等差数列题型总结、知识点

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根据等差数列知识点总结及题型归纳

根据等差数列知识点总结及题型归纳

根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列,也是初中数学中的基础概念之一。

以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。

等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。

通常用字母 a 表示首项,d 表示公差,数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。

等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍(也即数列的平均值):a + an = 2 * (a + (n-1)d)。

2. 求和公式:等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。

3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得:an = a + (n-1)d。

4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得:ak = a + (k-1)d。

等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。

2. 求等差数列的前 n 项和。

3. 求等差数列中缺失的项或差值。

4. 求等差数列中满足一定条件的项数。

5. 求等差数列中满足一定条件的和。

示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3,公差 d = 2,求第 5 项的值和前5 项的和。

2. 一个等差数列的首项 a = 1,公差 d = 3,已知数列中缺失了第 4 项,求第 4 项的值。

3. 已知等差数列的首项 a = 2,公差 d = 5,求该等差数列中满足大于 20 的项数。

以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳,希望对你有所帮助。

如有需要,可以参考相应的解题方法和公式。

等差数列的性质以及常见题型

等差数列的性质以及常见题型

等差数列的性质以及常见题型一 等差数列的定义及基本量计算应用1.已知数列{}n a 的通项公式为23+-=n a n ,试问该数列是否为等差数列。

2.已知:z y x 1,1,1成等差数列,求证:zyx y x z x z y +++,,也成等差数列。

3.思考题型;已知数列{}n a 的通项公式为qn pn a n +=2(,,R q p ∈且p,q 为常数)。

(1)当p 和q 满足什么条件时,数列{}n a 是等差数列?4.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n二 等差数列的性质考察(一)熟用d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=,mn a a d mn --=问题 (注意:已知等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式) 1、等差数列{}n a 中,350a =,530a =,则=9a . 2、等差数列{}n a 中,3524a a +=,23a =,则6a = . 3、已知等差数列{}n a 中,26a a 与的等差中项为5,37a a 与的等差中项为7,则n a = .4、一个等差数列中15a = 33,25a = 66,则35a =________________.5、已知等差数列{}n a 中,q a p =,p a q =,则____=+q p a .6.已知{}n a 为等差数列,20,86015==a a ,则=75a(二)公差d 的巧用 (注意:等差数列的项数)1、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于_____2、等差数列123,,,,n a a a a 的公差为d ,则数列1235,5,5,,5n a a a a 是()A .公差为d 的等差数列B .公差为5d 的等差数列C .非等差数列D .以上都不对 3、等差数列{}n a 中,已知公差12d =,且139960a a a +++=,则12100a a a +++=A .170B .150C .145D .1204.一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差d 为( )A -2B -3C -4D -5(三)t s n m a a a a t s n m +=+⇔+=+性质的应用 (注意:角标的数字)1. 等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则_____82=+a a 。

等差数列及性质

等差数列及性质

等差数列及性质一、知识梳理:1.等差数列的定义(1)前提条件:①从第2项起.②每一项与它的前一项的差等于同一个常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的公差,常用字母d表示.2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:A叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=a+b.34.等差数列通项公式的推广5.等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则:a m+a n=a p+a q.特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,a m+a n=2a k.(2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+a n =a2+a n-1=…=a k+a n-k+1=….(3)若{a n}是公差为d的等差数列,则①{c+a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;③{a n+a n+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.(4)若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n+qb n}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.(5).等差数列的图象由a n=d n+(a1-d),可知其图像是直线上的一些等间隔的点,其中是该直线的斜率.(6).等差数列的单调性:对于a n=d n+(a1-d),(1)当d>0时,{a n}为;(2)当d<0时,{a n}为;(3)当d=0时,{a n}为.二、题型探究:探究一:等差数列的通项公式及其应用例1.(1)已知等差数列{a n}:3,7,11,15,….①135,4m+19(m∈N*)是{a n}中的项吗?试说明理由.②若a p,a q(p,q∈N*)是数列{a n}中的项,则2a p+3a q是数列{a n}中的项吗?并说明你的理由.(2)在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________.1.(1)若数列{a n }为等差数列,a p =q ,a q =p (p ≠q ),则a p +q =________.(2)已知等差数列{a n }中,a 15=33,a 61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?探究二:等差数列的判定例2.(1)已知函数f (x )=3xx +3,数列{x n }的通项由x n =f (x n -1)(n ≥2且x ∈N *)确定.①求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列;②当x 1=12时,求x 2 015.(2)已知1b +c ,1c +a ,1a +b 成等差数列,证明:a 2,b 2,c 2也成等差数列.等差数列的判定方法有以下三种:(1)定义法:a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列;(3)通项公式法:a n =an +b (a ,b 是常数,n ∈N *)⇔{a n }为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.2.(1)判断下列数列是否为等差数列:①在数列{a n }中a n =3n +2; ②在数列{a n }中a n =n 2+n .(2)已知c n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -5,n ≥2,则数列{c n }________等差数列(填“是”或“不是”).(3)已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a n a n +2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列?说明理由.探究三:等差中项的应用例3.一个等差数列由三个数组成,三个数的和为9,三个数的平方和为35,求这三个数.[互动探究]若将题中的三个数改为四个数成等差数列,且四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.三个数或四个数成等差数列的设法当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项a1和公差d,列方程组求解.方法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.3.(1)方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为()A.1 B.2C.3 D.4(2)已知单调递增的等差数列{a n}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{a n}的通项公式.探究四:等差数列性质的应用例4.在等差数列{a n}中:(1)若a5=a,a10=b,求a15;(2)若a3+a8=m,求a5+a6.(3)若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.(1)利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法.(2)巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程.4.(1)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( ) A .a 1+a 101>0 B .a 2+a 101<0 C .a 3+a 99=0 D .a 51=51(2)若x ≠y ,且两个数列x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各成等差数列,那么a 1-a 2b 1-b 2等于( )A .1 B.23C.34D.43探究五:等差数列的综合问题例5.在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1,a 2为方程x 2-a 3x +a 4=0的根,求数列{a n }的通项公式.例6.在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa n +1a n +1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.5.(1)数列{a n }中,a 1=1,a 2=23,且1a n -1+1a n +1=2a n ,则a n =________.(2)已知数列{a n }满足(a n +1-a n )(a n +1+a n )=16,且a 1=1,a n >0.①求证:数列{a 2n }为等差数列; ②求a n .例7.已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,且a 11=-26,a 51=54,求a 14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗?[解] 由等差数列通项公式a n =a 1+(n -1)d ,列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1+10d =-26,a 1+50d =54,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-46,d =2.∴a 14=-46+13×2=-20.∴a n =-46+(n -1)×2=2n -48. 令a n ≥0,得2n -48≥0⇒n ≥24, ∴从第25项开始,各项为正数.[错因与防范] (1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解,误认为n =24也满足条件.(2)由通项公式计算时,易把公式写成a n =a 1+nd ,导致结果错误.(3)等差数列通项公式中有a 1,a n ,n ,d 四个量,知三求一,一定要准确应用公式.7.(1)首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是________. (2)一个等差数列的首项为125,公差d >0,从第10项起每一项都大于1,求公差d 的范围.例8.(本题满分12分)两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n },c 1=11.2分 又等差数列5,8,11,…的通项公式为a n =3n +2,4分 等差数列3,7,11,…的通项公式为b n =4n -1.6分 所以数列{c n }为等差数列,且公差d =12,①8分 所以c n =11+(n -1)×12=12n -1.10分又a 100=302,b 100=399,c n =12n -1≤302,②得n ≤2514,可见已知两数列共有25个相同的项.12分[规范与警示] (1)解题过程中①处易出现令3n +2=4n -1,解得n =3的错误,这实际上是混淆了两个n 的取值而导致的错误,也是常犯错误,解题过程中②处易出现c n =12n -1≤399,导致错误.这是对题意不理解造成的,两个数列的公共项应以较小的为基准求解.(2)在解决数列的问题时弄清公式中各量的含义,不同的数列中同一量的意义是相同的,但是并不一定对应.如本例中项数n 在数列{a n }和数列{b n }中的意义,当项相同时,对应的序号n 不一定相同.巩固练习:1.(2015·汉口高二检测)下列说法中正确的是( )A .若a ,b ,c 成等差数列,则a 2,b 2,c 2成等差数列B .若a ,b ,c 成等差数列,则log 2a ,log 2b ,log 2c 成等差数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列D .若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列2.已知x ≠y ,且两个数列x ,a 1,a 2,…,a m ,y 与x ,b 1,b 2,…,b n ,y 各自都成等差数列,则a 2-a 1b 2-b 1等于( )A.m nB.m +1n +1C.n mD.n +1m +13.(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( ) A .5 B .8C .10 D .144.设{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37=( ) A .0 B .37C .100 D .-37 5.(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0B .d >0C .a 1d <0 D .a 1d >0 6.(2015·泰安高二检测)在等差数列{a n }中,a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的根,则a 5+a 8=________.7.(2015·河北省石家庄市月考)在等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=100,则3a 9-a 13的值为________.8.已知数列{a n }满足a 1=1,若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ,a n +1n +1在直线x -y +1=0上,则a n=________.9.已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为________.10.在等差数列{a n }中,(1)已知a 5=-1,a 8=2,求a 1与d ; (2)已知a 1+a 6=12,a 4=7,求a 9.11.数列{a n }为等差数列,b n =⎝⎛⎭⎫12a n,又已知b 1+b 2+b 3=218,b 1b 2b 3=18,求{a n }的通项公式.12.已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-4a n -1(n >1),记b n =1a n -2.(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.备选:《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共为4升,则第5节的容积为________升.巩固练习答案:1.解析:选C.因为a ,b ,c 成等差数列,则2b =a +c , 所以2b +4=a +c +4,即2(b +2)=(a +2)+(c +2), 所以a +2,b +2,c +2成等差数列.2.解析:选D.设这两个等差数列公差分别是d 1,d 2,则a 2-a 1=d 1,b 2-b 1=d 2.第一个数列共(m +2)项,∴d 1=y -x m +1;第二个数列共(n +2)项,∴d 2=y -x n +1.这样可求出a 2-a 1b 2-b 1=d 1d 2=n +1m +1. 3.解析:选B.法一:设等差数列的公差为d ,则a 3+a 5=2a 1+6d =4+6d =10,所以d =1,a 7=a 1+6d =2+6=8.法二:由等差数列的性质可得a 1+a 7=a 3+a 5=10,又a 1=2,所以a 7=8. 4.解析:选C.设c n =a n +b n ,由于{a n },{b n }都是等差数列,则{c n }也是等差数列,且c 1=a 1+b 1=25+75=100,c 2=a 2+b 2=100, ∴{c n }的公差d =c 2-c 1=0.∴c 37=100,即a 37+b 37=100.5.解析:选C.设b n =2a 1a n ,则b n +1=2a 1a n +1,由于{2a 1a n }是递减数列,则b n >b n +1,即2a 1a n >2a 1a n +1.∵y =2x 是单调增函数,∴a 1a n >a 1a n +1,∴a 1a n -a 1(a n +d )>0,∴a 1(a n -a n -d )>0,即a 1(-d )>0,∴a 1d <0.6.解析:由已知得a 3+a 10=3.又数列{a n }为等差数列,∴a 5+a 8=a 3+a 10=3. 答案:37.解析:由等差数列的性质可知,a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=(a 3+a 11)+(a 5+a 9)+a 7=5a 7=100,∴a 7=20.∴3a 9-a 13=2a 9+a 9-a 13=(a 5+a 13)+a 9-a 13=a 5+a 9=2a 7=40.答案:408.解析:由题设可得a n n -a n +1n +1+1=0,即a n +1n +1-a n n =1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式a nn=n ,所以a n =n 2.答案:n 29.解析:由于三边长构成公差为4的等差数列,故可设三边长分别为x -4,x ,x +4. 由一个内角为120°,知其必是最长边x +4所对的角. 由余弦定理得,(x +4)2=x 2+(x -4)2-2x (x -4)·cos 120°, ∴2x 2-20x =0,∴x =0(舍去)或x =10, ∴S △ABC =12×(10-4)×10×sin 120°=15 3.答案:15 310.解:(1)∵a 5=-1,a 8=2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =-1a 1+7d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5d =1. (2)设数列{a n }的公差为d .由已知得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1+5d =12a 1+3d =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1,∴a 9=2×9-1=17.11.解:∵b 1+b 2+b 3=⎝⎛⎭⎫12a 1+⎝⎛⎭⎫12a 2+⎝⎛⎭⎫12a 3=218,b 1b 2b 3=⎝⎛⎭⎫12a 1+a 2+a 3=18,∴a 1+a 2+a 3=3. ∵a 1,a 2,a 3成等差数列,可设a 1=a 2-d ,a 3=a 2+d ,∴a 2=1. 由⎝⎛⎭⎫121-d+12+⎝⎛⎭⎫121+d =218,得2d +2-d =174,解得d =2或d =-2. 当d =2时,a 1=1-d =-1,a n =-1+2(n -1)=2n -3;当d =-2时,a 1=1-d =3,a n =3-2(n -1)=-2n +5. 12.解:(1)证明:b n +1-b n =1a n +1-2-1a n -2=1(4-4a n)-2-1a n -2=a n 2(a n -2)-1a n -2=a n -22(a n -2)=12.又b 1=1a 1-2=12,∴数列{b n }是首项为12,公差为12的等差数列.(2)由(1)知b n =12+(n -1)×12=12n .∵b n =1a n -2,∴a n =1b n +2=2n +2.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n+2.备选:解析:设自上而下各节的容积构成的等差数列为 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=4a 1+6d =3,a 7+a 8+a 9=3a 1+21d =4.解得⎩⎨⎧a 1=1322,d =766,故a 5=a 1+4d =6766. 答案:67667(1)解析:a n =24+(n -1)d ,由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧a 10<0,a 9≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧24+9d <0,24+8d ≥0,解得-3≤d <-83.答案:⎣⎡⎭⎫-3,-83 (2)解:设等差数列为{a n },由d >0,知a 1<a 2<…<a 9<a 10<a 11…,依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧1<a 10<a 11<…,a 1<a 2<…<a 9≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇔⎩⎨⎧125+(10-1)d >1,125+(9-1)d ≤1,解得875<d ≤325,即公差d 的取值范围是⎝⎛⎦⎤875,325.。

