2第二节 标准正交基
标准正交基
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
9.2__标准正交基
2. 正交向量组的性质
定理1 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
则 xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xii ) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi(i , i ) + … + xn(i , n )
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
注意
1）应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有
| | x12 L xn2
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §5 子空间
§2 标准正交基
§6 对称矩阵的标准形
§3 同构 §4 正交变换
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 正交矩阵
一、定义
标准正交基的求法
标准正交基的求法在线性代数中，标准正交基是指一个向量空间中的一组基，其中每个向量都是单位向量，并且每个向量都与其他向量正交。
标准正交基在计算机图形学、信号处理和量子力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍标准正交基的求法。
1. Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程是求解标准正交基的一种常用方法。
该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量逐一正交化，得到一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。
具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。
1）将第一个向量v1单位化，得到u1：u1 = v1 / ||v1||其中||v1||表示向量v1的模长。
2）对于第二个向量v2，先将它在u1上的投影p2计算出来：p2 = (v2 · u1)u1其中·表示向量的点积运算。
然后将v2减去它在u1上的投影，得到一个新的向量w2：w2 = v2 - p23）将w2单位化，得到u2：u2 = w2 / ||w2||4）对于第三个向量v3，先将它在u1和u2上的投影p3计算出来：p3 = (v3 · u1)u1 + (v3 · u2)u2然后将v3减去它在u1和u2上的投影，得到一个新的向量w3：w3 = v3 - p35）将w3单位化，得到u3：u3 = w3 / ||w3||以此类推，直到求得所有的标准正交基向量。
2. QR分解QR分解是另一种求解标准正交基的方法。
该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量通过正交矩阵Q变换成一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。
具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。
1）将这些向量组成一个矩阵A：A = [v1 v2 ... vn]2）对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R：A = QR其中Q的列向量就是标准正交基向量。
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求标准正交基是线性代数中的重要概念，它在向量空间的正交性质和标准化表示方面起着关键作用。
那么，接下来我们就来探讨一下标准正交基的求解方法。
首先，我们需要明确标准正交基的定义。
在n维实内积空间中，如果向量组{v1, v2, ..., vn}满足以下两个条件，一是向量组中的向量两两正交，即vi·vj=0（i≠j），二是向量组中的每一个向量的模长为1，即||vi||=1，则称向量组{v1, v2, ..., vn}为标准正交基。
接下来，我们来讨论标准正交基的求解方法。
一般来说，求解标准正交基的方法有Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法。
首先是Gram-Schmidt正交化方法。
对于给定的线性无关向量组{u1, u2, ..., un}，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 取第一个向量v1=u1，进行标准化处理，即v1=u1/||u1||。
2. 对于第i个向量ui，我们可以通过以下公式来求解vi：vi=ui-Σ(j=1 to i-1)(ui·vj)·vj。
然后进行标准化处理，即vi=vi/||vi||。
3. 重复以上步骤，直到求得n个标准正交向量{v1, v2, ..., vn}。
其次是矩阵的特征值分解方法。
对于给定的矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 首先，求解矩阵A的特征值和对应的特征向量。
2. 将特征向量进行标准化处理，即将每个特征向量除以其模长。
3. 如果A是对称矩阵，那么它的特征向量是两两正交的，我们可以直接将它们作为标准正交基。
需要注意的是，对于一般的矩阵，其特征向量未必是两两正交的，所以在使用特征值分解方法求解标准正交基时，需要进行额外的正交化处理。
综上所述，我们可以通过Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法来求解标准正交基。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基，以满足我们的需求。
4-2标准正交基
α1，α2，…，αm两两正交，则称α1，α2，…，αm是V的 ， 两两正交， ， 的 ， 又都是单位向量， 一个正交基；如果α1，α2，…，αm又都是单位向量， 一个正交基； 正交基 的一个标准正交基 则称α1，α2，…，αm是V的一个标准正交基. ， 的一个标准正交基.
定义4.7 定义4.7 设α1，α2，…，αm是欧氏空间 的一个基.如果 ， 是欧氏空间V的一个基.
