高一上学期数学期中考试试卷第27套真题
高一上期中数学试卷含答案解析
2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}2．已知集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁U Q）（）A．{x|﹣1≤x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|1≤x＜5} D．{x|﹣1≤x＜1}3．下列函数中表示同一函数的是（）A．y=与y=（）4B．y=与y=C．y=与y=•D．y=与y=4．已知f（x）=，则f（3）为（）A．3 B．4 C．1 D．25．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）6．函数g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≤﹣2015 D．m＜﹣20157．设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b8．（）A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[0，2]9．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f（h）的大致图象可能是图中四个选项中的（）A．B．C．D．10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，2）11．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A． B．C． D．12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的a∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2at+1，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．{t|t≤﹣或t或=0}C．[﹣，] D．{t|t≤﹣2或t≥2或t=0}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a=．14．设函数f（x）满足，则f（2）=．15．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（1）若xlog32=1，试求4x+4﹣x的值；（2）计算：（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4．18．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求出函数f（x）在R上的解析式；（2）写出函数的单调区间．20．电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费（元）与通话时间x（min）之间的关系如图所示，其中D的坐标为（，230）．（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？21．已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求a，b，c的值．（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．（3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0．22．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选D．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算．2．已知集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁U Q）（）A．{x|﹣1≤x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|1≤x＜5} D．{x|﹣1≤x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；集合．【分析】先化简集合P，求出∁U Q，再计算P∩（∁U Q）的值．【解答】解：∵集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，Q={x|x≥1}，∴∁U Q={x|x＜1}∴P∩（∁U Q）={x|﹣1≤x＜1}．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．下列函数中表示同一函数的是（）A．y=与y=（）4B．y=与y=C．y=与y=•D．y=与y=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数y==x2（x∈R），与函数y==x2（x≥0）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数y==x（x∈R），与函数y==x（x≠0）的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，函数y==（x≤﹣1或x≥0），与函数y=•=（x≥0）的定义域不同，所以不是同一函数；对于D，函数y=（x≠0），与函数y==（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．4．已知f（x）=，则f（3）为（）A．3 B．4 C．1 D．2【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的解析式，先运用第二段，再由第一段，即可得到所求值．【解答】解：f（x）=，可得f（3）=f（4）=f（5）=f（6）=6﹣5=1．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．【解答】解：∵f（x）=2x+x﹣2在R上单调递增又∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）故选C【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．6．函数g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≤﹣2015 D．m＜﹣2015【考点】指数函数的图像变换．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：函数g（x）=2015x+m为增函数，若g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则满足g（0）≤0，即g（0）=1+m≤0，则m≤﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．7．设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵0=log0.51＜a=log0.50.9＜log0.50.5=1，b=log1.10.9＜log1.11=0，c=1.10.9＞1.10=1，∴b＜a＜c，故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8．（）A．（﹣∞，2]B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．[0，2]【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数≥0，而且﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，从而求得函数的值域．【解答】解：∵函数≥0，而且﹣x2﹣2x+3=﹣（x2+2x﹣3）=﹣（x+1）2+4≤4，∴≤2，∴0≤f（x）≤2，故选D．【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．9．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f（h）的大致图象可能是图中四个选项中的（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当h增加一个单位增量△h时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维，属于中档题．10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数的单调性，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，作出函数f（x）的图象，利用数形结合将不等式进行转化即可解不等式即可．【解答】解：∵任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，∴此时函数f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，∵f（x）是偶函数，∴函数在[0，+∞）上为增函数，∵f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，作出函数f（x）的图象如图：则不等式＜0等价为＜0，即＜0，即或，即或，即x＜﹣2或1＜x＜2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，2）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（）A． B．C． D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；分类讨论．【分析】由a≠0，f（1﹣a）=f（1+a），要求f（1﹣a），与f（1+a），需要判断1﹣a与1+a 与1的大小，从而需要讨论a与0的大小，代入可求【解答】解：∵a≠0，f（1﹣a）=f（1+a）当a＞0时，1﹣a＜1＜1+a，则f（1﹣a）=2（1﹣a）+a=2﹣a，f（1+a）=﹣（1+a）﹣2a=﹣1﹣3a∴2﹣a=﹣1﹣3a，即a=﹣（舍）当a＜0时，1+a＜1＜1﹣a，则f（1﹣a）=﹣（1﹣a）﹣2a=﹣1﹣a，f（1+a）=2（1+a）+a=2+3a ∴﹣1﹣a=2+3a即综上可得a=﹣故选A【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是把1﹣a与1+a与1的比较，从而确定f（1﹣a）与f（1+a），体现了分类讨论思想的应用．12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的a∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2at+1，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．{t|t≤﹣或t或=0}C．[﹣，] D．{t|t≤﹣2或t≥2或t=0}【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数为奇函数求出f（1）=﹣f（﹣1）=1，然后由x∈[﹣1，1]时f（x）是增函数，f（x）≤f（1）=1得f（x）≤t2﹣2at+1即为1≤t2﹣2at+l，即2at≤t2恒成立，分类讨论求解即可．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（1）=1，又∵x∈[﹣1，1]时f（x）是增函数，∴f（x）≤f（1）=1，故有1≤t2﹣2at+l，即2at≤t2，①t=0时，显然成立，②t＞0时，2a≤t要恒成立，则t≥2，③t＜0时，t≤2a要恒成立，则t≤﹣2，故t≤﹣2或t=0或t≥2，．故选：D．【点评】本题解题的关键是综合利用函数的性质化简f（x）≤t2﹣2at+1，然后转化为恒成立问题求解，分类讨论求解．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a=2．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】结合题意根据函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，可得a的值．【解答】解：由于函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a 对称，再根据它的图象关于直线x=2对称，可得a=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数的图象的对称性，属于基础题．14．设函数f（x）满足，则f（2）=．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】通过表达式求出f（），然后求出函数的解析式，即可求解f（2）的值．【解答】解：因为，所以．，∴．∴=．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，灵活赋值的能力及观察判断的能力．15．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a|a ＞}．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．【点评】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（1）若xlog32=1，试求4x+4﹣x的值；（2）计算：（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4．【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知得x=log23，由此利用对数换底公式能求出4x+4﹣x．（2）利用有理数指数幂性质、运算法则求解．【解答】解：（1）∵xlog32=1，∴x=log23，∴4x+4﹣x=+=+=9+=．…（2）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4=++4×3=．…【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数换底公式、有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．18．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=2，求M∩（∁R N）；（2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，由此能求出M∩（C R N）．（Ⅱ）由M∪N=M，得N⊂M，由此能求出实数a的取值范围．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）a=2时，M={x|﹣2≤x≤5}，N={3≤x≤5}，C R N={x|x＜3或x＞5}，所以M∩（C R N）={x|﹣2≤x＜3}．（Ⅱ）∵M∪N=M，∴N⊂M，①a+1＞2a+1，解得a＜0；②，解得0≤a≤2．所以a≤2．【点评】本题考查交集、实集的应用，考查实数的取值范围的求法，是基础题．19．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求出函数f（x）在R上的解析式；（2）写出函数的单调区间．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点，则f（﹣x）=﹣f（x），即可求出函数f（x）在R 上的解析式；（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义域在R上的奇函数，∴当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x．综上：f（x）=．（2）函数f（x）=的图象如下图所示：则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，函数的单调递减区间为为[﹣1，1]．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调区间的判断，其中根据函数奇偶性的性质，求出函数的解析式是解答本题的关键．20．电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费（元）与通话时间x（min）之间的关系如图所示，其中D的坐标为（，230）．（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A（x）和f B（x），由图知M（60，98），N，C，MN∥C，分别求出f A（x）和f B（x），由此能求出通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元．（2）求出f B（n+1）﹣f B（n），n＞500，由此能求出方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元．（3）由图知，当0≤x≤60时，f A（x）f B（x）．由此能求出通话时间在什么范围内，方案B 比方案A优惠．【解答】解：（1）设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A（x）和f B（x），由图知M（60，98），N，C，MN∥C，则，．∴通话2小时，方案A应付话费：元，方案B应付话费：168元．（2）∵﹣（）=0.3，n＞500，∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．（3）由图知，当0≤x≤60时，f A（x）＜f B（x），当60＜x≤500时，由f A（x）＞f B（x），得，解得x＞，∴，当x＞500时，f A（x）＞f B（x）．综上，通话时间在（，+∞）内，方案B比方案A优惠．【点评】本题考查函数知识在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．21．已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求a，b，c的值．（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．（3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，解得c=0，又f（1）==2，化为2b=a+1．f（2）=＜3，即可得出．（2）f（x）=，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．利用证明单调函数的方法即可证明．（3）利用函数的奇偶性与单调性即可解出．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=+=0，得﹣bx+c=﹣bx﹣c，解得c=0，又f（1）==2，化为2b=a+1．∵f（2）=＜3，∴，化为＜0，⇔（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，∵a∈Z，∴a=0或1．当a=0时，解得b=，与b∈Z矛盾，舍去．当a=1时，b=1，综上：a=b=1，c=0．（2）f（x）=，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（3）∵f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0，∴f（|t|+3）＞﹣f（﹣t2﹣1）=f（t2+1）．∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴t2+1＜|t|+3，化为（|t|﹣2）（|t|+1）＜0，解得0≤|t|＜2，解得﹣2＜t＜2．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当a=﹣1时，函数表达式为f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，它的值域为（﹣∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3∴﹣3≤ax2+x+1≤3∴≤a≤，即﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，∴（﹣﹣）max≤a≤（﹣）min，令t=，则t∈[，1]设g（t）=﹣4t2﹣t=﹣4（t+）2+，则当t=时，g（t）的最大值为﹣再设h（t）=2t2﹣t=2（t﹣）2﹣，则当t=时，h（t）的最小值为﹣∴（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．【点评】本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．2016年2月21日。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
安徽省部分学校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题含解析
高一数学（答案在最后）本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂果.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1M =-，集合{}2R 2N x x x =∈=，则M N ⋂=（）A.{}0,1 B.{1,0}- C.{}0 D.∅【答案】C 【解析】【分析】解一元二次方程结合交集的概念即可得解.【详解】因为{}22{0,2}N xx x ===∣，{}1,0,1M =-，所以{0}M N Ç=.故选：C.2.已知命题4:R,4x p x x ∃∈>，则p ⌝是（）A.4R,4x x x ∃∈≤B.4R,4x x x ∀∈< C.4R,4x x x ∀∈> D.4R,4x x x ∀∈≤【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】“x ∃∈R ”变为“x ∀∈R ”，“44x x >”变成其否定“44x x ≤”.故选：D.3.若p 是q 的必要不充分条件，q 的充要条件是r ，则r 是p 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用题给条件判断出r 与p 的逻辑关系，进而得到正确选项.【详解】p 是q 的必要不充分条件，q 的充要条件是r ，则有,,q p p q q r ⇒⇔¿则r q p ⇒⇒，又由p q ¿，可得p r ¿,则r 是p 的充分不必要条件.故选：A4.幂函数()a f x x =（11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭）具有如下性质：22(1)(1)2[(1)(1)1]f f f f +-=+--，则()f x （）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇的数又是偶函数D.是非奇非偶函数【答案】B 【解析】【分析】已知条件变形后求出a 即可.【详解】2222(1)(1)2[(1)(1)1][(1)1][(1)1]0(1)(1)12f f f f f f f f a +-=+--⇒-+--=⇒=-=⇒=所以()f x 是偶函数.故选：B.5.已知()3,00x x f x x +≤⎧⎪=>，若()()32f a f a -=+，则()f a =（）A.2B.C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】由题可得33a -+=，进而即得.【详解】∵()3,0x x f x x +≤⎧⎪=>，()()32f a f a -=+，∴必有30,20a a -≤+>，∴33a -+=解得2a =或1a =-（舍去），∴()()2f a f ==故选：B.6.已知实数a ，b ，c 满足13220a b +⨯-=，且21(R)a c x x x =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c b a>>【答案】B 【解析】【分析】将13220a b +⨯-=变形得到11b a -+>得到,a b 大小关系，对21(R)a c x x x =+-+∈变形得到21a c x x -=-+得到,a c 大小关系，从而得到答案.【详解】因为13220a b +⨯-=，所以123,11,0,b a b a b a b a -+=-+>->>.因为21a c x x =+-+，所以221310,24a c x x x a c ⎛⎫-=-+=-+>> ⎪⎝⎭.故选：B.7.水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出的速度如图甲乙所示.某天零点到六点该水池的蓄水量如图内所示（至少打开一个水口）.给出以下三个论断：①零点到三点只进水不出水；②三点到四点不进水只出水；③四点到六点不进水也不出水.其中正确论断的序号是（）A.①②B.②③C.①③D.①【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象分析，可得答案.【详解】由丙图可知，从零点到三点该水池的蓄水量是6，因此是两个进水口同时打开，且出水口没有打开，所以①对.从三点到四点蓄水量由6降到5，既进水又出水所以②错.从四点到六点蓄水量不变，又题设要求至少打开一个水口，所以是两个相同的进水口和一个出水口都打开，③错.故选：D.8.设函数(),,R f x a b c =∈，且0)a <的定义城为D ，若所在点()()(),,s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则=a （）A.4- B.5- C.6- D.8-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出()f x 的定义域和值域，根据构成一个正方形区域，列出等式关系，求出a 的值.【详解】因为2ax bx c ++的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦，所以()f x =的值域为⎡⎢⎢⎣.设20ax bx c ++=的两根是12,x x ，且12x x <，则定义域[]12,D x x =.而点(,())s f t ，(,)s t D ∈构成一个正方形区域，于是()212x x -()222212122444,40,44b ac ac b x x x x a a a a a--=+-==+==-.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件B.“23λ-≤≤”是“13λ-≤≤”的必要不充分条件C.“22x y ≠”是“x y ≠”的充要条件D.“()x A B C ∈ ”是“()x A B C ∈ ”的必要不充分条件【答案】AB 【解析】【分析】A 项：利用不等式知识即可判断；B ，C 项：根据充分条件与必要条件知识即可判断；D 项：根据交并集知识即可判断.【详解】对于A 项：由“0a b <<”可以推出11a b>，但反之不可以，故A 项正确.对于B 项：由“23λ-≤≤”推不出“13λ-≤≤”，但反之可以，故B 项正确.对于C 项：由“22x y ≠”可以推出“x y ≠”，但反之不可以，故C 项错误.对于D 项：由题意知：()A B C ⋃⋂是(A∩B)∪C 的子集，所以“()x A B C ∈ ”可以推出“()x A B C ∈ ，但反之不可以，故D 项错误.故选:AB.10.下列命题中正确的是（）A.函数14y x -=在()0,∞+内是减函数B.函数1xy x =+在区间(1,)-+∞内是增函数C.如果函数9y x x=+在[],a b 上是减函数,那么它在[,]b a --上也是减函数D.函数()2f x x ax b =++在区间,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内是增函数【答案】ABC 【解析】【分析】根据幂函数单调性判断A ；分离常数，根据反比例函数的单调性判断B ；判断函数为奇函数，从而确定函数对称区间上的单调性；利用二次函数的特征判断D.【详解】对于A ，因为104-<，所以幂函数14y x -=在()0,∞+内是减函数，故A 正确；对于B ，因为1111x y x x ==-++，其图象关于()1,1-中心对称，所以在区间()1,-+∞内是增函数，故B 正确；对于C ，函数9y x x=+是奇函数，所以它在[],b a --上也是减函数，故C 正确；对于D ，抛物线()2f x x ax b =++的对称轴是2a -，在区间,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 内是增函数，但2a -和4a -的大小不定，故D 错误，故选：ABC.11.“关于x 的方程(4||1)4||a x x +=有实数解”的一个充分不必要条件是（）A.01a ≤≤ B.112a ≤≤ C.112a ≤< D.213a <<【答案】CD 【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义，结合分式函数的值域，可得答案.【详解】()414a x x +=有实数解4114141xa x x ⇔==-++有实数解a ⇔在函数1141y x =-+的值域中取值.