，再由b<a+c=1，求出边b的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA//OE，又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，所以，SA//平面BDE；(Ⅱ)解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，因为SA//EO，所以EO⊥OC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，所以OC⊥平面BDE，所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．设正方形的边长为a，则EO=12SA=√22a，Rt△COE中，tan∠CEO=OCEO=1，所以∠CEO=45°，所以CE与平面BDE所成的角为45°．解析：(Ⅰ)要证明SA//平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA//OE，得证；(Ⅱ)证明∠CEO为CE与平面BDE所成的角，即可得出结论．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的觉，线面平行转化为线线平行是解题的关键．19.答案：解：(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，消去x，得，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，由于OA→⋅OB→=−3，即x1x2+y1y2=−3，x1x2=y122p ⋅y222p=p24，即有p24−p2=−3，解得，p=2；(2)由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=−4，则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=16(1+m2)，|AB|2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2=(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(1+m2)2，即有|AB|=4(1+m2)，由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|−|CD|=|AB|−|CD|，又CD为圆x2+y2−2x=0的直径，即有|CD|=2，则4(1+m2)=6，解得，m=±√22，则直线l的方程是√2x+y−√2=0或√2x−y−√2=0．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；(2)求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．20.答案：解：(1)由于a+b+2c=0.052，a+c=2b，c=2a，解得a=0.008，b=0.012，c=0.016，故数学成绩的平均分：x−=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08= 117.8分，(2)由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P(X=0)=C33C63=120，P(x=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120．E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a，b和c值，根据频率分布值直方图，即可求得平均值；(2)根据频率分布直方图即可求得中位数；(3)由题意，求得X的取值，分别求得其分布列，求得其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查分布列及数学期望的方法，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=e x−a⋅x，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m∈(0,+∞)时，f(x)+ax−ln(x+m)−1>0恒成立，∴m∈(0,+∞)时，e x−ln(x+m)−1>0恒成立，令g(x)=e x−ln(x+m)−1，x>−m，∴g′(x)=e x−1x+m，令ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，∴ℎ′(x)=e x+1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e−11+m >0，g′(0)=1−1m，当x→−m时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根，设为x 0，则e x 0−1x0+m=0，∴g(x)在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+m)−1=e x 0+x 0−1>0，设φ(x)=e x +x −1，x ∈(−m,1)，易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增，又φ(0)=0， ∴x 0>0，∴g′(0)=1−1m <0，解得0<m <1， ∴m 的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a ≤0或a >0时的情况，即可求出结果； (2)构造函数g(x)=e x −ln(x +m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0，所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立，则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。

