2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结(含解析)新人教B版必修2
2019-2020学年高中数学 第2章平面解析几何初步复习与小结教案 苏教版必修2.doc
2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案
苏教版必修2
教学目标：
1．复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用；
2．掌握典型题型及其处理方法．
教材分析及教材内容的定位：
本章研究平面直角坐标系中直线与圆的有关知识以及空间直角坐标系，是高中知识的重点内容，也是高考的高频考点；充分体现了高中数学的坐标法方程法的解题思想．
教学重点：
《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类．
教学难点：
《平面解析几何初步》的重点题型的处理方法．
教学方法：
导学点拨法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境；
2．问题：本章我们学了哪些内容？
二、学生活动
1．回顾本章所学内容；
2．在教师引导下归纳本章知识结构；
3．在教师引导下做例题和习题．
三、建构数学
1．知识分析；
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．全章知识总结；
2．题型与方法总结；
3．数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想总结．。
2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式练习(含解析)北师大版必修2
1．5 平面直角坐标系中的距离公式填一填1.两点间的距离公式 (1)数轴上：一般地，数轴上两点A ，B 对应的实数分别是x A ，x B ，则|AB |＝|x B －x A |. (2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A ，B 对应的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 2．点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，则d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 3．两平行线间的距离两条平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，两条直线间的距离记为d ，即d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2.判一判1.原点O 到点P (x ，y )的距离为|OP |＝x 2＋y 2.(√) 23．平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(√)4．直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是|C 1－C 2|.(×)5．原点到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是|C |A 2＋B2.(√)6．平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(√) 7．连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(×)8想一想1. 提示：点到直线的距离公式只适用直线方程的一般式．2．两条平行直线间的距离公式写成d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x ，y 的系数分别对应相等． 3．两条平行直线间距离有哪几种求法？ 提示：(1)直接利用两平行线间的距离公式．(2)在一条直线上任意选取一点利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．(3)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①当两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②当两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|. 4．距离公式综合应用的常见类型有哪些？ 提示：(1)最值问题．①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题．利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题．立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．思考感悟：练一练1.已知A (3,7)，B A ．5 B. 5 C ．3 D ．29 答案：B2．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则( ) A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 答案：D3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )A ．3 2 B.22C ．3 D.322答案：D4．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离等于( ) A ．7 B ．5 C ．3 D ．2 答案：A5．直线l 1：x ＋y ＝0与直线l 2：2x ＋2y ＋1＝0间的距离是________．答案：24知识点一两点间距离公式的应用1.已知点A (2，m )与点B (m,1)间的距离是13，则实数m ＝( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．－4或1 解析：∵|AB |＝m －22＋1－m 2＝13，∴m 2－3m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝4. 答案：C2．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为2＋12＋1－22＝10. 答案：10知识点二 求点到直线的距离3.已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．± 2解析：由题意，得|a －1＋1|12＋－12＝1，即|a |＝2， 所以a ＝± 2.故选D. 答案：D4．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．2解析：由题意可知|OP |的最小值即原点(0,0)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝2 2.知识点三 两条平行直线间的距离5.12b ＋c 等于( )A ．－12B ．48C ．36D ．－12或48解析：将l 1：3x ＋4y ＋5＝0改写为6x ＋8y ＋10＝0， 因为两条直线平行，所以b ＝8. 由|10－c |62＋82＝3，解得c ＝－20或c ＝40.所以b ＋c ＝－12或48.故选D. 答案：D6．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313C.51326 D.71326解析：由两直线平行可知36＝2m ≠－31，故m ＝4.又方程6x ＋4y ＋1＝0可化简为3x ＋2y ＋12＝0，∴平行线间的距离为|12－－3|22＋32＝71326.