最新高中文科数学导数大题练习题
导数文科大题含详细标准答案
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导数文科大题含详细答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:导数文科大题1.知函数,. (1)求函数的单调区间;(2)若关于的方程有实数根,求实数的取值范围. 答案解析2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,求实数a 的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.解:(1)时,,′(x),′(1)=3,,数在点处的切线方程为,(2)函数在上是增函数,′(x),在上恒成立,即,在上恒成立,令,当且仅当时,取等号, ,的取值范围为(3),′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去);②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,,计算得出,满足条件;③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去);综上,存在实数,使得当时,有最小值3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案3.已知函数,(1)分别求函数与在区间上的极值;(2)求证:对任意,解:(1),令,计算得出:,,计算得出:或,故在和上单调递减,在上递增,在上有极小值,无极大值;,,则,故在上递增,在上递减,在上有极大值,,无极小值;(2)由(1)知,当时,,,故;当时,,令,则,故在上递增,在上递减,,;综上,对任意,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及单调区间及极值;4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,.解:(1)当时,,则,,故则在R上单调递减.(2)当时,,要证明对任意的,.则只需要证明对任意的,.设,看作以a为变量的一次函数,要使,则,即,恒成立,①恒成立,对于②,令,则,设时,,即.,,在上,,单调递增,在上,,单调递减,则当时,函数取得最大值,故④式成立,综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解:(1)设切线的斜率为k.因为,所以,所以,所以所求的切线方程为,即(2)根据题意得, 令,可得①若,则,当时,,则在上单调递增.所以②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以③若,则,所以,随x的变化情况如下表:x 1 20 - 0 + 0-e Φ极小值Γ0所以的单调递减区间为,单调递增区间为所以在上的最小值为综上所述:当时,;当时,;当时,解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.6.已知函数。
直击2024年高考——高三数学导数题型专练(全国版)
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导数题型专练【利用公式和四则运算求导】 【例1】下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′=-1x ln 2x B .(x 2e x )′=2x +e x C.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3′=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3 D.⎝⎛⎭⎫x -1x ′=1+1x 2 【答案】 AD【解析】 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′=-1ln 2x ·(ln x )′=-1x ln 2x , 故A 正确;(x 2e x )′=(x 2+2x )e x ,故B 错误;⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3′=-2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,故C 错误;⎝⎛⎭⎫x -1x ′=1+1x 2,故D 正确.【复合函数求导】 【例2】设函数,若,则.【答案】 1; 【解析】 函数, , ,,解得, 故答案为:.【根据导数构造抽象函数】 【例3】已知可导函数的导函数为,若对任意的,都有,且为奇函数,则不等式的解集为( ).A.B.C.D.【答案】 A; 【解析】 设,由,得:,故函数在递减,由为奇函数,得, ∴,即,∵不等式,∴,即, 结合函数的单调性得:, 故不等式的解集是.故选.【求在某点处的切线方程】【例4】曲线y =2x -1x +2在点(-1,-3)处的切线方程为__________.【答案】 5x -y +2=0【解析】 y ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -1x +2′=2(x +2)-(2x -1)(x +2)2=5(x +2)2,所以y ′|x =-1=5(-1+2)2=5,所以切线方程为y +3=5(x +1),即5x -y +2=0.【求过某点处的切线方程】【例5】y =2x 2+8过点P(1,2)的切线方程是( ). A. y =−4x +6B. y =12x −10C. y =−4x +6或y =12x −10D. y =4x +6或y =12x −10【答案】 C;【解析】 设切点坐标为(x 0 ,2x 02+8),y ′=4x ,∴切线斜率k =4x 0,则2x 02+8−2x 0−1=4x 0,解得x 0=−1或3,∴所求切线方程为y =−4x +6或y =12x −10.【根据切线求参数问题】【例6】直线y =kx +1与曲线f (x )=a ln x +b 相切于点P (1,2),则2a +b 等于( ) A .4 B .3C .2D .1【答案】 A【解析】 ∵直线y =kx +1与曲线f (x )=a ln x +b 相切于点P (1,2), 将P (1,2)代入y =kx +1, 可得k +1=2,解得k =1, ∵ f (x )=a ln x +b ,∴ f ′(x )=ax , 由f ′(1)=a1=1,解得a =1,可得f (x )=ln x +b , ∵P (1,2)在曲线f (x )=ln x +b 上, ∴f (1)=ln 1+b =2,解得b =2,故2a +b =2+2=4.【例7】过定点P (1,e)作曲线y =a e x (a >0)的切线,恰有2条,则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (1,+∞)【解析】 由y ′=a e x ,若切点为(x 0,0e x a ), 则切线方程的斜率k =0'|x x y ==0e x a >0,∴切线方程为y =0e x a (x -x 0+1), 又P (1,e)在切线上, ∴0e x a (2-x 0)=e ,即ea =0e x (2-x 0)有两个不同的解,令φ(x )=e x (2-x ), ∴φ′(x )=(1-x )e x ,当x ∈(-∞,1)时,φ′(x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,φ′(x )<0,∴φ(x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴φ(x )max =φ(1)=e , 又x →-∞时,φ(x )→0; x →+∞时,φ(x )→-∞, ∴0<ea <e ,解得a >1,即实数a 的取值范围是(1,+∞).【两曲线的公切线】【例8】已知函数f (x )=x ln x ,g (x )=x 2+ax (a ∈R ),直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0),若直线l 与g (x )的图象也相切,则a 等于( ) A .0 B .-1 C .3 D .-1或3【答案】 D【解析】 由f (x )=x ln x 求导得f ′(x )=1+ln x ,则f ′(1)=1+ln 1=1,于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y =x -1,因为直线l 与g (x )的图象也相切,则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x -1,g x =x 2+ax ,有唯一解,即关于x 的一元二次方程x 2+(a -1)x +1=0有两个相等的实数根, 因此Δ=(a -1)2-4=0,解得a =-1或a =3, 所以a =-1或a =3.【利用导数确定函数图象】 【例9】已知函数,则的图象大致为( ).A. B.C. D.【答案】A;【解析】令,则,由,得,即函数在上单调递增,由得,即函数在上单调递减,所以当时,函数有最小值,,于是对任意的,有,故排除、,因为函数在上单调递减,则函数在上单调递增,故排除.故选.【利用导数求具体函数的单调性】【例10】函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是()A.(0,1) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-1,1)【答案】A【解析】∵f′(x)=2x-2 x=2(x+1)(x-1)x(x>0),令f′(x)=0,得x=1,∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.【例11】若函数f(x)=ln x+1e x,则函数f(x)的单调递减区间为________.【答案】(1,+∞)【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x-ln x-1e x,令φ(x)=1x-ln x-1(x>0),φ′(x)=-1x2-1x<0,φ(x)在(0,+∞)上单调递减,且φ(1)=0,∴当x∈(0,1)时,φ(x)>0,当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.【利用导数求含参函数的单调性】【例12】已知函数.讨论的单调性.【答案】当时,增区间为,无减区间;当时,增区间为,减区间为.【解析】函数的定义域为:,,①当时,恒成立,在上单调递增,无减区间;②当时,令,解得,∴增区间为,减区间为综上:当时,增区间为,无减区间;当时,增区间为,减区间为.【例13】已知函数是自然对数的底数).讨论的单调性.【答案】 当时,在上单调递减; 当时,在上单调递减,在上单调递增. 【解析】,当时,,在上单调递减; 当时,由得,所以在上单调递减;由得,所以在上单调递增.综上,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.【导数解决单调性的应用-比较大小】【例14】已知函数f (x )=x sin x ,x ∈R ,则f ⎝⎛⎭⎫π5,f (1),f ⎝⎛⎭⎫-π3的大小关系为( ) A .f ⎝⎛⎭⎫-π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B .f (1)>f ⎝⎛⎭⎫-π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C .f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫-π3 D .f ⎝⎛⎭⎫-π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 【答案】 A【解析】 因为f (x )=x sin x ,所以f (-x )=(-x )·sin(-x )=x sin x =f (x ),所以函数f (x )是偶函数,所以f ⎝⎛⎭⎫-π3=f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=sin x +x cos x >0,所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递增,所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3,即f ⎝⎛⎭⎫-π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5.【导数解决单调性的应用-解不等式】【例15】已知函数f (x )=e x -e -x -2x +1,则不等式f (2x -3)>1的解集为________.【答案】 ⎝⎛⎭⎫32,+∞【解析】 f (x )=e x -e -x -2x +1,定义域为R , f ′(x )=e x +e -x -2≥2e x ·e -x -2=0,当且仅当x =0时取“=”, ∴f (x )在R 上单调递增, 又f (0)=1,∴原不等式可化为f (2x -3)>f (0), 即2x -3>0,解得x >32, ∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32,+∞.【导数解决单调性的应用-求参数范围】【例16】已知函数f (x )=12x 2+2ax -ln x ,若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13,2上单调递增,则实数a 的取值范围为________. 【答案】 ⎣⎡⎭⎫43,+∞ 【解析】 由题意知f ′(x )=x +2a -1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13,2上恒成立, 即2a ≥-x +1x 在⎣⎡⎦⎤13,2上恒成立, ∵⎝⎛⎭⎫-x +1x max =83, ∴2a ≥83,即a ≥43.【根据函数图象判断极值】【例17】设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(x -1)f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3) C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)【答案】D【解析】由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f′(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).【利用导数求函数的极值】【例18】已知函数,其中.求函数的极值.【答案】当时,在单调递减,无极值,当时,在单调递增,上单调递减.∴有极大值.【解析】,,令得,,当时,在单调递减,无极值,当时,在单调递增,上单调递减.∴有极大值.【例19】已知函数.判断函数的极值点的个数,并说明理由.【答案】当时,函数有一个极值点;当或时,函数有两个极值点,当时,函数无极值点.【解析】因为,所以.()当时,有,令,得.当变化时,和的变化情况如下:所以当时,函数只有一个极值点.()当时,令,得,.①当时,.当变化时,和的变化情况如下:所以当时,函数有两个极值点.②当时,恒成立,所以在上单调递增,所以当时,函数无极值点.③当时,,当变化时,和的变化情况如下:所以当时,函数有两个极值点,综上,当时,函数有一个极值点;当或时,函数有两个极值点,当时,函数无极值点.【已知极值(点)求参数】【例20】函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处取得极值10,则a +b 等于()A .-7B .0C .-7或0D .-15或6【答案】 A【解析】 由题意知,函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2,可得f ′(x )=3x 2+2ax +b ,因为f (x )在x =1处取得极值10,可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)=3+2a +b =0,f (1)=1+a +b +a 2=10,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =-11,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =3,检验知,当a =-3,b =3时,可得f ′(x )=3x 2-6x +3=3(x -1)2≥0,此时函数f (x )单调递增,函数无极值点,不符合题意;当a =4,b =-11时,可得f ′(x )=3x 2+8x -11=(3x +11)(x -1),当x <-113或x >1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当-113<x <1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,当x =1时,函数f (x )取得极小值,符合题意.所以a +b =-7.【利用导数求函数的最值】【例21】函数的最小值为 . 【答案】 ; 【解析】 当时,,,此时单调递减,此时.当时,,, 当时,,单调递减, 时,,单调递增, ∴此时,∵,∴的最小值为. 【例22】已知函数g (x )=a ln x +x 2-(a +2)x (a ∈R ).(1)若a =1,求g (x )在区间[1,e]上的最大值;(2)求g (x )在区间[1,e]上的最小值h (a ).【答案】(1) e 2-3e +1;(2) h (a )=⎩⎪⎨⎪⎧ -a -1,a ≤2,a ln a 2-14a 2-a ,2<a <2e ,(1-e )a +e 2-2e ,a ≥2e.【解析】 (1)∵a =1,∴g (x )=ln x +x 2-3x ,∴g ′(x )=1x +2x -3=(2x -1)(x -1)x, ∵x ∈[1,e],∴g ′(x )≥0,∴g (x )在[1,e]上单调递增,∴g (x )max =g (e)=e 2-3e +1.(2)g (x )的定义域为(0,+∞),g ′(x )=a x +2x -(a +2)=2x 2-(a +2)x +a x=(2x -a )(x -1)x. ①当a 2≤1,即a ≤2时,g (x )在[1,e]上单调递增,h (a )=g (1)=-a -1;②当1<a 2<e ,即2<a <2e 时,g (x )在⎣⎡⎭⎫1,a 2上单调递减,在⎝⎛⎦⎤a 2,e 上单调递增,h (a )=g ⎝⎛⎭⎫a 2=a ln a 2-14a 2-a ;③当a 2≥e ,即a ≥2e 时,g (x )在[1,e]上单调递减,h (a )=g (e)=(1-e)a +e 2-2e.综上,h (a )=⎩⎪⎨⎪⎧ -a -1,a ≤2,a ln a 2-14a 2-a ,2<a <2e ,(1-e )a +e 2-2e ,a ≥2e.【数形结合法研究函数零点】【例23】已知函数f (x )=e x -a (x +2).(1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.【解析】 (1)当a =1时,f (x )=e x -(x +2),f ′(x )=e x -1,令f ′(x )<0,解得x <0,令f ′(x )>0,解得x >0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)令f (x )=0,得e x =a (x +2),即1a =x +2e x ,所以函数y =1a 的图象与函数φ(x )=x +2e x 的图象有两个交点,φ′(x )=-x -1e x ,当x ∈(-∞,-1)时,φ′(x )>0;当x ∈(-1,+∞)时,φ′(x )<0,所以φ(x )在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,所以φ(x )max =φ(-1)=e ,且x →-∞时,φ(x )→-∞;x →+∞时,φ(x )→0,所以0<1a <e ,解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ,+∞.【利用函数性质研究函数零点】【例24】已知函数f (x )=x -a ln x (a >0).(1)求函数f (x )的单调区间;(2)求函数g (x )=12x 2-ax -f (x )的零点个数.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),由f (x )=x -a ln x 可得f ′(x )=1-a x =x -a x ,由f ′(x )>0可得x >a ;由f ′(x )<0可得0<x <a ,所以f (x )的单调递减区间为(0,a ),单调递增区间为(a ,+∞).(2)由g (x )=12x 2-ax -x +a ln x=12x 2-(a +1)x +a ln x ,可得g ′(x )=x -(a +1)+a x令g ′(x )=0可得x =1或x =a ,因为g (1)=12-a -1=-a -12<0,g (2a +3)=12(2a +3)2-(a +1)(2a +3)+a ln(2a +3)=a +a ln(2a +3)+32>0,当a >1时,g (x )在(1,a )上单调递减,所以g (1)>g (a ),所以g (a )<0,所以g (x )有一个零点,当a =1时,g (x )在(0,+∞)上单调递增,所以g (x )有一个零点,当0<a <1时,g (x )在(0,a )上单调递增,在(a ,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时g (a )=12a 2-(a +1)a +a ln a=-12a 2-a +a ln a <0,g (x )只有一个零点,综上所述,g (x )在(0,+∞)上只有一个零点.【导数构造问题】【例25】已知定义在R 上的函数f (x ),其导函数为f ′(x ),当x >0时,f ′(x )-f (x )x >0,若a=2f (1),b =f (2),c =4f ⎝⎛⎭⎫12,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .c <b <aB .c <a <bC .b <a <cD .a <b <c 【答案】 B【解析】 构造函数g (x )=f (x )x (x >0),得g ′(x )=xf ′(x )-f (x )x 2=1x ⎣⎡⎦⎤f ′(x )-f (x )x , 由题知当x >0时,f ′(x )-f (x )x >0,所以g ′(x )>0,故g (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f (2)2>f (1)1>f ⎝⎛⎭⎫1212,即f (2)>2f (1)>4f ⎝⎛⎭⎫12,即b >a >c .【例26】(多选)已知f (x )是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( )A .f (2)<e 2f (0)B .f (2)>e 2f (0)C .e 2f (-1)>f (1)D .e 2f (-1)<f (1)【答案】 AC【解析】 构造F (x )=f (x )e x ,则F ′(x )=e x f ′(x )-e x f (x )e 2x =f ′(x )-f (x )e x,导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x ),则F ′(x )<0,F (x )在R 上单调递减,根据单调性可知A ,C 选项正确.【例27】(多选)定义在⎝⎛⎭⎫0,π2上的函数f (x ),已知f ′(x )是它的导函数,且恒有cos x ·f ′(x )+sin x ·f (x )<0成立,则有( )A .f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C .f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4 【答案】 CD【解析】 构造函数g (x )=f (x )cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2. 则g ′(x )=f ′(x )cos x +f (x )sin x (cos x )2<0,即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递减, 所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3,所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3, 同理g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4, 即2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4.【同构法导数构造】【例28】若存在x ,y ∈(0,+∞)使得x ln(2ax )+y =x ln y ,则实数a 的最大值为( ) A.1eB.12eC.13eD.2e【答案】 B【解析】 由x ln(2ax )+y =x ln y ,得ln(2a )=ln y x -y x ,令t =y x >0,g (t )=ln t -t ,则g ′(t )=1t -1=1-t t ,当0<t <1时,g ′(t )>0,当t >1时,g ′(t )<0,所以g (t )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当t =1时,g (t )取得极大值即最大值g (1)=-1,因为当t →0时,g (t )→-∞,所以g (t )∈(-∞,-1],所以ln 2a ≤-1,所以0<a ≤12e ,所以实数a 的最大值为12e .【分参法解决恒成立问题】【例29】已知函数f (x )=(x -2)e x -12ax 2+ax (a ∈R ).(1)当a =0时,求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)当x ≥2时,f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围.【解析】(1)当a =0时,f (x )=(x -2)e x ,f (0)=(0-2)e 0=-2,f ′(x )=(x -1)e x ,k =f ′(0)=(0-1)e 0=-1,所以切线方程为y +2=-(x -0),即x +y +2=0.(2)方法一 当x ≥2时,f (x )≥0恒成立,等价于当x ≥2时,(x -2)e x -12ax 2+ax ≥0恒成立.即⎝⎛⎭⎫12x 2-x a ≤(x -2)e x 在[2,+∞)上恒成立.当x =2时,0·a ≤0,所以a ∈R .当x >2时,12x 2-x >0,所以a ≤(x -2)e x 12x 2-x=2e x x 恒成立. 设g (x )=2e x x ,则g ′(x )=2(x -1)e x x 2, 因为x >2,所以g ′(x )>0,所以g (x )在区间(2,+∞)上单调递增.所以g (x )>g (2)=e 2,所以a ≤e 2.综上所述,a 的取值范围是(-∞,e 2].【整体法解决恒成立问题】【例30】已知函数f (x )=e x -1-ax +ln x (a ∈R ). (1)若函数f (x )在x =1处的切线与直线3x -y =0平行,求a 的值;(2)若不等式f (x )≥ln x -a +1对一切x ∈[1,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )=e x -1-a +1x ,∴f ′(1)=2-a =3,∴a =-1,经检验a =-1满足题意,∴a =-1,(2)f (x )≥ln x -a +1可化为e x -1-ax +a -1≥0,x >0,令φ(x )=e x -1-ax +a -1,则当x ∈[1,+∞)时,φ(x )min ≥0,∵φ′(x )=e x -1-a ,①当a ≤1e 时,φ′(x )>0,∴φ(x )在[1,+∞)上单调递增,∴φ(x )min =φ(1)=1-a +a -1=0≥0恒成立,∴a ≤1e 符合题意.②当a >1e 时,令φ′(x )=0,得x =ln a +1.