《高等数学导数概念》PPT课件

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导数的概念课件

导数的概念课件导数的概念课件数学作为一门抽象而又具有普适性的学科，其中的导数概念在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

导数的概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。

本文将以课件的形式介绍导数的概念，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。

一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。

在导数的定义中，我们引入极限的概念，即当自变量趋向于某一点时，函数在该点处的斜率。

导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义可以从函数图像的角度进行理解。

导数表示了函数图像在某一点处的切线斜率。

当导数为正时，函数图像在该点处上升；当导数为负时，函数图像在该点处下降；当导数为零时，函数图像在该点处达到极值点。

三、导数的计算方法导数的计算方法有多种，常见的包括基本函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘法法则和除法法则等。

这些计算方法可以帮助我们快速求解复杂函数的导数。

四、导数的应用导数在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

在数学中，导数可以用于求解函数的极值点、判断函数的增减性和凹凸性等问题。

在物理学中，导数可以用于描述物体的运动状态，如速度和加速度等。

五、导数的图像导数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的变化规律。

通过绘制函数图像和导数图像，我们可以观察函数的极值点、拐点和增减性等特征。

六、导数的局限性导数作为函数变化率的描述，虽然在很多情况下非常有用，但也有其局限性。

导数无法描述函数在间断点处的变化，也无法描述函数的非光滑性。

此外，导数还受到计算精度的限制，对于复杂函数的导数计算可能存在误差。

七、总结导数作为微积分的基础概念，在数学和物理学中有着重要的应用。

通过本课件的介绍，我们对导数的概念、几何意义、计算方法和应用有了更深入的了解。

同时，我们也了解到导数的局限性，这将有助于我们在实际问题中正确应用导数概念。

高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt

h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章导数与微分
第一节导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章导数与微分
第一节导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导左导数 f( x0 ) 和右导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,

高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章导数与微分
第二节导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章导数与微分
第二节导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章导数与微分
第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2

《数学导数概念》课件

《数学导数概念》PPT课件
欢迎来到《数学导数概念》的PPT课件。让我们一起探索导数的基本概念、计算方法、应用和扩展，以及学习建议。
导数的基本概念
1
几何意义
2
探索导数在几何中的含义和应用。
3
定义
了解导数的数学定义和概念。
物理意义
了解导数在物理问题中的作用和解释。
导数的计算方法
基本公式
掌握导数的基本计算公式和规则。
隐函数求导
2
学习如何对隐函数进行求导。
3
参数方程求导
掌握对参数方程进行求导的技巧。
总结
1 概念回顾
回顾导数的基本概念和定义。
2 重点归纳
总结导数的计算方法和应用。
3 学习建议
给出一些建议，如何更好地学习和理解导数的概念。
四则运算法则
学习导数的四则运算法则。
常见函数的导数公式
了解常用函数的导数计算方式。
导数的应用
极值问题
探索导数在寻找函数最大值和最小值中的应用。
函数图像的绘制方法
了解如何使用导数来绘制函数的图像。
物理问题中的应用
探索导数在物理问题求解中的应用。
导数的扩展
1
高阶导数
深入了ห้องสมุดไป่ตู้高阶导数的概念和计算方法。

高等数学导数的计算教学ppt

第二节导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0．所以
1 1 1 1 (arcsin x )' 2 2 (sin y )' cos y 1 sin y 1 x
有
dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导 ,乘以中间变量对自变量求导.
16
第二章导数与微分
第二节导数的计算
设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.且
dy dy du . dx du dx
sin x x 1 cos x
15
第二章导数与微分
第二节导数的计算
二.复合函数的导数
定理2. 2. 3 设函数 y = f (u) 与u = (x)可以复合成函数y=f [(x)] ，如果u = (x)在x0可导，而 y = f (u) 在对应的u0= (x0)可导，则函数y=f [(x)]在可导，且
( C ) 0
1 ( x ) x
( sin x ) cos x
(cos x ) sin x
( arcsin x )
( a x ) a x ln a
( arccos x )
( e ) e
x
x
( arctan x ) ( arc cot x )
9
第二章导数与微分
第二节导数的计算

