2018北京市清华附中高一(上)期末数学

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2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(解析版)

第1页，共5页2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则集合 U =R A ={x|x >0}B ={x|x <1}(∁U A)∩B =()A. B. C. D. (‒∞,0)(‒∞,0](1,+∞)[1,+∞)【答案】B【解析】解：集合，，∵A ={x|x >0}∴∁AU ={x|x ≤0}，∵B ={x|x <1}，∴(∁U A)∩B ={x|x ≤0}故选：B ．求出集合A 的补集，从而求出其和B 的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2.命题“，使得”的否定是 ∃x ∈R x 2<1()A. ，都有 B. ，使得∀x ∈R x 2<1∃x ∈R x 2≥1C. ，都有 D. ，使得∀x ∈R x 2≥1∃x ∈R x 2>1【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，∀x ∈R x 2≥1故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.下列函数中，既是奇函数又在R 单调递减的是 ()A.B. C. D. y =1xy =e‒xy =lnx y =‒x|x|【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；y =1x{x|x ≠0}对于B ，，不是奇函数，不符合题意；y =e ‒x =(1e )x对于C ，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；y =lnx 对于D ，，既是奇函数又在R 单调递减，符合题意；y =‒x|x|={‒x 2,x ≥0x 2,x <0故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.已知，，，那么 a =log 23b =log 32c =log 0.52()A. B. C. D. a <b <ca <c <bc <b <a b <c <a【答案】C【解析】解：，，，a =log 23>1b =log 32∈(0,1)c =log 0.52<0可得．c <b <a 故选：C ．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5.“”是““的 a >|b|a >b (()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．a >|b|⇒a >b “”是““的充分不必要条件．∴a >|b|a >b 故选：A ．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．a >|b|a >b .本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数的零点所在的一个区间是 f(x)=2x ‒1+log 2x ()A.B.C.D. (18,14)(14,12)(12,1)(1,2)【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．∵f(x)=2x ‒1+log 2x (0,+∞)，，∴f(1)=1f(12)=‒1根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，∴(12,1)故选：C ．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．f(x)=2x ‒1+log 2x (0,+∞)f(1)=1f(12)=‒1本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7.要得到的图象，只需将函数的图象 g(x)=log 2(2x)f(x)=log 2x ()A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，g(x)=log 2(2x)=log 2x +1故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，f(x)=log 2x 故选：A ．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．g(x)=log 2(2x)=log 2x +1本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8.函数，的图象为 y =a|x +b|(0<a <1,‒1<b <0)()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，∵0<a <1的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，∴y =a x(0,1) 的图象可看成把的图象在y 轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y 轴的图象得到的，y =a |x|y =a x的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，y =a |x +b|y =a x ‒b(0<‒b <1)故选：C ．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到y =a |x|y =a |x +b|y =a x‒b(0<‒b <1)的，即可得到的图象特征．y =a|x +b|本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9.函数的定义域是______．y =ln(x ‒1)+12‒x 【答案】(1,2)【解析】解：由，解得．{x ‒1>02‒x >01<x <2函数的定义域是．∴y =ln(x ‒1)+12‒x (1,2)故答案为：．(1,2)由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10.若为R 上的奇函数，当时，，则______．f(x)x <0f(x)=log 2(2‒x)f(0)+f(2)=【答案】‒2【解析】解：为R 上的奇函数，f(x)则，f(‒x)=‒f(x)即有，，f(0)=0f(‒2)=‒f(2)当时，，x <0f(x)=log 2(2‒x)，f(‒2)=log 2(2+2)=2则．f(0)+f(2)=0‒2=‒2故答案为：．‒2运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．f(0)=0f(2)=‒2本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11.已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零f(x)x ∈R f(‒x)=f(x)x ≥0f(x)=x 2‒ax +1f(x)点，则实数a 的取值范围是______．【答案】(2,+∞)第3页，共5页【解析】解：，∵f(‒x)=f(x)函数是偶函数，∴f(x)，∵f(0)=1>0根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，x ≥0f(x)即，，{△=a 2‒4>0‒‒a 2=a2>0∴{a >2或a <‒2a >0解得，a >2即实数a 的取值范围，(2,+∞)故答案为：(2,+∞)由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得f(‒x)=f(x)x ≥0f(x)到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12.已知函数，若，则x 的取值范围是______．f(x)={x +1,x ≤1log 2x,x >1f(x)>f(x +1)【答案】(0,1]【解析】解：函数，∵f(x)={x +1,x ≤1log 2x,x >1故函数在上单调递增，在上单调递增，f(x)(‒∞,1](1,+∞)由于，且，f(x)>f(x +1)x <x +1则有，{x ≤1x +1>1x +1>log 2(x +1)由，可得，，0<x ≤11<x +1≤20<log 2(x +1)≤1不等式在成立，x +1>log 2(x +1)0<x ≤1则的解集为．f(x)>f(x +1)(0,1]故答案为：．(0,1]由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，f(x)(‒∞,1](1,+∞)f(x)>f(x +1)x +1>1，，由此求得x 的范围．x ≤1x +1>log 2(x +1本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13.函数的值域是______注：其中表示不超过x 的最大整数f(x)=[3x]‒3[x].([x])【答案】(‒1,3)【解析】解：根据高斯函数的性质，，x ‒1<[x]≤x 那么：，3x ‒3<3[x]≤3x 则 ‒3x ≤‒3[x]<3‒3x 由，3x ‒1<[3x]≤3x∴‒1<[3x]‒3[x]<3函数的值域为．f(x)=[3x]‒3[x](‒1,3)故答案为(‒1,3)根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；x ‒1<[x]≤x 3x ‒1<[3x]≤3x 本题考查了表示不超过x 的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．[x].三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14.已知，，则______．4a=2lgx =a x =【答案】10【解析】解：，∵4a=2，∴22a =2即2a =1解得a =12，∵lgx =a ，∴lgx =12∴x =10故答案为：10根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15.已知集合，．A ={x|x 2‒ax +12≤0}B ={x|x 2‒6x +5<0}若，求；(1)a =8A ∩B 若集合中至少存在一个整数，求实数a 的取值范围．(2)A ∩B 【答案】解：时，集合，(1)∵a =8A ={x|x 2‒8x +12≤0}={x|2≤x ≤6}．B ={x|x 2‒6x +5<0}={x|1<x <5}．∴A ∩B ={x|2≤x <5}集合，．(2)∵A ={x|x 2‒ax +12≤0}B ={x|1<x <5}集合中至少存在一个整数，A ∩B ，∴A ={x|a ‒a 2‒482≤a ≤a +a 2‒482}或，∴{a ‒a 2‒482≤1a +a 2+482≥2{a‒a 2‒482≤4a +a 2+482≥5解得．a ≥163实数a 的取值范围是．∴[163,+∞)【解析】时，集合，(1)a =8A ={x|x 2‒8x +12≤0}={x|2≤x ≤6}，由此能求出．B ={x|x 2‒6x +5<0}={x|1<x <5}A ∩B 集合，由集合中至少存在一个整数，得(2)A ={x|x 2‒ax +12≤0}B ={x|1<x <5}.A ∩B ，由此能求出实数a 的取值范围．A ={x|a ‒a 2‒482≤a ≤a +a 2‒482}本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知函数f(x)=a x(a >0,a ≠1)若，求的值；(1)f(1)+f(‒1)=3f(2)+f(‒2)若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a 的值．(2)f(x)[‒1,1]83【答案】解：，可得，(1)f(1)+f(‒1)=3a +a‒1=3两边平方可得，a 2+a ‒2=7即有；f(2)+f(‒2)=a 2+a‒2=7当时，在递增，(2)a >1f(x)[‒1,1]可得，f(1)‒f(‒1)=a ‒a ‒1=83解得；a =3当时，在递减，0<a <1f(x)[‒1,1]可得，f(‒1)‒f(1)=a ‒1‒a =83解得．a =13综上可得或．a =313【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：(1)a +a ‒1=3讨论和，运用指数函数的单调性，可得a 的方程，解方程即可得到所求值．(2)a >10<a <1本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．f(x)=ax 2‒2ax +2+b (a ≠0)f(x)[2,3]求a ，b 的值；(1)若，在上为单调函数，求实数m 的取值范围．(2)b <1g(x)=f(x)‒mx [2,4]【答案】解：由于函数，，对称轴为，(1)f(x)=ax 2‒2ax +2+b =a(x ‒1)2+2+b ‒a (a ≠0)x =1当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，a >0f(x)[2,3]{f(2)=2+b =2f(3)=2+b +3a =5解得．{a =1b =0当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，a <0f(x)[2,3]{f(2)=2+b =5f(3)=2+b +3a =2解得．{a =‒1b =3综上可得，，或．{a =1b =0{a =‒1b =3若，则由可得，，(2)b <1(1){a =1b =0g(x)=f(x)‒mx =x 2‒(m +2)x +2再由函数在上为单调函数，可得，或，g(x)[2,4]m +22≤2m +22≥4解得，或，m ≤2m ≥6故m 的范围为．(‒∞,2]∪[6,+∞)【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两(1)f(x)=a(x ‒1)2+2+b ‒a (a ≠0)x =1a >0a <0种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a 、b 的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m(2){a =1b =0g(x)=x 2‒(m +2)x +2m +22≤2m +22≥4的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18.设函数是R 上的增函数，对任意x ，，都有f(x)y ∈R yf(x)‒xf(y)=xy(x 2‒y 2).求；(1)f(0)求证：是奇函数；(2)f(x)若，求实数x 的取值范围．(3)f(x 2+1)+f(3x ‒5)<0【答案】解：对任意x ，，都有，(1)y ∈R yf(x)‒xf(y)=xy(x 2‒y 2)可令，，可得，即；x =1y =00‒f(0)=0f(0)=0证明：由任意x ，，都有，(2)y ∈R yf(x)‒xf(y)=xy(x 2‒y 2)可令，可得，y =‒x ‒xf(x)‒xf(‒x)=‒x 2⋅(x 2‒x 2)=0可得，由，可得，‒x[f(x)+f(‒x)]=0x ∈R f(‒x)=‒f(x)即有为奇函数；f(x)奇函数是R 上的增函数，(3)f(x)由，即，f(x 2+1)+f(3x ‒5)<0f(1+x 2)<‒f(3x ‒5)=f(5‒3x)即有，1+x 2<5‒3x第5页，共5页解得．‒4<x <1实数x 的取值范围为．(‒4,1)【解析】可令，，计算可得所求；(1)x =1y =0f(0)可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；(2)y =‒x 由奇函数是R 上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可(3)f(x)1+x 2<5‒3x 得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运算能力，属于中档题．19.若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性f(x)(‒2,2)x 0f(x 0)=1ff(x)质M ．判断函数是否具有性质M ，说明理由；(1)y =1+x2‒x若函数具有性质M ，求实数a 的取值范围；(2)y =log a x(a >0,a ≠1)若函数具有性质M ，求实数m 的取值范围．(3)f(x)=x 2+2mx +2m +1【答案】解：函数，由，可得，(1)y =1+x2‒x1+x 2‒x=1x =12∈(‒2,2)则函数具有性质M ；y =1+x2‒x函数具有性质M ，(2)y =log a x(a >0,a ≠1)可得，即，log a x =1x =a ∈(‒2,2)可得a 的取值范围是；(0,1)∪(1,2)依题意，若函数具有性质M ，(3)f(x)=x 2+2mx +2m +1即方程在上有且只有一个实根．x 2+2mx +2m =0(‒2,2)设，即在上有且只有一个零点，ℎ(x)=x 2+2mx +2m ℎ(x)=x 2+2mx +2m (‒2,2)由得，，解得或．ℎ(‒2)⋅ℎ(2)<0(4‒2m)(6m +4)<0m <‒23m>2同时需要考虑以下三种情况：由解得；①{‒2<‒m <2△=4m 2‒8m =0m =0由解得，不等式组无解；②{‒2<‒m <0ℎ(‒2)=4‒2m =0{0<m <2m =2由解得，解得．③{0<‒m <2ℎ(2)=6m +4=0{‒2<m <0m =‒23m =‒23综上所述，若函数具有性质M ，实数m 的取值范围f(x)是或或．m ≤‒23m >2m =0【解析】解方程可得想x ，可判断是否具有性质M ；(1)y =1由题意可得，解方程可得，再由性质M 即可得到所求范围；(2)log a x =1x =a 依题意，若函数具有性质M ，即方程在上有且只(3)f(x)=x 2+2mx +2m +1x 2+2mx +2m =0(‒2,2)有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m 的.ℎ(x)=x 2+2mx +2m ℎ(x)=x 2+2mx +2m (‒2,2).取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m 的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20.已知函数．f(x)=1‒a ⋅(12)x +(14)x当时，求函数在上的值域；(1)a =3f(x)(‒∞,0)若不等式在区间上恒成立，求实数a 的取值范围．(2)|f(x)|≤3[0,+∞)【答案】解：当时，，(1)a =3f(x)=1‒3⋅(12)x +(14)x 令，则原函数化为，(12)x =ty =t 2‒3t +1，则，∵x ∈(‒∞,0)t ∈(1,+∞)当时，．∴t =32y min =94‒3×32+1=‒54函数在上的值域为；∴f(x)(‒∞,0)[‒54,+∞)由知，在区间上恒成立，(2)(1)|f(x)|≤3[0,+∞)即在上恒成立，|t 2‒at +1|≤3t ∈(0,1]令，g(t)=|t 2‒at +1|则，解得：．{g(0)=1<3g(1)=|2‒a|≤3g(a 2)=|1‒a 24|≤3‒1≤a ≤4实数a 的取值范围是．∴[‒1,4]【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；(1)a =3令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t 的不等式组求(2)g(t)=|t 2‒at +1||t 2‒at +1|≤3t ∈(0,1]解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期末考试卷带讲解