青海省西宁市2020届高三数学下学期复习检测(一模)试题一理

2020年普通高等学校招生全国统一考试西宁市高三级复习检测（一）数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,}M x =，{0,2}N =，若{2}M N =I ，则A B U 为（） A ．{0,1} B ．{0,2} C ．{1,2} D ．{0,1,2}2.复数1ii -的共轭复数为（） A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i -- D ．1122i -3.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．-10B ．-3C ．4D ．5 4.函数212()log ()f x x x =-的单调增区间为（）A ．1(,)2-∞B ．1(0,)2 C. 1(,)2+∞ D ．1(,1)25.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（）A ．《雷雨》只能在周二上演B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 6.我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中，等差数列的通项公式为（）A ．1766n -+（*,5n N n ∈≤） B ．1362n +（*,5n N n ∈≤） C. 1766n + （*,5n N n ∈≤） D ．1362n -+，（*,5n N n ∈≤）7.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．42π-B ．8π- C. 483π-D ．82π- 8.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB AD •=u u u r u u u r（）A ．10B ．11 C.12 D ．139.先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数，且x y ≠”，则概率(|)P B A =（） A ．13 B ．14 C. 15 D ．1610.点,,,A B C D在同一个球面上，AB BC ==2AC =，若球的表面积为254π，则四面体ABCD 体积最大值为（） A ．14 B ．12 C. 23D ．2 11.设双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若以1OF （O 为坐标原点）为直径的圆与2PF 相切，则双曲线C 的离心率为（） AB．34-+．37+ 12.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x --=-，当[1,0]x ∈-时，3()f x x =-，则关于x 的方程()cos f x x π=在51[,]22-上的所有实数解之和为（）A ．-7B ．-6 C. -3 D ．-1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数,x y 满足202600x y x y x -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则目标函数y z x =的最小值为．14.已知(13)nx +的展开式中，含有2x 项的系数是54，则n = ．15.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线1)y x =+上从左向右依次取点,k k A B ，1,2,k =L ，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是．16.已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)AP OA λ=-u u u r u u u r （R λ∈）（O 是坐标原点），且72OA OP •=u u u r u u u r，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数231()3cos()sin()cos ()2222f x x x x πππ=--++-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1f A =，2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 2020年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与AlphaGo 的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与AlphaGo 的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女 10 55 合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望和方差. 独立性检查临界值表：20()P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 …0k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 …（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. 底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11A B ，11A D 的中点.（1）在图中作出一个平面α，使得BD α⊂，且平面//AEF α.（不必给出证明过程，只要求作出α与直棱柱1111ABCD A B C D -的截面.）（2）若12AB AA ==，060BAD ∠=求平面AEF 与平面α的距离d .20. 在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 满足124OF OM OF OM -+-=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）若直线y kx m =+与轨迹E 有且仅有一个公共点Q ，且与直线4x =-相交于点R ，求证：以QR 为直径的圆过定点1F . 21. 已知函数1()xf x e ax=+（0,0a x ≠≠）在1x =处的切线与直线(1)20180e x y --+=平行.（1）求a 的值并讨论函数()y f x =在(,0)x ∈-∞上的单调性；（2）若函数1()()1g x f x x m x=--++（m 为常数）有两个零点12,x x （12x x <） ①求实数m 的取值范围； ②求证：120x x +<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩，（t 为参数，0a >）以坐标原点O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=-（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；（2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）作出函数()f x 的图象；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值.试卷答案一、选择题1-5:DCADC 6-10:DBBAC 11、12：DA 二、填空题13. 2 14. 4 15. 512 16. 15 三、解答题 17. 解：（1）231()cos()sin()cos ()2222f x x x x πππ=--++-21cos sin 2x x x =+-1sin 2cos 222x x =- sin(2)6x π=-令222262k x k πππππ-≤-≤+（k Z ∈），解得63k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），所以()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+（k Z ∈）. （2）由（1）知()sin(2)16f A A π=-=因为(0,)A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-又2a =，则2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当2b c ==时，等号成立. 所以bc 取最大值，最大值为4，所以ABC ∆面积的最大值为11sin 4222ABC S bc A ∆==⨯⨯=18.由频率分布直方图可知，(0.0200.005)1010025+⨯⨯=所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而22⨯列联表如下22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(30101545)1003.0304555752533⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为3.030 3.841<，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从该地区抽取1名“围棋迷”的概率为14. 由题意知，1~(3,)X B ，从而X 的分布列为故()344E X =⨯=，()34416D X =⨯⨯=.19. （1）如图，取11B C 的中点M ，11D C 的中点N ，连结BM ，MN ，ND ，则平面BMND 即为所求平面α.（2）如图，连接AC ，AC 交BD 于点O ， ∵在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为菱形， ∴AC BD ⊥，∴分别以,DB AC 所在直线为,x y 轴，O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，又∵所有棱长为2，060BAD ∠=，∴(0,A ，(1,0,0)B，C ，(1,0,0)D -，1(0,A ，1(1,0,2)B ，1(1,0,2)D -∴1(,2)22E -，1(,2)22F --∴1(2)2AE =u u u r，1(2)2AF =-u u u r，AB =u u u r ，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =r，则00n AE n AF ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r u u u r r u u u r，即1202212022x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令y =(0,3)n =-r，n =r，∴点B 到平面AEF的距离19AB n h n •===u u u r ， ∴平面AEF 与平面α的距离19d =20. （1）解：因为12124OF OM OF OM MF MF -+-=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即124MF MF +=u u u u r u u u u r由椭圆定义可知动点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆所以2,1a c ==，2223b a c =-=所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由221 43x yy kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y得222(43)84120k x kmx m+++-=如图，设点00(,)Q x y，依题意0m≠，∵直线y kx m=+与轨迹E有且仅有一个公共点∴由222(8)4(43)(412)0km k m∆=-+-=，可得2243m k=+.此时02443kmxk=-+，02343myk=+，即4kxm=-，3ym=，∴43(,)kQm m-，由4y kx mx=+⎧⎨=-⎩，解得4y k m=-+∴(4,4)R k m--+由1(1,0)F-可得143(1,)kQFm m=--u u u r，1(3,4)RF k m=-u u u r∴11433(1)(4)0kQF RF k mm m•=---=u u u r u u u r∴11QF RF⊥∴以QR为直径的圆过定点1F.21.解：（1）'21()xf x eax=-，'1(1)1f e e a =-=-，∴1a =. ∴2'2211()x x x e f x e x x -=-= 令2()1x h x x e =-，则'2()(2)x h x x x e =+∴(,2)x ∈-∞-时，'()0h x >；(2,0)x ∈-时，'()0h x <. 则()h x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减. ∴在(,0)x ∈-∞时，24()(2)10h x h e ≤-=-<，即(,0)x ∈-∞时，'()0f x <，∴函数()f x 在(,0)x ∈-∞上单调递减.（2）①由条件可知，()1x g x e x m =-++，则'()1x g x e =-∴()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；要使函数有两个零点，则min ()(0)20g x g m ==+<∴2m <-.②证明：由①可知120x x <<，∴20x -<，又12,x x 是两个零点∴2212222()()()()2x x g x g x g x g x e ex ---=--=-- 令()2x x m x e ex -=--（0x >）则'()20x xm x e e -=+->， ∴()(0)0m x m >=即12()()g x g x >-又()g x 在(,0)-∞上单调递减，∴12x x <-，即120x x +<22.解：（1）由cos()4πρθ+=-)x y -=- 即直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则点P 到直线l的距离d==2sin()4t π=-- ∴当242t k πππ-=+，k Z ∈时，min 2d =.（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴对任意t R ∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t ϕ-<（其中tan 2a ϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故实数a的取值范围为(0,.23.解：（1）12,21()1213,122,1x x f x x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩（2）由（1）可知32m =∵2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+， ∴324ab bc +≤ ∴2ab bc +的最大值为34，当且仅当12a b c ===时，等号成立.。