1 1 1 1 1 1 α 3 = ,− ,0, ,0 为R4的一个基 ,α 4 = − , , 的一个基. 2 2 2 2 2 2
T T
说明 1）自然基 1，e2，…，en是Rn标准正交基. 标准正交基. ）自然基e ，
T
T
4
3）向量空间V的任意向量α ，在V中的一个标准正交基 ）向量空间 的任意向量 中的一个标准正交基 α1，α2，…，αm下的坐标为： = k α + k α + L + k α ， 下的坐标为： α
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 标准正交向量组
2
正交向量组是线性无关的. 定理4.2 正交向量组是线性无关的. 定理 ， 是正交向量组， 证 设α1，α2，…，αm是正交向量组，并有一组数使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm= 0. ， ， ， ）对上式的两边做内积， 用αi（i=1，2，…，m）对上式的两边做内积，得 <k1α1 + k2α2 + … + kmαm ,αi >= <0 ,αi> 0 k1<α1, αi> + k2<α2, αi> + … + km<αm, αi>= 0 因α1, α2, …, αm两两正交, 所以<αi, αj>= 0( i ≠ j, )， 两两正交 所以 ， 故 ki<αi，αi>=0，（i=1，2，…，m） ， ， ， ， ） 所以< 因αi ≠ 0，所以 αi，αi>≠0，故ki =0（i=1，2，…，m）. ， （ ， ， ， ） 于是向量组α1，α2，…，αm线性无关 ， 线性无关.
§2 标准正交基
上页
下页
返回
结束
注3 若基 1, 2 ,, n 满足：
1, i j, ( i , j ) ij 0, i j.
则它就是一组标准正交基. 综上可知，一组基为标准正交基的充分必要条件 是：它的度量矩阵为单位矩阵.
上页
下页
返回
结束
注4 设基 1, 2 ,, n 的度量矩阵为A，则 A 为
x11 x2 2 xn n ,
上页
下页
返回
结束
注7 标准正交基下的向量内积的计算
在标准正交基 1 , 2 ,, n 下，
x11 x2 2 xn n ,
y11 y2 2 yn n .
则
( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn X TY .
推论 在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量
不可能超过n个.
上页 下页 返回 结束
定义6
在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量 组称为正交基； 由单位向量组组成的正交向量组称 为标准正交基.
注1 对一组正交基进行单位化就可得到一组标
准正交基. 注2 设 1, 2 ,, n 是一组标准正交基，由定义， 有 1, i j, ( i , j ) ij 0, i j.
上页 下页 返回 结束
注6 向量在标准正交基下的坐标
设 1 , 2 ,, n 为V 的一组标准正交基，则任一向 量 V , 则 ( , 1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n . 事实上，设
两边同时与 i 作内积，即得 xi ( , i ), i 1,2,, n.
§2 标准正交基
标准正交基
标准正交基是一种常用的几何概念，它表示空间中的基本向量，可以用来描述物体的形状、大小和位置。
正交基是一个基本的几何空间，由三个互相垂直的向量组成，它们之间互相垂直，每个向量不同。
这三个向量构成一个正交基，它们构成一个标准正交基。
标准正交基是在几何学中经常使用的一种基本概念，它可以帮助我们理解物体的外观和位置，以及物体之间的关系。
它由三个基本的向量组成，这三个向量构成一个正交基，它们之间的比例是一样的，以此来确定物体的位置和形状。
正交基可以把空间划分成一个个小块，这些小块构成一个坐标系，以便我们可以轻松地把物体放到一个特定的位置。
正交基也可以用来表示几何图形，因为它们可以描述物体的形状和位置，所以可以用来表示图形。
例如，正交基可以用来描述三角形、多边形等，可以把它们划分成若干个小正方形，这样就可以得到几何图形的形状和位置。
总之，标准正交基是一种几何概念，它由三个相互垂直的向量构成，可以用来描述物体的形状、大小和位置，以及用来表示几何图形。
正交基可以把空间划分成若干个小块，这样就可以轻松地把物体放到一个特定的位置。
3-2标准正交基
正交基 .由n个 标 准 正 交 向 量 组 成 基 midt正交化手续
设 1 , 2 , , r 是n维 酉 空 间 （ 欧 氏 空 间 中 ）r个 线 性 无 关 的 向 量 ， 求 由r 这 个向量生成的 r维 线 性 子 空 间 span 1 , 2 ,, r 中的一个标准正交基 .
求span 1 , 2 , 3 的一个标准正交基 .
解 易知 , , 线性相关 , 1 , 2线性无关， 1 2 3
故span 1 , 2 , 3 span1 , 2 ，
应用Schmidt 正交化手续 T 1 1 （ 1， 1， 1， 1） ,
2 , 1 T 2 2 1 2 1 （4,2,0,2） 1 , 1
6/7
1 , 2 把 1 , 2单位化，得到 span 的一个标准
正交基，
1 1 1 1 1 1 , , , 1 2 2 2 2
2、 标 准 化
1 2 r 命 1 , 2 , , r 1 2 r
组 1 , 2 ,, r出 发 ， 定理 2 从r维 内 积 空 间 的 任 意 一 基 可以通过 Sthmidt 正交化手续构 造出一标 个准正交基 .
