不定积分的计算方法(I)
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。
在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。
本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。
一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。
2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。
(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。
例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。
(c) 一般幂函数的不定积分对于一般的幂函数x^m来说，其中m不等于-1，不定积分为(x^(m+1))/(m+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。
3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。
例如，∫e^xdx=e^x+C。
(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。
例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。
4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。
例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。
5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。
例如，∫sinxdx=-cosx+C。
(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。
例如，∫cosxdx=sinx+C。
(c) tanx的不定积分为-ln|cosx|+C，其中C为常数。
例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
不定积分求解运算法则
不定积分求解运算法则不定积分求解是微积分中的重要内容之一，它可以用来求解函数的原函数，为我们提供了求解定积分和解微分方程等问题的基础。
在求解不定积分时，我们需要掌握一些运算法则，这些法则可以帮助我们更加高效地求解不定积分。
一、基本积分法则基本积分法则主要包括线性性、积化和差化和常数乘积的法则。
1.线性性：若f(x)和g(x)是连续函数，k为常数，则有：∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx2.积化和差化：对于连续函数f(x)和g(x)，有：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx3.常数乘积法则：对于连续函数f(x)和常数k，有：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx二、换元积分法则换元积分法则也称为u-置换法，它是利用复合函数的求导和求逆的关系进行积分的一种方法。
1.一元换元法则：设u=g(x)是x的可导函数，f(u)是u的原函数，则有：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du2.多元换元法则：对于多元函数，设u=g(x,y)和v=h(x,y)是x,y的可导函数，f(u,v)是u,v的原函数，则有：∬f(g(x, y), h(x, y))(∂(g, h)/∂(x, y))dxdy = ∬f(u, v)dudv 三、分部积分法则分部积分法是利用求导的乘积法则进行积分的方法，可以将一个积分转化为两个因子相乘的形式，从而简化计算。
1.一元分部积分法则：设u=f(x)和v=g(x)是可导函数，f'(x)和g'(x)是它们的导数，则有：∫u v' dx = uv - ∫u'v dx2.多元分部积分法则：对于多元函数，设u=f(x,y)和v=g(x,y)是可导函数，f'(x,y)和g'(x,y)是它们的导数，则有：∫∫u ∂v/∂x dA = ∮uv dy - ∫∫∂u/∂y v dA四、有理函数分解积分法则有理函数分解积分法用于求解有理函数的不定积分，即把一个有理函数表示为几个基本函数的和的形式。
不定积分的基本性质与计算方法
不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中非常重要的一个概念，其基本性质和计算方法对于理解和应用积分学都具有至关重要的作用。
本文将围绕不定积分的基本性质和计算方法展开探讨，旨在帮助读者对这一概念有更深入的理解。
1. 基本性质1.1 线性性质：不定积分具有线性运算的性质。
即对于任意常数a、b以及函数f(x)和g(x)，有以下的性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx1.2 累加性质：若在区间[a, b]上函数f(x)和g(x)的原函数存在，则有以下的性质：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx1.3 替换性质：不定积分中可以进行变量替换。
若有函数u=g(x)为可导函数，且f(x)在u的值域上连续，则有以下的性质：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du （其中，du=g'(x)dx）2. 基本计算方法2.1 使用基本积分表：基本积分表提供了一些常见函数的不定积分形式，通过查表可以快速计算积分。
例如：- 若函数f(x) = k，其中k为常数，则∫k dx = kx + C- 若函数f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （其中，C为常数）- 若函数f(x) = e^x，则∫e^x dx = e^x + C （其中，C为常数）2.2 利用换元法：对于一些复杂函数，可以通过变量替换来简化不定积分的计算过程。