当x ∈(0,ln a +1)时,φ′(x )<0,当x ∈(ln a +1,+∞)时,φ′(x )>0,∴φ(x )在(0,ln a +1)上单调递减,在(ln a +1,+∞)上单调递增.当ln a +1≤1,即1e <a ≤1时,φ(x )在[1,+∞)上单调递增,φ(x )min =φ(1)=0≥0恒成立,∴1e <a ≤1符合题意.当ln a +1>1,即a >1时,φ(x )在[1,ln a +1)上单调递减,在(ln a +1,+∞)上单调递增, ∴φ(x )min =φ(ln a +1)<φ(1)=0与φ(x )≥0矛盾.故a >1不符合题意.综上,实数a 的取值范围为(-∞,1].【双变量的恒(能)成立问题】【例31】设f (x )=a x +x ln x ,g (x )=x 3-x 2-3.(1)如果存在x 1,x 2∈[0,2],使得g (x 1)-g (x 2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数M ;(2)如果对于任意的s ,t ∈⎣⎡⎦⎤12,2,都有f (s )≥g (t )成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)存在x 1,x 2∈[0,2],使得g (x 1)-g (x 2)≥M 成立,等价于[g (x 1)-g (x 2)]max ≥M 成立. g ′(x )=3x 2-2x =x (3x -2),令g ′(x )=0,得x =0或x =23,∵g ⎝⎛⎭⎫23=-8527, 又g (0)=-3,g (2)=1, ∴当x ∈[0,2]时,g (x )max =g (2)=1,g (x )min =g ⎝⎛⎭⎫23=-8527, ∴M ≤1-⎝⎛⎭⎫-8527=11227, ∴满足条件的最大整数M 为4.(2)对任意的s ,t ∈⎣⎡⎦⎤12,2有f (s )≥g (t ),则f (x )min ≥g (x )max .由(1)知当x ∈⎣⎡⎦⎤12,2时,g (x )max =g (2)=1, ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12,2时,f (x )=a x +x ln x ≥1恒成立, 即a ≥x -x 2ln x 恒成立.令h (x )=x -x 2ln x ,x ∈⎣⎡⎦⎤12,2,∴h ′(x )=1-2x ln x -x , 令φ(x )=1-2x ln x -x , ∴φ′(x )=-3-2ln x <0,h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12,2上单调递减,又h ′(1)=0,∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12,1时,h ′(x )≥0, 当x ∈[1,2]时,h ′(x )≤0,∴h (x )在⎣⎡⎦⎤12,1上单调递增,在[1,2]上单调递减,∴h (x )max =h (1)=1,故a ≥1.∴实数a 的取值范围是[1,+∞).【利用导数证明不等式】【例32】已知函数g (x )=x 3+ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数,求a 的取值范围;(2)已知a >-1,x >0,求证:g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知,函数g (x )=x 3+ax 2,则g ′(x )=3x 2+2ax ,若g (x )在[1,3]上单调递增,则g ′(x )=3x 2+2ax ≥0在[1,3]上恒成立,则a ≥-32;若g (x )在[1,3]上单调递减,则g ′(x )=3x 2+2ax ≤0在[1,3]上恒成立,则a ≤-92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-92∪⎣⎡⎭⎫-32,+∞. (2)证明 由题意得,要证g (x )>x 2ln x ,x >0,即证x 3+ax 2>x 2ln x ,即证x +a >ln x ,令u (x )=x +a -ln x ,x >0,可得u ′(x )=1-1x =x -1x ,x >0,当0<x <1时,u ′(x )<0,函数u (x )单调递减;当x >1时,u ′(x )>0,函数u (x )单调递增.所以u (x )≥u (1)=1+a ,因为a >-1,所以u (x )>0,故当a >-1时,对于任意x >0,g (x )>x 2ln x .【例33】已知函数f (x )=a ln x +x .(1)讨论f (x )的单调性;(2)当a =1时,证明:xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=a x +1=x +a x .当a ≥0时,f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.当a <0时,若x ∈(-a ,+∞),则f ′(x )>0;若x ∈(0,-a ),则f ′(x )<0.所以f (x )在(-a ,+∞)上单调递增,在(0,-a )上单调递减.综上所述,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a <0时,f (x )在(-a ,+∞)上单调递增,在(0,-a )上单调递减.(2)证明 当a =1时,要证xf (x )<e x ,即证x 2+x ln x <e x ,即证1+ln x x <e x x 2.令函数g (x )=1+ln x x ,则g ′(x )=1-ln x x 2.令g ′(x )>0,得x ∈(0,e);令g ′(x )<0,得x ∈(e ,+∞).所以g (x )在(0,e)上单调递增,在(e ,+∞)上单调递减,所以g (x )max =g (e)=1+1e ,令函数h (x )=e x x 2,则h ′(x )=e x (x -2)x 3.当x ∈(0,2)时,h ′(x )<0;当x ∈(2,+∞)时,h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h (x )min =h (2)=e 24.因为e 24-⎝⎛⎭⎫1+1e >0,所以h (x )min >g (x )max ,即1+ln x x <e x x 2,从而xf (x )<e x 得证.【例34】已知函数f (x )=e x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)当x >-2时,求证:f (x )>ln(x +2).(1)解 由f (x )=e x ,得f (0)=1,f ′(x )=e x ,则f ′(0)=1,即曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y -1=x -0,所以所求切线方程为x -y +1=0.(2)证明 设g (x )=f (x )-(x +1)=e x -x -1(x >-2),则g ′(x )=e x -1,当-2<x <0时,g ′(x )<0;当x >0时,g ′(x )>0,即g (x )在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,于是当x =0时,g (x )min =g (0)=0,因此f (x )≥x +1(当且仅当x =0时取等号),令h (x )=x +1-ln(x +2)(x >-2),则h ′(x )=1-1x +2=x +1x +2, 则当-2<x <-1时,h ′(x )<0,当x >-1时,h ′(x )>0,即有h (x )在(-2,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,于是当x =-1时,h (x )min =h (-1)=0,因此x +1≥ln(x +2)(当且仅当x =-1时取等号),所以当x >-2时,f (x )>ln(x +2).【隐零点问题】【例35】已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)证明不等式e x -2-ax >f (x )恒成立. 【解析】 (1) f ′(x )=1x -a =1-ax x (x >0),当a ≤0时,f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,令f ′(x )=0,得x =1a ,所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ,+∞时,f ′(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a >0时,f (x )在⎝⎛⎭⎫0,1a 上单调递增, 在⎝⎛⎭⎫1a ,+∞上单调递减.(2)设函数φ(x )=e x -2-ln x (x >0),则φ′(x )=e x -2-1x ,可知φ′(x )在(0,+∞)上单调递增.又由φ′(1)<0,φ′(2)>0知,φ′(x )=0在(0,+∞)上有唯一实数根x 0,且1<x 0<2, 则φ′(x 0)=02ex −-1x 0=0, 即02e x −=1x 0. 当x ∈(0,x 0)时,φ′(x )<0,φ(x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,φ′(x )>0,φ(x )单调递增,所以φ(x )≥φ(x 0)=02ex −-ln x 0, 结合02e x −=1x 0, 知x 0-2=-ln x 0,所以φ(x )≥φ(x 0)=1x 0+x 0-2=x 20-2x 0+1x 0=(x 0-1)2x 0>0, 则φ(x )=e x -2-ln x >0,即不等式e x -2-ax >f (x )恒成立.【极值点偏移问题】【例36】已知函数f (x )=a e x -x ,a ∈R .若f (x )有两个不同的零点x 1,x 2.证明:x 1+x 2>2.【解析】由f (x )=a e x -x =0,得x e x -a =0,令g (x )=x e x -a ,则g ′(x )=1-x e x ,由g ′(x )=1-x e x >0,得x <1;由g ′(x )=1-x e x <0,得x >1.所以g (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,由于x 1,x 2是方程g (x )=0的实根,不妨设x 1<1<x 2,方法一 (对称化构造函数法)要证x 1+x 2>2, 只要证x 2>2-x 1>1.由于g (x )在(1,+∞)上单调递减,故只要证g (x 2)<g (2-x 1), 由于g (x 1)=g (x 2)=0,故只要证g (x 1)<g (2-x 1),令H (x )=g (x )-g (2-x )=x e x -2-x e 2-x (x <1), 则H ′(x )=1-x e x -1-x e 2-x =(e 2-x -e x )(1-x )e 2, 因为x <1,所以1-x >0,2-x >x ,所以e 2-x >e x ,即e 2-x -e x >0,所以H ′(x )>0,所以H (x )在(-∞,1)上单调递增. 所以H (x 1)<H (1)=0,即有g (x 1)<g (2-x 1)成立,所以x 1+x 2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2,由g (x 1)=g (x 2),得1212e e x x x x −−=,等式两边取对数得ln x 1-x 1=ln x 2-x 2.令t =x 2x 1>1,则x 2=tx 1,代入上式得ln x 1-x 1=ln t +ln x 1-tx 1,得x 1=ln t t -1,x 2=t ln t t -1. 所以x 1+x 2=(t +1)ln t t -1>2⇔ln t -2(t -1)t +1>0, 设g (t )=ln t -2(t -1)t +1(t >1),所以g ′(t )=1t -2(t +1)-2(t -1)(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0, 所以当t >1时,g (t )单调递增, 所以g (t )>g (1)=0,所以ln t -2(t -1)t +1>0,故x 1+x 2>2.。
导数文科测试题及答案
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导数文科测试题及答案一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 函数y=x^2的导数是()A. 2xB. x^2C. 2D. x答案:A2. 函数y=3x的导数是()A. 3B. 3xC. 1D. 0答案:A3. 函数y=x^3的导数是()A. 3x^2B. x^3C. 3D. x^2答案:A4. 函数y=sin(x)的导数是()A. cos(x)B. sin(x)C. -sin(x)D. -cos(x)答案:A5. 函数y=e^x的导数是()A. e^xB. e^(-x)C. 1D. 0答案:A6. 函数y=ln(x)的导数是()A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案:A7. 函数y=1/x的导数是()A. -1/x^2B. 1/x^2C. -1/xD. 1/x答案:A8. 函数y=x^(1/2)的导数是()A. 1/2x^(-1/2)B. 1/2x^(1/2)C. 1/2D. 2x^(-1/2)答案:A9. 函数y=tan(x)的导数是()A. sec^2(x)B. tan(x)C. 1D. sec(x)答案:A10. 函数y=arcsin(x)的导数是()A. 1/sqrt(1-x^2)B. 1/xC. xD. sqrt(1-x^2)答案:A二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数y=x^4的导数是________。
答案:4x^312. 函数y=cos(x)的导数是________。
答案:-sin(x)13. 函数y=ln(1+x)的导数是________。
答案:1/(1+x)14. 函数y=x^(-2)的导数是________。
答案:-2x^(-3)15. 函数y=arccos(x)的导数是________。
答案:-1/sqrt(1-x^2)三、解答题(每题10分,共50分)16. 求函数y=x^2-2x+1的导数。
答案:y'=2x-217. 求函数y=e^(2x)的导数。
完整版)导数最新文科高考数学真题

完整版)导数最新文科高考数学真题1.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率为2e。
(选项C)2.曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,因此a=3.(选项D)3.根据导函数y'=f'(x)的图象,确定函数y=f(x)的图象为B。
4.函数f(x)=2/x+lnx,其导数为f'(x)=-2/x^2+1/x。
解方程f'(x)=0,得到x=2为f(x)的极小值点。
(选项D)5.如果p:f(x)=q:x是f(x)的极值点,则p是q的必要条件,但不是充分条件。
(选项C)6.曲线y=x^3-x+3在点(1,3)处的切线方程为2x-y+1=0.7.曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,因此k=-1.8.曲线y=ax-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,因此a=1/2.(选项1/2)9.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为5x+y+2=0.10.曲线y=x+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,因此α=2.11.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0.12.曲线y=e^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,因此P的坐标为(-ln2,2)。
13.曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,因此P的坐标为(e,e)。
14.函数y=-x^2没有明显的问题,但是缺少了后面的部分,因此无法确定答案。
15.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是[1,+∞)。
16.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为下凸的W 形,拐点为x=0.17.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax+(a+2)x+1相切,则2a=8.18.函数y=xe在其极值点处的切线方程为y=-x/e。
19.已知函数f(x)=axlnx,其中a为实数,且f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a的值为3.20.曲线y=x^2的在点(1,2)处的切线方程为x-y+1=0.21.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象为下凸的W形,则函数y=f(x)的图象可能是D。
高二文科导数求导练习题

高二文科导数求导练习题1. 求导函数:f(x) = 3x^2 - 2x + 5我们将使用导数的定义来求解这个练习题。
首先,我们需要确定函数f(x)在给定的区间内是可导的。
在这种情况下,我们不需要担心定义域或间断点。
根据导数的定义,导数f'(x)为函数f(x)在x点的极限值:f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h我们将使用极限的性质来简化这个表达式。
首先,我们计算f(x+h):f(x+h) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) + 5= 3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5= 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5接下来,我们计算f(x+h) - f(x):f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5) - (3x^2 - 2x + 5)= 6xh + 3h^2 - 2h现在我们可以将此结果代入到导数的定义中:f'(x) = lim(h->0) [6xh + 3h^2 - 2h] / h我们可以通过取消分式中的h来简化上述表达式:f'(x) = lim(h->0) 6x + 3h - 2最后,当h趋近于0时,只有常数项6x会影响极限的结果:f'(x) = 6x最后的结果表明,在给定的区间内,函数f(x)的导数f'(x)是6x。
2. 求导函数:g(x) = sqrt(x^3) + 2x与第一个练习题相似,我们将使用导数的定义来求解这个问题。
同样地,我们需要确定函数g(x)在给定的区间内是可导的。
根据导数的定义,导数g'(x)为函数g(x)在x点的极限值:g'(x) = lim(h->0) [g(x+h) - g(x)] / h首先,我们计算g(x+h):g(x+h) = sqrt((x+h)^3) + 2(x+h)= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h接下来,我们计算g(x+h) - g(x):g(x+h) - g(x) = (sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h) - (sqrt(x^3) + 2x)= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h - sqrt(x^3) - 2x= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3) + 2h现在我们可以将此结果代入到导数的定义中:g'(x) = lim(h->0) [sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3) + 2h] / h将分式中的h进行约分,我们可以得到:g'(x) = lim(h->0) [(sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3)) / h + 2]当h趋近于0时,我们只需要考虑第一项中的根式部分,其他项不会影响极限的结果:g'(x) = lim(h->0) [(sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3)) / h]为了使计算更加便捷,我们将使用导函数的性质。
(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案
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(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1.已知()()e 1x f x mx m =+<-.(1)当2m =-时,求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程;(2)当0x ≥时,()2213222m f x x ≥+-恒成立,求实数m 的范围.2.已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++.(1)当1a =-时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程; (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,求a 的取值范围. 3.己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时,求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程;(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+,若()0g x ≤在其定义域内恒成立,求实数a 的最小值;(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ,求实数a 的取值范围,并证明121x x >.4.已知函数()()24e 1xf x x =-+.(1)求()f x 的极值.(2)设()()()f m f n m n =≠,证明:7m n +<.5.求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6.已知函数()1e x axf x a=-+,0a ≠. (1)当1a =时,①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程; ②求证:()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点; (2)若()f x 没有零点,求a 的取值范围. 7.已知函数()1ln xf x x+=. (1)求()f x 在1x =处的切线方程; (2)当e x ≥时,不等式()ekf x x ≥+恒成立,求实数k 的取值范围; 8.已知函数()e 2x f x ax =-,()22sin 1g x a x x =-+,其中e 是自然对数的底数,a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数;(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根,求实数a 的最小值. 9.已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数,求实数m 的取值范围;(2)当0m =时,若对任意的0x ≥,不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立,求实数a 的取值范围.10.已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-,时,求曲线()y f x =在点(0,f (0))处的切线方程; (2)当20e <≤a ,且2x >时,()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立,求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1.(1)10x y +-=;(2)ln 3⎡-⎣.【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标,由此可得切线方程;(2)令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,将问题转化为当0x ≥时,()min 0g x ≥恒成立;①当10m +≥时,由导数可证得()g x 单调递增,由()00g ≥可求得m 范围; ②当10+<m 时,利用零点存在定理可说明存在()00g x '=,并得到()g x 单调性,知()()020min 13e e 022x xg x g x ==-++≥,由此可解得0x 的范围,根据00e x x m -=可求得m 范围. (1)当2m =-时,()e 2x f x x =-,()e 2xf x '=-;令()e 21xf x '=-=-,解得:0x =,∴切点坐标为()0,1,∴所求切线方程为:1y x =-+,即10x y +-=;(2)令()()22221313e 222222x m m g x f x x mx x ⎛⎫=-+-=+--+ ⎪⎝⎭,则原问题转化为:当0x ≥时,()0g x ≥恒成立,即()min 0g x ≥恒成立;()e x g x m x '=+-,()e 1x g x ''=-,则当0x ≥时,()0g x ''≥,()g x '∴在[)0,∞+上单调递增,()()01g x g m ''∴≥=+; ①当10m +≥,即1m ≥-时,()0g x '≥,()g x ∴在[)0,∞+上单调递增,()()2min301022m g x g ∴==-+≥,解得:m ≤≤m ⎡∴∈-⎣; ②当10+<m ,即1m <-时,()00g '<,当x →+∞时,()g x '→+∞;()00,x ∴∃∈+∞,使得()00g x '=,即00e x x m -=,则当()00,x x ∈时,()0g x '<;当()0,x x ∈+∞时,()0g x '>;()g x ∴在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增,()()()()00022022000000min e1313e e e 222222x x x x xm g x g x mx x x x x -∴==+--+=+---+00213e e 022x x =-++≥, 解得:01e 3x -≤≤,即0ln 3x ≤,又()00,x ∈+∞,(]00,ln3x ∴∈,令()e xh x x =-,则()1e xh x '=-,∴当(]0,ln3x ∈时,()0h x '<,()h x ∴在(]0,ln3上单调递减,()[)000e ln33,1x h x x ∴=-∈--,即[)ln33,1m ∈--;综上所述:实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣.【点睛】思路点睛:本题重点考查了导数中的恒成立问题的求解,解题基本思路是通过构造函数的方式,将问题转化为()min 0g x ≥,从而利用对含参函数单调性的讨论来确定最小值点,根据最小值得到不等式求得参数范围. 2.