数列知识点总结和题型归纳

数列知识点总结和题型归纳

数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。

数列中的每个数叫做数列的项,用an表示第n个项。

1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。

公差d是等差数列中相邻两项的差值。

2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。

公比q是等比数列中相邻两项的比值。

二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1,公差为d,则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。

3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1,公比为q,则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。

三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d,求该等差数列的第n项an,则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。

2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n,求该等差数列的前n项和Sn,则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。

3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q,求该等比数列的第n项an,则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。

4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n,求该等比数列的前n项和Sn,则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。

四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用,特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。

数列知识点总结及题型归纳---含答案

数列知识点总结及题型归纳---含答案
A.13项B.12项C.11项D.10项
6.已知等差数列 的前 项和为 ,若
7.设等差数列 的前 项和为 ,若 则
8. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 =
9.设等差数列 的前n项和为 ,若 ,则
10.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.,则bn=
11.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{ }的前n项和,求Tn。
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若 = ,则 =
A. B. C. D.
题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
①定义法: 是等差数列
②中项法: 是等差数列
③通项公式法: 是等差数列
④前 项和公式法: 是等差数列
例:1.已知数列 满足 ,则数列 为 ( )
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
例:1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130B.170C.210D.260
2.一个等差数列前 项的和为48,前2 项的和为60,则前3 项的和为。
3.已知等差数列 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为
4.设 为等差数列 的前 项和, =
A.d<0B.a7=0 C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
2.等差数列 中, ,则前项的和最大。
3.已知数列 的通项 ( ),则数列 的前30项中最大项和最小项分别是
4.设等差数列 的前 项和为 ,已知
①求出公差 的范围,
②指出 中哪一个值最大,并说明理由。
5.已知 是等差数列,其中 ,公差 。

等差数列的三种常考题型及解答方法

等差数列的三种常考题型及解答方法

等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为(A )2- (B ) 3- (C ) 2 (D )32. 已知数列的等差数列,若,则数列的公差等于A .1B .3C .5D .63. 在等差数列{a n }中,a 1=13,a 3=12若a n =2,则n 等于A .23B .24C .25D .264. {a n }是首项a 1=1,公差为d=3的等差数列,如果a n =2008,则序号n 等于( )A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中,若等于 A .7 B .8 C .9 D .10二、 性质:1)若m+n=p+q ,则q p n m a a a a +=+2)若m+n=2p ,p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列,且,则.7. 在等差数列{}中,已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中,,则________。

9. (2008•海南)已知{a n}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=_______________11.已知等差数列中,和是方程的两根,则——————————————12.在等差数列中,若,则等于 A.30 B.40 C.60 D.80 13. 已知数列{a n}是等差数列,且a4+a7+a10=17,a8+a9+a10=21,若a k=13,则k=14.已知等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差________。

15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为77,偶数项之和为66,a1=1,求其项数和中间项.18.(2005•黑龙江)如果数列{a n}是等差数列,则()A、a1+a8>a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8<a4+a5D、a1a8=a4a519.(2005•黑龙江)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则()A、a1a8>a4a5B、a1a8<a4a5C、a1+a8>a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列,从第7项开始为正,则公差d的取值范围是()A 、5≤d <6B 、d <6C 、5<d ≤6D 、d >522. 已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列,则点P 的轨迹图形是什么?23. 已知数列{}n a 的首项135a =,121n n n a a a +=+,*n N ∈,求{}n a 的通项公式。

