高数(下)总复习题

z = u 2 + v 2，而 15. 设
∂z = ∂x ∂z , = ∂y
，
u = x + y ,v = x − y , 则
( 4x , 4 y )
16. 设 z = f ( x 2 y , sin y ), 其中 f具有一阶连续 . ∂z ∂z , .． 偏导数 , 求 ∂x ∂y
(
∂z = 2 xyf1′ , ∂x
2 2 26. ．函数 f ( x, y ) = 4( x − y ) − x − y 驻点为（2，－2） 。
x 27. 求函数 z = x + y 在条件 + y = 1 下的极小值 2
2 2
2 4 4 ( 极小值 z , = 5 5 5
)
28. 如果 ( x0 , y 0 ) 为 f ( x, y ) 的极值点，且 f ( x, y )
2 D
32 = 9
)
18
x2 + y2 38. ．旋转抛物面 z = 在 2 曲面面积S= ( B )
0 ≤ z ≤ 2 那部分的
A． ∫∫
2 2
1 − x 2 − y 2 dxdy
B．
2
∫∫
1 + x 2 + y 2 dxdy
x + y ≤2
x + y2 ≤4
C．
∫∫
1 − x − y dxdy
1
1 − x 2 − y 2 dx
将 I 变为极坐标形式的二次积分;
π
I = ∫ dθ ∫0 1 − r 2 rdr
2 0
1
I=
π
6
20
42. 三重积分柱面坐标系中体积元素为 43. 三重积分球面坐标系中体积元素为 44. 计算二重积分
rdrdθdz
r 2 sin φdrdφdθ
∫∫ e
D
2 x2 + 2 y2
(
I = ∫ dx ∫
0
1
1− x 2 0
dy ∫
1− x − 2 y
0
1 dz = 48
)
46.
求三重积分
∫∫∫ zdxdydz , 其中 Ω 为球面
Ω
x 2 + y 2 + z 2 = 4 与抛物面 x 2 + y 2 = 3 z 所围成的闭区域
( D: x + y ≤ 3
2 2
I = ∫ 0 dθ ∫ 0 rdr ∫ 1 r 2
3
2π
3
4− r 2
13 zdz = π 4
)
22
47.
计算三重积分 ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dv , 其中 Ω是由球面
Ω
z = 1 − x 2 − y 2 及平面 z = 0所围成的区域 .
( 原式 = ∫
2π 0
dθ ∫
π
2 0
2 dϕ ∫ r sin ϕdr = π 0 5
19
40.求由曲面 z = 2 − ( x 2 + y 2 ) 与 z = x 2 + y 2 所围立体的体积。 解： D x + y ≤ 1
:
2
2
V = 2 ∫ dθ ∫ (1 − r ) rdr = π
2 0 0
1− y 2
2π
1
41. 已知积分 I = ∫0 dy ∫0 计算 I 的值. ① ②
(x0 , y0 ) 点必为 f ( x, y )
在 ( x0 , y 0 ) 处的两个一阶偏导数存在，则 驻点 的____________
13
29. 设长方体内接于半径为R的半球,问长方体各边为 多少时,其体积为最大. ( 长、宽、高分别为
2R 3
2R 3
R 3
时体积为最大 )
30. 将正数a分成三个正数之和，使它们的乘积为最大 、 ( 设三个正数为x>0, y>0, z>0 、 得x=y=z=a/3 )
v s = {a, b, 1}
v v n⋅s = 0
∴ 平行
11
x + y + b = 0 25. 设直线 l : 在平面 π 上，而平面 π x + ay − z − 3 = 0
与曲面
z = x 2 + y 2相切于点
M ( 1, − 2 , 5 )
① 求平面
π
的方程;
② 确定 a, b 的值.
