2018北京市清华附中高一(上)期末数学

2018北京市清华附中高一（上）期末

数 学 2018.1

一、选择题（每小题5分，共40分）

1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（ ）

A. 40°

B. 140°

C. －130°

D. －310°

2. 设向量）

，（20=a ，），（13=b ，则a ，b 的夹角等于（ ） A.

3π B. 6π C. 32π D. 6

5π 3. 角α的终边过点）（3－,4P ，则)2

sin(απ+的值为（ ） A. 54- B. 54 C. 53- D. 5

3 4. 要得到函数)3

2cos(π-=x y 的图像，只需将x y 2cos =的图像（ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6

π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度 5. 已知非零向量与

=2

1=，则ABC ∆为（ ）

A. 三边均不相等的三角形

B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形

D. 等边三角形

6. 同时具有性质“①最小正周期是π；②图像关于直线3π-

=x 对称；③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ326，上是增函数”的一个函数是（ ） A. )32sin(π-

=x y B. )62cos(π+=x y C. )62sin(π

+=x y D. )3

22cos(π+=x y 7. 定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且在[]21，

上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）

A. ()αsin f ＞()βcos f

B. ()αsin f ＜()βcos f

C. ()αsin f ＞()βsin f

D. ()αcos f ＜()βcos f

8. 若定义[]20182018，-上的函数()x f 满足：对于任意1x ，[]2018,20182-∈x 有()()()20172121-+=+x f x f x x f ，且x ＞0时，有()x f ＞2017，()x f 的最大值、最小值分别为M ，N ，则N M +的值为（ ）

A. 0

B. 2018

C. 4034

D. 4036

二、填空题（每小题5分，共30分）

9. 若θ为第四象限的角，且31sin -=θ，则 =θcos ；=θ2sin 。 10. 已知a ，b ，c ，分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1=a ，3=

b ，B C A 2=+，则ABC ∆的面积=∆ABC S 。

11. 已知2tan =x ，则()=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++x x x 2cos sin 2cos ππ 。 12. 已知()πα，0∈且316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛

+πα，则=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+6cos πα ；=αsin 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ,o 90=∠ABC ,若3=AB ,2==DC BC ,若E ，F 分别是线段DC

和BC 上的动点，则EF AC ⋅的取值范围是 。

14. 已知函数()a x x x f --=2

sin 22sin 2 ①若()0=x f 在R x ∈上有解，则a 的取值范围是 ；

②若1x ，2x 是函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2

0π，内的两个零点，则=+)sin(21x x 。

三． 解答题（共6小题，共80分）.

15. （13分）已知函数()1)6cos(sin 4++

=πx x x f . （1）求⎪⎭

⎫ ⎝⎛12πf 的值； （2）求函数()x f 的单调递减区间；

（3）求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2

0π，上的最大值和最小值.

16. （13分）已知不共线向量a ，b 满足3=a ，2=b ，()()

.20232=+⋅-b a b a

（1） 求()

b a a -⋅； （2） 是否存在实数λ，使b a + λ与b a 2-共线？

（3） 若()()

b k a b a k -⊥+2，求实数k 的值。

17. （13分）设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)cos(cos sin B A C A -=-.

（1） 求B 的大小；

（2） 求C A sin cos +的取值范围.

18. （13分）已知向量()θθsin cos ，

=a ，()ββsin cos ，=b . （1） 若3π

βθ=-，求b a -的值；

（2） 若3π

βθ=+，记()b a b a f +-⋅=λθ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，，当21≤≤λ时，求()θf 的最小值.

19. （13分）借助计算机（器）作某些分段函数图像时，分段函数的表示有时可以利用函数()()()

⎩⎨⎧≥=＜0001

x x x h ，

例如要表示分段函数()()()()⎪⎩

⎪⎨⎧-==＜220＞2x x x x x x g ，可以将()x g 表示为()()()()x h x x xh x g --+-=22.

（1） 设()()()()

()x h x x h x x x f --+-+-=1113222，请把函数()x f 写成分段函数的形式； （2） 已知()()[]()()1log 1413-⋅+-+-=x h x x h a x a x G a 是R 上的减函数，求a 的取值范围；

（3） 设()()()()

()x a h a x x a x h a x x x F -++-+-+-+=1122，求函数()x F 的最小值.

20. （14分）一个函数()x f ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在()x f 的定义域内，就有()a f ，()b f ，()c f 也是某个三角形的三边长，则称()x f 为“保三角形函数”.

（1） 判断()x x f =1，())cos sin 26(log 2

22x x x f -+=中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由； （2） 若函数()x x g ln =（[)∞+∈，

M x ）是“保三角形函数”，求M 的最小值； （3） 若函数()x x h sin =（()A x ，0∈）是“保三角形函数”，求A 的最大值.