2020年广西高考数学一诊试卷(理科)

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A ＝（） A.(−2,13)B.(−13,2)C.(2,52) D.(−∞,−13]∪[2,+∞)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|＝2+5i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（） A.(25,1) B.(1,25)C.(−25,−1)D.(−1,−25)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的（） A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件4. 已知双曲线C:x 2−4y 2＝k 的焦距等于圆M:x 2+y 2+4x ＝12的直径，则实数k ＝（） A.−645B.645C.564D.645或−6455. 在区间[4, 12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8＝0有实数根的概率为（） A.23B.14C.13D.126. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3−8，且S 3＝13，则a 2＝（） A.3 B.−3C.3或−353D.−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A.输出3(1+2+3+4+...+2017)的值B.输出3(1+2+3+4+...+2018)的值C.输出3(1+2+3+4+...+2019)的值D.输出1+2+3+4+...+2018的值8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45∘的扇形，则该几何体的表面积为（）A.5π2+12B.5π+24C.3π+12D.3π2+129. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A.B.C. D.10. 函数f(x)＝A sin (wx +φ)(A >0, w >0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A.f(x)在[19π12,31π12]上单调递增B.f(x)的最小正周期是2πC.f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D.直线x =−17π12是曲线y ＝f(x)的一条对称轴11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|＝4|F 1Q|，则C 的离心率为（） A.√22 B.2√55C.√217D.√15512. 已知二次函数f(x)＝ax 2−ax −1没有零点，g(x)＝f(x)+ax 3−(a +3)x 2+ax +2，若方程g(x)＝0只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是（） A.(−∞, −4)B.(−4, 0)C.(−4, −2)D.(−2, 0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a →=(1,−k),b →=(2,−4)，若(3a →+b →)∥a →，则实数k ＝________．二项式(12x −√x )9的展开式中的常数项是________．已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0, 则z =y+1x+1的最小值为________．已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2＝ac ，sin A cos C ＝sin C(2−cos A)．（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD ＝BD ＝AE ＝CE =√5，BC ＝4，DE ＝2，DE // BC ，O ，H 分别为DE ，AB的中点，AO ⊥CE ．（1）求证：DH // 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点P(2, 0)的直线交抛物线C 于A(x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点．（1）当x 1+x 2＝4时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60, 70),[80, 90),[90, 100]的频率构成等比数列．（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．已知函数f(x)＝e x +a ln (x +1)(a ∈R)的图象在点（0, f(0)）处的切线与直线x +2y +1＝0垂直．（1）求f(x)的单调区间；（2）若当x ∈[0, +∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+35＝0．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]（1）求不等式|x −4|−x <0的解集；（2）设a ，b ∈(2, +∞)，证明：(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2．参考答案与试题解析2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆于虫锥春线接综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】二次来数的斗象二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系直线都一起式方钾与直荷的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(含答案解析)