常见的换元法包括：- 代数换元法：通过令u=g(x)进行变量替换，使得积分表达式变得更简单。
- 三角换元法：适用于含有三角函数的不定积分，通过三角函数的性质进行变量替换。
- 指数换元法：适用于含有以e为底的指数函数的不定积分，通过指数函数的性质进行变量替换。
2.3 利用分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题。
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。
不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。
在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。
不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。
对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。
例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。
当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。
给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。
分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。
对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。
对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。
例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。
类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。
不定积分计算的一些常用方法
不定积分计算的一些常用方法
不定积分计算的一些常用方法有：
一、换元法：将原不定积分变换为有界积分，然后再用其他方法求解，即把不
定积分的上下限改为一个常数，原不定积分的计算可以转化为若干有界积分的计算。
二、奇次求和法：将要求求解的不定积分分解为奇次积分，通过求和可以求得
结果。
三、分部积分法：将要求求解的不定积分分解为几部分，逐步求解并汇总结果。
四、全积分法：将要求求解的不定积分看作偏微分方程的一个特例，可以利
用全积分的方法求解。
五、牛顿-辛普森法：将要求求解的不定积分利用牛顿-辛普森(Newton-Cotes)的公式进行近似计算，从而求出结果。
不定积分的定义和计算
不定积分的定义和计算不定积分是微积分的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在数学中，函数的导数被定义为函数变化率的极限，而不定积分则是导数的逆运算。
一、不定积分的定义不定积分可以理解为函数的原函数，也被称为反导函数。
给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
不定积分表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是一种基于函数导数与积分之间的关系来计算不定积分的方法。
根据常见函数的导数公式可以得到对应的不定积分公式，具体如下：（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数；（2）幂函数：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C，其中n不等于-1；（3）指数函数：∫eˣdx = eˣ + C；（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec²xdx = tanx + C；（5）对数函数：∫(1/x)dx = ln|x| + C。
2. 分部积分法分部积分法是利用乘积的求导公式来计算不定积分的方法。
公式表达为∫u'vdx = uv - ∫uv'dx，其中u和v分别表示函数u(x)和v(x)，而u'和v'表示它们的导数。
通过选择合适的u和v，可以将原函数的积分转化为其他容易计算的形式。
3. 代换法代换法是利用变量代换的方式来计算不定积分的方法。
通过选择适当的变量代换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。
常见的代换方法包括三角代换、指数代换和倒数代换等。
4. 部分分式分解法当需要求解一个复杂的有理函数的不定积分时，可以使用部分分式分解法。
这个方法将有理函数表示为简单的分式之和，然后逐个求解每个分式的不定积分。
5. 其他方法除了上述方法外，还有一些特定函数的不定积分可以采用特殊的方法求解，例如三角函数、双曲函数、反三角函数等。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结一、背景引入微积分作为数学的一个重要分支，是研究函数的变化规律的工具之一。
在微积分中，不定积分是其中的一大核心概念。
不定积分可以被看作是求函数原函数的逆运算，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将总结一些常见的不定积分计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
二、常见的不定积分计算方法1. 基本积分公式基本积分公式是求解不定积分时最基础、最重要的方法之一。
常见的基本积分公式有：- ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n为常数，C为常数。
例如，∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
- ∫e^x dx = e^x + C。
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
通过熟练掌握这些基本积分公式，可以快速计算出许多不定积分。