等差数列知识点总结和题型总结

等差数列知识点总结和题型总结
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等差数列知识点总结与题型归纳
一.等差数列知识点:
知识点 1、等差数列的定义:
①如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么
这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示
知识点 2、等差数列的判定方法:
②定义法:对于数列an ,若 an1 an d (常数),则数列an 是等差数列
n
项和,求使得 Tn
m 20
对所有 n N 都成立的
最小正整数 m
6
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五、等差数列习题精选
1、等差数列{an}的前三项依次为 x , 2x 1 , 4x 2 ,则它的第 5 项为( )
A、 5x 5
B、 2x 1
C、5
D、4
2、设等差数列{an}中, a4 5, a9 17 ,则 a14 的值等于( )
1
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也就是: a1 an a2 an1 a3 an2
⑨若数列 an 是等差数列, Sn 是其前 n 项的和, k N * ,那么 Sk , S2k Sk ,
S3k S2k 成等差数列 如下图所示:
S3k a1 a2 a3 ak ak 1a2k a2k1a3k
11、在等差数列an 中, a2 a8 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( )
A.18
B 27
C 36
D9
12、设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 9 , S6 36 ,则 a7 a8 a9 ( )
A.63
B.45
C.36
D.27
13、在等差数列 an 中, a1 a2 a3 15, an an1 an2 78 , Sn 155 ,

【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳

【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳

基本量法求数列的通项公式11.复习 等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常.数.,那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--(由定义,累加法推得通项公式)…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起....,每一项与它的前一项的比等于同一个常数..,那么这个数列就叫做等比数列,1n a +:(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中,q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+,则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1(2015年全国卷I ) n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+,(1)求{}n a 的通项公式:变式1:(湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试)已知数列{a n }是等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,且a 3=3,S 3=9 (1)求数列{a n }的通项公式;变式2:已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,其前n 项和为n S ,若2822a a +=,且4712,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2n n S a n =-.(1) 证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;变式1:(湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=14,a 3+a 5=564.(1)求数列{a n }的通项公式;变式3:已知数列{}n a ,{}n b ,其中1,511-==b a ,且满足)3(2111---=n n n b a a ,)3(2111----=n n n b a b ,2*,≥∈n N n .(1)求证:数列{}n n b a -为等比数列,并求数列{a n }、{b n }的通项公式;例3 .已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式; 变式(浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题)已知等比数列{}n a 的公比1q >,且13542a a a ++=,39a +是1a ,5a 的等差中项.数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;数列(等差、等比)知识点清单一、数列的概念1.数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。

等差数列及其前n项和全面总结

等差数列及其前n项和全面总结

(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n,则S偶-S奇= nd , S奇 S偶
S S偶= an , 奇 n . S偶 n 1
=
an an1 .
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇= n an,S奇-
(4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间 的关系为:an = bn

方法一
∵a1=20,S10=S15,
15 14 ∴10×20+ 10 9 d=15×20+ d, 2 2 5 ∴d= . 3 5 5 65 ∴an=20+(n-1)× ( ) n . 3 3 3 ∴a13=0.
4分 8分
即当n≤12时,an>0,n≥14时,an<0.
从而an115题型二等差数列的基本运算例2在等差数列a1已知a1533a45153求a61在等差数列中五个重要的量只要已知三个量就可求出其他两个量其中a两个最基本量利用通项公式与前n项和公式先求出a公差为d依条件得33a23153a61236114217
§6.2 等差数列及其前n项和 基础知识
要点梳理
a1 2a2 3a3 nan ,若 { b n } 为等差数列,求证: 1 2 3 n {an}也为等差数列. n(n 1) 证明 由题意有a1+2a2+3a3+…+nan= bn ① 2
从而有a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 = n( n 1) bn-1,(n≥2) 2 ②
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 d 2 d n (a1 )n Sn = 2 . 2 数列 {an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式

数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。

下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。

1. 求第n项的值设等差数列的首项为a,公差为d,第n项的值为an,则有公式:an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a,公差为d,前n项和为Sn,则有公式:Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a,第m项与第n项的和为s,则公差d的值可以通过以下公式计算得出:d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a,公差为d,第n项的值为an,可以通过以下公式求解项数n:n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时,关键是要找到规律。

可以通过观察数列的特点,列出方程,再解方程求解。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。

下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。

1. 求第n项的值设等比数列的首项为a,公比为q,第n项的值为an,则有公式:an = a * q^(n-1)2. 求前n项和(当公比q不等于1时)设等比数列的首项为a,公比为q,前n项和为Sn,则有公式:Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和(当公比q等于1时)当公比q等于1时,等比数列的前n项和为n * a。

4. 求公比已知等比数列的首项为a,第m项与第n项的比为r,则公比q的值可以通过以下公式计算得出:q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a,公比为q,第n项的值为an,可以通过以下公式求解项数n:n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时,关键是要找到规律。

可以通过观察数列的特点,列出方程,再解方程求解。

三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1,后续项为前两项之和的数列。

等差数列的通项及性质7大题型 (解析版)

等差数列的通项及性质7大题型  (解析版)

