等比数列定义及通项公式-PPT课件

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等比数列PPT教学课件

He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
Name:
Can Can’t
Play basketball
Play football Play table tennis Play tennis
-Can you cook? -Yes, I can./ No, I can’t.
Play the piano
Ride a bike
Ride a horse
讲解范例
2. 利用等比数列的性质解题. 例3.等比数列{an}中， (1) 已知a2＝4，a5＝，求通项公式; (2) 已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.
讲解范例
3. 如何证明所给数列是否为等比数列.
例4.
设{an}是等差数列，
bn
( 1 )an 2
,
已知
b1
b2
b3
21 8 , b1b2b3
课后作业
《学案》P.48双基训练.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
Module 2 Me,my parents and my friends
Unit 1 I can speak English
Introduce yourself:
My name is …. I’m a …. I’m from …. I’m … years old. My favourite sport is ….

4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a1 3d
a3
2
q a3 a1q
a2

不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
类比
a4
3
q a4 a1q
a3

不完全归纳法得an=a1qn-1
a1 a3 a9 3a1 10 d 13d 13

a2 a4 a10 3a1 13 d 16d 16
13
16 .
____
对照归纳总结
等差数列
等比数列
通项公式
推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
a n 1 a n d ( n N )
公差公比
通项公式
等差/比中项
累乘法
不完全归纳法
*
a n 1
*
q( n N ), q 0
an
公差d可正、可负、可为零公比d可正、可负、不可为零
a n a1 ( n 1)d
an am ( n m) d
A是a与b的等差中项
2 A a b.
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an a1q
an am q n m
2
a与b的等比中项G ab (ab 0).
G b

a G
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；
而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.

等比数列公开课课件PPT

等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数学工具，可以用来描述和解决各种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛，如复利计算、贷款还款等，通过等比数列的公式可以快速准确地计算出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描述和预测数据分布，如人口增长、股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可以大大简化计算过程，提高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用不仅限于等比数列，还可以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a，则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项之间的比值是常数。

等比数列-课件ppt

(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它
的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,

等比数列的概念及基本运算ppt课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2，所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30，得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列，又 S10＝10，S20＝30，所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82，所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3

等比数列及通项公式.ppt

3某人年初投资10000元如果年收益率是5那么按照复利5年内各年末的本利和依一般地如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一个常数那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示
等比数列的概念及其通项公式
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得一个数列：
2
关于等比中项：如果在a、b中插入一个数G，使a、G、b 成等比数列，则G是a、b的等比中项。
Gb 2 G ab G ab a G
（注意两解，且同号两项才有等比中项）
例：2与8的等比中项为G，则 G2 =16 ，即：G=±4
等比数列的有关性质： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方。 2、若 m n p q a a a ，则 a m n p q
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加万国邮联大会。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。 3．交通通讯变化的影响

《等比数列说课》课件

等比数列的定义
等比数列的定义是指一个数列中，从第二项开始，每个数等于前一个数乘以同一个固定的比例因子。这个比例因子也称为公比。
等比数列的特点
比例因子固定
在等比数列中，每个数与前一个数的比例是固定不变的。
比例因子可正可负
公比可以是正数，也可以是负数。
数列逐渐增长或递减
等比数列中的数随着索引的增加，逐渐变大或变小。
通过本次《等比数列说课》的课程，我们明确了等比数列的定义、特点、通项公式以及其性质和应用。掌握这些知识，可以帮助我们更好地解决数学和实际问题。
《等比数列说课》PPT课件
欢迎大家来到本次《等比数列说课》的课程。在这个课程中，我们将探讨等比数列的定义、特点、通项公式，以及其性质和应用。通过举例，帮助大家更好地理解和应用等比数列的问题。
等比数列是什么？
等比数列是一种特殊的数列，在这个数列中，每个数等于前一个数乘以同一个固定的比例因子。通过这种关系，我们可以发现数列中的每个数之间存在一种特定的规律。
等比数列可以用于表示复利的计算过程。
应用
等比数列在数学、经济学和科学等领域中都有广泛的应用。
举例说明等比数列的问题
1
问题1
已知等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。
2问题2Βιβλιοθήκη 已知等比数列的前3项和为14，公比为2，求首项。
3
问题3
已知等比数列的首项为1，公比为0.5，求第10项。
结语和要点
等比数列的通项公式
1 通项公式
等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为数列中的第n个数，a1为首项，r为公比。
等比数列的性质和应用
性质1