【详解】解：根据题意，若函数是，上的平均值函数，
则方程，即在内有实数根，
若函数在内有零点．
则，解得，或．
（1），．．
对称轴：．
① 时，，，（1），因此此时函数在内一定有零点．满足条件．
② 时，，由于（1），因此函数在内不可能有零点，舍去．
综上可得：实数的取值范围是，．
【详解】因为，所以；；； .
故最大.
故选：B.
【点睛】本题考查了根据实数范围比较实数大小，属于基础题.
5.“ ， ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由可解得或，即可判断.
【详解】若，则，，
即或，
则可得“ ， ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
6.下列区间包含函数零点的为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】，，
，，
，又为上单调递增连续函数
故选：C .
7.函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2.下列函数在定义域内单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；

2019-2020学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(1)

2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝．13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．2019-2020学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共40分）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，则a的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】化简集合A，利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，四个选项中，只有0∈A，故选：C．2．（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）A．y＝x2B．y＝tan x C．y＝0.5x D．y＝lgx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B，y＝tan x，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝0.5x，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；对于D，y＝lgx，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；故选：D．3．（4分）若点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵点P（4，3）在角α的终边上，则cosα＝＝，故选：A．4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的数为（）A．a B．b C．c D．d【分析】分别判断三个数的大小，进行比较即可．【解答】解：a＝log30.1＜0，b＝tan＝1，c＝2∈（0，1），d＝sin2＜1，则最大的是b＝1．故选：B．5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，可得β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】解：sinα＝cosβ⇒cos（﹣α）＝cosβ，∴β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．化为：α+β＝+2kπ，k∈Z，或β﹣α＝﹣+2kπ，k∈Z，∴“α+β＝+2kπ，k∈Z“是“sinα＝cosβ“的充分不必要条件．故选：A．6．（4分）下列区间包含函数f（x）＝x+log2x﹣5零点的为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【分析】此类选择题可以用代入计算出函数值，利用零点判定定理解决【解答】解：经计算f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+log23﹣5＝log23﹣2＜0，f（4）＝4+2﹣5＝1＞0，故函数的零点所在区间为（3，4），故选：C．7．（4分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣1，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则ln（x+1）≠0，且x+1＞0，即x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠0}，故选：A．8．（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：∵θ＝（0，），sin2θ＝，∴sinθ﹣cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：D．10．（4分）若函数f（x）的图象上存在一点A（x0，y0），满足x0+y0＝0，且x0y0≠0，称函数f（x）为“可相反函数”．在：①y＝sin x；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，为“可相反函数”的全部序号是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④【分析】根据已知条件把问题转化为函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点，结合图象即可得到结论【解答】解：由定义可得：；函数f（x）为“可相反函数”，即函数f（x）与直线y＝﹣x有交点且交点不在坐标原点．结合图象可得：只有②③④符合要求；故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）.11．（5分）已知幂函数f（x）＝x m经过点（2，），则f（）＝．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式求出m的值，求出解析式，再计算f（）的值．【解答】解：幂函数f（x）＝x m经过点（2，），即2m＝，解得m＝﹣2，所以f（x）＝x﹣2；所以f（）＝＝．故答案为：．12．（5分）已知θ为第二象限角，且sinθ＝，则sin（θ+）＝﹣．【分析】由已知结合同角平方关系可求cosθ，然后结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为θ为第二象限角，且sinθ＝，所以cos，则sin（θ+）＝cosθ＝﹣．故答案为：﹣13．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则函数f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（π•x+）．令2kπ﹣≤π•x+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z，故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．14．（5分）关于函数f（x）＝sin x与g（x）＝cos x有下面三个结论：①函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象平移得到：②函数f（x）与函数g（x）在（，π）上均单调递减；③若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|≤1．其中全部正确结论的序号为①②．【分析】根据正弦函数与余弦函数的性质逐个判断即可．【解答】解：对于①，由于f（x）＝sin x＝cos（x+），所以函数f（x）＝sin x的图象可由函数g（x）＝cos x的图象向左平移个单位得到；①正确；对于②，函数f（x）＝sin x在（，π）上为减函数，函数g（x）＝cos x在（，π）上为减函数；②正确；对于③，若直线x＝t与这两个函数的图象分别交于不同的A，B两点，则|AB|＝|sin t﹣cos t|＝|sin（t﹣）|≤．故③错误；故正确结论序号为①②；故答案为：①②．15．（5分）已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣k恰有两个不同的零点．则实数k的取值范围为（﹣1，0）∪[1，3]．【分析】题目等价于函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：条件等价于方程f（x）＝k有2个不等实根，也即函数f（x）与y＝k的图象有2个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由图象可知，﹣1＜k＜0或1≤k≤3，故k∈（﹣1，0）∪[1，3]，故答案为（﹣1，0）∪[1，3]．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”．x0是它的一个均值点，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是[0，+∞）．【分析】根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m 在（﹣1，1）内有零点．首先满足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．对称轴：x＝﹣．对m分类讨论即可得出．【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函数，则方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）内有实数根，若函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内有零点．则△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．对称轴：x＝﹣．①m≥0时，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此时函数g（x）在（﹣1，1）内一定有零点．∴m≥0满足条件．②m≤﹣4时，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函数g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）内不可能有零点，舍去．综上可得：实数m的取值范围是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（共6小题，共80分）.17．（13分）计算：（1）log64+2log63．（2）×（3）cos120°+tan135°．【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可得解．（2）利用指数的运算即可求解．（3）利用诱导公式化简根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：（1）log64+2log63＝+2＝＝＝lg6；（2）×＝2+2+2＝2＝21＝2．（3）cos120°+tan135°＝cos（180°﹣60°）+tan（180°﹣45°）＝﹣cos60°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣．18．（13分）已知＝．（1）若α为第三象限角，求cosα的值；（2）求tan（α+）的值；（3）求cos2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cosα的值．（2）由题意利用两角和的正切公式，求得所给式子的值．（3）由题意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：（1）∵已知＝＝，∴tanα＝3＝．∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，且sin2α+cos2α＝1．求得sinα＝﹣，cosα＝﹣．（2）由以上可得，tan（α+）＝＝＝﹣2．（3）cos2α＝2cos2α﹣1＝2•﹣1＝﹣．19．（13分）已知函数f（x）＝|log a x|（a＞0，a≠1）．（1）若f（2）＝，求实数a的值；（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；（3）若函数f（x）在[，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a的值．【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知log a（x1x2）＝0，由此得到x1x2＝1；（3）分析可知函数f（x）在[，3]的最大值为2，讨论即可得解．【解答】解：（1）依题意，，即或，解得a＝4或；（2）依题意，|log a x1|＝|log a x2|，又0＜x1＜x2，故log a x1+log a x2＝0，即log a（x1x2）＝0，故x1x2＝1；（3）显然当x＝1时，函数f（x）＝|log a x|取得最小值为0，则函数f（x）在[，3]的最大值为2，若，解得或；若f（3）＝|log a3|＝2，解得或；结合（2）可知，只有或满足题意．20．（13分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程：（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用已知条件求解即可．（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和对称轴求得f（x）的最小正周期和对称轴即可．（3）求出函数f（0）的值，然后求解函数在（0，π）的范围内，求出x的值等于f（0），即可得到m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝4cos x sin（x+）．f（）＝0．（2）依题意，得函数f（x）＝4cos x sin（x+）＝4cos x•（sin x+cos x）＝sin2x+2cos2x ﹣1+1＝2（sin2x+cos2x）+1＝2sin（2x+）+1．它的最小正周期为＝π．函数f（x）的图象的对称轴方程令2x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z．（3）对于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，f（0）＝4cos0sin＝2．2sin（2x+）+1＝2，可得x＝时，f（）＝2，所以0＜m≤．21．（14分）若函数f（x）的定义域为R，且存在非零实数T，使得对于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，称函数f（x）满足性质P（T）．（1）分别判断下列函数是否满足性质P（1），并说明理由；①f（x）＝sin2πx；②g（x）＝cosπx．（2）若函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），求函数f（x）的解析式；（3）若函数f（x）满足性质P（1.01）．求证：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．【分析】（1）根据P（1）的定义可知，该函数的周期为1，利用公式可分别求出它们的周期；（2）根据P（2）、P（3）的性质，合理变换x的取值，结合性质，可构造出关于f（x）的方程解出f（x）；（3）采用构造法，将P（1.01）的性质转化为，让函数值随着x后面累加1.01，绝对值逐渐缩小，再利用赋值法求得符合题意的x0．【解答】解：（1）令T＝1，则f（x+1）＝f（x），即该函数的周期为1，∵f（x）＝sin2πx的周期为＝1，故f（x）满足性质P（1），②g（x）＝cosπx的周期为＝2，故g（x）不满足性质P（1），（2）函数f（x）既满足性质P（2）．又满足性质P（3），∴f（x+2）＝2f（x），f（x+3）＝3f（x），∴f（x+3）＝f（x+1+2）＝2f（x+1）＝3f（x）①又f（x+2）＝f（x﹣1+3）＝3f（x﹣1）＝2f（x）②结合f（x+1）＝f（x﹣1+2）＝2f（x﹣1）③，联立①②③消去f（x+1）、f（x﹣1）解得f（x）＝0．（3）因为f（x+1.01）＝1.01f（x），所以f（x）＝f（x+1.01），所以f（x﹣1.01）＝，取x＝0，，，……，f（﹣n×1.01）＝，（n∈N+）易知＜0.001，且随着n的增大|f（﹣n×1.01）|的值递减．对两边取常用对数得：﹣nlg1.01+lg|f（0）|＜﹣3整理后得，取大于的整数n时，对应的x0＝﹣n×1.01满足|f（x0）|＜0.001．所以，存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．22．（14分）已知集合A为非空数集，定义A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接写出集合A+及A﹣；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求证x1+x4＝x2+x3；（3）若集A⊆{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝∅，求集合A中元素的个数的最大值．【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A ﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值．【解答】解：（1）根据题意，由A＝{﹣1，1}，则A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，所以A﹣中也只包含四个元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；（3）设A＝{a1，a2，…a k} 满足题意，其中a1＜a2＜…＜a k，则2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a k＜a2+a k＜a3+a k＜…＜a k﹣1+a k＜2a k，∴|A+|⩾2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜a k﹣a1，∴|A﹣|⩾k，∵A+∩A﹣＝∅，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|⩾3k﹣1，A+∪A﹣中最小的元素为0，最大的元素为2a k，∴|A+∪A﹣|⩾2a k+1，∴3k﹣1⩾2a k+1⩾4041（k∈N*），∴k≤1347，实际上当A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，证明如下：设A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，则A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，依题意有2020﹣m＜2m，即m＞673，故m的最小值为674，于是当m＝674时，A中元素最多，即A＝{674，675，676，…，2020}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1347．。

