【例题与讲解】定义与命题
初二数学定义与命题试题答案及解析
初二数学定义与命题试题答案及解析1.有下列命题：①两直线平行，同旁内角相等；②无限小数是无理数；③的平方根是±；④点P（1，﹣2）在第四象限，其中是真命题的有．（填序号）【答案】③④【解析】利用平行线的性质、无理数的概念、平方根的意义及平面直角坐标系的知识分别进行判断后即可判定命题的真假．解：①两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，为假命题；②无限不循环小数是无理数，故原命题错误，为假命题；③的平方根是±，正确，为真命题；④点P（1，﹣2）在第四象限，正确，为真命题，故答案为：③④．点评：本题考查了平行线的性质、无理数的概念、平方根的意义及平面直角坐标系的知识，属于基础题，难度较小．2.“等腰梯形同一底上的两个角相等”这个命题的逆命题是，它是命题（填“真”或“假”）．【答案】同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，真【解析】将原命题的假设与结论反下就可得到其逆命题．解：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”的条件是：有一梯形为等腰梯形，结论是：同一底上的两个角相等；则它的逆命题是：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，是真命题，故答案为：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，真．点评：考查了命题与定理，正确的写出一个命题的逆命题的关键是搞清楚原命题的条件和结论．3.命题“任意两个直角都相等”的题设是，结论．【答案】两个角是直角，相等【解析】任何一个命题都是由条件和结论组成．解：“任意两个直角都相等”的题设是：两个角是直角，结论是：相等．故答案为：两个角是直角，相等．点评：本题考查了命题的条件和结论的叙述．4.“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是．【答案】等腰三角形的两个底角相等【解析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．解：因为原命题的题设是：“有两个角相等”，结论是“这个三角形是等腰三角形”，所以命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是“等腰三角形的两个底角相等”．故答案为：等腰三角形的两个底角相等．点评：本题考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．5.“等腰梯形同一底上的两个角相等”改为如果，那么．【答案】同一底边上的两个角相等，这个梯形是等腰梯形【解析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．如果是条件，那么是结论．解：“等腰梯形同一底上的两个角相等”改为如果同一底边上的两个角相等，那么这个梯形是等腰梯形，故答案为：同一底边上的两个角相等，这个梯形是等腰梯形．点评：本题考查了命题的叙述形式．属于基础题，比较简单．6.（1）命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：，结论：；（2）命题“内错角相等，两直线平行”的题设：，结论：．【答案】（1）命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：两个角是锐角，结论：两个角的和为钝角；（2）命题“内错角相等，两直线平行”的题设：内错角相等，结论：两直线平行．两个角是锐角，两个角的和为钝角；内错角相等，两直线平行．【解析】把命题改写成“如果…，那么…”的形式，然后根据如果后面的是题设，那么后面的是结论写出即可．解：（1）命题“两锐角之和一定是钝角”的题设：两个角是锐角，结论：两个角的和为钝角；（2）命题“内错角相等，两直线平行”的题设：内错角相等，结论：两直线平行．两个角是锐角，两个角的和为钝角；内错角相等，两直线平行．点评：本题考查了命题与定理，把命题改写成“如果…，那么…”的形式是解题的关键，难度较小．7.试写出命题“两条直线相交，只有一个交点”的题设部分和结论部分．判断它是真命题还是假命题，并简要说明理由．【答案】见解析【解析】命题分为题设和结论两部分，题设是如果后面的部分，结论是那么后面的部分．解：这个命题的条件是两条直线相交，结论是它们只有一个交点，是真命题，因为平面内两条直线只有两种位置关系：相交和平行，没有交点就平行，有一个交点就是相交．点评：考查了命题与定理的知识，一般命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论．8.用几何符号语言表示“互为邻补角的平分线互相垂直”的题设与结论，并画出图形．【答案】见解析【解析】首先根据题意画出图形，然后将命题的题设当做条件，将结论当做问题的结论，用几何语言描述出来即可．解：已知：AB，CD相交于O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD，求证：OE⊥OF．点评：此题主要考查了邻补角与垂线，题目比较基础，但有很多同学不能根据命题画出图形，写出已知与求证，从而导致错误．9.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．（1）等角的余角相等；（2）平行线的同旁内角的平分线互相垂直；（3）和为180°的两个角叫做邻补角．【答案】见解析【解析】先根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可．解：（1）等角的余角相等，正确，是真命题；（2）平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，是真命题；（3）和为180°的两个角叫做邻补角，错误，是假命题，如两个不同书本上的两个和为180°的角．点评：此题考查了命题与定理，关键是掌握有关性质与定理，对命题的真假进行判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．10.下列命题中，不正确的是（）A．一组邻边相等的矩形是正方形B．等腰梯形的对角线相等C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形【答案】C【解析】对每个选项逐一判断后即可得到答案．解：A、邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意；B、等腰梯形的对角线相等，正确，不符合题意；C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一办，错误，符合题意；D、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，符合题意．故选C．点评：本题考查了命题与定理，利用基本概念对每个命题进行分析，作出正确的判断．11.观察下列命题：（1）如果a＜0，b＞0，那么a+b＜0；（2）同角的补角相等；（3）同位角相等；（4）如果a2＞b2，那么a＞b；（5）有公共顶点且相等的两个角是对等角．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】利用学过的定义、性质及定理进行判断即可求解．解：（1）当a=﹣1，b=3时命题错误；（2）同角的补角相等，正确；（3）只有两直线平行，同位角才相等；（4）当a=﹣3，b=2时命题错误；（5）有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误故选A．点评：本题考查了命题与定理，解题的关键是熟练掌握有关的定理及性质．12.下列四个命题是真命题的是（）A．同位角相等B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直【答案】C【解析】利用学习过的有关的性质、定义及定理进行判断后即可得到正确的结论．解：A、只有两直线平行，同位角才相等，故选项错误；B、两个角的和是180度，只能是互补，不一定是邻补角，故选项错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行，故选项正确；D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项错误；故选C．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉有关的性质、定理及定义．13.下列定理没有逆定理的是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等B．相似三角形的三边对应成比例C．同角的余角相等D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】C【解析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项．解：A、逆命题是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；B、逆命题是三边对应成比例的两三角形相似；C、没有逆命题；D、一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．14.下列命题中逆命题是假命题的是（）A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B．如果a2=9，那么a=3C．对顶角相等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等【答案】C【解析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题；C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．故选C．点评：此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．15.在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直中，真命题的个数有（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．