由1114110110011414141x x x x +≥⇒<≤⇒-≤-<⇒≤-+++，则1141y x =-+的值域是[)0,1，选项中1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,13⎛⎫⎪⎝⎭是[)0,1的真子集.故选：CD.12.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)(2)4f x f x ++-=，且(1)f x +是偶函数，则（）A.函数()f x 的图象关于直线2x =对称B.函数()f x 的图象关于直线1x =对称C.()()4f x f x +=D.()()()()01220234048f f f f ++++= 【答案】BCD 【解析】【分析】根据()()224f x f x ++-=可得()f x 图象关于点()2,2对称，()1f x +是偶函数得到函数()f x 的图象关于直线1x =对称，逐项判断可得答案.【详解】()()()()()22444,f x f x f x f x f x ++-=⇔+-=的图象关于点()2,2对称，故A 错误；()1f x +是偶函数()()11f x f x ⇔-=+⇔函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确；因为()()()()112f x f x f x f x -=+⇔=-，代入()()224f x f x ++-=中，得到()()24f x f x ++=，进而()()424f x f x +++=，因此()()4f x f x +=，由此得到()()()()01238f f f f +++=，所以()()()()012202350684048f f f f ++++=⨯= ，故D 正确.故选：BCD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一间窗户面积（a ）小于地板面积（b ）的房子里，窗户与地板的面积同时增加（m ），则采光条件可变好.根据这个事实可以提炼出一个不等式，常常称为“阳光不等式”，它就是______.【答案】()0,0a m aa b m b m b+><<>+【解析】【分析】根据题意，列出不等关系，然后利用作差法加以证明.【详解】()()()()()b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +-+-+-==+++.因为0,0a b m <<>，所以()0,0b a m b a ->->，()0b b m +>，因此()()0,0m b a a m ab b m b m b-+>->++，即a m ab m b+>+.故答案为：()0,0a m aa b m b m b+><<>+14.已知函数()221a xf x a x+=-的图像关于点()1,1-对称，则实数a 的值为______.【答案】1±【解析】【分析】对()f x 分离常数化简，根据反比例函数的对称中心，得到答案.【详解】因为()244422211a x a a a f x a a x x a-+++==----图象关于点()1,1-对称，所以21a =且21a -=-，因此1a =±.故答案为：1±.15.若a ，b 均为正实数，3a b ⋅=，则2222a b a b+++的最小值是______.【解析】【分析】由3ab =，2222a b a b +++可化简为：222216a b a b a b a b++=++++，再结合基本不等式求解.【详解】由题意得：()()22222221622168a b ab a b a b a b a b a b a b a b+-+++++===++≥++++，当且仅当4a b +=，即1,3a b ==或3,1a b ==时，取到等号，故2213a b a b+++的最小值是8.故答案为：8.16.已知函数4()(1)2|1|f x x x =-+-，则使得()(2)f x f x >的x 的取值范围是______.【答案】20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】令()42g x x x =+，则()()1f x g x =-，利用奇偶性和单调性求解不等式.【详解】令()42g x x x =+，显然()g x 是偶函数，且在()0,∞+内单增.因为()()1f x g x =-，所以()()()()()()222121121121f x f x g x g x x x x x >⇔->-⇔->-⇔->-，解得203x <<.故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数()f x =的定义域为A ，函数()()2221g x x x x a =-+<<的值域为B .（1）当3a =时，求A B ⋃；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)1,5A B ⋃=（2）(1,1+【解析】【分析】（1）根据题意求出集合,A B ，再根据并集的定义即可得解；（2）由A B A ⋃=，得B A ⊆，求出函数()g x 的值域，进而可得出答案.【小问1详解】由104xx -≥-，解得14x ≤<.所以[)1,4A =，当3a =时，21225x x <-+<，所以()g x 的值域()1,5B =，故[)1,5A B ⋃=；【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，显然1a >，函数()()2221g x x x x a =-+<<的值域()()21,11B a =-+，从而()2114a -+≤，即2220a a --≤，解得11a -≤≤+，故实数a的取值范围是(1,1+.18.设R m ∈，命题49:2,2p x x x ∀>-+≥+；命题2000:R,10q x x mx ∃∈-+=.（1）若p 为真命题，求m 的最大值；（2）若,p q 一真一假，求m 的取值范围.【答案】（1（2）([)2,-+∞ 【解析】【分析】（1）p为真命题等价于min 492x x ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式求出492x x ++的最小值，即可得解；（2）分别求出,p q 为真命题时m 的范围，再分p 真q 假和p 假q 真两种情况讨论即可.【小问1详解】p为真命题等价于min492x x ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭，2x >-，49492221222x x x x +=++-≥-=++，当且仅当4922x x +=+，即5x =时取到等号，所以492x x ++的最小值为12，因此12≥，所以m ≤故m ；【小问2详解】,p q 一真一假，当q 为真命题时，240m ∆=-≥，所以2m ≤-或2m ≥，若p 真q 假，则22m m ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩，解得2m -<≤，若p 假q 真，则22m m m ⎧>⎪⎨≤-≥⎪⎩或，解得2m ≥，综上可知，m 的取值范围是([)2,-+∞ .19.已知函数()223,-=-∈a a f x a x xR .（1）当2a =时，求不等式()1f x >-的解集；（2）若当(0,1]x ∈时，不等式36()f x x<恒成立，求a 的整数值的集合.【答案】（1）()()(),00,12,-∞+∞ （2）{}2,1,0,1,2,3--【解析】【分析】（1）转化为2320x x -+>，再解不等式可得答案；（2）转化为223a a x x ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭在(]0,1x ∈上恒成立，利用单调性再求2x x+在(]0,1x ∈上的最小值可得答案.【小问1详解】()223,-=-∈a a f x a x xR 当2a =时，()1f x >-就是2231x x->-，即2320x x -+>，且0x ≠，解得，1x <且0x ≠，或2x >，故不等式()1f x >-的解集是()()(),00,12,-∞+∞ ；【小问2详解】()36f x x <在(]0,1x ∈上恒成立等价于223a a x x ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭在(]0,1x ∈上恒成立，令()(]()20,1=+∈f x x x x ，设1201x x <<≤，()()()121212121212222--=+--=-x x f x f x x x x x x x x x ，因为1201x x <<≤，所以12120,01x x x x -<<<，所以()()120f x f x ->，()()12f x f x >，()f x 在(]0,1x ∈上单调递减，可得函数2y x x=+在(]0,1x ∈上的最小值为2131+=，因此29a a -<，解得13713722a <<，所以2,1,0,1,2,3a =--，故a 的整数值的集合是{}2,1,0,1,2,3--.20.某快递公司为降低新冠肺炎疫情带来的经济影响，引进智能机器人分练系统，以提高分练效率和降低物流成本.已知购买x 台机器人的总成本为()21100400P x x x =++（单位：万元）.（1）应买多少台机器人，可使每台机器人的平均成本最低；（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将物件放在机器人上，机器人将物件送达指定分拣处.经过实验知，每台机器人日平均分拣量为15,130,()2(120),3060.15m m Q m m m m ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩（单位：件）.求引进机器人后，日平均分拣量的最大值.【答案】（1）200台（2）96000件【解析】【分析】（1）根据题意，每台机器人的平均成本为()P x x ，然后利用基本不等式求出最小值，即平均成本最低.（2）根据每台机器人日平均分拣量方程，求出每台机器人日平均分拣量的最大值，然后乘以机器人数即可得到答案.【小问1详解】每台机器人的平均成本为()1100112400P x x x x =++≥=，当且仅当1100400x x =，即200x =时取等号.因此应买200台机器人，可使每台机器人的平均成本最低.【小问2详解】当130m ≤≤时，每台机器人日平均分拣量的最大值为450，当3060m <≤时，()()()2221206036001515Q m m m m ⎡⎤=-=--+⎣⎦.当60m =时，每台机器人的日平均分拣量的最大值为480.因此引进200台机器人后，日平均分拣量的最大值为48020096000⨯=件.21.我们知道，22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立.即a ，b 的算术平均数的平方不大于a ，b 平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即222233a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立.（1）证明：222233a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立.（2）已知0,0,20x y >>>.+≤恒成立，利用（1）中的不等式，求实数t 的最小值.【答案】21.证明见解析22.【解析】【分析】（1）运用作差法比较并配方后即得；（2）将题中的相关量整体替换入（1）中的不等式并化简，再运用参变分离法即可求得.【小问1详解】()()222222223339a b c a b c a b c a b c ++-++++++⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()()2222222222221099ab bc ca a b c a b b c c a ++--⎡⎤==--+-+-≤⎣⎦-故222233a b c a b c ++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立.【小问2详解】当0,0,0x y z >>>时，由（1）中的不等式得，23x y z ++≤⎝⎭，≤≤，当且仅当x y z ==++≤恒成立可得：t ≥，故有：t ≥即实数t 的最小值为22.已知函数()()()()201,x n f x x x n ≤<=-≥⎪⎩，其中1n >.若存在实数b ，使得关于x 的方壁()f x b =有两个不同的实数根.（1）求n 的整数值；（2）设函数2()||,g x x a x n n =+-取（1）中的整数值.若()g x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2（2）[]4,0-【解析】【分析】（1）根据图象可得1x>时函数y =与()21y x =-的交点的横坐标在()2,3，转化为存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根，根据()f x 图象可得答案；（2）根据()g x 的单调性可得答案.【小问1详解】()2211>-=()2314<-=，所以当1x >时函数()f x =与()()21f x x =-的交点()00,Q x y 中023x <<，当0x n ≤<时，()f x =当x n ≥时，()()21f x x =-，也是增函数，当“点(P n 在点()()2,1A n n -上方”时，存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根，即存在实数b ，使直线y b =与曲线()y f x =有两个交点，()21n >-，只有2n =适合.故n 的整数值是2；【小问2详解】()22222,222,2x ax a x g x x a x n x a x x ax a x ⎧+-≥=+-=+-=⎨-+<⎩，在[)2,+∞上，()22g x x ax a =+-单调递增，等价于22a -≤，即4a ≥-，在[)0,2上，()22g x x ax a =-+单调递增，等价于02a ≤，即0a ≤，。
安徽省阜阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
阜阳2023~2024学年度高一年级第一学期二调考试数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A 版必修一第一章至第四章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2ln 2e 0,2,1,0,1A x x x B =+-<=--∣，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1- C.{}1,0- D.{}2,1,0--【答案】C 【解析】【分析】根据对数式与指数式恒等式，结合一元二次不等式的解法、集合交集的定义进行求解即可.【详解】由题意可知{}{}2ln22e 020{21}A xx x x x x x x =+-<=+-<=-<<∣∣∣，则{}1,0A B ⋂=-.故选：C2.“0m >”是“x ∀∈R ，220x x m ++>为真命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立求出m 的范围，然后可得.【详解】由“x ∀∈R ，220x x m ++>为真命题”得440m ∆=-<，解得1m >，因为1m >必有0m >，反之不成立，所以“0m >”是“x ∀∈R ，220x x m ++>为真命题”的必要不充分条件.故选：B3.函数()324x x f x =-的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式分析函数的定义域和奇偶性，再通过特殊值用排除法求解.【详解】函数()324x x f x =-，定义域为()()(),22,22,-∞--+∞ ，()()()332424xx x x f x f x ----===---，所以函数为奇函数，排除选项CD ；当2x >时，()0f x >，排除选项B.故选：A4.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2W /m ）之间的关系是：010lg ILi I=，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为21W /m ，对应的声强级为120dB ，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ），则此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：2W /m ）为（）A.6410,10--⎡⎤⎣⎦ B.5410,10--⎡⎤⎣⎦C.5310,10--⎡⎤⎣⎦ D.4510,10⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的声强级Li 与声强I 之间的关系式，结合条件可求得0I 的值，继而可建立方程求解即可.【详解】由题意，0110lg120I =，则122010W /m I -=，所以()1210lg 1012010lg Li I I ==+，当70dB Li =时，即10lg 50I =-，则5210W /m I -=，当80dB Li =时，即10lg 40I =-，则4210W /m I -=，又因为函数()i L I 单调增函数，故歌唱家唱歌时的声强范围为5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2W /m ），故B 正确.故选：B.5.已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出，且()()16f f a =，()()()()2f g b g g c ==，则2a c b +-=（）x abc()f x c ()2log c a -2a b+()g x c b-baA.0B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】由题得到()()()()()()()()()()2216log 22a b f f a f c f g b f b c a g g c g a c b +⎧===⎪⎪==-=⎨⎪==-=⎪⎩，然后解方程组即可.【详解】由()()()()()()()()()()2216log 22a b f f a f c f g b f b c a g g c g a c b +⎧===⎪⎪==-=⎨⎪==-=⎪⎩得442a b c a c b +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩得135a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以20a c b +-=.故选：A.6.已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()11f =，对于任意[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()12121f x f x x x ->--成立，则不等式()2x f x +≤的解集为（）A.[]1,1- B.[]0,1 C.(],1-∞ D.()1,1-【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x x f x =+，从而判断得()g x 的奇偶性与单调性，进而将不等式转化为()()()11g g x g -≤≤，由此得解.【详解】设()()g x x f x =+，则定义域为R ，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()()()g x x f x x f x g x -=-+-=--=-，所以()g x 为奇函数，又因为对于任意[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()12121f x f x x x ->--成立，即对于任意[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()1122120f x x f x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-成立，即()()12120g x g x x x ->-成立，所以()()g x x f x =+在[)0,∞+为增函数；因为()11f =，所以()()1112g f =+=，又()g x 为奇函数，所以()g x 在R 上为增函数，且()()112g g -=-=-，所以()()()()()2221111x f x x f x g g x g x +≤⇔-≤+≤⇔-≤≤⇔-≤≤.故选：A.7.已知函数()21,,2x c f x x x x c x ⎧-<⎪=⎨⎪-≤≤⎩，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值范围是（）A.[]1,0- B.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数()f x 的解析式、()f x 的值域、()()212,2y x y x x x x=-≤=-≤的图象来求得a 的取值范围.【详解】当2x =时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，解得2x =或=1x -，作出()()212,2y x y x x x x=-≤=-≤的图象如下图所示，由图象可得：112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：C.8.已知函数()22log ,041,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，若函数()()g x f x a =-有四个不同的零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<，则()2123434x x xx x +-的取值范围是（）A.()2,+∞ B.172,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)2,+∞ D.172,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】将()g x 的零点转化为()y f x =和y a =的交点，画出图象，根据对称性以及对数函数的知识求得12x x +、34x x ，再利用换元法，结合函数的单调性求得正确答案.【详解】()()g x f x a =-有四个不同的零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<，即()y f x =和y a =有四个交点，它们的横坐标分别为()12341234,,,x x x x x x x x <<<，画出函数()22log ,041,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩和y a =的图象，根据图象可知101,a x <≤和2x 是241y x x =++和y a =的交点横坐标，即方程2410x x a ++-=的两根，所以1234,x x x +=-是2log y x =-和y a =的交点横坐标，4x 是2log y x =和y a =的交点横坐标，故有2324log log x x a -==，得到341x x =，由01a <≤，可得()2234312323311,1,24x x x x x x x x ⎡⎫∈-+=+⎪⎢⎣⎭，令231,14t x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令()1h t t t =+，则()h t 在1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()11712,44h h ⎛⎫==⎪⎝⎭，故()172,4h t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即所求式子的取值范围是172,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D【点睛】方法点睛：本题考查了两个函数的图象与性质，第一个函数是二次函数，图象具有对称性；第二个函数是含有绝对值的对数函数.熟练掌握这两类函数的图象与性质是解题的关键.函数零点的问题，可以转化为两个函数交点问题来进行研究.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34xx -≤≤∣，则下列说法正确的是（）A.a<0B.不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C.0a b c ++<D.2342cb ++的最小值为4-【答案】AB 【解析】【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到,b c 关于a 的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{}34xx -≤≤∣，所以3,4-是方程20ax bx c ++=的两根，且a<0，故A 正确；所以3434ba c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以20cx bx a -+<，即2120ax ax a -++<，则21210x x --<，解得1143x -<<，所以不等式20cx bx a -+<的解集为1143xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，故B 正确；而12120a b c a a a a ++=--=->，故C 错误；因为0,,12a b a c a <=-=-，所以344a -+>，则()222623483423434c a a b a a +=-=+-+-+-+-+84≥=-，当且仅当()223434a a =-+-+，即1a =或53a =时，等号成立，与a<0矛盾，所以2342cb ++取不到最小值4-，故D 错误.故选：AB.10.小王两次购买同一种物品，已知物品单价分别为a 和()0b a b <<，且每次购买这种物品所花的钱数一样，两次购物的平均价格为p ，则下面正确的是（）A.2a b p +=B.2ab p a b=+C.a p << D.2a b p +<<【答案】BC 【解析】【分析】依题意得到2abp a b=+，结合基本不等式即可得解.【详解】依题意，设两次花费的钱数为s ，则两次购物的平均价格为22sabp s s a b a b ==++，故A 错误，B 正确；又0a b <<，所以22ab abp a a b b b=>=++，根据基本不等式及其取等号的条件可得a b +>所以2ab p a b =<=+，即a p <<，故C 正确，D 错误；故选：BC ．11.已知函数()()2log 1(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，则下列命题为真命题的是（）A.2a =时，()f x 的增区间为()1,+∞B.2a ≥是()f x 值域为R 的充要条件C.存在a ，使得()f x 为奇函数或偶函数D.当2a >时，()f x 的定义域不可能为R 【答案】ABD 【解析】【分析】根据复合函数单调性判断A ，根据真数取遍所有正数可判断B ，利用奇偶性定义判断C ，根据定义域可判断D.【详解】当2a =时，()22log (1)f x x =-在()1,+∞上单调递增，故A 正确；当21x ax -+可以取遍()0,∞+之间的一切实数值，从而()()2log 1a f x x ax =-+可以取遍(),-∞+∞的一切值，即值域为R ，此时2Δ402a a =-≥⇔≥（2a ≤-舍去），2a ≥是()f x 值域为R 的充要条件，故B 正确；()()2log 1a f x x ax =-+的定义域是不等式210x ax -+>的解集，不论实数a 取何值，定义域都是无限集，要使()()2log 1a f x x ax =-+为偶函数，则()()f x f x -=，于是()2211x ax x a x -+=--+，即20ax =对定义域内的实数x 恒成立，0a ∴=，但此时对数的底数为零，无意义；要使()()2log 1a f x x ax =-+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=，于是()()()22111x ax x a x -+--+=，即()22220xxa +-=，该式不能恒成立.综上，C 错误；210x ax -+>的解集为R ，等价于240a -<，即22a -<<，所以当2a >时，()f x 的定义域不可能为R ，故D 正确.故选：ABD.12.已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()R λλ∈，使得()()0f x f x λλ++=对于任意的实数x 恒成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（）A.函数()f x a =（其中a 为常数，0a ≠）为回旋函数的充要条件是1λ=-B.函数()2f x x =不是回旋函数C.若函数()(01)=<<xf x a a 为回旋函数，则0λ≥D.