2017-2018学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. B. C. D.2.设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于（）A. B. C. D.3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A. B. C. D.4.为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.已知非零向量与满足=且，则△ABC为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6.同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在[，]上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A. fB. fC. fD. f8.若定义[-2018，2018]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2018，2018]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2017，且当x＞0时，有f（x）＞2017，设f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则M+m的值为（）A. 0B. 2018C. 4034D. 4036二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若θ为第四象限的角，且，则cosθ=______；sin2θ=______．10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则△ABC的面积为______．11.已知tan x=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=______12.已知α∈（0，π）且sin（α+）=，则cos（α+）=______；sinα=______13.如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则的取值范围是______．14.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=4sin x cos（x+）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16.已知不共线向量，满足||=3，||=5，（-3）•（2+）=20．（1）求•（-）；（2）是否存在实数λ，使λ+与（-2）共线？（3）若（k+2）⊥（-k），求实数k的值．17.设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sin A-cos C=cos（A-B）．（1）求B的大小；（2）求cos A+sin C的取值范围．18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．19.借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数＞Z可以将g（x）表示为，例如要表示分段函数g（x）=＜g（x）=xh（x-2）+（-x）h（2-x）．（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x h（x-1）是R上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．20.一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sin x-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g（x）=ln x（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；（3）若函数h（x）=sin x（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A．根据题意，分析可得f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便（cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．8.【答案】C【解析】解：令x1=x2=0得f（0）=2f（0）-2017，∴f（0）=2017，令x1=-x2得f（0）=f（-x2）+f（x2）-2017=2017，∴f（-x2）+f（x2）=4034，令g（x）=f（x）-2017，则g max（x）=M-2017，g min（x）=m-2017，∵g（-x）+g（x）=f（-x）+f（x）-4034=0，∴g（x）是奇函数，∴g max（x）+g min（x）=0，即M-2017+m-2017=0，∴M+m=4034．故选：C．计算f（0）=2017，构造函数g（x）=f（x）-2017，判断g（x）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】；-【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）．∴S△ABC=sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．11.【答案】【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=cos2x-sinx•（-sinx）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin（π+x）cos（+x）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】；【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin（α+）=，∴cos（α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[，]；解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．15.【答案】解：函数f（x）=4sin x（cos x cos-sin x sin）+1，=2sin x cosx-2sin2x+1，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），（1）f（）=2sin（+）=2sin=（2）周期T=；（3）由x在[0，]上，∴2x+∈[，]，当2x+=，即x=，f（x）取得最小值为-1；当2x+=，即x=，f（x）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量，满足||=3，||=5，（-3）•（2+）=20．所以：，解得：，所以：•（-）==-．（2）存在实数使λ+与（-2）共线．由于：，故：（1-2λ），所以：．（3）若（k+2）⊥（-k），则：，整理得：，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k+2）⊥（-k）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A-cos C=cos（A-B），即sin A+cos（A+B）=cos（A-B），即sin A+cos A cos B-sin A sin B=cos A cos B+sin A sin B，即sin A=2sin A sin B，∴sin B=，∴B=．（2）cos A+sin C=cos A+sin（π-A-B）=cos A+sin（-A）=cos A+sin（+A）=cos A+cos A+sin A=sin（A+）．∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），即cos A+sin C的取值范围为（，）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB的值，可得B的值．（2）化简要求的式子sin（A+），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），∴ -=（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，∴|-|=1；（2）•=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1令t=cos（θ-），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，又1≤λ≤2，≤≤1，∴t=时，f（t）有最小值--1，∴f（θ）的最小值为--1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1，令t=cos（θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0•（1-x2）=x2-2x+3；当x=1时，f（x）=2；当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．即有f（x）=，＞，，＜；（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x h（x-1）=，由y=G（x）是R上的减函数，可得＜＜＜，解得≤a＜；（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．F（x）的最小值为F（a）=a2+1；③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，在区间（-，+∞）上单调递增．所以F（x）的最小值为F（）=-a+；综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；当a≥时，F（x）的最小值为为a+；当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．【解析】（1）分当x＞1、当x=1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据S（x）的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x＞a，x=a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a≤c，b≤c，由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），即有f1（x）=x为“保三角形函数”；由6+2sin x-cos2x=sin2x+2sin x+5=（sin x+1）2+4∈[4，8]，可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f2（x）为“保三角形函数”；（2）函数g（x）=ln x（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，可得a≥M，b≥M，a+b＞c，即有a-1≥M-1；b-1≥M-1，则（a-1）（b-1）≥（M-1）2，即ab≥a+b-1+（M-1）2＞c-1+（M-1）2，只要-1+（M-1）2≥0，解得M≥2，即M的最小值为2；（3）A的最大值是．①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sin x，x∈（0，A）不是保三角形函数．②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sin a、sin b、sin c∈（，1]．由此可得sin a+sin b＞+=1≥sin c，即sin a +sin b＞sin c，同理可得sin a+sin c＞sin b，sin b+sin c＞sin a，故sin a、sin b、sin c可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a-b|＜c＜，以及y=cos x在（0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sin a+sin b=2sin cos＞2sin cos=sin c，同理可得sin a+sin c＞sin b，sin b+sin c＞sin a，故sin a、sin b、sin c可以作为一个三角形的三边长．故当A=时，h（x）=sin x，x∈（0，A）是保三角形函数，故A的最大值为．【解析】（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M的最小值；（3）A的最大值是，讨论①当A＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题(含精品解析)