2. 代换法代换法是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。
它通过引入一个新的变量，将原先的变量换成新变量，从而将原本较难处理的积分转化为较容易处理的形式。
例如，对于∫(x^2 + 1)^(1/2) dx，我们可以令u = x^2 + 1，将积分转化为∫u^(1/2) du，然后再使用基本积分公式来计算。
3. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数积分时常用的方法。
它基于对积分符号下的函数进行分解，并适当选择哪一部分作为u，哪一部分作为dv，通过不断应用分部积分公式，将原先的积分转化为更简单的形式。
分部积分公式的表达式为∫u dv = uv - ∫v du。
例如，对于∫x sin(x) dx，我们可以将u = x，dv = sin(x) dx，然后使用分部积分公式来计算。
4. 三角代换法三角代换法是处理包含三角函数的积分时的一种常用方法。
它通过合理选择三角函数的变量替换原先的变量，将三角函数的积分转化为更易求解的形式。
例如，对于∫sqrt(a^2 - x^2) dx，我们可以令x = asin(t)，从而将积分转化为∫sqrt(a^2 - a^2 sin^2(t)) a cos(t) dt，然后再进行计算。
不定积分的基本技巧与计算方法
不定积分的基本技巧与计算方法一、不定积分的基本概念和定义（200字）不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
不定积分通常用∫来表示。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)满足F'(x) = f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数。
利用不定积分，我们可以求解出一个函数的所有原函数。
二、不定积分的基本规则（400字）1. 常数积分法：对于常数C，∫C dx = Cx + K（K为常数）2. 幂函数积分法：对于函数f(x) = x^n（n ≠ -1），则其原函数F(x) = ∫f(x) dx = (1/n+1)x^(n+1) + K（n ≠ -1，K为常数）3. 指数函数积分法：对于函数f(x) = e^x，其原函数F(x) = ∫f(x) dx = e^x + K （K为常数）4. 三角函数积分法：对于函数f(x) = sin(x)，其原函数F(x) = -cos(x) + K（K为常数）三、不定积分的常见计算方法（1200字）1. 分部积分法：当有一个积分是一个函数的导数乘另一个函数时，我们可以通过分部积分法来进行计算。
假设有两个函数u(x)和v(x)，则分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。
需要注意的是，选择u(x)和v'(x)时，要尽量使得∫v(x)u'(x)dx容易计算。
2. 换元积分法：当积分中存在复杂的函数组合时，我们可以通过换元积分法来进行简化。
假设有函数u(g(x))，并且g'(x) ≠ 0，则换元积分公式为∫f(u(g(x)))g'(x)dx =∫f(u)du。
在使用换元积分法时，需要进行适当的变量代换，使得积分变为更容易计算的形式。
3. 部分分式分解法：当被积函数是多项式或多项式除以多项式时，我们可以通过部分分式分解法进行计算。
部分分式分解法的基本思想是将一个有理函数拆分成几个简单的有理函数的和。
不定积分最全公式
不定积分最全公式不定积分是微积分中的重要概念，但在实际问题中，常常需要应用各种积分公式来求解不定积分。
下面将介绍一些常用的不定积分公式。
1.常数函数积分公式：∫kdx=kx+C2.幂函数积分公式：∫xdx=1/2x^2+C∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)+C (n≠-1)3.指数函数积分公式：∫e^xdx=e^x+C4.对数函数积分公式：∫(1/x)dx=ln，x，+C5.三角函数积分公式：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C6.反三角函数积分公式：∫1/√(1-x^2)dx=arcsinx+C∫1/√(1+x^2)dx=arctanx+C∫1/x^2+1dx=arctan(x)+C∫1/xlnxdx=Li(x)+C（其中Li(x)为Logarithmic integral函数）7.分部积分公式：∫u*dv=uv-∫v*du8.三角函数倍角公式积分公式：∫sin^2x dx=1/2(x-sin2x)+C∫cos^2xdx=1/2(x+sin2x)+C∫sinxcosxdx=1/2sin^2x+C∫sin^3xdx=-1/3cos^3x+C9.三角函数半角公式积分公式：∫sin(x/2)dx=-2cos(x/2)+C∫cos(x/2)dx=2sin(x/2)+C∫1/√2+2sin(x)dx=arcsec(tan(x/2))+C∫1/√2-2sin(x)dx=-arcsec(tan(x/2))+C10.积化和差公式：∫sinaxcosbxdx=1/2(a-b)[sin(a+b)x+sin(a-b)x]+C∫sinaxcosbxdx=1/2(a+b)[sin(a-b)x+sin(a+b)x]+C11.积化和积减公式：∫cosaxcosbxdx=1/2(a+b)[cos(a-b)x+cos(a+b)x]+C∫sinaxsinbxdx=1/2(a-b)[cos(a-b)x-cos(a+b)x]+C12.其他特殊函数积分公式：∫(ex+e-x)/2dx=(ex-e-x)/2+C∫dx/(x^2±b^2)=1/b*arctan(x/b)+C∫dx/√(x^2±b^2)=ln，x+√(x^2±b^2)，+C以上公式只是常用的不定积分公式的一部分，实际上不定积分还有很多其他的公式，包括特殊函数的积分公式，如双曲函数、贝塞尔函数等等。
2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
1 sin11 x 1 sin13 x C .
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
ln cosx C
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.