函数()f x 是2λ=的回旋函数，则()f x 在[]1,2023上至少有1011个零点【答案】ABD 【解析】【分析】由回旋函数的定义，结合充要条件的判定判断A ；假设()2f x x =是回旋函数，由此可推出矛盾，说明假设错误，判断B ；根据回旋函数的定义判读C ；对于D ，由()()220f x f x ++=成立，令1x =，可推出()3f 与()1f 异号，或()()310f f ==，继而依此类推推出()f x 在[]1,2023上零点情况，判断D.【详解】函数()f x a =（其中a 为常数，0a ≠）是定义在R 上的连续函数，且()()()1f x f x a a a λλλλ++=+=+，当1λ=-时，()()0f x f x λλ++=对于任意的实数x 恒成立，若()()0f x f x λλ++=对任意实数x 恒成立，则()10a λ+=，解得：1λ=-，故函数()f x a =（其中a 为常数，0a ≠）为回旋函数的充要条件是1λ=-，故A 正确；若函数()2f x x =是回旋函数，则22()0x x λλ++=，对任意实数都成立，令0x =，则必有λ=0，令1x =，则2310λλ++=，显然0λ=不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B 正确；()(01)=<<x f x a a 在R 上为连续函数，且()()()x x x f x f x aa a a λλλλλλ+++=+=+，要想函数()(01)=<<xf x a a 为回旋函数，则0a λλ+=有解，则0a λλ=-<，故C 错误；由题意得：()()220f x f x ++=，令1x =得：()()3210f f +=，所以()3f 与()1f 异号，或()()310f f ==，当()()310f f ⋅<时，由零点存在性定理得：()f x 在()1,3上至少存在一个零点，同理可得：()f x 在区间()()()()3,5,5,7,7,9,,2019,2021 ，()2021,2023上均至少有一个零点，所以()f x 在[]1,2023上至少有1011个零点，当()()310f f ==时，有()()()1320230f f f ==== ，此时在[]1,2023上有1012个零点，综上所以()f x 在[]1,2023上至少有1011个零点，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解“回旋函数”的定义，将问题转化为方程有解问题，再结合指数函数和幂函数的性质分析即可.三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()f x 的定义域为[]0,4，则函数()()1g x f x =-+的定义域为__________.【答案】(]2,5【解析】【分析】根据()f x 的定义域列出不等式，求解即可.【详解】函数()f x 的定义域为[]0,4，得01420x x ⎧≤-≤⎨->⎩，解得25x <≤，所以函数()()1g x f x =-+的定义域为(]2,5.故答案为：(]2,5.14.已知函数()f x 满足：()0f x ≠，且对任意的非零实数,x y ，都有()()()11f x y f x f y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭成立，()12f =.若()()1,Z f n f n n =+∈，则n =__________.【答案】2-【解析】【分析】结合抽象函数的关系，应用赋值法令1,x y n ==得()()()()111112n f n f f n f n n n+⎛⎫+=+=⨯ ⎪⎝⎭，再与()()1,Z f n f n n =+∈，联立即可求解.【详解】由题意可得，()()()()111112n f n f f n f n n n+⎛⎫+=+=⨯ ⎪⎝⎭，又()()()1,0f n f n f x =+≠，所以121n n+⨯=，而Z n ∈，可得2n =-.故答案为：2-15.已知函数())ln f x x x =++，若正实数,b c 满足()()10f b f c +-=，则231b bc+的最小值为__________.【答案】6【解析】【分析】先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此求得1b c +=，再利用基本不等式求得231b bc+的最小值.0x x x +>+≥，所以()f x 的定义域为R ，())lnf x x x =+在[)0,∞+上单调递增，因为()()))lnln0f x f x x x x x ⎡⎤+-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在R 上单调递增，又已知()()10f b f c +-=，所以10b c +-=，即b c +=1，所以222313()4226b b b c b c bc bc c b +++==++≥+=，当且仅当223c b ==时取等号.故答案为：616.已知函数()()x af x x a x a+=≠-，若关于x 的方程()()2f f x =恰有三个不相等的实数解，则实数a 的取值集合为___________.【答案】1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分类讨论a 的不同取值，并作出()f x 的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解.【详解】()()2|||1|x a af x x a x a x a+==+≠--，当0a =时，()()10f x x =≠，此时()()2ff x =无解，不满足题意；当a<0时，设()t f x =，则()y f t =与2y =的图象大致如下，则()2f t =对应的2个根为120t a t <<<，此时方程12(),()f x t f x t ==均无解，即方程()()2ff x =无解，不满足题意；当0a >时，设()m f x =，则()y f m =与2y =的图象大致如下，则则()2f m =对应的2个根为120m a m <<<，若方程()()2ff x =恰有三个不相等的实数解，则12,y m y m ==与函数()y f x =的图象共有3个不同的交点，①当01a <<时，1y m =与函数()f x 的图象共有2个交点，如图所示，所以2y m =与函数()f x 的图象只有1个交点，则21m =，所以121a a +=-，解得13a =；②当1a =时，1y m =与函数()f x 的图象共有2个交点，所以2y m =与函数()f x 的图象只有1个交点，则21m =，与2m a >矛盾，不合题意；③当1a >时，2y m =与函数()f x 的图象共有2个交点，如图所示，所以1y m =与函数()f x 的图象只有1个交点，则11m =，所以121aa+=-，解得3a =；综上，a 的取值集合为1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故答案为:1,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于作出函数()f x 的图象，将方程()()2ff x =恰有三个不相等的实数解转化为两条横线与函数()f x 图象的图象的交点的个数共计3个，数形结合思想求解.四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）若1132102,1032αβ-==，求314210βα+的值；（2）求2311lg25lg2lg log 9log 22100++-⨯.【答案】（1）2；（2）3-【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可；（2）利用对数的运算法则计算即可.【详解】（1）()()311151113311314252244334422421010103222222βαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯⨯+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）2311lg25lg2lg log 9log 22100++-⨯222231lg5lg2lg10log 3log 22-=++-⨯221lg5lg222log 3log 3=+--⨯1223=--=-.18.已知命题“R x ∃∈，方程2260x x m +-+=有实根”是真命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）关于x 的不等式组210310x a x a -+>⎧⎨-+<⎩的解集为B ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）{}5A m m =≥（2）0a ≤或3a ≥.【解析】【分析】（1）利用判别式大于等于0可求解；（2）根据题意可得B 是A 的真子集，讨论a 的范围求解即可.【小问1详解】因为命题“R x ∃∈，方程2260x x m +-+=有实根”是真命题，所以方程2260x x m +-+=有实根，则有()2Δ2460m =--+≥，解得5m ≥，所以实数m 的取值集合{}5A m m =≥.【小问2详解】若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则B 是A 的真子集，当2131a a -≥-即0a ≤时，不等式组210310x a x a -+>⎧⎨-+<⎩无解，所以B =∅，满足题意；当2131-<-a a 即0a >时，不等式组210310x a x a -+>⎧⎨-+<⎩的解集为{}2131B x a x a =-<<-，由题意{}2131B x a x a =-<<-是{}5A m m =≥的真子集，所以215a -≥，所以3a ≥.综上，满足题意的a 的取值范围是0a ≤或3a ≥.19.已知幂函数()()29357mf x m m x -=-+的图象关于原点对称，且在R 上为增函数.（1）求()f x 表达式；（2）解不等式：()()1221log 1log 20f x f x ⎡⎤⎡⎤+++->⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【答案】（1）()3f x x =（2）(1,1)-【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数可求出m 的值，结合幂函数性质可确定其解析式；（2）利用函数的奇偶性以及对数的运算性质将原不等式转化为()()11221log 1log 2f x f x ⎡⎤⎡⎤++>-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再结合函数的单调性，即可转化为112212log log 21xx ->+，结合对数函数性质即可求得答案.【小问1详解】由题意知()()29357mf x m m x -=-+为幂函数，故2571m m -+=，解得2m =或3m =，当3m =时，()1f x =，当2m =时，()3f x x =，()f x 在R 上为增函数，3m =不成立，即2m =，()3f x x ∴=.【小问2详解】()f x 的定义域为R ，且为奇函数，则()()1221log 1log 20f x f x ⎡⎤⎡⎤+++->⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()()1221log 1log 2f x f x ⎡⎤⎡⎤++>--⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又因为()f x 为奇函数，所以()()11221log 1log 2f x f x ⎡⎤⎡⎤++>-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为()f x 在R 上为增函数，所以()()11221log 1log 2x x ++>-，即()()11122221log 2log 1log 1x x x x ->--+=+，所以112212log log 21x x ->+，则1221xx -<+，解得：11x -<<，又因为2010x x ->⎧⎨+>⎩，解得：12x -<<.综上：原不等式解集为(1,1)-20.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()f x （单位：元）与时间x （单位：天）（*130,x x ≤≤∈N ）的函数关系满足()110f x x=+，日销售量()g x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()g x 105110105100（1）给出以下四种函数模型：①()g x ax b =+；②()g x a x m b =-+；③()xg x a b =⋅；④()log b g x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()g x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为()h x （单位：元），求()h x 的最小值.【答案】20.选择函数模型②：()()*20110130,N g x x x x =--+≤≤∈21.961【解析】【分析】（1）由数据可知()g x 先增后减，故选择②模型，根据对称性求得m ，再利用其它函数值求出a 、b ，从而求出函数解析式.（2）先求出()h x 的解析式，然后分别利用基本不等式和函数的单调性求得最值，比较即可求解.【小问1详解】由表中的数据知，当时间x 变化时，()g x 先增后减.而函数模型①()g x ax b =+；③()xg x a b =⋅；④()log b g x a x =都是单调函数，所以选择函数模型②()g x a x m b =-+.因为()g x a x m b =-+的图象关于x m =对称，且()g m b =，所以由()()1525g g =可得1525202m +==，由()20110g =可得110b =，所以()155110105g a =+=，所以1a =-，所以日销售量()g x 与时间x 的变化关系为()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N .【小问2详解】由（1）知()**90,120,20110130,2030,x x x g x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩N N ，所以()()()()()**11090,120,110130,2030,x x x x h x f x g x x x x x ⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，即()**9010901,120,130101299,2030,x x x xh x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩N N .当*120,x x ≤≤∈N 时，由基本不等式得()9010901901961h x x x=++≥+=，当且仅当9010x x=，即3x =时，等号成立.当*2030,x x <≤∈N 时，()130101299h x x x=-++单调递减，所以()()13309999613h x h ≥=+>.综上所述：当3x =时，()h x 取得最小值，最小值为961.21.已知函数()()2ln e 1xf x kx =++是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）函数()e ln e 2(02x x h x m m m -⎛⎫=++> ⎪⎝⎭且1)m ≠，函数()()()F x f x h x =-有2个零点，求实数m 的取值范围.【答案】21.1k =-22.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及对数运算性质求解即可；（2）把函数有2个零点问题转化为()21e2e 021xx m m --+=有2个根，令(0)x t e t =>，则函数()()()21122p t m t mt t =-+-∈R 有2个正号零点，结合二次函数零点分布分类讨论求解即可.【小问1详解】因为函数()()2ln e 1xf x kx =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22ln e1ln e 1xx kx kx -+-=++，所以()()22ln e 1ln e 12x x kx -+-+=，即222e 11ln ln 22e 1e x x xx kx -⎛⎫+==-= ⎪+⎝⎭，所以22k =-，得1k =-，经检验当1k =-时，函数()()2ln e 1xf x x =+-是偶函数.【小问2详解】函数()()()F x f x h x =-有2个零点，即关于x 的方程()2e ln e 2ln e 12x x x m m x -⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭有2个不相等的实数根，化简上述方程得2e e 1ln e 2ln 2e x x x x m m -⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即e e 2e e 2x xx x m m --++=+，所以()1e 202e 1xx m m --+=，所以()21e 2e 021x xm m --+=.令e (0)x t t =>，得关于t 的方程()()21120*2m t mt -+-=.记()()()211202p t m t mt t =-+->，0m >且1m ≠，①当1m >时，函数()p t 的图象开口向上，图象恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，方程()*只有一个正实根，不符合题意.②当01m <<时，函数()p t 的图象开口向下，图象恒过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，因为()2021mm ->-，要满足题意，则方程()*应有两个正实根，即()2Δ(2)210m m =+->，解得12m >或1m <-，又01m <<，所以112m <<.综上，m 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.22.若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；当()()f x g x =时，则称()f x 为区间D 上的“m 阶自伴函数”.（1）判断()()22log 1f x x =+是否为区间⎡⎣上的“12阶自伴函数”，并说明理由；（2）若函数()13x f x -=为区间[],(0)a b b a >>上的“1阶自伴函数”，求a b +的值；（3）若()44f x x =+是()222g x x ax a =-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）2（3）22⎡-+⎣ .【解析】【分析】（1）当11x =，得()11f =，而()212f x =在⎡⎣没有实数解，根据函数的新定义，即可得出结论；（2）由题意得任意[]1,x a b ∈，总存在唯一的[]2,x a b ∈使得()()121f x f x =，进而得11113,33,3a b b a ----⎡⎤⎡⎤⊆⎣⎦⎣⎦，进而结合包含关系求得,a b 的值，进而求解；（3）由题意可得()2f x 在[]0,2的值域[]2,3是()g x 在[]0,2的值域的子集，且()g x 值域所对应的自变量唯一，进而结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】不是，理由如下：由()()22log 1,1,f x x x ⎡=+∈⎣，当11x =时，()11f =，再由()()2112f f x =，得()()22221log 12f x x =+=，则221x +=，即221x =-，则2x ⎡∉⎣，故根据“12阶自伴函数”定义得，()()22log 1f x x =+不是区间⎡⎣上的“12阶自伴函数”.【小问2详解】由题知()13x f x -=为区间[],(0)a b b a >>上的“1阶自伴函数”，则任意[]1,x a b ∈，总存在唯一的[]2,x a b ∈，使()()121f x f x =，()130x f x -=≠ ，则只需使()()121f x f x =成立即可，()f x 单调递增，()()1111211,3,33,3a b b a f x f x ----⎡⎤⎡⎤∈∈∴⎣⎦⎣⎦，因为任意[]1,x a b ∈，总存在唯一的[]2,x a b ∈，使()()121f x f x =成立，即11113,33,3a b b a ----⎡⎤⎡⎤⊆⎣⎦⎣⎦，则11113333b a a b ----⎧≤⎨≥⎩，即1111b a a b -≤-⎧⎨-≥-⎩，即22a b a b +≥⎧⎨+≤⎩，故2a b +=.【小问3详解】由()44f x x =+是()222g x x ax a =-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，即任意[]10,2x ∈，总存在唯一的[]20,2x ∈，使()()122f x g x =成立，即()()212g x f x =成立，即()2f x 在[]0,2的值域是()g x 在[]0,2的值域的子集，且()g x 值域所对应的自变量唯一，()()424,42x f x x f x +=∴=+ ，即()[]22,3f x ∈，()2222()g x x ax a x a =-+=- ，()g x ∴对称轴为x a =，①0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递增，只需()()0223g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即()22223a a ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩，解得：0a ≤≤，②2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递减，只需()()0322g g ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，即()22322a a ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩，解得：22a ≤≤，③01a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递减，在[],2a 上单调递增，只需()()0223g g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即()22223a a ⎧<⎪⎨-≥⎪⎩，解得：02a <≤-④12a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递减，在[],2a 上单调递增，只需()()0322g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，即()22322a a ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩2a ≤<，⑤1a =时不满足唯一，故舍去，综上所述，实数a的取值范围为22⎡-+⎣ .【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m 阶自伴函数”或“m 阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，数存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当02a <<时，要考虑对称轴在区间()0,2时，二次函数的图象的形状，以此来建立不等式求出a 的范围.。
高一(上)期中考试数学试题及答案
高一(上)期中考试数学试题及答案高一（上）期中考试数学一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.（3分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U∁N）=（）A．{5} B．{0，3} C．{0，2，3，5} D．{0，1，3，4，5}2.（3分）已知集合A到B的映射：f(x) = 3x-5，那么集合B中元素31的原象是（）A．10 B．11 C．12 D．133.（3分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f(x) = 2，g(x) = x B．f(x) = x，g(x) = x C．f(x) = ln x，g(x) = 2ln x D．f(x) = loga x（＜a≠1），g(x) = loga x（＜a≠1）4.（3分）若x的值域为集合P，则下列元素中不属于P的是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣35.（3分）函数y=a与y=﹣loga x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A． B． C． D．6.（3分）函数f(x)在[0，+∞）上是减函数，那么下述式子中正确的是（）A． f(2)＞f(1) B． f(﹣1)＜f(0) C． f(0)＜f(1) D． f(1)＜f(2)7.（3分）为得到函数的图象，可以把函数y = XXX x的图象（）A．向上平移一个单位 B．向下平移一个单位 C．向左平移一个单位 D．向右平移一个单位8.（3分）设a=2，b=0.3，c=log2 0.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a9.（3分）已知函数f(x) = 0.32x的定义域是R，则实数m的取值范围是（）A．＜m＜4 B．≤m≤4 C．≤m＜4 D．m≥410.（3分）若一系列函数的解析式和值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y=x，2x∈[1，2]，与函数y=x，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y=x B．y=|x﹣3| C．y=2x D．y=log2 x二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.（3分）计算：（1-2i）（3+4i）= 11 + 2i12.（3分）已知函数f(x) = x2-4x+3，其顶点坐标为（2，-1）13.（3分）已知函数y = 2x+1，若x = 3，则y = 714.（3分）已知函数y = log2 x，其图象关于点（1，2）对称15.（3分）已知函数f(x) = x3+2x2-5x-6，其零点为-2，1，316.（3分）已知函数y = 3sin(x-π/4)，其振幅为3，初相位为π/4N）={0，2，3}。
最新高一数学上期中试卷附答案