2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. 40∘B. 140∘C. −130∘D. −310∘ 2. 设向量a⃗ =（0，2），b ⃗ =（√3，1），则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角等于（） A. π3B. π6C. 2π3D. 5π63. 已知角α的终边经过点P （4，-3），则sin(π2+α)的值为（）A. 35B. −35C. 45D. −454. 为了得到函数y =cos （2x -π3）的图象，只需将函数y =cos2x 的图象（）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为（） A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6. 同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在[π6，π3]上是增函数”的一个函数是（）A. y =sin(x 2−π3) B. y =cos(2x +π6) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(2x +2π3)7. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（） A. f (sinα)>f (cos β) B. f (sinα)<f (cos β) C. f (sin α)>f (sin β) D. f (cosα)<f (cos β)8. 若定义[-2018，2018]上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈[-2018，2018]有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2017，且当x ＞0时，有f （x ）＞2017，设f （x ）的最大值、最小值分别为M ，m ，则M +m 的值为（） A. 0 B. 2018 C. 4034 D. 4036 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若θ为第四象限的角，且sinθ=−13，则cosθ=______；sin2θ=______．10. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =√3，A +C =2B ，则△ABC的面积为______． 11. 已知tan x =2，则cos2x +sin （π+x ）cos （π2+x ）=______12. 已知α∈（0，π）且sin （α+π6）=13，则cos （α+π6）=______；sinα=______ 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =3，BC =DC =2，若E ，F分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 14. 已知函数f （x ）=2sin2x -2sin 2x -a ．①若f （x ）=0在x ∈R 上有解，则a 的取值范围是______；②若x 1，x 2是函数y =f （x ）在[0，π2]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）=______ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f （x ）=4sin x cos （x +π6）+1．（1）求f （π12）的值；（2）求f （x ）的最小正周期；（3）求f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．16. 已知不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．（1）求a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）；（2）是否存在实数λ，使λa ⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线？（3）若（k a⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），求实数k 的值．17. 设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin A -cos C =cos （A -B ）．（1）求B 的大小；（2）求cos A +sin C 的取值范围．18. 已知向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）．（1）若|θ−β|=π3，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；（2）若θ+β=π3记f （θ）=a ⃗ ⋅b ⃗ −λ|a ⃗ +b ⃗ |，θ∈[0，π2]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．19. 借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数ℎ(x)={0(x <0)1(x≥0)，例如要表示分段函数g （x ）={x(x ＞2)0(x =2)−x(x ＜2)Z 可以将g （x ）表示为g （x ）=xh （x -2）+（-x ）h （2-x ）．（1）设f （x ）=（x 2-2x +3）h （x -1）+（1-x 2）h （1-x ），请把函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）已知G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）是R 上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），求函数F （x ）的最小值．20. 一个函数f （x ），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f （x ）的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称f （x ）为“保三角形函数”．（1）判断f 1（x ）=x ，f 2（x ）=log 2（6+2sin x -cos 2x ）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，求M 的最小值；（3）若函数h （x ）=sin x （x ∈（0，A ））是“保三角形函数”，求A 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A ．根据题意，分析可得f （-x ）=f （x+2），即函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sinα）＞f （cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性． 8.【答案】C【解析】解：令x 1=x 2=0得f （0）=2f （0）-2017，∴f （0）=2017，令x 1=-x 2得f （0）=f （-x 2）+f （x 2）-2017=2017， ∴f （-x 2）+f （x 2）=4034，令g （x ）=f （x ）-2017，则g max （x ）=M-2017，g min （x ）=m-2017， ∵g （-x ）+g （x ）=f （-x ）+f （x ）-4034=0， ∴g （x ）是奇函数，∴g max （x ）+g min （x ）=0，即M-2017+m-2017=0， ∴M+m=4034．故选：C ．计算f （0）=2017，构造函数g （x ）=f （x ）-2017，判断g （x ）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】2√23；-4√29【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】√32【解析】解：∵A+C=2B ，A+B+C=π， ∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）． ∴S △ABC =sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B ，使用余弦定理解出c ，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题． 11.【答案】15【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）=cos2x-sinx•（-sinx ）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】−2√23；√3+2√26【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin （α+）=，∴cos （α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin （）cos-cos （）sin==．故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[−1−√5，√5−1]；2√55【解析】解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题． 15.【答案】解：函数f （x ）=4sin x （cos x cos π6-sin x sin π6）+1，=2√3sin x cosx-2sin 2x +1，=√3sin2x +cos2x ，=2sin （2x +π6），（1）f （π12）=2sin （2×π12+π6）=2sin π3=√3（2）周期T =2π2=π；（3）由x 在[0，π2]上，∴2x +π6∈[π6，7π6]，当2x +π6=7π6，即x =π2，f （x ）取得最小值为-1；当2x +π6=π2，即x =π6，f （x ）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简为f （x ）=2sin （2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x 在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．所以：2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=20，解得：a⃗ ⋅b ⃗ =775，所以：a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =9−775=-325．（2）存在实数λ=12使λa⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线．由于：λa ⃗ +b ⃗ =λ(a ⃗ −2b ⃗ )，故：（1-2λ）b ⃗ =0⃗ ，所以：λ=12．（3）若（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），则：18k −775k 2+2⋅775−50k =0，整理得：k 2+16077k +2=0，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A -cos C =cos （A -B ），即sin A +cos （A +B ）=cos （A -B ），即sin A +cos A cos B -sin A sin B =cos A cos B +sin A sin B ，即sin A =2sin A sin B ，∴sin B =12，∴B =π6．（2）cos A +sin C =cos A +sin （π-A -B ）=cos A +sin （5π6-A ）=cos A +sin （π6+A ）=cos A +12cos A +√32sin A =√3sin （A +π3）． ∵B =π6，∴A ∈（π3，π2），A +π3∈（2π3，5π6），∴sin （A +π3）∈（12，√32），∴√3sin （A +π3）∈（√32，32），即cos A +sin C 的取值范围为（√32，32）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB 的值，可得B 的值．（2）化简要求的式子sin （A+），根据A ∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC 的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）， ∴a ⃗ -b ⃗ =（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|a ⃗ -b ⃗ |2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos （θ-β）=2-2cos π3=2-1=1，∴|a ⃗ -b ⃗ |=1；（2）a ⃗ •b ⃗ =cosθcosβ+sinθsinβ=cos （θ-β）=cos （2θ-π3），∴|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos(θ−β)=2|cos （θ-π6）|=2cos （θ-π6），∴f （θ）=cos （2θ-π3）-2λcos （θ-π6）=2cos 2（θ-π3）-2λcos （θ-π6）-1令t =cos （θ-π6），则t ∈[12，1]，∴f （t ）=2t 2-2λt -1=2（t -λ2）2-λ24-1，又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴t =λ2时，f （t ）有最小值-λ24-1， ∴f （θ）的最小值为-λ24-1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f （θ）=2cos 2（θ-）-2λcos （θ-）-1，令t=cos （θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x ＞1时，x -1＞0，1-x ＜0，可得f （x ）=（x 2-2x +3）+0•（1-x 2）=x 2-2x +3；当x =1时，f （x ）=2；当x ＜1时，x -1＜0，1-x ＞0，可得f （x ）=1-x 2．即有f （x ）={x 2−2x +3，x ＞12，x =11−x 2，x ＜1；（2）G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）={log ax,x >1(3a−1)x+4a,x≤1，由y =G （x ）是R 上的减函数，可得{3a −1＜03a −1+4a ≥00＜a ＜1，解得17≤a ＜13；（3）F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），当x ＞a 时，x -a ＞0，可得F （x ）=x 2+x -a +1；若a ≥-12，可得F （x ）在x ＞a 递增，可得F （x ）＞F （a ）=a 2+1；若a ＜-12，可得F （x ）的最小值为F （-12）=34-a ；当x =a 时，可得F （x ）=2（a 2+1）；当x ＜a 时，x -a ＜0，a -x ＞0，则F （x ）=x 2-x +a +1．若a ≥12，可得F （x ）在x ＜a 的最小值为F （12）=a +34；若a ＜12，可得F （x ）在x ＜a 递减，即有F （x ）＞F （a ）=a 2+1．①当a ≥12时，F （x ）在区间（-∞，-12）上单调递减，在区间（-12，a ）上单调递增，在区间（a ，+∞）上单调递增，可得F （-12）为最小值，且为14-12+a +1=a +34；②当-12＜a ＜12时，F （x ）在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，+∞）上单调递增．F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1；③当a ≤-12时，在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，-12）上单调递减，在区间（-12，+∞）上单调递增．所以F （x ）的最小值为F （12）=-a +34；综上所述，得当a ≤-12时，F （x ）的最小值为-a +34；当a ≥12时，F （x ）的最小值为为a +34；当-12＜a ＜12时，F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1．【解析】（1）分当x ＞1、当x=1和当x ＜1时3种情况加以讨论，分别根据S （x ）的对应法则代入，可得f （x ）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G （x ），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x ＞a ，x=a ，x ＜a ，求得F （x ）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a ＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x ）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a ≤c ，b ≤c ，由a +b ＞c ，可得f 1（a ）+f 1（b ）＞f 1（c ），即有f 1（x ）=x 为“保三角形函数”；由6+2sin x -cos 2x =sin 2x +2sin x +5=（sin x +1）2+4∈[4，8]，可得f 2（x ）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f 2（x ）为“保三角形函数”；（2）函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，可得a ≥M ，b ≥M ，a +b ＞c ，即有a -1≥M -1；b -1≥M -1，则（a -1）（b -1）≥（M -1）2，即ab ≥a +b -1+（M -1）2＞c -1+（M -1）2，只要-1+（M -1）2≥0，解得M ≥2，即M 的最小值为2；（3）A 的最大值是5π6．①当A ＞5π6时，取a =5π6=b ，c =π2，显然这3个数属于区间（0，A ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值12、12、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）不是保三角形函数．②当A =5π6时，对于任意的三角形的三边长a 、b 、c ∈（0，5π6），若a +b +c ≥2π，则a ≥2π-b -c ＞2π-5π6-5π6=π3，即a ＞π3，同理可得b ＞π3，c ＞π3，∴a 、b 、c ∈（π3，5π6），∴sin a 、sin b 、sin c ∈（12，1]．由此可得sin a +sin b ＞12+12=1≥sin c ，即sin a +sin b ＞sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．若a +b +c ＜2π，则a+b 2+c 2＜π，当a+b 2≤π2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2≤π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b 2≤1．当a+b 2＞c 2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2＜π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b2＜1．综上可得，0＜sin c 2＜sina+b2≤1．再由|a -b |＜c ＜5π6，以及y =cos x 在（ 0，π）上是减函数，可得cos a−b2=cos |a−b|2＞cos c 2＞cos 5π12＞0，∴sin a +sin b =2sin a+b2cos a−b2＞2sin c 2cos c2=sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．故当A =5π6时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）是保三角形函数，故A 的最大值为5π6．【解析】（1）不妨设a≤c ，b≤c ，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M 的最小值；（3）A 的最大值是，讨论①当A ＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。

北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试题(含精品解析)

北京师大附中2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷（AP）本试卷第一部分有三道大题,考试:120分钟，满分100分.第一部分:中文卷(80分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据终边相同的角正弦值相等，将的正弦化成的正弦，，即可求出结果.详解：由诱导公式可得，，，故选A.点睛：本题着重考查了终边相同的角、诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，属于简单题.2.下列区间中，使函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解:因为使函数为增函数，则结合正弦函数图像可知，选C3.下列函数中，最小正周期为的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用周期公式T，求解C选项，利用周期公式T，求解A、B、D选项，即可作出判断．【详解】A、，∵ω＝1，∴2π，本选项不满足题意；B、，∵ω＝2，∴T=π，本选项不满足题意；C、y＝tan，∵ω，∴T2π，本选项不满足题意；D、，∵ω，∴T，本选项满足题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有正切函数及正余弦函数的周期，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4.如果，，那么等于（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知先求得再根据的范围开方取舍，即可求值．【详解】∵，可解得：．又，∴∴故选：A．【点睛】本题主要考查了同角基本关系式中的平方关系，其中开方注意正负的取舍，属于基础题．5.若直线是函数图象的一条对称轴，则a的值可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题，对称轴方程为：则当考点：三角函数的性质（对称性）.6.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由，解得，从而可得结果.【详解】设将函数的图象平移个单位后，得到函数的图象，则，解得，函数的图象向左平移动个单位长度，可得到函数的图象，故选B.【点睛】本题考查的知识点是函数的图象变换，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.7.的值是（）A. 1B. 2C. 0D.【答案】B【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，即可得到结果．【详解】原式．故选B.【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8.的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵余弦函数在上单调递减，又，故选A.9.设，则a，b，c之间的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调增，因为，则，综上所述选A．考点：1.对数函数;2.幂函数的单调性10.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由图知A＝2，，可求得ω＝2，再由ω+＝2kπ（k∈Z）即可求得，从而可得此函数的解析式．【详解】由图知A＝2，，∴T＝π，∴ω2．又ω+＝2kπ（k∈Z），∴＝2kπ2＝2kπ（k∈Z），∴函数的解析式是y＝2sin（2x+2kπ）＝2sin（2x）．故选：B．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，确定的值是关键，也是难点，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2018-2019学年北京市清华附中高一(上)期中数学试卷(含解析)

