实际问题与二次函数(拱桥问题)
《实际问题与二次函数》(拱桥问题)
2023-11-06•引言•拱桥问题建模•数值模拟与优化•实验设计与实施•结论与展望目录01引言背景介绍在过去的几十年中，随着科技的发展和工程材料的进步，拱桥设计得到了更多的创新和改进。
然而，拱桥问题仍然是一个具有挑战性的研究领域，需要进一步探索和研究。
拱桥作为一种传统的桥梁形式，具有悠久的历史和广泛的应用。
研究目的和意义研究拱桥问题的目的是为了更好地了解其力学性能和设计优化。
拱桥作为重要的交通枢纽，其安全性和可靠性对于保障人们的生命财产安全具有重要意义。
通过研究拱桥问题，有助于提高桥梁设计水平，促进交通基础设施的发展。
02拱桥问题建模拱桥结构与受力分析拱桥结构拱桥是一种常见的桥梁结构，其特点是在承受载荷时可以将压力转化为张拉力，因此具有较好的抗压性能。
拱桥的主体结构由拱圈和桥墩组成，拱圈是主要的承载结构，桥墩则起到支撑和固定拱圈的作用。
受力分析在承受载荷时，拱桥的拱圈主要承受压应力，而张拉应力则主要由钢筋承受。
桥面上的车辆等载荷通过桥面传递到拱圈上，进而传递到拱桥的支撑结构上。
根据载荷的大小和分布情况，拱桥的支撑结构需要满足一定的强度和稳定性要求。
二次函数在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，一般形式为f(x)=ax^2+bx+c。
二次函数的图像是一个抛物线，其形状受到二次项系数a的影响。
拱桥形状拱桥的形状是一个抛物线形，其跨度和拱高受到二次函数的影响。
通过调整二次函数的系数，可以改变拱桥的形状和跨度。
在实际设计中，通常需要根据桥梁的使用要求和地理条件来确定拱桥的形状和跨度。
二次函数与拱桥形状的关联物理意义在拱桥问题中，二次函数的参数具有明确的物理意义。
例如，二次项系数a代表拱桥的跨度，一次项系数b代表拱桥的高度，常数项c代表拱桥的宽度。
这些参数不仅影响拱桥的形状，还与桥梁的性能和使用要求密切相关。
约束条件在设计和建造拱桥时，需要满足一些约束条件。
例如，桥梁需要满足承载能力、稳定性、耐久性和施工可行性等方面的要求。
12 22.3实际问题与二次函数——拱桥问题
22.3.2实际问题与二次函数----拱桥问题学习目标：1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题.一、知识回顾以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___ _______二、探究新知例如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？三、随堂检测1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( )A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m22.3.2实际问题与二次函数----拱桥问题学习目标：1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题.一、知识回顾以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___ _______二、探究新知例如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？三、随堂检测1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为( )A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m125125图①图①2.如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞 顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取 点A 为坐标原点时抛物线对应的函数解析式是 y ＝－ (x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时 抛物线对应的函数解析式是__________．四、拓展延伸1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y ＝ax 2＋c 的形式,请根据所给的数据求出a.c 的值; (2)求支柱MN 的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.2.如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞 顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以 水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取 点A 为坐标原点时抛物线对应的函数解析式是 y ＝－ (x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时 抛物线对应的函数解析式是__________．四、拓展延伸1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y ＝ax 2＋c 的形式,请根据所给的数据求出a.c 的值; (2)求支柱MN 的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.1919。
人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数拱桥问题教学设计
（1）理解并运用二次函数的顶点式和交点式分析拱桥问题。
（2）运用二次函数求最值的方法，解决拱桥设计的优化问题。
（3）将数学知识与现实问题相结合，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境：以我国著名的拱桥为例，如赵州桥，引入拱桥问题的探讨，激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与生活的紧密联系。
7.教学评价：采用多元化的评价方式，关注学生在课堂上的表现，包括小组讨论、操作实践、问题解决等方面，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张我国著名拱桥的图片，如赵州桥，引导学生观察并思考拱桥的形状、结构等特点。
2.提出问题：拱桥的形状与二次函数有什么关系？如何利用二次函数的知识解决拱桥问题？
3.拓展作业：
（5）研究其他类型的实际问题，如抛物线形天线、拱形门等，运用二次函数的知识进行分析和解答。
（6）分组进行项目研究，选取一个实际工程项目，如桥梁、隧道等，运用二次函数进行优化设计，撰写项目报告，并在课堂上进行分享。
