8理论力学
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10.1一质量为10kg的小球置于倾斜 的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳拉住如图示。求当斜面以 的加速度向左运动时，绳子中的拉力以及斜面上的压力，并问当斜面的加速度达到多大时绳子中的拉力为零？
解：小球：
： ，
： ，
令第一式中得 ，解得：
10.2一重20N的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台上如图示， ，今圆台从静止开始以 的匀角加速度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为0.25，问经过多少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当 时，方块与台面间的摩擦力多大？
此即两自由度空间摆的两个运动微分方程。
10.12上题中，若空间摆的摆长 以 的规律变化，其中 为运动开始时的摆长， 为常值，试建立摆的运动微分方程。
解：将
， ， ， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到：
10.13水平圆台上有一光滑导槽BC，槽内有一方块A如图示，今圆台从静止开始，以角加速度 绕铅垂轴转动。求开始转动时A相对于圆台的加速度。图中 ， 。
解：方块： ，向三轴投影得
， ，
其中 ， 。因此有
（1）
滑动时将 代入式（1），解得 ；
将 代入式（1），解得 。
10.3游乐场一圆柱形旋转厅如图示，游客背对墙而立，当旋转厅达到一定角速度时，让地板下降。求保证游客（允许视为质点）不往下掉落的最小角速度。设人和墙之间的静摩擦因数 。
解：游客： ，向x、y轴投影得
解：
（1）炮弹： （ ）
， ，
， ，
（2）
炮弹（地球为非惯性系）：
忽略具有 的微量项，即不计 ，则导出
（*）
具有初始条件：
， ，
将 视作小参数，用摄动法求解上述方程。令 。得到零次方程与情况（1）相同，将其解代入式（*），得
解出 。表明炮弹东偏。
10.18图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿铅垂线做简间谐运动，
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
：
将式（1）代入上式，导出如下运动微分方程：
10.17一炮弹以初速 、倾角 在地球表面北纬 处向北发射如图示。不计空气阻力。（1）忽略地球自转的影响，求炮弹的运动微分方程及运动规律；（2）考虑地球自转的影响，求炮弹的相对运动微分方程，并计算经过时间 后炮弹东偏的距离。
解：由图可得抛物线方程为 ，则
，
由几何关系得
，
对运动员列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
运动员作用于雪地的力即为 和 。
10.7图示一离心调速器，表示小球位置的角度坐标 取决于调速器的角速度及作用于轴承A的力 。若小球质量为10kN， ，各杆长20cm（不计重量），求 时调速器的角速度 。
解：
解：A（以圆台为非惯性系）：
，（ ）
：
10.14一平台以 的角速度匀速转动如图示。物体C重450N，物体B重225N，由不可伸长、不计质量的绳索相互连接。若B，C与平台接触面的静摩擦因数均为0.4，求保证B，C相对平台静止的 范围。
解：以平台为非惯性系：
C（左滑）：
y：
x： （1）
B（下滑）：
x：
y： （2）
（1）、（2）中消去 ，并将 ， ， ， 代入，导出
若C右滑、B上滑，将两图比较可知只要改变 的符号即可，即
因此B、C相对平台静止的 的范围
10.15轴AB以角速度 匀速转动，质量为 的物体E可在垂直于AB轴并与之相固接的光滑杆CD上滑动如图示。若C，E之间弹簧的刚度系数为 ，试建立物体E的运动微分方程。
。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系。
单摆：
：
将
代入上式，解得
10.19图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿水平线做简谐运动， 。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系，空间摆相对非惯性系的位置用球坐标系表示。