2018-2019学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集，集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：集合，，，，故选：B．求出集合A的补集，从而求出其和B的交集即可．不同考查了集合的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，不同是一道基础题．2. 命题“，使得”的否定是A. ，都有B. ，使得C. ，都有D. ，使得【答案】C【解析】解：命题是特称命题，则否命题的否定是：，都有，故选：C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3. 下列函数中，既是奇函数又在R单调递减的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为反比例函数，其定义域为，不符合题意；对于B，，不是奇函数，不符合题意；对于C，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，，既是奇函数又在R单调递减，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4. 已知，，，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，可得．故选：C．利用对数性质，判断三个数的范围，即可得到结果．本题考查对数值的大小比较，是基础题．5. “”是““的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“”““，反之不成立．“”是““的充分不必要条件．故选：A．由“”可得““，反之不成立即可判断出关系．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数，在单调递增．，，根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是，故选：C．根据函数，在单调递增，，，可判断分析．本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．7. 要得到的图象，只需将函数的图象A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】A【解析】解：，故将函数的图象向上平移1个单位，即可得到，故选：A．利用对数的运算性质，可得，结合函数图象平移变换法则，可得答案．本题考查的知识点是函数图象的平移变换，对数的运算性质，难度中档．8. 函数，的图象为A.B.C.D.第1页，共4页【答案】C【解析】解：，的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，的图象可看成把的图象在y轴的右铡的不变，再将右侧的图象作关于y轴的图象得到的，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，故选：C．先考查的图象特征，的图象可看成把的图象向右平移个单位得到的，即可得到的图象特征．本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）9. 函数的定义域是______．【答案】【解析】解：由，解得．函数的定义域是．故答案为：．由对数式的真数大于0，分式中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解即可．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．10. 若为R上的奇函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：为R上的奇函数，则，即有，，当时，，，则．故答案为：．运用奇函数的定义，已知解析式，可得，，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．11. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：，函数是偶函数，，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即，或，解得，即实数a的取值范围，故答案为：由，可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当时函数有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．12. 已知函数，若，则x的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，故函数在上单调递增，在上单调递增，由于，且，则有，由，可得，，不等式在成立，则的解集为．故答案为：．由题意可得函数在上单调递增，在上单调递增，由，可得，，，由此求得x的范围．本题考查分段函数的应用：解不等式，函数的单调性的应用，属于中档题．13. 函数的值域是______注：其中表示不超过x的最大整数【答案】【解析】解：根据高斯函数的性质，，那么：，则由，函数的值域为．故答案为根据高斯函数的性质，，，结合不等式的性质即可求解；本题考查了表示不超过x的最大整数新定义的应用，其实是高斯函数的性质应用属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共85.0分）14. 已知，，则______．【答案】【解析】解：，，即解得，，故答案为：根据指数函数和对数函数的定义计算即可．本题主要考查了指数函数和对数函数的运算，属于基础题．15. 已知集合，．若，求；若集合中至少存在一个整数，求实数a的取值范围．【答案】解：时，集合，．．集合，．集合中至少存在一个整数，，或，解得．实数a的取值范围是．【解析】时，集合，，由此能求出．集合，由集合中至少存在一个整数，得，由此能求出实数a的取值范围．本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知函数若，求的值；若函数在区间的最大值与最小值的差为，求实数a的值．【答案】解：，可得，两边平方可得，即有；当时，在递增，可得，解得；当时，在递减，可得，解得．综上可得或．【解析】由题意可得，两边平方即可得到所求值：讨论和，运用指数函数的单调性，可得a的方程，解方程即可得到所求值．本题考查指数函数的单调性和运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知函数，，若在区间上有最大值5，最小值2．求a，b的值；若，在上为单调函数，求实数m的取值范围．【答案】解：由于函数，，对称轴为，当时，函数在区间上单调递增，由题意可得，解得．当时，函数在区间上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．若，则由可得，，再由函数在上为单调函数，可得，或，解得，或，故m的范围为．【解析】由于函数，，对称轴为，分当时、当时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．由题意可得可得，，根据条件可得，或，由此求得m的范围．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18. 设函数是R上的增函数，对任意x，，都有求；求证：是奇函数；若，求实数x的取值范围．【答案】解：对任意x，，都有，可令，，可得，即；证明：由任意x，，都有，可令，可得，可得，由，可得，即有为奇函数；奇函数是R上的增函数，由，即，即有，解得．实数x的取值范围为．【解析】可令，，计算可得所求；可令，结婚酒函数的奇偶性的定义，即可得证；由奇函数是R上的增函数，将已知不等式移项，可得，由二次不等式的解法，即可得到所求范围．本题考查抽象函数的奇偶性的判断和运用，考查不等式的解法，注意运用函数的单调性和奇偶性，考查运第3页，共4页算能力，属于中档题．19. 若函数满足：在区间内有且仅有一个实数，使得成立，则称函数具有性质M．判断函数是否具有性质M，说明理由；若函数具有性质M，求实数a的取值范围；若函数具有性质M，求实数m的取值范围．【答案】解：函数，由，可得，则函数具有性质M；函数具有性质M，可得，即，可得a的取值范围是；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点，由得，，解得或．同时需要考虑以下三种情况：由解得；由解得，不等式组无解；由解得，解得．综上所述，若函数具有性质M，实数m的取值范围是或或．【解析】解方程可得想x，可判断是否具有性质M；由题意可得，解方程可得，再由性质M即可得到所求范围；依题意，若函数具有性质M，即方程在上有且只有一个实根设，即在上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理和二次函数的图象，即可得到m的范围．本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20. 已知函数．当时，求函数在上的值域；若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，令，则原函数化为，，则，当时，．函数在上的值域为；由知，在区间上恒成立，即在上恒成立，令，则，解得：．实数a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，利用换元法结合二次函数求最值；令，把问题转化为在上恒成立，得到关于t的不等式组求解．本题考查函数值域的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了换元法，体现了数学转化思想方法的应用，是中档题．。

北京市2018年高一上学期期末考试数学试卷

北京市2018年高一上学期期末考试数学试卷【三角函数与平面向量】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知sinα<0，且tanα>O，则α的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 函数f(x)=sin2x的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 4π3. 如果向量a=(1，2)，b=(3，4)，那么2a-b=( )A. （-1,0)B. （-1,-2)C. (1,O)D. (1,-2)4. 计算sin（π-α）+ sin（π+α）=( )A. 0B. 1C. 2sinαD. -2sinα5. 如图，在矩形ABCD中，=( )A. B.C. D.6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=，则向量a，b的夹角为( )A. B. C. D.7. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=( )A. -1B. 0C.D. 18. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=( )A. 3B.C. D. 110. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P 在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A. [-1，0]B. [ ，0]C. [ ，]D. [，0]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上.11. =_____________.12. 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，若a∥b，则实数x=____________．13. 角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（-1，2），则tanθ=___________．14. 函数f(x)=sinx+cosx的最大值为____________．15. 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________．16. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)在区间（，0）上是增函数；③函数f(x)的最小正周期是2π;④函数f(x)的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知αa∈（，π），且cosα=.(I)求tanα的值；(Ⅱ)求的值．18. 已知函数．(I)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．19. 如图，已知AB⊥BC，AB=BC=a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，∥（且与同向），设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．(I)当a= ，且θ=时，求的值；(Ⅱ)用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．B卷【学期综合】四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20. 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(u B)=_____________.21. 函数___________________．23. sin2, , 三个数中最大的是____________.24. 某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为________________折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为___________________折（保留一位小数）．五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数是偶函数．(I)求a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.26. 设a为实数，函数，x∈R．(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．27. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）北京市2018年高一上学期期末考试数学试卷【三角函数与平面向量】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知sinα<0，且tanα>O，则α的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】＜，的终边在第三、第四象限或在轴负半轴上，＞，的终边在第一或第三象限，由此可得的终边所在的象限是第三象限角．故选C．2. 函数f(x)=sin2x的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 4π【答案】B【解析】函数的最小正周期 .故选B3. 如果向量a=(1，2)，b=(3，4)，那么2a-b=( )A. （-1,0)B. （-1,-2)C. (1,O)D. (1,-2)【答案】A【解析】（，）（，）（，）．故选A．4. 计算sin（π-α）+ sin（π+α）=( )A. 0B. 1C. 2sinαD. -2sinα【答案】A【解析】由诱导公式，（）（）故选A.5. 如图，在矩形ABCD中，=( )A. B.C. D.【答案】B故选B.6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=，则向量a，b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由向量的夹角公式可得故选D7. 已知m是函数f(x)=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f(m)=( )A. -1B. 0C.D. 1【答案】B【解析】函数（），其对称中心的横坐标：，．当时，可得，则（），故选B．8. 要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】试题分析：，因此只需将函数y = sin2x的图象向左平移个单位考点：三角函数图像平移9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=( )A. 3B.C. D. 1【答案】B【解析】由题意函数（）（＞），周期，由图像可知（，），（，）．连接，过，作轴的垂线，可得：，，，由题意，是直角三角形，，即，解得： .故选B10. 已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB =1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P 在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是( )A. [-1，0]B. [ ，0]C. [ ，]D. [，0]【答案】D【解析】如图，由，，可得，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则（，），（，），直线方程为，则直线AM方程为，联立，解得：（，），由图可知，当在线段上时，有最大值为0，当在线段上时，有最小值，设（，）（），（，）（，）．∴的范围是[，0]故选D．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上.11. =_____________.【答案】【解析】即答案为.12. 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，若a∥b，则实数x=____________．【答案】-1【解析】由（，），（，），且，得（），解得．即答案为：-1．13. 角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（-1，2），则tanθ=___________．【答案】-2【解析】∵角的始边与轴正半轴重合，终边上一点坐标为（，），∴x=-1，y=2，则，即答案为：-2．14. 函数f(x)=sinx+cosx的最大值为____________．【答案】【解析】，故的最大值为. 即答案为15. 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________．【答案】(1). (3,-2)(2). (1,3)【解析】根据题意，设的坐标为（，），又由点（，），（，），则（，），（，），若，则有（，）（，），则有（），，解可得，，则的坐标为（，），又由（，），则（，），（，），若是钝角，则（）（）（）（）＜，且（）（）（）（），解可得＜＜，即的取值范围为（，）；即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．16. 已知函数f(x)=sinxtanx.给出下列结论：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)在区间（，0）上是增函数；③函数f(x)的最小正周期是2π;④函数f(x)的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是_______________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】对于（），其定义域为，，关于原点对称，且（）（）（），∴函数（）是偶函数，故①正确；当时，（）（）（），当时，（）（）（），＜，而（）＞（），故②错误；（）（）（），∴函数（）的最小正周期是，故③正确；（）（）（），（）（）（），（）（），即函数（）的图象关于直线对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．即答案为①③④．三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知αa∈（，π），且cosα=.(I)求tanα的值；(Ⅱ)求的值．【答案】(I). (II) -7.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得的值．（Ⅱ）由题意利用二倍角公式求得的值．试题解析：(I)因为，，所以所以.(II)由(I) ，，所以.所以.18. 已知函数．(I)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象；(Ⅱ)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(Ⅲ)写出f(x)的单调递增区间．【答案】(I)见解析；（II）见解析（III）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列表、描点、连线法画出（）在一个周期上的图象；（Ⅱ）利用正弦函数的性质求出（）在上的最大、最小值；（Ⅲ）根据函数的图象写出（）的单调递增区间．试题解析：(I)f(x)在上的图象如图所示．（II）.因为，所以，当，即时，最大值等于1，即的最大值等于1；当，即时，最小值等于，即的最小值等于.所以在区间上的最大值为1，最小值为.（III）函数的单调递增区间为.19. 如图，已知AB⊥BC，AB=BC=a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，∥（且与同向），设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．(I)当a= ，且θ=时，求的值；(Ⅱ)用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．【答案】（I）. （II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）建立平面直角坐标系，根据向量的数量积公式计算即可，（Ⅱ）设，，（，），，，利用坐标计算得到关于的三角函数，利用三角函数的性质求出最值．试题解析：（I）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.则，.（II），因为，所以，以a为变量的二次函数的对称轴.因为，所以当时，的最小值为，又，所以的最小值为，此时.所以，当，时，的最小值为.B卷【学期综合】四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．20. 设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(u B)=_____________.【答案】【解析】＞，，则（），即答案为．21. 函数的定义域为___________________．【答案】【解析】由，得，即．∴函数的定义域为. 即答案为．【答案】(1). 4(2).【解析】由题，则若（），若＞，可得，解得（舍去）；若＜，可得，解得，综上可得．即答案为(1). 4(2).23. sin2, , 三个数中最大的是____________.【答案】【解析】（，），＜，＞，可得其中最大值为．即答案为.24. 某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为________________折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为___________________折（保留一位小数）．【答案】(1). 7.5(2). 6.7【解析】由，故，由，故打折，显然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3件商品均为元，则，故商品实际折扣力度最大约为折，即答案为(1). 7.5 (2). 6.7五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25. 已知函数是偶函数．(I)求a的值；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.【答案】（I）. （II）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数的单调性的定义证明即可．试题解析：（I）函数的定义域为.由得.所以.因为对于定义域中任意的x都成立，所以.（II）函数在区间上是减函数证明：在上任取，，且，则，由，的，，，于是，即.所以函数在区间上是减函数.26. 设a为实数，函数，x∈R．(I)当a=0时，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值．【答案】（I）见解析;（II）当时，的最小值为；当时，的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）根据时，在，上，取绝对值，根据二次函数的单调性即可求解在区间，上的最大值和最小值；（Ⅱ）利用零点分段去绝对值，根据对称轴分情况讨论即可求函数（）的最小值试题解析：（I）当，时，函数，因为的图象抛物线开口向上，对称轴为，所以，当时，值最小，最小值为；当时，值最大，最大值为3.（II）①当时，函数.若，则在上单调递减，在上的最小值为；若，则函数在上的最小值为；②当时，.若，则在上的最小值为；若，则在上单调递增，.所以，当时，，的最小值为.当时，，的最小值为.当时，的最小值为与中小者.所以，当时，的最小值为；当时，的最小值为.综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为【点睛】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．27. 若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III）（注：答案不唯一）【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数＝与（）（）是否是“T函数”即可；（Ⅱ）设，，），＞，，＞．（）（）（）（）（）（），所以，对于，，），＜，一定有（）（）．即可证明;（Ⅲ）根据（），且使集合（），中元素的个数最少，以及新定义即可确定．试题解析：（I）对于函数，当时，都有，，又，所以.所以是“T函数”.对于函数，当时，，，因为，所以.所以不是“T函数”.(II)设，，.则所以，对于，，一定有.因为是“T函数”，，所以.若，则，不符合题意.若，则，不符合题意.所以.（III）（注：答案不唯一）。