故选D. 答案：D知识点四 对称问题7.直线y ＝3xA ．y ＝3x －10B ．y ＝3x －18C ．y ＝3x ＋4D ．y ＝4x ＋3解析：在直线上任取两点A (1，－1)，B (0，－4)，则其关于点P 的对称点A ′，B ′可由中点坐标公式求得为A ′(3，－1)，B ′(4,2)，由两点式可求得方程为y ＝3x －10.答案：A8．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线的方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0(C ≠－6)．在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，其关于点(1，－1)对称的点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. 故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案：D综合知识 距离公式的综合应用9.已知△ABC 中，A (2，－1)，B (4,3)，C (3，－2)． (1)求BC 边上的高所在直线方程的一般式； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)因为k BC ＝3－－24－3＝5，所以BC 边上的高AD 所在直线斜率k ＝－15.所以AD 所在直线方程为y ＋1＝－15(x －2)．即x ＋5y ＋3＝0.(2)BC 的直线方程为：y ＋2＝5(x －3)． 即5x －y －17＝0，点A 到直线BC 的距离为|2×5－－1－17|52＋－12＝626. 又因为|BC |＝3－42＋－2－32＝26，所以△ABC 的面积S ＝12×626×26＝3.10．已知直线l 1经过点A (0,1)，直线l 2经过点B (5,0)，且直线l 1∥l 2，l 1与l 2间的距离为5，求直线l 1，l 2的方程．解析：∵直线l 1∥l 2，∴当直线l 1，l 2垂直于x 轴时，直线l 1的方程为x ＝0，直线l 2的方程为x ＝5， 这时直线l 1，l 2之间的距离等于5，符合题意． 当直线l 1，l 2不垂直于x 轴时，可设其斜率为k ， 依题意得，直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0，直线l 2的方程为y ＝k (x －5)， 即kx －y －5k ＝0.由两条平行直线间的距离公式，得|1＋5k |1＋k2＝5， 解得k ＝125.∴直线l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，直线l 2的方程为12x －5y －60＝0.综上，符合题意的直线l 1，l 2的方程有两组：l 1：x ＝0，l 2：x ＝5或l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0.基础达标一、选择题1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )A ．3 B.53C ．1 D.22解析：点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×－1－2|02＋32＝53，选B. 答案：B2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )A ．0 B.34C ．3D ．0或34解析：点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.答案：D3．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为( ) A.1310 B.135 C.72 D.235解析：直线3x ＋4y －12＝0，即直线6x ＋8y －24＝0，根据直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0平行，可得a ＝6，故两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0间的距离为|－24－11|36＋64＝72. 答案：C4．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝3－12＋1－32＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：C5．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，原点O 到l 的距离为1，且l 与y 轴正半轴有交点．则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b .又l 与y 轴正半轴有交点，知b >0，即x ＋y －b ＝0(b >0)，原点O (0,0)到直线x ＋y －b ＝0(b >0)的距离为|0＋0－b |12＋12＝1，解得b ＝2(b ＝－2舍去)，所以所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：A6．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形解析：因为k AC ＝32a a 2＋a ＝33，k BC ＝32a a2－a＝－3，k AC ·k BC ＝－1，所以AC ⊥BC ，又|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3|a |. |BC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －02＝|a |，|AC |≠|BC |. 所以△ABC 为直角三角形．答案：C7．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 C. 2 D ．4解析：由题意，知点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，即c ＝－6，∴点M 在直线x ＋y －6＝0上，∴点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即|－6|2＝3 2.答案：A 二、填空题8．已知点A (－1,2)，B (3，b )的距离是5，则b ＝________.解析：根据两点间的距离公式，可得3＋12＋b －22＝5，解得b ＝5或b ＝－1. 答案：5或－19．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4， ∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或17310．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋n ＝0平行且距离为10，则m ＋n ＝________. 解析：因为两直线平行，所以m ＝2， 由两平行线的距离公式知⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－n 232＋12＝10， 解得n ＝14或n ＝－26.所以m ＋n ＝16或m ＋n ＝－24. 答案：16或－2411．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________________________________________________________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， 所以k ＝2或k ＝－23.