解：三角形的一个外角大于任何与之不相邻的一个内角，故原命题错误，为假命题；底边及一个底角相等的两个等腰三角形全等，故原命题错误，为假命题；两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，正确，为真命题，故选B．点评：本题考查了命题与定理的知识，能够熟练掌握有关的命题及定理是解答本题的关键．16.下列各命题中，属于假命题的是（）A．若m﹣n=0，则m=n=0B．若m﹣n＞0，则m＞nC．若m﹣n＜0，则m＜nD．若m﹣n≠0，则m≠n【答案】A【解析】利用不等式的性质逐项进行判断后即可得到答案，也可举出反例．解：A、m﹣n=0，则m=n，但不一定都为0，故错误，是假命题；B、C、D移项即可得到答案，故正确，是真命题．故选A．点评：本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题的真假时可以举出反例．17.有下列四个命题：①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④三点确定一个圆．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】根据圆周角，圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件即可求解．解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故正确；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；故选A．点评：本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．18.下列句子中不是命题的是（）A．负数都小于零B．所有的素数都是奇数C．过直线l外一点作l的垂线D．直角都相等【答案】C【解析】分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．解：C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题．故选C．点评：本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．19.（2013•河西区一模）下列命题中真命题是（）A．任意两个等边三角形必相似B．对角线相等的四边形是矩形C．以40°角为内角的两个等腰三角形必相似D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】A【解析】根据相似三角形的判定、矩形和平行四边形的判定即可作出判断．解：A，正确；B，错误，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形；C，错误，没有说明这个40度角是顶角还是底角；D，错误，等腰梯形也满足此条件，但不是平行四边形．故选A．点评：本题考查了特殊四边形的判定和全等三角形的判定和性质．20.下列命题是假命题的是（）A．单项式﹣的系数是﹣4πB．x＜y，则x+2008＜y+2008C．平移不改变图形的形状和大小D．若|x+2|+（y﹣5）2=0则x=﹣2，y=5【答案】A【解析】分析是否为假命题，可以举出反例，也可以运用相关基础知识分析找出真命题，从而利用排除法得出答案．解：A、单项式﹣的系数是﹣，是假命题，故正确；B、由不等式的性质可知是真命题，故错误；C、由平移的性质可知是真命题，故错误；D、由非负数的性质可知是真命题，故错误．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．。
27.命题、证明及平行线的判定定理(基础)知识讲解
命题、证明及平行线的判定定理（基础）知识讲解【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1．请说出下列名词的定义：（1）无理数（2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2．说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果,>>a b b c ，那么>a c ；（2）如果两个角相等,那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：,>>a b b c ；结论：>a c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）.=B．若a＞b，则am＞bm=，则a mmC．两个等腰三角形必定相似D．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明3．证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（）.A．定义B．定理C．公理D．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4.（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1B．2C．3D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个；故选：C．5.（2015•日照期末）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG(已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ-∠1＝∠MGE-∠2(等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．。
八年级上册定义与命题
八年级上册定义与命题一、选择题。
1. 下列语句中，属于定义的是（）A. 两点确定一条直线。
B. 同角的余角相等。
C. 两直线平行，内错角相等。
D. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
解析：定义是对于一个概念的特征性质的描述。
A选项是一个基本事实；B和C选项是定理。
而D选项是对三角形重心这个概念的定义，所以答案是D。
2. 下列命题中，是真命题的是（）A. 相等的角是对顶角。
B. 若a > b，则-2a>-2bC. 两直线平行，同位角相等。
D. 若a^2 = b^2，则a = b解析：A选项，相等的角不一定是对顶角，所以A是假命题；B选项，若a > b，则-2a<-2b，所以B是假命题；C选项，两直线平行，同位角相等，这是定理，是真命题；D选项，若a^2 = b^2，则a=± b，所以D是假命题。
答案是C。
3. 下列命题是假命题的是（）A. 对顶角相等。
B. -4是有理数。
C. 两直线平行，同旁内角互补。
D. 若| a|=| b|，则a = b解析：A、B、C选项都是正确的命题。
D选项，若| a|=| b|，则a = b或a=-b，所以D是假命题，答案是D。
4. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A. 垂直。
B. 两条直线。
C. 同一条直线。
D. 两条直线垂直于同一条直线。
解析：命题写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
所以条件是“两条直线垂直于同一条直线”，答案是D。
5. 下列语句不是命题的是（）A. 两点之间，线段最短。
B. 不平行的两条直线有一个交点。
C. x与y的和等于0吗？D. 对顶角不相等。
解析：命题是可以判断真假的陈述句。
A、B、D都是命题，而C选项是疑问句，不是命题，答案是C。
二、填空题。
6. 把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果______，那么______。
新人教版初中数学——定义、命题、定理-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——定义、命题、定理知识点归纳及中考题型解析一、定义与命题1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．2．判断一件事情的语句叫做命题．3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．二、真命题、假命题1．正确的命题叫做真命题．2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．三、逆命题1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．四、公理与定理1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．五、互逆命题1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．六、反证法1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．考向一命题的改写每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，所以找出一个命题的题设和结论是十分重要的．但有些命题的题设和结论不明显，它不是以“如果……那么……”的形式给出的．区分这类命题的题设和结论的具体方法：添上省去的词语后再进行分析．典例1把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_________．【答案】如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直【解析】如果的后面是条件，那么的后面是结论，注意语句的通顺，表达的准确.故答案为如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直.1．【浙江省绍兴市浣江教育集团2018–2019学年八年级上学期期中数学试题】把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式_________．考向二真命题、假命题1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．