等差数列的通项及性质7大题型【考点预测】一.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母表示,定义表达式为d (常数).1--=n n a a d *()2,∈≥n N n (2)等差中项 若三个数,,成等差数列,则叫做与的等差中项,且有a A b A a b =2+a bA .(3)等差数列的通项公式如果等差数列的首项为,公差为,那么它的通项公式是.{}n a 1a d 1(1)=+-n a a n d 二.等差数列通项的常用性质已知为等差数列,为公差,为该数列的前项和.{}n a d n S n (1)通项公式的推广:.*())(,=+-∈n m a a n m d n m N (2)在等差数列中,当时,.{}n a +=+m n p q *(),,,+=+∈m n p q a a a a m n p q N 特别地,若,则.2+=m n t *()2,,+=∈m n t a a a m n t N (3),…仍是等差数列,公差为.2++,,k k mk ma a a *(),∈md k m N (4)若,是等差数列,则也是等差数列.{}n a {}nb {}+n n pa qb 【题型目录】题型一:等差数列通项公式运用题型二:等差中项问题题型三:等差数列通项的性质题型四:整体看成等差数列问题题型五:等差数列通项公共项问题题型六:几个连续实数成等差数列问题题型七:等差数列通项新文化试题【典型例题】题型一:等差数列通项公式运用【例1】(2022·全国·高二课时练习)在等差数列中,若,,则( ){}n a823a =1132a =66a =A .195B .196C .197D .198【例2】(2022·江西省万载中学高一阶段练习(文))在数列中,,,若n 11a =13n n a a +-=2020n a =,则( )n =A .671B .672C .673D .674【答案】D【分析】分析得到数列是以1为首项,3为公差的等差数列,利用等差数列通项即得解.{}n a【详解】∵,,11a =13n n a a +-=∴13n n a a +-=∴数列是以1为首项,3为公差的等差数列,{}n a∴,解得.()()111312020n a a n d n =+-=+-=674n =故选:D.【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列,若,,则( ){}n a2911a a +=41014a a +=n a =A .B .C .D .2n 21n +n 21n -【答案】C【分析】设公差为d ,利用基本量代换列方程组解出首项和公差,即可写出通项公式.【详解】在等差数列中,设公差为d ,依题意,即{}n a 294101114a a a a +=⎧⎨+=⎩11291121214a d a d +=⎧⎨+=⎩解得公差,,所以.1d =11a =n a n =故选:.C 【例4】(2022·全国·高二课时练习)数列的首项为,为等差数列,且{}n a 3{}nb ()1n n n b a a n N *+=-∈,若,,,则等于( )32b =-1012b =8a A .B .C .D .03811【例5】(2022全国高二课时练习)在等差数列中,若a 1=84,a 2=80,则使an 0,且an +1n ≥<0的n 为( )A .21B .22C .23D .24【答案】B【分析】用基本量表示,列出不等式组,求解即可1,a d 1,n n a a +8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩【详解】公差d =a 2-a 1=-4,∴an =a 1+(n -1)d =84+(n -1)(-4)=88-4n ,令10,0,n n a a +≥⎧⎨<⎩即8840,884(1)0n n -≥⎧⎨-+<⎩⇒,又∵n ∈N *,2122n <≤∴n =22.故选:B【例6】(2022·全国·高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,AA BB CC DD''''是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为1111,,,DD CC BB AA 1111,,,OD DC CB BA .已知成公差为0.1的等差数列,且直线11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====123,,k k k OA的斜率为0.725,则( )3k =A .0.75B .0.8C .0.85D .0.9【答案】D【解析】设,则,11111OD DC CB BA ====111213,,CC k BB k AA k ===依题意,有,且,31320.2,0.1k k k k -=-=111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++所以,故,30.530.30.7254k +-=30.9k =故选:D【例7】(2022·全国·高二课时练习)若数列为等差数列,,,则( ){}n ap a q=()q a p p q =≠p q a +=A .B .0C .D .p q +()p q -+2p q+【答案】B【分析】根据等差数列通项公式的变形形式求解:.()n m a a n m d =+-【详解】设数列的公差为.∵,∴,即.∵,∴{}n ad ()p q a a p q d=+-()q p p q d=+-()q p p q d-=-p q ≠,∴.1d =-()0p q p a a p q p d q p +=++-=-=⎡⎤⎣⎦故选:B .【例8】(2022·全国·高二课时练习)已知数列均为等差数列,若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===,则( )44a b =A .B .C .D .19212327【答案】B【分析】设,得出,令,可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列,求得公差,即可求得的值.4c 【详解】由题意,设,,n n a an b b cn d =+=+则,()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令,可得构成一个等差数列,n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ,,113a b =227a b =3313a b =,,所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得:,即.421c =4421a b =故选:B【例9】(2022全国高二课时练习)(1)在等差数列{an }中,已知a 3+a 8=10,则3a 5+a 7=________.(2)已知等差数列{an }中,a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9=________.【答案】 20 27【分析】(1)利用等差数列的性质求解即可,(2)利用等差数列的性质求解,或设等差数列{an }的公差为d ,利用已知条件求出公差,再利用等差数的性质求解【详解】(1)3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7)=2a 5+2a 6=2(a 3+a 8)=20.(2)法一 由性质可知,数列a 1+a 4+a 7,a 2+a 5+a 8,a 3+a 6+a 9是等差数列,所以2(a 2+a 5+a 8)=(a 1+a 4+a 7)+(a 3+a 6+a 9),则a 3+a 6+a 9=2×33-39=27.法二 设等差数列{an }的公差为d ,则(a 2+a 5+a 8)-(a 1+a 4+a 7)=(a 2-a 1)+(a 5-a 4)+(a 8-a 7)=3d =-6,解得d =-2,所以a 3+a 6+a 9=a 2+d +a 5+d +a 8+d =27.故答案为:(1)20 (2)27【例10】(2022全国高二专题练习)在等差数列中,,且{}n a 138a a +=2429a a a =⋅(1)求数列的首项、公差;{}n a(2)设,若,求正整数m 的值.()()1218n n n a a b -+=13m m m b b b +++=【题型专练】1.(2021·全国·高二单元测试)已知等差数列满足,则中一定为零的项是( ){}n a3243a =a {}n aA .B .C .D .6a 7a 8a 9a 【答案】A【分析】先设等差数列的公差,根据题中条件,得出首项与公差之间关系,即可得出结果.【详解】设等差数列的公差为,由得,∴,{}n ad 3243a =a 15a d =-6150a a d =+=故选:A .2.(2021·全国·高二专题练习)已知等差数列中,,,则等于( ){}n a3822a a +=67a =4a A .B .1523C .D .729【答案】B【分析】求出等差数列的公差的值,由此可求得的值.{}n ad 4a【详解】设等差数列的公差为,则,解得,{}n ad ()()3866632222a a a d a d a d +=-++=-=8d =-因此,.()46272823a a d =-=-⨯-=故选:B.3.(2021·江苏·高二专题练习)在等差数列中,已知,,,则( ){}n a113a =45163a a +=33k a =k =A .B .5049C .D .48474.(2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习)在数列中,,n 12a =1221n n a a +-=,则的值为( )101a A .52B .51C .50D .495.(2022·全国·高二课时练习)已知数列是首项为3,公差为n a d d ∈N 的等差数列,若2023是该数列的一项,则公差d 可能是( )A .2B .3C .5D .6P 条弦的长度组成一个等差数列,最短弦长为,最长弦长为,且公差,则1a n a 2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦n的取值可能是( )A .B .C .D .56781123A .公差d =-4B .a 2=7C .数列{an }为递增数列D .a 3+a 4+a 5=84【答案】BC【分析】根据等差数列性质公式及基本量计算,对选项一一判断即可.【详解】解析:∵a 1+a 2+a 3=21,∴3a 2=21,∴a 2=7.∵a 1=3,∴d =4.∴数列{an }为递增数列,a 4=a 2+2d =15.∴a 3+a 4+a 5=3a 4=45.故选:BC8.(2022·全国·高二单元测试)已知数列为等差数列,,,则公差d 为______.{}n a36a =918a =【答案】2【分析】由等差数列性质得,即可求得公差d936a a d =+【详解】数列为等差数列,则,可解得.{}n a9361866d a a d =+⇒=+2d =故答案为:29.(2022·全国·高二课时练习)等差数列2,4,6,…的第18项为______.【答案】36【分析】由条件确定数列的公差,再确定其通项公式,由此求其第18项.【详解】设数列的第项为,n n a 由已知数列为等差数列,且,,{}n a12a =24a =所以数列的公差,{}n a2d =所以,2(1)22n a n n =+-⨯=所以,1836a =故答案为:36.10.(2022·全国·高二单元测试)设是公差为-2的等差数列,如果{}n a1479750a a a a ++++= ,那么______.36999a a a a ++++= 【答案】-82【分析】根据等差数列通项公式化简求解.【详解】∵是公差为-2的等差数列,{}n a ∴()()()()36999147972222a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++ .147973325013282a a a a d =+++++⨯=-=- 故答案为:-8211.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列为递增数列,若,{}n a 22110101a a +=5611a a +=,则数列的公差d 的值为______.{}n a【答案】112.(2022·全国·高二课时练习)若,且两数列a , , ,b 和a ,,,a b ¹12123,b 都是等差数列,则________.3121y y x x -=-【答案】##32 1.513.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列的前三项分别为,,n 1a -21a +7a +,则此数列的通项公式为______.n a =【答案】43n -【分析】根据等差数列前三项可求出,即可得出首项和公差,求出通项公式.a 【详解】由题意,得,所以,()17221a a a -++=+2a =所以的前三项分别为1,5,9,公差为4,故.{}n a()11443n a n n =+-⨯=-故答案为:.43n -14.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列满足,则____________.{}n a2438a a =-5a =【答案】4【分析】利用表示,整理可得.1,a d 2438a a =-5a 【详解】设等差数列的公差为,则由得:,{}n ad 2438a a =-()11338a d a d +=+-整理可得:,即.()1128248a d a d +=+=5144a a d =+=故答案为:.415.(2020·全国·高二课时练习)已知等差数列{an },且a 3+a 5=10,a 2a 6=21,则an =____________.【答案】或.1n a n =+9n a n =-+【分析】设等差数列的公差为,根据题意列出方程组,求得的值,即可求解.{}n a d d 【详解】设等差数列的公差为,{}n ad 因为,可得,354210a a a +==45a =又由,2644(2)(2)(52)(52)21a a a d a d d d =-+=-+=解得,所以或,21d =1d =1d =-所以数列的通项公式为或.{}n a1n a n =+9n a n =-+故答案为:或.1n a n =+9n a n =-+16.(2021·全国·高二专题练习)若a ,x 1,x 2,x 3,b 与a ,y 1,y 2,y 3,y 4,y 5,b 均为等差数列,则3131x x y y --=________.17.(2022·全国·高二课时练习)存在条件:①,;②,;③,23d =-37a =713.在这三个条件中任选一个,回答下列问题,已知等差数列满足______.求数列2414a a +={}n a 的通项公式.{}n a【答案】163n a n=-【分析】不管选择哪个条件,都是求首项和公差,再求通项公式.【详解】若选择①,,1213a a d =-=数列的通项公式,{}n a()()()111313163n a a n d n n=+-=+-⨯-=-即;163n a n =-若选择②,,解得:,,112765ad a d +=⎧⎨+=-⎩113a =3d =-数列的通项公式;{}n a163n a n =-若选择条件③,解得:,,1122202414a d a d +=⎧⎨+=⎩113a =3d =-数列 的通项公式.{}n a 163n a n=-题型二:等差中项问题【例1】(2022·全国·高二课时练习)已知则a ,b 的等差中项为()a =b =A B C D 间的角是多少度( )A .30°B .60°C .90°D .45°【答案】B【分析】设三内角由小到大依次为,,A B C,利用等差数列定义结合三角形三内角和定理列式计算作答.【详解】设三角形三内角由小到大依次为,依题意,,而,,,A B C 2A+C =B 180A B C ++=则有,解得,3180B =60B =所以中间的角是.60故选:B【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知和的等差中项是4,和的等差中项是5,则和m 2n 2m n m n 的等差中项是( )A .8B .6C .D .34.5【例4】(2022·全国·高三专题练习(理))数列{an }满足,且,是函数122n n n a a a ++=+4a 4040a 的两个零点,则的值为( )2()83f x x x =-+2022a A .4B .-4C .4040D .-4040【答案】A【分析】由题设可得+=8,根据已知条件易知{an }是等差数列,应用等差中项的性质求4a 4040a .2022a 【详解】由,是的两个零点,即,是x 2-8x +3=0的两个根,4a 4040a 2()83f x x x =-+4a 4040a ∴+=8,又,即数列{an }是等差数列,4a 4040a 122n n n a a a ++=+∴+=8,故=4.4a 4040a 20222a =2022a 故选:A.【题型专练】1.(2022·全国·高三专题练习)下列选项中,为“数列{}n a是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A .B .()1122n n n a a a n +-=+≥()2112n n n a a a n +-=⋅≥C .数列的通项公式为D .{}n a23n a n =-()2112n n n n a a a a n ++--=-≥A .2BCD .13.(2022·上海市复旦实验中学高二期末)若b 是2,8的等差中项,则______;b =【答案】0【分析】根据等差中项的性质即可求解.【详解】解:因为8,a ,2,b ,c 是等差数列,所以8222222a a b c b +=⎧⎪+=⨯⎨⎪+=⎩解得514a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以.0a b c ++=故答案为:.0题型三:等差数列通项的性质【例1】(2022·广东肇庆·高二阶段练习)已知数列是等差数列,且满足,则{}n a2104a a +=26log a =( )A .B .C .D .0123【答案】B【分析】利用等差中项的性质求出的值,进而可求得结果.6a 【详解】由等差中项的性质可得,可得,因此,.621024a a a =+=62a =26log 1a =故选:B.【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列满足,则( ){}n a5796a a a ++=7a =A .B .C D .322-【答案】B【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得,故.579736a a a a ++==72a =故选:B.【例3】(2022·四川省成都市新都一中高一期中(理))已知数列满足,且{}n a ()*122n n n a a a n ++=+∈N ,则( )38132πa a a ++=()79cos a a +=A .B .C .D 12-12【例4】(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列中,,,则n a1234a a a ++=131415等于( )789a a a ++A .6B .7C .8D .9(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(2)数列为等差数列的充要条件是对任意,都有.{}n a*N n ∈122n n n a a a ++=+(3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.{}n a(4)已知数列的通项公式是(其中p ,q 为常数),则数列一定是等差数列.{}n a n a pn q =+{}n aA .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】利用等差数列定义判断(1);利用等差中项的定义结合充要条件的意义判断(2);利用等差数列定义结合充要条件的意义判断(3);利用等差数列定义判断(4)作答.【详解】对于(1),若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数,则这个数列是等差数列,(1)不正确;对于(2),因对任意,都有数列*N n ∈121212n n n n n n n a a a a a a a +++++⇔=+-=-⇔{}n a为等差数列,(2)正确;对于(3),因常数列是等差数列,而常数列的通项不是n 的一次函数,则通项公式为n 的一次函数是数列为等差数列的充分不必要条件,(3)不正确;{}n a对于(4),数列的通项公式是(其中p ,q 为常数),则,,即数列{}n an a pn q =+N n *∀∈1n n a a p +-=一定是等差数列,(4)正确,{}n a 所以所给4个命题正确的个数为2.故选:B【题型专练】1.(2021·江西·高三阶段练习(文))设是等差数列,且,,则( ){}n a122a a +=344a a +=56a a +=A .B .C .D .12-0624【答案】C【分析】根据等差数列性质可知,,成等差数列,由此可构造方程求得结果.12a a +34a a +56a a +【详解】解:是等差数列,,,成等差数列,{}n a12a a ∴+34a a +56a a +,.()()()3412562a a a a a a ∴+=+++56826a a ∴+=-=故选:C.2.(2022·重庆·高三阶段练习)已知数列为等差数列,,则( ){}n a286a a +=357a a a ++=A .9B .12C .15D .16【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】解:在等差数列中,所以,{}n a28526a a a +==53a =所以;357539a a a a ++==故选:A3.(2022·河南平顶山·高二期末(文))已知数列是等差数列,且满足,则{}n a891075a a a ++=( )612a a +=A .B .C .D .42485058【答案】C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得,则,因此,.89109375a a a a ++==925a =6129250a a a +==故选:C.4.