机械波讲义

4、能量密度：单位体积介质中的波动能量
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
5、平均能量密度：
一个周期内所有能量之和与时间T的比值
w 1 T
T wdt 1
0
T
T 0
A2ω2
sin 2
ω
t
x u
dt
1 2
A2ω2
二、能流密度 波的强度
1、能流：单位时间内通过某一截面的波动能量.
y
u
x
OA
P
y
Acos[ω(t
x) u
0
]
y L
OA x
u x
P
y
Acos[ω(t
x u
l
)
0
]
y
u
x
OA
P
y
Acos[ω(t
x) u
0
]
y
u
xL
AO x P
y
Acos[ω(t
l
u
x)
0
]
二、波函数的其他形式
y Acos[ω(t
由物理量的关系
x u
)
0
]
2
uT
1 T
2π
u
T
2
多种表示方法：
y
X=0
t
上游 y
u t=0
x 下游
五、波动方程的微分形式
y
Acos[ω(t
x) u
0
]
将波函数分别对t和x求导
y Acos[ωt 0 ]
2y t 2
2 Acost
x u
0
2y x2
2A
u2
c
os
t
x u
0
波动方程： 2 y 1 2 y x2 u 2 t 2
其通解为： y Φ(t x) Φ(t x)
故波函数为y( x, t )
Acos(π
t
π 18
x
0
)
由旋转矢量法可判断出
0
6
0
y
故波函数为
y(x,t) 0.1cos[ ( t x ) ]
18 6
例2平面简谐波以400ms-1的速度沿一直线传播,
已知A点的振动周期为0.01s,振幅为A=0.01m. 以A点处振动经过平衡位置向正向运动时作为 记时起点,求:以距A点2m处O点为坐标原点写出 波函数.
P ωuΔtσ ωuσ
Δt
uσρA2ω2
sin
2
ω
t
x u
u
u△t
2、平均能流
P 1 T Pdt ωuσ 1 ρ A2ω2uσ
T0
2
3、能流密度（波的强度）：
垂直通过单位面积的能流。
P S ωu
σ
4、平均能流密度：
uρA2ω2
sin
2
ω
t
x u
S ωu 1 uρA2ω2
2 ur r
S ωu
电磁学中称为“坡印亭矢量”， 光学中称为Байду номын сангаас光的强度”，用 I 表示
I A2
三、平面波和球面波的能流
1、平面波
波
波线
面u
x
S1
S2
假设介质不吸收能量 P ωuσ 1 ρ A2ω2uσ 2
根据能量守恒
P1 P2
1 2
ρ A12ω2uS1
1 2
ρ A22ω2uS2
S1 S2 A1 A2
结论：在均匀的不吸收能量的介质中传播的平面波， 其振幅保持不变。
2、球面波
S2 S1
假设介质均匀，不吸收能量 P ωuσ 1 ρ A2ω2uσ 2 根据能量守恒
(1)写出波在已知点的振动表达式；
(2)判断波的传播方向，一般给出，建立坐标系；
(3)在坐标轴上任选一点，看此点与已知点相位相比是 超前还是落后；
(4)在已知的振动方程中，若任选的点超前就是“+”， 落后就是“-”；
例：平面简谐波在空间传播，已知A点的振动规律为
y Acos[ωt 0 ]
试就四种坐标选择，确定波动方程。
一、平面简谐波波函数
y
O点的振动方程：
u
y0 (t) Acos(ωt 0 ) P点的振动状态在时
间上落后于O点Δ：t x u
O
x
t
tx u
x P
t x u
t
yP,t
yO,t x u
A cos
ω t
x u
0
平面简谐波的波动方程（波函数）
y
A c os [ (t
x u
)
0
]
总结：建立波函数的过程：
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
具有完全不同的性质，遵从量子力学理论.
§13.1 机械波的基本概念 一、机械波的形成
机械振动在媒质中的传播
1.产生条件：(1)波源 (2)媒质
2.波的分类：横波 纵波
横波：介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；
如柔绳上传播的波.
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
讨论
dEp
dEk
1 2
2 A2
sin
2
t
x u
dV
yA
B点：动能最大，势能也最 大(相对形变最大)
vm
A点：动能为零，势能也为
零(相对形变为零)
B
u
x
3、质元的机械能：d E ρA2ω2
E总随 t、 变x ，不守恒 ！
sin2
ω
t
x u
dV
最大位移
平衡位置，能量增大，从前面输入；
平衡位置
最大位移 ，能量减小，向后面输出。
==故波传播的过程是能量传播的过程
振动系统与波动能量的比较
孤立振动系统
波动
能量守恒
能量不守恒
动能、势能转换
沿波传播方向向前传播
Ek、Ep反相
Ek、Ep同相
E 1 kA2 2
势能决定于形变 Δ y
d
E
ρA2ω2
sin2
ω t
x u
dV
势能决定于相对形变 y
x
(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠 质元间的弹性力)。 (3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游 ”某处出现，这就是“波是振动状态的传播”的含义 。 (4) 振动状态由相位决定，因此振动状态的传播也可 以说成是“相位”的传播。
(5) 振动状态相同的点叫做“同相点”，相邻两同相 点之间的距离为一个波长
二、描述机械波的物理量
1、波长 ：波线上相位差为2的相邻两点间的距离
2、周期 T：波前进一个波长所需的时间
3、频率：单位时间内波前进距离中完整波的数目
1
T 2π
uT
4、波速(相速)：振动状态（或相位）在空间的传播速度。
p
对于液体和气体
B
u
ρ
p
B为容变弹性模量，为质量密度。
V0+ V
p
理想气体： u γ p ρ
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
纵波：介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；
如空气中传播的声波.
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
疏
密
疏
密
疏
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
纵波的波动过程 波的传播方向 质点振动方向
T
y( x, t )
A c os (t
2 x
0 )
波
y(x,t) Acos(ωt kx 0 )
数
y( x, t )
A cos[2( t
T
x
)
0
]
x前面的“-”号表示波的传播方向与x轴正方向相同
回顾
y
比较
O
O点的振动方程：
y0 (t
y
) Acos(ωt
Acos[ω(t
x u
0 )
)
0
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方
向
x
横波的波动过程 波的传播方向
y
振
动
方