典例2下列命题是真命题的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】C【解析】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选C．2．下列命题中，假命题的是A．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．菱形对角线互相垂直平分考向三互逆命题与互逆定理1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．典例3下列命题中，逆命题为真命题的是A．对顶角相等B．若a=b，则|a|=|b|C．同位角相等，两直线平行D．若ac2<bc2，则a<b【答案】C【解析】A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，假命题；B、若a=b，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=b，假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，两直线平行，真命题；D、若ac2<bc2，则a<b的逆命题是若a<b，则ac2<bc2，假命题；故选C．3．“内错角相等，两直线平行”的逆命题是__________．4．有下列命题：①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个考向四反证法①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法．②矛盾的类型：a．与已知定义、定理、公理相矛盾；b．与已知条件相矛盾；c．推出自相矛盾的结果．③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾．典例4【福建省福州市仓山区福州时代中学2019–2020学年九年级上学期10月月考数学试题】用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是A．三角形中最少有一个角是直角B．三角形中没有一个角是直角C．三角形中三个角全是直角D．三角形中有两个或三个角是直角【答案】D【解析】根据反证法的步骤，则可假设为三角形中有两个或三个角是直角．故选D．【名师点睛】本题考查反证法，判断命题的反面是解题的关键．∥”，第一步应假设：5．用反证法证明“若a c，b c∥，则a b∥B．a与b垂直A．a bC．a与b不一定平行D．a与b相交6．用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_________．1．下列命题为真命题的是A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一直线的两直线互相垂直D．三角形的外角和为1802．能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是A．120°，60°B．95°，105°C．30°，60°D．90°，90°3．下列命题的逆命题是真命题的是A．若a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|4．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有A．0个B．1个C．2个D．3个5．对于命题“若a2>b2，则a>b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是A．a=3，b=2 B．a=3，b=–2C．a=–3，b=–2 D．a=–2，b=–36．写出一个能说明命题：“若22a b>，则a b>”是假命题的反例：__________.7．请写出“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题：__________．8．命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____．9．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+14=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是__________．10．若命题“12xy=⎧⎨=-⎩不是方程ax–2y=1的解”为假命题，则实数a满足：__________．11．如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠C；③∠A=∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．12．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）写出这个定理的逆命题；（2）判断逆命题的真假并说明你的理由．13．写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．（1）如果0a =，0b =，那么0ab =． （2）对顶角相等．13．如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE ．①AB =AC ；②AD =AE ；③BD =CE ．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题： A ：①②⇒③；B ：①③⇒②；C ：②③⇒①．（1）以上三个命题是真命题的为__________（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．14．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-3=0有两个实根x1和x2．求证：x1≠x2．1．判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为A ．﹣2B ．﹣12C ．0D ．122．下列命题是真命题的是 A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．四边相等的平行四边形是正方形3．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题是假命题的是A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-D ．旋转不改变图形的形状和大小 5．下列命题正确的是 A ．矩形对角线互相垂直 B ．方程214x x =的解为14x = C ．六边形内角和为540°D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 6．下列命题中假命题是 A ．对顶角相等B ．直线5y x =-不经过第二象限C ．五边形的内角和为540︒D ．因式分解()322x x x x x x ++=+7．下列命题是真命题的是A ．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8．下列说法正确的是①函数y =x 的取值范围是13x ．②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7． ③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍． ④同旁内角互补是真命题．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根．A ．①②③B ．①④⑤C ．②④D ．③⑤9．下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是 A ．①②③④B ．①③④C ．①③D ．①10．下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 11．下列命题是真命题的是A ．同旁内角相等，两直线平行B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．相等的两个角是对顶角D ．圆内接四边形对角相等 12．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 其中真命题的个数有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列命题是假命题的是A ．n 边形（3n ≥）的外角和是360︒B ．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C ．相等的角是对顶角D ．矩形的对角线互相平分且相等14．下列命题是假命题的是A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分15．用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．316．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为A ．1m =-B ．0m =C ．4m =D ．5m =17．下列命题是假命题的是A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x=﹣的图象向上平移6个单位长度而得到 B ．抛物线234y x x =﹣﹣与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦18．命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_____（填“真命题”或“假命题”）．19．【安徽省2019年中考数学试题】命题“如果a +b =0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为____________________________.1．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．2．【答案】A【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，A是假命题；圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，B是真命题；一组邻边相等的矩形是正方形，C是真命题；菱形对角线互相垂直平分，D是真命题；故选A．