易错汇总2017-2018年北京市清华附中高一上学期数学期末试卷带答案

，则△ ABC的面积为
．
【解答】解：∵ A+C=2B，A+B+C=π， ∴ B= ，
由余弦定理得 cosB= 解得 c=2 或 c=﹣ 1（舍）． ∴ S△ABC= sinB=
=
=，
=．
故答案为：．
11．（ 5 分）已知 tanx=2，则 cos2x+sin（π+x）cos（ +x） =
【解答】解：∵ tanx=2，则 cos2x+sin（π+x） cos（ +x）
17．（13 分）设锐角三角形的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 sinA﹣ cosC=cos （A﹣B）．
（ 1）求 B 的大小；（ 2）求 cosA+sinC的取值范围．
18．（ 13 分）已知向量 =（cos θ， sin θ）， =（ cos β，sin β）．
（ 1）若
，求
设 f（x）的最大值、最小值分别为 M ，m，则 M +m 的值为（）
A．0
B．2018
C．4034
D．4036
【解答】解：令 x1=x2=0 得 f（ 0）=2f（0）﹣ 2017，∴ f（ 0） =2017，令 x1=﹣x2 得 f（ 0）=f（﹣ x2）+f （x2）﹣ 2017=2017， ∴ f（﹣ x2）+f（x2） =4034，令 g（x） =f（x）﹣ 2017，则 gmax（x）=M﹣2017，gmin（ x）=m﹣2017， ∵ g（﹣ x） +g（x）=f（﹣ x） +f （x）﹣ 4034=0， ∴ g（ x）是奇函数， ∴ gmax（x）+gmin（x） =0，即 M﹣2017+m﹣2017=0， ∴ M+m=4034．故选： C．

2018北京清华附中高一(上)期中数学

2018北京清华附中高一（上）期中数学一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集，R U =集合{}{}，＜，＞1|0|x x B x x A ==则集合()=B A C U A.()0，∞- B.(]0，∞- C.()∞+，1 D.[)∞+，12.设命题，＜，1:2x R x p ∈∃则p ⌝为A.12＜，x R x ∈∀ B.12≥∈∃x R x ， C.12≥∈∀x R x ， D.12=∈∃x R x ， 3.下列函数中,既是奇函数又在R 单调递减的是() A.xy 1= B.x e y -= C.x y ln = D.x x y -= 4.已知，，，2log 2log 3log 5.032===c b a 那么A.c b a ＜＜B.b c a ＜＜C.a c b ＜＜D.b a c ＜＜5.“b a ＞”是“b a ＞“的(A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()x x x f 2log 12+-=的零点所在的一个区间是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛4181， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛121， D.()21， 7.要得到()()x x g 2log 2=的图像,只需将函数()x x f 2log =的图像A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位8.函数()0110＜＜，＜＜b a a y b x -=+的图像为()A B C D二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.函数()xx y -+-=211ln 的定义域是__________. 10.已知，，a x a ==lg 24则=x ________.11.若()x f 为R 上的奇函数,当0＜x 时,()()，x x f -=2log 2则()()=+20f f _______.12.已知函数()x f 对于任意R x ∈满足f ()()，x f x f =-且当0≥x 时，()，12+-=ax x x f 若()x f 恰有4个零点,则实数a 的取值范围是_________.13.已知函数()，＞，，⎩⎨⎧≤+=1log 112x x x x x f 若()()，＞1+x f x f 则x 的取值范围是_________. 14.函数()[][]x x x f 33-=的值域是________.(注:其中[]x 表示不超过x 的最大整数)三、解答题(共6小题,19、20题每题14分，其余每题13分,共80分)15.已知集合{}{}.056|012|22＜，+-=≤+-=x x x B ax x x A(1)若，8=a 求；B A(2)若集合B A 中至少存在一个整数,求实数a 的取值范围。

2017-2018学年北大附中高一(上)期末数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北大附中高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，2.从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A. 1 000名学生是总体B. 每个被抽查的学生是个体C. 抽查的125名学生的体重是一个样本D. 抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A.B. 0C. 1D. 34.一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A. 抽签法B. 分层抽样法C. 随机数表法D. 系统抽样法5.下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A. 某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B. 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C. 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D. 从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本6.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A. 42名B. 38名C. 40名D. 120名7.当x=5，y=-20时，下面程序运行后输出的结果为（）A. 22，B. 22，22C. 12，D. ，128.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A. 2B. 4C. 8D. 1610.读程序，当输出的值y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是（）A.B.C.D.11.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A. 3B. 9C. 17D. 5112.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.给出一个算法：根据以上算法，可求得f（-1）+f（2）=______．14.把89化为五进制数为______．15.某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为______．（填序号）16.执行下边的程序框图，输出的T=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．18.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为调查，应当怎样进行抽样？19.画出计算12+32+52+…+9992的程序框图，并编写相应的程序．20.某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．21.已知函数f（x）=，，＜编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值，画出程序框图并编写相应的程序计算．22.如图所示，利用所学过的算法语句编写相应的程序．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由算法规则引入中间变量c，语句如下c=aa=bb=c故选D交换两个数的赋值必须引入一个中间变量，其功能是暂时储存的功能，根据赋值规则即可得到答案．本题考查赋值语句，解题关键是理解赋值语句的作用，格式．2.【答案】C【解析】解：从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，在A中，1000名学生的体重是总体，故A错误；在B中，每个被抽查的学生的体重是个体，故B错误；在C中，抽查的125名学生的体重是一个样本，故C正确；在D中，125是样本容量，故D错误．故选：C．利用总体、个体、样本、样本容量的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查总体、个体、样本、样本容量的定义等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】B【解析】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．4.【答案】D【解析】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选D．当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题考查系统抽样，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．5.【答案】C【解析】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在所给的四个抽样中，从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，它们都是一个简单随机抽样；对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，这是一个最适宜用系统抽样法的．故选C．根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．本题考查系统抽样方法，考查四个抽样方法哪一个是系统抽样，主要观察个体得到的方法是不是符合系统抽样．本题是一个基础题．6.【答案】C【解析】解：∵C专业的学生有1200-380-420=400，由分层抽样原理，应抽取120×=40名．故选C．根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．7.【答案】A【解析】解：由题意，该程序运算的原理是若x＜0，则用y-3的值赋给x；否则，即当x≥0时，则用y+3的值赋给y最后将算出的x-y，y-x的值输出．由此，可得∵x=5＞0，∴y+3=-20+3=-17，赋值给y后得y=-17因此，x-y=5+17=22，y-x=-17-5=-22．故选：A．根据题中所给的条件语句，可得当x=5时，因为不满足x＜0，所以执行ELSE 后的语句y=y+3，可得输出的y值为-20+3=-17，由此可得出最后输出的值．本题给出伪代码语段，要我们计算输出的x-y值，着重考查了条件语句的理解和伪代码程序的逻辑处理等知识，属于基础题．8.【答案】A【解析】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．9.【答案】C【解析】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：故S=2时，输出n=8．故选C根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由图可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．当x≤0时，输出值y＞1时，2-x-1＞1，得x＜-1，当x＞0时，＞1，可得x＞1，综上所述，输入值x的取值范围是x＜-1或x＞1，即输入的x值的取值范围是：（-∞，-1）（1，+∞）．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．分类讨论即可得解．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11.【答案】D【解析】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．12.【答案】C【解析】解：当x≤2时，x2=x，有x=0或x=1；当2＜x≤5时，2x-3=x，有x=3；当x＞5时，x=，x无解．故可知这样的x值有3个．故选：C．由程序框图可确定此程序框图的算法功能为求分段函数的值，在各段中令y=x解方程即可．本题考查条件结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，属于基础题．13.【答案】0【解析】解；由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=的值，当x=-1时，满足x≤0，可得f（-1）=-4，当x=2时，满足x＞0，可得f（2）=4，∴f（-1）+f（2）=-4+4=0．∴输出的f（x）值为0．故答案为：0．由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=的值，即可计算得解．本题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由已知中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．14.【答案】324【解析】解：89÷5=17+4，余数是4，17÷5=3+2，余数是2，3÷5=0+3，余数是3．=324（5）故89（10）故答案为：324．利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以5，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题主要考查是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．比较基础．15.【答案】①④【解析】解：先考虑那种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分成三层，一年级抽4个人，二三年级个抽3个人，也即1到108号抽4个，109到189号抽3个，190到270号抽3个，可判断①②④是分层抽样，在判断①②④中那几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均与的10部分，每部分按事先约定好的方法抽取1个，则②为系统抽样．故答案为：①④．利用分层抽样和系统抽样的性质直接求解．本题考查分层抽样和系统抽样方法的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、系统抽样的性质的合理运用．16.【答案】30【解析】解：根据程序框图，运行如下：S=0 N=0 T=0S=5 N=2 T=2S=10 N=4 T=6S=15 N=6 T=12S=20 N=8 T=20S=25 N=10 T=30此时T＞S，故输出T=30．故答案为：30．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．17.【答案】解：辗转相除法：470=1×282+188，282=1×188+94，188=2×94，∴282与470的最大公约数为94．更相减损术：470-282=188，282-188=94，188-94=94．∴470与282的最大公约数为94．【解析】分别用辗转相除法和更相减损术即可得出．本题考查了用辗转相除法和更相减损术求最大公约数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：可用分层抽样方法，其总体容量为12000，“很喜爱”占，应取（人），“喜爱”占，应取（人），“一般”占，应取（人），“不喜爱”占，应取（人），因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．【解析】可用分层抽样方法，其总体容量为12000，采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．本题考查抽样方法的选择及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．19.【答案】解：程序框图如下图：程序如下：S═0i=1WHILEi＜=999s=s+i2i=i+2WENDPRINT SEND（l2分）【解析】这是一个累加求和问题，共999项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．本题主要考查设计程序框图解决实际问题．在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构．循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断．在循环结构中都有一个计数变量和累加变量．计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次，属于基础题．20.【答案】解：因为系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且是6的约数，即n是的倍数，或n=6，12，18，n+1是35的约数，故n只能是4，6，34，综合得n=6，即样本容量为6．【解析】根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义是解决本题的关键．21.【答案】解：用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：第一步，输入x值．第二步，判断x的范围．若x≥0，则用解析式y=x2-1求函数值；否则，用y=2x2-5求函数值．第三步，输出y值．程序框图如图所示：程序如下：INPTU“x=“；xIFx＞=0 THENy=x^2-1ELSEy=2*2^2-5ENDIFPRINT“y=“；yEND【解析】利用条件结构和条件语句可实现分段函数求值的算法，进而可得程序框图并编写相应的程序．本题考查了条件结构与条件语句，注意条件语句的格式．属于基础题．22.【答案】解：程序为：INPUTx，nm=0，N=0，i=0WHILEi＜nN=x*10^i+Nm=m+Ni=i+1WENDPRINT mEND【解析】由已知条件利用程序框图，编写相应的程序即可得解．本题考查算法的求法和编写程序，解题时要认真审题，注意程序框图的合理运用，属于基础题．。

