向量的内积的概念

[
] [
]
r r r [ξ1 ,ξ2 ] r r a3 = ξ2 − r v ξ1 . [ξ1 ,ξ1 ]
上页
下页
返回
由于正交化过程十分繁锁， 由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量 组时，只要抓住向量正交的本质， 组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化 过程。 过程。 以例3中求齐次线性方程组 以例 中求齐次线性方程组 x1 + x2 + x3 = 0 的基础解系为例，要求两两正交的基础解系， 的基础解系为例，要求两两正交的基础解系，只要取
上页 下页 返回
然后只要把它们单位化， 然后只要把它们单位化，即取 r r 1 r r 1 r 1 r e1 = r b1 , e2 = r b2 ,L, er = r br , b1 b2 br 的一个正交规范基。 就得 V 的一个正交规范基。 r r r α 上述从线性无关向量组 1 ,α2 ,L,αr寻出正交向量 r r r ( . 组b1 , b2 ,L, br的过程称为施密特Schimidt )正交化过程 r r r r r r b 它不仅满足 1 , b2 ,L, br与α1 ,α2 ,L,αr 等价, 还满足: r r r r r r k b 对任何 向量组 1 , b2 ,L, bk与α1 ,α2 ,L,αk等价.
V的一个规范正交基 .这也就是要找一组两两 正 rr r rr r r r e 交的单位向量 1e2 ,L, er , 使e1e2 ,L, er与α1 ,α2 , r r r r L,αr 等价这样的问题称为把 1 ,α2 ,L,αr这个 . α . 基规范正交化 r r r α 可以用以下办法把 1 ,α2 ,L,αr规范正交化:
上页
下页
返回
向量的长度
由向量内积的性质(v) 自然引入向量的长度。 由向量内积的性质 自然引入向量的长度。 定义1 令 定义 r r r r 2 2 2 x = [ x, x] = x1 + x2 + L+ xn为向量 的长度 x . 向量长度的性质： 向量长度的性质： r r r (i ).非负性: x ≥ 0,当且仅当 = 0时, 等式成立 x ; r r (ii).齐次性: λx = λ x ; r r r r (iii).三角不等式: x + y ≤ x + y .
. 何向量正交
正交向量组：指一组两两正交的非零向量。 正交向量组：指一组两两正交的非零向量。
上页 下页 返回
r r r α 定理1 定理 若n维向量 1 ,α2 ,L,αr是一组两两正交 r r r , . 的非零向量则α1 ,α2 ,L,αr线性无关 证 设有 1 , λ2 ,L, λr , 使 λ r r r r λ1α1 + λ2α2 +L+ λrαr = 0, rT rT r , 以α1 左乘上式两端得 λ1α1 α1 = 0, rT r r 2 r λ 因α1 ≠ 0, 故α1 α1 = α1 ≠ 0,从而必有 1 = 0.
rT a1 1 1 1 解 记A = rT = a 1 − 2 1, 2
r r r a3应满足齐次方程 x = 0,即 A
x1 1 1 1 0 1 − 2 1 x2 = 0, x3
上页
下页
返回
r r r r r a . 求一组非零向量 2 , a3 , 使a1 , a2 , a3两两正交
解wk.baidu.com
1 r 例 3 已知a1 = 1, 1
r r rT r a2 , a3应满足方程 1 x = 0,即 a x1 + x2 + x3 = 0.
1 0 r r 它的基础解系为 ξ1 = 0 ,ξ2 = 1 . − 1 − 1
解
r r 取b1 = a1;
1 − 1 r r r − 1 r r [a2 , b1 ] 4 5 b2 = a2 − r 2 b1 = 3 − 2 = 1 ; b1 1 6 − 1 3 1
上页 下页 返回
− 1 r r r ξ1 = 1 ,ξ2 使得前两个分量与 ξ1 的前两个分量对应 0 1 r 乘积之和为零即可， 乘积之和为零即可，从而取 ξ2 = 1 , 容易验证 − 2 r r ξ1与ξ2是正交的 . 上页 下页 返回
内积的运算规律： 内积的运算规律： 运算规律 r r r r (i ).交换律: [ x, y] = [ y, x]; r r r r r r (ii).数乘结合律: [λx, y] = [ x, λy] = λ[ x, y]; r r r r r r r (iii).加法分配律: [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ]; r r2 r r r r (iv).施瓦茨不等式 [ x, y] ≤ [ x, x][ y, y]; : r r r r r (v).[ x, x] ≥ 0, 且当 ≠ 0时, 有 x, x] > 0. x [
, λ 类似地 可证 2 = 0,L, λr = 0. v v v α . 于是向量组 1 ,α2 ,L,αr线性无关
上页
下页
返回
例1
已知 3 维向量空间 R 3 中两个向量
1 1 r = 1, r = − 2 a1 a2 1 1
r r r r a . 正交, 试求一个非零向量 3 , 使a1 , a2 , a3两两正交
上页
下页
返回
取
r r b1 = α1; r r r r [b1 , a2 ] r b2 = a2 − r r b1; [b1 , b1 ]
…………………………… r r r r r r r r r [b1, ar ] r [b2 , ar ] r [br −1, ar ] r br = ar − r r b1 − r r b2 −L− r br −1. [b1, b1] [b2 , b2 ] [br −1, br −1] r r r r r r r b , 可以证明 1 , b2 ,L, br两两正交且b1 , b2 ,L, br与α1 , r r α2 ,L,αr等价.