等比数列(53张PPT)

⇐把an＋1＝2an＋1变形为an＋1＋1＝2(an＋1)
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第二章 2.4 第1课时
系列丛书
[解]
(1)∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)． an＋1＋1 ∴ ＝2. an＋1 ∴{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1＝2· 2n－1＝2n， ∴an＝2n－1.
Байду номын сангаас
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第二章 2.4 第1课时
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[点评]
证明一个数列是等比数列的常用方法．
an＋1 an (1)定义法： a ＝q(常数)或＝q(常数)(n≥2)⇔{an} a n n －1 为等比数列． (2)等比中项法：a 等比数列． (3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N＋) ⇔{an}为等比数列．
n－1 a q 通项公式是an＝ 1 .
3．等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．
2 G (2)如果G是x和y的等比中项，那么＝xy，即G＝± xy .
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第二章 2.4 第1课时
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思考感悟
1．如何理解等比数列的定义？
∴数列{an}是等比数列．
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第二章 2.4 第1课时
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[错因分析] 忽略了由Sn求an需n≥2，除此之外，还要保证从第二项起每一项与它的前一项的比都等于同一非零常数．
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4311等比数列的概念与通项公式课件共39张PPT

当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n， ∴数列{an}的公比为 2 或－2，对应的通项公式分别为 an＝2n 或 an＝(－1)n－12n.
类型二等比中项
[例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比中项． [思路分析] 根据已知条件，求出等比数列的首项和公比，再利用定义求等比中项．
此时{an}不是等比数列． 4．(知识点二)数列{an}为等比数列，若 a1＝2，a5＝8，则 a3＝±4.正确吗？为
什么？
提示：不正确．设等比数列{an}的公比为 q，则可得 q4＝aa51＝4，解得 q2＝2，所以 a3＝a1·q2＝2×2＝4.
二、练一练
1．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数
课堂篇·互动学习
类型一等比数列的通项公式及应用
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝9，a6＝243，求 a5； (2)已知 a1＝98，an＝13，q＝23，求 n. [思路分析] 根据题设条件，充分利用等比数列的通项公式代入求解．
[解] (1)方法一：由 a3＝9，a6＝243，得 a1q2＝9，a1q5＝243. ∴q3＝2493＝27，∴q＝3.∴a1＝1. ∴a5＝a1q4＝1×34＝81. 方法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝aa63＝2493＝27， ∴q＝3. ∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
D．84
解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)，∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.

等比数列的概念和通项公式17页PPT

(3)a3 20, a6 160, an
(4 )a2 1 0, a3 2 0, a40
(5)a2 10, a4 40, a3
数学必修五第二章
数列
2.已知等比 an的数通列项公式
为an 32n,求首a1和项公q比
补补充充为思 12..an考在在等等a：比比qn数数,如其列列{{果中 aaann,q}}都一中中aaannn是个的 ==222n3不数通 -1n0，，的则则为列项a常 a11==公数式，，，qq==
. .
那么这个数列比一数定列是吗等？
当a, q其中有一个为0时，
这个数列就不是等比数列
数学必修五第二章
数列
课时小结
1.等比数列定义：
an1 an
q,(q0,nN*)
an q,(q0.n2,nN*) an1
2.等比数列通项公式：
a n a 1q n 1(a 1 0 ,q 0 )
3.等比数列公式的推导方法：累乘法
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
是一个关于n的"一次函数"
数学必修五第二章
数列
国王要奖赏国际象棋的发明者，让发明者自己提要求，发明者提的要求是：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放置的麦粒数都是前一个格子里的2倍，直到第64个格子．” 国王听了很高兴，觉得这太容易了，你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
一个新数列，这个数还列是等比数列吗？如果是，它的首项和比公是多少？
（2）数列can(其中常数c 0)是等比数列吗

等比数列概念及性质.ppt

1 n ( ) 6
已知
an ,bn 是项数相同的等比数列，求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 ;bn 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项分别为：
an1 bn1 a1b1 (q1q2 ) n q1q2 .它是一个与n无关的常数， n 1 an bn a1b1 (q1q2 )
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,...
2
3
×
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？正负交替
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。
y 2
x
3
2 1
0
· ·
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?