4.创新作业：
（7）结合所学知识，发挥创意，设计一个具有独特形状的拱桥，并运用二次函数进行求解和分析，将设计图与解题过程整理成册。
2.自主探究：引导学生运用二次函数的知识，自主探究拱桥问题，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
（1）提出问题：如何根据拱桥的形状和跨度，确定二次函数的表达式？
（2）合作交流：学生分组讨论，分享各自的想法和解决方法，互相学习，共同进步。
3.演示与讲解：教师通过多媒体演示或板书，讲解二次函数在拱桥问题中的应用，重点解析顶点式和交点式的运用，以及如何求解最值。
2.归纳要点：
（1）二次函数与拱桥问题的关系。
中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题
中考数学高频考点突破：实际问题与二次函数——拱桥问题一、选择题1.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A．2.76米B．7米C．6米D．6.76米2.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−0.01(x−20)2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为( )A．5米B．4米C．2.25米D．1.25米3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面 1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米二、填空题4.如图所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的髙度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．5.一个拱形桥架可以近似看做是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成的．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45∘，AC1=4米，点D2的坐标为(−13,−1.69)，则桥架的拱高OH=米．6.闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1），如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在为y=−x2+4x+94水池外．三、解答题7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1) 求抛物线的解析式；(2) 一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？8.如图是一个抛物线形拱桥示意图，已知河床宽度AB=40米，拱桥高度为10米．(1) 建立适当的坐标系，并求出抛物线的解析式；(2) 若测量得拱桥内水面宽度为28米，求拱桥内的水深．9.已知一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的一条边长为2.5m．(1) 写出隧道截面的面积y(m2)与截面上部半圆的半径x(m)之间的函数表达式；(2) 当隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是多少（精确到0.1m2）？10.桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A，C，B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为2米（图中用线段AD，FG，CO，BE等表示桥柱），CO=1米，FG=2米．(1) 求经过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；(2) 求桥柱AD的高度．11.有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示，已知OA=8米，距离O点2米处的棚高BC为9米．4(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁DE的长度是多少米？12.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m，建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．(1) 求水柱所在抛物线的函数解析式；(2) 求水管AB的长．13.如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．(1) 建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式．(2) 若水面上升1m，水面宽度将减少多少？14.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，以AB的中点O为原点，按如图②所示建立平面直角坐标系．(1) 求该抛物线对应的函数关系式；(2) 通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．15.秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥非常令人喜爱，如图所示，玉带桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m．(1) 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 现有一艘游船高度是 4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥．16.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1) 经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式．(2) 因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．17.如图，隧道的截面由抛物线ADC和矩形AOBC构成，矩形的长OB是12m，宽OA是4m．拱顶D到地面OB的距离是10m．若以O原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系．(1) 画出直角坐标系xOy，并求出抛物线ADC的函数表达式；(2) 在抛物线型拱壁E，F处安装两盏灯，它们离地面OB的高度都是8m，则这两盏灯的水平距离EF是多少米？