2014届高考数学理科,大纲版一轮复习配讲义套课件：29函数的应用共31张
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 一次函数或二次函数模型 (1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线 下降(自变量的系数小于 0)； (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润 问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对称轴与 单调性解决,但一定要注意函数的定义域,否则极易出错．
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例1 图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是 凹槽的横截面(阴影部分)的示意图，其中四边形 ABCD 是矩形， 弧 CMD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.已知凹槽的强度与 横截面的面积成正比，比例系数为 3，设 AB＝2x，BC＝y.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式，并指出 x 的取值范围； (2)当 x 取何值时，凹槽的强度最大？ 【思路分析】 根据平面几何性质得y与x的关系，强度与x的 关系，通过y代换．
2014届高考数学理科,大纲版一轮复习 配套课件：29函数的应用共31张
本节目录
教
考
考
知
材
点
向
能
回
探
瞭
演
顾
究
望
练
夯
讲
把
轻
实
练
脉
松
双
互
高
闯
基
动
考
关
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．几种常见的函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k≠0)； (2)反比例函数模型 y＝kx(k≠0)； (3)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (4)指数函数模型 y＝N(1＋p)x； (5)y＝x＋ax型； (6)分段函数模型．
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例2 (2011·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上 的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞，此时车流速度为0； 当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时．研究表 明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求 出最大值．(精确到1辆/时)
t
∴M(t)＝600×2－30 ，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
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3．今有一组实验数据如下
t 1.99
3.0
4.0 5.1
6.12
v
1.5
4ห้องสมุดไป่ตู้04 7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
其中最接近的一个是( ) A．v＝log2t B．v＝log1t
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2．解答函数应用题的思维过程 利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问题．分析和 解答函数应用问题的思想过程为：
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思考探究 对于实际应用中的函数，其定义域应注意什么？ 提示：对实际应用中的函数，除了函数解析式本身的定义域 之外，还应须使每个变量有实际意义．
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课前热身
1．(教材改编)在一块半径为 R 的半圆形钢板上，计划剪成矩形
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【思路分析】 (1)可用待定系数法求出一次函数的解析式，
注意应标注定义域．(2)在(1)的基础上求f(x)的最值．
【解】 (1)由题意，当 0≤x≤20 时，v(x)＝60； 当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b，
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【思维总结】 本题极易出错的地方是定义域所隐含的关 系,0<x<y，再者是对T的化简配方，因数字复杂而出错．
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考点2 分段函数模型 (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车 计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的 重要模型． (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可 以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再 将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
ABCD 的形状，AB 在直径上，C、D 在半圆周上，若设 AB＝x，
要使 ABCD 的面积最大，x 应为( )
A．R
1 B.2R
C. 2R 答案：C
D. 22R
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2．(2011·高考湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而 变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放 射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时
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【解】 (1)易知半圆 CMD 的半径为 x， 故半圆 CMD 的弧长为 πx,2x＋2y＋πx＝4， 解得 y＝4－22＋πx. 依题意知 0<x<y.∴0<x<4＋4 π. (2)设凹槽的强度为 T，则有 T＝ 3(2xy－π2x2)＝－ 342＋3π(x－4＋43π)2＋48＋33π， 因为 0<4＋43π<4＋4 π， 所以当 x＝4＋43π时，凹槽的强度最大．
1x5
0≤x≤30
答案：f(x)＝ 2 30<x≤40
1x0－2 40<x≤60
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5．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的 广告效应是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与 广告费的算术平方根成正比，根据市场抽样调查显示：每付 出100元广告费，所得的销售额是1 000元．则该企业应该投入 __________元广告费，可以获得最大的广告效应． 答案：2 500
t
间 t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－30，其中 M0 为 t＝0 时
铯 137 的含量．已知 t＝30 时，铯 137 含量的变化率是－10 ln 2(太 贝克/年)，则 M(60)＝( ) A．5 太贝克 B．75ln 2 太贝克 C．150ln 2 太贝克 D．150 太贝克 解析：选 D.∵M′(t)＝－310M02－3t0 ·ln 2， ∴M′(30)＝－310×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.