rT λ , 为求其中的系数 i (i = 1,2,L, r), 用ei 左乘上式 有 rT r r ei α = λ i ei = λ i ,
即
rT r r r λ i = ei α = [α , ei ].
上页
下页
返回
向量组的正交规范化 r r r V , 设α1 ,α2 ,L,αr是向量空间 的一个基 要求
上页
下页
返回
向量空间的规范正交基
r r r e V 定义3 定义 设n维向量 1 , e2 ,L, er是向量空间 (V r r r n e , , ⊂ R )的一个基 如果 1 , e2 ,L, er , 两两正交且都是 r r r e , . 单位向量 则称 1 , e2 ,L, er是V的一个规范正交基
e1 = 1 1 2 2 1 1 − , e2 = , e3 = 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 , e4 = 2 2 1 1 − 2 2
r x 单位向量。 当 x = 1时，称 为 单位向量。
上页 下页 返回
r r [ x, y] r r 当 x ≠ 0, y ≠ 0 时, θ = arccos r r r r 夹角。 || x || ⋅ || y || n x 称为 维向量 与y的 夹角。
向量的正交性
维向量， 空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可 得向量的正交性概念。 得向量的正交性概念。 r r r r r r r [ x 当 x, y] = 0时, 称向量 与y正交.当x = 0时, x与任
r r r r r r r r [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 = a3 − r 2 b1 − r 2 b2 b1 b2 4 1 − 1 1 1 5 = − 1 − 2 + 1 = 2 0. 0 3 − 1 3 1 1
下页 关闭
向量内积的概念
在空间解析几何中， r 在空间解析几何中，两向量的数量积 r r r x ⋅ y =| x || y | cosθ 在直角坐标系中表示为 r r x ⋅ y = ( x1 , x2 , x3 ) ⋅ ( y1 , y2 , y3 ) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 , 维向量即有： 推广到 n 维向量即有： 定义1 定义 设有 n 维向量 r T r x = ( x1 , x2 ,L, xn ) , y = ( y1 , y2 ,L, yn )T
上页
下页
返回
例2
1 − 1 4 r r r 设a1 = 2 , a2 = 3 , a3 = − 1, − 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。 试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。
上页
下页
返回
把基础解系正交化，即为所求。 把基础解系正交化，即为所求。取
r r a2 = ξ1;
r r r r 其中ξ1 ,ξ2 = 1, ξ1 ,ξ1 = 2, 于是得
1 0 1 − 1 r r 1 1 a2 = 0 , a3 = 1 − 0 = 2 . − 1 − 1 2 − 1 2 − 1
上页 下页 返回
例如
的一个正交规范基。 就是 R 4 的一个正交规范基。
r r r , 若e1 , e2 ,L, er是V的一个规范正交基那么V中 r r r r α e , 任一向量 应能由 1 , e2 ,L, er线性表示 设表示式为 r r r r α = λ 1e1 +λ 2e2 + L+λ r er
预备知识： §1. 预备知识：向量的内积
★向量的内积的概念 ★向量的长度 ★向量的正交性 ★向量空间的正交规范基的概念 ★向量组的正交规范化 正交阵、 ★正交阵、正交变换的概念
n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向 维向量是空间三维向量的推广， 维向量是空间三维向量的推广 量的内积，从而引进n维向量的度量概念 向量的长度， 维向量的度量概念： 量的内积，从而引进 维向量的度量概念：向量的长度， 夹角及正交。 夹角及正交。
上页 下页 返回
由
1 1 1 1 0 1 A～ 0 − 3 0 ～ 0 1 0,
得
x1 = − x3 , x2 = 0
− 1 − 1 r 从而有基础解系 0 . 取α3 = 0 即可 . 1 1
再把它们单位化，取 再把它们单位化，
r 1 r 1 r b1 e1 = r = 2 ,e2 = 6 b1 − 1 r − 1 b2 1 r r = 1 , e3 = 3 b2 1
r 1 b3 1 r = 0. 2 b3 1
r r r r r r [ x 令 x, y] = x1 y1 + x2 y2 + L+ xn yn ,[ x, y]称为向量 与y的
内积。 内积。
上页 下页 返回
种运算 可以用矩阵表示 , , 向量的内积是向量的一 r r r r rT r , [ 当x与y均为列向量时有 x, y] = x y,