全国建模竞赛一等奖 高校硕士研究生招生指标分配问题

五 模型的建立及求解
5.1 缺失数据的补充 教师数量和教师岗位主要决定研究生名额指标的分配。根据附件所给的数据信息， 可以通过统计分析中的判别分析（Fisher 判别分析）对教师数量、教师岗位及分配数 量之间的关系进行分析，从而对缺失的岗位数据信息进行补充。 5.1.1 判别分析的原理 判别分析是根据所研究的个体的观测指标来推断该个体所属类型的一种统计方法， 在自然科学和社会科学的研究中经常会碰到这种统计问题。例如，在地质找矿中我们要 根据某异常点的地质结构、 化探和物探的各项指标来判断该异常点属于哪一种矿化类型； 医生要根据某人的各项化验指标的结果来判断该人属于什么病症； 调查了某地区的土地 生产率、劳动生产率、人均收入、费用水平、农村工业比重等指标，来确定该地区属于 哪一种经济类型地区等等。
别与距离判别一样不需要知道总体的分布类型， 但两总体的均值向量必须有显著的差异 才行，否则判别无意义。 5.1.2 模型的求解 以第 18 号教师岗位的级别判定为例（其余见附录） ，借助 SPSS 软件进行计算得各个 岗位 Fisher 判别函数的系数如下表 表 1 各岗位等级判别函数的系数 分类函数系数 1.00 硕士招生人数合计 12.006 横向项目数量 1.984 横向项目到账经费合计 -.016 发表英文论文篇数合计 -17.277 年均影响因子 22.376 中文期刊论文篇数合计 -.322 获得校优硕论文篇数 7.437 (常量) -157.076 Fisher 因素 岗位等级 2.00 4.00 5.00 6.00 7.00 6.508 3.501 3.059 2.935 .933 7.695 1.532 -.683 .059 .200 -.156 -.034 .009 -.005 .007 -3.617 -4.064 -5.168 -4.464 -.147 1.954 5.744 6.870 5.681 -.176 -.981 -.461 .164 .072 .020 4.851 1.266 4.489 3.797 .295 -66.639 -15.779 -12.658 -11.569 -3.072 的线性判别式函数
T
1 x K x 1 2 1 1 2 2
1
T
(9)
4
x X 1 ,当x使得W x 0 (10) x X , 当 x 使得 W x 0 2 当总体的参数未知时，我们用样本对 1 , 2 及 进行估计，注意到这里的 Fisher 判
y aT x 均值为
y E y x X 1 aT 1
1
（） 1 （2)
(3)
y E y x X 2 aT 2
2
其方差为 考虑比
2 y Var y aT a

y1
y2
Hale Waihona Puke Baidu2 y

2
aT aT 1 2 T aT a a a
由定理 2 我们得到如下的 Fisher 的判别规则：
T 1 x X 1 ,当x使得 1 -2 x K T 1 x X 2 ,当x使得 1 -2 x K


(7)
(8)
定义判别函数
W x 1 2
则判别规则可改写成
T
(5)
(6)
称为 Fisher 线性判别函数。令
1 1 1 T y1 + y2 aT 1 aT 2 1 -2 1 1 +2 2 2 2 T T 1 定理 2 利用上面的记号，取 a 1 2 ，则有 y1 K 0, y2 K 0 K
关键词： 研究生名额分配
相关性分析
Fisher 判别分析
AHP 层次分析法
1
一 问题重述
高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的 取得有直接影响。特别是 2011 年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分 为学术型和专业型两类。这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同 时，也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。 附件的数据是某高校 2007-2011 年硕士研究生招生实际情况。 研究生招生指标分配 主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配。