2017-2018学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={x|（x-1）（x-3）=0}，则A∩B=（）A. ΦB. {1}C. {3}D. {1,3}2.sin(−2π3)=（）A. −32B. −12C. 32D. 123.若幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，4），则在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值4.下列函数为奇函数的是（）A. y=2xB. y=sin x，x∈[0,2π]C. y=x3D. y=lg|x|5.如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A. CD=3BCB. CA⋅CE=0C. AB与DE共线D. CA⋅CB=CE⋅CD6.函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A. 每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)7.已知f(x)=log2x−(12)x，若实数a，b，c满足0<a<b<c，且f(a)f(b)f(c)<0，实数x0满足f(x0)=0，那么下列不等式中，一定成立的是()A. x0<aB. x0>aC. x0<cD. x0>c8.如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于|PA+PB+PC+PD|的说法正确的是（）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.已知向量a=（1，2），写出一个与a共线的非零向量的坐标______．10.已知角θ的终边经过点（3，-4），则cosθ=______．11.已知向量a，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则a⋅b=______．12.函数f(x)=x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是______．13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14.函数f（x）=sinωx在区间(0，π6)上是增函数，则下列结论正确的是______（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间(−π6，0)上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③f(π4)≥f(π12)．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=a⋅b．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若f(α)=13+k且α∈（0，π），求tanα．16.已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：______；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17.某同学用“五点法”画函数f（x）=A sin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[−π2，0]上的最大值和最小值．18.定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是______ （直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）-x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sin x+kx为线周期函数，求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵B={x|（x-1）（x-3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D．根据集合的交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：=-sin=-．故选：A．利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数取值，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选：C．利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．故选：C．运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D．根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定．本题考查了直角三角形的性质，向量线性运算，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=-，ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，φ=-，f（x）=2sin（2x-），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+-）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）=log2x-（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．结合f（x0）=0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．8.【答案】A【解析】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）C（1，2）+=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）+（1-cosθ，2-sinθ）=（-4cosθ，4-4sinθ）∴==∵cosθ∈（0，1]，∴∈[0，4）故选：A设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）=（-1-3cosθ，-3sinθ）即可求得．本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．9.【答案】（2，4）【解析】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．本题考查向量的坐标的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】35【解析】解：∵角θ的终边经过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，则cosθ==．故答案为：．根据任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．向量坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积是定义域，平面向量的坐标运算，考查计算能力．12.【答案】[1，+∞）【解析】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】2021【解析】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，代值计算即可求出答案．本题考查了对数的运算和性质在实际生活中的应用，属于中档题．14.【答案】①②③【解析】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（-x）=sin（-ωx）=-sinωx=-f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．运用函数的奇偶性和单调性可判断①；由单调性可得ω≤，即可判断②；运用正弦函数的对称性，即可判断③．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=a⋅b，∴f（x）=a⋅b=sin x+k．--------------------------（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sin x=1-k有解．--------------------------（3分）∵sin x∈[-1，1]，∴当1-k∈[-1，1]时，方程有解．--------------------------（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．--------------------------（5分）（Ⅱ）因为f(α)=13+k，所以sinα+k=13+k，即sinα=13．--------------------------（6分）当α∈(0，π2]时，cosα=1−sin2α=223，tanα=sinαcosα=24．---------------------（8分）当α∈(π2，π)时，cosα=− 1−sin2α=−223，tanα=−24．-------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f（x）=1有解，即可求实数k的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】[-2，2]【解析】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3，∴解的b=-4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2-4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），假设x＜0，则-x＞0，则g（-x）=f（-x）=x2+4x，∴g（x）=-x2-4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[-2，2]．故答案为：[-2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或-5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或-5＜a＜0．（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可本题考查了二次函数的性质和函数的奇偶性的性质，属于中档题17.【答案】f（x）=2sin（2x+π）6【解析】根据表格可得=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为-2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f（x）在区间上的最大值和最小值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．18.【答案】③【解析】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）-x，∴G（x+T）=g（x+T）-（x+T）=g（x）+T-（x+T）=g（x）-x=G（x）．∴G（x）=g（x）-x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得-sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．（Ⅰ）根据新定义判断即可，（Ⅱ）根据新定义证明即可，（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。

2018-2019学年北京市高一上期末数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x ∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x 为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|【解答】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+﹣）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【解答】解：∵f（x）=log2x﹣（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则= 3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（﹣x）=sin（﹣ωx）=﹣sinωx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sinx，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sinx+k．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sinx=1﹣k有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sinx∈[﹣1，1]，∴当1﹣k∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2﹣4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），假设x＜0，则﹣x＞0，则g（﹣x）=f（﹣x）=x2+4x，∴g（x）=﹣x2﹣4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=f（x）=2sin（2x+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f （x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x ∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x 为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）﹣x，∴G（x+T）=g（x+T）﹣（x+T）=g（x）+T﹣（x+T）=g（x）﹣x=G（x）．∴G（x）=g（x）﹣x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得﹣sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．。