18.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．(1) 求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．(2) 足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4√3≈7）(3) 运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑多少米？（取2√6≈5）答案一、选择题1. 【答案】D【解析】设该抛物线的表达式为 y =ax 2，把 x =10，代入表达式得 −4=a ×102，解得 a =−125，故此抛物线的表达式为 y =−125x 2，∵ 桥下水面宽度不得小于 18m ，∴ 令 x =9 时，可得 y =−125×81=−3.24(m )， 此时水深 6+4−3.24=6.76(m )， 即桥下水深 6.76m 时正好通过， ∴ 超过 6.76m 时则不能通过．2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 MN =4 米，EF =14 米，BC =10 米，DO =32 米，设大孔所在抛物线的解析式为 y =ax 2+32(a ≠0)，∵BC =10 米， ∴ 点 B (−5,0)，∴0=a ×(−5)2+32， ∴a =−350，∴ 大孔所在抛物线的解析式为 y =−350x 2+32，设点 A (b,0)，则设顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =m (x −b )2， ∵EF =14 米，∴ 点 E 的横坐标为 −7， ∴ 点 E 的坐标为 (−7,−3625)，当 m (x −b )2=−3625 时，解得 x 1=65√−1m +b ，x 2=−65√−1m +b ， ∵MN =4 米， ∴∣∣∣∣65√−1m +b −(−65√−1m +b)∣∣∣∣=4， ∴m =−925，∴ 顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y =−925(x −b )2，∵ 大孔水面宽度为 20 米，∴ 当 x =−10 时，y =−92， ∴−92=−925(x −b )2， ∴x 1=5√22+b ，x 2=−5√22+b ，∴ 当大孔水面宽度为 20 米时，单个小孔的水面宽度 =∣∣∣(5√22+b)−(−5√22+b)∣∣∣=5√2（米）． 故选B ．二、填空题4. 【答案】 36【解析】如图所示：设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B ， ∵10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称，则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒， ∴ 从 O 到 D 需要 10+8=18 秒， 从 O 到 C 需要 2×18=36 秒．5. 【答案】 7.24【解析】设抛物线 D 1OD 8 的解析式为 y =ax 2，将 x =−13，y =−1.69 代入，可得 a =−1100．因为横梁 D 1D 8=C 1C 8=AB −2AC 1=36 m ，所以点 D 1 的横坐标是 −18，代入 y =−1100x 2，得 y =−3.24． 因为 ∠A =45∘，所以 D 1C 1=AC 1=4 m ，所以 OH =3.24+4=7.24 m ．6. 【答案】 92三、解答题7. 【答案】(1) 根据题意，A (−4,2)，D (4,2)，E (0,6)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+6(a ≠0)，把 A (−4,2) 或 D (4,2) 代入得 16a +6=2，得 a =−14，抛物线的解析式为 y =−14x 2+6．(2) 根据题意，把 x =±1.2 代入解析式，得 y =5.64， ∵5.64>4.5，∴ 货运卡车能通过．【解析】(1) 方法二：设解析式为y=ax2+bx+c，代入A，D，E三点坐标得{16a−4b+c=216a+4b+c=2c=6，得{a=−14b=0c=6，抛物线的解析式为y=−14x2+6．8. 【答案】(1) 建立如图所示坐标系，设抛物线铁板式为y=ax2；由题意得，B(20,−10)，∴−10=202a，解得a=−140，∴y=−140x2．(2) 由题意得，点D横坐标为28÷2=14，当x=14时，y=−140×142=−4.9，−4.9−(−10)=5.1．∴拱桥内的水深5.1米．9. 【答案】(1) y与x之间的函数表达式是y=12πx2+5x；(2) 当x=2时，y=12π×22+5×2=2π+10≈16.3(m2)．所以隧道截面上部半圆的半径为2m时，隧道截面的面积约是16.3m2．10. 【答案】(1) 由题意可知：点C的坐标为(0,1)，点F的坐标为(−4,2)．设抛物线的函数解析式为y=ax2+c，所以{1=c,2=16a+c,解得{a=116,c=1.所以抛物线的函数解析式为y=116x2+1．(2) 点A的横坐标为−8，当x=−8时，y=5，所以桥柱AD的高度为5米．11. 【答案】(1) 由题意可得，抛物线经过(2,94)，(8,0)，故{64a+8b=0,4a+2b=94,解得{a=−316,b=32,故拋物线的解析式为y=−316x2+32x．(2) 由题意可得，当y=1.5时，1.5=−316x2+32x，解得x1=4+2√2，x2=4−2√2，故DE=x1−x2=4+2√2−(4−2√2)=4√2（米）．12. 【答案】(1) 以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的方向为x轴建立平面直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为y =a (x −1)2+3，代入 (3,0)，求得 a =−34， 故所求的函数解析式为 y =−34(x −1)2+3(0≤x ≤3)．(2) 令 x =0，则 y =94=2.25．故水管 AB 的长为 2.25 m ．13. 【答案】(1) 以 C 为坐标原点建立坐标系，则 A (−6,−4)，B (6,−4)，C (0,0)，设 y =ax 2，把 B (6,−4) 代入上式，36a +4=0，解得：a =−19，∴y =−19x 2．(2) 令 y =−3 得：−19x 2=−3，解得：x =±3√3， ∴ 若水面上升 1 m ，水面宽度将减少 12−6√3．14. 