所以所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝012．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．解析：求x 2＋y 2的最小值，就是求2x ＋y ＋5＝0上的点到原点的距离的最小值，转化为坐标原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离d ＝522＋12＝ 5. 答案： 5 三、解答题13．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P 点垂直于x 轴的直线满足条件，此时直线l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过P 点且与原点O 距离最大的直线是过P 点且与OP 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，存在过点P 且到原点距离最大为5的直线，因此不存在过点P 到原点距离为6的直线．14．已知直线l 1：x ＋3y －3m 2＝0和直线l 2：2x ＋y －m 2－5m ＝0相交于点P (m ∈R )． (1)用m 表示直线l 1与l 2的交点P 的坐标；(2)当m 为何值时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短？并求出最短距离．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3m 2＝0，2x ＋y －m 2－5m ＝0，得x ＝3m ，y ＝m 2－m ，∴直线l 1与l 2的交点P 的坐标为(3m ，m 2－m )．(2)设点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离为d ，d ＝|3m ＋m 2－m ＋3|2＝|m 2＋2m ＋3|2＝|m ＋12＋2|2＝m ＋12＋22，∴当m ＝－1时，即P 点坐标为(－3,2)时，点P 到直线x ＋y ＋3＝0的距离最短，最短距离为 2.能力提升15.已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使||PA |－|PB ||最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由直线的两点式方程得直线A 1B 的方程为y －1－95－1＝x －4－25－4，即y ＝711(x －4)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝711x －4＋1得直线A 1B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫5625，－325，由平面几何知识可知，此时|PA |＋|PB |最小．(2)由直线的两点式方程求得直线AB 的方程为y －31－3＝x －24－2，即x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x ＋y －5＝0得直线AB 与l 的交点为P (8，－3)，此时||PA |－|PB ||最大．16．已知三条直线l 1：mx －y ＋m ＝0，l 2：x ＋my －m (m ＋1)＝0，l 3：(m ＋1)x －y ＋(m ＋1)＝0，它们围成△ABC .(1)求证：不论m 取何值时，△ABC 中总有一个顶点为定点； (2)当m 取何值时，△ABC 的面积取最值？并求出最值． 解析：(1)证明：设直线l 1与直线l 3的交点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴点A 的坐标为(－1,0)，∴不论m 取何值，△ABC 中总有一个顶点A (－1,0)为定点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋my －m m ＋1＝0，m ＋1x －y ＋m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝m ＋1，即l 2与l 3交点为B (0，m ＋1)．再由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋m ＝0，x ＋my －m m ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m m 2＋1，y ＝m 3＋m 2＋mm 2＋1，即l 1与l 2交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫mm 2＋1，m 3＋m 2＋m m 2＋1.设边AB 上的高为h ， ∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝12·1＋m ＋12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m m ＋1m 2＋1－m 3＋m 2＋m m 2＋1＋m ＋1m ＋12＋1＝12·|m 2＋m ＋1|m 2＋1＝12·m 2＋m ＋1m 2＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m m 2＋1.当m ＝0时，S ＝12；当m ≠0时，S ＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1m ＋1m . ∵函数f (x )＝x ＋1x的值域为[2，＋∞)∪(－∞，－2]．∴－12≤1m ＋1m <0或0<1m ＋1m≤12，∴14≤S <12或12<S ≤34. 当m ＝1时，△ABC 的面积的最大值为34，当m ＝－1时，△ABC 的面积的最小值为14.。
2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A(含解析)新人教B版必修2
2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A （含解析）新人教B 版必修2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.2．(xx·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2.3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －22＋z －22＝1＋y ＋32＋z －12，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k ＝2k －32.解得k ＝5，故选C ． 6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．23 [答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关 [答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2 [答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2.9．