3．【答案】两直线平行，内错角相等【解析】“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行．将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等．故答案为：两直线平行，内错角相等．4．【答案】A【解析】若x2=x，则x=1或x=0，所以原命题错误；若x=1，则x2=x，所以原命题的逆命题正确；若a2=b2，则a=±b，所以原命题错误；若a=b，则a2=b2，所以原命题的逆命题正确；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题错误．故选A．5．【答案】D【解析】∵反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，∴一步应假设a与b不平行，即：a，b相交．故选D．【名师点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，在中考中经常以这种题型出现．【名师点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．6．等腰三角形的底角是钝角或直角【解析】根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底都是直角或钝角”．故答案是：等腰三角形的两底都是直角或钝角．1．【答案】A【解析】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；三角形的外角和为360°，D是假命题；故选A．【名师点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．【答案】D【解析】∵互补的两个角可以都是直角，∴能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一定是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是90°，90°，故选D.考点：本题考查的是两角互补的定义【名师点睛】解答本题的关键是熟练掌握两角互补的定义，即若两个角的和是180°，则这两个角互补．3．【答案】C【解析】A、若a>0，b>0，则a+b>0的逆命题为若a+b>0，则a>0，b>0，错误，为假命题；B、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题；C、同位角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题；D、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，错误，为假命题，故选C．【名师点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质、直角的定义、平行线的性质及绝对值的意义，难度不大．4．【答案】B【解析】①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项错误．③在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．所以只有④一项正确．故选B．5．【答案】C【解析】当a=3，b=2时，a2>b2，而a>b成立，故A选项不符合题意；当a=3，b=–2时，a2>b2，而a>b成立，故B选项不符合题意；当a =–3，b =–2时，a 2>b 2，但a >b 不成立，故C 选项符合题意；当a =–2，b =–3时，a 2>b 2不成立，故D 选项不符合题意；故选C ．6．【答案】2,1a b =-=（注：答案不唯一）【解析】当2,1a b =-=时，222(2)4,1a b =-==根据有理数的大小比较法则可知：41,21>-<则此时满足22a b >，但不满足a b >因此，“若22a b >，则a b >”是假命题故答案为：2,1a b =-=．（注：答案不唯一）【名师点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键． 7．【答案】菱形的四条边相等【解析】“四条边相等的四边形是菱形”的逆命题为“菱形的四条边相等”．故答案为：菱形的四条边相等．8．【答案】两直线平行，同位角相等【解析】命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”故答案为“两直线平行，同位角相等”．9．【答案】当b =–12，方程没有实数解 【解析】∵b =–12时，Δ=（–12）2–4×14<0，∴方程没有实数解．∴当b =–12，方程没有实数解可作为说明这个命题是假命题的一个反例．故答案为：当b =–12，方程没有实数解． 10．【答案】a =–3【解析】当x =1、y =–2时，a +4=1，解得a =–3，故当a =–3时，12x y =⎧⎨=-⎩是方程ax –2y =1的解，则a =–3时，可以说明命题“12x y =⎧⎨=-⎩不是方程ax –2y =1的解”为假命题，故答案为：a =–3． 11．【解析】已知：∠1=∠2，∠B =∠C ；求证：∠A =∠D ．证明：如图，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴EC ∥BF ，∴∠AEC =∠B ．又∵∠B =∠C ，∴∠AEC =∠C ，∴AB ∥CD ，∴∠A =∠D ．12．【解析】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（2）真命题.证明如下：已知：如图，在△ABC 中，点D 是AB 的中点，连接CD ，且CD ＝12A B ．求证：△ABC 是直角三角形．证明：∵点D 是AB 的中点∴AD ＝BD∵CD ＝12AB ， ∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∠DCB ＝∠DBC∵∠DAC +∠ACD +∠DCB +∠DBC ＝180°∴∠ACD +∠DCB ＝90°，即∠ACB ＝90°∴△ABC 是直角三角形．【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．13．【解析】（1）逆命题：如果0ab =，那么0a =，0b =；假命题．（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题．【名师点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握判定定理.14．【解析】假设x 1=x 2，则[-（m +1）]2-4（2m -3）=0，整理得：m2-6m+13=0，而m2-6m+13=（m-3）2+4>0，与m2-6m+13=0矛盾，故假设不成立，所以x1≠x2．1．【答案】A【解析】当n=﹣2时，满足n<1，但n2﹣1=3>0，所以判断命题“如果n<1，那么n2﹣1<0”是假命题，举出n=﹣2．故选A．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2．【答案】C【解析】A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；D、四边相等的菱形是正方形，所以D选项错误．故选C．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．3．【答案】A【解析】①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选A．【名师点睛】考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．【答案】B【解析】A 、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C 、n 边形(3)n ≥的内角和是180360n ︒︒-，正确，是真命题；D 、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．【答案】D【解析】A ．矩形对角线互相垂直，不正确；B ．方程x 2=14x 的解为x =14，不正确；C ．六边形内角和为540°，不正确；D ．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D ．【名师点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．6．【答案】D【解析】A ．对顶角相等；真命题；B ．直线5y x =-不经过第二象限；真命题；C ．五边形的内角和为540︒；真命题；D ．因式分解()322+1++=+x x x x x x ；假命题；故选D ．【名师点睛】本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题；属于基础题.7．【答案】C【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题； B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．【名师点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．【答案】D【解析】①函数y =x 的取值范围是13x >-，故错误． ②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．⑤关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=有两个不相等的实数根，正确， 故选D ．【名师点睛】此类题的知识综合性非常强．要求对每一个知识点都要非常熟悉．注意：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0，弄清等腰三角形的三线合一指的是哪三条线段，熟悉多边形的内角和公式和外角和公式，熟练配方法的步骤；理解正多边形内角和外角关系；熟记根判别式．9．【答案】C【解析】①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题； ②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题； ④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题；故选C ．【名师点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，真假命题的判断，弄清命题的题设与结论，掌握相关的定理是解题的关键.10．【答案】D【解析】A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；。