10. 设 z = ln(1 + x 2 + y 2 ) ，则 dz
y x
(1,1)
y x
=
2 ( dx + dy ) 3
11.设 z = e
，则全微分 dz
=
1 y − e dx − dy x x
5
∂z y =( C 12.设 z = xf ( ) ,则 ∂x x
)
y y y f ( ) + f '( ) x x x
D
− y2
，
dxdy ,，其中 D 是以 (0 , 0) (1 , 1)
和 (0 , 1) 为顶点的三角形。
I
=∫ e
0
1
− y2
dy ∫
y
0
1 1 − y2 1 2 dx = ( − )∫0 e d ( − y ) = (1 − e −1 ) 2 2
17
2 2 2 2 36. 计算二重积分 ∫∫ x + y dσ , 其中 D是由圆周 x + y = 1 D
(
2 d min = 2
)
16
(1 − x 2 − y 2 )dxdy . 其中D是由 34. 计算二重积分 ∫∫
D
y = x, y = 0, x 2 + y 2 = 1 在第一象限内所围成的区域.
( 原式 = ∫ dθ ∫ (1 − r )rdr =
4 0 2 0
π
1
π
16
)
35. 计算二重积分 ∫∫ e
2 2 2
2
_____________.
9. 求由方程 cos x + cos y + cos z = 1 所确定的函数
z = z ( x, y ) 的全微分.
.
∂z sin 2 x sin 2 y ∂z ( dz = dx + dy = − dx − dy ) sin 2 z sin 2 z ∂x ∂y
2 2
D．
2
∫∫
1 + x 2 + y 2 dxdy
x2 + y 2 ≤4
x + y 2 ≤2
39. 求由曲面 z = 5 − x 2 − y 2 与抛物面 x 2 + y 2 = 4 z 所围成的立体的体积。
V = ∫ 0 dθ ∫ 0 rdr ∫ 1 r 2
4
2π
2
5− r 2
2 dz = π (5 5 − 4) 3
2 2
的定义域为
{( x , y ) 4 x ≥ y 2 ,0 < x 2 + y 2 < 1}
2
5．函数 z = f ( x, y ) 在点 在点(x,y)的偏导数存在是 的偏导数存在是 函数在该点可微的 (
A
)
A
必要条件 充分条件 必要充分条件 既非必要又非充分条件
B
C
D
3
6. 函数 z = f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处 f x ( x0 , y 0 ) , f y ( x0 , y 0 ) 存在，则 f ( x, y )在该点 ( C ) D.可微
.
x+2y-4=0 __________ 23.求曲线 x = t ,
1 3 y = t , z = t . 上与平面 3
2
x + y + z =1
)
平行的切线方程。
(
x +1 y −1 z +1 3 = = 1 −2 1
24. 设F ( u, v )是一个二元可微函数 , 证明 : 曲面F ( x − az , y − bz ) = 0 x y z ………… 上任意一点处的切平面 都与直线 = = 平行 . (其中a , b为常数 ) a b 1 v n = {Fu , Fv , − aFu − bFv } 证明思路:切平面的法向量:
21.求由方程
1 y ∂z ( = yf1′ + f2′ − 2 g′(w) y x ∂x 2
∫0
x
t
y3
∂z x 1 = xf1′ − 2 f2′ + g′(w) ) y x ∂y
z
(
2 xe ∂z =− cos z ∂x
x2
)
10
曲面 e z − z + xy = 3 在点(2,1,0)处的切平面方程为 22.
及直线 y = x , y = 3 x所围成的在第一象限内 的区域 .