(xx·辽宁沈阳二中高一期末测试)设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0 [答案] A[解析]由题意知，点P在线段AB的垂直平分线x＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3. ∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0.10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m 2＝1－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] C[解析] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m [答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6 m ，卡车宽1.6 m ，∴AB ＝0.8 m ，∴弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5 m.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若点(2，k )到直线3x －4y ＋6＝0的距离为4，则k 的值等于________． [答案] －2或8 [解析] 由题意，得|6－4k ＋6|32＋－42＝4，∴k ＝－2或8.14．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的方程是________． [答案] (x －2)2＋y 2＝10[解析] 由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝－1－22＋1－02＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． [答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3. 16．(xx·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________．[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b .∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎨⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫15＋45m ，25－25m ， ∵|AE |＝|BE |， ∴⎝⎛⎭⎫15＋45m ＋52＋⎝⎛⎭⎫25－25m －32＝⎝⎛⎭⎫15＋45m －m 2＋⎝⎛⎭⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)． E 点坐标为(－3,2)， ∴⎩⎨⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1. 即点C (－1,1)，又∵⎩⎨⎧－3＝－4＋x 222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4， 即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k ，由题设条件12⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1， ∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0，∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0.Δ＝16(m＋1)2－20(m2＋2m)＝－4[(m＋1)2－5]，当Δ>0时，(m＋1)2－5<0，∴－1－5<m<－1＋ 5.当Δ＝0时，m＝－1±5，当Δ<0时，m<－1－5或m>－1＋ 5.故(1)当－1－5<m<－1＋5时，直线与圆相交；(2)当m＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m<－1－5或m>－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)，且半径为1的圆C2的方程．[解析]解法一：由圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，知圆心为C1(2，－1)，则过点A(4，－1)和圆心C1(2，－1)的直线的方程为y＝－1，设所求圆的圆心坐标为C2(x0，－1)，由|AC2|＝1，即|x0－4|＝1，得x0＝3，或x0＝5，∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.解法二：设所求圆的圆心为C2(a，b)，∴a－42＋b＋12＝1，①若两圆外切，则有a－22＋b＋12＝1＋2＝3，②联立①、②解得a＝5，b＝－1，∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；若两圆内切，则有a－22＋b＋12＝2－1＝1，③联立①、③解得a＝3，b＝－1，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.21．(本题满分12分)(xx·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．[解析](1)由两圆方程x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0相减，得x－y＋4＝0.故它们的公共弦所在直线的方程为x－y＋4＝0.(2)圆x 2＋y 2＋6x －4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r ＝13， ∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝|－3－0＋4|12＋－12＝22， ∴公共弦长l ＝2132－222＝5 2.22．(本题满分14分)(xx·湖南郴州市高一期末测试)已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(2)在(1)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得 5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85.x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2， ∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85.(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0..。
最新人教版高中数学必修2第二章《平面解析几何初步》本章概览
第二章平面解析几何初步
本章概览
三维目标
1.体会从直线坐标系——平面直角坐标系——空间直角坐标系的三维变化过程中，感知由易到难，由简单到复杂，由低级到高级的认知过程.
2.理解直线的倾斜角、斜率等概念，能建立直线的方程；感受数学世界的奇异美、简洁美、和谐美,增强美学意识.通过对直线方程的分析和运用，了解形式和内容、对立和统一的辩证唯物主义思想.
3.掌握直线间的位置关系以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.理解事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想.
4.通过建立圆的方程研究圆的有关性质，并通过方程进一步研究直线与圆，圆与圆的位置关系，理解规律是现象间本质的必然的联系这一辩证思想，逐步掌握按规律办事的科学方法.通过学习平面上两条直线及两圆的几何关系可转化为其方程中系数之间的关系，发现数形结合之美；通过对比三个维度下的点到直线的距离公式体会数学中的对称美.