最新高一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>6．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤7．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)78．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>9．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．110．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201911．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞12．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<二、填空题13．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.14．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．17．若4log 3a =，则22a a -+= ．18．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．19．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43f f x x =-，则()2f =_______．20．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.22．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.23．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．24．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）25．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x xx a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数． （1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数，()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．5．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.8．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．11．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.12．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.二、填空题13．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g（x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0)故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.14．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值16．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性 解析：-1【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以． 考点：函数的奇偶性． 17．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算433【解析】【分析】【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=24223333a -+== 考点：对数的计算 18．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6考点：分段函数的最值问题19．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.20．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.【详解】因为()()))()22f x f x ln x 1ln x 1ln 122x x +-=+++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<， ∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．22．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x 时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.23．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集，且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.24．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+； 2当12a ≥即1(0,]2a ∈时，()g x 的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a -=-+- 考点：复合函数的单调性；函数的值域．25．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.26．（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x =-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=， 此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
2022-2023学年河南省南阳市高一上学期期中考试 数学 试题(含答案)
2022年秋期高中一年级期中质量评估数学试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}2{16},60A x x B x x x =∈≤≤=--≤N ∣∣, 则如图中阴影部分表示的集合为A. {0,1,2}B. {1,2,3}C. {3,0,1,2}-D. {2,0,1,2,3}- 2. “2x =”是“240x -=”的_____条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3. 关于x 的一元二次方程220ax bx +-<的解集为12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则a b += A. -8 B. -2 C. 2 D. 84. 函数()f x 的定义域为[0,4], 则函数2()1x f g x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-的定义域为 A. [0,2] B. [0,8] C. [0,1)(1,2]⋃ D. [0,1)(1,8]⋃5. 2002年 8 月,中国成功主办了国际数学家大会 (ICM2002), 其会标是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的, 颜色的明暗使它看上去像一个风车, 代表中国人民热情好客. 如图所示,设直角三角形的两条直角边分别为a 和b .则该图方便作为下列哪一个选项的几何解释A. 如果0a b >>, 那么a b >B. 如果0a b >>, 那么22a b >C. 对任意正实数a 和b , 有222a b ab ≥+, 当且仅当a b =时等号成立D. 对任意正实数a 和b , 有2a b ab +≥, 当且仅当a b =时等号成立6. 已知2413,log 8,22a b c π--⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则,,a b c 的大小关系为A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >> 7. 函数x y a =与a y x =的图象如图所示,则实数a 的值可能是A.14B. 13C. 12D. 3 8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数, 且对任意12,x x ∈R , 当12x x <时, 都有()()1212f x f x x x -<-, 则关于x 的不等式()221(22)23f x f x x x -+--<--的解集为 A. (-3,1) B. (-1,3) C. (,3)(1,)-∞-⋃+∞ D. (,1)(3,)-∞-⋃+∞二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 下列各组函数中, 两个函数是同一函数的有A. 2()1f x x =-与()11g x x x =+⋅-B. ()||f x x =与2()g x x =C. ||,0,()1,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩与1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩D. 211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭与211()3t g t -⎛⎫= ⎪⎝⎭10. 已知,,,a b c d 均为实数, 有下列命题, 正确的是A. 若0,0ab bc ad >->则c d a b > B. 若0,c d ab a b >>则0bc ad -> C. 若0,c d bc ad a b->>则0ab > D. 若0,0b a c >>>, 则b c b a c a +>+ 11. 下列说法正确的是 A. 命题“x ∀∈Q , 有2321x x ++∈Q ”的否定是“x ∃∈Q , 使得2321x x ++∉Q ”B. 幂函数()223()1mm f x m m x +-=--为偶函数 C. 1()x f x x+=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞ D. 函数()y f x =的图象与y 轴的交点至多有 1 个12. 若()f x 满足对任意的实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=, 且(1)2f =, 则下列判断正确的有A.()f x 是奇函数B.()f x 在定义域上单调递减C. 当(0,)x ∈+∞时, 函数()1f x >D. (2)(4)(6)(2018)(2020)(2022)2022(1)(3)(5)(2017)(2019)(2021)f f f f f f f f f f f f ++++++= 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)三、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数()f x =_____.①()f x 是偶函数;②()f x 在(0,)+∞上单调递增;③()f x 的值域是[0,)+∞.14. 已知函数1,2()|4|,2x x f x x m x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩, 若[(9)]6f f =, 则m =_____. 15. 为了方便进行核酸检测, 某市拟建造一批外形为长方体的核酸检测工作房, 如图所示. 房子的高度为3m, 占地面积为6m 2, 墙 体ABFE 和DCGH的造价均为 800 元/m 2, 墙体ADHE 和BCGF 的造价均为 1200 元/m 2, 地面和房顶的造价共 20000 元. 则一个这样的工作房的总造价最低为_____元.16. 函数223()21x x f x --+=+的单调递减区间为_____, 值域为_____.(本题第一空 2 分,第二空 3 分)四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 10 分)计算:(1)121332324125416(22)(3e)8-⎛⎫+++-- ⎪⎝⎭； (2)lg352351log 100log 4log 9log 8102-+⋅-. 18. (本小题满分 12 分) 已知集合{[(1)][(5)]0},{12}A xx a x a B x x =-+-+≤=-<<∣∣. (1)若0a =, 求A B ⋂;(2) 若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.19. (本小题满分 12 分)在①[1,3]x ∀∈②[1,3]x ∃∈这两个条件中任选一个, 补充到下面问题的横线中, 并求解该问题. 已知函数2()4f x x ax =++.(1) 当2a =时, 求函数()f x 在区间[-2,2]上的值域;(2) 若__________,()0f x ≥, 求实数a 的取值范围.20. (本小题满分 12 分)已知()f x 为R 上的奇函数, 当0x >时,2()2f x x x =-.(1) 求(2)f -;(2) 求()f x 的解析式;(3) 关于x 的方程()f x k =有 3 个不同的实数根, 求实数k 的取值范围.21. (本小题满分 12 分)为了鼓励居民节约用电, 某市居民家庭电价收费标准划分为三档:第一档: 月用电量不超过180kW h ⋅，执行a 元/kW h ⋅的价格;第二档: 月用电量超过180kW h ⋅, 但不超过260kW h ⋅, 执行b 元/kW h ⋅的价格;第三档: 月用电量超过260kW h ⋅, 执行c 元/kW h ⋅的价格.(1) 写出普通居民家庭月电费y (单位: 元) 关于月用电量x (单位:kW h ⋅)的函数解析式；(2) 已知某户居民家庭的用电价格1—6月按照第一档执行,7—8月按照第二档执行,9—10月按照第一档执行,11—12月按照第三档执行,且 6、8、12月的用电量与缴费情况如下表,求a 、b 、c 的值,并画出普通居民家庭月电费y (单位:元)关于月用电量x (单位:kW h ⋅)的函数图象.已知函数2()()31x f x m m =+∈+R 为奇函数. (1) 求实数m 的值;(2) 判断函数()f x 在定义域上的单调性, 并用单调性定义加以证明;(3) 解关于()t t ∈R 的不等式()2(21)20f t f t -+-<.。
2024-2025学年江苏省徐州市高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集U ={1,2,3,4,5}，A ={1,4,5}，B ={1,3}，则(∁U A)∪B =( )A. {2,3}B. {1,3,4}C. {1,2,3}D. {1,5}2.命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定为( )A. ∃x ∈R ，x 2<0B. ∃x ∈R ，x 2≥0C. ∀x ∈R ，x 2<0D. ∀x ∈R ，x 2≤03.若xy ≠0，则“x +y =0”是“y x +x y =−2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若log x 18=−3，则x =( )A. 2B. 12C. −2D. −125.已知x >1，则x +25x−1的最小值为( )A. 10B. 9C. 26D. 116.下列各组函数中，图像不完全相同的是( )A. y = 1−x 2|x +2|和y = 1−x 2x +2B. y = x−1⋅ x−2和y = x 2−3x +2C. y =x +3 3−x 和y = x +33−xD. y =e x ，x ∈R 和s =e t ，t ∈R7.若a 是方程x 2−3x +1=0的根，则a 2+a −2=( )A. 7+3 52B. 7−3 52C. 7D. 6 58.已知函数f(x)={1−x 2,(x ≤1)|x−2|−1,(x >1)，若f(f(2m))≥0，则实数m 的取值范围是( )A. [− 22,2]∪[3,+∞)B. [− 22,2]∪[32,+∞)C. [−1,2+ 22] D. [−1,2+ 22]∪[2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )A. 若a>b>0，则a2>ab>b2B. 若a>b，c>d，则a−c>b−dC. 若a>b，c<0，则a2c<b2cD. 若a>b>2，则a−2b >b−2a10.已知集合A={x|2x2−11x+5≤0}，集合B={x|ax+1<0}，A∪B=B，则a可能的取值是( )A. −4B. −3C. −2D. −111.若x，y满足x2+y2+xy=1，则( )A. x+y≥−1B. x+y≤2C. x2+y2≥23D. x2+y2≤2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
河南省名校联盟2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
高一期中质量监测考试高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}1,2,1,2B =--，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,2C ．{}2,1,2-D ．{}1,1,2-2．命题“x ∃∈Z ，()210x +≤”的否定是（ ）A ．x ∀∉Z ，2(1)0x +≥B ．x ∀∉Z ，2(1)0x +<C ．x ∀∈Z ，2(1)0x +≥D ．x ∀∈Z ，2(1)0x +>3．“10x ->”是“210x ->”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()1f f ⎡⎤⎣⎦=（ ）A ．5B ．-5C ．-2D ．25．函数0(3)y x =-的定义域为（ ）A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,3(3,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．3,3(3,)2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．(3,)+∞6．设32()(2)f x x a x x =-+-+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，则()f a b ⋅=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知函数2,0;()1(2)31,0.ax f x x a x a x ⎧≤⎪=+⎨⎪-+->⎩在(,)-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,)+∞B ．(]0,2C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦8．设集合40ax A xx a ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，且4A ∉，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,2- B ．(]2,4C ．(,2)[4,)-∞-⋃+∞D ．∅二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）A ．2022∈RB ．0∈∅C ．∈Z QD ．{0}≠∅⊂10．已知函数1()x f x x-=，则表达正确的是（ ） A ．函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，()0,1 B ．(1,)+∞为函数()f x 的单调递增区间 C ．函数()f x 有最小值，无最大值 D ．函数()f x 满足()()2f x f x +-=- 11．下列四个结论中，正确的是（ ）A ．当2x ≥时，函数2y x x=+的最小值为3 B ．若2x >，y >1，x +y =4，则函数1121x y +--的最小值为4 C ．当1x >时，函数21y x x =+-有最小值为1+2sqrt {2}D ．当0x <时，函数2y x x=-的是大值为012．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数f 的定义域为[]0,4B ．函数()f x 为R 上的偶函数，且在(,0]-∞上单调递增，则()225(4)f a a f -+-≤C ．若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调递减函数，则()f x 在R 上是单调递减函数D ．函数()f x 的定义域为D ，若对D 中任取的两个不等的实数1x ，2x ，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则()f x 是D 上的单调递减函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20.0分．13．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =---，集合{}1,2,4A =--，{}3,6B =-，则()()UU A B ⋂=______．14．不等式210ax x b a-+<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则a b +=______． 15．已知实数x ，y 满足343x y -≤-≤，229x y ≤+≤，则5x y +的范围为______．16．定义在R 上的偶函数()f x ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 单调递减，则()()231f x f x +<-的解集为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题10分）已知集合，{}25A x x =-<≤，{}233B x x =-<，{}C x x a =>． （1）求()A B ⋂；（2）若A C C ⋃=，求实数a 的取值范围．18．（本题12分）定义域为[]2,2-的奇函数()f x 满足，当(0,2]x ∈时，2,(0,1],()1,(1,2].x x x f x x x ⎧-∈=⎨-+∈⎩（1）求()f x 的值域；（2）若[)2,0x ∈-时，()2f x t ≥有解，求实数t 的取值范围． 19．（本题12分）已知函数2()1x f x x +=+． （1）求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）判断1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值，并求出11(1)(2)(3)(2022)23f f f f f f ⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12022f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．20．（本题12分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的等腰梯形菜园ABCD ，BC AD ，BC x =，AB CD y ==．（单位：m ），60BAD CDA ∠=∠=︒．（1）若篱笆的长度为12m ，菜园的面积为2，求x ，y 的值；（22，求篱笆的长度的最小值． 21．（本题12分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足2(3)613x af x x x ++=++． （1）求实数a 的值；（2）当(2,2)x ∈-时，用定义证明函数()f x 为单调递增函数； （3）当(2,2)x ∈-时，解不等式()()2120f x f x ++->．22．（本题12分）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．（1）求实数m 的值；（2）若对[]2,2x ∀∈-，总[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．D 解析：{}}{223013A x x x x x ≤-=-≤-≤=，∵{}1,2,1,2B =--，∴{}1,1,2A B ⋂=-，∴D 正确．【命题意图】该题考查了集合的交集运算知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．2．D 解析：根据全称量词命题的否定形式得，“x ∃∈Z ，2(1)0x +≤”的否定是，x ∀∈Z ，2(1)0x +>，∴D 正确．【命题意图】该题考查了全称量词及否定形式知识，该题从数学素养上体现对学生数学逻辑思维能力的考查．3．A 解析：∵10x ->，则1x >，∴21x >，∴210x ->，反之不成立所以“10x ->”是“210x ->”的充分不必要条件，A 正确．【命题意图】该题考查了充分必要条件知识，该题从数学素养上体现对学生数学逻辑思维能力的考查．4．A 解析：∵1>0，∴()12f =-，∵20-<，∴2(2)(2)15f -=-+=，故选A ． 【命题意图】该题考查了分段函数、求函数值知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力． 5．B解析：∵0(3)y x =-，则23030x x +>⎧⎨-≠⎩，解得32x >-且3x ≠，则函数13y x =-的定义域为3,3(3,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故选B ． 【命题意图】该题考查了求函数的定义域、不等式知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．6．C 解析：32()(2)f x x a x x =-+-+是定义在[]2,3b b +上的奇函数，∴()()f x f x -=-，且230b b ++=，∴2a =，且1b =-，所以3()f x x x =-+，∴3()(2)(2)26f a b f ⋅=-=---=．故选C ．【命题意图】该题考查了偶函数的定义、性质知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．7．C 解析：∵函数2,0;()1(2)31,0.ax f x x a x a x ⎧≤⎪=+⎨⎪-+->⎩在(,)-∞+∞上是增函数，∴02031a a a a⎧>-≥>-⎪⎨⎪⎩，求得122a ≤<，故选C ．【命题意图】该题考查了分段函数单调性知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．8．B 解析：由条件知24220,214(44)(4)0a a a a a a a ⎧⎪⎨+><-<⎧⇒-⎨-≤⎩+-≥≤⎪⎩或∴24a <≤．9．AD 解析：B ，C 都是符号运用错误 10．BC 解析：作出1()x f x x-=的图象，根据单调递增（减）区间的定义，对称性，得AC 正确．【命题意图】该题考查函数作图、单调区间的定义、最值、对称知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解和综合运用知识的解题能力． 11．ABC 解析：函数2y x x=+在[2,)+∞上单调递增，所以当2x =时取最小值，即3，A 正确；111112(21)114212121y x x y x y x y x y ⎛⎫--+=+-+-=+++≥ ⎪------⎝⎭，所以B 正确；22112(1)1111y x x x x x =+=-++-=--，所以C 正确；当0x <时，2()()y x x =-+-，∵0x ->，∴2()()x x -+≥-，有最小值D 错误．所以ABC 正确．【命题意图】该题考查基本不等式的应用知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解能力．12．BCD 解析：若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数f的定义域为[]0,2．故A不正确；函数()f x 为R 上的偶函数，且在(,0]-∞上单调递增，函数()f x 为[0,)+∞上单调递减，()()()2222525(1)4(4)f a a f a a f a f -+-=-+=-+≤则()225(4)f a a f -+-≤，B 正确；若定义在上的奇函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调递增函数，则在区间(0,)+∞上也是单调增函数，那么()f x 在R 上一定为单调递增函数，故C 正确；()()()()()()()()1122122112120x f x x f x x f x x f x x x f x f x +<+⇔--<．由函数单调性的定义知D 正确．【命题意图】该题考查函数的定义域、单调性、奇函数性质知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力． 13．{}5 解析：()()()UU UA B A B ⋂=⋃，{}1,2,3,6A B ⋃=---，()()(){5}UU UB A B A ⋃⋂==【命题意图】该题考查了集合的并集、补集运算知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力． 14．5 解析：不等式210ax x b a-+<的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞知，-2，3为方程210ax x b a -+=的两个根，且0a <，∴2123123a b a a ⎧⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎩-+=-=--⨯=，6b =．∴5a b += 【命题意图】该题考查了一元二次不等式与方程的关系知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力．15．3,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：135(4)(2)22x y x y x y +=-++∵343x y -≤-≤，∴313(4)222x y -≤-≤，∵229x y ≤+≤，∴3273(2)22x y ≤+≤ ∴35152x y ≤+≤． 【命题意图】该题考查了不等式性质中求范围知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解能力． 16．24,3⎛⎫--⎪⎝⎭解析：()f x 为R 上的偶函数，且()f x 在(,0]-∞上单调递减，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()()()|231231|||f x f x f x f x +<-⇔+<-，∴231x x +<-，平方得()()3240x x ++<，∴24,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．