(
∫∫
D
x + y dσ = ∫ π dθ ∫
2 2 3 4
π
1 0
r dr =
2
π
36
)
37. 计算二重积分
∫∫
D
x 2 + y 2 dxdy ， 其中D是由圆周
Байду номын сангаас
x 2 + y 2 = 2 y 所围成的闭区域。
(
原式
= ∫∫ r drdθ
练习题
1. sin( xy ) lim = x→2 y
y →0
、
2
（
6 xy 2. lim = x→2 xy + 1 − 1 y→0
A、6 B、12
B
）
C、不存在
' y
D、
∞
y 3. 设 f ( x, y) = ln(x + ) , 则 2x
f
(1,0) =
1 2
1
4. 二元函数 z =
4x − y 2 ln(1 − x − y )
∂z , ∂x
∂z ∂y
)
∂z ′ ′ = x 2 f − 2 x 2 y 2 f1 + x 3 yf 2 ∂y
20 设
x y z = f xy , + g , y x
∂z ∂z , 求 ∂x ∂y
,
e dt + ∫0 tdt + ∫0 cos tdt = 0 ∂z 所确定的隐函数 z = f ( x, y ) 的偏导数 ∂x
dxdy., 其中D是环形区域 4 ≤ x + y ≤9
2 2
2π
解:原式=
∫0
dθ ∫2 e
3 2r 2
rdr =
π
(e 2
18
−e
8
)
21
45.
计算 I = ∫∫∫ xdxdydz 其中积分区域
Ω
Ω = {( x, y, z ) x + 2 y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ o}
A．
y f( ) x
B．
y y y C． f ( ) − f ' ( ) x x x
y D． xf ' ( ) x
13.函数f(x,y)在(x,y)处的偏导数连续是它在该点 可微的( A ) A. C. 充分条件 充要条件 B. D. 必要条件 以上均不对
6
y ∂z ∂z x 14.设 z = f ( ) , f (u ) 为可微函数，证明： + y = 0 ∂x ∂y x
思路:① 切平面
π
的方程为 2 x − 4 y − z − 5 = 0
② 而直线 l 的方程是 y = − x − b, z = (1 − a) x − ab − 3 代入平面
π得
(5 + a) x + 4b + ab − 2 = 0
a = −5 得 b = −2
12
5 + a = 0 由 4b + ab − 2 = 0
A. 连续 B.不连续 C.不一定连续 ∂f ∂f 7. 若 x= x = 0, =0 =x ∂x y= y0 ∂y x=xy0 y=
0
0
则 f（x，y）在（x0，y 0）是 ( D A、 B、 C、 D、 连续且可微 连续但不一定可微 可微但不一定连续 不一定可微也不一定连续
)
4
′′ 8. 设f (x, y , z ) = xy 2 + yz 2 + zx 2，则 f xx (0,0,1) =
2R 长、宽、高分别为 3
2R 3
解29
2
2
2
2
R 时体积为最大. 时体积为最大 3
15
2 2 32. 求函数 z = x + y 在条件 2 x + y = 2 下的极小值
4 2 4 ( z( , ) = 5 5 5
)
33. 求原点到曲面 ( x − y )2 − z 2 = 1 上的点的最短距离.
31. 做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问
( 长、宽、高分别为2、2、1时容积最大。)
14
设球面方程为x + y + z = a ,( x, y, z )是它的内接 长方体在第一卦限内的一个顶点，则此 2 2 长方体的长、宽、高分别为2x、y、z,体积为 V = 4xyz 令L( x, y, z, λ ) = 4xyz + λ( x2 + y2 + z2 − a2 ) Lx = 4 yz + 2λ x = 0 Ly = 4xz + 2λ y = 0 L = 4xy + 2λ z = 0 z
∂z = x 2 f 1′ + cos yf 2′ ) ∂y
7
17. 设 z = z ( x, y ) 是由 F ( x − az , y − bz ) = 0 确定的函数，其中F是可微函数,a、b是常数,求 ∂z ∂z ∂z ∂z a +b ( a +b =1 ) ∂x ∂y ∂x ∂y
.
8
18. 由方程 e x+ y + xyz = e z 所确定的函数 z = f ( x, y ) ∂z = ( B ) 对 x 的偏导数 ∂x
A
e − yz z e + xy
x+ y
B
e x+ y + yz z e − xy
C
e + xz z e − xy
x+ y
D
e − xz z e + xy
x+ y
9
.设 z = x 2 yf ( x 2 − y 2 , xy ) ，求 19
( ∂z 2 xyf 2 x 3 yf ′ x 2 y 2 f ′ , = + 1 + 2 ∂x