拆出个正\余 弦的1次幂
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
不定积分的定义与计算
不定积分的定义与计算不定积分，又称为原函数或反导数，是微积分中的重要概念之一。
在这篇文章中，我们将探讨不定积分的定义和计算方法，并通过一些例子来加深理解。
一、不定积分的定义不定积分是定积分的“逆运算”。
给定一个连续函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个不定积分。
简而言之，不定积分就是求导的逆运算。
二、不定积分的计算方法根据不定积分的定义，我们可以推导出一些基本的计算方法，例如：1. 基本积分法则根据导数的基本法则，我们可以推导出不定积分的基本法则：（a）常数法则：∫k dx = kx + C（其中k为常数，C为常数项）；（b）幂函数法则：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C（其中n不等于-1，C为常数项）；（c）指数函数法则：∫e^x dx = e^x + C；（d）三角函数法则：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C（其中C为常数项）。
2. 分部积分法当被积函数是两个函数的乘积时，我们可以使用分部积分法来求解不定积分，公式如下：∫u dv = uv - ∫v du（其中u和v分别为可导的函数）。
3. 有理函数的积分对于有理函数（多项式的比值），我们可以使用部分分式分解法来进行不定积分的计算。
具体的步骤可以参考相关教材或学习资料。
4. 常见函数的特殊积分对于一些特殊的函数，例如反三角函数、指数函数的复合函数、以及一些特殊的三角函数等，我们可以根据其性质和相关公式来进行不定积分的计算。
三、示例分析下面我们通过几个具体的例子，来演示不定积分的计算：例1：计算∫(x^2 + 2x + 1) dx。
解：根据不定积分的基本法则，我们可以直接对x^2 + 2x + 1中的每一项依次进行积分，得到：∫(x^2 + 2x + 1) dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C（其中C为常数项）。
不定积分与定积分的各种计算方法
不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分的计算方法：1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。
2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。
这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。
例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。
3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。
根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。
4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。
这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。
5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。
例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。
二、定积分的计算方法：1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。
根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。
2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。
利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。
3.换元法：与不定积分类似，定积分也可以通过引入新的变量来简化积分表达式。
需要注意的是，换元法在定积分中还需要考虑积分上下限的转换。
4.分部积分法：与不定积分类似，定积分也可以使用分部积分法进行计算。
求不定积分的几种方法
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２．２．１去根 号法
数函数或幂函数和反三角函数的乘积时 ，可没对数
ａ、 被积 甬数 ｜ｆＪ仪钉 一一种简单根式 Ｈ＇ｆ， 函数函数或反 ：三角函数为 ｕ其余部分为 ，但 有
可令 ｔ等于该根式进 行代换
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例 ３、求 小定 积分 ｆ ｓｉｎ√“
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由于分母是 ｓｉｎ ＸＣＯｉｌ； ，而 ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝ｌ，
当 ｃ－、 被 积 函 数 中 含 有 ：～ ｚ， ￣－９ｆ２与
被 积 函数 ！
：ｓｉｎ！Ｊ＋ ｃｏｓ √ 一“ 时，可根据三焦函数的一些公式进行
科 Ｉ教 ｛文 ｉ化
科 意
求不 定积 分 的几种 方法
刘 亚 婷 （兴 义 民族 师 范 学 院 ，贵 州 兴 义 ５６２４００）
摘 要 ：不定积分的求法 ，是学 习高等数学的基础 ，也是 学好积 分学的基 本工具 。但 不定积分的计 算却是 高等数学的难点之一 ，要 学好 不定积 分 珏须熟练掌握计算不定积分的三种方法（印 ：直接积分法 、换元积分法 、分部积分法 ），从 而为学好 高等数 学打下 坚实的基础 。
不定积分的基本性质与计算方法
不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中的重要内容，它可以用来求解函数的原函数。
在本文中，我们将探讨不定积分的基本性质以及计算方法。
1. 基本性质1.1 线性性质对于函数f(x)和g(x)以及常数a和b，有以下性质成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着在求不定积分时，我们可以将常数和函数分别积分，再将结果相加。
1.2 递推性质设F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意常数c，有以下性质成立：∫ f(x) dx = F(x) + c这意味着不定积分的结果可以通过求函数的一个原函数来获得。
1.3 换元积分法如果函数f(x)可以表示为另一个函数u的导数乘以u对x的导数，即f(x) = u'(x)·u''(x)，那么可以通过换元积分法来求解不定积分。
具体步骤如下：1）选取合适的u，使得f(x)可以表示为u'(x)·u''(x)的形式；2）计算u(x)的导数u'(x)和u''(x)；3）将f(x)用u'(x)·u''(x)形式表示，并且将dx表示为u'(x)的导数；4）进行代换，将不定积分转化为求解u的不定积分；5）求解u(x)的不定积分；6）将结果重新换回x的形式，即得到f(x)的原函数。
2. 计算方法2.1 常数函数的不定积分对于常数C，不定积分∫ C dx等于Cx + k，其中k是常数。
2.2 幂函数的不定积分对于幂函数f(x) = x^n，n≠-1，不定积分∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + k，其中k是常数。
