等比数列的概念及通项公式导学案

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等比数列的概念及通项公式

基本概念

新知：

1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1

n n a a -= （q ≠0）

2. 等比数列的通项公式：

21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：

3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则

4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a

例题

例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比

（1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13

181-4121-1，，，

例二、指出下列等比数列中的未知项

（1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2

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问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b

G ab G a G

=⇒=⇒= 新知1：等比中项定义

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，

b 同号）.

试试：数4和6的等比中项是 .

例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112

≥=+-n a a a n n n ？

（2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112

≥=≥+-n a a a n n n n n 都有）

（那么}{n a 一定是等比数列

吗？

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例四、在等比数列}{n a 中， （1） 已知61,2,3a q a 求-==

（2） 已知n a a a 求,160,2063==

（3） 已知n a a a a a n 求,125,6,243224

==+=-

（4） 已知的等比中项与求7552321,42,168a a a a a a a =-=++

练习

1、在等比数列}{n a 中，852,54,2a a a 求=-=

2、在等比数列}{n a 中，=+=++53645342,3620a a a a a a a a a n 则，＞

3、在等比数列}{n a 中，===604515,90,10a a a 则

4、在等比数列}{n a 中，=+=+=+654321,120,30a a a a a a 则

5、三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.

6、在等比数列}{n a 中，===11109876543,24,3a a a a a a a a a 则

7、（1）在等比数列}{n a 中，已知181091,100,5a a a a 求== （2）在等比数列}{n a 中，已知34=a ，求该数列前7项之积

3

8、等比数列}{n a 的各项均为正数，

且的值求10231374653log log log ,18a a a a a a a ∙∙∙++=+

9、在等比数列}{n a 中，的值求2019181784,4,1a a a a S S +++==

公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：

1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若

数列{}n b 为等比数列，则}{n n b a ⋅，{}n n a

b 也等比.

2. 若*m N ∈，则m n m n q a a -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.

3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则l k n m a a a a =.

4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列.

例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.