用函数观点看一元二次方程(含答案)

用函数观点看一元二次方程

学习要求

1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．

2．掌握并运用二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)解题．

课堂学习检测

一、填空题

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________ ____________．

2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．

3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．

4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．

5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．

6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．

二、选择题

7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )

A．没有实根

B．只有一个实根

C．有两个实根，且一根为正，一根为负

D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2

8．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )

A．只有一个B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个D．无交点

9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根D．无实数根

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，＞0 B．a＞0，＜0

C．a＜0，＞0 D．a＜0，＜0

三、解答题

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．

12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．

综合、运用、诊断

一、填空题

13．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为______．

8

14．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为

9

二、选择题

15．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )

A．0 B．1 C．2 D．－1 16．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )

A．有两个交点B．有一个交点

C．没有交点D．可能有一个交点

17．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )

1

A．0 B．－1 C．2 D．

4 18．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是( )

A ．无实根

B ．有两个相等实数根

C ．有两个异号实数根

D ．有两个同号不等实数根

19．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a )，与x 轴交点坐标为(b ，0)和(－b ，0)，

若a ＞0，则函数解析式为( ) A ．a x b

a

y +=

2 B ．a x b

a y +-

=2

2 C ．a x b

a y --

=22

D ．a x b a y -=2

2 20．若m ，n (m ＜n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两个根，且a ＜b ，则a ，b ，

m ，n 的大小关系是( ) A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜b C ．a ＜m ＜b ＜n

D ．m ＜a ＜n ＜b

三、解答题

21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下

表：

(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；

(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______．

①223

,02121<<<<-x x ②25

2,21121<<-<<-x x

③2

52,02121<<<<-x x

④22

3

,

21121<<-<<-x x 22．m 为何值时，抛物线y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋m －1与x 轴没有交点?

23．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋m

(1)有公共点；(2)没有公共点．

拓展、探究、思考

24．已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．

(1)求m 的取值范围．

(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式．