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A =( )A. (−13,2)B. (−2,13) C. (−∞,−13]∪[2,+∞)D. (2,52)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|=2+5i(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A. (1,25)B. (25,1)C. (−1,−25)D. (−25,−1)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知双曲线C ：x 2−4y 2=k 的焦距等于圆M ：x 2+y 2+4x =12的直径，则实数k =( )A. 645B. −645C. 645或−645D. 5645. 在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8=0有实数根的概率为( )A. 14B. 23C. 13D. 12 6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=a 3−8，且S 3=13，则a 2=( )A. −3B. 3C. −353D. 3或−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A. 输出3(1+2+3+4+⋯+2018)的值B. 输出3(1+2+3+4+⋯+2017)的值C. 输出3(1+2+3+4+⋯+2019)的值D. 输出1+2+3+4+⋯+2018的值 8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为( ) A. 5π+24B.5π2+12C. 3π+12D. 3π2+129.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()A. B.C. D.10.函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A. f(x)的最小正周期是2πB. f(x)在[19π12,31π12]上单调递增C. f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D. 直线x=−17π12是曲线y=f(x)的一条对称轴11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为()A. 2√55B. √22C. √155D. √21712.已知二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，g(x)=f(x)+ax3−(a+3)x2+ax+2，若方程g(x)=0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是()A. (−4,0)B. (−∞,−4)C. (−2,0)D. (−4,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量a ⃗ =(1,−k),b ⃗ =(2,−4)，若(3a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗ ，则实数k =______． 14. 二项式(12x −1√x )9的展开式中的常数项是______．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0,则z =y+1x+1的最小值为______．16. 已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2=ac ，sinAcosC =sinC(2−cosA)． (1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．18. 如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD =BD =AE =CE =√5，BC =4，DE =2，DE//BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO ⊥CE ． (1)求证：DH//平面ACE ；(2)求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P(2,0)的直线交抛物线C 于A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)两点．(1)当x 1+x 2=4时，求直线AB 的方程；(2)若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．20. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60,70)，[80,90)，[90,100]的频率构成等比数列． (1)求a ，b 的值；(2)估计这100名参赛选手的平均成绩；(3)根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=e x +aln(x +1)(a ∈R)的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x +2y +1=0垂直．(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x ∈[0,+∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．23.(1)求不等式|x−4|−x<0的解集；(2)设a，b∈(2,+∞)，证明：(a2+4)(b2+4)>8a2+8b2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：易知A ={x|(3x +1)(x −2)≥0}={x|x ≤−13或x ≥2}，所以C R A ={x|−13<x <2}，故选：A ．先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出∁R A . 本题主要考查了补集的定义，是基础题． 2.答案：B解析：解：由题意，得z ⋅5=2+5i.则z =25+i ，其在复数平面内对应的点的坐标为(25,1)．故选：B ．利用复数模的计算公式求|3−4i|，即可求得z ，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.答案：C解析：解：“x 3>8”⇔“x >2”， ∴“x 3>8”是“x >2”的充要条件．故选：C ．“x 3>8”⇔“x >2”，即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.答案：C解析：解：C 圆M ：x 2+y 2+4x =12化为标准方程是(x +2)2+y 2=16，其半径为4.直径为8．当k >0时，双曲线C ：x 2−4y 2=k 化为标准方程x 2k −y 2k4=k ，其焦距为2√k +k 4=8，解得k =645；当k <0时，双曲线C ：x 2−4y 2=k 化为标准方程是y 2−k 4−x 2−k =1，其焦距为2√−k −k4=8，解得k =−645．综上，k =645或k =−645．故选：C ．C 圆M ：x 2+y 2+4x =12化为标准方程是(x +2)2+y 2=16，其半径为4.直径为8.对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：D解析：解：因为方程2x 2−ax +8=0有实数根，所以△=(−a)2−4×2×8≥0，解得a ≥8或a ≤−8，所以方程2x 2−ax +8=0有实数根的概率为 P =12−812−4=12．故选：D ．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a 的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：设公比为q ，易知q ≠1．由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13，解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−73，当{a 1=1q =3时，a 2=a 1q =3；当{a 1=253q =−73时，a 2=a 1q =−353，所以a 2=3或a 2=−353，故选：D ．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力． 7.