历年导数压轴经典题目

历年导数压轴经典题目

证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（）

③

1x e x ≥+ ④

1x e x -≥-

⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

⑦ 1≥e^x （1-x ）

1.已知函数

321

()3

f x x ax bx =++,且'(1)0f -=

(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；

（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，

P(,

()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解

释以下问题：

（I ）若对任意的m ∈(t, x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；

（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x

≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的

取值围（不必给出求解过程）

2. 本小题满分14分）已知函数

，，且

是函数

的极值点。

（Ⅰ）数的值； （Ⅱ）若方程

有两个不相等的实数根，数的取值围；

1

x x

（Ⅲ）若直线是函数的图象在点处的切线，且直线与函数

的图象相切于点，，数的取值围。

3. 已知函数()()

()()201,10.x f x ax bx c e f f =++==且

（I ）若()f x 在区间[]0,1上单调递减，数a 的取值围；

（II ）当a=0时，是否存在实数m 使不等式()224141x f x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由

4. 已知：二次函数()g x 是偶函数，且(1)0g =，对,()1x R g x x ∀∈≥-有恒成立，令

1

()()ln ,()2

f x

g x m x m R =++∈

（I ）求()g x 的表达式；

（II ）当0m <∃≤时,若x>0,使f(x)0成立，求m 的最大值；

（III ）设12,()()(1),m H x f x m x <<=-+证明：对12,[1,]x x m ∀∈，恒有

12|()()| 1.H x H x -<

5. 已知函数()(a x ax x f ln -=＞)().2

8,0+=x x

x g （I ）求证();ln 1a x f +≥

（II ）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,211x ，总存在唯一的⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈e e

x ,1

22（e 为自然对数的底数），使得

()()21x f x g =，数a 的取值围.

6. 已知函数2

()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t

（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交

点？若存在，求出m 的取值围；若不存在，说明理由。

7. 已知函数()x

f x e kx =-，x ∈R

（Ⅰ）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若k>0，且对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试数k 的取值围；

（Ⅲ）设函数F （x ）=f （x ）+f （x ）+f （-x ），求证：1

2

(1)(2)()(2)

n n F F F n e +⋅⋅⋅>+（*n N ∈）

8. （1）已知函数f(x)=x 3=x ，其图像记为曲线C. （i ）求函数f(x)的单调区间；

(ii)证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1（x 1,f(x 1）处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x 2).曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3 （x 3 f(x 3)），线段P 1P 2,P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1,S 2，则

1

2

s s 为定值： （Ⅱ）对于一般的三次函数g （x ）=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。

9.已知函数R a ex ax e x f x

∈-+=,)(2

（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切

线与曲线只有一个公共点P 。

10．已知f (x )=

2

22

+-x a

x (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数． （Ⅰ）数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=

x

1

的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立？若存在，求m 的取值围；若不存在，请说明理由．

11. 已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝

2

1ax 2

＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值围；

（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.

12. 已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x

y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，

…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．