【答案】(1) 如图，A (−4,0)，C (0,4)，设抛物线的解析式为 y =ax 2+k (a ≠0)，由题意，得 {16a +k =0,k =4,解得 {a =−14,k =4,∴ 抛物线的解析式为 y =−14x 2+4．(2) 2+0.42=2.2，当 ∣x ∣=2.2 时，y =−14×2.22+4=2.79，2.79−0.5=2.29(m )．答：该货车能够安全通行的最大高度为 2.29 m ．15. 【答案】(1) 以 AB 的中点为原点，建立如下的坐标系， 则点 C (0,6)，点 B (5,0)．设函数的表达式为 y =ax 2+c =ax 2+6(a ≠0)，将点 B 的坐标代入上式，得 0=25a +6，解得 a =−625，故抛物线的表达式为 y =−625x 2+6．(2) 设船从桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为 2，当 x =2 时，y =−625x 2+6=−625×4+6=12625=5.04，船的顶部高为 4.5，4.5+0.5=5<5.04，故顶部通过符合要求，故这艘游船能安全通过玉带桥．16. 【答案】(1) 方案二；(10,0)；由题意知，抛物线的顶点坐标为 A (5,5)，且经过点 O (0,0)，B (10,0)， 设抛物线的解析式为 y =a (x −5)2+5（a ≠0），把点 (0,0) 代入，得 0=a (0−5)2+5，解得a=−15．∴抛物线的解析式为y=−15(x−5)2+5．(2) 在方案二的前提下，由题意知，当x=5−3=2时，−15(x−5)2+5=165，所以水面上涨的高度为165米．17. 【答案】(1) 画出直角坐标系xOy，如图：由题意可知，抛物线ADC的顶点坐标为(6,10)，A点坐标为(0,4)，可设抛物线ADC的函数表达式为y=a(x−6)2+10，将x=0，y=4代入得：a=−16，∴抛物线ADC的函数表达式为y=−16(x−6)2+10．(2) 由y=8得：−16(x−6)2+10=8，解得：x1=6+2√3，x2=6−2√3，则EF=x1−x2=4√3，即两盏灯的水平距离EF是4√3米．18. 【答案】(1) 根据题意，可设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的解析式为y=a(x−6)2+4，将点A(0,1)代入，得36a+4=1，解得a=−112，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式为y=−112(x−6)2+4．(2) 令y=0，得−112(x−6)2+4=0，解得x1=4√3+6≈13，x2=−4√3+6<0（舍去），∴足球第一次落地点C距守门员13米．(3) 如图，足球第二次弹起后的水平距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴−112(x−6)2+4=2，解得x1=6−2√6，x2=6+2√6，∴CD=x2−x1=4√6≈10（米），∴BD=13−6+10=17（米）．答：运动员乙要在第二个落地点D抢到足球，他应再向前跑17米．。
二次函数与实际问题(拱桥)
二次函数的运用拱桥问题学习过程:一、预备练习：1、如图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB ∥x 轴，且AB=4，OC=1，则点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
2、 某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。
现测得水面宽AB=4m ，涵洞顶点O 到水面的距离为1m ，于是你可推断点A 的坐标是 ，点B 的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为 。
二、新课导学：例1、有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m ，河面距拱顶4m ，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
例2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？三、练习：1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x ，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m 后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部C 离地面高度为4．4m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m ，装货宽度为2．4m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．5、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用y=-41x 2+4表示. （1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？6．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，OA=1.25m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2．25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m ）7.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? （选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?8.某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 10又3分之3m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3又5分之3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.例1、例2：例3：第3题：第8题、。
实际问题与二次函数(拱形桥)
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
Y
．B(1,2.25)
(0,1.25) A
O
x
分析
Y
(0,1.25) A
．B(1,2.25)
O
x
如图，要使水不落到池外，水池的
半径，即要求抛物线与x轴右侧的公共点
的横坐标。已知喷泉的最高点，故函数
可用顶点式表示。
解：由题意，设水流路线构成的抛物 线为 y=a(x-1)2+2.25.