答案：A解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k =2，S =3+3×2；第二次运行时，k =3，S =3+3×2+3×3；第三次运行时，k =4，S =3+3×2+3×3+3×4； …，以此类推，第2017次运行时，k =2018，S =3+3×2+3×3+3×4+⋯+3×2018，此时刚好不满足k <2018，则输出S =3(1+2+3+4+⋯+2018)，所以该程序的功能是“输出3(1+2+3+4+⋯+2018)的值．故选：A ．解析：解：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积S =18×π×22×2+2×3×2+18×2π×2×3=52π+12．故选：B ．直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.答案：B解析：解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B ．分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：由图可知，A =2，该三角函数的最小正周期T =7π3−π3=2π，故A 项正确；由w =2πT=1，则f(x)=2sin(x +φ)中，因为f(π3)=f(5π6)，所以该三角函数的一条对称轴为x =π3+5π62=7π12，将(7π12,2)代入y =2sin(x +φ)，得7π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，解得φ=−π12+2kπ(k ∈Z)，所以f(x)=2sin(x −π12+2kπ)=2sin(x −π12)，令2kπ−π2≤x −π12≤2kπ+π2(k ∈Z)，得2kπ−5π12≤x ≤2kπ+7π12(k ∈Z)，所以函数f(x)在[19π12,31π12]上单调递增．故B 项正确；令2kπ+π2≤x −π12≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得2kπ+7π12≤x ≤2kπ+19π12(k ∈Z)，所以函数f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递减．故C 项错误；令x −π12=kx +π2(k ∈Z)，得x =kπ+7π12(k ∈Z)，则直线x =−17π12是f(x)的一条对称轴．故D 项正确．故选：C ．由图象求出函数f(x)的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．解析：解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得c2 a2+|PF2|2b2=1，解得|PF2|=b2a．如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0,y0)，根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵|PF1||F1Q|=4，∴|F1F2||EF1|=|PF2||QE|=4，∴|EF1|=|F1F2|4=2c4=c2，∴x0=−c−c2=−3c2．又∵y0=−|QE|=−|PF2|4=−b24a．∴点Q坐标为(−3c2,−b24a).将点Q坐标代入椭圆方程，得9c24a2+b216a2=1．结合b2=a2−c2，解得e=ca =√217，故选：D．本题根据题意可得|PF2|=b2a，然后过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0,y0)，根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合b2=a2−c2，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12.答案：D解析：解：因为二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，则a≠0且△=a2+4a<0，解得−4<a<0．由g(x)=f(x)+ax3−(a+3)x2+ax+2=ax2−ax−1+ax3−(a+3)x2+ax+ 2=a3x−3x2+1．则g′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，令g′(x)=0，故x=0或x=2a；由于a<0，所以x<2a 时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当2a<x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；所以x=2a有极小值，x=0时，有极大值；因为g(0)=1.当a<0时，g(x)=0只有唯一的正实数根，所以g(x)=0在(−∞,0)上没有实数根．而当x=2a时，g(x)=ax3−3x2+1在(−∞,0)上取得最小值，所以g(2a )=a(2a)3−3(2a)2+1>0，解得a>2(舍去)或a<−2.综上所述，实数a的取值范围是(−4,−2)．故选：D．根据已知二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，则a≠0且△=a2+4a<0；解得−4<a<0.再根据方程g(x)=0只有唯一的正实数根，求导，分析函数y=g(x)根的分布，列出不等式得出a的取值范围即可．本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意，得3a⃗+b⃗ =3(1,−k)+(2,−4)=(5,−3k−4)，因为(3a⃗+b⃗ )//a⃗．所以1×(−3k−4)−5(−k)=0，解得k=2．故答案为2．根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k的值本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14.答案：212解析：解：二项式(12x−√x)9的展开式的通项是T r+1=C9r(12x)9−r(−√x)r=C9r(−1)r(12)9−r x9−32r，令9−32r=0，解得r=6．故二项式(12x−√x)9的展开式中的常数项是T7=C96(−1)6(12)9−6=212．故答案为：212先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15.答案：15解析：解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数z=y+1x+1表示可行域内的点(x,y)与点(−1,−1)组成的直线的斜率，目标函数在点C(4,0)处取得最小值z min=0+14+1=15，故答案为：15．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.答案：(4−√172)π解析：解：正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，由正弦定理可知，△BDC外接圆半径2r=√3√32=4及r=2，所以三棱锥的高ℎ=√20−4=4，又底面积S△BCD=√34×(2√3)2=3√3，根据题意可知△ABC底BC边上的高ℎ1=√20−3=√17，侧面积S=3S△ABC=3×12×2√3×√17=3√51，设三棱锥的体积V=13×3√3×4=4√3，设内切球的半径为R，则由等体积可得，13(S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD)R=4√3，所以R=√17−14，故内切球的表面积S′=4πR2=(4−√172)π．故答案为：(4−√172)π．设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．17.答案：解：(1)因为sinAcosC=sinC(2−cosA)，所以sinAcosC=2sinC−sinCcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinC，所以sin(A+C)=2sinC，所以sinB=2sinC．由正弦定理，得b=2c．因为a2−3c2=ac，由余弦定理，得cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−(2c)22ac=a2−3c22ac=ac2ac=12，又因为B∈(0,π)，所以B=π3(2)因为△ABC的外接圆半径是4√3，3则由正弦定理，得．解得b=4．所以c=2．将c=2代入a2−3c2=ac中，得a2−12=2a，解得a=1−√13(舍去)或a=1+√13．所以△ABC的周长是a+b+c=1+√13+4+2=√13+7．解析：(1)由sinAcosC=sinC(2−cosA)，可得sinAcosC=2sinC−sinCcosA，利用和差公式可得：sin(A+C)=2sinC，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得b=2c.根据已知a2−3c2=ac，利用余弦定理即可得出B．(2)因为△ABC的外接圆半径是4√3，由正弦定理，得．