(2023·全国·高三专题练习)已知数列为等差数列,若,则的值为( ){}n a15915a a a ++=28a a +A .4B .6C .8D .10【答案】D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得:,所以,1595315a a a a ++==55a =故285210a a a +==故选:D5.(2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末(理))已知等差数列中,、是{}n a2a 8a 的两根,则( )221610x x --=()2375a a a +-=A .B .C .D .248601246.(2022·全国·高二课时练习)在等差数列中,若,则______.{}n a34567450a a a a a ++++=19a a +=【答案】180【分析】利用等差中项的性质即可求值.【详解】由,故,37169452a a a a a a a =+=+=+3456755450a a a a a a ++++==所以,则.590a =19a a +=180故答案为:1807.(2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试)在等差数列中,若{}n a357911100a a a a a ++++=,则________.212a a +=8.(2021·河北衡水·高三阶段练习)已知等差数列中,分别是方程n 12021,a a 2410x x --=的两个根,则__________.1011a =1项,则这个等差数列的公差为___________.【答案】1【分析】根据题意,利用等差数列等差中项的性质即可求得和,进而求得公差.3a 29a10.(2021·全国·高二课时练习)已知等差数列{an }中,a 1+a 3+a 8=54π,那么cos(a 3+a 5)=________.11.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列,满足,,求数列n 23418a a a ++=23466=a a a n 的通项公式.【答案】或521=-+n a n 59=--n a n 【分析】根据是等差数列且满足求出,代入,中得到{}n a23418a a a ++=3a 23418a a a ++=23466=a a a 的方程组,并解出,从而解出,结合通项公式解出.24,a a 24,a a 1a d ,n a 【详解】是等差数列,且, ,{}n a23418a a a ++=33=18∴a 3=6a ∴解得或2342341866a a a a a a ++=⎧⎨=⎩ 242412,.11,a a a a +=⎧⎨=⎩2411,1a a =⎧⎨=⎩241,11.a a =⎧⎨=⎩当时,,.2411,1a a =⎧⎨=⎩1=16a =5-d ()()()111615521∴=+-=+--=-+n a a n d n n当时,,.241,11a a =⎧⎨=⎩1=4-a =5d ()()1141559∴=+-=-+-=-n a a n d n n 综上:或521=-+n a n 59=--n a n 题型四:整体看成等差数列问题【例1】(2022·全国·高三专题练习)已知数列,为等差数列,且公差分别为,{}n a{}n b12d =21d =,则数列的公差为( ){}23n n a b -A .B .C .D .7531【答案】D【分析】利用即可整理求得公差.112323n n n n a b a b ++--+【详解】,为等差数列,为等差,设其公差为,{}n a {}n b {}23n n a b ∴-d 则.()()111112232323231n n n n n n n n d a b a b a a b b d d ++++=--+=---=-=故选:D.【例2】(2022·全国·高二课时练习)定义:在数列中,若对任意的都满足{}n a n +∈N 211n n n n a a da a +++-=(d 为常数),则称数列为等差比数列.已知等差比数列中,,,则{}n a {}n a 121a a ==33a =20222020a a =( )A .B .C .D .2420221⨯-2420211⨯-2420201⨯-242020⨯【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知数列,均为等差数列,若,,则{}n a{}n b110a b +=221a b +=( )n n a b +=A .B .C .D .2n -1n +n1n -【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式可求出结果.【详解】设等差数列,的公差分别为,{}n a{}n b12,d d 则,1221212211()()101d d a a b b a b a b +=-+-=+-+=-=所以1112(1)(1)n n a b a n d b n d +=+-++-.1112(1)()1a b n d d n =++-+=-故选:D【例4】(2022·全国·高二课时练习)已知数列均为等差数列,若{}{},n n a b1122333,7,13a b a b a b ===,则( )44a b =A .B .C .D .19212327【答案】B【分析】设,得出,令,可得,n n a an b b cn d =+=+2()n n a b acn bc ad n bd =+++n n n c a b =1n n nd c c +=-构成一个等差数列,求得公差,即可求得的值.4c 【详解】由题意,设,,n n a an b b cn d =+=+则,()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd=++=+++令,可得构成一个等差数列,n n n c a b =12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++所以由已给出的 ,,113a b =227a b =3313a b =,,所以121734d c c =-=-=2321376d c c =-=-=4434138d c c c =-=-=解得:,即.421c =4421a b =故选:B【例5】(2022·全国·高二课时练习多选题)已知等差数列,若,,则( )11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭114a =41a =A .数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =B .数列的公差11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭110d =-C .1011a =-D .1011a =1.(2021·江苏·高二单元测试多选题)在数列中,若(,,{}n a 221n n a a p --=2n ≥*n N ∈p 为常数),则称为等方差数列,下列对等方差数列的判断正确的有( ){}n aA .若是等差数列,则是等方差数列{}n a {}2n a B .数列是等方差数列(){}1n-C .若数列既是等方差数列,又是等差数列,则数列一定是常数列{}n a{}n aD .若数列是等方差数列,则数列(,为常数)也是等方差数列{}n a{}kn a*k N ∈k 【答案】BCD【分析】利用等方差数列的定义判断.【详解】A.设等差数列的通项公式,则{}n an a kn b =+,不一定是常数,()()()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a d kn k b d-----=+-=+=-+所以不是等方差数列,故错误;{}2naB. 因为,所以数列是等方差数列,故正确;()()()112222110n nn n a a---=---=(){}1n-C.因为数列是等方差数列,则,又数列是等差数列,则{}n a 221n n a a p --={}n a ,()()()221111n n n n n n n n a a a a a d a a pa -----=+-=+=2.(2022·全国·高二课时练习)已知是等差数列,且,,则______.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21a =41a =10a =为等差数列,则______.13a =4.(2022·全国·高二课时练习)数列中,,,若数列是等差数列,则{}n a 32a =71a =11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭8a =__________.【例1】(2022·全国·高二课时练习)在1,2,3,…,2021这2021个自然数中,将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列,则等于( ){}n a50a A .289B .295C .301D .307【答案】B【分析】根据题意,得到能被2除余1满足,被3除余1的数满足,进而求得数列21n -32n -{}n a的通项公式,即可求解.65n a n =-【详解】由题意,在1,2,3,…,2021这2021个自然数中,能被2除余1满足,21n -被3除余1的数满足,32n -所以在1,2,3,…,2021这2021个自然数中,能被2除余1,且被3除余1的数,按从小到大的次序排成一列,可得构成的数列是首项为,公差为的等差数列,{}n a16则数列的通项公式,{}n a65n a n =-所以.506505295a =⨯-=故选:B.【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列5,8,11,…,302与3,7,11,…,399,则它们所有公共项的个数为( )A .23B .24C .25D .261.(2022·全国·高二课时练习)“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a,则此数列的项数为( )A .134B .135C .136D .137【答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式,由题意解出不等式即可判断项数.{}n a【详解】由题意知,被3除余1且被5除余1的数即为被15除余1的数,故.1514,n a n n N *=-∈由,得,15142019n a n =-≤135.5n ≤又因为,所以此数列的项数为135.n *∈N 故选:B2.(2022全国高二单元测试)在数学发展史上,已知各除数及其对应的余数,求适合条件的被除数,这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲,在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广,得到了一个普遍的解法,提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题:在的整数中,把被除余数为,被(]1,2021415除余数也为的数,按照由小到大的顺序排列,得到数列,则数列的项数为( )1{}n a{}n aA .B .C .D .1011009998【答案】A【分析】将数列中的项由小到大列举出来,可知数列{}n a{}n a为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得,然后解不等式,即可得解.n a 12021n a <≤【详解】由题意可知,数列中的项由小到大排列依次为、、、、,{}n a21416181L 可知数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,{}n a2120()21201201n a n n =+-=+由可得,解得,12021n a <≤12012021n <+≤0101n <≤,则,n N *∈ {}1,2,3,,101n ∈ 因此,数列的项数为.{}n a101故选:A.题型六:几个连续实数成等差数列问题【例1】(2022·江苏·高二课时练习)若直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列,则三边的长分别为( )A .5,8,11B .9,12,15C .10,13,16D .15,18,21【答案】B【分析】设出三边长,根据直角三角形的勾股定理,解得答案.【详解】由题意直角三角形的三条边的长组成公差为3的等差数列,设可三边长为 ,则,,3,6x x x ++222(3)(6)x x x ++=+解得 ,(舍去),9x =3x =-故三边长为9,12,15 ,故选:B.【例2】(2022·全国·高二课时练习)已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,则这四个数依次为( )A .-2,4,10,16B .16,10,4,-2C .2,5,8,11D .11,8,5,2【答案】AB【分析】根据等差数列的性质,列出方程求解即可【详解】设这四个数分别为,,,,3a d -a d -a d +3a d +则解得或()()3328,40,a d a d a d a d a d a d -+-++++=⎧⎨-+=⎩7,3a d =⎧⎨=⎩7,3,a d =⎧⎨=-⎩所以这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.故选:AB【例3】(2022·全国·高二课时练习)已知5个数组成一个单调递减的等差数列,且它们的和为5,平方和为165,则这个等差数列的第1项为___________.【答案】9【分析】根据等差数列的性质,直接求解即可【详解】设这个等差数列中的五个数分别为,,x ,2x d -x d -,.由题意,得x d +2x d +()()()()22222225,22165,x d x d x x d x d x d x d x x d x d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-+++++=⎪⎩解得或因为这个数列单调递减,所以,1,4x d =⎧⎨=⎩1,4.x d =⎧⎨=-⎩0d <即所以第1项为.1,4.x d =⎧⎨=-⎩()21249x d -=-⨯-=故答案为:9【题型专练】1.(2022·全国·高二课时练习)已知等差数列{}n a前三项的和为-3,前三项的积为8.求等差数列的通项公式.{}n a【答案】或35n a n =-+37n a n =-【分析】结合等差数列的通项公式得到,求出首项与公差即可求出结果.()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩【详解】设等差数列的公差为d ,则,.{}n a21a a d =+312a a d =+由题意得,解得或()()111133328a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩123a d =⎧⎨=-⎩143a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列的通项公式可得或.()23135n a n n =--=-+()43137n a n n =-+-=-故或.35n a n =-+37n a n =-2.(2022·全国·高二单元测试)(1)三个数成等差数列,其和为,前两项之积为后一项的96倍,求这三个数.(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为,首末两项的积为,求这四个数.28-【答案】(1),,;(2),,,.4322-024【分析】(1)设这三个数依次为,,,根据已知条件列方程组,求得和a d -a a d +a d 的值即可得这三个数;(2)设这四个数依次为,,, (公差为),根据已知条件列方程组,求得3a d -a d -a d +3a d +20d >和的值即可得这四个数.a d 【详解】(1)设这三个数依次为,,,a d -a a d +由题意可得:,解得:,()()96a d a a d a a d a d -+++=⎧⎨-=+⎩31a d =⎧⎨=-⎩所以这三个数依次为,,.432(2)设这四个数依次为,,, (公差为),3a d -a d -a d +3a d +20d >由题意可得,解得或(舍),()()2338a d a d a d a d -++=⎧⎨-+=-⎩11a d =⎧⎨=⎩11a d =⎧⎨=-⎩故所求的四个数依次为,,,.2-024题型七:等差数列通项新文化试题【例1】(2022·全国·高二课时练习)中国古代有一道数学题:“今有七人差等均钱,甲、乙均七十七文,戊、己、庚均七十五文,问戊、己各若干?”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,所分得的钱数构成等差数列,甲、乙两人共分得77文,戊、己、庚三人共分得75文,则戊、己两人各分得多少文钱?则下列说法正确的是( )A .戊分得34文,己分得31文B .戊分得31文,己分得34文C .戊分得28文,己分得25文D .戊分得25文,己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为,,,,,,3a d -2a d -a d -a a d +2a d +,再根据题意列方程组可解得结果.3a d +【详解】依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为,,,,,3a d -2a d -a d -a a d +,,2a d +3a d +则,解得,32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩313a d =⎧⎨=-⎩所以戊分得(文),己分得(文),28a d +=225a d +=故选:C.【例2】(2022全国高二课时练习)中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).4646节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.56115.146105.23695.32685.41675.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.55655.64645.73635.82625.91616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )A .105.6寸B .48寸C .57.6寸D .67.2寸【答案】C【分析】利用等差数列的基本量计算,直接求解即可.全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就,其中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为:“今有5人分5钱,各人所得钱数依次为等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为( )A .钱B .钱C .钱D .钱1613-2313,就是相邻两衡间距离(半径差)为1198333里,给出了计算各衡直径的一般法则,即“预知次衡径,倍而增内衡之径,二而增内衡径,得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径,须把半径差二倍加上内一衡(最小圆圈)的直径,次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步(当时300步为1里),则次三衡径为( )A.396666里200步B.357000里000步C.317333里100步D.277666里200步【题型专练】1.(2022·全国·高二课时练习)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则()A.冬至的日影子长最长,为15.5尺B.立夏比谷雨的日影子长多1尺C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列D.清明的日影子长为8.5尺【答案】ACD【分析】根据给定条件结合等差数列知识,求出首项、公差,再逐一分析计算作答.【详解】依题意,从冬至起,日影长依次记为,则数列是等差数列,1212,,,a a a {}(N ,12)n a n n *∈≤因此,,而,解得,又,14737.5a a a ++=1742a a a +=412.5a =12 4.5a =设数列的公差为,于是得:,解得,A 正确;{}n a d 11312.511 4.5a d a d +=⎧⎨+=⎩115.5,1a d ==-,立夏比谷雨的日影子长少1尺,B 不正确;1091a a -=-而成等差数列,即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列,C 正确;357,,a a a ,即清明的日影子长为8.5尺.81(81)8.5a a d =+-=故选:ACD2.(2022·全国·高二课时练习)《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,书中提到:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则立夏的日影子长为___________尺.【答案】6.5【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差,然后求出其中某一项.【详解】解:由题意得从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,设其公差为{}n ad ,解得14711213937.511 4.5a a a a d a a d ++=+=⎧∴⎨=+=⎩11,15.5d a =-=101915.59 6.5a a d ∴=+=-=故立夏的日影子长为尺.6.5故答案为:6.53.(2021·全国·高二课时练习)现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.。