点A(0，1.25)在抛物线上，则有：
y A
1.6
B
2.2
F
0.7
E
CO
0.4
xD
解 ：如图，以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立
直角坐标系，则 B（0.8, 2.2），F（- 0.4, 0.7）
设 y = ax2 + k ,从而有
0.64a + k = 2.2
解得：
a = 25
8
0.16a + k = 0.7
K = 0.2
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
20 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平
9
距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为 抛物线，篮圈中心距离地面3米。
22.3实际问题与二次函数 拱桥问题
20m
B
谈谈你的学习体会
实际问题 解题步骤： 1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形。 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决
2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。
3、选用适当的解析式求解。 4、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
5．布置作业
教科书习题 22.3
Y
设抛物线的解析式为 Y=a（x+2）² +2 或y=a（x+4）（x-0） ∴y=-0.5x² -2x
OX
（-4、0）
（0、0）
还是都来做一做
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设抛物线的解析式为 Y=a（x-2）² +2 或y=a（x-0）（x-4） ∴y=-0.5x² +2x
（0、0）
o
（2、2）
x
（4、0）
y、2） （0
设抛物线的解析式为 Y=a（x-0）² +2 或y=a（x+2）（x-2） ∴y=-0.5x² +2
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当 b x 2a 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 4ac b 2 y ． 4a 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围； 3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
2 2、已知二次函数y=-x +3x+4的
图象如图： 2 1)方程-x +3x+4=0 X=-1,x=4 的解是_____ 2)不等式-x2+3x+4>0 -1<x<4 的解集是____ 3)不等式-x2+3x+4<0 X<-1或x>4 的解集是____
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
22.3实际问题与二次函数(拱桥问题)同步练习++2024-2025学年人教版数学九年级上册
22.3 实际问题与二次函数（拱桥问题）一、选择题1．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（）A．1m B．2m C．√3m D．2√3m2．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为y=−125x2，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度CO等于（）A．2m B．4m C．10m D．16m3．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=20米，则函数表达式为（）A．y=−115x2B．y=−125x2C．y=115x2D．y=125x24．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用y=−16x2+2x+4表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8m．那么两排灯的水平距离是（）A．2m B．4m C．4√2m D．4√3m5．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（）A．12m B．11m C．10m D．9mx2 + 8（单位：米），施工队计划在隧道正中搭6．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y =－12建一个矩形脚手架DEFG，已知DE：EF = 3：2，则脚手架高DE为（）A．7米B．6.3米C．6米D．5米7．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4 √3米B．5 √2米C．2 √13米D．7米8．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16 米B．米C．16 米D．米二、填空题x2+3.25，一辆车高3米，宽4米，该车9．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为y=−18（填“能”或“不能”）通过该隧道．10．如图，图2是图1的拱形大桥的示意图.桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =−1（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交400点C恰好在水面上，AC⊥x轴.若OA＝20米，则桥面离水面的高度AC为11．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C 到AB的距离为8m，AB=24m，D，E为拱桥底部的两点，且DE//AB，若DE的长为36m，则点E到直线AB的距离为.12．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需分钟.13．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为8 m，以隧道底部宽AB所在直线为x轴，以AB垂x2＋b，则隧道底部宽AB 直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为y＝－12为m．三、解答题14．有一个抛物线形的拱形桥洞，当桥洞的拱顶P（抛物线最高点）离水面的距离为4米时，水面的宽度OA为12米．现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）求这条抛物线的解析式．（2）当洪水泛滥，水面上升，水面的宽度小于5米时，则必须马上采取紧急措施．某日涨水后，观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．15．如图，某隧道口的横截面是抛物线型，已知隧道底部宽AB为10m，最高点离地面的距离OC为5m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在的直线为y轴，1m为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为3m，求两排灯之间的水平距离．16．如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中OA=20米，OC=7米，最高点P离地面的距离为9米，以地面OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与OC的水平距离为m米，求出m的取值范围．17．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系。
实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册
例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数
实际问题与二次函数----拱桥问题(讲课)