其中教师岗位分为七个岗位等级（一 级岗位为教师的最高级，七级岗为具备硕士招生资格的最低级） 。另外数据表还列出了 各位教师的学科方向，2007-2011 年的招生数，科研经费，发表中、英文论文数，专利 数，获奖数，获得校、省优秀论文奖数量等信息。 请你参考有关文献、利用附件的数据建立数学模型，并解决下列问题。 1. 由于统计数据的缺失，第 18、103、110、123、150、168、274、324、335、352 位 教师的数据不完整，请你用数学模型的方法将这些缺失的数据补充完整。 2. 以前的硕士研究生名额分配方案主要参考导师岗位级别进行分配。请你以岗位级别 为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获奖 数、获得优秀论文数量的统计规律，并给出合理的解释。 3. 根据第二问的结论，提出更加合理的研究生名额分配方案，使得新方案既兼顾到岗 位又能兼顾到其他因素，例如研究生的招生类型等，并要求用此方案对 2012 年的名额 进行预分配。 4. 如果在研究生招生指标分配当中，考虑到学科的特点和学科发展的需要，进行差异 分配，请你设计调整方案，并用你的方案给出 2012 年的调整方案。 5. 如果想把分配方案做得更加合理，你认为还需要哪些指标数据，用什么方法可以完 成你的方案？请阐述你的思想。
高校硕士研究生招生指标分配问题
第十八组 张飞鹏 张振宇 王华彬 摘要 高等学校研究生招生指标的分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和研究成果 的取得由很大影响， 本文主要针对高校硕士研究生招生指标分配的问题运用数学建模的 方法进行研究，并得到了一系列的研究结论。 对于问题一，考虑到教师数量和教师岗位主要决定指标分配，同时不同学科之间的 岗位等级划分对指标的决定程度不同， 我们将所缺少的十个岗位数据对应到所在的学科， 利用 Fisher 判别分析的方法得到了缺少的的统计数据依次为 6、7、7 、4、3 、2、6、5、 7 等， 并通过得到的对应关系去检验已知岗位等级的准确率， 依次为 92.1%、 92.1%、 100%、 80%、100%、94.1%、93.8%、84.7%、84.7%。 对于问题二，由于历年硕士研究生名额都是以导师岗位级别进行分配，其中影响岗 位等级的因素有招生人数、科研经费等，因此可以通过 Matlab 作曲线图、直方图，直 观的看出和分析各因素在不同年份的数值与各岗位级别之间的统计规律。 岗位等级越高， 发表的中英文论文数、申请专利数等越多。同时我们结合相关统计规律的知识对得出的 统计规律进行解释和分析，并结合当今的实际情况加以验证，足见统计规律的客观合理 性。 对于问题三，我们首先进行灰色预测，得到了 2012 年的招生人数为 746 人。基于 问题一和问题二的分析结果，参考相关文献进行权重分配，用 Excel 法统计各因素对各 岗位级别招生人数影响以百分制表示的，通过将因素权重与岗位级别权重加成，对研究 生指标分配按加成权重对 2012 年的名额预分配。 对于问题四，要考虑学科的特点和学科的发展，本文主要令学科的特点体现为学科 类型，学科主要分成学科重点学科，国家培育学科，省部级学科，一般学科。而学科的 发展主要体现学科的报考情况、培养情况以及政策情况，再结合第二问的导师岗位级别 和科研情况。就得出指标分配的调整方案中主要参考的六种影响因素，并参考文献 [1] 的第 2，3 页的层次分析法，得出六种影响因素的权重。最后对以上六种情况的具体参 考因素，绘制相关层次结果图，进行参数假设，进行相关的参数计算得出具体的指标参 数模型。应用于具体高校时，假设的参数都有具体数据作支撑，即可得出具体的分配方 案。 对于问题五，实现分配方案更加合理化，问题三、四主要考虑了硬性指标上的分配 因素，而道德素质等综合因素在实际分配中也应占有一定比重，应纳入考虑之列，参考 文献[3]对这些因素进行分析，绘制表格，统筹分析所有主要因素；同时，结合现代的 国家政策以及未来发展需要，对招生类型调整提出方案，以提高方案对时代的适应性； 最后， 考虑到合理分配研究生名额需协调分析的因素非常多、 数据复杂， 如果直接应用， 会导致实用性差的情况，所以需提出一种方案，能够简化其计算过程，使得模型实用性 和有效性都得到保证。
3
分别为 F1 x , F2 x ,
