第十章 位移法

r11 8i R1P 3ql 2 / 2 Z1 3ql 2 / 16i
M M1Z1 MP
l
l
l
Z1=1
i
r11
4i M1
r11
i 4i
3i
2i
ql2 / 2
3i
R1P
ql 2
q
Z1 ql 2
ql2 / 2 R1P
MP
ql2 / 2
3 / 16
12/ 16 M
9 / 16 6 / 16
练习2:
3i
6i / l ql / 2
r12 R1P
ql2 / 8
ql2 / 8
r21
r22
4i
R2P
3 ql3 Z1 23 i
7 ql2 Z2 92 i
M M1Z1 M2Z2 MP
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
二.位移法基本概念
解:
三.位移法基本结构与基本未知量
R1=0 R2=0
四.位移法典型方程 五.算例
r11 18i / l 2 R1P 3ql / 8 Z1 ql 3 / 48i
M M1Z1 MP
EI
q
2EI
l
6i/l
12i / l 2
EI
EI1 l
M1
Z1=1
lq ql2 / 8 q
Z1
MP
6i / l 2 r11
3ql / 8 R1 P
练习4:
1)建立位移法基本 体系,列出典型方程
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
作M图，EI=常数 R1=0
P l l
r11Z1 R1P 0 r11 11i
R1P Pl / 2
l/2 l
l l l/2
P/2
Z1 Pl / 22i Z1
M M1Z1 MP
Z1=1 6i 4i i
M1
2i
P/2
P/2 P/2
Pl / 2
MP
练习3:
作M图 R1=0 r11Z1 R1P 0
r11 51i / 8l 2 r12 r21 6i / l 2 r22 30i / l 2
R1P 0 R2P P
8Pl 2 Z1 207i
17Pl 2 Z2 414i
EA
Z1
EI
EI l
EI
P
EI1
EI EI l
P
Z2
l
l
3i / l 3i / l
6i / l
Z1=1
Z2=1
r22
Z1 0.044Pl 2 / i
8i
3i / l
12i / l
3i
4i
3i / l 2
3i
24i / l 2
8i
3i / l
Z2 0.036Pl / i R2P
M M1Z1 M2Z2 MP
12i / l
P
3i/l
Z1
r21
R1
12i/l
12i/l
3i/l
Z1=1 r11
M1
R2P
r12 P
R1P ql 2 / 8 Z1 ql 2 / 80i
M M1Z1 MP
Z1 q
Z1=1
4i
基本体系
r11
R1P
6i
2i M1 q
6i ql2 / 8
ql2 / 8
MP
位移法q求l 2 /解20过q 程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自ql由2 /项40 M 5)解方程 6)作弯矩图
Z2 9ql 3 / 292i
Z2=1 M M1Z1 M2Z2 MP
r22
校核平衡条件
4i / l
r11
4i 3i
r12
27/ 292
27/ 292
M1
3i / l
R2P
2i M2 27/ 292 27/ 146
27/ 146
q
ql2 / 8
ql 22 / 8
q R1P
MP
26/ 73 M 26/ 73 18/ 73 ql2
R1P
M2
MP
r11
3i / l 2
r12
R1P
0.39Pl
0.24Pl
M
0.13Pl
例3.作M图，EI=常数 解:
P l l
R1=0 r11Z1 R1P 0
r11 8i
l
l
Z1=1
i
r11
R1P Pl
4i 3i
M1
2i
Z1 Pl / 8i
M M1Z1 MP
r11 R1P
Pl
3i
i
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
例1.作M图
5EI / 2 EI
Z2
R2
Z1
EI q l
q R1
1.5EI
l q EI
l/2 q
l
l
5EI / 2 EI
l q EI
EI 1.5EI
q
l
l/2 q
l
l
r21
Z1=1 3i
Z2
R2
Z1
q R1
Z2=1 1
r22
M2
3 2i / l
2/2
2/2
MA 0
R1P
r12
A
A
R2P P
P
R2P
Z1 0.013Pl / i
Z2 0.05Pl 2 / i
MP
r22 12i / l 2 P
6i / l
R2P
例5.作M图
解:
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
R2=0
P
P
Z2 4i
r21
l
2 2i
r11Z1 r12Z2 R1P 0
r21Z1 r22Z2 R2P 0
l
r11 (4 2 2 )i
3 2i / l
2i M1
1
=
+
r12 (3 2 6)i / l r12
R1P 0
6i / l
MA 0
r22 (12 6 2 )i / l 2
q
EI=常数
2) 求出典型方程中
系数r14, r32,R4P。
l
l
Z1
q
r11Z1 r12 Z2 r13 Z3 r14 Z4 R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r23 Z3 r24 Z4 R2P 0 r31Z1 r32 Z2 r33 Z3 r34 Z4 R3P 0 r41Z1 r42 Z2 r43 Z3 r44 Z4 R4P 0
例2.作M图
EI
Z2
解:
EI
l
R2
EA
R1=0
P 2EI EI l P
R2=0
l
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 Z2=1
R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r22
r11 30i / l 2 r12 r21 9i / l r21
R1P P
r22 11i
R2P 0
---位移法典型方程
r12
rij (i=j) 主系数>0
Z2
rij (i=j) 副系数
rij = rji 反力互等
刚度系数, 体系常数
RiP 荷载系数
ql
q
ql
q
R2 Z1
R1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
ql r32i2
Z2=1
R1 R2=0 R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