2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析

2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共8小题，共24分）1.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是()A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1>∠4+∠5D. ∠2<∠52.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是()A. 14B. 13C. 12D. 233.下图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()A. 景仁宫(4,2)B. 养心殿(−2,3)C. 保和殿(1,0)D. 武英殿(−3.5,−4)4.如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于()A. 38°B. 104°C. 142°D. 144°4题图5题图5.有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是()A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系6.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是()A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④7.例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为()A. 购买A类会员年卡B. 购买B类会员年卡C. 购买C类会员年卡D. 不购买会员年卡8.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为()A. A→O→BB. B→A→CC. B→O→CD. C→B→O二、填空题（本大题共6小题，共18分）9.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC______S△ABD(填“>”，“=”或“<”)．10.在平面直角坐标系xOy中，点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1上，x点A关于x轴的对称点B在双曲线y=k2上，则k1+k2的值为______．x11.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=______°(点A，B，P是网格线交点)．12.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．13.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．14.北京市2009−2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是.三、解答题（本大题共14小题，共58分）15.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC，CD//AB．∠BAC．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD//AB，∴∠ABP=______．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=1∠BAC(______)(填推理的依据)．2∠BAC．∴∠ABP=1216.在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE.过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长(用含a，b的式子表示)；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．17.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．(1)求证：AC⊥EF；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD=4，tanG=1，求AO的长．218.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；b.国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d.中国的国家创新指数得分为69.5．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．19.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．(1)求证：AD=CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．20.如图，P是AB⏜与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是AB⏜上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在AB⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．21.小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而______，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而______，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而______．(2)当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，则m的最大值是______．22.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．(1)若抛物线的对称轴为x=1，当x1，x2为何值时，y1=y2=c；(2)设抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．23.为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个⋅24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P(12,−1a)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25.如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．(1)求证：∠ADC=∠AOF；(2)若sinC=13，BD=8，求EF的长．26.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=−k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=−k交于点C．(1)求直线l与y轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W．①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．27.已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP=∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．(3)若点A的坐标为(2,32答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故A正确；B.∵∠2=∠A+∠3，∴∠2>∠3，故B错误；C.∵∠1=∠4+∠5，故③错误；D.∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5；故D错误；故选：A．根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．本题主要考查了对顶角的定义和外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．2.【答案】C【解析】解：列表如下：3的有2种结果，所以两次记录的数字之和为3的概率为24=12，故选：C．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用，解题的关键是确定坐标原点和x、y轴的位置及方向，属于容易题.根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【解答】解：因为表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，所以可以确定表示中和殿的点的坐标为(0,0)，即坐标原点，所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标分别为(2,4)、(−2,3)、(0,1)、(−3.5,−3)，故选项B正确．故选B．4.【答案】C【解析】本题考查角平分线的定义以及对顶角的性质，难度中等．由对顶角相等知∠AOC=∠BOD= 76°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=38°，∴∠BOM=180°−38°=142°，故选C．5.【答案】B【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：ℎ=0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B．根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．本题主要考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5×97+25.5×103)÷200=25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20～30之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t<10的人数在大于等于0小于等于15之间，当人数为0时中位数在20～30之间；当人数为15时，中位数在20～30之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于0小于等于15，35，15，18，1，当0≤t<10时间段人数为0时，中位数在10～20之间；当0≤t<10时间段人数为15时，中位数在10～20之间，故④错误．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到y1=30x，y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，当x=45和x=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：当不购买会员年卡时，y1=30x，当购买A类会员年卡时，y A=50+25x，当购买B类会员年卡时，y B=200+20x，当购买C类会员年卡时，y C=400+15x，当x=45时，y1=1350，y A=1175，y B=1100，y C=1075，此时y C最小，当x=55时，y1=1650，y A=1425，y B=1300，y C=1225，此时y C最小，∵y1，y A，y B，y C均随x的增大而增大，∴购买C类会员年卡最省钱．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合，从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题．【解答】解：由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形，那么行走路线相对于M来说也是对称的，从而排除A选项和D选项．B选项，B→A过程中，寻宝者与定位仪器之间的距离先减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要长，所以B选项错误．故选项C符合题意．故选C．9.【答案】=【解析】解：∵S△ABC=12×2×4=4，S△ABD=2×5−12×5×1−12×1×3−12×2×2=4，∴S△ABC=S△ABD，故答案为：=．分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．10.【答案】0【解析】解：∵点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1x上，∴k1=ab；又∵点A与点B关于x轴对称，∴B(a,−b)∵点B在双曲线y=k2x上，∴k2=−ab；∴k1+k2=ab+(−ab)=0；故答案为：0．由点A(a,b)(a>0,b>0)在双曲线y=k1x上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．11.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【解析】【分析】本题考查了作线段的垂直平分线的依据，需要学生对相关的定理非常熟悉，题目不难，但对于学生而言题目非常新颖，同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属基础题．【解答】解：由小芸的作法可知，AC =BC ，AD =BD ，所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点C 、D 在线段AB 的垂直平分线上，再由“两点确定一条直线”可知直线CD 就是所求作的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 12.【答案】45【解析】解：延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，∴PD 2+DB 2=PB 2，∴∠PDB =90°，∴∠DPB =∠PAB +∠PBA =45°，故答案为：45．延长AP 交格点于D ，连接BD ，根据勾股定理得到PD 2=BD 2=1+22=5，PB 2=12+32=10，求得PD 2+DB 2=PB 2，于是得到∠PDB =90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13.【答案】12【解析】解：如图1所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ，设OA =x ，OB =y ，由题意得：{x +y =5x −y =1，解得：{x =3y =2， ∴AC =2OA =6，BD =2OB =4，∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×6×4=12；故答案为：12．如图1所示：由菱形的性质得出OA =OC ，OB =OD ，AC ⊥BD ，设OA =x ，OB =y ，由题意得：{x +y =5x −y =1，解得：{x =3y =2，得出AC =2OA =6，BD =2OB =4，即可得出菱形的面积．本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．14.【答案】丙、丁、甲、乙【解析】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、甲(6,8)、乙(10,12)或丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、乙(6,8)、甲(10,12)；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1，2，4)、甲(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、乙(9,11)或丙(3,1，2，4)、乙(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、甲(9,11)，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．先判断出丙购买票之后，剩余3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，进而得出甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，即可得出结论．此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．15.【答案】980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算【解析】【分析】本题考查折线统计图，考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律.根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．【解答】解：折线图反映了日均客运量的具体数据和增长趋势，每年都在增加，幅度在50∼210之间．答案不唯一，只要有支撑预估的数据即可．例如：980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算．16.【答案】∠BPC同弧所对的圆周角等于圆心角的一半【解析】解：(1)如图，即为补全的图形；(2)证明：∵CD//AB，∴∠ABP=∠BPC．∵AB=AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∠BAC(同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，∴∠BPC=12∴∠ABP=1∠BAC．2故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．(1)根据作法即可补全图形；(2)根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．本题考查了作图−复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．17.【答案】解：(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE//BC，DE=12BC，∵∠ACB=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE=CF=12BC，∴CF=BF=b，∵CE=AE=a，∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2；(2)AE2+BF2=EF2．证明：过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90°，∵D点是AB的中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDM中，{∠AED=∠BMD ∠ADE=∠BDM AD=BD，∴△ADE≌△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，∵DF⊥DE，∴EF=MF，∵BM2+BF2=MF2，∴AE2+BF2=EF2．【解析】(1)由三角形的中位线定理得DE//BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE=CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；(2)过点B作BM//AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE=BM，DE= DM，由垂直平分线的判定定理得EF=MF，进而根据勾股定理得结论．本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD，∵BE=DF，∴AB−BE=AD−DF，∴AE=AF，∴AC⊥EF；(2)解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB//CD，∵AC⊥EF，∴EF//BD，∴四边形EBDG是平行四边形，∴∠G=∠EBD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠G=∠ADO，∴tanG=tan∠ADO=OAOD =12，∴OA=12OD，∵BD=4，∴OD=2，∴OA=1．【解析】(1)由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，由BE=DF得出AE=AF，即可得出结论；(2)证出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO=OAOD =12，得出OA=12OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．本题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；(2)如图所示：(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元；故答案为：2.7；(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【解析】本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．(1)由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果；(2)根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．20.【答案】(1)证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴AD⏜=CD⏜，∴AD=CD；(2)如图，连接OD，∵AD=CM，AD=CD，∴CD=CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC=90°，∵AD⏜=CD⏜，∴OD⊥AC，∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，又OD为半径，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【解析】(1)利用圆的定义得到图象G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD=∠CBD得到AD⏜=CD⏜，从而由圆心角、弧、弦的关系得到AD=CD；(2)如图，证明CD=CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．21.【答案】解：(1)AD，PC，PD，(2)描点画出如图图象；(3)2.3或4.0【解析】【分析】(1)按照函数的概念，AD是自变量，而PC、PD随AD的变化而变化，故PC、PD都是因变量，即可求解；(2)描点画出如图图象；(3)观察图像求解即可．本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．【解答】解：(1)按照函数的概念，AD是自变量，而PC、PD随AD的变化而变化，故PC、PD都是因变量，故答案为：AD、PC、PD；(2)见答案；(3)根据图像可得AD的长度约为2.3或4.0cm..22.【答案】减小减小减小73【解析】解：(1)当−2≤x<0时，对于函数y1=|x|，即y1=−x，当−2≤x<0时，y1随x的增大而减小，且y1>0；对于函数y2=x2−x+1，当−2≤x<0时，y2随x的增大而减小，且y2>0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当−2≤x<0时，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线l与函数y=16|x|(x2−x+1)(x≥−2)的图象有两个交点，观察图象可知，x=−2时，m的值最大，最大值m=16×2×(4+2+1)=73，故答案为73(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．(2)利用描点法画出函数图象即可．(3)观察图象可知，x=−2时，m的值最大．本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)由题意y1=y2=c，∴x1=0，∵对称轴x=1，∴M，N关于x=1对称，∴x2−2，∴x1=0，x2=2时，y1=y2=c．(2)∵抛物线的对称轴为x=t，若对于x1+x2>3，都有y1<y2，∴t≤32．【解析】(1)根据抛物线的对称性解决问题即可．(2)由题意点(x1,0)，(x2,0)的中垂线与x的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：设预计到2015年底，全市将有租赁点x个．由题意，得1.2×25000600=50000x．解得x=1000．经检验，x=1000是原方程的解，且符合题意．。

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2018北京市清华附中高一（上）期末
数学 2018.1
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）
A. 40°
B. 140°
C. －130°
D. －310°
2. 设向量）
，（20=a ，），（13=b ，则a ，b 的夹角等于（） A.
3π B. 6π C. 32π D. 6
5π 3. 角α的终边过点）（3－,4P ，则)2
sin(απ+的值为（） A. 54- B. 54 C. 53- D. 5
3 4. 要得到函数)3
2cos(π-=x y 的图像，只需将x y 2cos =的图像（） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6
π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度 5. 已知非零向量与
=2
1=，则ABC ∆为（）
A. 三边均不相等的三角形
B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形
D. 等边三角形
6. 同时具有性质“①最小正周期是π；②图像关于直线3π-
=x 对称；③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ326，上是增函数”的一个函数是（） A. )32sin(π-
=x y B. )62cos(π+=x y C. )62sin(π
+=x y D. )3
22cos(π+=x y 7. 定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且在[]21，
上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）
A. ()αsin f ＞()βcos f
B. ()αsin f ＜()βcos f
C. ()αsin f ＞()βsin f
D. ()αcos f ＜()βcos f
8. 若定义[]20182018，-上的函数()x f 满足：对于任意1x ，[]2018,20182-∈x 有()()()20172121-+=+x f x f x x f ，且x ＞0时，有()x f ＞2017，()x f 的最大值、最小值分别为M ，N ，则N M +的值为（）
A. 0
B. 2018
C. 4034
D. 4036
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 若θ为第四象限的角，且31sin -=θ，则 =θcos ；=θ2sin 。

10. 已知a ，b ，c ，分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1=a ，3=
b ，B C A 2=+，则ABC ∆的面积=∆ABC S 。

11. 已知2tan =x ，则()=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++x x x 2cos sin 2cos ππ 。

12. 已知()πα，0∈且316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πα，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+6cos πα ；=αsin 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ,o 90=∠ABC ,若3=AB ,2==DC BC ,若E ，F 分别是线段DC
和BC 上的动点，则EF AC ⋅的取值范围是。

14. 已知函数()a x x x f --=2
sin 22sin 2 ①若()0=x f 在R x ∈上有解，则a 的取值范围是；
②若1x ，2x 是函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2
0π，内的两个零点，则=+)sin(21x x 。

三．解答题（共6小题，共80分）.
15. （13分）已知函数()1)6cos(sin 4++
=πx x x f . （1）求⎪⎭
⎫ ⎝⎛12πf 的值；（2）求函数()x f 的单调递减区间；
（3）求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2
0π，上的最大值和最小值.
16. （13分）已知不共线向量a ，b 满足3=a ，2=b ，()()
.20232=+⋅-b a b a
（1）求()
b a a -⋅；（2）是否存在实数λ，使b a + λ与b a 2-共线？
（3）若()()
b k a b a k -⊥+2，求实数k 的值。

17. （13分）设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)cos(cos sin B A C A -=-.
（1）求B 的大小；
（2）求C A sin cos +的取值范围.
18. （13分）已知向量()θθsin cos ，
=a ，()ββsin cos ，=b . （1）若3π
βθ=-，求b a -的值；
（2）若3π
βθ=+，记()b a b a f +-⋅=λθ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，，当21≤≤λ时，求()θf 的最小值.
19. （13分）借助计算机（器）作某些分段函数图像时，分段函数的表示有时可以利用函数()()()
⎩⎨⎧≥=＜0001
x x x h ，
例如要表示分段函数()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧-==＜220＞2x x x x x x g ，可以将()x g 表示为()()()()x h x x xh x g --+-=22.
（1）设()()()()
()x h x x h x x x f --+-+-=1113222，请把函数()x f 写成分段函数的形式；（2）已知()()[]()()1log 1413-⋅+-+-=x h x x h a x a x G a 是R 上的减函数，求a 的取值范围；
（3）设()()()()
()x a h a x x a x h a x x x F -++-+-+-+=1122，求函数()x F 的最小值.
20. （14分）一个函数()x f ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在()x f 的定义域内，就有()a f ，()b f ，()c f 也是某个三角形的三边长，则称()x f 为“保三角形函数”.
（1）判断()x x f =1，())cos sin 26(log 2
22x x x f -+=中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数()x x g ln =（[)∞+∈，
M x ）是“保三角形函数”，求M 的最小值；（3）若函数()x x h sin =（()A x ，0∈）是“保三角形函数”，求A 的最大值.。