高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法:对于数列{}n a ,若d a a n n =-+1(常数),则数列{}n a 是等差数列③等差中项:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项即:2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系:如果n a 是等差数列的第n 项,m a 是等差数列的第m 项,且n m ≤,公差为d ,则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ,若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+也就是: =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等差数列如下图所示:kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质:①若项数为()*2n n ∈N ,则()21n n n S n a a +=+,且S S nd -=偶奇,1nn S aS a +=奇偶.②若项数为()*21n n -∈N,则()2121n n Sn a -=-,且n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶(其中n S na =奇,()1n S n a =-偶). 二、题型选析:题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1,则a 101的值为 ( )A .49B .50C .51D .523.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )A .92B .47C .46D .45 4、已知等差数列}{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( )A 15B 30C 31D 645. 首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( )A.d >38B.d <3C. 38≤d <3D.38<d ≤36、.在数列}{n a 中,31=a ,且对任意大于1的正整数n ,点),(1-n n a a 在直03=--y x 上,则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中,a 5=3,a 6=-2,则a 4+a 5+…+a 10= .8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若=则432,3,1S a a ==( ) (A )12 (B )10 (C )8 (D )69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足,则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列,a 3 + a 8 = 22,a 6 = 7,则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,4S =14,30S S 710=-,则9S = .题型二、等差数列性质1、已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若735S =,则4a =( )A .8B .7C .6D .53、 若等差数列{}n a 中,37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若42=S ,204=S ,则该数列的公差d=( )A .7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{}n a 中,已知31a 1=,4a a 52=+,33a n =,则n 为( ) (A )48 (B )49 (C )50 (D )516.、等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则( ) A .1 B .-1 C .2 D .21 8、已知等差数列{a n }满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )A .α1+α101>0B .α2+α100<0C .α3+α99=0D .α51=519、如果1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A )1a 8a >45a a (B )8a 1a <45a a (C )1a +8a >4a +5a (D )1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )(A )13项 (B )12项 (C )11项 (D )10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中,已知12310a a a a p ++++=,98n n n a a a q --+++=,则其前n 项和n S = .2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 ( )A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ,则 ( ) A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a4、在等差数列{}n a 中,78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ,155=n S ,则=n 。