参考例题定义与命题
●备课资料一、参考例题［例1］指出下列命题的条件和结论.（1）若a>0,b>0,则ab>0.（2）如果a∥b,b∥c,那么a∥c.（3）同角的补角相等.（4）内错角相等，两直线平行.分析：（1）题中的“若”就相当于“如果”“则”相当于“那么”.条件和结论即可指出.（2）题较容易.（3）题应改写为：“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”.（4）题也可改写为：如果内错角相等，那么两直线平行.解：（1）条件：a>0,b>0.结论：ab>0（2）条件：a∥b,b∥c结论：a∥c（3）条件：两个角是同一个角的补角结论：这两个角相等（4）条件：内错角相等结论：两直线平行［例2］举出反例说明下列命题是假命题.（1）大于90°的角是钝角；（2）如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角相等.分析：要说明一个命题是假命题，只要举出反例就可以，而要说明一个命题是真命题，必须把所有的情况加以验证.解：（1）180°的角大于90°,但180°不是钝角，而是平角.图6－10（2）如图6－10所示，∠AOB与∠CO′D的两边OA∥O′D，OB∥O′C,但这两个角不相等.二、参考练习1.指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假.（1）同垂直于一条直线的两条直线平行.（2）同位角相等.（3）若a2=b2,则a=b.（4）两条直线相交只有一个交点.答案：（1）条件：两条直线都和第三条直线垂直.结论：这两条直线平行.真命题（2）条件：两个角是同位角.结论：这两个角相等.假命题（3）条件：a2=b2结论：a=b假命题（4）条件：两条直线相交结论：这两条直线只有一个交点.真命题。
命题的概念及例子
例、已知a、b是两个实数,试证:
P(A) 60 新课讲授—— 命题的真、假
2
7 16
15 o 15
60
x
充或 当 逻 分者 且 辑 游婉 仅 规 刃言 当 矩 天容 令 有 地选 如 方 宽择 山 圆
情景诱思——命题在广告中的应用
在商品大战中，广告成了电视节目的一道美丽的风景 线，几乎所有的广告商都有这样的命题变换艺术。如宣传 某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人 们都拥有。”粗听起来似乎这只是几句普通的赞美词，然 而它所起的实际效果可大哩！原来，这句话变成等价命题 就是：“不拥有的人们不幸福。”那个家庭不希望幸福呢， 掏钱买一盒记得了。
如图，AC=6㎝，AD=9㎝，则CD=3㎝，
由几何概型的概率公式得：
P(A)||CADB||
3 12
1 4
A
9
6M C DB
课堂训练
成立的命题叫作
，不成立的命题叫作
。
3、甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者 广告商的目的就这样通过巧妙的命题变换达到了。
若两个角是对顶角，则这两个角相等
则总体上x、y满足0≤x、y≤1，其面积为 1、在500mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
特点:(1)是陈述语句;
y
情景诱思——命题在广告中的应用
不过，要彻底弄清其中的奥妙，还得先从命题的真假性谈起
1；设事件A为“两人能会面”，则属于 |x – y |≤15 60 解：记A={在AB上取一点M使6㎝<AM<9㎝}，则P(A)即为以AM为边长的正方形面积介于36㎝²与81㎝²之间的概率。
将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假 ①偶数能被2整除； ①若一个数是偶数，则这个数能被2整除
第四章 定义与命题
第四章定义与命题【经典导航4】定义与命题概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
命题结构：命题可看做由题设（条件）和结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题的分类：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题证明概念：要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,一步一步推得结论成立,这样的推理过程就叫做证明注：证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由可以写在每一步后的括号内证明命题的一般步骤:(1)根据题意,画出图形；(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；(3)在“证明”中写出推理过程.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.证明几何命题时,表述要按照一定的格式,一般为:(1)按题意画出图形;(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论(3)在“证明”中写出推理过程.反例与证明归纳：判断命题的真假；运用反例证明假命题；反例必须具备命题的条件,却不具备命题的结论,从而说明命题是错误的；说明一个命题是假命题,通常只用找出反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子.反证法概念：在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。
这种证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：提出假设；推理论证；得出矛盾；结论成立常用互为否定的表用方式：是——不是存在——不存在平行——不平行垂直——不垂直等于——不等于都是——不都是大于——不大于小于——不小于至少有一个——一个也没有至少有三个——至多有两个至少有三个——至多有两个至多有一个---至少有两个至少有一个---一个也没有宜用反证法证明的题型：（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）某些定理的逆命题；（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（4）关于“唯一性”结论的命题；（5）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
定 义 与 命 题
定义与命题（二）教学目标知识与技能命题的组成：条件和结论；命题真假的判断；了解教材中的公理；了解数学史。
过程与方法使学生能够分清命题的条件和结论，能判断命题的真假；通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法情感与价值观：通过反例说明假命题，使学生认识到任何事情都是正反两方面对立统一；帮助学生了解数学发展史，拓展视野，激发学习兴趣；通过对《原本》介绍，使学生感受数学发展史和人类文明价值教学重点准确的找出命题的条件和结论教学难点理解判断一个真命题需要证明教学方法探讨、合作交流教学过程一、情景创设、引入新课师：如果这个星期不下雨，我们就去郊游，这是命题吗？分析这句话，这个周日，我们郊游一定能成行吗？为什么？新课：（1）观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。
1．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
2．如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
3．如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。
4．如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形。
5．如果一个四边形的两条对角线相互垂直，那么这个四边形是菱形。
师：由此可见，每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项。
一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出部分是条件，“那么”引出部分是结论。
学生活动一——探索命题的结构特征（1）这五个命题都是用“如果……那么……”形式叙述的（2）这五个命题都是由已知得到结论（3）这五个命题都有条件和结论学生观察、分组讨论，得出结论二、例题讲解：例1：师：下列命题的条件是什么？结论是什么？1．如果两个角相等，那么他们是对顶角；2．如果a>b，b>c，那么a=c；3．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；4．菱形的四条边都相等；5．全等三角形的面积相等。
7.2数学定义与命题
小结与反思
通过本节课的学习, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
课堂小结
• 1、命题都是由条件和结论两部分组成
“如果……那么……”
条件
举反例
结论
• 2、说明一个命题是假命题的方法： • 3、说明一个命题是真命题的方法：
证明
证明的依据：公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
+
有关概念、公理
条件1
定理1
有关概念、公理
定理2 定理3
……
……
条件2
《原本》问世之前，世界上还没有一 本数学书籍像《原本》这样编排，因 此《原本》是一部具有划时代意义的 著作。
本套教材共九条公理，我们已经学过八条：
1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
7.2 定义与命题
真正的含义
有一位田径教练向领导汇报训练成绩
小明的百米 成绩是9秒9. 继续努力, 争取达到10 秒.