解得b.c.代入a2−3c2=ac中，3得a，j即可得出△ABC的周长．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，BC=2,HF//BC．所以HF=12又因为DE=2，DE//BC，所以HF=DE，HF//DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF//HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH//平面ACE．(2)解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知OD=1DE=1,AO=√AD2−OD2=√(√5)2−12=2，2易知HG是△AOB的中位线，AO=1．所以HG//AO且HG=12因为AD=AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG//AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG//AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG 是DH 与底面DBCE 所成的角．易求等腰梯形DBCE 的高为√CE 2−(BC−DE 2)2=√(√5)2−(4−22)2=2所以DG =1．在Rt △HDG 中，由tan∠HDG =HGDG =11=1.得∠HDG =45°．故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45°．解析：(1)利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；(2)关键是找出∠HDG 是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)由直线AB 过定点P(2,0)，可设直线方程为x =my +2．联立{x =my +2y 2=4x 消去x ，得y 2−4my −8=0，由韦达定理得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8，所以x 1+x 2=my 1+2+my 2+2=m(y 1+y 2)+4=m ⋅4m +4=4m 2+4．因为x 1+x 2=4.所以4m 2+4=4，解得m =0．所以直线AB 的方程为x =2． (2)由(1)，知△ABF 的面积为S 1=S △APF +S △BPF =12|PF|⋅|y 1|+12|PF|⋅|y 2|=12×1×|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√12(4m)2−4×(−8)=12√16m 2+32=2√m 2+2．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当m =0时，直线AB 的方程为x =2，则此时直线l 的方程为y =0，但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以m ≠0.因此，直线CD 的方程为x =−1m y +2．同理，△CDF 的面积S 2=2√1m2+2．所以S 1S 2=4√(2+1m 2)(m 2+2)=4√5+2m 2+2m 2≥4√5+2√2m 2⋅2m 2=4√5+2×2=12，当且仅当2m 2=2m 2，即m 2=1，亦即m =±1时等号成立．解析：(1)由直线AB 过定点P(2,0)，可设直线方程为x =my +2.与抛物线方程联立消去x ，得y 2−4my −8=0，利用根与系数的关系即可得出．(2)由(1)，知△ABF 的面积为S 1=S △APF +S △BPF =12|PF|⋅|y 1|+12|PF|⋅|y 2|=12×1×|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，m ≠0时，推理可得：△CDF 的面积S 2=2√1m+2.进而得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意，得{(0.01+0.3+a +b)×10=10.01a =b 2，解得a =0.04，b =0.02．(2)估计这100名选手的平均成绩为：x −=65×0.1+75×0.3+85×0.2+95×0.4=84． (3)由题意知X ～B(4,14)，则P(X =i)=C 4i(34)4−i (14)i ，(i =0,1，2，3，4)，E(X)=4×14=1．解析：(1)由频率分布直方图的性质能求出a ，b ．(2)由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩． (3)由题意知X ～B(4,14)，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)由已知得f′(x)=e x +ax+1，则f′(0)=e 0+a =a +1．又因为直线x +2y +1=0的斜率为12 所以(a +1)×(−12)=−1，解得a =1．所以f(x)=e x +ln(x +1)，定义域为(−1,+∞)，所以f′(x)=e x +1x+1>0．所以函数f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，无单调减区间． (2)令g(x)=f(x)−mx −1.则g′(x)=e x +1x+1−m 令ℎ(x)=e x +1x+1，则ℎ′(x)=e x −1(x+1)2当x ≥0时，e x ≥1,0<1(x+1)2≤1，所以ℎ′(x)≥0．所以函数y =ℎ(x)(x ≥0)为增函数．所以ℎ(x)≥ℎ(0)=2，所以g′(x)≥2−m ．①当m ≤2时，2−m ≥0，所以当m ≤2时，g′(x)≥0，所以函数y =g(x)(x ≥0)为增函数，所以g(x)≥g(0)=0，故对∀x ≥0，f(x)−mx −1≥0成立；②当m >2时，m −1>1，由x ≥0时，0<1x+1≤1，g′(x)=f′(x)−m =e x +1x+1−m <e x +1−m ，当x ∈(0,ln(m −1))，知e x +1−m <0，即g′(x)<0．所以函数y =g(x)，x ∈(0,ln(m −1))为减函数．所以当0<x <ln(m −1)时，g(x)<g(0)=0．从而f(x)−mx −1<0，这与题意不符．综上，实数m 的取值范围为(−∞,2]．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；(2)构造函数g(x)=f(x)−mx −1，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：(1)由直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).转换为直角坐标方程为：3x −y +9=0．所以：直线l 的普通方程为3x −y +9=0．曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0.转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+12x +35=0．故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+12x +35=0．(2)直线l3x −y +9=0与坐标轴的交点依次为(−3,0)，(0,9)，不妨设M(−3,0)，N(0,9)，曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2+12x +35=0化为标准方程是(x +6)2+y 2=1，由圆的参数方程，可设点A(−6+cosα,sinα)，所以|AM|2+|AN|2最=(−3+cosα)2+sin 2α+(−6+cosα)2+(sinα−9)2=−18(sinα+cosα)2+128=−18√2sin(α+π4)+128，当sin(α+π4)=−1，即α=5π4时，最大值为18√2+128．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由不等式|x −4|−x <0，得|x −4|<x ，则{x >0−x <x −4<x，解得x >2．故所求不等式的解集为(2,+∞)．证明：(2)(a 2+4)(b 2+4)−(8a 2+8b 2)=(ab)2−4a 2−4b 2+16 =(ab)2−4a 2−4b 2+16=(a 2−4)(b 2−4)，因为a >2，b >2，所以a 2>4，b 2>4，所以(a 2−4)(b 2−4)>0．所以原不等式(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2成立．解析：(1)解绝对值不等式即可；(2)利用作差法比较大小．本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。