2
C．v＝t2－2 1 D．v＝2t－2
答案：C
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4．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与 乙到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家，乙10时半 从家中出发迎甲，如图表示甲从家出发到乙家为止经过的路 程y(km)与时间x(分)的关系，甲在公园中休息的时间是十分钟， 那么y＝f(x)的函数表达式是__________．
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 一次函数或二次函数模型 (1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线 下降(自变量的系数小于 0)； (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润 问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对称轴与 单调性解决,但一定要注意函数的定义域,否则极易出错．
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例1 图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是 凹槽的横截面(阴影部分)的示意图，其中四边形 ABCD 是矩形， 弧 CMD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.已知凹槽的强度与 横截面的面积成正比，比例系数为 3，设 AB＝2x，BC＝y.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式，并指出 x 的取值范围； (2)当 x 取何值时，凹槽的强度最大？ 【思路分析】 根据平面几何性质得y与x的关系，强度与x的 关系，通过y代换．
2014届高考数学理科,大纲版一轮复习 配套课件：29函数的应用共31张
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教
考
考
知
材
点
向
能
回
探
瞭
演
顾
究
望
练
夯
讲
把
轻
实
练
脉
松
双
互
高
闯
基
动
考
关
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．几种常见的函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k≠0)； (2)反比例函数模型 y＝kx(k≠0)； (3)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (4)指数函数模型 y＝N(1＋p)x； (5)y＝x＋ax型； (6)分段函数模型．
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例2 (2011·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改 善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上 的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞，此时车流速度为0； 当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时．研究表 明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观 测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求 出最大值．(精确到1辆/时)
t
∴M(t)＝600×2－30 ，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
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3．今有一组实验数据如下
t 1.99
3.0
4.0 5.1
6.12
v
1.5
4ห้องสมุดไป่ตู้04 7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
其中最接近的一个是( ) A．v＝log2t B．v＝log1t
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2．解答函数应用题的思维过程 利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问题．分析和 解答函数应用问题的思想过程为：
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思考探究 对于实际应用中的函数，其定义域应注意什么？ 提示：对实际应用中的函数，除了函数解析式本身的定义域 之外，还应须使每个变量有实际意义．
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课前热身
1．(教材改编)在一块半径为 R 的半圆形钢板上，计划剪成矩形
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【思路分析】 (1)可用待定系数法求出一次函数的解析式，
注意应标注定义域．(2)在(1)的基础上求f(x)的最值．
【解】 (1)由题意，当 0≤x≤20 时，v(x)＝60； 当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b，
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【思维总结】 本题极易出错的地方是定义域所隐含的关 系,0<x<y，再者是对T的化简配方，因数字复杂而出错．
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考点2 分段函数模型 (1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车 计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的 重要模型． (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可 以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再 将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
ABCD 的形状，AB 在直径上，C、D 在半圆周上，若设 AB＝x，
要使 ABCD 的面积最大，x 应为( )
A．R
1 B.2R
C. 2R 答案：C
D. 22R
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2．(2011·高考湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而 变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放 射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时
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【解】 (1)易知半圆 CMD 的半径为 x， 故半圆 CMD 的弧长为 πx,2x＋2y＋πx＝4， 解得 y＝4－22＋πx. 依题意知 0<x<y.∴0<x<4＋4 π. (2)设凹槽的强度为 T，则有 T＝ 3(2xy－π2x2)＝－ 342＋3π(x－4＋43π)2＋48＋33π， 因为 0<4＋43π<4＋4 π， 所以当 x＝4＋43π时，凹槽的强度最大．
1x5
0≤x≤30
答案：f(x)＝ 2 30<x≤40
1x0－2 40<x≤60
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5．某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的 广告效应是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与 广告费的算术平方根成正比，根据市场抽样调查显示：每付 出100元广告费，所得的销售额是1 000元．则该企业应该投入 __________元广告费，可以获得最大的广告效应． 答案：2 500
t
间 t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－30，其中 M0 为 t＝0 时
铯 137 的含量．已知 t＝30 时，铯 137 含量的变化率是－10 ln 2(太 贝克/年)，则 M(60)＝( ) A．5 太贝克 B．75ln 2 太贝克 C．150ln 2 太贝克 D．150 太贝克 解析：选 D.∵M′(t)＝－310M02－3t0 ·ln 2， ∴M′(30)＝－310×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.
2
C．v＝t2－2 1 D．v＝2t－2
答案：C
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4．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与 乙到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家，乙10时半 从家中出发迎甲，如图表示甲从家出发到乙家为止经过的路 程y(km)与时间x(分)的关系，甲在公园中休息的时间是十分钟， 那么y＝f(x)的函数表达式是__________．