(1)10y +=; (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】(1)将1a =-代入函数()f x 中,得出函数()f x 的解析式,进而可以求出切点坐标,再利用导数的几何意义及点斜式即可求解;(2)根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题,进而转化为求函数的最值问题,利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时,()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-,所以切点为0,1,()1sin cos x f x x x '=-++,∴(0)01sin 0cos00f '=-++=,所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==, 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-,即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++,得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立, 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+,则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=, 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立, 则至少满足()00g '≤,即10a -≤,解得1a ≥. 下证明当1a ≥时,()0f x '≤恒成立, 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 0x ≥, 因为1a ≥,所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+,则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '<;当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==-⎪⎝⎭33001044, 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =.即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞. 3.(1)22y x =- (2)1-(3)(),1-∞-;证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题意,()2ln f x x =,分别求出()1f 和()1f '求解即可;(2)条件等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,令()ln 1x h x x +=()0,∞+求解最大值即可; (3)令()()ln 0xm x x a x x=-->,求出()m x 的单调性,得到()()11max m x m a ==--, 根据题意求解a 的范围即可;不妨设12x x <,则1201x x <<<,2101x <<,题设即证明()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭成立,构造()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭, 求解单调性得到()()10x ϕϕ>=即可求解. (1)当0a =时,()2ln f x x =,所以()2l 01n1=f =,()2f x x'=,所以()12f '=, 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为:()021y x -=-,即22y x =- (2)由题意得,()ln 21g x x ax x =--+,因为()0g x ≤在其定义域内恒成立, 所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立,即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立, 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,令()ln 1x h x x +=()0,∞+,所以()2ln x h x x -'=, 令()0h x '>解得01x <<,令()0h x '<解得1x >,所以函数()h x 在()0,1单调递增, 在()1,+∞单调递减,所以()()1=1h x h ≤,所以21a +≥,即1a ≥-,故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性:由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=,即ln 0xx a x--=, 令()()ln 0x m x x a x x =-->,则()221ln x x m x x --'=, 设()21ln t x x x =--,则()12t x x x'=--,因为0x >,所以()0t x '<恒成立,函数()t x 在()0,∞+单调递减,而()10t =,故在()0,1上()0t x >,()0m x '>,()m x 单调递增,在()1,+∞上()0t x <,()0m x '<,()m x 单调递减,所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需:10a -->,所以实数a 的取值范围是(),1-∞-; 再证明充分性:当(),1a ∞∈--时,方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根,条件等价于2ln x ax x -=,即ln x x a x -=,即y a =与ln x y x x=-, 当1a <-,0x >时有两个不同的交点,所以221ln x xy x --'=,由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减, 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为:ln11=11y =--,最小值趋近于负无穷, 所以当(),1a ∞∈--时,程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根,即充分性成立.下证:121x x >,不妨设12x x <,则1201x x <<<,2101x <<, 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭,因为()()120m x m x ==, 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭,则()211ln 0x x xϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭,所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增,所以当1x >时,()()10x ϕϕ>=,即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭,所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以121x x >. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义, 往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.4.(1)极小值为71e 12-+,()f x 无极大值; (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性,根据单调性即可求其极值; (2)由函数单调性指数函数性质可得x <72时,f (x )<1,设m <n ,则若()()()f m f n m n =≠,则m <72,n >72,由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时,易证7m n +<;当732m <<时,构造函数()()()7p m f m f m =--,根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-',由()0f x '=,得72x =.当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<;当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>.∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()f x 无极大值.(2)由(1)可知,()f x 的极值点为72,f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减,在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,∵当x →-∞时,2e 0x →,∴f (x )→1, 故当x <72时,f (x )<1.设m n <,则若()()()f m f n m n =≠,则m <72,n >72,则()()1f m f n =<,则()274e 1142n n n -+<⇒<<. ①当3m ≤时,7m n +<,显然成立.②当732m <<时,77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---.设()()()7p m f m f m =--,则()()()214227e em mp m m -=--'. 设()2142e e x xh x -=-,73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()h x 为增函数,则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.∵732m <<,∴270m -<,()0p m '>,则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭,∴()()7f n f m <-.又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,∴7n m <-,即7m n +<. 综上,7m n +<.5.最小值为()423f =-,最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+,得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2x =-舍去, 列表如下:()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()31f =,所以,()f x 的最小值为()423f =-,最大值为1217381f ⎛⎫=⎪⎝⎭. 6.(1)①112y x =-;②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】(1)①利用导数求出切线的斜率,直接求出切线方程;②令()e 1e x xg x x =+-,利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ,利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点;(2)令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论:①0a <,得到当1a =-时,()f x 无零点;②0a >,()f x 无零点,符合题意. (1)若1a =,则()1e 1x xf x =-+,()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处,()()21110211f '+==+,(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-,()e x g x x '=-,在区间(0,)+∞上,()0g x '<,则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<,所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得:()f x 0x (2)()e e x x ax af x a--=+,令()e x h x a ax =+-,则()e xh x a '=-.①若0a <,则()0h x '>,()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()1 e > 0h =,所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=,得0ln()x a =-.代入0()0h x =,得()ln 0a a a a -+--=, 解得1a =-.所以当1a =-时,()h x 的唯一零点为0,此时()f x 无零点,符合题意. ②若0a >,此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时,()0h x '<,()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数; 当ln x a >时,()0h x '>,()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>,由题意,当2ln 0a a a ->,即20e a <<时,()f x 无零点,符合题意. 综上,a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有:(1)利用导函数几何意义求切线方程;(2)利用导数研究原函数的单调性,求极值(最值); (3)利用导数求参数的取值范围. 7.(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义直接求解即可; (2)分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=,利用导数可求得()()e 4g x g ≥=,由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-,()10f '∴=,又()11f =, ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =;当e x ≥时,由()e k f x x ≥+得:()()()()e 1ln e x x k x f x x ++≤+=, 令()()()e 1ln x x g x x ++=,则()2eln x x g x x -'=, 令()eln h x x x =-,则()ee 1x h x x x-'=-=, ∴当e x ≥时,()0h x '≥,()h x ∴在[)e,+∞上单调递增,()()e e elne 0h x h ∴≥=-=, ()0g x '∴≥,()g x ∴在[)e,+∞上单调递增,()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==, 4k ∴≤,即实数k 的取值范围为(],4∞-. 【点睛】方法点睛:本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题;解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式,将问题转化为变量与函数最值之间关系,即由()a f x ≥得()max a f x ≥;由()a f x ≤得()min a f x ≤.8.(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】(1)求出()f x ',分类讨论,分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值; (2)利用分离参数法得到sin 1e x x a -=,令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤,利用导数判断 ()h x 的单调性与最值,根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点,求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-,则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时,()0f x '>,则()f x 在R 上单调递增,此时函数()f x 的极值点个数为0;②当0a >时,令()20e x f x a '=-=,得()ln 2x a =,当()ln 2x a >时,()0f x '>,则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增,当()ln 2x a <时,()0f x '<,则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减,此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述,当0a ≤时,()f x 在R 上单调递增,极值点个数为0;当0a >时,()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增,在()(),ln 2a -∞上单调递减,极值点个数为1.由()()0af x g x +=,得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤, 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根,所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==, 令()0h x '=,则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈,所以2x π=或x π=, 所以当02x π<<时,()0h x '>;当2x ππ<<时,()0h x '<, 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-,()e h ππ-=-, e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时,直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点,所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)利用导数研究零点问题,考查数形结合思想的应用.9.(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】(1)求出导函数,得到11m --≥,即可求出m 的取值范围;(2)把题意转化为2x ax e ≤,分类讨论:当0x =时,求出R a ∈;当0x >时,转化为2xe a x≤,令2()x e g x x =,利用导数求出min ()g x ,即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅,所以()(1)e x f x x m '=++⋅,令()0f x '≤,得1x m ≤--,则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--, 因为()f x 在(,1]-∞上是减函数,所以11m --≥,即2m ≤-, 故m 的取值范围是(],2-∞-;(2)由题知:()e x f x x =⋅,则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤,即2e x ax ≤,当0x =时,01≤恒成立,则a R ∈,当0x >时,2e x a x≤,令2(e )x g x x =,则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==, 则当02x <<时,()0g x '<,()g x 递减;当2x >时,()0g x '>,()g x 递增, 故2min e ()(2)4g x g ==,则2e 4a ≤, 综上所述,实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 10.(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】(1)求出()'f x ,然后算出(0),(0)f f '即可;(2)由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立,构造函数()ln (1)h x x b x x =+>,则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立,然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>,然后得()h x 在()1,+∞上单调递增,然后即可求解. (1) 当114a b ==-,时,()4e 21x f x x =-+,则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点(0,f (0))处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立,即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>,则e e ln 1ln(1)x x b x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ,所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>,则2()e 1x H x -'=-,显然()H x '是增函数, 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增,所以()()20H x H >=, 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>,从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增, 所以当()1,x ∈+∞时,()10b h x x '=+≥恒成立.所以b x ≥-,所以1b ≥-,即b 的取值范围是[-1,+∞)【点睛】关键点睛:解答本题第二问的关键是将原不等式变形,构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>,属于函数的同构类型,解答的关键是观察不等式的特点,变成同一函数在两个变量处的取值.。
高三数学 导数大题20道训练

高三数学导数大题20道训练II)若函数f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围;III)若函数f(x)的最小值为-2,求a的取值范围.10.已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,1]上单调递增,求函数在[0,1]上的最小值.11.已知函数f(x)=x2e-x.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,1]上单调递减,求函数在[0,1]上的最大值.12.已知函数f(x)=x3-3x2+3x-1.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,2]上单调递增,求函数在[0,2]上的最小值.13.已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[1,3]上单调递减,求函数在[1,3]上的最大值.14.已知函数f(x)=x3-3x+2.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,2]上单调递增,求函数在[0,2]上的最小值.15.已知函数f(x)=x3-3x2+4.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,2]上单调递减,求函数在[0,2]上的最大值.16.已知函数f(x)=x3-6x2+12x-8.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[1,3]上单调递增,求函数在[1,3]上的最小值.17.已知函数f(x)=x3-9x2+24x-16.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[2,4]上单调递减,求函数在[2,4]上的最大值.18.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[1,3]上单调递增,求函数在[1,3]上的最小值.19.已知函数f(x)=x3-3x2+3.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,2]上单调递减,求函数在[0,2]上的最大值.20.已知函数f(x)=x3-3x+1.I)求函数f(x)的单调区间;II)求函数f(x)的极值;III)若函数f(x)在[0,2]上单调递增,求函数在[0,2]上的最小值.Ⅱ) 当 $a>0$ 时,若过原点与函数 $f(x)$ 的图像相切的直线恰有三条,求实数 $a$ 的取值范围。
导数高中试题及解析答案

导数高中试题及解析答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^3-3x+1,则f'(x)等于()。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. 3x^2-3xD. 3x^2+3x答案:A解析:根据导数的定义,f'(x)=3x^2-3。
2. 函数y=x^2-4x+c的导数是()。
A. 2x-4B. 2x+4C. -2x-4D. -2x+4答案:A解析:对函数y=x^2-4x+c求导,得到y'=2x-4。
二、填空题3. 若f(x)=x^2+2x+1,则f'(1)=______。
答案:4解析:将x=1代入f'(x)=2x+2,得到f'(1)=2*1+2=4。
4. 函数y=ln(x)的导数是______。
答案:1/x解析:对函数y=ln(x)求导,得到y'=1/x。
三、解答题5. 求函数g(x)=x^3-2x^2+x-1的导数。
答案:g'(x)=3x^2-4x+1解析:根据导数的运算法则,对函数g(x)求导得到g'(x)=3x^2-4x+1。
6. 已知f(x)=x^2+3x+2,求f'(-1)。
答案:-2解析:首先求出f'(x)=2x+3,然后将x=-1代入,得到f'(-1)=2*(-1)+3=-2。
四、应用题7. 某物体在t秒时的速度为v(t)=t^2-t,求物体在t=2秒时的瞬时速度。
答案:3解析:首先求出速度函数的导数v'(t)=2t-1,然后将t=2代入,得到v'(2)=2*2-1=3。
8. 函数y=e^x-x^2在x=0处的切线斜率是多少?答案:1解析:求出函数y的导数y'=e^x-2x,然后将x=0代入,得到y'(0)=e^0-2*0=1。
五、证明题9. 证明:若f(x)=x^3+2x,则f'(x)=3x^2+2。
答案:证明如下:∵f(x)=x^3+2x∴f'(x)=3x^2+2证明完毕。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