等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列知识点总结和题型归纳

一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法:对于数列 a n ,若am a n d (常数),则数列a .是等差数列 ③等差中项:对于数列a n ,若2a ni a n a n 2,则数列a n 是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式:⑥S nar卫d2对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项:⑥ 如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项即:A 号或2A a b 在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6等差数列的性质:⑦ 等差数列任意两项间的关系:如果a n 是等差数列的第n 项,a m 是等差数列的第m 项, 且m n ,公差为d ,则有a n a m (n m )d⑧ 对于等差数列a n ,若n m p q ,则a n a m a p a q也就是: a i a n a 2 a n i a 3 a n 2⑨若数列a n 是等差数列,S n 是其前n 项的和,k N *,那么S k ,S ?k S k ,S 3k S ?k 成 等差数列如下图所示:等差数列④如果等差数列a n的首项是a !,公差是d ,则等差数列的通项为a na i(n 1)d该公式整理后是关于n 的一次函数 知识点4、等差数列的前n 项和:题型选析:题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列{a n }的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2,则a 等于() A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列{a n }中,a 1=2, 2a”1=2a n +1,贝U a 101 的值为 () A. 49 B . 50 C . 51 D . 523.等差数列1,—1,_ 3,…,—89的项数是( ) A. 92B . 47 C. 46D. 454、已知等差数列 {a n }中,a 7 a 9 16, a 4 1,则 a 12 的值是()()A 15B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是()a 1 a 2a 3a k a k 1 S kS 2ka 2k a 2k 1 a 3kS kS 3k S 2 k的性质:①若项数为2n n则 dnn % a n 1 ,且nd , ^奇,则 S 2n 1 2n 1 a n ,且 S 奇 S 偶 a .,(其中S 奇na n , S 禺 n 1 a .)-S 3k10、等差数列的前n 项和出•②若项数为2n 1 na n 1> 8 v 3 C. 8< d v 3 3 3 D. 8v d< 336、.在数列{a n}中,a1 3 ,且对任意大于1的正整数n,点(.a n, a n 1)在直x y . 3 0上,7、在等差数列{a n}中, a5= 3, a6= — 2,贝U a4 + a s + …+8、等差数列a n的前n项和为S n,若a2 1,a3 3,则S4=()(A) 12 ( B) 10 (C) 8 ( D) 69、设数列 a n的首项a17,且满足a n 1 a n 2 (n N),则a1 a210、已知{a}为等差数列,a+ a = 22 , a= 7,贝a= _________________________a17 ____________11、 已知数列的通项 a n = -5 n +2,则其前n 项和为S=12、 设S n 为等差数列a n 的前n 项和,S 4 = 14, Sg S 7 30 ,则S 9 = ________________________________题型二、等差数列性质已知{和为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于()(A )a 1 a 8 a 4a 5 (B ) Os a 1 a 4a 5 (C ) a 1 + a 8 a 4+ a 5 (D ) a 1 a 8 = a 4a 510、若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和 为390,则这个数列有( )(A ) 13 项 (B ) 12 项 (C ) 11 项 (D ) 10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列a n 中,已知a 1a 2a 3La 10P ,a n 9a n 8L a n q ,则其前 n 项和S n2、等差数列2,1,4,的前n 项和为( )1A. n 3n 4 1B.n 3n 7 C. 1 n 3n 4 D. 1 -n 3n 72 2 223、已知等差数列 a n 满足a 1 a 2 a 3 a 99, 则( )A. a1a gg 0B. a 1a ggC.a 1a 99D.a 50501、 2、(A )4(B )5(C ) 6设S n 是等差数列a n 的前n 项和,若(D)7S 735,则 a 4()3、 A . 8 B . 7 C . 6若等差数列 a n 中,a 3 a 7 亦8, an a 44,则 a 74、记等差数列a n 的前n 项和为S n ,若S 24, S 420,则该数列的公差 d=()A . 7 B. 6C. 3D. 215、等差数列{a n }中,已知a 1-,a 233 ,n 为( )(A)48( B) 49( C) 50(D) 516.、等差数列{a n }中,a 1=1, a 3+a 5=14,其前n 项和S=100,则n =(A)9 (B) 10 (C)11 (D)12 7、设S 是等差数列a n 的前n 项和,a 5 a 35,则鱼(9S 5S 5A . 1B . - 1C . 28、已知等差数列{a n }满足a 1 +a 2+a 3+…+a 101 = 0 则有(A .a 1 + a 101 > 0B . a 2+ a 100 V 0C . a 3 + a 99= 0 9、如果a 51 = 51a 1, a 2, …,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d 0,则()4、在等差数列a n 中, a1 a2 a 3 15, a n a n 1 a n 2 78 , S n 155 ,则n5、等差数列a n的前n 项和为S n , 若S2,S4 10,则S6等于( )A. 12 B . 18 C . 24 D . 426、若等差数列共有2n 1项n N*,且奇数项的和为44,偶数项的和为33,则项数为 ( )A. 5B. 7C. 9D. 117、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3 9 , & 36,则a y a s a g& 若两个等差数列a n和b n的前n项和分别是S n,「,已知◎,则色等于( )T n n 3 b5227 21A. 7B. -C. 27D. 2138 4题型四、等差数列综合题精选1、等差数列{a n}的前n项和记为S n.已知a10 30,a20 50.(I)求通项a n;(n)若S n=242,求n.2、已知数列{a n}是一个等差数列,且a2 1,a55。

数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法归纳总结数列在数学中是一个非常重要的概念,它在各种数学问题中都有着重要的应用。

在学习数列的过程中,我们需要了解不同的数列题型及相应的解题方法,这样才能更好地掌握数列的知识,提高解题能力。

下面,我们将对数列题型及解题方法进行归纳总结,希望能对大家的学习有所帮助。

一、等差数列。

等差数列是最基本的数列之一,它的通项公式为:$a_n = a_1 + (n-1)d$。

在解等差数列的问题时,我们需要注意以下几种情况:1. 求前n项和,$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$;2. 求首项、公差或项数,$a_n = a_1 + (n-1)d$;3. 已知前几项求第n项,$a_n = a_m + (n-m)d$。