青海省西宁市2020届高三复习检测(一)数学试题(带答案解析)

19．点为双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，且，与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为________.
20．已知数列中，，， .
（1）求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前项和 .
21．石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:
A．，x R
B．，x R且x≠0
C． ,x R
D．，x R
5．设函数（为常数），则“ ”是“ 为偶函数”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一.书中记载了借助“外圆内方”的钱币（如图1）做统计概率得到圆周率的近似值的方法.现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为，正方形的边长为，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是，则圆周率的近似值为( )
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求出集合A中的元素，再求交集.
【详解】
因为 ,所以 ,故选D.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，列举出集合的所有元素，求出公共元素即组成交集.
2．D
【解析】
【分析】
首先计算，然后利用共轭复数的特征计算的值.
【详解】
，
，
.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的计算，属于基础题型.
22．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在区域返券60元；停在区域返券30元；停在区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

2020届青海省西宁市高三复习检测(一)数学试题解析

青海省2020年高考数学一模试卷(理科)(II)卷

青海省2020年高考数学一模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共8题；共16分)1. （2分）已知集合，R是实数集，则（）A . RB .C .D .2. （2分）(2017·海淀模拟) 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A . （1，﹣1）B . （1，1）C . （﹣1，1）D . （﹣1，﹣1）3. （2分）(2017·淮北模拟) 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A . ﹣67B . ﹣67C . ﹣68D . ﹣684. （2分） (2019高一下·宁波期末) 若实数满足不等式组，则的最小值是（）A .B . 0C . 1D . 25. （2分） (2018高二上·杭锦后旗月考) 设，，则是成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2018高三上·张家口期末) 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为（）A .B .C .D .7. （2分）设函数f（x）在其定义域D上的导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈D，都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质ω（a），给出下列四个函数：①f（x）=x3﹣x2+x+1；②f（x）=lnx+；③f（x）=（x2﹣4x+5）ex；④f（x）=其中具有性质ω（2）的函数为（）A . ①②③B . ①②④C . ②③④D . ①③④8. （2分）设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f （x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是（）A . 2B .C .D .二、填空题： (共6题；共6分)9. （1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为________10. （1分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=________11. （1分）(2017·河北模拟) =________．12. （1分）(2020·海拉尔模拟) (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.13. （1分）函数f（x）=2sinx+3cosx的极大值为________．14. （1分） (2019高三上·上海期中) 若向量、满足，且，，则向量在上的投影为________.三、解答题： (共6题；共55分)15. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．16. （5分） (2017高三上·沈阳开学考) 为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程R（公里）80≤R＜150150≤R＜250R≥250纯电动乘用车 3.5万元/辆5万元/辆6万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率80≤R＜15020.2150≤R＜2505xR≥250y z合计M1（Ⅰ）求x，y，z，M的值；（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．17. （10分）(2016·潍坊模拟) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC= AB= ，平面PBC⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PB=PC= ，问在侧棱PB上是否存在一点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18. （10分） (2020高一下·长春月考) 已知数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和为 .19. （10分） (2015高二上·黄石期末) 已知圆A：（x+2）2+y2=1，圆B：（x﹣2）2+y2=49，动圆P与圆A，圆B均相切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）已知点N（2，），作射线AN，与“P点轨迹”交于另一点M，求△M NB的周长．20. （10分） (2020高三上·连云港期中) 已知函数， .（1）当时，求函数的极值；（2）求函数的零点个数.参考答案一、选择题： (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题： (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题： (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。