5/7
4 在空间 R 中，设 例1
T T T 1 （1， 1， 1， 1） , 2 （5,1,1,1） , 3 （ 3,3,1,3） ,
第二节 标准正交基、Schmidt方法
定义 1
第三章
若向量 和 的内积 ( , ) 0，则称
与 正交，记作 .
i 是正交向量组 正交，则称向量组 .
i 若不含零向量的向量组 内的向量两两
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。
考研高数总复习第九章欧几里得空间第二节
主要内容
定义 标准正交基的求法 举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义
定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如 果它们两两正交，就称为一正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向
量组也是正交向量组. 组都是非空的.
当然，以下讨论的正交向量
2. 正交向量组的性质 性质 正交向量组是线性无关的. 证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
得到进一步的说明.
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基
的求法.
二、标准正交基的求法
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都
能扩充成一组正交基.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交
n ，使
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明 设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n .
首先，可取
1
|
1
1
|
1
.
一般地，假定已经
求出 1 , 2 , … , m ，它们是单位正交的，具有性
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 . 用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
标准正交基的求法
标准正交基的求法在线性代数中，我们经常会遇到标准正交基的求法问题。
标准正交基是指向量空间中的一组基，其特点是两两正交且单位长度。
求解标准正交基的方法有很多种，下面我们将介绍其中一种常用的方法。
假设我们有一个向量空间V，我们希望求解它的标准正交基。
首先，我们从V中选取一个非零向量作为第一个基向量。
然后，我们将V中的其他向量投影到第一个基向量的正交补空间中，得到一个新的向量空间W。
接下来，我们再从W中选取一个非零向量作为第二个基向量，并重复上述步骤，直到我们得到V的一组标准正交基为止。
具体的步骤如下：1. 选取第一个基向量。
首先，我们从V中选取一个非零向量作为第一个基向量。
这个向量可以是任意非零向量，通常我们会选择V中的一个标准基向量作为起始向量。
2. 投影到正交补空间。
接下来，我们将V中的其他向量投影到第一个基向量的正交补空间W中。
投影的方法可以是Gram-Schmidt正交化过程，也可以是其他投影方法，关键是保证投影后得到的向量与第一个基向量正交。
3. 选取第二个基向量。
从W中选取一个非零向量作为第二个基向量。
同样，这个向量可以是任意非零向量，通常我们会选择W中的一个标准基向量作为第二个基向量。
4. 重复以上步骤。
重复以上步骤，直到我们得到V的一组标准正交基为止。
在每一步中，我们都要确保选取的新基向量与已有的基向量正交。
通过以上步骤，我们就可以求解出向量空间V的标准正交基。
这种方法的优点是简单易懂，容易实现。
当然，求解标准正交基的方法还有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基。
总之，标准正交基的求法是线性代数中的重要问题。
掌握了求解标准正交基的方法，可以帮助我们更好地理解向量空间的结构，更高效地进行相关计算和分析。
希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，也希望您能够进一步深入学习和探索标准正交基的求法问题。
2-2 标准正交基与向量的正交化
ki 0
(k11 k2 2 kn n , i ) k j ( j , i ) ki ( i , i ) ki 0
例2 在 C 3 中向量组
2 1 2 3 3 3 1 2 2 3 [ , , ]T 3 3 3
1 [ , , ]T , 2 [ , , ]T
( 1 , 2 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
1 1 ,
( 1 , 3 ) ( 2 ,3 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n n 1 2 n 1 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
不难证明: 1 , 2 , m 是V中正交向量组
1 1
( 1 , 2 ) 2 1 2 ( 1 , 1 )
( 1 , n ) ( 2 ,n ) ( n 1 , n ) n 1 2 n n ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) ( n 1 , n 1 )
定义( f ( x ), g( x ))2 0 f ( x ) g( x )dx ，形成欧氏空间V2； 取元素 f ( x) x,
1
g( x) x ，则
2
则在V1中， x⊥x2； 在V2中，与x⊥x2不正交。
定义2 设V是酉(欧氏)空间, , ,, 1 2 n
是V中非零向量组，如果 1 ,2 ,,n 两两正交， 则称 1 ,2 ,,n 是正交向量组。
矩阵论讲义 矩阵论教程 A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
§2 标准正交基§5 子空间