O点加速度： ，
单摆：
：
：
将 代入上式，整理导出如下运动微分方程：
，
由上二式解得
10.4一质量为1kg的小球A被限制在两滑槽内运动，如图示。若两滑槽的运动规律分别为 和 （其中， 以 计， ， 以cm计），试求在任意时刻小球A所受到的作用力。
解：设
， ，
则有
，
根据牛顿定律，小球A受到得作用力为：
10.5支撑缆车的铁索成悬链线状如图示，相对（Oxy）坐标系的轨迹方程为
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以曲杆ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
x： （2）
将（1）代入（2），导出如下运动微分方程：
10.16上题中，若杆CD改为与AB轴成 角如图示，其他条件不变，试建立物体E的运动微分方程。
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以构件ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
（单位为m）
若缆车以5m/s的速度沿铁索前进，缆车和乘客总重量为 ，试以 表示缆车作用于铁索的正压力。假定缆车不影响铁索的形状。
解：由铁索轨迹方程 可得
，
其中 。根据几何关系有
，
（m）
对缆绳列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
10.6一质量为80kg的滑雪运动员在图示位置的下滑速度36km/h。若山坡可视为抛物面，摩擦因数 ，试求运动员作用于雪地的力（在动力学解题时，假定动、静摩擦因数相等）。
滑块A： ，
飞球：
：
将 ， 代入上式，得
解出
，
10.8已知物块质量为 ，被限制在直线轨道上运动如图示。若弹簧刚度系数为 ，质量不计，试根据接触面无摩擦和有摩擦（动摩擦因数为 ）两种情况建立物块的运动微分方程。
解：物块：
x： ， ， ，
y：
导出：
，（无摩擦）
，（有摩擦）
10.9小汽车关闭发动机后驶上一半径为200m的圆弧面如图示。设小车可视为质点，小车与落面的动摩擦因数为 ，试以 为广义坐标列出小车上坡的运动微分方程。
解：汽车：
n： ，
： ，
将 和 代入，得
10.10图示质点P沿光滑的摆线轨道运动，摆线的参数方程为
试建立质点P的运动微分方程。
解：由
，
得
，
由此导出
从而解得
， 。
对质点P列写牛顿定律沿 方向的投影式：
则质点P的运动微分方程为
。
10.11试建立图示两自由度空间摆P的运动微分方程。
解：将
，பைடு நூலகம்， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到
解：小球：
： ，
： ，
令第一式中得 ，解得：
10.2一重20N的小方块放于绕铅垂轴转动的水平圆台上如图示， ，今圆台从静止开始以 的匀角加速度转动。设方块与台面间的静摩擦因数为0.25，问经过多少时间后，方块开始在台面上滑动？又问当 时，方块与台面间的摩擦力多大？
此即两自由度空间摆的两个运动微分方程。
10.12上题中，若空间摆的摆长 以 的规律变化，其中 为运动开始时的摆长， 为常值，试建立摆的运动微分方程。
解：将
， ， ， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到：
10.13水平圆台上有一光滑导槽BC，槽内有一方块A如图示，今圆台从静止开始，以角加速度 绕铅垂轴转动。求开始转动时A相对于圆台的加速度。图中 ， 。
解：方块： ，向三轴投影得
， ，
其中 ， 。因此有
（1）
滑动时将 代入式（1），解得 ；
将 代入式（1），解得 。
10.3游乐场一圆柱形旋转厅如图示，游客背对墙而立，当旋转厅达到一定角速度时，让地板下降。求保证游客（允许视为质点）不往下掉落的最小角速度。设人和墙之间的静摩擦因数 。
解：游客： ，向x、y轴投影得
解：
（1）炮弹： （ ）
， ，
， ，
（2）
炮弹（地球为非惯性系）：
忽略具有 的微量项，即不计 ，则导出
（*）
具有初始条件：
， ，
将 视作小参数，用摄动法求解上述方程。令 。得到零次方程与情况（1）相同，将其解代入式（*），得
解出 。表明炮弹东偏。
10.18图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿铅垂线做简间谐运动，
