不定积分的计算方法(I)

29
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
30
之前的 引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
解
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式 4
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量 例2
x的函数, y 7 25 . 又固定成本为1000元
1.公式 : 首先看复合函数的导数 公式 :
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则 看出点什么东西没有?
相应的凑微分公式(方法):
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
22
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
x 2x
1
1 2x
1 2
d(2x
1)

1 2
1 u
d
u
1 ln u C 1 ln(2x 1) C .
2
2
利用令u=2x+1.换元后问题得简化
15
例4 解
求
1
d
x e
x
.
?
d x 1 ex
1
ex 1
ex
ex
d
x
dx
1
ex ex
d
x
x ln(1 ex ) C .
dex d (ex 1)
利用令u=x+1.换元后问题得简化
13
例3
求
1
d
x 2x
.
(过程模仿上例题)
?
令u=2x+1.
解
d 1
x 2x
1
1 2x
d(2x
1)
1 u
d
u
ln u C ln(2x 1) C .
利用令u=2x+1.换元后问题得简化
这计算过程有问题没?
14
例3
求
1
d
x 2x
.
令u=2x+1.
解
d 1
例13
32
真分式分解为部分分式 :
比较等式2边得:A=5, B=-3 .
33
=5ln(x-2)-3ln(x-3)+C
34
例14
求
(x
dx a)(x
b)
(a b) .
解
(
x
dx a)(x
b)
a
1
b
x
1
a
x
1
b
d
x
部分分式法
a
1
b
x
1
a
d
x
x
1
b
d
x
1 ln x a C . ab xb
1 sin11 x 1 sin13 x C .
11
13
25
例11 求 sin 3 x d x .
解 由于sin 3 x sin 2 x sin x (1 cos2 x) sin x ,
故令 u cos x , 则 d u sin x d x, 从而，得
sin 3 x d x (1 cos2 x) sin x d x (1 u2 )( d u)
x
求成本函数.
y 7
25
.
解: 因为
x 所以y是它的原函数,即:
y
(7
25 ) d x x
7dx
-1
25x 2dx
7x
50
x c.
又固定成本为1000元,即x=0 (不生产)时,y=1000 所以 c=1000,故本函数为: y 7x 50 x 1000 .
5
例3 解
求
3x2 x2
(2). xadx=d(xa+1)/(a+1).
比如: xdx=d(x2)/2
• 下面介绍两大类型被积函数的积分方法:
19
二. 三角函数的积分计算例:
1. 先观察下面这个例子的多种求解过程
例7 求 sin 2x d x .
解
法1:
sin 2x d x
sin
2x
1 2
d
2x
1 2
sin
udu
1 cosu C 2
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
1
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
1
d
x
.
解
2x2 3x 1 2x 5 6 (多项式的 除法)
x 1
x 1
2
x
2
3x x 1
1
d
x
(2
x
5
x
6
) 1
d
x
2x
d
x
5
d
x
6
x
1 1
d
x
x2 5x 6ln | x 1| C .
31
2.分母可以因式分解(1次因式)时: 部分分式法计算步骤:
• 先将分母因式分解1次因式; • 再利用待定系数法分解部分分式的和; • 对每个部分分式的计算积分.
35
1
d
x
.
3x2 x2
1
d
x
3x2 x
3 2 1
3
d
x
3
dx3
1 1 x2
d
x
3x 3arctan x C .
利用加一项、减一项的方法,也可利用多项式的 除法;该方法普遍适用于有理函数的积分问题.
6
第4节. 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
2
第三节 不定积分的性质计算法
利用性质（基本公式）计算不定积分：
直接计算法． 例. 求
有直接的积分公式吗 !？
有直 x接 d的x 积 分11公x式1吗 C!？有
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
3
例1
求 (2x3 1)3 d x . 有初直等接数的学积中分的公展式开吗式!？
1 cos2x C 2
下面看另一种解法. 20
例7 求 sin 2x d x . 解 法2 : sin 2x d x 2sin x cosx d x
2 sin xd sin x 2udu
u2 C sin2x C
这2种解法 \ 答案一样么? 21
被积函数只是关于三角函数的积分计算问题:
F (u) C
F ((x)) C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
11
2.换元积分的效率:
再利用积分的
指数为100时如线何性? 性质计算
例1 求 (2x 1)3 d x .
展开式
解 法1: (2x 1)3 d x (8x3 12x2 6x 1)d x
拆出个正\余 弦的1次幂
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
比如下面的例子: 单利用上节的方法就有 点问题了.
7
引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
1
d
x
.
解
2x2 3x 1 2x 5 6 (多项式的 除法)
x 1
x 1
2
x
2
3x x 1
1
d
x
(2
x
5
x
6
) 1
d
x
2x
d
x
5
d
x
6
x
1 1
d
x
x2 5x 6ln | x 1| C .
绝对值
2
2
等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低
了!
27
例11 求
解: 原式 =
1 2
(1
cos
x)
dx
1 (x sin x) C 2
cos2 x 1 cosx . 22
28
例12. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
1ex 1ex
利用加一项、减一项的方法.
16
例5 求 x x2 3 dx .
解 x x2 3 dx x2 3 xdx x2 3 1 dx2 2
1 x2 3 d(x2 - 3)
2
令u (x 2 - 3)
1 2
u du 1
1
u 2 du
2
1
2
3
u2
C
1
(x2
3
3) 2
(u2 1) d u u2 d u d u
1 u3 u C 1 cos3 cos x C .
3
3
26
3.被积函数都是正\余弦函数的偶数次幂时:
• 目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低!
具体方法(公式):
cos2 x 1 cosx .
2
2
sin2 x 1 cos x .
8
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法.
它是在积分运算过程中进行适当的变量 代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.
该方法从使用的方式上看，又有第一与 第二换元积分法之分, 但它们的公式实际上 是一样的,都来源于复合函数求导公式.
9
一. 不定积分的第一换元法:
原函数?
被积表达式?
d(F((x))) f ((x))(x)d x f (u)du,
也是被积表达式?
10
定理
设 F (u) 是 f (u) 在区间I 上的一个原函数,
f (u) C(I ), 又 u (x) 在区间J 上可微, 且
(J ) I, 则在区间J 上有
f ((x))(x) d x f (u) d u
= ……
法2 :
(2x
1)3
d
x
(2x
1)3
1 2
d(2x
1)
1 u3 d u 1 u4 C
2
8
对微分进行拼凑
令u=2x+1
1 (2x 1)4 C
8
12
3. 一般应用例子:
例2
求
dx 1 x
.
令u=x+1.
解
dx 1 x
1 1
x
d(x
1)
1 u
d
u
ln u C ln(1 x) C .
C
23
3
17
例6
求 xex2 dx .
解
xex2
dx
.
e x2
xdx
1 .
ex2 dx2
2
令u x2
1 eu du 1 eu C
2
2
1 ex2 C 2
18
• 4. 见过的凑微分公式(方法):
(1). dx=d(ax+b)/a.
比如: dx=d(x+1); dx=d(2x+1) ; dx=d(x-3)
ln cosx C
23
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
24
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.