《导数定义》课件

2023
《导数定义》ppt课件
REPORTING
2023
目录
• 导数定义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史发展
2023
PART 01
导数定义
REPORTING
导数的定义
总结词
导数的定义是函数在某一点的变化率，是函数在这一点附近的小范围内取值的平均变化率的极限。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜率。具体来说，对于可微函数，其导数是函数值随自变量变化的速率。
隐函数的导数
总结词
隐函数的导数是导数计算中的另一个重要内容，掌握隐函数的导数计算方法有助于解决实际问题。
详细描述
隐函数的导数是通过对隐函数求偏导数来得到的，其核心思想是利用偏导数和全微分的概念，将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的导数计算方法进行计算。
2023
PAR学等。
导数的早期应用
物理学的应用
在研究速度、加速度、斜率等问题中，导数发挥了关键作用。
经济学应用
在研究成本、收益、效用和供需关系时，导数提供了重要的分析
工具。
工程学应用
在优化设计、控制理论和流体动力学等领域，导数也有广泛应用
。
导数在现代数学中的地位
导数是微积分的重要组成部分，是研究函数性质和变化率的关键
详细描述
导数具有一些重要的基本性质，如线性性质、常数性质、乘积法则、商的法则和链式法则等。这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面具有广泛应用。
2023
PART 02
导数的计算
REPORTING
导数的四则运算
总结词
理解导数的四则运算法则是掌握导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法。

《高等数学导数》课件

答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的最小变化率，即函数在这一点处的切线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论推导出来的，通过这些法则，可以方便地求出复杂函数的导数。

高中数学导数的概念 PPT课件图文

导数的定义:
从函数lyim=f(xf )(在x0x=x0x处) 的f瞬( x时0 )变化lim率是f: ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y f ( x)在x x0
处的导数 , 记作 f ( x0 )或y xx0 ,即 :
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
数值的改变量与自变的量改变量之比,即:
y f (x2) f (x1) .
x
x2 x1
我们用它来刻画函数在值区间[x1, x2]上变化的快慢.
对于一般函y数 f (x),在自变量 x从x0变到x1的
过程中,若设x x1 x0,则函数的平均变化:率是
y f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0).
x) x
f
(x0 )
例题讲解
例 1一条水管中流 y(单过位 :m 的 3)时水间 x(量单位 :s) 的函y数 f(x)3x.求函y数 f(x)在x2处的导数 f(2)并 , 解释它的. 实际意义
解:当x从2变到2x时,函数值3从2变
到3(2x),函数值 y关于x的平均变化率 : 为
例2一名食品加工厂的上工班人后开始连续, 工作生产的食品数 y(单量位:kg)是其工作时x(间单位:h) 的函数 y f (x).假设函y数 f (x)在x1和x3处的导数分别: f为(1) 4和f (3) 3.5,试解释它们的实际意. 义
如其解 4kg:果生的 f (保产 1食) 持速品.4(表这度即示一工该生作工产效,人速 )那率为上 4度么kg班他/h后 .每也1工 h时就的作可是时以说 ,候, 生一其产 f(3生生 )3产产 .5表速速 ,那示 3.度度 5么 k该 g为 /他 h工 .也每人就时上是可 ,如班说 33h.以 5的果 k后g的生时保工食产 ,候持作 .品这

导数概念ppt课件

解由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
五、可导与连续的关系
定理凡可导函数都是连续函数.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义
1.几何意义
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线的斜率,即
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a .
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x

高等数学导数的概念ppt课件.ppt

x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数是
在点可导的充分必要条件且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数在点处右 (左) 导数存在
在点必右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节目录上页下页返回结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动目录上页下页返回结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数的概念及应用PPT课件