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
：
将式（1）代入上式，导出如下运动微分方程：
10.17一炮弹以初速 、倾角 在地球表面北纬 处向北发射如图示。不计空气阻力。（1）忽略地球自转的影响，求炮弹的运动微分方程及运动规律；（2）考虑地球自转的影响，求炮弹的相对运动微分方程，并计算经过时间 后炮弹东偏的距离。
解：由图可得抛物线方程为 ，则
，
由几何关系得
，
对运动员列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
运动员作用于雪地的力即为 和 。
10.7图示一离心调速器，表示小球位置的角度坐标 取决于调速器的角速度及作用于轴承A的力 。若小球质量为10kN， ，各杆长20cm（不计重量），求 时调速器的角速度 。
解：
解：A（以圆台为非惯性系）：
，（ ）
：
10.14一平台以 的角速度匀速转动如图示。物体C重450N，物体B重225N，由不可伸长、不计质量的绳索相互连接。若B，C与平台接触面的静摩擦因数均为0.4，求保证B，C相对平台静止的 范围。
解：以平台为非惯性系：
C（左滑）：
y：
x： （1）
B（下滑）：
x：
y： （2）
（1）、（2）中消去 ，并将 ， ， ， 代入，导出
若C右滑、B上滑，将两图比较可知只要改变 的符号即可，即
因此B、C相对平台静止的 的范围
10.15轴AB以角速度 匀速转动，质量为 的物体E可在垂直于AB轴并与之相固接的光滑杆CD上滑动如图示。若C，E之间弹簧的刚度系数为 ，试建立物体E的运动微分方程。
。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系。
单摆：
：
将
代入上式，解得
10.19图示单摆的悬线长 ，悬点O在固定点 附近沿水平线做简谐运动， 。求单摆的相对运动微分方程。
解：取以O为原点的平动坐标系为非惯性系，空间摆相对非惯性系的位置用球坐标系表示。
O点加速度： ，
单摆：
：
：
将 代入上式，整理导出如下运动微分方程：
，
由上二式解得
10.4一质量为1kg的小球A被限制在两滑槽内运动，如图示。若两滑槽的运动规律分别为 和 （其中， 以 计， ， 以cm计），试求在任意时刻小球A所受到的作用力。
解：设
， ，
则有
，
根据牛顿定律，小球A受到得作用力为：
10.5支撑缆车的铁索成悬链线状如图示，相对（Oxy）坐标系的轨迹方程为
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以曲杆ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
（1）
其中 为弹簧静伸长。
滑块E：
x： （2）
将（1）代入（2），导出如下运动微分方程：
10.16上题中，若杆CD改为与AB轴成 角如图示，其他条件不变，试建立物体E的运动微分方程。
解：滑块E为一自由度。以相对平衡位置O为原点建立 坐标系，以构件ABCD为非惯性系。在相对平衡位置，由 ，导出
（单位为m）
若缆车以5m/s的速度沿铁索前进，缆车和乘客总重量为 ，试以 表示缆车作用于铁索的正压力。假定缆车不影响铁索的形状。
解：由铁索轨迹方程 可得
，
其中 。根据几何关系有
，
（m）
对缆绳列写牛顿定律沿 方向的投影式：
，（ ）
导出
10.6一质量为80kg的滑雪运动员在图示位置的下滑速度36km/h。若山坡可视为抛物面，摩擦因数 ，试求运动员作用于雪地的力（在动力学解题时，假定动、静摩擦因数相等）。
滑块A： ，
飞球：
：
将 ， 代入上式，得
解出
，
10.8已知物块质量为 ，被限制在直线轨道上运动如图示。若弹簧刚度系数为 ，质量不计，试根据接触面无摩擦和有摩擦（动摩擦因数为 ）两种情况建立物块的运动微分方程。
解：物块：
x： ， ， ，
y：
导出：
，（无摩擦）
，（有摩擦）
10.9小汽车关闭发动机后驶上一半径为200m的圆弧面如图示。设小车可视为质点，小车与落面的动摩擦因数为 ，试以 为广义坐标列出小车上坡的运动微分方程。
解：汽车：
n： ，
： ，
将 和 代入，得
10.10图示质点P沿光滑的摆线轨道运动，摆线的参数方程为
试建立质点P的运动微分方程。
解：由
，
得
，
由此导出
从而解得
， 。
对质点P列写牛顿定律沿 方向的投影式：
则质点P的运动微分方程为
。
10.11试建立图示两自由度空间摆P的运动微分方程。
解：将
，பைடு நூலகம்， ，
代入球坐标形式运动微分方程得到