知识网络。
2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步章末综合检测(二)新人教B版必修2
章末综合检测(二)[学生用书P133(单独成册)] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若两直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，倾斜角分别为α1，α2，且满足k 1>0>k 2，则( ) A ．90°>α1>α2 B ．90°>α2>α1 C ．α2>90°>α1 D ．α1>90°>α2答案：C2．若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一条直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9 解析：选D ．由题意知，k AB ＝k BC ，即b －1－2－3＝11－b 8＋2，解得b ＝－9．3．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．内含解析：选D ．圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心距0<2－1＝1，所以两圆内含．4．直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1解析：选D ．由3a (a －23)＋(－1)×1＝0，得a ＝－13或a ＝1．5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于( )A ． 2B ．2－1C ．2－ 2D ．2＋1解析：选B ．圆心(a ，2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，依题意⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝2－1．6．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：选D ．因为所求直线平行于直线2x ＋3y －6＝0， 所以设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0， 由|2－3＋c |22＋32＝|2－3－6|22＋32， 所以c ＝8或c ＝－6(舍去)， 所以所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0．7．若直线y －2＝k (x －1)与圆x 2＋y 2＝1相切，则切线方程为( ) A ．y －2＝34(1－x )B ．y －2＝34(x －1)C ．x ＝1或y －2＝34(1－x )D ．x ＝1或y －2＝34(x －1)解析：选B ．本题容易错选D ，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1，2)要有所区分．8．圆x 2＋y 2－2x ＝3与直线y ＝ax ＋1的公共点有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化解析：选C ．直线y ＝ax ＋1过定点(0，1)，而该点一定在圆内部．9．若动点P 到点F (1，1)和直线3x ＋y －4＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．x ＋3y －2＝0D ．3x －y ＋2＝0解析：选B ．点F (1，1)在直线3x ＋y －4＝0上，则过点F (1，1)且垂直于已知直线的直线为所求．10．已知空间两点A (1，3，5)，B (－3，1，3)，则线段AB 的中点坐标为( ) A ．(－1，2，4) B ．(2，1，1) C ．(1，0，4)D ．(3，3，－1)解析：选A ．设AB 中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1－32，y ＝3＋12，z ＝5＋32，即中点坐标为(－1，2，4)．故选A ．11．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)关于直线y ＝x －1对称，则( )A ．D ＋E ＝2B ．D －E ＝－1C ．D －E ＝－2D ．D ＋E ＝1解析：选C ．圆的对称轴是圆的直径所在的直线，所以圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x －1上，所以－E 2＝－D2－1，D －E ＝－2．故选C ．12．由直线y ＝x ＋1上的点向圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．17B ．3 2C ．19D ．2 5解析：选A ．圆心(3，－2)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝|3＋2＋1|2＝32．设所求切线长的最小值为x ．则有d 2＝r 2＋x 2，即(32)2＝12＋x 2，解得x ＝17． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．过点()－1，－2的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为__________．解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k ()x ＋1，又圆的方程可化为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222， 解得k ＝1或177．答案：1或17714．过点P (－2，0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|PA |·|PB |＝________． 解析：过P 作圆的切线PC ，切点为C ，在Rt △POC 中，易求|PC |＝3，由切割线定理，得|PA |·|PB |＝|PC |2＝3．答案：315．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．解析：已知直线斜率k 1＝－2，直线ax ＋2y ＋c ＝0的斜率为－a2．因为两直线垂直，所以(－2)·(－a 2)＝－1，得a ＝－1．圆心到切线的距离为5，即|c |5＝5，所以c ＝±5，故ac ＝±5．答案：±516．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1．若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×(－2)＋m |32＋42＝|m －5|5＞1， 所以m ＜0或m ＞10．答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)三角形ABC 的边AC ，AB 的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1，2)，求BC 边所在的直线方程．解：AC 边上的高线为2x －3y ＋1＝0，所以k AC ＝－32．所以AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0，同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0． 下面求直线BC 的方程，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0，x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)． 所以k BC ＝－23，直线BC ：y ＋1＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋7＝0． 18．(本小题满分12分)如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°) ＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ．设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．因为P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0．19．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P (m ，12)使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．解：由已知可得直线CP ∥AB ，设CP 的方程为y ＝－33x ＋c (c >1)，则c －11＋13＝AB ×32＝3，c ＝3， y ＝－33x ＋3过P (m ，12)，得12＝－33m ＋3，m ＝532． 20．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．解：(1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0可化为 (x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， 因为此方程表示圆， 所以5－m ＞0，即m ＜5．