导数的概念及应用
高三备课
.
1
高考考纲透析：（理科）
• (1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在
一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
.
5
热点题型1: 函数的最值
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
.
6
变式新题型1：已知 f (x) ax3 6a2x b, x [1, 2] 的最大值为3，最小值为 29 ，求 a, b 的值。
.
7Байду номын сангаас
热点题型2: 函数的极值
已知函数 f (x) ax3 bx2 3x在 x 1
处取得极值.（1）讨论 f (1和) f (1是) 函数 f (x)的极大值还是极小值；（2）过点 A(0, 16)作曲线 y f (x)的切线，求此切线方程.
.
8
变式新题型2：
已知 f (x) x3 ax2 bx c和 g(x) x2 3x 2
变蔡澔淇她用胖嘟嘟的小手紧握着婴儿床的栏杆坐着，舌尖不住地舔着刚长出的两颗门牙，灵澈的眼珠子骨碌地转动，四处张望。初夏晌午的阳光穿过葡萄棚，在她身上洒满了点点金圈。一片葡萄叶摇曳着飘下，落在她的脚跟前。她挪动一下圆滚滚的胖腿，好奇地望着那片落叶。一个黑点在树叶边缘晃动，过了一会成了一条肥厚的黑线，滑过树叶表面，不声不息地直朝她游动。带毛的黑线爬上了她白嫩的脚踝，小腿肚，膝盖……她觉得一阵刺痒，那肥厚的黑线直往上爬，越来越近，毛茸茸的身躯越来越大。转眼间一团黑毛已附在她肩上，黑团中有两粒小眼直盯着她。“达达 ﹣﹣，达﹣﹣达﹣﹣”她惊慌地尖叫，小手死命地挥舞，重心一个不稳，躺卧下来。那黑团又开始移动，逐渐逼近，逐渐庞大…… ? “你还好吧？”交往快两年，未曾牵过手的他紧紧搂住她的双肩，焦急的望着她。她虚弱地点点头，深吸了口气：“我从小就对毛虫敏感，见了毛虫不是作呕就是昏倒。刚才昏过去多久了？” “大概一两分钟，把我吓坏了，”他将她扶正，轻声补上，“奇怪，这么晚了，怎么会有毛虫出现？” 她紧依着他，相偎坐着。见到毛虫引起的疙瘩已消尽了，代之的是满脸燥热。她瞥了他揽着她肩膀的手一眼，偷偷抱怨：这么晚出现，再半小时宿舍就要关门了。 “妈咪﹣﹣妈咪﹣﹣”最断人肠的呼喊将她手中的蚂蚁上树炒出锅外。她慌忙跑过去，小女儿蜷缩在婴儿床的一角，满脸诧异的哭叫着。一条毛虫肆无忌惮地在婴儿床的栏杆上爬行，她一阵昏花，用了四十年的心脏几欲罢工。小女儿挣扎着想爬起来，令人心碎的哭泣成了啜搐。她咬咬牙，解下围裙往栏杆用力一挥，毛茸肥圆的毛虫滚落于地。她抬起脚，闭起眼重重一踏，觉得脚下一阵瘫软。 ? “不要怕，”她强抑住胸腹的翻腾，轻抚着女儿泪水纵横的苍白面颊，“不要怕，毛虫并不可怕。” 她坐在摇椅内小憩，枯皱的手握着身旁婴儿床的栏杆。初夏晌午的阳光穿过葡萄棚，在她身上洒满点点金圈。 “奶奶，”是小孙女清稚的童音，“那是什么？” ?她朝小孙女圆胖小手指的方向望过去，一条肥厚的黑线正由阳光下往阴影处滑动。日光下鲜明的黑线掀开了她人生的相簿，一组组幻灯片在眼前跳动。她深吸口气，咧开干瘪的嘴，露出仅剩两颗门牙朝小孙女笑笑。 “那是蝴蝶的幼虫。”她说。【注释】①蚂蚁上树：四川名菜（选自《台湾极短篇小说集》） ? 故事?场景的组合（1）阅读小说先关注故事。请根据故事内容，各用一个词填空。小小的毛毛虫、伴随着“她”走过童年、青年、中年，直至老年；小小的婴儿床，承载了“她”、 “女儿”、“孙女”的童年。故事以毛毛虫为线索，始于初遇时的，历经再见时的恐惧，终于凝望时的。 ? 语言?意义的蕴含（2）画线句中，“她”两次说“不要怕”，仅仅是在安慰女儿吗？清写出你的看法和理由。 ◆称呼?人物的标识（3）小说中没有出现主人公的名字，都是用“她” 来代替。请说说作者的意图。 ? 