判别问题用统计的语言来表达，就是已有 q 个总体 X1 , X 2 ,
, Fq x , 每个 Fi x 都是 p 维函数. 对于给定的样本 X ,要判断它
, X q , 它们的分布函数
来自哪一个总体. 当然，应该要求判别准则在某种意义下是最优的，例如错判的概率最 小或错判的损失最小等。 Fisher 判别的基本思想是投影， 即将表面上不易分类的数据通过投影到某个方面上， 使得投影类与类之间得以分离的一种判别方法。仅考虑两个总体的情况，设两个 p 维总 体为 X 1 , X 2 , 且都有二阶矩存在。Fisher 的判别思想是变换多元观测 x 到一元观测 y ， 使得由总体 X 1 , X 2 , 产生的 y 尽可能的分离开来。 值向量分别为 1 , 2 （均为 p 维） ，且有公共的协方差矩阵 0 。那么线性组合的 设在 p 维的情况下， x 的线性组合 y aT x ，其中 a 为 p 维实向量。设 X 1 , X 2 , 的均
二 问题假设
1. 2. 3. 4. 5. 假设国家政策无重大变化。 假设已给数据中无重报和误报。 假设该校无重大录取制度变化，报考生源稳定 假设表格中（除岗位信息外）其余缺失的信息只均为零。 假设 2007 年至 2011 年招生人数能够由指导教师的数量以及教师岗位决定，其他因 素的影响可忽略。
三 符号说明
2
2
(4)
其中 1 2 为两个总体均值向量差，根据的 Fisher 的思想，我们要选择 a 使得 （4）式达到最大。 定理 1 x 为 p 维随机变量， 设 y aT x ， 当选取 a c1 , c 0 ， 为常数时达到最大。 特别当 c 1 时，线性函数
y aT x 1 2 1x
四 问题分析
对于问题一，教师数量和教师岗位主要决定指标分配。根据附件的数据信息，可以 通过统计分析中的 Fisher 判别分析对教师数量、教师岗位及分配数量之间的关系分析 对数据进行的补充。 对于问题二，由于历年硕士研究生名额都是以导师岗位级别进行分配，由影响分配 的有招生人数、科研经费等因素，因此可以通过 Matlab 作曲线图、直方图，直观的看 出和分析各因素在不同年份的数值与各岗位级别之间的统计规律， 并结合相关统计规律 的知识对得出的统计规律进行解释和分析，并结合当今的实际情况加以验证。 对于问题三，先通过 2007-2011 的硕士研究生的招生人数进行灰色预测 2012 的招 生人数，兼顾各项因素，参考相关文献进行权重分配，用 Excel 法统计各因素对各岗位 级别招生人数影响以百分制表示的，通过将因素权重与岗位级别权重加成，对研究生指 标分配按加成权重对 2012 年的名额预分配。 对于问题四，要考虑学科的特点和学科的发展，本文主要令学科的特点体现为学科 类型，学科主要分成学科重点学科，国家培育学科，省部级学科，一般学科。而学科的 发展主要体现学科的报考情况、培养情况以及政策情况，再结合第 2 问的导师岗位级别 和科研情况。就得出指标分配的调整方案中主要参考的六种影响因素，并参考文献 [1] 的第 2，3 页的层次分析法，得出六种影响因素的权重。最后对以上六种情况的具体参 考因素，绘制相关层次结果图，进行参数假设，进行相关的参数计算得出具体的指标参 数模型。应用于具体高校时，假设的参数都有具体数据作支撑，即可得出具体的分配方 案。 对于问题五，实现分配方案更加合理化，问题三、四主要考虑了硬性指标上的分配 因素，而道德素质等综合因素在实际分配中也应占有一定比重，应纳入考虑之列，参考 文献[3]对这些因素进行分析，绘制表格，统筹分析所有主要因素；同时，结合现代的 国家政策以及未来发展需要，对招生类型调整提出方案，以提高方案对时代的适应性； 最后， 考虑到合理分配研究生名额需协调分析的因素非常多、 数据复杂， 如果直接应用， 会导致实用性差的情况，所以需提出一种方案，能够简化其计算过程，使得模型实用性 和有效性都得到保证。
Ci : 第 i 个二级指标的得分 Cik : 第 k 个招生学科各二级指标得分 a k ：各招生学科在整个招生单位内的相对重要程度
bk ：各招生学科招生得分
a： b： : : CI :
灰色预测发展系数 灰色预测灰作用量 矩阵特征根 分配权重 一致性指标
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RI : 随机一致性指标 CR : 一致性比率