22.3实际问题与二次函数----拱桥问题班级：姓名：一、课前预习：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，根据图中的直角坐标系，你能求出涵洞所在的抛物线的解析式吗？二、探究新知图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m .水面下降1m时，水面宽度是多少？思考：还有其它建立坐标系的方法吗？选择一种解答出来.三、应用新知1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的表达式为y=−125x2,当水位线在AB位置时,水面宽AB=30米,这时水面离桥顶的高度h 是米.2.如图所示，有一建筑物从10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，求水流落地点B离墙的距离OB.3．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．四、当堂达标某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:(1) 建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式；(2) 若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围有多宽.五、补偿提高1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=−14x2+4表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图,已知球在A处出手时离地面209m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?。
13 实际问题与二次函数-拱桥建立坐标系3
课堂检测
1、一自动喷灌设备的喷流情 况如图
C
所示，设水管AB在高出地面1.5米
的B处有一自动旋转的喷水头，水 B
流是抛物线状，喷头B与水流最高
点C连线与水平面成45度角，落点
D到A点的距离。
解：以水管AB所在直线为y轴，以AD所在直线为x轴
建立直角坐标系。则：B(0,1.5)
连接B、C，过点C作CE y轴于点E。
又由题意知CBE=45 ,BE=2米
AE=3.5米 CE=BE=2米
顶点C 2,3.5
设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2 +3.5
B(0,1.5)在抛物线上
1.5=a(0-2)2 +3.5
y
a=-
1 2
y=-
1(x-2)2 2
+3.5
实际问题与二次函数 ---建立合适的坐标系
y
x
o
课前准备
y
y
y
ox
o
x
0
x
1、看图巧识抛物线的解析式，你能说出你的依据吗？
(1) y=ax2 (2)y=a(x-h)2+k (3)y=ax2+k
课前预习
问题一：有一桥洞为抛物线形的拱桥，这个桥洞的
最大高度为16cm，跨度40cm，现在把它的图形放在
25 y 1 (x 20)2 16
25 当x 15时，y 15;当x 25时，y 15. 即：铁柱的高度为15米。
课中研讨
问题二：如图是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱 桥离水面2米，水面宽4米。水面下降1米，水面宽度 增加多少米？
L
思考： 一.①从题目自身条件，你能联想到用 数学知 识来解决？
九年级数学上册《22章二次函数22.3实际问题与二次函数----拱桥问题》优质课教案8
课题：22. 3实际问题与二次函数----拱桥问题教学设计【学习目标】1.学生能够利用二次函数知识解决拱桥问题。
2.让学生根据实际问题构建二次函数模型。
【学习重点】通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是解决实际问题的一重要模型。
【学习难点】灵活建立直角坐标系将拱桥问题转化为二次函数问题。
【学习过程】一、知识回顾：1.抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴时,可设这条抛物线的关系式为_________________.坐标系中的拱桥问题如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距离水面6米（即M0=6米），小孔顶点N距水面45米（即NC=45米）。
当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
三.建立适当坐标系解决拱桥问题图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，，水面宽4m水面下降1m时，水面宽度增加多少?小结：建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤: 1恰当的建立直角坐标系2将已知条件转化为点的坐标3合理的设出所求函数关系式4代入点的坐标，求出关系式5利用关系式求解问题四达标检测1某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物 ，大门底部宽AB=4m 顶部C 离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门’ 若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.2如图，一单杠高2.2 米,两立柱之间的距离为1.6米,将一绳子的两端拴于立柱与铁杠结合处 ，绳子 自然下垂呈抛物线状.B111J* J 車(1)如图(1) 一身高为0.7米的小孩站在离立柱0.4米处,其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地 面的距离； ⑵ 如图(2),为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板.除掉系木板用去的绳 子后,两边的绳子长正好各为 2米,木板与地面平行.求这时木板离地面的距离(参考数据：-1.8, V3T&4 ~ 1.9, ，/4?36 ~ 2.1).3某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.50米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米?4你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线•如图，正在甩绳的甲，乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m，学生丙，丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m , 2.5m处•绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是 1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（）2.5m*4m。
2022年中考数学专题复习：实际问题与二次函数之拱桥问题