标题?主旨的暗示（4）结合选文，谈谈你对小说标题“蜕变”的理解。【考点】9E：小说阅读综合．【分析】这篇小说以“毛毛虫”为线索，写了她人生的四个阶段，第一阶段（开头到“逐渐逼近，逐渐庞大”），写她童年时对毛毛虫的畏惧；第二阶段（ “你还好吧”到“再半小时宿舍就要关门了”），写她青年时对毛毛虫的畏惧，以及男友对她的关爱；第三阶段（“妈咪﹣﹣妈咪”到“毛虫并不可怕”），写她中年时，看到女儿对毛毛虫的畏惧，勇敢上前扑打；第四阶段（“她坐在摇椅内小憩”到结尾），写她老年时，小孙女指着毛毛虫问她那是什么，她淡定地说，那是蝴蝶的幼虫．【解答】（1）本题考查内容的理解．这篇小说以“毛毛虫”为线索，写了她人生的四个阶段，但文中出现的她又不仅仅指她一人，文章写她成长的四个阶段中，那小小的婴儿床边哭叫的有“她”，有她的“女儿”，还有她的“孙女”．（2）本题考查句子情感的理解．这里写“她”两次说“不要怕”，是“她”的中年阶段，此时的“她”已为人母，看见自己的孩子受到惊吓，自然会去安慰．但结合前文对“她”的描述，可以知道“她”天生怕毛毛虫，特别是青年时，她见到毛毛虫“不是作呕就是昏倒”，所以这里的“不要怕” 还应是对“她”自己的安慰，安慰自己不要怕，要保护好女儿．（3）本题考查写作人称在文中的作用分析．解答此题要读懂小说内容，结合小说的主旨分析作者的意图．初读本文，一定会觉得内容很乱，情节无法连贯，但仔细一分析，发现“她”在文中分别指代她、她的女儿和孙女，作者是想让情节看似连贯却又错乱，引起读者的深思，最终恍然大悟．这样更能突出全文的主旨，耐人寻味．（4）本题考查标题含义的理解．解答此题要结合内容与主旨分析标题的表义与深层含义．从文中反复出现的黑色毛毛虫来年地，“蜕变”指黑色的毛毛虫蜕变成美丽的蝴蝶；从文中“她 ”的成长过程，又可以看出，暗指她经历岁月的风霜，由幼弱、胆小的少女变为沉稳、大胆的具有母性的女人．代谢：（1）女儿孙女（2）不仅仅是在安慰女儿，也是在安慰自己．前文写了她在童年与青年时对毛毛虫的畏惧，特别是青年时，她见到毛毛虫“不是作呕就是昏倒”，现在为人母了，看见女儿受到惊吓，出于母性，是安慰女儿不要怕，出于自己的本性，也是在安慰自己不要怕．（3）她在文中分别指代她、她的女儿和孙女，作者用同一人称代词指代不同的人，意在让情节看似连贯却又错乱，引起读者的深思，最终恍然大悟．这样更能突出全文的主旨，耐人寻味．（4）“蜕变”表义指黑色的毛毛虫蜕变成美丽的蝴蝶，暗指她经历岁月的风霜，由幼弱、胆小的少女变为沉稳、大胆的具有母性的女人．（2017江苏扬州）12．后生可畏刘斌立（1）我第一次去鉴睿律师楼，就注意到了前台旁边多了一张不怎么和谐的小桌子。一个大男孩模样的小伙子，睡眼惺忪地在那捧着厚厚的《刑法》，有一页没一页的翻着。（2）我问律师楼的合伙人李信，他一脸嬉笑地回答：“这孩子他爸是我们律师楼的大客户，也是老朋友了。他想让他儿子考律师，非得要我们把这孩子安排在这打杂，一边让他看书备考。其实我们啥事也没给他安排，让他自己在那天天待着呢。” （3）“哦，这孩子看着还挺老实的。”我随口应和道。（4）“老实！您可别小瞧这小子，听他爸说，他一心要当摇滚乐手，跟着一个不靠谱的摇滚乐队干了两年的鼓手。”老李边说边摇着头。（5）后来我再去律师楼的时候，都会下意识地看看这个叫常远的“摇滚 ”男孩，他也是经常应景似得挺朋克，一会夹克上带钉，一会头发颜色又变了。（6）那年律考后没几天，我去律师楼办事，发现常远那桌子没了，人也没了踪影。问道老李，没想到老李苦笑着说：“那小子跑了，据说和一个摇滚乐队跑到青海茫崖矿区那边，在矿区的一个小镇上的酒吧里演出呢。他爹差点没气背过去，已经发誓不管他了。” （7）我又惊讶又好笑，随着老李附和道“现在的年轻人啊”。（8）一年以后一天，我突然接到鉴睿律师楼李信律师的微信。“还记得那个玩摇滚乐的男孩吗？他又回来了！这次主动来求我，要继续准备考律师，还在我这打杂看书。