M2
3i / l 3i / 4l
3i / 8l 2
Baidu Nhomakorabea
3i / l 3i / l 2
M1
r11
3i / l 2
P
MP
3i / l 2 3i / l 2
r21
3i / l 2 3i / l 2
r22
12i / l 2 12i / l 2
练习1:
q
作M图，EI=常数
ql2 l
R1=0 r11Z1 R1P 0
三.位移法基本结构与基本未知量
四.位移法典型方程
ql
q
ql
l/2
ql
Z2
q
R2 Z1
R1=0
ql
R1 R2=0
l/2
EI=常数
l
四.位移法典型方程
ql
q
ql
l/2
ql
l/2
EI=常数
l
r21
Z1=1
r11
Z1
q
R2P
ql
ql
R1P
q
ql
r22
R2 Z1 R1
R1=0 R2=0
Z2=1
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念 三.位移法基本结构与基本未知量 四.位移法典型方程 五.算例
r11 15i / l 2 r12 6i / l
6i / l
r11
4i
r12
R1P 3ql / 2 r21 6i / l
r22 7i
R2P ql 2 / 4
3i / l
ql
Z1
M1
q ql2 / 8
R2P
ql
R1P
ql2 / 8
MP
ql
M2
2i Z2
6i / l
3i / l 2
r11
12i / l 2
Z2=1 r22
r11 34i / 3l 2 r12 4i / l R1P 3ql 2 / 4 r21 4i / l r22 10i
4i / l
r11
4i 3i
r12 R2P 0 Z1 45ql 2 / 584i
3i / l R2P
q
ql2 / 8
M1
2i M2
ql2 / 8
q R1P
解:
R1=0
r11Z1+R1C=0
r11 8i R1c 3i / l Z1 3 / 8l
Z1
l
l 4i
l Z1=1 3i
i
M1
2i
R1C
3i / 2l
3i l
MC
M M1Z1 Mc
由结果可见：支座移动引起的位移与 EI大小无关，内力与EI大小有关
15i / 8l M
3i / 8l 3i / 4l
3Pl/16 3i/l
MP
Z1---位移法
EA Z1=1
5P/16
R1P 基本未知量
r11
r11 6i / l 2
r 3i / l 2 11
3i / l 2 R1P 5P / 16
M1
Z1
Z1 5Pl 2 / 96i
3i/l
M M1Z1 MP
Z1
q
EI
EI
Z1 q
Z1
=
Z1
=
Z1=1
l l
Z2
Z3
Z4
2) 求出典型方程中
Z2
系数r14, r32,R4P。
Z1
q
r14=-3i/l
r14 3i/l 3i/l
6i/l
Z4=1 6i/l
M4
Z2=1 r32 r32= 2i q
3i 3i 4i
2i 6i/l
ql2 / 12
M2
Z3 Z4
R4P
MP
R4P= -ql/2
例6.作M图，
EI=常数
4i
P Z1 R1
Pl
P
R1P
MP
pl P
pl / 8 pl / 2 M
3 pl / 8 pl / 4
例4.作M图，EI=常数
解:
R1=0 R2=0
l
l
P
P
P
l
l
r11Z1 r12Z2 R1P 0
ll
l
r21Z1 r22Z2 R2P 0 Z1
P
Z2
2i
解:
Z1=1 Z1
R1=0
l
r11
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移.
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
+
MP
Z1=1
r11
3i
位移法求解过程:
3i
M1
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
Z1
q
+
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql2 / 8
R1P
q
MP
Z1=1
r11
3i
3i
M1
----刚臂,限制转动的约束
R1=0
r R1= 11 Z1+ R1P =0
r11
3i
R1P
r11=6i
3i R1P ql 2 / 8
ql 2 Z1 ql 2 / 48i
8 M M1Z1 MP
ql2 / 16
r11
16i / 3l 2 3i / l 2 3i / l 2
r12
4i / l
MP
R1P
3ql 2 / 8 3ql 2 / 8
Z2 9ql 3 / 292i r22
3i R2P
3i 4i r21
4i / l
5EI / 2 EI
l q EI
EI 1.5EI
q
l
l/2
l
l
r21
Z1=1 3i
Z1 45ql 2 / 584i
第十章 位移法 (Displacement Method)
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
练习: 作M图
----刚臂,限制转动的约束
R1=0
r R1= 11 Z1+ R1P =0
r11
3i
R1P
r11=6i
3i R1P ql 2 / 8
ql 2 Z1 ql 2 / 48i
8 M M1Z1 MP
ql 2 / 16
? Z1
M
q
2EI
EI
l
l
q
2EI
EI
l
l
R1=0
r11 Z1+ R1P =0 4i r11=10i
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
基本未知量为所有刚结点的转角
基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1
Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定举例
练习
练习
EI
练习
2EI EI
EI
练习
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
二.位移法基本概念
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
二.位移法基本概念
l/2 P
l/2
EA Z1
EI EI
内力计算的关键是 求结点位移Z1
Z1
Z1=1
Z1
Z1
P
=
Z1
=P
EA Z1
l/2P EI EI
P
l/2
M 5Pl / 32
Z1
R1 位移法
基本体系
11Pl / 32
EA
R1=0
位移法方程
P
R1P
r R1= 11 Z1+ R1P =0