【命题意图】考查偶函数的性质知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力． 17．（本题10分）解：（1）{}03B x x =<<，∴(){}2035A B x x x ⋂=-<≤≤≤或（2）∵A C C ⋃=，∴A C ⊆，∴2a ≤-．18．（本题12分）解：∵当(0,2]x ∈时，2,(0,1],()1,(1,2].x x x f x x x ⎧-∈=⎨-+∈⎩∴利用函数的奇偶性画出函数()f x 在[]2,2-上的大致图象，如图所示：1()1f x ≤-≤，∵若[2,0)x ∈-时，()2f x t ≤有解，∴21t ≥，即210t -≤，解得11t -≤≤．【命题意图】该题考查了奇函数、分段函数、恒成立及存在性问题的处理知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养的考查，考查学生的运算求解和综合运用知识的解题能力． 19．（本题12分）解：（1）1(2)32f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭（2）1()f x f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是定值3， 111(1)(2)(3)(2022)6064.5232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【命题意图】该题考查方程、集合的交集并集子集知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力．20．（本题12分）解：（1）如图，过B作BE AD ⊥于E ，过点C 作CF AD ⊥于F ，在Rt AEB △中，90AEB ∠=︒，60BAE ∠=︒，AB y =，所以2y AE =，BE y =．同理12DF y =，CF y =，则EF x =．所以212111222x y x x y y y +=⎧⎪⎨⎛+++=⎪⎝⎭⎩即212(2)48x y x y y +=⎧⎨+=⎩，则44x y =⎧⎨=⎩．（2）1112222ABCD S x x yy y ⎛=+++= ⎝⎭，即()227x y y +=，()()2381x y y +=． 所以112(24)[(2)3]922x y x y x y y +=+=++≥=（当且仅当3x y ==时取“=”）21．（本题12分）解：（1）2233(3)613(3)4x a x a f x x x x ++-++==++++，∴23()4x a f x x +-=+因为()f x 为奇函数， ∴23(0)004a f -==+，∴3a =． （2）证明：设1x ，2x 为区间()2,2-上的任意两个值，且12x x <，()()()()()()211212122222121244444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<，2140x +>，2240x +>， 即()()120f x f x -<，所以函数()f x 在()2,2-上是增函数．（3）因为()f x 为奇函数且在()2,2-上是增函数，所以()()2120f x f x ++->，得()()()21221f x f x f x +>--=-，则222,2122,221,x x x x -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩即40,13,223,x x x -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩故1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭． 【命题意图】该题考查奇函数定义及性质、单调性的证明、定义域、不等式解法知识，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力．22．（本题12分）解：（1）幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，令∴2(2)13230m m m -=⇒=-⎧⎨⎩>，∴3()f x x =， （2）对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立 ∴32max ()2821f x at t a ==≤+++，又[2,2]a ∃∈-，使得2821at t a ≤+++都成立∴()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，∵220t +>，∴()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥．【命题意图】该题考查重要函数、恒成立和存在性问题，该题从数学素养上体现对学生数学运算素养、逻辑推理的考查，考查学生的运算求解、推理论证的能力．。
江苏省徐州市2023-2024学年高一上学期11月期中考试 数学含解析
2023~2024学年度第一学期期中考试高一数学试题（答案在最后）（考试时间120分钟试卷满分150分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,0,1,2,{12}A B x x =-=-<<∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,1- C.{}1,0,1- D.{}0,1,22.设R a ∈，则“2a =-”是“关于x 的方程20x x a ++=有实数根”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.下列各组函数表示相同函数的是（）A.1y x =+，1y x =+B.2(0)y x x =>，2(0)y x x =<C.y =，2y =D.321x x y x +=+，y x=4.已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则a b +的最小值是（）A. B.3+ C.16D.325.命题:p “()2,3x ∀∈，230x a ->”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（）A.27a >B.12a ≤C .12a < D.27a ≥6.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则关于x 的不等式20bx ax c ++<的解集为（）A.615x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭B.615x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C.213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.213x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或7.设lg6a =，lg20b =，则4log 3=（）A.()121a b b +-+ B.11a b b +--C.()121a b b -+- D.11a b b -++8.已知()(0)f x ax b a =+>，满足()()2f f x x =+，则函数y x =的值域为（）A.[)1,+∞B.[)1,-+∞C.5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.[)0,∞+二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列图形不可能是函数()y f x =图象的是（）A. B.C. D.10.下列命题是真命题的是（）A .若a b >，则1>abB.若a b >，且11a b>，则0ab >C.若0a b >>，则11b ba a+>+D.若12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则54210a b ≤-≤11.早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称2a b+为正数a ，b 的算术平均数，为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式(0,0)2a b a b +≤>>叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A.若1ab =，则2a b +≥B.若0a b >>，且111a b +=，则a b +最小值为4C.若0a >，0b >，则114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.若0a >，0b >且4a b +=，则2222+++a b a b 的最小值为212.在R 上定义运算：()1x y x y ⊗=-，若命题:p x ∃∈R ，使得()()1x a x a -⊗+>，则命题p 成立的充分不必要条件是（）A.1322a a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或B.1322a a a ⎧⎫≤->⎨⎩⎭或C.312a a a⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或D.{}2x x >三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.命题p ：所有的质数都是奇数，则命题p 的否定是__________.14.已知函数()f x 对任意实数x 都有()()221f x f x x +-=+，则()f x =_______.15.已知函数()()221R f x ax x x =-+∈有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a 的取值范围为______.16.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的__________倍；大约经过__________天后“进步”的分别是“落后”的10倍.（参考数据：lg101 2.004≈，lg99 1.996≈， 2.9110812.831≈， 2.9210831.764≈，2.9310851.138≈，结果保留整数）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）1220122(2.5)43-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 2log lg2532lg2+-+.18.已知集合302x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}12B x x =->，{}22430C x x ax a =-+<.（1）求集合A B ⋃；（2）若a<0且()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.19.已知函数23y x mx =-+（1）若4y ≤-的解集为[]2,n ，求实数m ，n 的值；（2）对于1,2x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭，不等式22y x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.20.已知命题：“R x ∀∈，20x x m -->”为真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合{}34N x a x a =<<+，若“x ∈N ”是“x M ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.21.某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件.（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该产品每件售价最多为多少元？（2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价()26x x ≥元，并投入()33264x -万元作为营销策略改革费用.据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少20.45(25)x -万件.则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.22.已知二次函数()()2,,R f x ax bx c a b c =++∈只能同时满足下列三个条件中的两个：①2a =；②不等式()0f x >的解集为{}13x x -<<；③函数()f x 的最大值为4.（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数()f x 的解析式；（2）求关于x 的不等式()()()212R f x m x m ≥-+∈的解集.2023~2024学年度第一学期期中考试高一数学试题（考试时间120分钟试卷满分150分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,0,1,2,{12}A B x x =-=-<<∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,1- C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}1,0,1,2,{12}A B xx =-=-<<∣，所以A B = {}0,1，故选：A2.设R a ∈，则“2a =-”是“关于x 的方程20x x a ++=有实数根”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性和必要性的定义进行求解判断即可.【详解】因为关于x 的方程20x x a ++=有实数根，所以该方程的判别式11404a a ∆=-≥⇒≤，显然由2a =-能推出14a ≤，但是由14a ≤不一定能推出2a =-，所以“2a =-”是“关于x 的方程20x x a ++=有实数根”的充分条件，故选：A3.下列各组函数表示相同函数的是（）A.1y x =+，1y x =+B.2(0)y x x =>，2(0)y x x =<C.y =，2y =D.321x x y x +=+，y x=【答案】D 【解析】【分析】举反例得到A 不是相同函数，根据定义域排除BC ，得到答案.【详解】对选项A ：取2x =-，两个函数值分别为1-和1，不是相同函数；对选项B ：两个函数定义域不同，不是相同函数；对选项C ：y =定义域为R ，2y =定义域为[)0,∞+，不是相同函数；对选项D ：321x xy x +=+定义域为R ，化简为y x =，y x =定义域为R ，是相同函数.故选：D.4.已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则a b +的最小值是（）A. B.3+ C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】将2a b ab +=化简为121b a +=，然后由基本不等式“1”的应用即可求解.【详解】由2a b ab +=，得：121b a+=，又因为：0a >，0b >，所以：()212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=时，即：1b =2a =+取等号，故B 项正确.故选：B.5.命题:p “()2,3x ∀∈，230x a ->”，若命题p 是真命题，则a 的取值范围为（）A.27a >B.12a ≤C.12a <D.27a ≥【答案】B 【解析】【分析】根据题意，转化为不等式23a x <在()2,3x ∈上恒成立，进而求得a 的取值范围，得到答案.【详解】由命题()2:2,3,30a p x x ∀->∈为真命题，即不等式23a x <在()2,3x ∈上恒成立，当()2,3x ∈，可得221831x <<，所以12a ≤.故选：B.6.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则关于x 的不等式20bx ax c ++<的解集为（）A.615x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭B.615x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C.213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.213x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得5,6b a c a =-=且a<0，然后代入不等式20bx ax c ++<，即可得到结果.【详解】由题意可知，2,3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实根，且a<0，则2323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得5,6b a c a =-=，则不等式20bx ax c ++<可化为2560ax ax a -++<，即2560x x --<，所以()()5610x x -+<，解得615x -<<，所以不等式的解集为615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：A7.设lg6a =，lg20b =，则4log 3=（）A.()121a b b +-+ B.11a b b +--C.()121a b b -+- D.11a b b -++【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用对数的运算公式和对数的换底公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】由lg6a =，lg20b =，可得lg6lg 2lg 3a ==+，lg20lg10lg 21lg 2b ==+=+，联立方程组lg 2lg 31lg 2ab +=⎧⎨+=⎩，解得lg 21,lg 31b a b =-=-+则4lg 3lg 31log 3lg 42lg 22(1)a b b -+===-.故选：C.8.已知()(0)f x ax b a =+>，满足()()2f f x x =+，则函数y x =的值域为（）A.[)1,+∞B.[)1,-+∞C.5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.[)0,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据()()2f f x x =+得到()1f x x =+t =，0t ≥，得到21524y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据二次函数性质计算最值得到答案.【详解】()(0)f x ax b a =+>，()()()22ff x a ax b b a x ab b x =++=++=+，故212a ab b ⎧=⎨+=⎩，0a >，解得11a b =⎧⎨=⎩，故()1f x x =+，y x x ==-[)1,-+∞，t =，0t ≥，则21x t =-，2215124y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当12t =时，函数有最小值为54-，故函数y x =-值域为5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列图形不可能是函数()y f x =图象的是（）A. B.C. D.【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的定义判断即可【详解】选项B 、C ：对于定义域内每一个x 都有唯一的y 与之相对应，满足函数关系，故B 、C 正确；选项A 、D ：存在一个x 有两个y 与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A 、D 错误；故选：AD10.下列命题是真命题的是（）A.若a b >，则1>a bB.若a b >，且11a b>，则0ab >C.若0a b >>，则11b ba a+>+D.若12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则54210a b ≤-≤【答案】CD 【解析】【分析】举反例排除AB ，利用作差法计算C 正确，确定()()423a b a b a b -=-++，计算范围得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：取0a =，1b =-满足a b >，0ab=，错误；对选项B ：取1a =，1b =-满足a b >且11a b>，0ab <，错误；对选项C ：0a b >>，故()1011b b a ba a a a +--=>++，故11b b a a+>+，正确；对选项D ：12a b ≤-≤，故()336a b ≤-≤，24a b ≤+≤，()()423a b a b a b -=-++，故54210a b ≤-≤，正确；故选：CD11.早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称2a b+为正数a ，b的算术平均数，为正数a ，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式(0,0)2a b a b +≤>>叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A.若1ab =，则2a b +≥B.若0a b >>，且111a b +=，则a b +最小值为4C.若0a >，0b >，则114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.若0a >，0b >且4a b +=，则2222+++a b a b 的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】利用特例法判断A ，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B ，利用基本不等式结合不等式性质判断C ，设+2=+2=a m b n⎧⎨⎩，代入2222+++a b a b 化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D.【详解】对于A ，若1,1a b =-=-，满足1ab =，则22+=-<a b ，错误；对于B ，若0a b >>，且111a b +=，则11()224⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭a b a b a b a b b a ，2a b ==时取等号，正确；对于C ，因为0,0a b >>，所以12a a +≥=，当且仅当1a a =即1a =时等号成立，所以12b b +≥=，当且仅当1b b =即1b =时等号成立，由乘法法则知11224a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，正确.对于D ，令22,22+=>+=>a m b n ，则8m n +=，所以222(2)22-+=+++a b m a b m 22(2)44443232822-=+++-=+=≥=+⎛⎫⎪⎝⎭n m n n m n m n mn m n ，（当且仅当4m n ==即2a b ==时取等号），即2222+++a b a b 的最小值是2，正确.故选：BCD12.在R 上定义运算：()1x y x y ⊗=-，若命题:p x ∃∈R ，使得()()1x a x a -⊗+>，则命题p 成立的充分不必要条件是（）A.1322a a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或B.1322a a a ⎧⎫≤->⎨⎩⎭或C.312a a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或D.{}2x x >【答案】A【解析】【分析】由定义()1x y x y ⊗=-，得R x ∃∈，使得()()1x a x a -⊗+>即()()11x a x a --->，从而可求解.【详解】由题意知：()()()()222211124x a x a x a x a x x a a x a a ⎛⎫⎡⎤-⊗+=--+=-++-=--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，若R x ∃∈，使得()()1x a x a -⊗+>，则需函数：221124y x a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭的最大值大于1，即12x =时，2114y a a =-+>成立得：12a <-或32a >.故A 项正确.故选：A.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.命题p ：所有的质数都是奇数，则命题p 的否定是__________.【答案】存在一个质数不是奇数【解析】【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果.【详解】因为命题p ：所有的质数都是奇数，则其否定为：存在一个质数不是奇数.故答案为：存在一个质数不是奇数.14.已知函数()f x 对任意实数x 都有()()221f x f x x +-=+，则()f x =_______.【答案】123x -+【解析】【分析】由()()221f x f x x +-=+可列出方程组：()()()()221221f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，从而求解.【详解】由题意得：对任意实数x 都有()()221f x f x x +-=+，所以：()()()()221221f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得：()123f x x =-+.故答案为：123x -+.15.已知函数()()221R f x ax x x =-+∈有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a 的取值范围为______.【答案】()0,1【解析】【分析】根据函数零点分布结合函数图象列不等式求解即可.【详解】函数()()221R f x ax x x =-+∈有两个零点，一个大于1另一个小于1，又()010f =>，则0a ≠，函数()f x 的示意图如下：或所以()01210a f a >⎧⎨=-+<⎩或()01210a f a <⎧⎨=-+>⎩，解得01a <<，所以实数a 的取值范围为()0,1.故答案为：()0,116.我们可以把365(11%)+看作每天的“进步”率都是1%，一年后是3651.01；而把365(11%)-看作每天的“落后”率都是1%，一年后是3650.99，则一年后“进步”的是“落后”的__________倍；大约经过__________天后“进步”的分别是“落后”的10倍.（参考数据：lg101 2.004≈，lg99 1.996≈， 2.9110812.831≈， 2.9210831.764≈，2.9310851.138≈，结果保留整数）【答案】①.832②.125【解析】【分析】计算36536521.010.99lg 2.9≈得到93653625 2.108321.010.99=≈，设x 天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则1.01100.99x x =，解得1101125lg lg 99x =≈-，得到答案.【详解】()()365365365365lg lg lg 365lg lg 365lg lg 2.921.01 1.010.99 1.010.99101990.99=-=-=-≈，故93653625 2.108321.010.99=≈，设x 天后“进步”的分别是“落后”的10倍，则1.01100.99x x =，即()()lg lg lg 0.99lg lg 0.99lg lg 9911.01 1.01 1.011010.99xx x x x x =-=-=-=，解得1101125lg lg 99x =≈-，故答案为：832；125.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）1220122(2.5)43-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 2log lg2532lg2+-+.【答案】17.154+18.32【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可；（2）根据对数的定义及对数的运算法则计算即可.【小问1详解】1220122(2.5)43-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12293391511142244⎛⎫⎛⎫=++=++-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】33log 223log lg2532lg2log 32lg522lg2-+=+-+()33322lg5lg222222=-++=-+=.18.