二、等比数列。

等比数列也是常见的数列类型,它的通项公式为:$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$。

解等比数列的问题时,需要注意以下几点:1. 求前n项和,$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$;2. 求首项、公比或项数,$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$;3. 已知前几项求第n项,$a_n = a_m \cdot q^{n-m}$。

三、特殊数列。

除了等差数列和等比数列外,还有一些特殊的数列,如斐波那契数列、等差-等比数列等。

在解题时,需要根据具体情况选择合适的方法,不能生搬硬套。

四、解题方法。

在解数列题时,我们可以采用以下几种方法:1. 找规律法,观察数列的前几项,找出它们之间的规律,从而得出通项公式或前n项和的表达式;2. 递推法,根据数列的递推关系,逐步求解出数列的各项;3. 通项公式法,如果数列是等差数列或等比数列,可以直接利用其通项公式进行求解;4. 常用公式法,对于常见的数列题型,可以直接利用其前n项和的公式进行求解。

五、总结。

通过以上的归纳总结,我们可以看出,数列题型及解题方法是一个比较系统的知识体系,需要我们掌握一定的基本原理和方法。

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义:按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注:本题中,将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形,可以避免不必要的计算,此技巧值得同学们借鉴和应用。

2024年高考复习数学知识点+题型15+等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧

2024年高考复习数学知识点+题型15+等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧



3 A. 10
B.
1 3
1 C. 8
D.
1 9
【详解】由等差数列的性质可知 S3 、 S6 S3 、 S9 S6 、 S12 S9 成等差数列,

S3 S6
1 3 ,即 S6
3S3 , S6
S3
S3
S3
,∴
S9
S6
3S3 , S12
S9
4S3 ,∴
S9
6S3

S12 10S3 ,
例 4-2.
(2023·全国·统考高考真题)
记 Sn 为等比数列an的前 n 项和,若 S4 5, S6 21S2 ,则 S8 ( ).
A.120 B.85 C. 85 D. 120
方法一:设等比数列an的公比为 q,首项为 a1 ,
若 q 1 ,则 S4 0 5 ,与题意不符,所以 q 1 ;
S2 21S2
5 ,解得: S2
1 或 S2
5 4

当 S2 1 时, S2,S4 S2,S6 S4,S8 S6 ,即为 1, 4,16,S8 21 ,
易知, S8 21 64 ,即 S8 85 ;
当 S2
5 4
时, S4
a1
a2
a3
a4
a1
a2
1
q2
1 q2
例 1-1.
(江西·高考真题)
已知等差数列an ,若 a1 a2 a3 a12 21 ,则 a2 a5 a8 a11 .
根据等差数列的性质可得 a1
a2
a3
a12
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21
,解得 a1
a12
7 2

等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)

等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)

数列——等差数列【考纲解读】◆ 理解等差数列的概念。

◆ 掌握等差数列的通项公式n a 及前n 项和公式。

◆ 能根据具体条件识别等差数列,并灵活运用等差数列的性质解决问题。

◆ 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n 项和与二次函数的关系。

【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则有d a a n n =-+1(d 是常数)或n n n n a a a a -=-+++112, 叠加得到等差数列的通项为:d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数。

例1:已知{}n a 是一个等差数列,请在下表中填入适当的数或式子。

知识点3、等差中项A ,b 成等差 如果a ,数列,那么A 叫做a 与b即:2b a A +=的等差中项b a A +=2或例2:已知{}n a 是等差数列。

(1)有3122a a a +=,那么7352a a a +=是否成立? 9152a a a +=呢?为什么? (2))1(211n >+=+-n a a a n n 是否成立?(3))0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 是否成立?据此你能得出什么结论?知识点4、等差数列的前n 项和2)(1n n a a n S +=将d n a a n )1(1-+=带入可得 d n n na S n 2)1(1-+=该公式整理后是关于n 的二次函数。

例3:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S 。

(1);,,8n 18481=-=-=a a (2)7.0185.141=-==d a a n ,,。

知识点5、等差数列的判定方法❖ 定 义 法:若d a a n n =-+1(d 是常数)或n n n n a a a a -=-+++112,则数列{}n a 是等差数列。

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等差数列题型总结、知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN等差数列一.等差数列知识点: 1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法:②定义法:对于数列{}n a ,若d a a n n =-+1(常数),则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列 3等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和: ⑤2)(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项:⑥如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项即:2ba A +=或b a A +=2在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系:如果n a 是等差数列的第n 项,m a 是等差数列的第m 项,且n m ≤,公差为d ,则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ,若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+ 也就是: =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等差数列如下图所示:k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++二、题型选析:考试对等差数列的考察,侧重在求值、等差数列性质和前n 项和,求值的过程中,对首项和公差的把握是重中之重,其实很多的试题都是在围绕对首项和公差的应用在考察。

性质的题要求学生对性质的熟练应用,题目一般在简单难度。

题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用)1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( )A . -1B . 1C .-2 D. 22.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1,则a 101的值为 ( )A .49B .50C .51D .523.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )A .92B .47C .46D .454、已知等差数列}{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( )A 15B 30C 31D 645. 首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( ) >38 <3 C. 38≤d <3 D.38<d ≤3 6、.在数列}{n a 中,31=a ,且对任意大于1的正整数n ,点),(1-n n a a 在直03=--y x 上,则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中,a 5=3,a 6=-2,则a 4+a 5+…+a 10= .题型二、等差数列性质1、已知{a n }是等差数列,a 7+a 13=20,则a 9+a 10+a 11=( )2、在等差数列{}n a 中,2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ,则1a 为( ) A 22.5- B 21.5- C 20.5- D 20-3、 若等差数列{}n a 中,37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、( )数列{an}中,a1=1,a2=32,且n ≥2时,有1111+-+n n a a =n a 2,则 =(32)n =(32)n -1 =22+n =12+n5、.设{}n a 是首项为1的正项数列,且2211(1)0(123)n n n n n a na a a n +++-+==,,, ,则它的通项公式是n a =---------------题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中,已知12310a a a a p ++++=,98n n n a a a q --+++=,则其前n 项和n S = . 2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 ( ) A. ()4321-n n B. ()7321-n n C. ()4321+n n D. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ,则 ( )A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中,78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ,155=n S ,则=n 。

5、等差数列}n a 的前n 项和为n S ,若2462,10,S S S ==则等于( )A .12B .18C .24D .426、若等差数列共有12+n 项()*N n ∈,且奇数项的和为44,偶数项的和为33, 则项数为 ( )A. 5B. 7C. 9D. 117、 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++=8、 若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ,,已知73n n S n T n =+,则55a b 等于( )A.7 B.23 C.278 D.214三、等差数列习题精选1、等差数列}{n a 的前三项依次为x ,12+x ,24+x ,则它的第5项为( )A 、55+xB 、12+xC 、5D 、42、设等差数列}{n a 中,17,594==a a ,则14a 的值等于( )A 、11B 、22C 、29D 、123、设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++=( )A .120B .105C .90D .754、若等差数列}{n a 的公差0≠d ,则 ( )(A ) 5362a a a a > (B ) 5362a a a a <(C ) 5362a a a a = (D ) 62a a 与53a a 的大小不确定5、 已知{}n a 满足,对一切自然数n 均有1n n a a +>,且2n a n n λ=+恒成立,则实数λ的取值范围是( ) A.0λ> B.0λ<C.0λ= D.3λ>- 6、等差数列{}d a a a d a a n 成等比数列,则若公差中,5211,,,0,1≠=为 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2-7、在等差数列{}n a 中,)(,q p p a q a q p ≠==,则=+q p aA 、q p +B 、)(q p +-C 、0D 、pq8、设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项和为12,前三项的积为48,则它的首项是A 、1B 、2C 、4D 、89、已知为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a 等于( ) A. -1 B. 1 C. 310、已知{}n a 为等差数列,且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d =A.-2B.-12C.12 11、在等差数列{}n a 中, 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 ( ) A .18 B 27 C 36 D 912、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++=( )A .63B .45C .36D .2713、在等差数列{}n a 中,78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ,155=n S ,则=n 。

14、在等比数列中,3,6432321-=++=++a a a a a a ,则=++++76543a a a a a ( )A. 811B. 1619 C. 89 D. 43 15、数列{}n a 是等差数列,它的前n 项和可以表示为 ( )A. C Bn An S n ++=2B. Bn An S n +=2C. C Bn An S n ++=2()0≠aD. Bn An S n +=2()0≠a16、已知数列{a n }满足a 1=2a ,a n =2a -12-n a a (n ≥2).其中a 是不为0的常数,令b n =a a n -1.⑴ 求证:数列{b n }是等差数列.⑵ 求数列{a n }的通项公式.小结1、等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2a b A += 2、为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d )3、当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。

4、当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.5、若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列,而{}n a a 成等比数列;。

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