2022年中考数学专题复习：实际问题与二次函数之拱桥问题1．嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面OB 长240米．点A 是桥面OB 的中点，钢梁最高点C ，D 离桥面的高度均为30米．以桥面OB 所在的直线为x 轴，过点O 且垂直于OB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求过点O ，C ，A 三点的抛物线表达式．(2)“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为22.5米的拱形钢梁的点E 处（点E 在点C 的左侧），小明从点O 出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点E 正下方的点F 处，则小明通过桥面OB 需多少分钟？2．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．己知两桥塔桥面以上高度12m AD BC ==，间距AB 为40m ，主索最低点为点P ，点P 距离桥面PQ 为2m ．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出主索抛物线的表达式； (2)求吊索EF 的长度．3．如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为8m ，另一边AB 为2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为4.3m，宽为2.4m，问这辆货运车能否在一侧行道内通过该隧道？4．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求(1)大孔抛物线形的解析式；(2)此时大孔的水面宽度EF．5．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m．(1)建立如图的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)一艘货船宽8m，水面两侧高度2m，能否安全通过此桥？6．如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形'OAA B组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-116x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？7．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m 时，水深3m ，当水面上升1m 时，水面宽度为多少米？8．如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为9m ，AB ＝36m ，D ，E 为拱桥底部的两点，DE ∥AB ．(1)以C 为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽略自变量取值范围）(2)若DE ＝48m ，求E 点到直线AB 的距离．9．一座拱型桥，桥下水面宽度AB 是20米，拱高CD 是4米．若水面上升3米至EF ．则水面宽度EF 是多少？（1）如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求EF 的长； （2）如图①，若把桥拱看作是圆的一部分，求EF 的长．10．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m ，宽为4m ，按照如图所示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为 216y x c =-+（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面BC的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?11．如图，在一次足球训练中，球员小王从球门前方10m起脚射门，球的运行路线恰是一条抛物线，当球飞行的水平距离是6m时，球到达最高点，此时球高约3m．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知球门高2.44m，问此球能否射进球门？12．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB 为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？13．有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．（1）直接写出抛物线的顶点坐标；（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？14．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．15．小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为21(30)520y x =--+． （1）直接写出左边抛物线的解析式； （2）求抛物线彩虹桥的总跨度AB 的长；（3）若三条钢梁的顶点M 、E 、N 与原点O 连成的四边形OMEN 是菱形，你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE 的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．16．一隧道内设双行公路，隧道的高MN 为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF 的三条边围成的，矩形的长DE 是8米，宽CD 是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？17．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求此抛物线的解析式；（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF.①如果限定矩形的长CD为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过多少米？①若点E，F都在抛物线上，设L EF DE CF=++，当L的值最大时，求矩形CDEF的高.18．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝1-4x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为2m，到地面OA的距离为5m．(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)该隧道内设双行道，一辆货车高4m，宽2.5m，能否安全通过，为什么？19．利川市南门大桥是上世纪90年代修建的一座石拱桥，其主桥孔的横截面是一条抛物线的一部分，2019年在维修时，施工队测得主桥孔最高点P到水平线OM的高度为30m.宽度OM为60m.如图所示，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系.（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在主桥孔内搭建矩形“脚手架”ABCD ，使A D 、点在抛物线上，B C 、点在水平线OM 上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根钢管、、AB AD DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算.20．某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC ＝6m ，跨度AB ＝20m ，有5根支柱：AG 、MN 、CD 、EF 、BH ，相邻两支柱的距离均为5m ．（1）以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，支柱CD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m ，宽2m ，高3m ，行驶速度为24km /h ，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m 的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？。
22.3.3实际问题与二次函数(3)(拱桥问题)
A
B
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现 测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水 面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处， 涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥顶离
水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽 度为多少？水面宽度增加多少 ?