导数概念ppt

Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注：
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义；
2)△x→0， △x可正、可负、但不为0； △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例：
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习：求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导，
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习：1）设函数f(x)在x=1处可导，
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)

高数导数概念ppt课件

f (t ) t
s
3
曲线
在 M 点处的切线
y
y f ( x)
N
T
割线 M N 的极限位置 M T (当时)
切线 MT 的斜率
C M O x0x来自x lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0 f ( x) f ( x0 ) k lim x x0 x x0
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
T
f ( x0 )
C M O x0
x
x
7
若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
不存在, 就说函数在点 x0 不可导.
Δy lim , 也称若Δ x 0 Δ x
解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
9
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
x 1
h
1 x
lim
ln e
即
1 (ln x) x
12
在 x = 0 不可导. f (0 h) f (0) h 1 , h 0 证: h 1 , h 0 h f (0 h) f (0) lim 不存在 , h 0 h f ( x0 h) f ( x0 h) . 例6. 设存在, 求极限 lim h 0 2h
即
的导数. 记作: y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; dx x x0 y y x x0 f ( x0 ) lim x 0 x

高中数学导数的概念课件

优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求解微分方程、积分方程等，通过求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边缘检测、图像滤波等，通过求图像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤波器设计、信号降噪等，通过求信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿和莱布尼茨等数学家提出，用于描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值，从而确定函数的最值。

高等数学课件21导数的概念1

y yf(x) N
f(x0)
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x 0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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yf(x)f(x0) xxx0
若上述极限不存在 , 就说函数在点 x 0 不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
x
y
曲线过
下降;
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
(x0 , y0)
切线与 x 轴垂直 .
o y
x 0 x
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
(f(x0)0)
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例7. 问曲线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1x32 3
y xx0 ;
f(x0);
dy dx
x

x0
;
df (x) dx x x0
即
y
xx0
f(x0)
lim y x0 x
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运动质点的位置函数 sf(t)
在 t 0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s t
f(t0)
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线斜率
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2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
yf(x)
N
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
CM
T
切线 MT 的斜率