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高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导,其导函数f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x,则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导,其导函数f'(x),且函数f(x)在x=2处取得极大值,则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx),则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2),且在点(2,3)处的切线斜率为4,则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1),且在点(2,3)处的切线斜率为5,则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值;(2) 证明:当x>1,且x≠b时,f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x,由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2,且过点(1,f(1)),解得a=1,b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1,所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0,当x>1,且x≠b时,f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间;(2) 若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex-a,若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
高考文科数学试卷导数大题
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一、题目已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$,求:(1)函数$f(x)$在$x=1$处的切线方程;(2)函数$f(x)$的极值点。
二、解题过程(1)求切线方程首先,我们需要求出函数$f(x)$在$x=1$处的导数,即切线的斜率。
由导数的定义,我们有:$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$对于函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$,我们有:$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)^2 + 2(x+\Delta x) + 1 - (x^3 - 3x^2 + 2x + 1)}{\Delta x}$$展开并化简上式,得到:$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 +\Delta x^3 - 6x\Delta x - 6\Delta x^2 + 2\Delta x}{\Delta x}$$化简后得到:$$f'(x) = 3x^2 + 3x - 6x - 6 + 2$$进一步化简,得到:$$f'(x) = 3x^2 - 3x - 4$$将$x=1$代入上式,得到切线的斜率$k$:$$k = f'(1) = 3 \times 1^2 - 3 \times 1 - 4 = -4$$接下来,我们需要求出切点的纵坐标。
将$x=1$代入原函数$f(x)$,得到:$$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 2 \times 1 + 1 = 1$$因此,切点为$(1, 1)$。
最后,我们可以写出切线方程。
由于切线的斜率为$k=-4$,切点为$(1, 1)$,所以切线方程为:$$y - 1 = -4(x - 1)$$化简后得到:$$y = -4x + 5$$(2)求极值点为了求出函数$f(x)$的极值点,我们需要找到函数的导数$f'(x)$的零点。
高三文科导数练习题
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高三文科导数练习题1. 某物体运动的位移函数为 $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 6t + 1$,求该物体在 $t=2$ 时的速度和加速度。
解析:位移函数的导数即为速度函数,速度函数的导数即为加速度函数。
我们可以先求位移函数的导数,然后再求导一次得到加速度函数。
首先求位移函数的导数:$s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 - 3t^2 + 6t + 1)$根据求导法则,我们可以依次对每一项求导:$s'(t) = \frac{d}{dt}(2t^3) - \frac{d}{dt}(3t^2) + \frac{d}{dt}(6t) +\frac{d}{dt}(1)$对于多项式函数的求导,我们可以应用幂函数的导数规则:$s'(t) = 6t^2 - 6t + 6$接下来求速度函数的导数,即加速度函数:$s''(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 - 6t + 6)$同样地,我们对每一项应用幂函数的导数规则:$s''(t) = 12t - 6$因此,该物体在 $t=2$ 时的速度为 $s'(2) = 6(2)^2 - 6(2) + 6 = 24$,加速度为 $s''(2) = 12(2) - 6 = 18$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{3}{x^2}$,求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。
解析:首先求 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。
根据导数的定义和商规则:$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x^2}\right) = \frac{0*x^2 -3*2x}{(x^2)^2} = \frac{-6x}{x^4} = -6\frac{1}{x^3}$接下来求 $f'(x)$ 的导数 $f''(x)$。
(完整版)导数大题练习带答案

导数解答题练习1.已知f (x )=x ln x -ax ,g (x )=-x 2-2,(Ⅰ)对一切x ∈(0,+∞),f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)当a =-1时,求函数f (x )在[m ,m +3](m >0)上的最值;(Ⅲ)证明:对一切x ∈(0,+∞),都有ln x +1>ex e x 21-成立.2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. (Ⅰ)若曲线y =f (x )在点P (1,f (1))处的切线与直线y =x +2垂直,求函数y =f (x )的单调区间;(Ⅱ)若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )>2(a ―1)成立,试求a 的取值范围;(Ⅲ)记g (x )=f (x )+x ―b (b ∈R ).当a =1时,函数g (x )在区间[e ―1,e]上有两个零点,求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x -a )2,a ∈R .(Ⅰ)若a =0,求函数f (x )在[1,e]上的最小值;(Ⅱ)若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间,试求实数a 的取值范围; (Ⅲ)求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行,求a 的值; (Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()2g x x x =-,若对任意1(0,2]x ∈,均存在2(0,2]x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=. (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值,求实数a 的取值范围; (2)如果当1x ≥时,不等式()1kf x x ≥+恒成立,求实数k 的取值范围.1.解:(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立,即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令xx x x F 2ln )(++= , 则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=,……2分在)10(,上F '0)(<x ,在)1(∞+,上F '0)(>x , 因此,)(x F 在1=x 处取极小值,也是最小值, 即3)1()(min ==F x F ,所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时,1-=a x x x x f +=ln )(, f '2ln )(+=x x ,由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时,在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ,在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此,)(x f 在21e x =处取得极小值,也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此,]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥,0)('≥x f ,因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增, 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ,]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明:问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时,x x x xf +=ln )(的最小值是21e-,当且仅当21e x =时取得,……11分 设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ,则G 'xexx -=1)(,易知eG x G 1)1()(max -==,当且仅当1x =时取到, ………12分但,e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞, 都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解:(Ⅰ)直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为(0,+∞),因为22'()a f x x x=-+,所以22'(1)111af =-+=-,所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x >0;由'()0f x <解得0<x <2. 所以f (x )的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2).…… 4分(Ⅱ)2222'()a ax f x x x x -=-+=, 由'()0f x >解得2x a>;由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增,在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时,函数f (x )取得最小值,min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立,所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分(Ⅲ)依题得2()ln 2g x x x b x=++--,则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x >1;由'()0g x <解得0<x <1.所以函数()g x 在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数.又因为函数()g x 在区间[e -1,e]上有两个零点,所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3.解:(Ⅰ)f (x )的定义域为(0,+∞).……………… 1分因为1'()20f x x x=+>,所以f (x )在[1,e]上是增函数, 当x =1时,f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1,e]上的最小值为1.……………… 3分(Ⅱ)解法一:21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1,……………… 4分依题意,在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )>0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上,所以只要g (2)>0,或1()02g >即可……………… 6分由g (2)>0,即8―4a +1>0,得94a <, 由1()02g >,即1102a -+>,得32a <,所以94a <,所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二:21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=,……………… 4分依题意得,在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1>0成立. 又因为x >0,所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+,所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-,由21'()20g x x=->解得2x >;由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增,在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =,或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =,1()32g =,所以922a <,94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分(Ⅲ)因为2221'()x ax f x x-+=,令h (x )=2x 2―2ax +1①显然,当a ≤0时,在(0,+∞)上h (x )>0恒成立,f '(x )>0,此时函数f (x )没有极值点; ……………… 9分 ②当a >0时,(i )当Δ≤0,即0a <≤时,在(0,+∞)上h (x )≥0恒成立,这时f '(x )≥0,此时,函数f (x )没有极值点;……………… 10分(ii )当Δ>0时,即a >x <<h (x )<0,这时f '(x )<0;当02a x <<或2a x >时,h (x )>0,这时f '(x )>0;所以,当a >2a x =是函数f (x )的极大值点;2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上,当a ≤f (x )没有极值点;当a >x =是函数f (x )的极大值点;x =是函数f (x )的极小值点.4.解:2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=,解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时,0x >,10ax -<,在区间(0,2)上,()0f x '>;在区间(2,)+∞上()0f x '<,故()f x 的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时,12a>, 在区间(0,2)和1(,)a +∞上,()0f x '>;在区间1(2,)a上()0f x '<,故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞,单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时,2(2)()2x f x x -'=,故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时,102a <<, 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上,()0f x '>;在区间1(,2)a上()0f x '<,故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞,单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知,在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知,max ()0g x =,由(Ⅱ)可知, ①当12a ≤时,()f x 在(0,2]上单调递增, 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+, 所以,222ln 20a --+<,解得ln 21a >-,故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时,()f x 在1(0,]a 上单调递增,在1[,2]a上单调递减, 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-,2ln 2a >-,2ln 2a -<,所以,22ln 0a --<,max ()0f x <, 综上所述,ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y =x +2的斜率为1, 函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(,所以()111212'-=+-=a f ,所以a =1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x >2 ; 由()0'<x f 解得0<x <2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2,单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增,在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时,函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立, 所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a,由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(,则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x >1,由()0'<x g 解得0<x <1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点,所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解:(1)因为1ln ()x f x x +=,0x >,则2ln ()xf x x'=-, …1分 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. ∴()f x 在(0,1)上单调递增;在(1,)+∞上单调递减, ∴函数()f x 在1x =处取得极大值.………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值,∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<.……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+,即为(1)(1ln )x x k x++≥, ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==,…9分 令()ln h x x x =-,则1'()1h x x=-,∵1x ≥,∴'()0h x ≥,∴()h x 在[1,)+∞上递增, ∴min [()](1)10h x h ==>,从而()0g x '>,故()g x 在[1,)+∞上也单调递增, ∴min [()](1)2g x g ==,∴2k ≤.………12分。
高中数学导数大题
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1、已知函数在某区间内单调递增,且其一阶导数为正,二阶导数为负,则下列说法正确的是:A. 函数在该区间内始终大于零B. 函数在该区间内的增长速度逐渐减慢C. 函数在该区间内可能存在拐点D. 函数的一阶导数在该区间内先增后减(答案)B2、设函数f(x)在x=a处取得极大值,则下列关于f'(a)和f''(a)的说法正确的是:A. f'(a) = 0,f''(a) > 0B. f'(a) ≠ 0,f''(a) = 0C. f'(a) = 0,且f''(a)的存在性无法确定,但f(x)在x=a左右两侧导数符号相反D. f'(a) = 0,f''(a) < 0(答案)C3、若函数f(x)在区间(a, b)上可导,且f'(x) > 0,f''(x) < 0,则下列结论正确的是:A. f(x)在(a, b)上单调递减B. f(x)在(a, b)上先增后减C. f(x)在(a, b)上单调递增,但增长速度逐渐减慢D. f(x)在(a, b)上的凹凸性无法确定(答案)C4、已知函数f(x)在R上可导,且f'(x) = 2x - 3,则f(x)在x = 2处的切线斜率为:A. -1B. 0C. 1D. 2(答案)C5、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2x,则f(x)的极值点个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3(答案)C6、已知函数f(x)在x=1处取得极小值,且f'(1) = 0,f''(1) > 0,则下列说法正确的是:A. f(x)在x=1处不可导B. f(x)在x=1处单调性改变C. f(x)在x=1处取得最大值D. f''(x)在x=1处必为零(答案)B7、若函数f(x)在区间[a, b]上连续,在(a, b)内可导,且f'(x)在(a, b)内恒大于零,则f(x)在[a,b]上的最小值为:A. f(a)B. f(b)C. f((a+b)/2)D. 无法确定(答案)A8、设函数f(x) = ex - x - 1,则f(x)在x = 0处的切线方程与x轴的交点横坐标为:A. -1B. 0C. 1D. 2(答案)A。
2024届新高考数学大题精选30题--导数(解析版)
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2024届新高考数学导数大题精选30题1(2024·安徽·二模)已知函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x .(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)求f (x )的单调区间和极值.【答案】(1)y =4x -13;(2)递增区间为(0,2),(3,+∞),递减区间为2,3 ,极大值-16+12ln2,极小值-21+12ln3.【分析】(1)求出函数f (x )的导数,赋值求得f (1),再利用导数的几何意义求出切线方程.(2)由(1)的信息,求出函数f (x )的导数,利用导数求出单调区间及极值.【详解】(1)函数f (x )=x 2-10x +3f (1)ln x ,求导得f(x )=2x -10+3f (1)x,则f (1)=-8+3f (1),解得f (1)=4,于是f (x )=x 2-10x +12ln x ,f (1)=-9,所以所求切线方程为:y +9=4(x -1),即y =4x -13.(2)由(1)知,函数f (x )=x 2-10x +12ln x ,定义域为(0,+∞),求导得f (x )=2x -10+12x =2(x -2)(x -3)x,当0<x <2或x >3时,f (x )>0,当2<x <3时,f (x )<0,因此函数f (x )在(0,2),(3,+∞)上单调递增,在(2,3)上单调递减,当x =2时,f (x )取得极大值f (2)=-16+12ln2,当x =3时,f (x )取得极小值f (3)=-21+12ln3,所以函数f (x )的递增区间为(0,2),(3,+∞),递减区间为(2,3),极大值-16+12ln2,极小值-21+12ln3.2(2024·江苏南京·二模)已知函数f (x )=x 2-ax +ae x,其中a ∈R .(1)当a =0时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程;(2)当a >0时,若f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e,求a 的值.【答案】(1)x -ey =0(2)a =1【分析】(1)由a =0,分别求出f (1)及f (1),即可写出切线方程;(2)计算出f (x ),令f (x )=0,解得x =2或x =a ,分类讨论a 的范围,得出f (x )的单调性,由f (x )在区间[0,a ]上的最小值为1e,列出方程求解即可.【详解】(1)当a =0时,f (x )=x 2e x ,则f (1)=1e ,f (x )=2x -x 2ex,所以f (1)=1e ,所以曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为:y -1e =1e(x -1),即x -ey =0.(2)f(x )=-x 2+(a +2)x -2a e x =-(x -2)(x -a )ex,令f (x )=0,解得x =2或x =a ,当0<a <2时,x ∈[0,a ]时,f (x )≤0,则f (x )在[0,a ]上单调递减,所以f (x )min =f (a )=a ea =1e ,则a =1,符合题意;当a >2时,x ∈[0,2]时,f (x )≤0,则f (x )在[0,2]上单调递减,x ∈(2,a ]时,f (x )>0,则f (x )在(2,a ]上单调递增,所以f (x )min =f (2)=4-a e2=1e ,则a =4-e <2,不合题意;当a =2时,x ∈[0,2]时,f (x )≤0,则f (x )在[0,2]上单调递减,所以f (x )min =f (2)==2e 2≠1e ,不合题意;综上,a =1.3(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知f x =ae x -x ,g x =cos x . (1)讨论f x 的单调性.(2)若∃x 0使得f x 0 =g x 0 ,求参数a 的取值范围.【答案】(1)当a ≤0时,f x 在-∞,+∞ 上单调递减;当a >0时,f x 在-∞,-ln a 上单调递减,在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)-∞,1【分析】(1)对f x =ae x -x 求导数,然后分类讨论即可;(2)直接对a >1和a ≤1分类讨论,即可得到结果.【详解】(1)由f x =ae x -x ,知f x =ae x -1.