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，x ＋2y －4＝0， 消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝165，①y 1y 2＝m ＋85.②由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0 即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0， 所以16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0． 将①②两式代入上式得16－8×165＋5×m ＋85＝0，解之得m ＝85．21．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2． (1)若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求切线l 的方程； (2)过原点的直线m 与圆C 相交于A 、B 两点，若|AB |＝2，求直线m 的方程． 解：(1)①若切线l 过原点，设l 方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0． 则由C (－1，2)到l 的距离：d ＝|－k －2|k 2＋1＝2， 得k ＝2±6，所以此时切线l 的方程为：y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x ． ②若切线l 不过原点，设l 方程为x ＋y －a ＝0， 则由C (－1，2)到l 的距离：d ＝2得：a ＝3或a ＝－1，此时切线l 的方程为：x ＋y －3＝0或x ＋y ＋1＝0．所以所求切线l 的方程为：y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y －3＝0或x ＋y ＋1＝0．(2)①当直线m 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，m 与圆C 的交点为A (0，1)，B (0，3)满足|AB |＝2，所以x ＝0符合题意．②当直线m 的斜率存在时，设m 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 则圆心C 到直线m 的距离为： 1＝|－k －2|k 2＋1，解得：k ＝－34，所以此时m 的方程为：3x ＋4y ＝0．故所求m 的方程为：x ＝0或3x ＋4y ＝0．22．(本小题满分12分)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A (3，0)，且与圆O 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′．直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解：(1)由题意可知，直线l 的斜率显然存在．因为直线l 1过点A (3，0)，所以设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24． 所以直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)， 即2x ＋4y －32＝0或2x －4y －32＝0． (2)在圆O 的方程x 2＋y 2＝1中， 令y ＝0得x ＝±1，即P (－1，0)，Q (1，0)．又直线l 2过点A 与x 轴垂直， 所以直线l 2的方程为x ＝3，设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y ＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝ts ＋1(x ＋1) 得P ′(3，4ts ＋1)． 同理可得Q ′(3，2ts －1)． 以P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)·(x －3)＋(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0， 又s 2＋t 2＝1，所以整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C 经过定点，则y ＝0， 从而有x 2－6x ＋1＝0， 解得x ＝3±22，所以圆C总经过的定点坐标为(3±22，0)．。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
高中数学 第2章 平面解析几何初步章末总结 苏教版必修2
第2章平面解析几何初步章末总结苏教版必修2一、待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线、圆的方程常用待定系数法求解．例1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．变式训练1 求圆心在圆(x －32)2＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例2 求与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．变式训练2 求过点A (3,1)和圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线方程．三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例3 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．变式训练3 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是________．第二章 章末总结 答案重点解读例1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17．所以所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0．由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6．所以所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上可知，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0． 变式训练1 解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．因为圆(x －32)2＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a >－12．所以r ＝a ＋12，r ＝|b |．又圆心(a ，b )在圆(x －32)2＋y 2＝2上，所以(a －32)2＋b 2＝2，故有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是(x －12)2＋(y －1)2＝1或(x －12)2＋(y ＋1)2＝1．例2 解 (1)截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，则d ＝|0－2|1＋k 2＝1，解得k ＝±3， 所求直线方程为y ＝±3x ．(2)截距不为0时，设切线方程为x －y ＝a ，则d ＝|0－2－a |12＋12＝1， 解得a ＝－2±2，所求的直线方程为 x －y ＋2±2＝0．综上所述，所求的直线方程为 y ±3x ＝0和x －y ＋2±2＝0．变式训练2 解 当所求直线斜率存在时， 设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1， 解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例3 ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512<k ≤34．变式训练3 －1<b ≤1或b ＝－ 2解析 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系， 寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0＋b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2．观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．。
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步章末复习课课件苏教版必修2
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
所以d＝
22－（ 3）2 ＝1.由点到直线的距离公式得d＝
|1－k（1－＋3k－2 4）|，从而k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－274，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－
a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－
此时|3－22－m|＝1，∴m＝1± 2， ∴x－y的最大值为1＋ 2，最小值为1－ 2.
