(完整)初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB

最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线

段最短.）

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线

“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是

所求的点．

三、一点在两相交直线内部

例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边

OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交

OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求

分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何

处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥

要与河垂直）

解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸与点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,

所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,

若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,

则AB两地的距离为：

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,

在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。

例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在

··

C

D

A B

E

a

A·M

N

E

河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC

在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB

所以抽水站应建在河边的点D 处，

例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D, 2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ，

则CM+MN+CN 最短

例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，

先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

作法：1.作点C 关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G.H ，

则CG+GH+DH 最短

四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计

在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ （5或4）

四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=，BC=3，

一只蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为（ ）

A ．7

B ．

C ．

D ．5

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

G

E

解：将圆柱体展开，连接A、C，

∵==•π•=4，BC=3，

根据两点之间线段最短，

AC==5．故选D．

五、在长方体（正方体）中，求最短路程

1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了

然后进行比较大小，即可得到最短路程.

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要

从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B

处，则需要爬行的最短路径长为（）

A．5cm B．cm C．4cm D．3cm

分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

解：因为平面展开图不唯一，

故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；