当a ≤0时,有f x =ae x -1≤0-1=-1<0,所以f x 在-∞,+∞ 上单调递减;当a >0时,对x <-ln a 有f x =ae x -1<ae -ln a -1=1-1=0,对x >-ln a 有f x =ae x -1>ae -ln a -1=1-1=0,所以f x 在-∞,-ln a 上单调递减,在-ln a ,+∞ 上单调递增.综上,当a ≤0时,f x 在-∞,+∞ 上单调递减;当a >0时,f x 在-∞,-ln a 上单调递减,在-ln a ,+∞ 上单调递增.(2)当a >1时,由(1)的结论,知f x 在-∞,-ln a 上单调递减,在-ln a ,+∞ 上单调递增,所以对任意的x 都有f x ≥f -ln a =ae -ln a +ln a =1+ln a >1+ln1=1≥cos x =g x ,故f x >g x 恒成立,这表明此时条件不满足;当a ≤1时,设h x =ae x -x -cos x ,由于h -a -1 =ae -a -1+a +1-cos -a -1 ≥ae-a -1+a ≥-a e-a -1+a =a 1-e-a -1≥a 1-e 0=0,h 0 =ae 0-0-cos0=a -1≤0,故由零点存在定理,知一定存在x 0∈-a -1,0 ,使得h x 0 =0,故f x 0 -g x 0 =ae x 0-x 0-cos x 0=h x 0 =0,从而f x 0 =g x 0 ,这表明此时条件满足.综上,a 的取值范围是-∞,1 .4(2024·福建漳州·一模)已知函数f x =a ln x -x +a ,a ∈R 且a ≠0.(1)证明:曲线y =f x 在点1,f 1 处的切线方程过坐标原点.(2)讨论函数f x 的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】(1)先利用导数的几何意义求得f x 在1,f 1 处的切线方程,从而得证;(2)分类讨论a <0与a >0,利用导数与函数的单调性即可得解.【详解】(1)因为f x =a ln x -x +a x >0 ,所以f (x )=a x -1=a -xx,则f (1)=a ln1-1+a =a -1,f (1)=a -1,所以f x 在1,f 1 处的切线方程为:y -(a -1)=(a -1)(x -1),当x =0时,y -(a -1)=(a -1)(0-1)=-(a -1),故y =0,所以曲线y =f (x )在点1,f 1 处切线的方程过坐标原点.(2)由(1)得f (x )=ax -1=a -xx,当a<0时,a-x<0,则f x <0,故f(x)单调递减;当a>0时,令f (x)=0则x=a,当0<x<a时,f (x)>0,f(x)单调递增;当x>a时,f (x)<0,f(x)单调递减;综上:当a<0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.5(2024·山东·二模)已知函数f x =a2xe x-x-ln x.(1)当a=1e时,求f x 的单调区间;(2)当a>0时,f x ≥2-a,求a的取值范围.【答案】(1)f x 的减区间为0,1,增区间为1,+∞(2)a≥1【分析】(1)当a=1e时,f x =xe x-1-x-ln x,x>0,求导得f x =x+1xxe x-1-1,令g x =xe x-1-1,求g x 确定g x 的单调性与取值,从而确定f x 的零点,得函数的单调区间;(2)求f x ,确定函数的单调性,从而确定函数f x 的最值,即可得a的取值范围.【详解】(1)当a=1e时,f x =xe x-1-x-ln x,x>0,则f x =x+1e x-1-1-1x=x+1xxe x-1-1,设g x =xe x-1-1,则g x =x+1e x-1>0恒成立,又g1 =e0-1=0,所以当x∈0,1时,f x <0,f x 单调递减,当x∈1,+∞时,f x >0,f x 单调递增,所以f x 的减区间为0,1,增区间为1,+∞;(2)f x =a2x+1e x-1-1x=x+1xa2xe x-1,设h x =a2xe x-1,则h x =a2x+1e x>0,所以h x 在0,+∞上单调递增,又h0 =-1<0,h1a2=e1a2-1>0,所以存在x0∈0,1 a2,使得h x0 =0,即a2x0e x0-1=0,当x∈0,x0时,f x <0,f x 单调递减,当x∈x0,+∞时,f x >0,f x 单调递增,当x=x0时,f x 取得极小值,也是最小值,所以f x ≥f x0=a2x0e x0-x0-ln x0=1-ln x0e x0=1+2ln a,所以1+2ln a≥2-a,即a+2ln a-1≥0,设F a =a+2ln a-1,易知F a 单调递增,且F1 =0,所以F a ≥F1 ,解得a≥1,综上,a≥1.6(2024·山东·一模)已知函数f(x)=ln x+12a(x-1)2.(1)当a=-12时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=f(x)-2x+1有两个极值点x1,x2,且g(x1)+g(x2)≥-1-32a,求a的取值范围.【答案】(1)增区间(0,2),减区间(2,+∞)(2)[1,+∞)【分析】(1)将a=-12代入求导,然后确定单调性即可;(2)求导,根据导函数有两个根写出韦达定理,代入g(x1)+g(x2)≥-1-32a,构造函数,求导,研究函数性质进而求出a的取值范围.【详解】(1)当a=-12时,f(x)=ln x-14(x-1)2,x>0,则f (x)=1x-12(x-1)=-(x-2)(x+1)2x,当x∈(0,2),f (x)>0,f(x)单调递增,当x∈(2,+∞),f (x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞);(2)g(x)=f(x)-2x+1=ln x+12a(x-1)2-2x+1,所以g (x)=1x+a(x-1)-2=ax2-(a+2)x+1x,设φ(x)=ax2-(a+2)x+1,令φ(x)=0,由于g(x)有两个极值点x1,x2,所以Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0x1+x2=a+2a>0x1x2=1a>0,解得a>0.由x1+x2=a+2a,x1x2=1a,得g x1+g x2=ln x1+12a x1-12-2x1+1+ln x2+12a x2-12-2x2+1=ln x1x2+12a x1+x22-2x1x2-2x1+x2+2-2x1+x2+2=ln1a +12a a+2a2-2a-2⋅a+2a+2-2⋅a+2a+2=ln1a +a2-2a-1≥-1-32a,即ln a-12a-1a≤0,令m(a)=ln a-12a-1a,则m (a)=1a-12-12a2=-(a-1)22a2≤0,所以m(a)在(0,+∞)上单调递减,且m(1)=0,所以a≥1,故a的取值范围是[1,+∞).7(2024·湖北·二模)求解下列问题,(1)若kx-1≥ln x恒成立,求实数k的最小值;(2)已知a,b为正实数,x∈0,1,求函数g x =ax+1-xb-a x⋅b1-x的极值.【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】(1)求导,然后分k≤0和k>0讨论,确定单调性,进而得最值;(2)先发现g0 =g1 =0,当a=b时,g x =0,当0<x<1,a≠b时,取ab=t,L x =tx+1-x-t x,求导,研究单调性,进而求出最值得答案.【详解】(1)记f x =kx-1-ln x x>0,则需使f x ≥0恒成立,∴f x =k-1xx>0,当k≤0时,f x <0恒成立,则f x 在(0,+∞)上单调递减,且在x>1时,f x <0,不符合题意,舍去;当k >0时.令f x =0,解得x =1k,则f x 在0,1k 上单调递减,在1k ,+∞ 上单调递增,所以f x min =f 1k =-ln 1k=ln k ,要使kx -1≥ln x 恒成立,只要ln k ≥0即可,解得k ≥1,所以k 的最小值为1;(2)g (x )=ax +(1-x )b -a x ⋅b 1-x ,x ∈[0,1],a >0,b >0,易知g 0 =g 1 =0,当a =b 时,g x =ax +a -ax -a =0,此时函数无极值;当0<x <1,a ≠b 时,g (x )=ax +(1-x )b -b ⋅a b x =b a b x +1-x -a b x,取ab=t ,t >0,t ≠1,L x =tx +1-x -t x ,t >0,t ≠1,x ∈0,1 ,则L x =t -1-t x ln t ,当t >1时,由L x ≥0得x ≤ln t -1ln tln t,由(1)知t -1≥ln t ,当t >1时,t -1ln t>1,因为x -1≥ln x ,所以1x -1≥ln 1x ,所以ln x ≥1-1x ,即x >0,当t >1时,ln t >1-1t,所以t >t -1ln t ,则ln t >ln t -1ln t >0,所以ln t -1ln tln t<1,即L x 在0,ln t -1ln t ln t 上单调递增,在ln t -1ln tln t,1单调递减.所以函数g x 极大=gln t -1lntln t,t =ab,a ≠b ,当0<t <1时,同理有ln t -1lntln t∈0,1 ,由Lx ≥0得x ≤ln t -1lntln t,即(x )在0,ln t -1lntln t上单调递增,在ln t -1lntln t,1上单调递减.所以函数g x 极大=gln t -1lntln t,t =a b,a ≠b ,综上可知,当a =b 时,函数g x 没有极值;当a ≠b 时,函数g x 有唯一的极大值g ln t -1lntln t,其中t =ab,没有极小值.【点睛】关键点点睛:取ab=t ,将两个参数的问题转化为一个参数的问题,进而求导解答问题.8(2024·湖北武汉·模拟预测)函数f (x )=tan x +sin x -92x ,-π2<x <π2,g (x )=sin n x -x n cos x ,x ∈0,π2,n ∈N +.(1)求函数f (x )的极值;(2)若g (x )>0恒成立,求n 的最大值.【答案】(1)极小值为f π3 =3(3-π)2,极大值为f -π3 =3(π-3)2;(2)3.【分析】(1)判断函数f (x )为奇函数,利用导数求出f (x )在区间0,π2上的极值,利用奇偶性即可求得定义域上的极值.(2)利用导数证明当n =1时,g (x )>0恒成立,当n >1时,等价变形不等式并构造函数F (x )=x -sin x cos 1nx,0<x <π2,利用导数并按导数为负为正确定n 的取值范围,进而确定不等式恒成立与否得解.【详解】(1)函数f (x )=tan x +sin x -92x ,-π2<x <π2,f (-x )=tan (-x )+sin (-x )-92(-x )=-f (x ),即函数f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,当0<x <π2时,f (x )=sin x cos x +sin x -92x ,求导得:f(x )=1cos 2x +cos x -92=2cos 3x -9cos 2x +22cos 2x =(2cos x -1)(cos x -2-6)(cos x -2+6)2cos 2x,由于cos x ∈(0,1),由f (x )>0,得0<cos x <12,解得π3<x <π2,由f (x )<0,得12<cos x <1,解得0<x <π3,即f (x )在0,π3 上单调递减,在π3,π2上单调递增,因此函数f (x )在0,π2 上有极小值f π3 =3(3-π)2,从而f (x )在-π2,π2 上的极小值为f π3 =3(3-π)2,极大值为f -π3 =3(π-3)2.(2)当n =1时,g (x )>0恒成立,即sin x -x cos x >0恒成立,亦即tan x >x 恒成立,令h (x )=tan x -x ,x ∈0,π2 ,求导得h (x )=1cos 2x -1=1-cos 2x cos 2x=tan 2x >0,则函数h (x )在0,π2上为增函数,有h (x )>h (0)=0,因此tan x -x >0恒成立;当n >1时,g (x )>0恒成立,即不等式sin xn cos x>x 恒成立,令F (x )=x -sin x cos 1n x ,0<x <π2,求导得:F (x )=1-cos x ⋅cos 1nx -1n⋅cos1n-1x ⋅(-sin x )⋅sin xcos 2nx=1-cos1+n nx +1n⋅sin 2x ⋅cos1-n nxcos 2nx=1-cos 2x +1n ⋅sin 2xcos n +1nx =cosn +1nx -cos 2x -1n (1-cos 2x )cos n +1nx =cosn +1nx -1n -n -1ncos 2x cosn +1nx令G (x )=cos n +1nx -1n -n -1n cos 2x ,求导得则G (x )=n +1n cos 1nx ⋅(-sin x )-n -1n⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin x n (2n -2)cos x -(n +1)cos 1n x =2n -2n ⋅sin x cos x -n +12n -2cos 1n x=2n -2n ⋅sin x ⋅cos 1n x cos n -1n x -n +12n -2,由n >1,x ∈0,π2 ,得2n -2n⋅sin x ⋅cos 1nx >0,当n +12n -2≥1时,即n ≤3时,G (x )<0,则函数G (x )在0,π2上单调递减,则有G (x )<G (0)=0,即F (x )<0,因此函数F (x )在0,π2 上单调递减,有F (x )<F (0)=0,即g (x )>0,当n +12n -2<1时,即n >3时,存在一个x 0∈0,π2 ,使得cos n -1n x 0=n +12n -2,且当x ∈(0,x 0)时,G (x )>0,即G (x )在(0,x 0)上单调递增,且G (x )>G (0)=0,则F (x )>0,于是F (x )在(0,x 0)上单调递增,因此F (x )>F (0)=0,即sin xn cos x<x ,与g (x )>0矛盾,所以n 的最大值为3.【点睛】方法点睛:对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:①通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;②利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.③根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.9(2024·湖北·模拟预测)已知函数f x =ax 2-x +ln x +1 ,a ∈R ,(1)若对定义域内任意非零实数x 1,x 2,均有f x 1 f x 2x 1x 2>0,求a ;(2)记t n =1+12+⋅⋅⋅+1n ,证明:t n -56<ln n +1 <t n .【答案】(1)a =12(2)证明见解析【分析】(1)求导可得f 0 =0,再分a ≤0与a >0两种情况分析原函数的单调性,当a >0时分析极值点的正负与原函数的正负区间,从而确定a 的值;(2)由(1)问的结论可知,1n -12n2<ln 1n +1 <1n ,再累加结合放缩方法证明即可.【详解】(1)f x 的定义域为-1,+∞ ,且f 0 =0;f x =2ax -1+1x +1=2ax -x x +1=x 2a -1x +1,因此f 0 =0;i.a ≤0时,2a -1x +1<0,则此时令f x >0有x ∈-1,0 ,令f x <0有x ∈0,+∞ ,则f x 在-1,0 上单调递增,0,+∞ 上单调递减,又f 0 =0,于是f x ≤0,此时令x 1x 2<0,有f x 1 f x 2x 1x 2<0,不符合题意;ii .a >0时,f x 有零点0和x 0=12a-1,若x 0<0,即a >12,此时令f x <0有x ∈x 0,0 ,f x 在x 0,0 上单调递减,又f 0 =0,则f x 0 >0,令x 1>0,x 2=x 0,有f x 1 f x 2x 1x 2<0,不符合题意;若x 0>0,即0<a <12,此时令f x <0有x ∈0,x 0 ,f x 在0,x 0 上单调递减,又f 0 =0,则f x 0 <0,令-1<x 1<0,x 2=x 0,有f x 1 f x 2x 1x 2<0,不符合题意;若x 0=0,即a =12,此时fx =x 2x +1>0,f x 在-1,+∞ 上单调递增,又f 0 =0,则x >0时f x >0,x <0时f x <0;则x ≠0时f x x >0,也即对x 1x 2≠0,f x 1 f x 2x 1x 2>0,综上,a =12(2)证:由(1)问的结论可知,a =0时,f x =-x +ln x +1 ≤0;且a =12时x >0,f x =12x 2-x +ln x +1 >0;则x>0时,x-12x2<ln x+1<x,令x=1n,有1n-12n2<ln1n+1<1n,即1n-12n2<ln n+1-ln n<1n,于是1n-1-12n-12<ln n-ln n-1<1n-11-12<ln2<1将上述n个式子相加,t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2<ln n+1<t n;欲证t n-56<ln n+1<t n,只需证t n-56<t n-121+122+⋅⋅⋅+1n2,只需证1+122+⋅⋅⋅+1n2<53;因为1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,所以1+122+⋅⋅⋅+1n2<1+213-15+15-17+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=53-22n+1<53,得证:于是得证t n-56<ln n+1<t n.【点睛】方法点睛:(1)此题考导数与函数的综合应用,找到合适的分类标准,设极值点,并确定函数正负区间是解此题的关键;(2)对累加结构的不等式证明,一般需要应用前问的结论,取特定参数值,得出不等式累加证明,遇到不能累加的数列结构,需要进行放缩证明.10(2024·湖南·一模)已知函数f x =sin x-ax⋅cos x,a∈R.(1)当a=1时,求函数f x 在x=π2处的切线方程;(2)x∈0,π2时;(ⅰ)若f x +sin2x>0,求a的取值范围;(ⅱ)证明:sin2x⋅tan x>x3.【答案】(1)πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)a≤3(ⅱ)证明见解析【分析】(1)令a=1时,利用导数的几何意义求出斜率,进行计算求出切线方程即可.(2)(ⅰ)设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,由g x >0得a≤3,再证明此时满足g x >0.(ⅱ)根据(ⅰ)结论判断出F x =sin2x⋅tan x-x3在0,π2上单调递增,∴F(x)>F(0)=0,即sin2x tan x >x3.【详解】(1)当a=1时,f(x)=sin x-x⋅cos x,f (x)=cos x-(cos x-x⋅sin x)=x⋅sin x,fπ2=π2,fπ2=1.所以切线方程为:y-1=π2x-π2,即πx-2y+2-π22=0.(2)(ⅰ)f(x)+sin2x=sin x-ax⋅cos x+sin2x>0,即tan x-ax+2sin x>0,x∈0,π2,设g(x)=2sin x+tan x-ax,x∈0,π2,g (x )=2cos x +1cos 2x -a =1cos 2x(2cos 3x -a cos 2x +1).又∵g (0)=0,g (0)=3-a ,∴g (0)=3-a ≥0是g (x )>0的一个必要条件,即a ≤3.下证a ≤3时,满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,又g (x )≥1cos 2x(2cos 3x -3cos 2x +1),设(t )=2t 3-3t 2+1,t ∈(0,1),h (t )=6t 2-6t =6t (t -1)<0,h (t )在(0,1)上单调递减,所以h (t )>h (1)=0,又x ∈0,π2 ,cos x ∈(0,1),∴g (x )>0,即g (x )在0,π2 单调递增.∴x ∈0,π2时,g (x )>g (0)=0;下面证明a >3时不满足g (x )=2sin x +tan x -ax >0,x ∈0,π2,,g (x )=2cos x +1cos 2x-a ,令h (x )=g (x )=2cos x +1cos 2x -a ,则h (x )=-2sin x +2sin x cos 3x =2sin x 1cos 3x-1,∵x ∈0,π2 ,∴sin x >0,1cos 3x-1>0,∴h (x )>0,∴h (x )=g (x )在0,π2为增函数,令x 0满足x 0∈0,π2,cos x 0=1a ,则g x 0 =2cos x 0+1cos 2x 0-a =2cos x 0+a -a >0,又g (0)=3-a <0,∴∃x 1∈0,x 0 ,使得g x 1 =0,当x ∈0,x 1 时,g (x )<g x 1 =0,∴此时g (x )在0,x 1 为减函数,∴当x ∈0,x 1 时,g (x )<g (0)=0,∴a >3时,不满足g (x )≥0恒成立.综上a ≤3.(ⅱ)设F (x )=sin 2x ⋅tan x -x 3,x ∈0,π2 ,F (x )=2sin x ⋅cos x ⋅tan x +sin 2x ⋅1cos 2x-3x 2=2sin 2x +tan 2x -3x 2=2(sin x -x )2+(tan x -x )2+2(2sin x +tan x )x -2x 2-x 2-3x 2.由(ⅰ)知2sin x +tan x >3x ,∴F (x )>0+0+2x ⋅3x -6x 2=0,,F x 在0,π2上单调递增,∴F (x )>F (0)=0,即sin 2x tan x >x 3.【点睛】关键点点睛:本题考查导数,解题关键是进行必要性探路,然后证明充分性,得到所要求的参数范围即可.11(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=ln (1+x )-11+x.(1)求曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线方程;(2)若x ∈(-1,π),讨论曲线y =f (x )与曲线y =-2cos x 的交点个数.【答案】(1)y =32x -1;(2)2.【分析】(1)求导,即可根据点斜式求解方程,(2)求导,分类讨论求解函数的单调性,结合零点存在性定理,即可根据函数的单调性,结合最值求解.【详解】(1)依题意,f x =11+x +121+x 32,故f 0 =32,而f 0 =-1,故所求切线方程为y +1=32x ,即y =32x -1.(2)令ln 1+x -11+x =-2cos x ,故ln 1+x +2cos x -11+x=0,令g x =ln 1+x +2cos x -11+x ,g x =11+x -2sin x +121+x -32,令h x =g x =11+x -2sin x +121+x -32,hx =-11+x2-2cos x -341+x -52.①当x ∈-1,π2时,cos x ≥0,1+x 2>0,1+x-52>0,∴h x <0,∴h x 在-1,π2上为减函数,即gx 在-1,π2 上为减函数,又g 0 =1+12>0,g1 =12-2sin1+12⋅2-32<12-2⋅sin1+12<1-2×12=0,∴g x 在0,1 上有唯一的零点,设为x 0,即g x 0 =00<x 0<1 .∴g x 在-1,x 0 上为增函数,在x 0,π2上为减函数.又g 0 =2-1>0,g -π4 =ln 1-π4 +2cos -π4 -11-π4=ln 1-π4+2-11-π4<0,g π2=ln 1+π2 -11+π2>0,∴g x 在-1,x 0 上有且只有一个零点,在x 0,π2上无零点;②当x ∈π2,5π6 时,g x <11+x -1+121+x-32<0,g x 单调递减,又g π2 >0,g 5π6 =ln 1+5π6 -3-1+5π6-12<ln4-3<0,∴g x 在π2,5π6内恰有一零点;③当x ∈5π6,π 时,hx =-11+x2-2cos x -341+x -52为增函数,∴hx =h 5π6 =-11+5π62+1-34⋅1+5π6-52>0,∴g x 单调递增,又g π >0,g 5π6 <0,所以存在唯一x 0∈5π6,π ,g x 0 =0,当x ∈5π6,x 0 时,g x <0,g x 递减;当x ∈x 0,π 时,g x >0,g x 递增,g x ≤max g 5π6 ,g π <0,∴g x 在5π6,π内无零点.综上所述,曲线y =f x 与曲线y =-2cos x 的交点个数为2.【点睛】方法点睛:本题考查了导数的综合运用,求某点处的切线方程较为简单,利用导数求单调性时,如果求导后的正负不容易辨别,往往可以将导函数的一部分抽离出来,构造新的函数,利用导数研究其单调性,进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时,常采用两种思路:求直接求最值和等价转化.无论是那种方式,都要敢于构造函数,构造有效的函数往往是解题的关键.12(2024·广东佛山·二模)已知f x =-12e 2x +4e x -ax -5.(1)当a =3时,求f x 的单调区间;(2)若f x 有两个极值点x 1,x 2,证明:f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导后,借助导数的正负即可得原函数的单调性;(2)借助换元法,令t =e x ,t 1=e x 1,t 2=e x 2,可得t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根,借助韦达定理可得t 1+t 2=4,t 1t 2=a ,即可用t 1、t 2表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2,进而用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2,构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.【详解】(1)当a =3时,f x =-12e 2x +4e x -3x -5,f x =-e 2x +4e x -3=-e x -1 e x -3 ,则当e x ∈0,1 ∪3,+∞ ,即x ∈-∞,0 ∪ln3,+∞ 时,f x <0,当e x ∈1,3 ,即x ∈0,ln3 时,f x >0,故f x 的单调递减区间为-∞,0 、ln3,+∞ ,单调递增区间为0,ln3 ;(2)f x =-e 2x +4e x -a ,令t =e x ,即f x =-t 2+4t -a ,令t 1=e x 1,t 2=e x 2,则t 1、t 2是方程t 2-4t +a =0的两个正根,则Δ=-4 2-4a =16-4a >0,即a <4,有t 1+t 2=4,t 1t 2=a >0,即0<a <4,则f x 1 +f x 2 +x 1+x 2=-12e 2x 1+4e x 1-ax 1-5-12e 2x2+4e x 2-ax 2-5+x 1+x 2=-12t 21+t 22 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1+ln t 2 -10=-12t 1+t 2 2-2t 1t 2 +4t 1+t 2 -a -1 ln t 1t 2-10=-1216-2a +16-a -1 ln a -10=a -a -1 ln a -2,要证f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0,即证a -a -1 ln a -2<00<a <4 ,令g x =x -x -1 ln x -20<x <4 ,则g x =1-ln x +x -1x =1x-ln x ,令h x =1x -ln x 0<x <4 ,则h x =-1x 2-1x <0,则g x 在0,4 上单调递减,又g 1 =11-ln1=1,g 2 =12-ln2<0,故存在x 0∈1,2 ,使g x 0 =1x 0-ln x 0=0,即1x 0=ln x 0,则当x ∈0,x 0 时,g x >0,当x ∈x 0,4 时,g x <0,故g x 在0,x 0 上单调递增,g x 在x 0,4 上单调递减,则g x ≤g x 0 =x 0-x 0-1 ln x 0-2=x 0-x 0-1 ×1x 0-2=x 0+1x 0-3,又x 0∈1,2 ,则x 0+1x 0∈2,52 ,故g x 0 =x 0+1x 0-3<0,即g x <0,即f x 1 +f x 2 +x 1+x 2<0.