已知集合302x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}12B x x =->，{}22430C x x ax a =-+<.（1）求集合A B ⋃；（2）若a<0且()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(),33,A B ⋃=-∞+∞ （2）21,3a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）确定{}23A x x =-<<，()(),13,B =-∞-+∞ ，再计算并集得到答案.（2）确定()2,1A B ⋂=--，()3,C a a =，根据集合的包含关系得到321a a ≤-⎧⎨≥-⎩，解得答案.【小问1详解】{}30232x A x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，{}()()12,13,B x x ∞∞=->=--⋃+，()(),33,A B ⋃=-∞+∞ .【小问2详解】()2,1A B ⋂=--，a<0，则{}()(){}()22430303,C x x ax a x x a x a a a =-+<=--<=，()A B C ⊆ ，故321a a ≤-⎧⎨≥-⎩，解得213a -≤≤-，即21,3a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.19.已知函数23y x mx =-+（1）若4y ≤-的解集为[]2,n ，求实数m ，n 的值；（2）对于1,2x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭，不等式22y x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）112m =，72n =（2）(,-∞【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到227n m n +=⎧⎨=⎩，解得答案.（2）变换得到12m x x≤+，利用均值不等式计算最值即可.【小问1详解】234y x mx =-+≤-，即270x mx -+≤，其解集为[]2,n ，则227n m n +=⎧⎨=⎩，解得112m =，72n =；【小问2详解】1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2232x mx x -+≥-，即12m x x ≤+，12xx +≥=，当且仅当12x x =，即22x =时等号成立，故m ≤，即(,m ∈-∞.20.已知命题：“R x ∀∈，20x x m -->”为真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设集合{}34N x a x a =<<+，若“x ∈N ”是“x M ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】20.1{|}4m m <-21.17(,][2,)4-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据题意，转化为20x x m -->在R 上恒成立，结合Δ0<，即可求解；（2）根据题意，得到N M ⊆，分N =∅和N ≠∅，两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由命题：“R x ∀∈，20x x m -->”为真命题，即不等式20x x m -->在R 上恒成立，可得2(1)40m ∆=-+<，解得14m <-，所以实数m 的取值集合为1{|}4m m <-.【小问2详解】解：由“x ∈N ”是“x M ∈”的充分条件，可得N M ⊆，因为{|34}N x a x a =<<+，1{|}4M m m =<-，当N =∅时，可得34a a ≥+，解得2a ≥，此时满足N M ⊆；当N ≠∅时，则满足34144a a a <+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩，解得174a ≤-，综上可得，实数a 的取值范围为17(,][2,)4-∞-+∞ .21.某公司为了竞标某体育赛事配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件成本为20元，售价为25元，每月销售8万件.（1）若售价每件提高1元，月销售量将相应减少2000件，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该产品每件售价最多为多少元？（2）厂家决定下月进行营销策略改革，计划每件售价()26x x ≥元，并投入()33264x -万元作为营销策略改革费用.据市场调查，若每件售价每提高1元，月销售量将相应减少20.45(25)x -万件.则当每件售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.【答案】（1）60（2）当每件售价为28时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3【解析】【分析】（1）该产品每件售价为x 元，得到()()()8250.22025208x x ⎡⎤--⨯-≥-⨯⎣⎦，解得答案.（2）设下个月的总利润为W ，得到25 2.2547.8425W x x ⎪=-⎛⎫-+-⎝⎭，利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】该产品每件售价为x 元，则()()()8250.22025208x x ⎡⎤--⨯-≥-⨯⎣⎦，解得2560x ≤≤，故产品每件售价最多为60元；【小问2详解】设下个月的总利润为W ，则()()()20.453325 2.25252647.8(254208)425W x x x x x x -⎛⎫--=-⎪⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦--⎝⎭47.846.3≤-=，当且仅当25 2.25425x x -=-，即28x =时等号成立，故当每件售价为28时，下月的月总利润最大，最大总利润为46.3.22.已知二次函数()()2,,R f x ax bx c a b c =++∈只能同时满足下列三个条件中的两个：①2a =；②不等式()0f x >的解集为{}13x x -<<；③函数()f x 的最大值为4.（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数()f x 的解析式；（2）求关于x 的不等式()()()212R f x m x m ≥-+∈的解集.【答案】（1）②③；()223f x x x =--+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当2a =时，条件②③不成立，由②令()(3)(1)f x a x x =+-，结合二次函数的性质，列出方程，求得a 的值，即可求解；（2）把不等式化为2210mx x +-≤，结合一元二次不等式的方法，分类讨论，即可求解.【小问1详解】当2a =时，不等式()0f x >的解集不能为{}13x x -<<，且()f x 没有最大值，所以①不成立，满足条件只能为②③，由不等式()0f x >的解集为{}13x x -<<，可令()2(3)(1)23,(0)f x a x x ax ax a a =+-=+-<，因为()f x 的最大值为4，可得24(3)(2)44a a a a⨯--=，解得1a =-，所以()223f x x x =--+.【小问2详解】解：由不等式()()212f x m x ≥-+，可化为2210mx x +-≤，当0m =时，不等式等价于210x -≤，解得12x ≤，所以不等式的解集为1(,2-∞；当0m >时，对于不等式2210mx x +-≤，因为440m ∆=+>，方程有两个不相等的实数根据1211,x x m m-+--==，不等式的解集为11[,m m-+--；当0m <时，对于一元二次方程2210mx x +-=，可得44m ∆=+，①当1m ≤-时，0∆≤，此时不等式2210mx x +-≤的解集为R ；②当10m -<<时，0∆>，可得方程的两根为1211,x x m m -+-==，此时不等式的解集为11(,][,)m m-+--∞+∞ ，综上可得：当0m =时，不等式的解集为1(,2-∞；当0m >时，不等式的解集为11[,]m m-+--；当1m ≤-时，不等式2210mx x +-≤的解集为R ；当10m -<<时，不等式的解集为11(,[,)m m ----∞+∞ .。
2024-2025学年甘肃省高一数学上学期期中考试卷及答案解析
2024～2025学年度第一学期期中考试高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{},0A y y x x ==>，{}N 231B x x =∈-≤，则A B = （ ）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {1,2,3}D. {2,3}【答案】B【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】{}{},00A y y x x y y ==>=> ，{}{}{}N 231N 121,2B x x x x =∈-≤=∈≤≤=，{1,2}A B ∴= ，故选：B.2. 设x ∈R ，则“3x <”是“()20x x -<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由集合的包含关系即可判断.【详解】由()20x x -<可得02x <<，显然()0,2(),3-∞，所以“3x <”是“()20x x -<必要不充分条件.故选：B3. 已知函数()1f x x x =+，则()()20222022f f -+的值是（ ）A. －2022B. 0C. 1D. 2022【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数可求()()20222022f f -+的值.【详解】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，定义域关于原点对称.()()110f x f x x x x x-+=--++=，故()f x 为奇函数，则()()202220220f f -+=．故选：B.4. 设全集{}*|8U x x =∈<N ，集合{1,3,6},{3,5,7}A B ==，则()U A B ð的子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到{1,2,3,4,5,6,7}U =，结合并集与补集的运算，求得(){2,4}U A B = ð，进而得到其子集的个数.【详解】由题意，全集*{|8}{1,2,3,4,5,6,7}U x x =∈<=N ，因为{1,3,6},{3,5,7}A B ==，可得{1,3,5,6,7}A B ⋃=，所以(){2,4}U A B = ð，所以()U A B ð的子集个数为224=个.故选：B.5. 若“x M ∃∈，2||x x <”为真命题，“x M ∀∈，2x <”为假命题，则集合M 可以是（ ）A. {}0x x < B. {}01x x ≤≤C. {}13x x << D. {}1x x ≤【答案】C【解析】【分析】由“x M ∀∈，2x <”为假命题，可得“x M ∃∈”， 2x ≥，为真命题，可知A ，B ，D 不正确，即可得出答案.【详解】若“x M ∀∈，2x <”为假命题，所以“x M ∃∈”， 2x ≥，为真命题，所以A ，B ，D 不正确 ，排除A ，B ，D ．故选：C ．6.函数()3f x x =的最大值为（ ）A 34 B. 12 C. 1 D. 13【答案】D【解析】【分析】换元再配方可得答案.【详解】令0)t t =≥，则()2211()233033g t t t t t =--⎛⎫=- ⎪⎝+≥⎭，所以max 11()33g t g ⎛⎫==⎪⎝⎭.故选：D.7. 已知函数()2411f x x -=+，则函数()y f x =的解析式是（ ）A. ()222f x x x =++，0x ≥ B. ()222f x x x =++，1x ≥-C. ()222f x x x =-+，0x ≥ D. ()222f x x x =-+，1x ≥-【答案】B【解析】【分析】利用配凑法求解析式即可.【详解】()()224211111f x x x ⎡⎤-=+=-++⎣⎦，且211x -≥-，所以()()221122f x x x x =++=++，1x ≥-.故选：B..8. 设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，()f x是增函数，则((π),(3)f f f -的大小关系是（ ）A. (π)(3)(f f f >->B. (π)((3)f f f >>-C(π)(3)(f f f <-<D. (π)((3)f f f <<-【答案】A【解析】【分析】根据偶函数性质将负值的函数值转化为正值的函数值，再利用()f x 在[0,)+∞上的单调性即得.【详解】因()f x是偶函数，故((3)(3)f f f f =-=，又因当[0,)x ∈+∞时，()f x3π<<可得：(π)>(3)f f f >，即(π)>(3)(f f f ->.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）A. 奇数都不能被2整除B. 有实数是无限不循环小数C. 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等D. 对任意实数x ，方程210x +=都有解【答案】AC【解析】【分析】根据全称量词的定义求解即可.【详解】选项A 与C 既是全称量词命题又是真命题，B 项是存在量词命题，D 项是假命题．故选：AC10. 如果0a b <<，0c d <<，那么下列不等式一定成立的是（ ）.的A. ac bd> B. 22ac bd > C. d c a a < D. d b c b a b a b++<++【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式性质可判断AC 正确，取特殊值可知B 错误；利用作差法可知D 正确.【详解】由题知0a b ->->，0c d ->->，所以ac bd >，故A 正确﹔取2a c ==-，1b d ==-，则28ac =-，21bd =-，故B 不正确﹔因为c d <，10a <，所以d c a a<，故C 正确；因为0b d c b d c a b a b a b ++--=<+++，故d b c b a b a b++<++，故D 正确，故选：ACD.11. 对于定义在R 上的函数()f x ，下列判断正确的是（ ）．A. 若()f x 是偶函数，则()()22f f -=B. 若()()22f f -≠，则()f x 不是偶函数C. 若()()21f f >，则函数()f x 是R 上的增函数D. 若()()21f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函数定义判断选项AB ，举反例否定选项C ；利用减函数定义判断选项D.【详解】选项A ：若()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=恒成立，则有()()22f f -=成立，判断正确；选项B ：定义在R 上的函数()f x ，若()()22f f -≠，则()()f x f x -=不恒成立，则()f x 不是偶函数，判断正确；选项C ：定义在R 上的函数()2f x x =，满足()()21f f >，但函数()f x 不是R 上的增函数.判断错误；选项D ：定义在R 上的函数()f x ，若()()21f f >，则对任意1212,R x x x x ∈<，时，12()()f x f x >不恒成立，则函数()f x 在R 上不是减函数. 判断正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 集合()(){}120A x x x =--=用列举法表示为______.【答案】{}1,2##{}2,1【解析】【分析】解方程，求出{}1,2A =.【详解】()(){}{}1201,2A x x x =--==.故答案为：{}1,213. 函数()1f x =+的定义域是__________．【答案】[]3,1-【解析】【分析】根据函数解析式有意义，可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】要使函数()f x 有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得31x -≤≤.因此，函数()f x 的定义域为[]3,1-.故答案为：[]3,1-.14. 已知0a >，0b >，12a a b ≥+，12b b a≥+，则a b +的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得33a b a b+≥+，结合基本不等式求2()a b +的最小值，再求a b +的最小值.【详解】因为12a a b ≥+，12b b a≥+，所以33a b a b +≥+，又0a >，0b >，所以23333()()612b a a b a b a b a b ⎛⎫+≥++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b ==所以a b +≥，当且仅当a b ==时取等号．所以a b +的最小值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. 已知全集U =R ，A ={x |―3<x <2}，B ={x |m <x <5}.（1）若0m =，求()U A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)2,5U A B = ð（2）(],3-∞-【解析】【分析】（1）根据补集交集的概念运算即可；（2）先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可.【小问1详解】(][),32,U A =-∞-+∞ ð，若0m =，B ={x |0<x <5}，所以()[)2,5U A B = ð；【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以A B ⊆，所以3m ≤-即实数m 的取值范围是(],3-∞-.16. 若关于x 的不等式2310ax x +-＞的解集是11{|}2x x ＜（1）求a 的值；（2）求不等式22310ax x a -++＞的解集．【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x ＜1}．【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax 2+3x ﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a 的值；（2）将（1）中的a 代入不等式ax 2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解）试题解析：（1）依题意，可知方程ax 2+3x ﹣1=0的两个实数根为和1，∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2，∴a 的值为﹣2；（2）由（1）可知，不等式为﹣2x 2﹣3x+5＞，即2x 2+3x ﹣5＜0，∵方程2x 2+3x ﹣5=0的两根为x 1=1，x 2=﹣，∴不等式ax 2﹣3x+a 2+1＞0的解集为{x|﹣＜x ＜1}．考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集．17. 设函数()22f x x x =+-．（1）将函数()f x 写成分段函数的形式并画出其图象；（2）写出函数()f x 的单调区间和值域．【答案】（1）()32,02,0x x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩，图象见解析 （2）单调递增区间为[)0,+∞，单调递减区间为(),0-∞，值域为[)2,-+∞【解析】【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象；（2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域.【小问1详解】因为,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，所以()32,0222,0x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨--<⎩，所以()f x 的图象如下所示：【小问2详解】由（1）中函数图象可知，()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，又()02f =-，所以()f x 的值域为[)2,-+∞.18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心()018x x <<厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与2x 成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与21350x -成反比，比例系数为k ，且当10x =时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 关于x 的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x 的值.【答案】（1）222501350y x x =+-，018x << （2）当15x =时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为475.【解析】【分析】（1）由题意2221350k y x x=+-，把10x =，0.06y =代入，可求k 的值.（2）利用基本不等式“1”妙用，可求y 的最小值及对应的x 的值.【小问1详解】由题意2221350k y x x =+-，018x <<，因为10x =时，0.06y =，所以20.061001350100k +=-⇒50k =，的所以222501350y x x =+-，018x <<.【小问2详解】因为018x <<，所以213500x ->，所以222501350y x x =+-()22221250135013501350x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-+ ⎪⎣⎦-⎝⎭()22222135015025013501350x x x x ⎡⎤-⎢⎥=+++-⎢⎥⎣⎦1521350⎡⎢≥+⎢⎣()145220135075=+=，当且仅当()222221350501350x x x x -=-，即15x =时取“=”，所以当15x =时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为475.19. 已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的,a b ∈R ，都有()()()f a f b f a b =+．当0x <时，()1f x >，且(0)0f ≠．（1）求(0)f 的值，并证明：当0x >时，0()1<<f x ；（2）判断()f x 的单调性，并证明；（3）若1(2)2f =，求不等式()215616f t t ->解集．【答案】（1）(0)1f =，证明见解析；（2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（3）4,25⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）令0a b ==，可得(0)f ，令,==-a x b x ，结合已知即可得证；（2）设12x x <，令122,a x x b x =-=，结合()f x 的范围即可判断()()12f x f x >，得证；的（3）利用赋值法求出()8f ，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得.【小问1详解】令0a b ==，则2[(0)](0)f f =，又(0)0f ≠，所以(0)1f =．证明：当0x >时，0x -<，所以()1f x ->，又()()()(0)1f x f x f x x f -=-==，所以1()()f x f x =-，所以0()1<<f x ；【小问2详解】()f x 在R 上单调递减．证明：设12x x <，则()()()()121222f x f x f x x x f x -=-+-()()()()()12222121f x x f x f x f x f x x ⎡⎤=--=--⎣⎦，又12x x <，所以120x x -<，所以()121f x x ->，又当0x <时，()1f x >，当0x >时，0()1,(0)1f x f <<=，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】因为1(2)2f =，所以41(8)(2)(6)(2)(2)(4)[(2)]16f f f f f f f ====，所以()215616f t t ->，即()256(8)f t t f ->，又()f x 在R 上单调递减，所以2568t t -<，解得425t -<<，所以不等式()215616f t t ->的解集为4,25⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
高一数学上学期期中试题 27
卜人入州八九几市潮王学校金山2021第一学期高一年级数学学科期中考试卷〔考试时间是是：120分钟总分值是：150分〕一.填空题〔1--6每一小题4分，7--12每一小题5分，一共54分〕1、方程组⎩⎨⎧=-=+0402x y x 的解组成的集合为.“假设0≥a 且0≥b ，那么≥ab 0”． 3、 不等式21≥-x 的解集为．4、设,0>x 当=x 时，xx 21+取到最小值． 5、集合},1|{2R x x y y M ∈-==,}3|{2xx y x N -==，那么=⋂N M ___________． 6、()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，1)(2++=x x x f ，那么0>x 时，=)(x f ．42:<≤x αβ:m x m -≤≤+6，且β是α的必要非充分条件，那么实数m 的取值范围是．8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，假设2))((=a f f ，那么=a . 9、关于x 的不等式01222>-++-k k kx x 的解集为{},x x a x R ≠∈，那么实数a =______.10、假设不等式()0≤x f 的解集是[3,2]-，不等式()0≤x g 的解集是φ，且()x f ，()x g 中，R x ∈，那么不等式()()0>xg x f 的解集为. 11、设关于x 的不等式210ax x a-<-的解集为S ，且S S ∉∈3,2，那么实数a 的取值范围为． 12、设函数()⎩⎨⎧∈-∈=Mx x P x xx f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){}P x x f y y P A ∈==,，()(){}M x x f y y M A ∈==,，以下所有错误的说法的序号是.〔1〕假设φ=⋂M P ，那么()()φ=⋂M A P A ；〔2〕假设R M P ≠⋃，那么()()R M A P A ≠⋃； 〔3〕假设φ≠⋂MP ，那么()()φ≠⋂M A P A ；〔4〕假设R M P =⋃，那么()()R M A P A =⋃。
