近世代数期末试题
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近 世 代 数 试 卷
一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分)
1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。 ( )
2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。( )
3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( )
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( )
5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( )
6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。 ( )
7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( )
8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( )
10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( )
二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分)
1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射,那么( )
①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换;
③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同;
④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ;
③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。
3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( )
①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设() ,G 为群,其中G 是实数集,而乘法k b a b a ++= :,这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是( )
①0和x -; ②1和0; ③k 和k x 2-; ④k -和)2(k x +-。
5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x ( ) ①11--a bc ; ②11--a c ; ③11--bc a ; ④ca b 1-。
6、设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6,那么G 的阶=G ( )
①6; ②24; ③10; ④12。
7、设21:G G f →是一个群同态映射,那么下列错误的命题是( ) ①f 的同态核是1G 的不变子群; ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群;③1G 的子群的象是2G 的子群; ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。
8、设21:R R f →是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为( ) ①若a 是零元,则b 是零元; ②若a 是单位元,则b 是单位元; ③若a 不是零因子,则b 不是零因子;④若2R 是不交换的,则1R 不交换。
9、下列正确的命题是( )
①欧氏环一定是唯一分解环; ②主理想环必是欧氏环;
③唯一分解环必是主理想环; ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若I 是域F 的有限扩域,E 是I 的有限扩域,那么( )
①()()()F I I E I E :::=; ②()()()I E F I E F :::=;
③()()()I F F E F I :::=; ④()()()F I I E F E :::=。
三、填空题(将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分)
1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。
2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 。
3、设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A 。
4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 。
5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。
6、给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π 。
7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想,那么I 中的元素可以表达为 。
8、若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想,那么I
R 是一个域当且仅当I 是 。
9、整环I 的一个元p 叫做一个素元,如果 。
10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,如果 。
四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分)
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律,那么在n a a a 21里,元的次序可以掉换。
2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最大理想,那么0≠S 。
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子,若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子,那么必有'd d =。
5、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
五、计算题(共15分,每小题分标在小题后)
1、给出下列四个四元置换
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ,试写出G 的乘法表,并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的所有子群。
2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环,且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果