【点睛】关键点点睛:本题关键点在于借助换元法,令t =e x ,t 1=e x 1,t 2=e x 2,从而可结合韦达定理得t 1、t 2的关系,即可用a 表示f x 1 +f x 2 +x 1+x 2,构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得.13(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x =x e x -kx ,k ∈R .(1)当k =0时,求函数f x 的极值;(2)若函数f x 在0,+∞ 上仅有两个零点,求实数k 的取值范围.【答案】(1)极小值为-1e,无极大值(2)e ,+∞【分析】(1)求出导函数,然后列表求出函数的单调区间,根据极值定义即可求解;(2)把原函数有两个零点转化为g x =e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点,分类讨论,利用导数研究函数的单调性,列不等式求解即可.【详解】(1)当k =0时,f x =xe x (x ∈R ),所以f x =1+x e x ,令f x =0,则x =-1,x -∞,-1-1-1,+∞f x -0+f x单调递减极小值单调递增所以f (x )min =f -1 =-e -1=-1e,所以f x 的极小值为-1e,无极大值.(2)函数f x =x e x -kx 在0,+∞ 上仅有两个零点,令g x =e x -kx ,则问题等价于g x 在0,+∞ 上仅有两个零点,易知g x =e x -k ,因为x ∈0,+∞ ,所以e x >1.①当k ∈-∞,1 时,g x >0在0,+∞ 上恒成立,所以g x 在0,+∞ 上单调递增,所以g x >g 0 =1,所以g x 在0,+∞ 上没有零点,不符合题意;②当k ∈1,+∞ 时,令g x =0,得x =ln k ,所以在0,ln k 上,g x <0,在ln k ,+∞ 上,g x >0,所以g x 在0,ln k 上单调递减,在(ln k ,+∞)上单调递增,所以g x 的最小值为g ln k =k -k ⋅ln k .因为g x 在0,+∞ 上有两个零点,所以g ln k =k -k ⋅ln k <0,所以k >e.因为g 0 =1>0,g ln k 2 =k 2-k ⋅ln k 2=k k -2ln k ,令h x =x -2ln x ,则h x =1-2x =x -2x,所以在0,2 上,h x <0,在2,+∞ 上,h x >0,所以h x 在0,2 上单调递减,在2,+∞ 上单调递增,所以h x ≥2-2ln2=ln e 2-ln4>0,所以g ln k 2 =k k -2ln k >0,所以当k >e 时,g x 在0,ln k 和(ln k ,+∞)内各有一个零点,即当k >e 时,g x 在0,+∞ 上仅有两个零点.综上,实数k 的取值范围是e ,+∞ .【点睛】方法点睛:求解函数单调区间的步骤:(1)确定f x 的定义域.(2)计算导数f x .(3)求出f x =0的根.(4)用f x =0的根将f x 的定义域分成若干个区间,判断这若干个区间内f x 的符号,进而确定f x 的单调区间.f x >0,则f x 在对应区间上单调递增,对应区间为增区间;f x <0,则f x 在对应区间上单调递减,对应区间为减区间.如果导函数含有参数,那么需要对参数进行分类讨论,分类讨论要做到不重不漏.14(2024·江苏南通·二模)已知函数f x =ln x -ax ,g x =2ax,a ≠0.(1)求函数f x 的单调区间;(2)若a >0且f x ≤g x 恒成立,求a 的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)2e 3.【分析】(1)求导后,利用导数与函数单调性的关系,对a >0与a <0分类讨论即可得;(2)结合函数的单调性求出函数的最值,即可得解.【详解】(1)f x =1x -a =1-axx(a ≠0),当a <0时,由于x >0,所以f x >0恒成立,从而f x 在0,+∞ 上递增;当a >0时,0<x <1a ,f x >0;x >1a ,fx <0,从而f x 在0,1a 上递增,在1a,+∞ 递减;综上,当a <0时,f x 的单调递增区间为0,+∞ ,没有单调递减区间;当a >0时,f x 的单调递增区间为0,1a ,单调递减区间为1a ,+∞ .(2)令h x =f x -g x =ln x -ax -2ax,要使f x ≤g x 恒成立,只要使h x ≤0恒成立,也只要使h x max ≤0.h x =1x -a +2ax 2=-ax +1 ax -2 ax 2,由于a >0,x >0,所以ax +1>0恒成立,当0<x <2a 时,h x >0,当2a<x <+∞时,h x <0,所以h x max =h 2a =ln 2a -3≤0,解得:a ≥2e 3,所以a 的最小值为2e3.15(2024·山东济南·二模)已知函数f x =ax 2-ln x -1,g x =xe x -ax 2a ∈R .(1)讨论f x 的单调性;(2)证明:f x +g x ≥x .【答案】(1)答案见详解(2)证明见详解【分析】(1)求导可得fx =2ax 2-1x,分a ≤0和a >0两种情况,结合导函数的符号判断原函数单调性;(2)构建F x =f x +g x -x ,x >0,h x =e x -1x,x >0,根据单调性以及零点存在性定理分析h x 的零点和符号,进而可得F x 的单调性和最值,结合零点代换分析证明.【详解】(1)由题意可得:f x 的定义域为0,+∞ ,fx =2ax -1x =2ax 2-1x,当a ≤0时,则2ax 2-1<0在0,+∞ 上恒成立,可知f x 在0,+∞ 上单调递减;当a >0时,令f x >0,解得x >12a;令f x <0,解得0<x <12a;可知f x 在0,12a 上单调递减,在12a,+∞ 上单调递增;综上所述:当a ≤0时,f x 在0,+∞ 上单调递减;当a >0时,f x 在0,12a 上单调递减,在12a,+∞ 上单调递增.(2)构建F x =f x +g x -x =xe x -ln x -x -1,x >0,则F x =x +1 e x -1x -1=x +1 e x -1x,由x >0可知x +1>0,构建h x =e x -1x ,x >0,因为y =e x ,y =-1x在0,+∞ 上单调递增,则h x 在0,+∞ 上单调递增,且h 12=e -20,h 1 =e -1 0,可知h x 在0,+∞ 上存在唯一零点x 0∈12,1 ,当0<x <x 0,则h x <0,即Fx <0;当x >x 0,则h x >0,即F x >0;可知F x 在0,x 0 上单调递减,在x 0,+∞ 上单调递增,则F x ≥F x 0 =x 0e x 0-ln x 0-x 0-1,又因为e x 0-1x 0=0,则e x 0=1x 0,x 0=e -x 0,x 0∈12,1 ,可得F x 0 =x 0×1x 0-ln e -x-x 0-1=0,即F x ≥0,所以f x +g x ≥x .16(2024·福建·模拟预测)已知函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线在y 轴上的截距为-2.(1)求a 的值;(2)若f x 有且仅有两个零点,求b 的取值范围.【答案】(1)2(2)b ∈0,2e 【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得;(2)借助函数与方程的关系,可将f x 有且仅有两个零点转化为方程b =2ln xx有两个根,构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.【详解】(1)f (x )=ax-b ,f 1 =a -b ,f (1)=a ×0-b =-b ,则函数f (x )=a ln x -bx 在1,f 1 处的切线为:y +b =a -b x -1 ,即y =a -b x -a ,令x =0,则有y =-a =-2,即a =2;(2)由a =2,即f (x )=2ln x -bx ,若f x 有且仅有两个零点,则方程2ln x-bx=0有两个根,即方程b=2ln xx有两个根,令g x =2ln xx,则gx =21-ln xx2,则当x∈0,e时,g x >0,则当x∈e,+∞时,g x <0,故g x 在0,e上单调递增,在e,+∞上单调递减,故g x ≤g e =2ln ee=2e,又x→0时,g x →-∞,x→+∞时,g x →0,故当b∈0,2 e时,方程b=2ln x x有两个根,即f x 有且仅有两个零点.17(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x =a ln x+2-12x2a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性;(2)若函数f x 有两个极值点,(ⅰ)求实数a的取值范围;(ⅱ)证明:函数f x 有且只有一个零点.【答案】(1)答案见解析;(2)(ⅰ)-1<a<0;(ⅱ)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数,再分a≤-1、-1<a<0、a≥0三种情况,分别求出函数的单调区间;(2)(ⅰ)由(1)直接解得;(ⅱ)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【详解】(1)函数f x =a ln x+2-12x2a∈R的定义域为-2,+∞,且f x =ax+2-x=-x+12+a+1x+2,当a≤-1时,f x ≤0恒成立,所以f x 在-2,+∞单调递减;当-1<a<0时,令f x =0,即-x+12+a+1=0,解得x1=-a+1-1,x2=a+1-1,因为-1<a<0,所以0<a+1<1,则-2<-a+1-1<-1,所以当x∈-2,-a+1-1时f x <0,当x∈-a+1-1,a+1-1时f x >0,当x∈a+1-1,+∞时f x <0,所以f x 在-2,-a+1-1上单调递减,在-a+1-1,a+1-1上单调递增,在a+1-1,+∞上单调递减;当a≥0时,此时-a+1-1≤-2,所以x∈-2,a+1-1时f x >0,当x∈a+1-1,+∞时f x <0,所以f x 在-2,a+1-1上单调递增,在a+1-1,+∞上单调递减.综上可得:当a≤-1时f x 在-2,+∞单调递减;当-1<a<0时f x 在-2,-a+1-1上单调递减,在-a+1-1,a+1-1上单调递增,在a+1-1,+∞上单调递减;当a≥0时f x 在-2,a+1-1上单调递增,在a+1-1,+∞上单调递减.(2)(ⅰ)由(1)可知-1<a<0.(ⅱ)由(1)f x 在-2,-a+1-1上单调递减,在-a+1-1,a+1-1上单调递增,在a+1-1,+∞上单调递减,所以f x 在x=a+1-1处取得极大值,在x=-a+1-1处取得极小值,又-1<a<0,所以0<a+1<1,则1<a+1+1<2,又f x极大值=f a+1-1=a ln a+1+1-12a+1-12<0,又f-a+1-1<f a+1-1<0,所以f x 在-a+1-1,+∞上没有零点,又-1<a<0,则4a<-4,则0<e4a<e-4,-2<e4a-2<e-4-2,则0<e 4a-22<4,所以f e 4a-2=4-12e4a-22>0,所以f x 在-2,-a+1-1上存在一个零点,综上可得函数f x 有且只有一个零点.18(2024·河北沧州·模拟预测)已知函数f(x)=ln x-ax+1,a∈R.(1)讨论f x 的单调性;(2)若∀x>0,f x ≤xe2x-2ax恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)-∞,2.【分析】(1)利用导数分类讨论判断函数f x 的单调性,即可求解;(2)先利用导数证明不等式e x≥x+1,分离变量可得a≤e2x-ln x+1x恒成立,进而e 2x-ln x+1x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2,即可求解.【详解】(1)函数f x =ln x-ax+1,a∈R的定义域为0,+∞,且f (x)=1x-a.当a≤0时,∀x∈0,+∞,f (x)=1x-a≥0恒成立,此时f x 在区间0,+∞上单调递增;当a>0时,令f (x)=1x-a=1-axx=0,解得x=1a,当x∈0,1 a时,f x >0,f x 在区间0,1a上单调递增,当x∈1a,+∞时,f x <0,f x 在区间1a,+∞上单调递减.综上所述,当a≤0时,f x 在区间0,+∞上单调递增;当a>0时,f x 在区间0,1 a上单调递增,在区间1a,+∞上单调递减.(2)设g x =e x-x-1,则g x =e x-1,在区间(-∞,0)上,g x <0,g x 单调递减,在区间0,+∞上,g x >0,g x 单调递增,所以g x ≥g0 =e0-0-1=0,所以e x≥x+1(当且仅当x=0时等号成立).依题意,∀x>0,f x ≤xe2x-2ax恒成立,即a≤e2x-ln x+1x恒成立,而e2x-ln x+1x=xe2x-(ln x+1)x=e2x+ln x-(ln x+1)x≥2x+ln x+1-(ln x+1)x=2,当且仅当2x+ln x=0时等号成立.因为函数h x =2x+ln x在0,+∞上单调递增,h1e=2e-1<0,h(1)=2>0,所以存在x0∈1e,1,使得2x0+ln x0=0成立.所以a ≤e 2x -ln x +1xmin =2,即a 的取值范围是-∞,2 .【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略:形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略:1、构造函数法:令F x =f x -g x ,利用导数求得函数F x 的单调性与最小值,只需F x min ≥0恒成立即可;2、参数分离法:转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立,即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立,只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可;3,数形结合法:结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方),进而得到不等式恒成立.19(2024·广东·二模)已知f x =12ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间;(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2),使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x22处的切线平行?若存在,请求出直线AB ;若不存在,请说明理由.【答案】(1)f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)不存在,理由见解析【分析】(1)求出导函数,根据导函数的正负来确定函数的单调区间;(2)求出直线AB 的斜率,再求出f (x 0),从而得到x 1,x 2的等式,再进行换元和求导,即可解出答案.【详解】(1)由题可得f(x )=ax +1-2a -2x =ax 2+(1-2a )x -2x =(ax +1)(x -2)x(x >0)因为a >0,所以ax +1>0,所以当x ∈(0,2)时,f (x )<0,f (x )在(0,2)上单调递减,当x ∈(2,+∞)时,f (x )>0,f (x )在(2,+∞)上单调递增.综上,f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)由题意得,斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=12ax 22+(1-2a )x 2-2ln x 2 -12ax 21+(1-2a )x 1-2ln x 1 x 2-x 1=12a (x 22-x 21)+(1-2a )(x 2-x 1)-2ln x 2x 1x 2-x 1=a 2(x 1+x 2)+1-2a -2ln x2x 1x 2-x 1,f x 1+x 22 =a (x 1+x 2)2+1-2a -4x 1+x 2,由k =f x 1+x22 得,ln x2x 1x 2-x 1=2x 1+x 2,即ln x 2x 1=2(x 2-x 1)x 1+x 2,即ln x 2x 1-2x2x 1-1 x 2x1+1=0令t =x 2x 1,不妨设x 2>x 1,则t >1,记g (t )=ln t -2(t -1)t +1=ln t +4t +1-2(t >1)所以g(t )=1t -4t +1 2=t -1 2t t +1 2>0,所以g (t )在(1,+∞)上是增函数,所以g (t )>g (1)=0,所以方程g (t )=0无解,则满足条件的两点A ,B 不存在.20(2024·广东深圳·二模)已知函数f x =ax +1 e x ,f x 是f x 的导函数,且f x -f x =2e x .(1)若曲线y =f x 在x =0处的切线为y =kx +b ,求k ,b 的值;(2)在(1)的条件下,证明:f x ≥kx +b .【答案】(1)k =3,b =1;(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意,求导可得a 的值,再由导数意义可求切线,得到答案;(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1,利用导数研究函数g (x )的单调性从而求出最小值大于0,可得证.【详解】(1)因为f x =ax +1 e x ,所以f x =ax +a +1 e x ,因为f x -f x =2e x ,所以a =2.则曲线y =f (x )在点x =0处的切线斜率为f 0 =3.又因为f 0 =1,所以曲线y =f (x )在点x =0处的切线方程为y =3x +1,即得k =3,b =1.(2)设函数g x =2x +1 e x -3x -1,x ∈R ,则g x =2x +3 e x -3,设h x =g x ,则h x =e x 2x +5 ,所以,当x >-52时,h x >0,g x 单调递增.又因为g0 =0,所以,x >0时,g x >0,g x 单调递增;-52<x <0时,g x <0,g x 单调递减.又当x ≤-52时,g x =2x +3 e x -3<0,综上g x 在-∞,0 上单调递减,在0,+∞ 上单调递增,所以当x =0时,g x 取得最小值g 0 =0,即2x +1 e x -3x -1≥0,所以,当x ∈R 时,f x ≥3x +1.21(2024·辽宁·二模)已知函数f x =ax 2-ax -ln x .(1)若曲线y =f x 在x =1处的切线方程为y =mx +2,求实数a ,m 的值;(2)若对于任意x ≥1,f x +ax ≥a 恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)a =-1,m =-2(2)12,+∞ 【分析】(1)根据导数几何意义和切线方程,可直接构造方程组求得结果;(2)构造函数g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ,将问题转化为g x ≥0恒成立;求导后,分别在a ≤0、a ≥12和0<a <12的情况下,结合单调性和最值求得符合题意的范围.【详解】(1)∵f x =2ax -a -1x,∴f 1 =2a -a -1=a -1,∵y =f x 在x =1处的切线为y =mx +2,∴f 1 =a -1=mf 1 =0=m +2 ,解得:a =-1,m =-2.(2)由f x +ax ≥a 得:ax 2-ln x -a ≥0,令g x =ax 2-ln x -a x ≥1 ,则当x ≥1时,g x ≥0恒成立;。
文科导数练习题
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文科导数练习题一、选择题(每题2分,共10分)1. 函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数是:A. \( 6x + 2 \)B. \( 3x^2 + 2 \)C. \( 6x^2 + 4x \)D. \( 6x^2 + 4x - 5 \)2. 已知 \( y = \ln(x) \),求 \( y' \) 的值:A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( x^2 \)D. \( \ln(x) \)3. 若 \( f(x) = e^x \),则 \( f'(x) \) 等于:A. \( e^x \)B. \( x \cdot e^x \)C. \( e^x + 1 \)D. \( e^x - 1 \)4. 函数 \( g(x) = \sin(x) \) 的导数是:A. \( \cos(x) \)B. \( -\sin(x) \)C. \( \sin(x) + x \)D. \( -\cos(x) \)5. 若 \( h(x) = \frac{1}{x} \),则 \( h'(x) \) 的值是:A. \( -\frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x^2} \)C. \( -\frac{1}{x} \)D. \( \frac{1}{x} \)二、填空题(每题3分,共15分)6. 函数 \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x - 6 \) 的导数是 \(f'(x) =______ \)。
7. 已知 \( y = \sqrt{x} \),求 \( y' \) 的值:\( y' = ______ \)。
8. 若 \( f(x) = \ln(2x + 1) \),则 \( f'(x) \) 等于 \( ______ \)。
9. 函数 \( g(x) = \cos(x^2) \) 的导数是 \( g'(x) = ______ \)。
高二数学导数大题练习题(含答案)
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高二数学导数大题练习题(含答案)一、解答题1.已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间;(2)设()2xg x =,若对任意的[]11,100x ∈,存在[]20,1x ∈,使()()12f x g x <成立,求实数a 的取值范围.2.已知函数()ln f x x x x =-,()2ln 1g x a x x =-+.(1)求函数()f x 的最小值;(2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立,求实数a 的值; (3)证明:1111232022e 2023+++⋅⋅⋅+>,e 是自然对数的底数.3.已知()2,13,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩,()()ln g x x a =+.(1)存在0x 满足:()()00f x g x =,()()00f x g x ''=,求a 的值; (2)当4a ≤时,讨论()()()h x f x g x =-的零点个数.4.已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x .(1)求实数a 的取值范围;(2)证明:对任意的(]01,x x ∈,都有ln 10-+>a x x 恒成立.5.已知函数()()e sin x f x rx r *=⋅∈N ,其中e 为自然对数的底数.(1)若1r =,求函数()y f x =的单调区间;(2)证明:对于任意的正实数M ,总存在大于M 的实数a ,b ,使得当[,]x a b ∈时,|()|1f x ≤. 6.已知函数()1e xaxf x a=-+,0a ≠. (1)当1a =时,①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程; ②求证:()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点; (2)若()f x 没有零点,求a 的取值范围.7.设函数ln e ()xx f x a x=-,其中a ∈R 且0a ≠,e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数,若()'f x 在(2,3)上存在零点,求a 的取值范围; (2)若34e a ≥,证明:()0f x <. 8.已知函数()e 2x f x ax =-,()22sin 1g x a x x =-+,其中e 是自然对数的底数,a ∈R .(1)试判断函数()f x 的单调性与极值点个数;(2)若关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根,求实数a 的最小值. 9.已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值. (1)求()f x 的单调区间;(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值. 10.已知函数2()ln f x a x x =+.(1)若1a =,求()f x 在点(1(1))f ,处的切线方程;(2)若对于任意2x ≥,()f x x '≥恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1.(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】(1)由()()110ax f x a x xx+=+=>',按0a ≥,0a <进行分类讨论求解; (2)由已知,转化为()()max max f x g x <,由已知得()()max 12g x g ==,由此能求出实数a 的取值范围. (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>, ①当0a ≥时,由于0x >,故10ax +>,()0f x '>, 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+; ②当0a <时,由()0f x '=,得1x a=-,在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>,在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<, 所以,函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;(2)由题目知,只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==,所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立,由变量分离可知2ln xa x-<,[]1,100x ∈, 令()2ln xh x x -=,下面求()h x 的最小值, 令()23ln xh x x-+'=,所以()0h x '=得3x e =, 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数,3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数, 所以()()33min 1h x h e e -==,所以31a e ≤-. 2.