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争 抢非常激烈.于是命令: 发给每个人一
个球,不要再抢 啦.
可见交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行。 为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的 规定,也就是给出它们的定义 . 例如: “具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人 民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
正确的命题称为真命题，不正确的 命题称为假命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论
试用举反例的方法说明下列命题是假命题：
（1）如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数.
1.2定义与命题(知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接)
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
12.下列命题中，是正确命题的是（ ）
A．若 2x+2=2x-3,则 5=0
B．若 3 = 1，则 x =1 4x −1
C．若 a = b = c = k ，则 k = 1
b+c a+c c+a
2
13.写出下列假命题的反例：
D．若 a 为实数，则 a2 = ( a)2
C. 3 个
D．4 个
2.下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，
其中不正确的命题的有
（填序号）.
3.对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题是
假命题的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2
（4）杭州湾跨海大桥是世界上第三长的跨海大桥；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
14.命题：“能被 5 整除的数，它的末尾数是 5”它是一个
15.判断下列语句是否是命题（填“是”或“否”）
（1）画一条线段 a=7cm(
)；
（2）明天一定下雨（ ）；
（） （） （） （） （） 命题（填“真”或“假”）
题型 2 真命题和假命题、公理和定理
命 题：命题是判断一件事情的语句，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是对还是错. 真命题和假命题：真命题：正确的命题称为真命题； 假命题：不正确的命题称为假命题. 举 反 例：举一个例子，若符合该命题的条件，而不符合该命题的结论，这种例子叫做反例，这种方法称为举 反例.要说明一个命题是假命题，通常举一个反例.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 公 理：是人们在长期实践中总结出来的正确的命题(真命题)，它不需要用其他的方法来证明，是作为判断其 他命题的依据.如初一几何中我们过的主要公理有： ①经过两点有一条直线，并且只有一条直线． ②经过直 线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③同位角相等，两直线平行． ④两直线平行，同位角相等． 定 理:用推理的方法判断正确的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题的依据. 例如前面学过的定理 有:“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三 边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么 这两条直线平行”等都是定理．
湘教版解读-121定义与命题
第12章证明漫画（暂略）**定义与命题1 课程标准层次要求认识：①定义与命题的含义例1、例4②真、假命题的含义例3理解：③命题的结构例2④真、假命题的区别例3掌握：⑤区分命题的条件和结论（重点）例2 、例5⑥命题的真假判断（重点）例5、例62教材知识全面解读知识点1 定义与命题的概念基础题型一命题的辨析【例1】下列句子中那些是命题？①大象是动物的一种；②电脑是高科技的产物；③“请进！”④你今天上学了吗？⑤若a=b，b=c，则c=a；⑥奇数都是质数；⑦数学里的数字都是正的．分析：命题是判断一件事情的语句。
看一个句子是不是命题，主要看这个句子是否对一件事情作出了判断．解：象①，②，⑤，⑥，⑦都对一件事情作出了判断，所以是命题，而③，④没有作出判断，所以不是命题．方法点拨：命题是结论性语言，而不是叙述性语言，判断命题关键看是否作出判断．变式练习：1．判断下列语句是否是命题①画线段AB=2厘米；②对顶角相等吗？②③ ＜3解：①②都不是命题，③是命题．知识点2 命题的结构内容举例命题的结构数学命题一般都由条件和结论两部分组成．如命题“同位角相等,两直线平行”的条件是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．意义举例定义与命题的概念定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义；判断一件事情的句子叫做命题．“数轴上表示一个数的点到原点的距离”是一个数的绝对值的定义；“不相等的两角一定不是对顶角”是命题．牢记解读：①定义是交流的基础，定义即具有确定含义的语句，它反映了事物最本质的意义；②如果一个句子没有对某一件事情作出判断，那么它就不是命题．如命令式的语句、疑问句等；③定义也是命题，而且是正确的命题．巧记乐背下定义，要牢记，含义要确定，语句变命题，关键看判断．牢记解读：①命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知部分，结论是由已知部分推出的．②所有命题都可以写成“如果…，那么…”形式，如果后面的语句就是条件，那么后面的语句就是结论．③有些命题在找条件和结论时，最好先改写成“如果…，那么…”形式． 巧记乐背条件和结论，命题的组成，如果后面是条件，那么后面是结论．基础题型二 分析命题的结构知识点3 真命题、假命题内容 举例真命题、假命题条件成立，结论成立的命题叫真命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，即结论不成立的命题叫假命题． 命题“内错角相等，两直线平行”是真命题；命题“相等的角是对顶角”是假命题． 牢记解读：辨别一个命题真假的方法：①实际生活问题，实践是检验真理的唯一标准．②数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．③要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．巧记乐背真命题、假命题都是命题，条件成立，结论成立，真命题；条件成立，结论不成立，假命题．基础题型三 真假命题的辨析 【例3】判断下列命题的真假： ①若∠1=︒60，∠2=︒60，则∠1=∠2；②如果│a │=│b │,那么a ＝b ；③如果AC ＝BC ，那么点C 是AB 的中点． 分析：①显然是真命题；②结论不一定成立，当a =2、b =-2时结论不成立；③结论不一定成立，当点A 、变式练习：3．下列命题中，是假命题的是 （ ） A ．任何一个角都比它的补角小． B ．垂线段最短 C ．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种D ．两点确定一条直线【例2】写出下列命题的条件和结论 ①两直线平行，同旁内角互补； ②如果∠DOE =2∠EOF ，那么OF 是∠DOE 平分线； ③绝对值等于3的数是3； ④等角的余角相等． 分析：③先改写成如果一个数的绝对值等于3，那么这个数等于3，在找条件和结论；④先改写成如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等，再找条件和结论． 解：①条件是两直线平行，结论是同旁内角互补；②条件是∠DOE =2∠EOF ，结论是OF 是∠DOE 平分线；③条件是一个数的绝对值等于3，结论是这个数等于3；④条件是两个角是等角的余角，结论是这两个角相等．方法点拨： 单句形式的命题一般先分析句子的成分，改写成 “如果…，那么…”再找条件和结论． 变式练习： 2． 