2.3 三角函数的不定积分对于三角函数的不定积分，有以下常用的计算公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + k∫ cos(x) dx = sin(x) + k∫ sec^2(x) dx = tan(x) + k∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + k∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + k∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + k2.4 指数函数和对数函数的不定积分对于指数函数和对数函数的不定积分，有以下常用的计算公式：∫ e^x dx = e^x + k∫ a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + k∫ 1/x dx = ln|x| + k2.5 分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法之一，在计算两个函数的乘积的不定积分时特别有用。
不定积分计算的常用方法
不定积分计算的常用方法
1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法：包括整体换元，部分换元等等。
3、分部积分法：利用两个相加函数的微分公式，将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式
的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即为兎微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注：第二类换元法的转换式必须对称，并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
1、根式赋值法，
2、三角代换法。
在实际应用领域中，赋值法最常用的就是链式法则，而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法，自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是：将所求分数化成两个分数之差，分数难者先分数，实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假
分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能水解为部分分式之和。
总结不定积分的运算方法
总结不定积分的运算方法分母中含有或者不含有字母的积分称为不定积分。
今天我们学习了有关不定积分的一些知识，总结出了一些运算方法，让我们一起来回顾下吧！不定积分计算方法： 1、对于实数，可以采用乘法公式来计算，对于复数，可以用复数平面上的积分公式来计算。
2、如果分子中含有字母，那么就要先将字母变成有理式，再乘上分母。
3、求出不定积分，将被积函数变换成乘法形式。
2、如果分子中含有字母，那么就要先将字母变成有理式，再乘上分母。
3、求出不定积分，将被积函数变换成乘法形式。
4、解出不定积分，这是运算的关键。
5、用第二种方法：对于某些特殊的不定积分，即使分子中含有字母，只要分母中没有字母，也能直接计算出来。
例如，不定积分可以用“罗尔－洛夫积分公式”来计算，即把f(x)=ax2+bx+c的积分简写成(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，然后再进行计算，求出的结果为常数。
如果将a、 b、 c取成一个定值a，另一个变量x的话，就变成：(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，将此积分公式改写成：dx2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，再求出的结果即为不定积分。
2、如果分子中含有字母，那么就要先将字母变成有理式，再乘上分母。
3、求出不定积分，将被积函数变换成乘法形式。
4、解出不定积分，这是运算的关键。
5、用第二种方法：对于某些特殊的不定积分，即使分子中含有字母，只要分母中没有字母，也能直接计算出来。
例如，不定积分可以用“罗尔－洛夫积分公式”来计算，即把f(x)=ax2+bx+c的积分简写成(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，然后再进行计算，求出的结果为常数。
如果将a、 b、 c取成一个定值a，另一个变量x的话，就变成：(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，将此积分公式改写成：dx2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c=ax2+bx+c+a(x-a)2+(x-b)2+…+(x-c)2+ax2+bx+c，再求出的结果即为不定积分。
第二讲不定积分的计算方法I
第二讲不定积分的计算方法I在上一讲中，我们介绍了不定积分的概念及其基本性质。
本次讲座中，我们将继续探讨不定积分的计算方法，并会用到一些基本的积分公式和技巧。
一、基本积分公式1.幂函数的不定积分对于幂函数$f(x) = x^n (n \neq -1)$，我们有如下公式：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$其中，$C$为常数。
特殊地，对于$n=-1$的情况，我们有：$$\int \frac{1}{x} dx = \ln ，x， + C$$2.指数函数和对数函数的不定积分指数函数和对数函数也有一些基本的不定积分公式：$$\int a^xdx = \frac{1}{\ln a}a^x + C$$$$\int \frac{1}{x} dx = \ln ，x， + C$$其中，$a$为正实数，且$a \neq 1$。
3.三角函数的不定积分对于三角函数，有如下的不定积分公式：$$\int \sin x dx = -\cos x + C$$$$\int \cos x dx = \sin x + C$$$$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$$$$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$$$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$$$$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$$二、基本的不定积分技巧1.基本积分表达式的组合不同的函数可以通过基本的积分公式组合而成。
例如，要计算$\int(2x^3+3x^2+5x+6)dx$，我们可以分别计算$x^4$、$x^3$、$x^2$和$x$的积分，然后将它们相加，即得到结果。
2.分解复杂函数对于一些较为复杂的函数，我们可以通过分解来简化计算。
例如，对于$\int \sin^2 x dx$，我们可以将其分解为$\int (1-\cos^2 x) dx$，然后再计算这两个部分的积分。
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三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
30
之前的 引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
解
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式 4
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量 例2
x的函数, y 7 25 . 又固定成本为1000元
1.公式 : 首先看复合函数的导数 公式 :
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则 看出点什么东西没有?
相应的凑微分公式(方法):
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
22
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
x 2x
1
1 2x
1 2
d(2x
1)
1 2
1 u
d
u
1 ln u C 1 ln(2x 1) C .