(1)1- (2)2(3)证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导求单调性即可求解;(2)()()220a x g x x x-'=>,分类讨论单调性得到()ln 1222maxg x a a a =-+, 要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立,则()0max g x ≤,即ln 10222a a a -+≤, 又由(1)可得到ln 10222a a a -+≥,所以ln 10222a a a -+=,即可求解;(3)由(2)知()22ln 1g x x x =≤-得到22ln 1x x ≤-,所以ln 1t t ≤-,所以e 1xx ≥+,即11e >nn n+,代入证明即可. (1)()f x 的定义域为()0,∞+,()ln f x x '=,当()0,1x ∈时,()0f x '<,当(1,)x ∈+∞时,()0,f x '>故()f x 在()01,上单调递减,在(1,)+∞上单调递增. 所以()()11min f x f ==-. (2)()()2220a a x g x x x x x-'=-=>,当0a ≤时,()0g x '<,()g x 在()0,∞+上单调递减, 此时存在()00,1x ∈,使得()()010g x g >=,与题设矛盾.当0a >时,x ∈时,()0g x '>,)x ∈+∞时,()0g x '<,故()g x 在上单调递增,在)+∞上单调递减,所以()1ln 12222max a a a ag g x a ==+=-+, 要使()0g x ≤在()0,∞+恒成立,则()0max g x ≤,即ln 10222a a a -+≤又由(1)知()ln 1f x x x x =-≥-,即ln 1x x x -≥-,(当且仅当1x =时,等号成立).令2a x =有ln 10222a a a -+≥,故ln 10222a a a -+=且12a = 所以2a =. (3)证明:由(2)知()22ln 1g x x x =≤-得22ln 1x x ≤-(当且仅当1x =时等号成立),令)0x t =>,则ln 1t t ≤-(当且仅当1t =时等号成立),令e x t =,所以ln e e 1x x ≤-,即e 1x x ≥+(当且仅当0x =时等号成立),令()*10x n N n =>∈,则111e >1n n n n++=从而有11111320212022223420222023e e e ee>12320212022⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 所以111112*********e2023.+++⋯++>【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 3.(1)0a =或4; (2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)在1x ≥-有()2000ln 21x x x -=--,构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况,求参数a ,在1x <-上根据已知列方程组求参数a ,即可得结果.(2)讨论a 的范围,利用导数研究()h x 的单调性,结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数. (1)1x ≥-时()2f x x x =-,原条件等价于200000ln()1210x x x a x x a ⎧-=+⎪⎨-=>⎪+⎩,∴()2000ln 21x x x -=--,令()()2ln 21x x x x ϕ=-+-,则()221021x x x ϕ'=-+>-, ∴()ϕx 为增函数,由()10ϕ=,则()0x ϕ=有唯一解01x =,所以0a =,1x <-时,()000311x ln x a x a ⎧+=+⎪⎨=⎪+⎩,解得:4a =. 综上,0a =或4. (2)ⅰ.0a <时0x a +>,则0x a >->,()()()22ln ln h x x x x a x x x x ϕ=--+>--=,而()121x x x ϕ'=--,()2120x xϕ''=+>,即()x ϕ'为增函数,又()01ϕ'=, 当()0,1∈x 时()0ϕ'<x ;当()1,x ∈+∞时()0ϕ'>x ,故()()10x ϕϕ≥=, ∴()0h x >恒成立,故0a <时零点个数为0;ⅱ.0a =时,()2ln h x x x x =--,由①知:仅当1x =时()0h x =,此时零点个数为1.ⅲ.01a <≤时,()()()2ln h x x x x a x a =--+>-,则()121h x x x a'=--+,()()2120h x x a ''=+>+,∴()h x '为增函数,2102a h a a⎛⎫'-=---< ⎪⎝⎭,()11101h a'=->+, ∴()0h x '=仅有一解,设为0(,1)2ax ∈-,则在()0,a x -上()0h x '<,在()0,x +∞上()0h x '>,所以()h x 最小值为()0h x ,故()()010h x h ≤<.又2ln 02422a aa a h ⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭,()()22ln 20h a =-+>,故0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,2x 上()h x 各有一零点,即()h x 有2个零点.ⅳ.14a <<时,(),1a --上()()()()3ln 3ln 4h x x x a x x p x =+-+>+-+=,()()()1103304p x x p x p x '=-=⇒=-⇒≥-=+, ∴()h x 无零点,则[)1,-+∞上()()2ln h x x x x a =--+,()121h x x x a'=--+,()()2120h x x a ''=+>+,∴()h x '为增函数,()11301h a '-=--<-+,()11101h a'=->+, ∴()0h x '=有唯一解,设为x ',则()()10h x h '≤<,又()()12ln 10h a -=--+>,()()22ln 20h a =-+>,故()1,x '-、(),2x '上,()h x 各有一个零点,即()h x 有2个零点.ⅴ.4a =时,由(1)知:(]4,1--上()h x 有唯一零点:3x =-;在()1,-+∞上()()2ln 4h x x x x =--+,则()1214h x x x '=--+,()2120(4)h x x ''=+>+, 所以()h x '为增函数,()11301h a '-=--<-+,()4105h '=>,故1(1,1)x ∃∈-使1()0h x '=,则1(1,)x -上()0h x '<,()h x 递减;1(,)x +∞上()0h x '>,()h x 递增; 故1()()h x h x ≥,而1()(1)ln 50h x h <=-<,又(1)2ln30h -=->,(2)2ln 60h =->,故在1(1,)x -、1(),2x 上()h x 各有一个零点, 所以()h x 共有3个零点.综上:0a <时()h x 零点个数为0;0a =时()h x 零点个数为1;04a <<时()h x 零点个数为2;4a =时()h x 零点个数为3. 【点睛】 关键点点睛:(1)根据分段函数的定义域讨论x ,结合函数、方程思想求参数.(2)讨论参数a ,利用二阶导数研究()h x '的单调性,进而判断其符号研究()h x 单调性,并结合零点存在性定理判断区间零点的个数. 4.(1)1a > (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)先求导,分1a ≤和1a >进行讨论,1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可;(2)先构造函数()ln 1g x a x x =-+,求导证明函数先增后减,故只要说明两个端点大于0即可,化简得到()()0001()1212g x x x a =--+,由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ,即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+==',①若1a ≤,则()0f x '>在(1,)+∞恒成立,即()f x 在(1,)+∞上单调递增, 当1x >时,()(1)0f x f >=,与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾.②若1a >,令()0f x '>,解得01x <<或x a >,令()0f x '<,解得1x a <<. 所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增,在(1,)a 单调递减.所以()(1)0f a f <=,当x →+∞时,()f x →+∞,由零点存在性定理,()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x . 综上,1a >. (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a xg x a x x g x x x,由(1)知01<<a x ,令()0g x '>,解得1x a <<,令()0g x '<,解得0a x x <<,故()g x 在(1,)a 单调递增,在()0,a x 单调递减.(1)0g =,()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点,故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ,即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ,所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a . 又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a , 令()ln(21)22=--+h a a a a ,则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ,令1()ln(21)121m a a a =-+--, 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立, 所以()h a '在(1,)+∞单调递增,()(1)0h a h ''>=,所以()h a 在(1,)+∞单调递增,()(1)0h a h >=,即(21)0f a ->,由(1)可知()0f a <,所以021<<-a x a ,因为0010,210-<-+<x x a ,所以()()()000112102=--+>g x x x a , 所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立,故对任意的(]01,x x ∈,都有ln 10-+>a x x 恒成立. 【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后,如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0,由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ,即可得到0()0g x >,即可得证. 5.(1)增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】(1)对函数求导,利用辅助角公式合并为同名三角函数,利用单调增减区间代入公式求解即可.(2)将绝对值不等式转化为11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,移向构造新函数,利用导数判定单调性,借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正,再结合三角函数的特有的周期特点寻找M 即可. (1)()e (sin cos )sin 4x x f x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭令22242k x k πππππ-≤+≤+,得32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦令322242k x k ππππ+≤+≤π+,得24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦当32,244x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时, ()0f x '>,()f x 单调递增 当24x k ππ⎡∈+⎢⎣,524k ππ⎤+⎥⎦时, ()0,()f x f x '< 单调递減 综上() f x 单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为 52,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)要证|()|1f x ≤,即证e sin 1xrx ⋅≤,即证11sin =e e xx rx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即证 11sin e e xxrx ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[,]x a b ∈时成立即可,[,]x a b ∈时,1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 令1()sin e x h x rx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1()cos e xh x r rx ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当222,k k x rr πππ⎛⎫+ ⎪∈⎪ ⎪⎝⎭时, cos 0,r rx > 所以1()cos 0,e xh x r rx ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭所以()h x 单调递增,2210,e k rk h rππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2221210(0)e k r k h k r ππππ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=±>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0(2)22,k k x rrπππ+∴∃∈ , 满足()00h x =由单调性可知02,k x x r π⎛⎫∈⎪⎝⎭, 满足()0()0h x h x <= 又因为当021,,sin 0,0,xk x x rx r e π⎛⎫⎛⎫∈>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 0xrx e ⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭,所以1sin 0e 1sin 0e xxrx rx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩能够同时满足, 对于任意的正实数M ,总存在正整数k ,且满足2Mr k π>时, 使得 2k M r π>成立, 所以不妨取 02,,2k Mr a k b x rππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭则,a b M >且[,]x a b ∈时,1sin 01sin 0xxrx e rx e ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩, 故对于任意的正实数M ,总存在大于M 的实数,a b ,使得当[,]x a b ∈ 时,|()|1f x ≤. 6.(1)①112y x =-;②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】(1)①利用导数求出切线的斜率,直接求出切线方程;②令()e 1e x xg x x =+-,利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ,利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点;(2)令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论:①0a <,得到当1a =-时,()f x 无零点;②0a >,()f x 无零点,符合题意. (1)若1a =,则()1e 1x xf x =-+,()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处,()()21110211f '+==+,(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-,()e x g x x '=-,在区间(0,)+∞上,()0g x '<,则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<,所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得:0(2)()e e x x ax a f x a--=+, 令()e x h x a ax =+-,则()e x h x a '=-.①若0a <,则()0h x '>,()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()1 e > 0h =, 所以()h x 恰有一个零点0x .令0e 0x a +=,得0ln()x a =-. 代入0()0h x =,得()ln 0a a a a -+--=,解得1a =-.所以当1a =-时,()h x 的唯一零点为0,此时()f x 无零点,符合题意.②若0a >,此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时,()0h x '<,()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数;当ln x a >时,()0h x '>,()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数.所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-.又()010h a =+>,由题意,当2ln 0a a a ->,即20e a <<时,()f x 无零点,符合题意.综上,a 的取值范围是{}()210,e -⋃. 【点睛】导数的应用主要有:(1)利用导函数几何意义求切线方程;(2)利用导数研究原函数的单调性,求极值(最值);(3)利用导数求参数的取值范围.7.(1)32322e e a <<; (2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出函数()f x 的导数,由()0f x '=分离参数并构造函数,求解其值域作答. (2)将不等式等价转化,构造两个函数,并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.(1) 依题意,21(1)e ()x x f x ax x -'=-,由()0f x '=得:21(1)e 1(1)e x x x x ax x a x--=⇔=, 令1())(e x x x x ϕ-=,23x <<,则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>,即()ϕx 在(2,3)上单调递增,当23x <<时,(2)()(3)x ϕϕϕ<<,即23e 2e ()23x ϕ<<, 由()'f x 在(2,3)上存在零点,则方程1(1)e xx a x -=在(2,3)上有根,因此有23e 12e 23a <<,解得32322e e a <<, 所以a 的取值范围是:32322e e a <<. (2)函数()f x 的定义域为(0,)+∞,当34e a ≥时,2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x <⇔-<⇔->, 令2e ()x a g x x =,0x >,求导得:3e ())(2x a x x g x'-=,当02x <<时,()0g x '<,当2x >时,()0g x '>,即函数()g x 在(0,2)上单调递减,在(2,)+∞上单调递增,当2x =时,22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=, 令ln ()x h x x =,0x >,求导得:21ln ()x h x x -'=,当0e x <<时,()0h x '>,当e x >时,()0h x '<,即函数()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减,当e x =时,max 1()(e)eh x h ==, 因此,0x ∀>,min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥,而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得,即上述不等式中不能同时取等号,于是得:0x ∀>,()()g x h x >成立,即2e ln 0x a x x x ->成立, 所以()0f x <.【点睛】思路点睛:证明不等式常需构造辅助函数,将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.8.(1)答案见解析(2)e π--【解析】【分析】(1)求出()f x ',分类讨论,分0a ≤和0a >讨论()f x 的单调性与极值; (2)利用分离参数法得到sin 1e x x a -=,令()()sin 10e xx h x x π-=≤≤,利用导数判断 ()h x 的单调性与最值,根据直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点,求出实数a 的最小值.(1)()e 2x f x ax =-,则()e 2x f x a '=-.①当0a ≤时,()0f x '>,则()f x 在R 上单调递增,此时函数()f x 的极值点个数为0;②当0a >时,令()20e x f x a '=-=,得()ln 2x a =,当()ln 2x a >时,()0f x '>,则()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增,当()ln 2x a <时,()0f x '<,则()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减,此时函数()f x 的极值点个数为1.综上所述,当0a ≤时,()f x 在R 上单调递增,极值点个数为0;当0a >时,()f x 在()()ln 2,a +∞上单调递增,在()(),ln 2a -∞上单调递减,极值点个数为1.(2)由()()0af x g x +=,得sin 1x x a e -=. 令()()sin 10xx h x x e π-=≤≤, 因为关于x 的方程()()0af x g x +=在[]0,π上有两个不等实根,所以直线y a =与函数()sin 1xx h x e -=的图像在[]0,π上有两个交点. ()1cos sin 14x xx x x h x e e π⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'==, 令()0h x '=,则sin 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,x π∈,所以2x π=或x π=,所以当02x π<<时,()0h x '>;当2x ππ<<时,()0h x '<, 所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 02h x h π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又()01h =-,()e h ππ-=-, e 1π-->- 所以当)e ,0x a -⎡∈-⎣时,直线y a =与函数()h x 的图像有两个交点,所以实数a 的最小值为e π--.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题;(4)利用导数研究零点问题,考查数形结合思想的应用.9.(1)增区间为(),3-∞-,()2,+∞,减区间为()3,2-(2)()max 312f x =,()min 163f x =- 【解析】【分析】(1)根据题意得()20f '=,进而得12a =,再根据导数与单调性的关系求解即可;(2)由(1)知[]4,3x ∈-时,()f x 的增区间为[)4,3--,(]2,3,减区间为()3,2-,进而求解()4f -,()3f -,()2f ,()3f 的值即可得答案.(1)解:(1)()226f x x ax '=+-, 因为()f x 在2x =处取得极值,所以()24460f a '=+-=,解得12a =. 检验得12a =时,()f x 在2x =处取得极小值,满足条件.所以()26f x x x '=+-, 令()0f x '>,解得3x <-或2x >,令()0f x '<,解得32x -<<,所以()f x 的增区间为(),3-∞-,()2,+∞,减区间为()3,2-;(2)解:令()260f x x x '=+-=,解得3x =-或2x =,由(1)知()f x 的增区间为(),3-∞-,()2,+∞,减区间为()3,2-; 当[]4,3x ∈-时,()f x 的增区间为[)4,3--,(]2,3,减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=, ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=, ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-, ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-, 所以()max 312f x =,()min 163f x =-. 10.(1)320x y --=;(2)[)4,∞-+.【解析】【分析】(1)把1a =代入,求出函数()f x 的导数,利用导数的几何意义结合直线点斜式方程求解作答.(2)根据给定条件,分离参数,借助二次函数的最大值推理作答.(1)当1a =时,2()ln f x x x =+,求导得:1()2f x x x'=+,则(1)3f '=,而(1)1f =,有13(1)y x -=-,即320x y --=,所以所求切线方程为320x y --=.(2)当2x ≥时,()f x x '≥恒成立,即当2x ≥时,2a x x x+≥恒成立,有2≥-a x 在[2,)x ∈+∞上恒成立, 而函数2y x =-在[2,)+∞上单调递减,当2x =时,max 4y =-,于是得4a ≥-, 所以实数a 的取值范围为[)4,∞-+.。
(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案