2023-2024学年山东省普高大联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省普高大联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M ＝{x |2≤x ≤3}，N ＝{x |x ≥3}，则M ∩N ＝（ ） A ．MB ．NC ．{3}D ．[2，+∞）2．命题“∃x 0＞4，√x 0＞2”的否定是（ ） A ．∃x 0＞4，√x 0⩽2 B ．∀x ＞4，√x ⩽2 C ．∃x 0⩽4，√x 0⩽2D ．∀x ⩽4，√x ⩽23．已知f （x ），g （x ）有相同的定义域，f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，且g （x ）≠0，则（ ） A ．f （x ）+g （x ）为奇函数 B ．f （x ）﹣g （x ）为偶函数 C ．f （x ）•g （x ）是偶函数D ．f(x)g(x)是奇函数4．已知f （x ）＝ax 5+x 3+bx ﹣1，且f （﹣10）＝8，则f （10）＝（ ） A ．﹣8B ．8C ．﹣10D ．105．函数y ＝2﹣3a x ﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（ ） A ．（2，﹣1）B ．（0，2）C ．（0，﹣1）D ．（2，1）6．已知a ＞0，则a ＞b 是a ＞b 2的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数f(x)={(2a −1)x +1，x ＜2x +4x ，x ⩾2是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(12，54)B ．(12，45]C ．[12，54)D ．(12，54]8．设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x ﹣1）+f （﹣x ）＝0．若f(−15)=12，则f(115)=（ ） A ．−115B ．−12C ．12D ．115二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．ac ＞bdB ．ac＞bdC ．a ﹣d ＞b ﹣cD ．ad 2＞bc 210．下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1 B ．f （t ）＝t ，g （x ）＝xC ．f(x)=xx，g(x)=x 0D ．f(x)=x 2|x|，g(x)=√4√x 211．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＝0}，B ＝{x |ax 2﹣2ax ﹣1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 可能的取值是（ ） A ．−15B ．0C ．﹣1D ．11512．若正实数x ，y ，满足x +y ＝2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1xy⩾1B ．x 2+y 2⩾2C ．2x+1y⩽32+√2D ．2√x ⋅2√y ⩽4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f(x)=5−x(x −1)0的定义域为 ． 14．函数f(x)=3−x−x 32的零点个数为．15．若x ＞0，y ＞0，且3x +2y ﹣xy ＝0，则2x +y 的最小值是 ．16．若∃x 0∈(12，3)，使得不等式x 2+ax +2＞0成立，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|x−1x−7＜0}，B ={x|x 2−2x −3⩽0}，实数集R 为全集． （1）求A ∪B ； （2）求（∁R A ）∩B ．18．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣a （a ﹣2）x +b ．（1）若关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣2，1），求a ，b 的值；（2）当b ＝2时，方程f （x ）＝0有一个根大于1，一个根小于1，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣（3a +1）x +2a 2+2a ＜0，a ∈R }，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣8）＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝﹣x 2+（a +2）x ．（a ∈R ）（1）若对任意的x ∈[1，2]，f （x ）≥3x 2恒成立，求实数a 的取值范围． （2）若a ≥2，函数f （x ）在区间[0，3]上的最大值为12，求实数a 的值． 21．（12分）已知函数f(x)=1+a3x+1为奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意的x∈[﹣2，2]，不等式f（t2﹣xt）+f（2t2﹣1）＜0恒成立，求实数t的取值范围．22．（12分）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题．为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池．不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被．改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担．现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标．甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元．设泳池宽为x米．（2⩽x⩽6）（1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价．（2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a(x+2)x元（a＞0）（整体报价中含固定费用）．若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．2023-2024学年山东省普高大联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合M＝{x|2≤x≤3}，N＝{x|x≥3}，则M∩N＝（）A．M B．N C．{3}D．[2，+∞）解：∵集合M＝{x|2⩽x⩽3}，N＝{x|x⩾3}，∴由交集定义得M∩N＝{3}．故选：C．2．命题“∃x0＞4，√x0＞2”的否定是（）A．∃x0＞4，√x0⩽2B．∀x＞4，√x⩽2C．∃x0⩽4，√x0⩽2D．∀x⩽4，√x⩽2解：“∃x0＞4，√x0＞2”的否定是：∀x＞4，√x⩽2．故选：B．3．已知f（x），g（x）有相同的定义域，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且g（x）≠0，则（）A．f（x）+g（x）为奇函数B．f（x）﹣g（x）为偶函数C．f（x）•g（x）是偶函数D．f(x)g(x)是奇函数解：因为f（x），g（x）有相同的定义域，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），因为f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，故A错．f（﹣x）﹣g（﹣x）＝f（x）+g（x）≠f（x）﹣g（x），故B错．f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x）≠f（x）•g（x），故C错．f(−x) g(−x)=f(x)−g(x)=−f(x)g(x)，故D对．故选：D．4．已知f（x）＝ax5+x3+bx﹣1，且f（﹣10）＝8，则f（10）＝（）A．﹣8B．8C．﹣10D．10解：设g（x）＝ax5+x3+bx，由g（﹣x）＝a（﹣x）5+（﹣x）3+b（﹣x）＝﹣（ax5+x3+bx）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．f （x ）＝g （x ）﹣1．因为f （﹣10）＝g （﹣10）﹣1＝﹣g （10）﹣1＝8， f （10）＝g （10）﹣1， 所以f （﹣10）+f （10）＝﹣2， 所以f （10）＝﹣10． 故选：C ．5．函数y ＝2﹣3a x ﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象必经过点（ ）A ．（2，﹣1）B ．（0，2）C ．（0，﹣1）D ．（2，1）解：对于函数y ＝2﹣3a x ﹣2（a ＞0，a ≠1），令x ﹣2＝0，求得x ＝2，y ＝2﹣3a 0＝﹣1， 所以函数y ＝2﹣3a x ﹣2（a ＞0且a ≠1）的图象必经过定点（2，﹣1）．故选：A ．6．已知a ＞0，则a ＞b 是a ＞b 2的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，通过举反例说明如下：当a ＝1、b ＝﹣2时，满足a ＞b ，但a ＜b 2，故a ＞b 不能推出a ＞b 2， 当a ＝0.2、b ＝0.3时，满足a ＞b 2，但a ＜b ，故a ＞b 2不能推出a ＞b ． 综上所述，“a ＞b ”是“a ＞b 2”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．已知函数f(x)={(2a −1)x +1，x ＜2x +4x，x ⩾2是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(12，54)B ．(12，45]C ．[12，54)D ．(12，54]解：因为函数f(x)={(2a −1)x +1，x ＜2x +4x ，x ⩾2在R 上是单调递增， 所以{2a −1＞04a −2+1≤4，解得12＜a ≤54． 故选：D ．8．设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x ﹣1）+f （﹣x ）＝0．若f(−15)=12，则f(115)=（ ） A ．−115B ．−12C ．12D ．115解：因为f （x ）是偶函数，且f （x ﹣1）+f （﹣x ）＝0，所以f （x ﹣1）＝﹣f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ﹣2）＝﹣f （x ﹣1）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）， 所以f （x ）＝f （x +2），又因为f(115)=f(2+15)=f(15)，且f （x ）是偶函数， 所以f(115)=f(−15)=12． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则下列选项正确的是（ ） A ．ac ＞bdB ．ac＞bdC ．a ﹣d ＞b ﹣cD ．ad 2＞bc 2解：对于A ，a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，由正数同向相乘性可知，ac ＞bd ，故A 正确；对于B ，不符令a ＝2，b ＝1，c ＝2，d ＝1，满足a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，但ac =b d，故B 错误；C 选项：因为c ＞d ，所以﹣d ＞﹣c ，又a ＞b ，所以a ﹣d ＞b ﹣c ，故C 正确；D 选项：取a =2，b =1，c =2，d =12，则不成立，故D 错误． 故选：AC ．10．下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=x +1，g(x)=x 2−1x−1B ．f （t ）＝t ，g （x ）＝xC ．f(x)=xx ，g(x)=x 0D ．f(x)=x 2|x|，g(x)=√4√x 2解：对于A ，f(x)=x +1(x ∈R)，g(x)=x 2−1x−1，即g （x ）＝x +1（x ≠0），它们的定义域不同，故不为同一函数；对于B ，f （t ）＝t （t ∈R ），g （x ）＝x （x ∈R ），它们的定义域相同，对应法则一样，故为同一函数； 对于C ，f(x)=xx 即f （x ）＝1（x ≠0），g （x ）＝x 0即g （x ）＝1（x ≠0），它们的定义域相同，对应法则一样，故为同一函数；对于D ，f （x ）＝|x |（x ≠0），g （x ）＝|x |（x ≠0），它们的定义域相同，对应法则一样，故为同一函数． 故选：BCD ．11．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5＝0}，B ＝{x |ax 2﹣2ax ﹣1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 可能的取值是（ ）A ．−15B ．0C ．﹣1D ．115解：A ＝{x |x 2﹣6x +5＝0}＝{1，5}，且B ⊆A ，则：①当B ＝∅时，a ＝0或{a ≠0Δ=4a 2+4a ＜0，解得a ＝0或﹣1＜a ＜0，A 适合题意；②若B ＝{1}，则{a ≠0Δ=4a 2+4a =0a −2a −1=0a ≠0，解得a ＝﹣1，③若B ＝{5}，则{Δ=4a 2+4a =025a −10a −1=0，此时无解， ④若B ＝{1，5}，则{a ≠0Δ＞01+5≠−2a−2a，此时无解，不合题意；综上：a 的值为0和﹣1． 故选：BC ．12．若正实数x ，y ，满足x +y ＝2，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1xy⩾1B ．x 2+y 2⩾2C ．2x+1y⩽32+√2D ．2√x ⋅2√y ⩽4解：A 选项：由x +y =2⩾2√xy ，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以xy ⩽1，所以1xy⩾1，故A 正确；B 选项：因为x 2+y 2⩾(x+y)22=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故B 正确；C 选项：2x +1y =(2x +1y )×12(x +y)=12(2+2y x +xy +1)⩾2√2+32，当且仅当x =√2y ，即y ＝2√2−2，x ＝4﹣2√2时取等号，故C 错误．D 选项：因为x +y =2⩾(√x+√y)22，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以√x +√y ⩽2，所以2√x 2√y =2√x+√y ⩽22=4，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数f(x)=1√5−x(x −1)0的定义域为 {x |x ＜5且x ≠1} ． 解：要使函数f （x ）有意义，则{5−x ＞0x −1≠0，解得x ＜5且x ≠1，即函数定义域为{x |x ＜5且x ≠1}． 故答案为：{x |x ＜5且x ≠1}． 14．函数f(x)=3−x−x 32的零点个数为1 ．解：∵函数f(x)=(13)x −x 3的为减函数， ∴f （0）＝1＞0，f （1）=13−1＜0， ∴f （0）f （1）＜0，∴函数f （x ）在（0，1）上有唯一的零点， 故答案为：1．15．若x ＞0，y ＞0，且3x +2y ﹣xy ＝0，则2x +y 的最小值是 4√3+7 ． 解：由3x +2y ﹣xy ＝0可得2x +3y =1，所以2x +y =(2x +y)×(2x +3y )=4+6xy +2yx +3⩾4√3+7， 当且仅当6x y=2y x时，即x =2+√3，y =3+2√3时，等号成立．故答案为：4√3+7．16．若∃x 0∈(12，3)，使得不等式x 2+ax +2＞0成立，则实数a 的取值范围是 (−92，+∞) ． 解：∵x 2+ax +2＞0，∴a ＞−(x +2x)，设g(x)=−(x +2x )，x ∈(12，3)，则a ＞g （x ）min ， ∵g （x ）在(12，√2]是单调递增，在(√2，3)是单调递减， 且g(12)=−92，g(3)=−113， ∴a ＞−92，则a 的取值范围为(−92，+∞)． 故答案为：(−92，+∞)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|x−1x−7＜0}，B ={x|x 2−2x −3⩽0}，实数集R 为全集． （1）求A ∪B ； （2）求（∁R A ）∩B ． 解：（1）由x−1x−7＜0得，（x ﹣1）（x ﹣7）＜0，解得1＜x ＜7， 所以A ＝{x |1＜x ＜7}，由x 2﹣2x ﹣3≤0得，﹣1≤x ≤3， 所以B ＝{x |﹣1⩽x ⩽3}，所以A ∪B ＝{x |﹣1⩽x ＜7}；（2）因为A ＝{x |1＜x ＜7}，全集为R ， 所以∁R A ＝{x |x ⩽1或x ⩾7}， 又B ＝{x |﹣1⩽x ⩽3}，所以（∁R A ）∩B ＝{x |﹣1⩽x ⩽1}．18．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣a （a ﹣2）x +b ．（1）若关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为（﹣2，1），求a ，b 的值；（2）当b ＝2时，方程f （x ）＝0有一个根大于1，一个根小于1，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意可知，﹣2和1是方程x 2﹣a （a ﹣2）+b ＝0的两个实数根， 所以﹣2+1＝a （a ﹣2），且﹣2×1＝b ， 解得a ＝1，b ＝﹣2；（2）当b ＝2时，函数f （x ）的开口向上，则由已知可得f （1）＝1﹣a （a ﹣2）+2＜0，即a 2﹣2a ﹣3＞0，解得a ＞3或a ＜﹣1， 所以实数a 的取值范围是（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣（3a +1）x +2a 2+2a ＜0，a ∈R }，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣8）＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：根据题意，可得A ＝{x |（x ﹣2a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}，B ＝{x |2＜x ＜8}， 因为q 是p 的必要条件，所以A ⊆B ．①当2a ＝a +1，即a ＝1时，A ＝∅，满足A ⊆B ；②当2a ＞a +1，即a ＞1时，A ＝{x |a +1＜x ＜2a }，要使A ⊆B ，则{2a ≤8a +1≥2，解得1＜a ⩽4；③当2a ＜a +1，即a ＜1时，A ＝{x |2a ＜x ＜a +1}，由a +1＜2，可知A 中的元素均小于2，故A ⊆B 不能成立．综上所述，1≤a ≤4，实数a 的取值范围是[1，4]． 20．（12分）已知函数f （x ）＝﹣x 2+（a +2）x ．（a ∈R ）（1）若对任意的x ∈[1，2]，f （x ）≥3x 2恒成立，求实数a 的取值范围． （2）若a ≥2，函数f （x ）在区间[0，3]上的最大值为12，求实数a 的值． 解：（1）由题意﹣x 2+（a +2）x ⩾3x 2对∀x ∈[1，2]恒成立． 化简得a ⩾4x ﹣2，又（4x ﹣2）max ＝6， 所以a ⩾6，即：实数a 的取值范围为[6，+∞）； （2）因为a ≥2，所以y ＝f （x ）的对称轴x =a+22⩾2，①当a+22⩾3，即：a ⩾4时，f （x ）在[0，3]上单调递增，f （x ）max ＝f （3）＝3a ﹣3＝12，解得a ＝5； ②当a+22＜3，即2⩽a ＜4时，因为函数开口向下，所以函数在对称轴取得最大值，即f(x)max =f(a+22)=(a+2)24=12，解得a 1=−2−4√3（舍去），a 2=4√3−2（舍去）， 综上所述，a ＝5．21．（12分）已知函数f(x)=1+a3x+1为奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意的x ∈[﹣2，2]，不等式f （t 2﹣xt ）+f （2t 2﹣1）＜0恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）因为函数y ＝f （x ）为奇函数，定义域为R ． 所以f(0)=1+a2=0，解得a ＝﹣2， 经检验符合题意，故a ＝﹣2．（2）f （x ）是R 上的增函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2．则f(x 2)−f(x 1)=23x 1+1−23x 2+1=2(3x2−3x1)(3x 1+1)(3x2+1)， 因为0＜3x 1＜3x 2， 所以3x 2−3x 1＞0， 所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0 即f （x 2）＞f （x 1），所以f （x ）是R 上的增函数．（3）因为f （x ）是R 上的奇函数，且是R 上的增函数，故不等式f （t 2﹣xt ）+f （2t 2﹣1）＜0等价于f （t 2﹣xt ）＜﹣f （2t 2﹣1）＝f （1﹣2t 2）， 所以t 2﹣xt ＜1﹣2t 2，即﹣t •x +3t 2﹣1＜0， 令g （x ）＝﹣tx +3t 2﹣1，则对∀x ∈[﹣2，2]，g （x ）＜0恒成立． 所以{g(−2)=3t 2+2t −1＜0g(2)=3t 2−2t −1＜0，解得：−13＜t＜13，所以实数t的取值范围为(−13，13)．22．（12分）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题．为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池．不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被．改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担．现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标．甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元．设泳池宽为x米．（2⩽x⩽6）（1）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价．（2）现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a(x+2)x元（a＞0）（整体报价中含固定费用）．若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．解：（1）甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元，设泳池宽为x米（2⩽x⩽6），设甲工程队的总造价为y元，则y=150×2(x+16x)×3+400×16+800=900(x+16x)+7200⩾900×2√x⋅16x+7200=14400，当且仅当x=16x时，即x＝4时等号成立，即当宽为4m时，甲工程队的报价最低，最低为14400元；（2）由题意可得900(x+16x)+7200＞900a(x+2)x，对∀x∈[2，6]恒成立，即a＜x2+8x+16x+12，令y=x2+8x+16x+2=(x+2)+4x+2+4，∵2⩽x⩽6，∴4⩽x+2⩽8，令t＝x+2，t∈[4，8]，则y=t+4t+4在[4，8]上单调递增，且t＝4时，y min＝9，∴0＜a＜9，即a的取值范围为（0，9）．第11页（共11页）。
2024学年石家庄市27中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
石家庄市第二十七中学2024-2025学年度第一学期期中考试高中数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 已知集合{A x y ==，{}21B y y x ==+，则（ ）A. A B =∅B. A B A =C. A B A= D. R B A⊆ð【答案】B 【解析】【分析】分别求出集合,A B ，结合补集以及集合的交集、并集运算，一一判断各选项，即得答案.【详解】由题意可得{[2,)A x y ∞===+，{}21[1,)B y y x ∞==+=+，故[2,)A B ⋂=+∞，A 错误;由于A B ⊆，故A B A = ，A B B = ，所以B 正确，C 错误；R (,1)B =-∞ð，则R B ð不是A 的子集，D 错误，故选：B2. “1n =”是“幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数”的一个（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数,可得2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，由此求出n 的值，由充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由题意，当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，故充分性成立；若幂函数()()222333f x n n xn =-+⋅-在()0,∞+上是减函数，则2233130n n n n ⎧-+=⎨-<⎩，解得1n =或2n =，故必要性不成立，因此"1n ="是"幂函数()()22333n nf x n n x-=-+⋅在()0,∞+上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B3. 已知函数2()41f x x kx =+-在区间[1,2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A. (,16][8,)-∞-⋃-+∞ B. [16,8]--C. (,8)[4,)-∞-⋃-+∞ D. [8,4]--【答案】A 【解析】【分析】2()41f x x kx =+-的对称轴为8k x =-，根据二次函数的性质可得18k -≤或28k-≥，解出即可得出实数k 的取值范围【详解】2()41f x x kx =+-，其对称轴为8k x =-若函数2()41f x x kx =+-在区间[1,2]上是单调增函数，则18k-≤，∴8k ≥-若函数2()41f x x kx =+-在区间[1,2]上是单调减函数，则28k-≥，∴16k ≤-所以，实数k 的取值范围是(,16][8,)-∞-⋃-+∞.故选：A.4. 已知152a =，253b =，1517c =，则（ ）A. a b c << B. b c a <<C. b a c << D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得.【详解】525139b ==，而函数15y x =在(0,)+∞上单调递增，2917<<，因此1115552917<<，所以a b c <<.故选：A5. 已知点(1,2)M 在直线1(0,0)mx ny m n +=>>上，则21m n+的最小值为（ ）A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】【分析】点(1,2)M 在直线1(0,0)mx ny m n +=>>上得到21m n +=，然后结合基本不等式1的妙用求解；【详解】因为(1,2)M 在1(0,0)mx ny m n +=>>，所以21m n +=，()82422241n m m n m n m n ⎛⎫++ ⎪⎭+=++≥+⎝=,当且仅当122m n ==时等号成立.故选：B.6. 函数22()1xf x x =+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A 、B ，再根据0x >时函数值的特征排除C.【详解】函数22()1x f x x =+定义域为R ，且()()2222()11x x f x f x x x --==-=-+-+，所以22()1xf x x =+奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A 、B ；又当0x >时()0f x >，故排除C.故选：D 7. 已知()()2372,1,1a x a x f x ax x x ⎧-++<=⎨-+≥⎩在(),-∞+∞上满足()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()0,3 B. 1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,39⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】的为【分析】根据题中条件，先判断函数()f x 单调递减，再由分段函数解析式，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为()()2372,1,1a x a x f x ax x x ⎧-++<=⎨-+≥⎩在(),∞∞-+上满足()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递减，需满足以下三个条件：（1）()372y a x a =-++在(),1∞-上单调递减，只需30a -<；（2）2y ax x =-+在[)1,+∞上单调递减，此时显然0a ≠，函数2y ax x =-+的对称轴为12x a=，所以只需112a≤且0a >；（3）在1x =处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即3721a a a -++≥-+；因此由3011203721a a a a a a -<⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪>⎪-++≥-+⎪⎩，解得132a ≤<，即实数a 的取值范围为1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B8. 已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（ ）A. ()1,-+∞B. ()1,+∞ C. (),1∞-- D. (),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意构造函数()()1g x f x x =-=+，首先得出()g x 的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解.