§5 子空间一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义：1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α∀∈，V β∈，恒有(),0αβ=，则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有(),0αβ=，则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注：① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义：如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,112m m n n x x V βεε++=++∈,()()1111,,,0m n m ni i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则1213V V V V V =⊕=⊕对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注：① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即{}|W V W αα⊥=∈⊥② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()WW ⊥⊥=ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地，子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3．内射影设W 是欧氏空间V 的子空间，由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的12,W W αα⊥∈∈,使12ααα=+称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结：两空间正交、直和、正交补。
标准正交基的新定义及运用
标准正交基的新定义及运用
一、定义
标准正交基是指在一个向量空间中采用一组互相正交且向量长度为1的单位向量组成
的基底，又称为正交单位基底或正交基。
二、应用
1、线性代数和多维分析中的应用
标准正交基是线性代数和多维分析中最基本的概念之一，它是研究线性空间的不变量，是研究集合的基础。
标准正交基的使用使线性空间的分析变得更加容易，可以帮助研究者
更好地理解和分析这些空间中的结构、性质以及相互作用。
另外，标准正交基还可以帮助
科学家减少在多维空间中研究物理及数学问题时的计算复杂性。
2、几何学中的应用
标准正交基也可以用来研究各种几何学对象，如空间曲线与曲面。
此外，也可以用标
准正交基来研究空间轨道、天文物理解析等复杂的几何问题。
标准正交基也被用于量子力学，量子力学是量子物理的重要分支，它涉及到一系列比
较有趣的现象，比如量子影像、量子晶体、散射及相关研究。
标准正交基在量子力学中用
来描述物质的不同特性，如波函数、能量以及其它性质，并且可以让科学家更好地理解和
探索量子物理的现象。
标准正交基也可以用来研究物理学中的一些基本概念，比如粒子质量以及引力场、电
磁场等物理量的表示和描述。
此外，标准正交基也可以在物理研究中用来分解和组合物理量，并且可以用来计算任何物理量的表达式，其结果可以用来检验物理理论的基础和可靠性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
事实上，设
α=x1ε1 +x2ε2+…+xnεn.
用εi与等式两边作内积，即得 xi=(εi, α), (i=1,2, …, n).
返回
上页 下页
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式. 设
α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 那么
(α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.
ATA=E
即得
AAT=E
返回
上页 下页
写出来就是
1 ,当 i j ;
ai1a j1 ai2a j2
aina jn
0
,当
i
j.
(7)
(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与
行之间的关系. 这两组关系是等价的.
返回
上页 下页
例2 考虑定义在闭区间[0, 2π]上一切连续函数所作 成的欧氏空间C[0, 2π]. 函数组
k1α1+k2α2+…+kmαm=0 . 用αi (i=1,2, …, m)与等式两边作内积，即得
ki(αi , αi)=0 .
由αi ≠0 ，有(αi , αi)>0 ，从而ki=0 (i=1,2, …, m). 这 就证明了a1, a2,…,am是线性无关的. 证毕.
这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过n个.
3
(1,
1,
1,
1).
返回
上页 下页
第二步再单位化，便得到单位正交的向量组为
1
1 ,
2
1 , 0, 0, 2
2
1 , 6
1 ,
6
2 , 0, 6
3
1, 12
1, 12
1, 12
3 , 12
3
1 2
,
1 2
,
1,cos x,sin x, ,cos nx,sinnx, .
构成C[0, 2π]的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度, 就得到C[0,2π] 的一个标准正交组:
1 , 1 cos x, 1 sin x, , 1 cos nx, 1 sinnx, .
2
返回
上页 下页
例3 欧氏空间Rn的基
(αi, αm+1)=(β, αi)-ki(αi, αi), (i=1,2, …, m) .
取
ki
( ,i ) (i ,i )
,(i
1,2,
, m).
返回
上页 下页
有
(αi, αm+1)=0, (i=1,2, …, m) .
由β的选择可知，αm+1≠0. 因此a1, a2,…,am,αm+1是
第二节 标准正交基
一、标准正交基
定义5 欧氏空间V的一组非零的向量，如果它们 两两正交，就称为一个正交向量组.
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 以下讨论的正交向量组都是 非空的.
返回
上页 下页
结论 正交向量组是线性无关的. 证明 设正交向量组 a1, a2,…,am 有一线性关系
由归纳法原理，定理2得证.
证毕.