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(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1.已知曲线()1f x x=(1)求曲线在点(1,1)P 处的切线方程. (2)求曲线过点(1,0)Q 的切线方程.2.对于正实数a ,b (a b >),我们熟知基本不等式:()()G a b A a b <,,,其中()G a b ,a ,b 的几何平均数,()2a bA a b +=,为a ,b 的算术平均数.现定义a ,b 的对数平均数:(),ln ln a bL a b a b-=-.(1)设1x >,求证:12ln x x x<-,并证明()()G a b L a b <,,;(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ,b (a b >)恒成立,求正实数m 的取值范围.3.已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x .(1)求实数a 的取值范围;(2)证明:对任意的(]01,x x ∈,都有ln 10-+>a x x 恒成立. 4.已知函数()e (ln 1)(R)ax f x x a =+∈,()f x '为()f x 的导数.(1)设函数()()eax f x g x '=,求()g x 的单调区间;(2)若()f x 有两个极值点,1212,()x x x x <,求实数a 的取值范围5.已知函数()ln f x x =,()21g x x x =-+.(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间;(2)若直线l 与函数()f x ,()g x 的图象都相切,求直线l 的条数. 6.已知函数2()2ln f x x x =-+,()()ag x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点,求函数()g x 在区间1[,3]2上的最值. 7.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若fx 是()f x 的导函数,()f x ''是fx 的导函数,则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ,2K ,比较1K ,2K 大小;(2)求正弦曲线()sin h x x =(x ∈R )曲率的平方2K 的最大值.8.设函数ln e ()xx f x a x=-,其中a ∈R 且0a ≠,e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数,若()'f x 在(2,3)上存在零点,求a 的取值范围; (2)若34ea ≥,证明:()0f x <. 9.已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值. (1)求()f x 的单调区间;(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值.10.已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性;(2)若对[]12,1,2x x ∀∈,不等式()()1224e f x f x -≤恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1.(1)20x y +-= (2)440x y +-= 【解析】 【分析】(1)求得函数的导数()21f x x'=-,得到曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率,结合直线的点斜式方程,即可求解;(2)设切线坐标为00(,)A x y ,得出切线的方程为020011()y x x x x -=--,根据点(1,0)Q 在切线上,列出方程求得0x 的值,代入即可求解.(1)由题意,函数()1f x x=,可得()21f x x '=-, 所以()11f '=-,即曲线在点(1,1)P 处的切线的斜率为1k =-, 所以所求切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=. (2)解:设切点坐标为00(,)A x y ,则切线的斜率为201k x =-, 所以切线的方程为020011()y x x x x -=--, 因为点(1,0)Q 在切线上,可得020011(1)x x x -=--,解得012x =,所以所求切线的方程为124()2y x -=--,即440x y +-=. 2.(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】 【分析】(1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,利用导数证明当1x >时,()0f x <,即可得到12ln x x x<-. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.(2)把题意转化为1112ln a a b m a b b -⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>,即为1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立.令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+,分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,定义域为()0,+∞.则()()222221111212222x x x f x x x x x---'=--==-.所以当1x >时,()0f x '<,()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =,所以当1x >时,()0f x <.所以当1x >时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭,即12ln x x x<-.(*)要证()()G a b L a b <,,ln ln a ba b--,只需证ln a b <令)1t t =>,则由(*),得12ln t t t <-.所以()()G a b L a b <,,.(2)由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立,得ln ln 2a b a b m a b -+⋅-恒成立,即1112ln aa b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>,由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立,得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立. 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+,则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. (注:()10g =) i.当0∆>,即2m >时,易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1,一根2t 小于1,所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=,不符合题意. ii.当02m <≤时,有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<, 所以()0g t '<,从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时,恒有()()10g t g <=,符合题意. 综上可知,正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】导数的应用主要有:(1)利用导函数几何意义求切线方程;(2)利用导数研究原函数的单调性,求极值(最值); (3)利用导数求参数的取值范围.3.(1)1a > (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)先求导,分1a ≤和1a >进行讨论,1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可;(2)先构造函数()ln 1g x a x x =-+,求导证明函数先增后减,故只要说明两个端点大于0即可,化简得到()()0001()1212g x x x a =--+,由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ,即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+==',①若1a ≤,则()0f x '>在(1,)+∞恒成立,即()f x 在(1,)+∞上单调递增, 当1x >时,()(1)0f x f >=,与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾.②若1a >,令()0f x '>,解得01x <<或x a >,令()0f x '<,解得1x a <<. 所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增,在(1,)a 单调递减.所以()(1)0f a f <=,当x →+∞时,()f x →+∞,由零点存在性定理,()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x . 综上,1a >. (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a xg x a x x g x x x,由(1)知01<<a x ,令()0g x '>,解得1x a <<,令()0g x '<,解得0a x x <<,故()g x 在(1,)a 单调递增,在()0,a x 单调递减.(1)0g =,()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点,故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ,即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ,所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a .又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a , 令()ln(21)22=--+h a a a a ,则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ,令1()ln(21)121m a a a =-+--, 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立, 所以()h a '在(1,)+∞单调递增,()(1)0h a h ''>=,所以()h a 在(1,)+∞单调递增,()(1)0h a h >=,即(21)0f a ->,由(1)可知()0f a <,所以021<<-a x a ,因为0010,210-<-+<x x a ,所以()()()000112102=--+>g x x x a , 所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立,故对任意的(]01,x x ∈,都有ln 10-+>a x x 恒成立. 【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后,如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0,由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ,即可得到0()0g x >,即可得证. 4.(1)当0a <时,()g x 的减区间为(0,)+∞,无增区间; 当0a >时,()g x 的减区间为1(0,)a,增区间为1(,)a +∞ (2)2(e ,).+∞ 【解析】 【分析】(1)依题意,()f x 的定义域为(0,)+∞,且()1()ln e ax f x g x a x a x'==++,则21()ax g x x -'=,再对a 进行分类讨论即可得到答案. (2)因为()f x 有两个极值点,所以()g x 有两个零点.由(1)知0a <时不合题意;当0a >时,min 1()()(21)g x g a na a==-,接下来对a 进行讨论即可得到答案. (1)依题意,()f x 的定义域为(0,)+∞,e()e (ln 1)ax axf x a x x'=++,则()1()ln e ax f x g x a x a x'==++,则21().ax g x x -'=①当0a <时,()0g x '<在,()0x ∈+∞上恒成立,()g x 单调递减;②当0a >时,令()0g x '=得,1x a =,所以,当1(0,)x a∈时,()0g x '<,()g x 递减; 当1(,)x a ∈+∞时,()0g x '>,()g x 递增;综上,当0a <时,()g x 的减区间为(0,)+∞,无增区间; 当0a >时,()g x 的减区间为1(0,)a ,增区间为1(,).a+∞ (2)因为()f x 有两个极值点,所以()g x 有两个零点, 由(1)知0a <时不合;当0a >时,min 1()()(21).g x g a na a==-当20e a <<时,1()()0g x g a>>,()g x 没有零点,不合题意;当2e a =时,1()0g a =,()g x 有一个零点1a ,不合题意;当2e a >时,1()0g a<,21()(12ln )g a a a a=+-,设()12ln a a a ϕ=+-,2e a >,则2()10a aϕ'=->,所以22()(e )e 30a ϕϕ>=->,即21()0g a >, 所以存在1211(,)x a a∈,使得1()0g x =; 又因为1()e 0eg =>,所以存在211(,)ex a ∈,使得2()0.g x =()f x 的值变化情况如下表:e a >()f x 综上,a 的取值范围是2(e ,).+∞5.(1)在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】(1)求出函数的导函数,再解关于导函数的不等式,即可求出函数的单调区间;(2)设直线l 分别与函数()f x ,()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ,()2222,1B x x x -+,依题意可得()()12AB f x g x k '='=,即可得到方程组,整理得()211211ln 204x x x ++-=,令()()221ln 24x F x x x+=+-,利用导数说明函数的单调性,利用零点存在性定理判断零点的个数,即可得解; (1)解:由题设,()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-,定义域为()0,∞+,则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时,()0h x '>;当1x >时,()0h x '<,所以()h x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减.(2)解:因为()ln f x x =,()21g x x x =-+,所以()1f x x'=,()21g x x '=-,设直线l 分别与函数()f x ,()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ,()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=,即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-,得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-,即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-,得12112x x x +=,代入上式,得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=,则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x x x x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时,()0F x '<;当1x >时,()0F x '>,所以()F x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<,()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>,则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>,则()F x 在()0,1上仅有一个零点.所以()F x 在()0,∞+上有两个零点,故与函数()f x ,()g x 的图象都相切的直线l 有两条.6.(1)单增区间为(0,1),单减区间为(1,)+∞(2)min ()2g x =,max 10()3g x =【解析】 【分析】(1)求导之后,分别令()0f x '>,()0f x '<即可求出()f x 的单调区间; (2)由有相同的极值点求出a 的值,再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. (1)()f x 的定义域:()0,∞+()()22122x f x x x x--'=-+=,由()0f x '>得01x <<,由()0f x '<得1x >, ∴()f x 的单增区间为()0,1,单减区间为()1,+∞. (2)()21ag x x ='-,由(1)知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点, ∴()10g '=,即10a -=,∴1a =,从而()1g x x x =+,()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(]1,3上递增,又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()1033g =,∴在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,()()min 12g x g ==,()max 103g x =.7.(1)12K K <; (2)1. 【解析】 【分析】(1)对()f x 、()g x 求导,应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ,2K ,即可比较大小;(2)由题设求出()h x 的曲率平方,利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+,()21f x x ''=,则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦,由()g x '=,()3214g x x -''=-,则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以12K K <; (2)由()cos h x x '=,()sin h x x ''=-,则()322sin 1cos xK x =+,()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-,令22sin t x =-,则[]1,2t ∈,故232tK t -=, 设()32t p t t -=,则()()32643226t t t t p t t t----'==,在[]1,2t ∈时()0p t '<,()p t 递减, 所以()()max 11p t p ==,2K 最大值为1. 8.(1)32322e e a <<; (2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求出函数()f x 的导数,由()0f x '=分离参数并构造函数,求解其值域作答. (2)将不等式等价转化,构造两个函数,并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答. (1)依题意,21(1)e ()x x f x ax x -'=-,由()0f x '=得:21(1)e 1(1)e x xx x ax x a x --=⇔=,令1())(e x x x x ϕ-=,23x <<,则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>,即()ϕx 在(2,3)上单调递增,当23x <<时,(2)()(3)x ϕϕϕ<<,即23e 2e()23x ϕ<<,由()'f x 在(2,3)上存在零点,则方程1(1)e x x a x-=在(2,3)上有根,因此有23e 12e 23a <<,解得32322e e a <<,所以a 的取值范围是:32322e e a <<. (2) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,当34e a ≥时,2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x<⇔-<⇔->, 令2e ()x a g x x =,0x >,求导得:3e ())(2x a x x g x'-=,当02x <<时,()0g x '<,当2x >时,()0g x '>,即函数()g x 在(0,2)上单调递减,在(2,)+∞上单调递增,当2x =时,22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=, 令ln ()x h x x =,0x >,求导得:21ln ()x h x x -'=,当0e x <<时,()0h x '>,当e x >时,()0h x '<,即函数()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减,当e x =时,max 1()(e)eh x h ==, 因此,0x ∀>,min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥,而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得,即上述不等式中不能同时取等号,于是得:0x ∀>,()()g x h x >成立,即2e ln 0x a x x x ->成立, 所以()0f x <.【点睛】思路点睛:证明不等式常需构造辅助函数,将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.9.(1)增区间为(),3-∞-,()2,+∞,减区间为()3,2-(2)()max 312f x =,()min 163f x =- 【解析】【分析】(1)根据题意得()20f '=,进而得12a =,再根据导数与单调性的关系求解即可;(2)由(1)知[]4,3x ∈-时,()f x 的增区间为[)4,3--,(]2,3,减区间为()3,2-,进而求解()4f -,()3f -,()2f ,()3f 的值即可得答案.(1)解:(1)()226f x x ax '=+-,因为()f x 在2x =处取得极值,所以()24460f a '=+-=,解得12a =. 检验得12a =时,()f x 在2x =处取得极小值,满足条件.所以()26f x x x '=+-, 令()0f x '>,解得3x <-或2x >,令()0f x '<,解得32x -<<, 所以()f x 的增区间为(),3-∞-,()2,+∞,减区间为()3,2-;(2)解:令()260f x x x '=+-=,解得3x =-或2x =,由(1)知()f x 的增区间为(),3-∞-,()2,+∞,减区间为()3,2-; 当[]4,3x ∈-时,()f x 的增区间为[)4,3--,(]2,3,减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=, ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=, ()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-, ()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-, 所以()max 312f x =,()min 163f x =-. 10.(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭,单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 【解析】【分析】(1)先对函数求导,然后由导数的正负可求出函数的单调区间, (2)由函数()f x 在[]1,2上为增函数,求出函数的最值,则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=,然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥,从而可求出实数m 的取值范围.(1)()()()()221422(0)e e x x mx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=,解得2x m =-或2x =,且22m-<当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时,()0f x '≤,当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '>, 当[)2,x ∞∈+时,()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭,单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ (2)由(1)知,当[]0,1,2m x >∈时,()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数,即()()max min 242()2,()1e e m m f x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立 ()224e 24e e m -+∴≥ 即24e m ≤-, 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。
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高中文科数学导数大题练习题
1、设l 为曲线ln :x C y x
=在点(1,0)处的切线. (1)求l 的方程;
(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线l 的下方.
2、已知函数2()sin cos f x x x x x =++
(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,求a 与b 的值;
(2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同交点,求b 的取值范围.
3、已知函数32()331f x x ax x =+++
(1)
求当a =,讨论()f x 的单调性;
(2)若[2,)x ∈+∞时,()0f x ≥,求a 的取值范围.
4、已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;
(2)求函数()f x 的极值.
5、设函数()ln f x x ax =-,()x g x e ax =-,其中a 为实数.若()f x 在()1,+∞上是单调减函数,且()g x 在()1,+∞上有最小值,求a 的范围.
6、已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈
(1)设0a ≥,求)(x f 的单调区间
(2)设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥。
试比较ln a 与2b -的大小。