(3)设PA2＋PB2＝m2，则有x2＋y2＝m22－2，m2≥2.
当C相切时，PA2＋PB2取得最值，此时
m22－2±1＝ 13，解得m2＝30±4 13.
∴PA2＋PB2的最大值为30＋4 13，最小值为30－4 13.
(2)设P(x0，y0)，由已知得|x0－2y0|＝
2 2.
又P在曲线y2－x2＝1上，从而得|yx200－－xy200＝|＝11. ，
由xy020－ －yx020＝ ＝11， ，得xy00＝ ＝－0，1.此时，圆P的半径r＝ 3.
由xy020－－yx020＝ ＝－ 1，1，得xy00＝ ＝01， . 此时，圆P的半径r＝ 3.
(1)求圆A的方程； (2)当MN＝2 19时，求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相 切，∴R＝|－1＋54＋7|＝2 5.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意； ②当直线l与x轴不垂直时，设MN的中点为Q，直线l的方程为y ＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN. ∵MN＝2 19，∴AQ＝ 20－19＝1， 则由AQ＝ |kk－2＋2|1＝1，得k＝34.直线方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
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2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结（含解析）新人教B 版必修2一、选择题1．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②任何一条直线都有惟一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ①正确；对于②，当直线的倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；对于③，倾斜角为90°的直线与x 轴垂直，有无数条；对于④，倾斜角为0°的直线与x 轴平行或重合，这样的直线有无数条，故选B.2．斜率为3的直线经过(2,1)、(m,4)、(3，n )三点，则m ＋n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 由题意得3＝4－1m －2＝n －13－2，∴m ＝3，n ＝4， ∴m ＋n ＝7.3．已知直线l 1∥l 2，它们的斜率分别记作k 1、k 2.若k 1、k 2是方程x 2＋2ax ＋1＝0的两个根，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．无法确定[答案] C[解析] ∵直线l 1∥l 2，∴它们的斜率相等，即k 1＝k 2.又k 1、k 2是方程x 2＋2ax ＋1＝0的两个根，∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2a )2－4×1×1＝0，即a 2＝1， ∴a ＝1或－1，故选C ．4．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(14，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，14)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由题意知42＋(－2)2－20m ≤0，解得m ≥1，故选D.5．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12[答案] A[解析] 圆的圆心为(1,0)，由(2－1)2＋22＝5知点P 在圆上，所以切线与过点P 的半径垂直，且k ＝2－02－1＝2，∴a ＝－12.故选A ．6．(xx·全卷Ⅱ理，7)过三点A (1,3)、B (4,2)、C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[答案] C[解析] 解法一：由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，∴k AB ·k CB ＝－1，∴AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，∴|MN |＝46，故选C ．解法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋9＋D ＋3E ＋F ＝016＋4＋4D ＋2E ＋F ＝01＋49＋D －7E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝4F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y ＝±26－2，∴|MN |＝4 6. 二、填空题7．过两点(1,2)和(3,1)的直线在y 轴上的截距为________．[答案] 52[解析] ∵过两点(1,2)和(3,1)的直线方程为y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，∴直线在y 轴上的截距为52.8．(xx·湖南文，13)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A 、B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.[答案] 2[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A 、B 两点，∠AOB ＝120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案．如图，直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2. 三、解答题9．直线l 和两条直线l 1：x －3y ＋10＝0及l 2：2x ＋y －8＝0都相交，且这两个交点间的线段的中点是P (0,1)，求直线l 的方程．[解析] 设直线l 与l 1：x －3y ＋10＝0交于点A (3m －10，m )，直线l 与l 2：2x ＋y －8＝0交于点B (n,8－2n )，又AB 的中点是P (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －10＋n ＝0m ＋8－2n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝4.