把下列命题改写如果…，那么…”的形式，指出条件和结论． ①直角都相等；②对顶角相等； 解：①如果几个角是直角，那么这几个角相等， 条件是几个角是直角，结论是这几个角相等； ③ 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ④ 条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．B 、C 不在一直线上时结论不成立．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题．点评：判断假命题的关键是要找到反例．答案：A解： 因为自然数包括0，所以③错误，非负有理数包括正有理数和零，所以④错误，故选B ． 3 典型例题分类解读 类型一 命题的辨别【例4】下列语句中，是命题的是 （ ）A ．有公共顶点的两个角是对顶角B ．在直线AB 上任取一点C C ．用量角器量角的度数D ．直角都相等吗？分析： 根据命题的判断方法就行判断． 答案：A.方法点拨：关键是要掌握命题的判别方法，看语句是否做出判断． 要点总结：疑问句、操作式的语句不是命题． 变式练习4．练习：下列语句中，不是命题的是 （ ） A ．如果a b <，那么a c b c +<+B ．内错角相等C ．垂线段最短D ．过点P ，作PD ⊥AB 于C 答案：D ．类型二：命题结构辨析与真假判断【例5】先把“个位是6的整数一定能被6整除”改写成“如果……，那么……”的形式，再写出它们的题设和结论，并判断其真假：分析：先将命题改写为“如果一个整数的个位数字是6，那么这个数一定能被6整除”，再找条件与结论，判断其真假．答案：如果一个整数的个位数字是6，那么这个数一定能被6整除。
第1章第02讲定义与命题(4类题型)(含解析)2023-2024学年八年级数学上册浙教版
(1)在图 1 中， P 与 Q 的数量关系为_____ (2)在图 2 中， P 与 Q 的数量关系为_____，试说明理由．
试卷第 6 页，共 9 页
(3)结合以上两个结论，用一个真命题表示：如果两个角的两边分别平行，那么_____
（2023 春·七年级课时练习）
34．判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题
A．对顶角相等
B．对顶角
C．两个角是对顶角相等 D．这两个角
相等
（2023 春·福建莆田·七年级校联考期中）
16．下列语句中不属于命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．如果 a b 0 ，那么 a、b 互为相反数
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过点 A 作射线 AC
（2023 春·陕西汉中·七年级校考期中）
．
（2023 春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）
31．将“互为相反数的两个数之和等于 0”写成“如果……那么……”的形式为
（2023 春·内蒙古包头·七年级包头市第三十五中学校考期中）
32．已知命题：①如果 x x ，那么 x 0 ；②如果 a2 9 ，那么 a 3；③两个相等的
角是对顶角．其中是假命题的序号有 ． （2023 春·江西上饶·七年级统考阶段练习） 33．如图， P ， Q 的两边分别平行，即 PA∥QC ， PB ∥QD ．
垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中( )
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是
假命题
题型 01 判断是否为命题
（2022 秋·八年级单元测试）
3．下列语句中，属于命题的是（ ）．
命题的概念及例子
命题的概念及例子
contents
目录
命题的定义 命题的逻辑形式 命题的例子 命题的应用 命题的推理 命题的谬误
01
命题的定义
什么是命题
命题是逻辑学中的基本概念，表示一个陈述句所表达的观点或事实。
一个命题通常由一个主语和谓语组成，表示主语具有某种属性或处于某种状态。
一个命题要么是真，要么是假，不存在第三种状态。
命题具有真假性
一个命题必须明确地表示出其真假性，不能含糊不清。
命题具有明确性
一个命题的真假不依赖于其他命题的真假，而是由其自身的内容所决定。
命题具有独立性
命题的特性
复合命题
由两个或多个简单命题通过逻辑联结词组合而成的命题，如“如果小明是医生，那么他一定很聪明”。
模态命题
包含模态词的命题，如“可能小明是医生”。
假因果
提出两种极端的可能性，并错误地认为只有这两种可能性存在。
假二难
将整体划分为若干部分，但划分依据不合理或不充分。
假划分Biblioteka 形式谬误03批判性思维
保持开放和批判的态度，不轻易接受他人的观点，同时也要勇于质疑自己的观点。
01
增强逻辑意识
了解和掌握逻辑学的基本原理和方法，提高对逻辑谬误的敏感性和识别能力。
直接推理的特点是推理过程简单明了，结论必然性高。
直接推理
VS
间接推理是通过观察和分析已知命题，间接推导出新命题的过程。例如，通过观察到“苹果在树上”（前提），可以间接推导出“苹果是水果”（结论）。
间接推理的特点是需要对已知命题进行深入分析，结论可能存在不确定性。
间接推理
类比推理是根据两个或多个事物的相似性，从一个事物的属性推导出另一个事物的属性的过程。例如，已知“狗有四条腿”（前提），可以类比推导出“猫也有四条腿”（结论）。
例题分析_定义与命题
h
4
条件是：两个角是锐角． 结论是：两个角的和是钝角． 改写成：如果两个角是锐角，那么两个角的和是钝角．
假命题
h
1
（3）同旁内角互补，两直线平行；
条件是：同旁内角互补． 结论是：两直线平行． 改写成：如果同旁内角互补，那么两直线平行．
真命题
（4）负数小于0．
条件是：一个数是负数． 结论是：这个数小于0． 改写成：如果一个数是负数，那么这个数小于0．
真命题
h
2
2.下列命题中哪些是假命题？为什么？ （1）如果 x5 3x ，那么 x4；
23
假命题．结论应该为 x4.2．
（2）各边分别相等的两个多边形一定全等；
假命题．两个多边形全等不仅与长度有 关，还与多边形的角度有关，如：边长 相等的菱形与正方形不全等．
h
3
（3）如果a≠0,b≠0,那么a2+ab+b2 = (a+b)2
1．将下列命题写成“如果……那么……”的形式，分别
说出它的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题： （1） 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
条件是：同一平面内两条直线垂直于同一直线． 结论是：两条直线平行． 改写成：如果同一平面内两条直线垂直于同一直线，
那么这两条直线平行． 真命题
（2）两个锐角的和是钝角；
7.2.2定义与命题(2)
复习导入
指出下列命题的条件和结论，并改写 “如果„„那么„„”的形式： (1)等边三角形是锐角三角形 如果一个三角形是等边三角形，那么这个 三角形是锐角三角形 (２)同角的余角相等 如果两个角是同一个角的余角， 那么这两个角相等 （３）直角都相等 如果几个角都是直角，那么它们都相等
学习目标
1.通过对定理，公理，及证明的学习， 理解定理与公理的区别。 2.在学习过程个，体会证明也作为公理
例1：已知：如图，直线AB与直线CD相 交与点O,ㄥAOC与ㄥBOD是对顶角。
求证：ㄥAOC=ㄥBOD
训练反馈
4. 证明：同角的补角相等。 如果 ， 那么 . 即这个命题的条件是 结论是：
， 。
已知:ㄥ1+ㄥ2=180° ㄥ1+ㄥ3=180° 求证：ㄥ2=ㄥ3
7.2定义与命题(2)
八年级数学组
复习导入
1.什么叫命题？
判断一件事情的句子,叫做命题.
2.命题的结构: 条件和结论两部分.
条件是已知事项,结论是由已事项推断出 的事项.
3、命题的特征:可以写成“如果……,那 么……”的形式, 结论 “如果”引出的部分是 条件 ,“那么”引出的部分是
.
举反例. 4.要说明一个命题是假命题，我们可以利用
小结
公理、定理、定义和证明的关系
有关概念、公理
定理1
条件1
有关概念、公理
条件2
定理 2
……
定理3
……
拓展提高
A.B.C.D四人参加比赛，甲，乙，丙三位 评委预测，结果如下： 甲说：A第一，B第三 乙说：C第一，D第四 丙说：D第二，A第三 结果三人都只猜对了一半，问到底这四 人排名如何？
）
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2定义与命题
1．定义
对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．