zxxkw
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点
O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
，
得 y ax2 (a 0)
所以 2.4 a 0.82
因此，函a数 1系45 式是
y 15 x2 4
22.3.3 二次函数与抛物线形问题
---------------拱桥问题
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1、如图，拱桥是抛物线形,其函数解析式 为 y - 1 x2 ，当水位线在AB位置时，水面的 宽度为302米5 ，这时水面离拱桥的高度是多少？
y
9米
x
A
B
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测 得 水 面 宽 1 ． 6m ， 涵 洞 顶 点 O 到 水 面 的 距 离 为 2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线 的函数关系式是什么？
水面宽 2 6 4.9m.
增加（2 6 4）米
y
y
0
X
(1)
y
0
X
0 y
x
(2)
0
X
(3)
(4)
5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物， 如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高 度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过 大 门 ， 货 物 顶 部 距 地 面 2 ． 8m ， 装 货 宽 度 为 2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
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1、复习导入：
课前的导入1）安排了一个讲一讲环节，从基本二次函数图像入手，将它进行翻折，平移。
让学生据图形说出对应函数解析式，并明确当二次函数图像在直角坐标系中，由顶点坐标我们就可先写出对应二次函数解析式。
同一图像，在直角坐标系位置的不同，导致点坐标发生变化，但相关开口大小，点与点距离不发生变化。
本环节既涉及前面知识一个复习，又很好为本节内容做了一个铺垫。
上下翻折，左右移动，请说出它的解析式，及相关性质。
课前的导入2）练一练，安排题目为二次函数图像，及图像上与x轴平行两点线段间距离，及竖直距离。
求解两点的坐标及二次函数解析式。
题目简单，在已知坐标系中，很好地将有关线段转化为坐标系中的点，并让学生明白坐标系中的点求线段长度。
坐标与线段互相转化。
2、新课构建：出示例3图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m . 水面下降1 m，
水面宽度增加多少？
分析问题
（1）拱桥是抛物线图，如何解决此问题，可将拱桥实际问题抽象为二次函数，研究函数要在直角坐标系中，所以首要问题解决建系。
（2）从图像看，可考虑将直角坐标系原点放置于抛物线顶点处，以抛物线对称轴为y轴。
（3）从题目已知实际条件确定相关点坐标。
（4）要我们可用待定系数法并且求出二次函数。
（5）由二次函数图像性质去继续分析解求解相关问题。
板书给出具体解答步骤
本题小结利用二次函数解拱桥问题过程。
（学生做好笔记）
3、探究继续：提出问题，你还能有其他建系的方法吗?请用你的建系方法，解答本题。
（给学生留出充分时间解答）
学生板书解答过程。
4、探究继续：
①展示出多种建系方法
②让学生思考建系可从哪些方面考虑。
1）所建立的坐标系能使求出的二次函数解析式比较简单
2）根据已知点所在位置建立坐标系求函数解析式比较简单
5、练习：两种方法解答，让学生体会比较建系不同解答的效果。
6、本堂小结：
思想方法小结用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用待定系数法求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次函数的性质去分析解决问题。
7、作业：习题22.3第3题
课后反思。