∴A (－4,2)，B (4,0)， 又直线l 过点A ，B ，∴直线l 的方程为y －02－0＝x －4－4－4，整理得x ＋4y －4＝0.10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，且该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由圆经过点(4,2)和(－2，－6)，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0，①2D ＋6E －F －40＝0.②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，则x 1、x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D . 设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，则y 1、y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E . 由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0.③ 联立①②③，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.一、选择题1．以A (1,3)、B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0[答案] B[解析] ∵点A (1,3)、B (－5,1)所在直线的斜率为1－3－5－1＝13，且线段AB 的中点为P (－2,2)，∴线段AB 的垂直平分线的斜率为－3，其点斜式方程为y －2＝－3(x ＋2)，整理得3x ＋y ＋4＝0，故选B.2．到直线y ＝3x 的距离与到x 轴的距离相等的点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝33x B ．y ＝－3x C ．y ＝33x 或y ＝－3x D ．y ＝(2＋3)x 或y ＝(3－2)x [答案] C[解析] 设P (x ，y )，则点P 到直线y ＝3x 的距离为|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，点P 到x轴的距离为|y |，由题意得|3x －y |2＝|y |，整理得y ＝33x 或y ＝－3x ，故选C ．3．(xx·安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或12[答案] D[解析] ∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12，故选D.4．(xx·全国卷Ⅱ文，7)已知三点A (1,0)、B (0，3)、C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B ．213C ．253D ．43[答案] B[解析] AB 边的垂直平分线所在直线方程为y ＝33x ＋33， BC 边的垂直平分线方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋33x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝233.∴圆心坐标为(1，233)，圆心到原点的距离为12＋2332＝213. 二、填空题5．已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．[答案] －13或－1[解析] 由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1.6．(xx·重庆文，12)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．[答案] x ＋2y －5＝0[解析] 由点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：x 2＋y 2＝5，∴该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5即x ＋2y －5＝0.三、解答题7．△ABC 的边AC 、AB 上的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A (1,2)，求BC 边所在直线的方程．[解析] ∵AC 边上的高所在直线为2x －3y ＋1＝0，∴直线AC 的斜率为－32，∴直线AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0.同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0. 下面求直线BC 的方程：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得顶点C (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得顶点B (－2，－1)．∴直线BC 的斜率为－23，∴直线BC 的方程为y ＋1＝－23(x ＋2)，即BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0.8．已知点N (52，0)，以N 为圆心的圆与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 都相切．(1)求圆N 的方程；(2)设l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 的中点为E (4,1)，试判断直线l 与圆N 的位置关系，并说明理由．[解析] (1)由N (52，0)且圆N 与直线y ＝x 相切，可得圆N 的半径为524，∴圆N 的方程为(x －52)2＋y 2＝258.(2)设A 点的坐标为(a ，a )， ∵AB 的中点为E (4,1)， ∴B 点的坐标为(8－a,2－a )， 又点B 在直线y ＝－x 上，∴a ＝5，∴A 点的坐标为(5,5)，B 点的坐标为(3，－3)， ∴l 的方程为4x －y －15＝0， 圆心N 到直线l 的距离d ＝51717<524， 故直线l 与圆N 相交．。