2
2
利用令u=2x+1.换元后问题得简化
15
例4 解
求
1
d
x e
x
.
?
d x 1 ex
1
ex 1
ex
ex
d
x
dx
1
ex ex
d
x
x ln(1 ex ) C .
dex d (ex 1)
利用令u=x+1.换元后问题得简化
13
例3
求
1
d
x 2x
.
(过程模仿上例题)
?
令u=2x+1.
解
d 1
x 2x
1
1 2x
d(2x
1)
1 u
d
u
ln u C ln(2x 1) C .
利用令u=2x+1.换元后问题得简化
这计算过程有问题没?
14
例3
求
1
d
x 2x
.
令u=2x+1.
解
d 1
例13
32
真分式分解为部分分式 :
比较等式2边得:A=5, B=-3 .
33
=5ln(x-2)-3ln(x-3)+C
34
例14
求
(x
dx a)(x
b)
(a b) .
解
(
x
dx a)(x
b)
a
1
b
x
1
a
x
1
b
d
x
部分分式法
a
1
b
x
1
a
d
x
x
1
b
d
x
1 ln x a C . ab xb
1 sin11 x 1 sin13 x C .
11
13
25
例11 求 sin 3 x d x .
解 由于sin 3 x sin 2 x sin x (1 cos2 x) sin x ,
故令 u cos x , 则 d u sin x d x, 从而，得
sin 3 x d x (1 cos2 x) sin x d x (1 u2 )( d u)
x
求成本函数.
y 7
25
.
解: 因为
x 所以y是它的原函数,即:
y
(7
25 ) d x x
7dx
-1
25x 2dx
7x
50
x c.
又固定成本为1000元,即x=0 (不生产)时,y=1000 所以 c=1000,故本函数为: y 7x 50 x 1000 .
5
例3 解
求
3x2 x2
(2). xadx=d(xa+1)/(a+1).
比如: xdx=d(x2)/2
• 下面介绍两大类型被积函数的积分方法:
19
二. 三角函数的积分计算例:
1. 先观察下面这个例子的多种求解过程
例7 求 sin 2x d x .
解
法1:
sin 2x d x
sin
2x
1 2
d
2x
1 2
sin
udu
1 cosu C 2
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
1
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
1
d
x
.
解
2x2 3x 1 2x 5 6 (多项式的 除法)
x 1
x 1
2
x
2
3x x 1
1
d
x
(2
x
5
x
6
) 1
d
x
2x
d
x
5
d
x
6
x
1 1
d
x
x2 5x 6ln | x 1| C .
31
2.分母可以因式分解(1次因式)时: 部分分式法计算步骤:
• 先将分母因式分解1次因式; • 再利用待定系数法分解部分分式的和; • 对每个部分分式的计算积分.
35
1
d
x
.
3x2 x2
1
d
x
3x2 x
3 2 1
3
d
x
3
dx3
1 1 x2
d
x
3x 3arctan x C .
利用加一项、减一项的方法,也可利用多项式的 除法;该方法普遍适用于有理函数的积分问题.
6
第4节. 不定积分的换元法
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
2
第三节 不定积分的性质计算法
利用性质（基本公式）计算不定积分：
直接计算法． 例. 求
有直接的积分公式吗 !？
有直 x接 d的x 积 分11公x式1吗 C!？有
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
3
例1
求 (2x3 1)3 d x . 有初直等接数的学积中分的公展式开吗式!？
1 cos2x C 2
下面看另一种解法. 20
例7 求 sin 2x d x . 解 法2 : sin 2x d x 2sin x cosx d x
2 sin xd sin x 2udu
u2 C sin2x C
这2种解法 \ 答案一样么? 21
被积函数只是关于三角函数的积分计算问题:
F (u) C
F ((x)) C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
11
2.换元积分的效率:
再利用积分的
指数为100时如线何性? 性质计算
例1 求 (2x 1)3 d x .
展开式
解 法1: (2x 1)3 d x (8x3 12x2 6x 1)d x
拆出个正\余 弦的1次幂
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
比如下面的例子: 单利用上节的方法就有 点问题了.
7
引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
1
d
x
.
解
2x2 3x 1 2x 5 6 (多项式的 除法)
x 1
x 1
2
x
2
3x x 1
1
d
x
(2
x
5
x
6
) 1
d
x
2x
d
x
5
d
x
6
x
1 1
d
x
x2 5x 6ln | x 1| C .