应该指出，定理中的要求 L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,n.
就相当于由基ε1,ε2,…,εn到基η1,η2,…,ηn的过渡矩 阵是上三角形的.
定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正
交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特
（Schimidt）正交化过程.
返回
上页 下页
a1, a2,…, am , β1, β2,…,βk . 成为一组正交基.
现在来看n-m=k+1的情形. 因为m<n ，所以
一定有向量β不能被a1, a2,…,am线性表出，作向量 αm+1=β-k1α1-k2α2-…-kmαm .
这里k1, k2,…,km是待定系数. 用αi与αm+1作内积，得
一正交向量组，根据归纳法假定，a1,…,am,αm+1可
以扩充成一正交基.
证毕.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一 个具体的扩充正交向量组的方法. 如果从任一个 非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最 后就得到一组正交基. 再单位化，就得到一组标 准正交基.
返回
上页 下页
在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了 空间的一组基，对于这种情形，有下面的结果：
返回
上页 下页
这个事实的几何意义是清楚的. 例如，在平面上 找不到三个两两垂直的非零向量；在空间中，找 不到四个两两垂直的非零向量.
从解析几何中看，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况 是相仿的.
定义6 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交 向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称 为标准正交基组.
（i）
i (0, ,0, 1 ,0, ,0） i 1,2, ,n 是Rn的一个标准正交基.
返回
上页 下页
显然
m
m1 m1 ( m1 ,i )i . i 1
ξm+1≠0，且 (ξm+1, ηi)=0，i=1,2, …,m.
令
m1
m1 | m1
|
.
返回
上页 下页
η1,η2,…,ηm,ηm+1 就是一单位正交向量组. 同时
L(ε1,ε2,…,εm+1)=L(η1,η2,…,ηm+1).
(1 2
,
1 2
, 1,
0),
3
3
(3 , 1 ) (1, 1)
1
(3 , (2,
2 ) 2 )
2
(
1 3
,
1 3
,
1 3
,
1),
4
4
(4 , 1 ) (1, 1)
1
(4 , 2 ) (2 , 2 )
2
(4 , (3,
3) 3 )
返回
上页 下页
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设ε1,ε2,…,εn是一组标准正交基，由定义，有
1 ,当 i j;
(i , j )
0,当i
j.
(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质. 换句话说
结论 一组基为标准正交基的<＝>是它的度量矩 阵为单位矩阵.
返回
(6)
或者
A-1=AT .
返回
上页 下页
我们引入 定义7 n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=E .
因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正交 基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第 二组基一定也是标准正交基.
最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由
返回
上页 下页
例1 把 1 (1,1,0,0),2 (1,0,1,0),3 (1,0,0,1),4 (1,1,1,1) 变成单位正交的向量组.
解 第一步把它们正交化，得
1 1 (1, 1, 0, 0),
2
2
(2 , 1 ) (欧氏空间中任一个正交向量组都能扩 充成一组(标准)正交基.(称为正交基扩充定理)
证明 设a1, a2,…,am是一个正交向量组，我们对 n-m作数学归纳法.
当n-m=0时，a1, a2,…,am就是一组正交基了.
假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以找 到向量β1, β2,…,βk ，使得
j.
(4)
矩阵 A 的各列就是 η1,η2,…,ηn 在标准正交基
ε1,ε2,…,εn下的坐标. 按公式(3), (4)式可以表示为
1 ,当 i j ; a1ia1 j a2ia2 j ani anj 0 ,当 i j .
(5)
(5)式相当于一个矩阵的等式
ATA=E ，
定理2 对于n维欧氏空间中任意一组基 ε1,ε2,…,εn，
都可以找到一组标准正交基η1,η2,…,ηn，使 L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,n.
证明 设 ε1,ε2,…,εn是一组基，我们来逐个地求出
向量η1,η2,…,ηn .
首先，可取
1
|
1
1
|
1
a11 a12
(1,2 ,
,n )
(1,2 ,
,
n
)
a21 an1
a22 an2
a1n a2n ann
返回
上页 下页
因为η1,η2,…,ηn是标准正交基，所以
1 ,当 i j;
(i , j )
0
,当i
.
一般地，假定已经
求出η1,η2,…,ηm ，它们是单位正交的，具有性质
返回
上页 下页
L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,m.
下一步求ηm+1. 因为L(ε1,ε2,…,εm)=L(η1,η2,…,ηm)，所以εm+1不
能被线性表出. 按定理1证明的方法，作向量
(3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系