青海省2020年高考数学一模试卷(理科)B卷

青海省2020年高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）(2017·闵行模拟) 若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·九台月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数中，在区间（0，上为增函数且以为周期的函数是（）A .B .C .D .4. （2分）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分）若一个矩形的对角线长为常数，则其面积的最大值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高三上·重庆月考) 下列说法中错误的是（）A . 先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法；B . 独立性检验中，越大，则越有把握说两个变量有关；C . 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1；D . 若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是 .7. （2分） (2019高二上·六安月考) 已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）一海豚在一长30 m，宽20 m的长方形水池中游弋，则海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）设集合则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2018高一上·广西期末) 点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分） (2019高二下·上海期末) 在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含的项为________．12. （1分）(2019·怀化模拟) 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，第一象限内的点在双曲线的渐近线上，且，若以为焦点的抛物线：经过点，则双曲线的离心率为________．13. （1分）(2014·四川理) 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3 ，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有________．（写出所有真命题的序号）14. （1分） (2019高二下·上海期末) 如图为某几何体的三视图，则其侧面积为________15. （1分）已知0＜a＜1，k≠0，函数f（x）= ，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则实数k的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共45分)16. （10分）(2019高二下·蒙山期末) 在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值．17. （5分）(2017·荆州模拟) 某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁）频数[25，30）x[30，35）y[35，40）35[40，45）30[45，50]10合计100（Ⅰ）求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人重随机抽取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．18. （10分）(2018·昌吉月考) 已知数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .19. （5分）(2017·红桥模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．20. （10分）(2018·河北模拟) 已知函数 .（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.21. （5分）(2017·焦作模拟) 已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，P，Q 分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共45分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、。

青海省2020版高考数学一模试卷(理科)D卷

青海省2020版高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·东莞开学考) 若，，则的值是（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·上饶模拟) 已知直线平面，则“直线”是“ ”的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分） (2017高一下·河北期末) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（）A . 3：1C . 1：1D . 1：24. （2分） (2017高二上·集宁月考) 在同一坐标系中,方程与的曲线大致是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·大庆模拟) 在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A . 35B . ﹣35C . ﹣566. （2分）南山中学实验学校2015级入学考试共设置60个试室，试室编号为001～060，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取12个试室进行抽查，已抽看了007试室号，则下列可能被抽到的试室号是（）A . 002B . 031C . 044D . 0607. （2分）(2017·上饶模拟) 设复数，则z的共轭复数是（）A . 1B . 1+iC . ﹣1+iD . 1﹣i8. （2分）若，对任意实数t都有，且，则实数m 的值等于（）A . -1B .C . 或D . 5或19. （2分） (2019高三上·安徽月考) 执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）=x+log2x的零点所在区间为（）A . [0，]B . [，]C . [，]D . [， 1]11. （2分） (2016高三上·安徽期中) 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A . 4B . 2C . 4D . 812. （2分）在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高二上·南京期中) 已知四棱柱的底面是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________.14. （1分） (2016高二上·阜宁期中) 已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是________．15. （2分） (2020高二下·嘉兴期中) 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________.16. （1分）(2017·海淀模拟) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的离心率为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2020高二上·长春开学考) 已知数列的前项和为，且满足 .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （15分） (2019高二上·佛山月考) 如图，在直角梯形中，，，，，，点E在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图），G为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.（3）在线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.19. （10分） (2019高二下·双鸭山月考) 节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．（1）现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；（2）已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20. （15分）(2017·上海) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21. （10分） (2019高三上·常州月考) 如图是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图是半径上一点，是圆弧上一点，且 .现在线段，线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每千米为元，线段及圆弧处每千米均为元．设弧度，广告位出租的总收入为元．（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问：为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．22. （10分） (2019高三上·河北月考) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求的参数方程；（2）求直线被截得的弦长．23. （5分）设函数f（x）=|x+a2|+|x﹣b2|，其中a，b为实数，（1）若a2+b2﹣2a+2b+2=0，解关于x的不等式f（x）≥3；（2）若a+b=4，证明：f（x）≥8．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2020年青海省高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)

2020年青海省高考理科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B ⋂=（） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2. 若p ：x R ∀∈，c o s 1x ≤，则（） A. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x > B. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x > C. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x ≥ D. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x ≥3. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C. 命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4. 设函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 值为（） A. 3B. 6C. 8D. 125. 函数21010()x xf x x--=的图像大致为（）A. B. C. D.6. 已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（） A. 4B. 3C. 2D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）正视图仰视图俯视图A. B.C.D.8. 一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R）的图象关于直线x ＝6π对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象（） A ．关于直线x ＝－3π对称 B ．关于直线x ＝6π对称 C ．关于点（3π，0）对称 D ．关于点（56π，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π11．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为( ) A 0 B. 2 C.12- D. 12+12．抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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