谈重点下定义的注意事项
①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双
重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通
顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不
清的词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词
区别．
②【例1】下列语句，属于定义的是()．
A．两点之间线段最短
B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
D．三人行则必有我师焉
解析：判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显，A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B.
答案：B
点技巧分清定义与命题
注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是定义．
2．命题
(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．
(2)命题的组成结构：
①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
②有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显．对
于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．
谈重点改写命题
命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．
【例2】指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．
分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．
②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．
③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．
④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．
点技巧分清条件和结论
“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．
3．公理、定理、证明
(1)公理
公认的真命题称为公理．
①公理是不需推理论证的真命题．
②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据．
常用的几个公理：
①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
⑤三边对应相等的两个三角形全等．
⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．
其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．
(2)定理
有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理．
①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理．
②定理可以作为推理论证其他命题的依据．
(3)证明
推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理．
【例3】下列说法正确的是()．
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
解析：真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B.
答案：B
点评：掌握公理、定理、命题之间的区别，明确其含义，是解决本题的关键．
4．命题及真假命题的判断
(1)命题的判断
判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义．
①命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题．
②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是
命题．
③命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题．
(2)真假命题的判断
命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误．因此可以将命题分为真命题和假命题．
①正确的命题称为真命题．
②不正确的命题称为假命题．
③真命题、假命题的判断与比较：
要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．
谈重点判断真假命题的方法
①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题．
【例4－1】下列句子中是命题的有__________(填序号)．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．解析：判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断．所以①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题．答案：①②③④
【例4－2】下列命题中，真命题是()．
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0 解析：分析是否为真命题，需要分析各题设能否推出结论，从而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，所以A是假命题；a·b＜0可得a，b异号，所以B是假命题；a·b＝0可得a，b中必有一
个字母的值为0，但不一定同时为零，所以C是假命题；若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，或二者同时为0，所以D是真命题．故选D.
答案： D
【例4－3】已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．
解析：
答案
析规律巧判真假命题
命题是判断事情的语句．若命题判断的事情是正确的，则命题是真命题；反之，命题为假命题．
5．命题的组合
命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题．命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题．组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型．该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题．
命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容．
点评：①命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况．②组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定．
【例5－1】如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；
②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形
式写出)
解析：答案不唯一，如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，则AD＝AE.所以①③④⇒②.
答案：①③④⇒②
【例5－2】对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．解析：答案不唯一．根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行”，可得出：若①②，则④.
答案：若①②，则④。