【详解】令()()1g x f x x =-=，因为()g x 的定义域为R 关于原点对称，且()()()g x x x g x -=+-=-=-，所以()g x 是R 上的奇函数，注意到幂函数y y x ==都是R 上的增函数，所以()g x 是R 上的增函数，而()()()()()()()1221121122f m f m f m f m g m g m g m -+>⇔-->--⇔->-=-⎡⎤⎣⎦，所以12m m ->-，解得1m >-，综上所述，m 的取值范围是()1,-+∞.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知关于x 的不等式 ²230ax bx c ++>的解集为{}|31x x -<<，则下列结论正确的是（ ）A. 0a b +<B.4120a b c ++>C. 不等式20ax c +>的解集为 1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭D. 不等式 220bx cx a --<的解集为 1{|1}2x x -<<【答案】AB 【解析】【分析】根据不等式的解集可得31-、是²230++=ax bx c 的两个根，利用韦达定理求出0a b a c a <⎧⎪=⎨⎪=-⎩，再逐项判断可得答案.【详解】因为不等式 ²230ax bx c ++>的解集为{}|31x x -<<，所以31-、是²230++=ax bx c 的两个根，且23123313a ba ca⎧⎪<⎪-⎪=-+=-⎨⎪⎪=-⨯=-⎪⎩，得0a b a c a<⎧⎪=⎨⎪=-⎩，对于A ，20a b a +=<，故A 正确；对于B ，41241270++=+-=->a b c a a a a ，故B 正确；对于C ，由20ax c+>得()2210-=->ax a a x ，因为0a <，所以210x -<，解得12x <，可得不等式20ax c+>的解集为1|2⎧⎫<⎨⎬⎩⎭x x ，故C 错误；对于D ，由220--<bx cx a 得()2210+-<a x x ，因为0a <，所以2210x x +->，解得12x >，或1x <-，所以不等式 220--<bx cx a 的解集为 1{|2x x >，或}1x <-，故D 错误.故选：AB.10. 下列说法正确的是（ ）A. 若()f x 的定义域为()2,4-，则()2f x 的定义域为()1,2-B. ()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C. 函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+【答案】AD 【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A ；利用同一函数的定义判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C ；利用方程组法求解函数解析式判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为()2,4-，对于函数()2f x ，则224x -<<，解得12x -<<，即函数()2f x 的定义域为()1,2-，故A 正确；对于B ，()2x f x x =定义域为{}0x x ≠，()g x x =定义域为R ，所以()2x f x x=和()g x x =不是同一个函数，故B 错误；对于C，令t =，则21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=--=--+=-++⎪⎝⎭因为0t ≥，所以222y t t =--+在[)0,∞+上单调递减，所以2y ≤，所以函数2y x =的值域为(],2-∞，故C 错误；对于D ，因为()()221f x f x x --=-①，所以()()221f x f x x --=--②，②2⨯得()()2442f x f x x --=--③，①+③得，()323f x x -=--，解得()213f x x =+，故D 正确；故选：AD.11. （多选）若函数()f x 在()0,∞+上满足：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，恒有()()2112120x f x x f x x x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（ ）A. ()1f x =-B. ()3232f x x x x=+-C. ()f x =D. ()2f x x x=+【答案】ABD 【解析】【分析】先通过分析，得到若()f x y x=在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.【详解】不妨设120x x >>，则由题意可得()()2112>x f x x f x ，即()()1212f x f x x x >，由单调性定义可知，函数()f x y x=在()0,∞+上单调递增，即若()f x y x=在()0,∞+上单调递增，则称函数()f x 为“理想函数”．A 选项中()1f x y x x ==-，该函数在()0,∞+上单调递增，符合“理想函数”的定义；B 选项中()232f x y x x x==+-，该函数在()0,∞+上单调递增，符合“理想函数”的定义；C 选项中()f x y x ===()0,∞+上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D 选项中()1==+f x y x x．该函数在()0,∞+上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 若幂函数()y f x =过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()y f x =的单调递增区间为__________.【答案】(),0-∞【解析】【分析】设幂函数解析式()ay f x x ==，结合幂函数过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭可得a ，再根据幂函数的单调性求解即可.【详解】设幂函数解析式()ay f x x ==，因为幂函数过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，故124a =，故2a =-，即()2y f x x -==，故y =f (x )的单调递增区间为(),0∞-.故答案为：(),0∞-13. 已知函数53()4f x ax bx cx =++-，(10)6f =，则(10)f -=_________.【答案】14-【解析】【分析】根据函数的奇偶性求函数值.【详解】设53()g x ax bx cx =++，则()()4f x g x =-，且()g x 为奇函数，即()()g x g x -=-.又()(10)1046f g =-=⇒()1010g =；所以()()101010g g -=-=-，所以()(10)10410414f g -=--=--=-.故答案为：14-14. 设函数()22f x ax x c =-+，不等式()0f x >的解集为()(),13,-∞-⋃+∞，若对任意[]()21,2,4x f x m ∈-≤-恒成立，则实数m 的取值范围为__________.【答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】【分析】先根据不等式的解集求得1,3a c ==-，得到()223f x x x =--，再把对任意[]1,2x ∈-，()24f x m ≤-恒成立，结合二次函数的性质，转化为240m -≥恒成立，即可求解.【详解】由函数()22f x ax x c =-+，且不等式()0f x >的解集为()(),13,-∞-⋃+∞，即1,3-是方程220ax x c -+=两个实数根，可得21313a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1,3a c ==-，所以()223f x x x =--，又由()2223(1)4f x x x x =--=--，且[]1,2x ∈-，当1x =-时，函数()f x 取得最大值，最大值为()max 0f x =，因为对任意[]()21,2,4x f x m ∈-≤-恒成立，即240m-≥恒成立，解得2m ≤-或2m ≥，所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .故答案为：(,2][2,)-∞-+∞ .四、解答题（本大题共5小题，共77分）15. 已知集合U 为实数集，{5A x x =≤-或}8x ≥，{}121B x a x a =-≤≤+.（1）若5a =，求()U A B ⋂ð；（2）设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}48x x ≤< （2）()[),29,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）由题意可得{}411B x x =≤≤，再利用补集与交集定义计算即可得；（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集，再分B =∅及B ≠∅讨论并计算即可得.【小问1详解】当5a =时，{}411B x x =≤≤，且{}58U A x x =-<<ð，故(){}48U A B x x ⋂=≤<ð；【小问2详解】∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集，当B =∅，即121a a ->+，即2a <-时，此时满足题意；当B ≠∅，即121a a -≤+，即2a ≥-时，只需215a +≤-或18a -≥，即3a ≤-或9a ≥，又2a ≥-，所以9a ≥；综上所述，实数a 的取值范围为()[),29,-∞-⋃+∞.16. 根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为()R x 万元，且()2100,020,21009000,20.kx x R x k x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．（1）求出k 的值，并写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）2k =，()228050,020,18000205020,20.x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-->⎪⎩（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．【解析】【分析】（1）根据利润定义，结合所给函数()R x 的含义即可求解，（2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解.【小问1详解】由题意可得()()2050W x xR x x =--，的当5x =时，()51005R k =-，所以()()5552055050025150300W R k =-⨯-=--=，解得2k =．所以()()228050,020,205018000205020,20.x x x W x xR x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-->⎪⎩【小问2详解】当020x <≤时，()228050W x x x =-+-，其图象开口向下，对称轴为20x =，所以当20x =时，()W x 取得最大值750万元；当20x >时，()18000900205020205020205020850W x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立，此时()W x 取得最大值850万元，因为850750>，所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．17. 已知函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式(2)(21)0f t f t -++＞成立，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()21([2,1])g x f x ax x =-+∈--，求函数()g x 的最大值()h a .【答案】（1）222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩； （2）1(,)3+∞； （3）()247,322,2322,2a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩.【解析】【分析】（1）设0x <，则0x ->，得到()()22f x f x x x =--=-+且()00f =，即可得到函数的解析式；（2）由（1）作出函数()f x 的图象，得到函数()f x 在定义域上为单调递增函数，把不等式(2)(21)0f t f t -++>，转化为(2)(21)f t f t ->--，即可求解.（3）当[2,1]x ∈--，得到函数2()(22)1g x x a x =-+-+，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【详解】（1）因为函数()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =+，设0x <，则0x ->，可得()()22[()2()]2f x f x x x x x =--=--+-=-+，且()00f =，所以函数()f x 的解析式为222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩.（2）由（1）可得函数222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩，作出函数()f x 的图象如图所示：可得函数()f x 在定义域上为单调递增函数，又由函数()f x 为奇函数，所以不等式(2)(21)0f t f t -++>，可化为(2)(21)(21)f t f t f t ->-+=--，所以221t t ->--，解得13t >，即实数t 的取值范围是1(,)3+∞.（3）当[2,1]x ∈--，可得函数22()()21221(22)1g x f x ax x x ax x a x =-+=-+-+=-+-+，则函数()g x 开口向下，且对称轴的方程为1x a =-，当12-≤-a 时，即3a ≥，函数()g x 在区间[2,1]--单调递减，所以当2x =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()(2)47h a g a =-=-；当211a -<-<-时，即23a <<，函数()g x 在区间[2,1]a --单调递增，在区间[1,1]a --单调递减所以当1x a =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()2(1)22h a g a a a =-=-+；当11a -≥-时，即2a ≤，函数()g x 在区间[2,1]--单调递增，所以当1x =-时，函数()g x 取得最大值，最大值为()(1)22h a g a =-=-，所以函数()g x 的最大值()247,322,2322,2a a h a a a a a a -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩.【点睛】有关二次函数的最值问题的求解策略：1、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；2、二次函数的单调性问题主要依据二次函数的图象的对称轴进行分类讨论求解.18. 函数()f x 的定义域为(0,+∞)，且对一切0x >，0y >都有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，有()0f x >.（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并加以证明；（3）若(4)2f =，求()f x 在[1,16]上的值域.【答案】（1）(1)0f =；（2）()f x 在(0,+∞)上是增函数，证明见解析；（3）[0,4].【解析】【分析】（1）0x y =>，根据函数性质即可求出(1)f ；（2）根据单调性的定义及()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可证明函数为增函数；（3）根据函数的单调性及函数满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质可求出函数值域.【详解】(1) 当0x >，0y >时，()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴令0x y =>，则(1)()()0f f x f x =-=(2)设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，210x x >> ，211x x ∴>，210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，()()21f x f x ∴>，即()f x 在(0,+∞)上是增函数(3)由(2)知()f x 在[1,16]上是增函数，min max ()(1)0,()(16)f x f f x f ∴===，(4)2f = ，由()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知(4)(16)(4)f f f =-，(16)2(4)4f f ∴==，()f x ∴在[1,16]上的值域为[0,4].【点睛】本题主要考查了抽象函数的单调性证明，抽象函数值域，属于中档题.19. 已知函数()f x ，若存在非零常数k ，对于任意实数x ，都有()()f x k f x x ++=成立，则称函数()f x 是“k M 类函数”．（1）若函数()f x ax b =+是“1M 类函数”，求实数,a b 的值；（2）若函数()g x 是“2M 类函数”，且当[]0,2x ∈时，()(2)=-g x x x ，求函数()g x 在[]2,6x ∈时的最大值和最小值；（3）已知函数()f x “k M 类函数”，是否存在一次函数()h x Ax B =+（常数,A B R ∈，0A ≠），使得(2)()F x k F x +=，其中()()()F x f x h x =+，说明理由．【答案】（1）11,24a b ==- （2）max ()3g x =，min 1()4g x =-. 是（3）存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【解析】分析】（1）由题知，对于任意实数x ，有(21)20a x a b -++=成立，解方程组21020a a b -=⎧⎨+=⎩即得解；（2）求出2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，再利用二次函数求得最值，即得解；（3）求出()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，得到12A =-时，()(2)F x F x k =+，即得解.【小问1详解】由题得，对于任意实数x ，都有(1)()f x f x x ++=，即(1)a x b ax b x ++++=，所以ax a b ax b x ++++=，即(21)20a x a b -++=，所以21020a a b -=⎧⎨+=⎩.所以11,24a b ==-【小问2详解】由题得，对于任意实数x ，都有(2)()g x g x x ++=，(2)(2)g x x x x ∴++-=，2(2)g x x x ∴+=-，因为[0,2]x ∈，所以2[2,4]x +∈，设2[2,4]t x t =+∈，，所以2x t =-，所以22()(2)(2)56g t t t t t =---=-+，[2,4]t ∈，所以2()56g x x x =-+，[2,4]x ∈，对称轴为52x =，()g x 在52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；同理2()1022g x x x =-+-，[4,6]x ∈，对称轴为5x =，()g x 在[]4,5x ∈上单调递增，在[]5,6x ∈上单调递减；由题得51(2)0,,(5)3,(6)224g g g g ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，【所以max ()3g x =，min 1()4g x =-.【小问3详解】由题得()()f x k f x x ++=，因为()()()()F x f x h x f x Ax B =+=++，所以()()F x k f x k Ax Ak B +=++++，所以()()()()22F x k F x f x k f x Ax Ak B ++=+++++，所以()()22F x k F x x Ax Ak B ++=+++，所以()()(21)2F x k F x A x Ak B ++=+++，令12A =-得，1()()22F x k F x k B ++=-+，1()(2)22F x k F x k k B +++=-+，所以()(2)F x F x k =+，所以()F x 是周期函数.所以12A =-，所以1()2h x x B =-+.所以存在1()2h x x B =-+，使得函数()()()F x f x h x =+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“k M 类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题.。
2024学年山东滕州市高一数学上学期期中质量检测试卷及答案解析
4. 下列函数中与函数 y = x 2 是同一函数的是（
A u = v2
.
）
B. y = x × | x |
C. y =
x3
x
D. y = ( x ) 4
【答案】A
【解析】
【分析】
2
逐一判断四个选项中函数的定义域与对应法则是否与 y = x 一致，进而得出答案.
2
【详解】函数 y = x 的定义域为 R
x +1
1
¹ 1 ，函数 f ( x) 值域为 y y ¹ 1 ，C 错误；
对于 C， f ( x) = 1 +
x +1
1
> 1 ，则 0 < x + 1 < 1 ，解得 -1 < x < 0 ，
对于 D，由 f ( x) > 2 ，得
x +1
对于 B， f ( x) = 1 +
f ( x) > 2 的解集为 (-1, 0) ，D 正确.
【详解】由题意可知 f 0 = 0, f -2 = 0 ，且 f x 在 -¥, -1 上单调递增，在 -1, 0 上单调递减，如
图：
当 x Î -¥ , - 1 时， x + 1 < 0,1 - x > 2 ，故 f 1 - x > 0 ，此时 x + 1 f 1 - x < 0 ；
4
þ
故选:B．
8. 已知函数 f x 为定义在 R 上的奇函数，且在 0,1 为减函数，在 1, +¥ 为增函数， f 2 = 0 ，则不等
式 x + 1 f 1 - x ³ 0 的解集为（
2024-2025学年安徽省新明教育高一上学期期中检测数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省新明教育高一上学期期中检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x |x 2−1=0}，则( )A. 1∉MB. −1⊆MC. {−1,1}⊆MD. {−1,1}∈M2.已知函数f (x )=3−x + 3+x −3，其定义域为( )A. (−3,3)B. [−3,+∞)C. [−3,3]D. (−∞,3]3.“x =1”是“x 2=x ”的( )A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.下列说法中，正确的是( )A. 若a >b 且c >d ，则ac >bd B. 若a <0，则a +1a 的最小值为−2C. 对任意的实数a 和b ，总有a +b 2≥ab ，当且仅当a =b 时等号成立D. 对任意的实数a 和b ，总有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立5.设x ∈R ，定义符号函数sgnx ={1,x >00,x =0−1,x <0，则函数f(x)=|x|sgnx 的图象大致是( )A. B. C. D.6.若对任意实数x ，xx 2+x +1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,13] B.[13,+∞) C. (−∞,0] D. [0,+∞)7.已知a >b >0，c <d <0，e <0，则下列不等关系成立的是( )A. 1a >1bB. e a−c >eb−dC. ad <bcD. ce <de8.已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且f(x+1)关于(−1,0)对称，任意x1,x2∈[0,1](x1≠x2)，x1f(x1)+ x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立，设a=f(1)，b=−f(−43)，c=f(−12)，则a，b，c的大小关系为( )A. c<b<aB. b<c<aC. c<a<bD. a<b<c二、多选题：本题共3小题，共18分。
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高一上学期数学期中考试试卷
一、填空题
1. 若全集U={1，2，3，4，5}，且∁UA={2，3}，则集合A=________．
2. 已知集合A={﹣1，0，1}，，则A∩B=________．
3. 函数f（x）= ，g（x）=x+3，则f（x）•g（x）=________．
4. 函数f（x）= 的定义域为________．
5. 设函数f（x）= ，若f（a）=2，则实数a=________．
6. 若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集为________．
7. 已知p：x2+x﹣2＞0，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则q的取值范围是________．
8. 若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=________．
9. 若关于x的不等式（a﹣1）x2+2（a﹣1）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是________
10. 已知集合A={﹣1，2}，B={x|mx+1＞0}，若A∪B=B，则实数m的取值范围是________．
11. 设函数f（x）=x﹣2，若不等式|f（x+3）|＞|f（x）|+m对任意实数x恒成立，则m的取值范围是________．
12. 满足不等式|x﹣A|＜B（B＞0，A∈R）的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b﹣2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则的取值范围是
________．
二、选择题
13. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 等腰三角形
14. 设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）
A . f（x）=x，g（x）=
B . f（x）= ，g（x）=
C . f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0
D . f（x）= ，g（x）=x﹣3
15. 若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）
A .
B .
C .
D .
16. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（）
A . 4个
B . 6个
C . 8个
D . 9个
三、解答下列各题
17. 解不等式组．
18. 已知集合A={x|x2﹣px﹣2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，若A∪B={﹣2，1，5}，A∩B={﹣2}，求p+q+r的值．
19. 已知集合P={a|不等式x2+ax+ ≤0有解}，集合Q={a|不等式ax2+4ax﹣4＜0对任意实数x恒成立}，求P∩Q．
20. 我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，
20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；
（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．
21. 设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．。