第十章 位移法
位移法
第九章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1 1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念；跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程；位移法基本未知量和位移法基本结构的确定；用位移法计算刚架和排架；利用对称性简化位移法计算；直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
内容提要1. 位移法的未知数位移法的未知数是独立的结点角位移与结点线位移。
结点角位移是结点的转角，一个刚结点就有一个结点角位移，结构结点角位移个数就是刚结点个数。
当考虑杆件的轴向变形时，每个结点有两个线位移：水平线位移u，竖向线位移v。
当不考虑杆件的轴向变形时，结点线位移的确定方法是：将结构所有的结点换成铰结点，增加最小数量的链杆约束结点位移使其成为几何不变体系，增加的链杆数就是结构的结点线位移。
在位移法中，未知数（结点角位移与结点线位移）一般统一用符号Z表示。
对于结点位移的正方向，一般规定：结点角位移规定以顺时针方向转为正，水平结点线位移以向右移动为正，竖向结点线位移以向下移动为正。
2.求解步骤：(1) 确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。
(2)令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。
(3)绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。
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位移法是解决超静定结构最基本的计算方法，计算时与结构超静定次数关系不大，相较于力法及力矩分配法，其计算过程更加简单，计算结果更加精确，应用的范围也更加广泛，以下是小编为您整理的工程力学位移法课件相关资料，欢迎阅读！
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位移法是结构力学中计算超静定结构（当然它还可用来计算静定结构）的另一种非常典型的方法，它是力矩分配法、分层法、反弯点法、D值法等渐进方法（专业课中使用较多）的基础，也是矩阵位移法、有限单元法的基础，也是结构力学的精华和难点所在。
与力法的'序言中所述的相同，首先必须仔细琢磨、深刻理解位移法的基本思想。
本章基本要求：
熟练掌握：位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
（重点难点）
掌握利用对称性简化结构；掌握荷载作用下超静定结构的计算；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力。
熟记一些常用的形常数和载常数。
会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力。
位移法PPT演示课件
基本要求：
掌握掌握位移法基本结构的确定， 位移法典型方程的建立，方程中的系数和 自由项的计算，最后弯矩图的绘制。 熟练掌握用位移法计算超静定梁、刚架和 排架问题。 重点掌握荷载作用下的超静定结构计算 掌握剪力图和轴力图的绘制、利用对称性 简化计算。 了解温度改变、支座移动下的超静定结构 计算。
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
d 11
1 EI
l2 2
2l 3
l3 3 EI
D 1P
1 EI
1 3
ql 2 2
l
3l 4
M图
m ql2
AB
8
m 0 BA
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。
单跨超静定梁简图
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
mAB
ql2 12
mBA
ql 2 12
A
P
Pl
B
8
Pl 8
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
ql 2
8
0
P
A
B
3Pl
0
l/2
l/2
16
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
ql 4 8 EI
X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8
《结构力学》第十章矩阵位移法
《结构力学》第十章矩阵位移法矩阵位移法是结构力学中的一种重要分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
本文将分为四个部分来介绍矩阵位移法的基本原理和应用。
第一部分将介绍矩阵位移法的基本原理。
矩阵位移法基于结构的受力平衡方程和变形条件，建立了适用于不同类型结构的一般形式的位移函数。
通过对这些位移函数进行适当组合，可以得到一个较为简化的位移矩阵方程。
这个方程可以通过矩阵运算求解，从而得到结构的位移和应力分布。
第二部分将介绍矩阵位移法的应用。
矩阵位移法可以用于求解各种类型的结构，包括梁、柱、框架等。
具体应用时，首先需要确定结构的边界条件和受力情况，然后根据结构的几何形状和材料性质，建立相应的位移函数。
之后，将位移函数按照一定的规则组合起来，建立一个位移矩阵方程。
通过解这个方程，可以得到结构的位移和应力分布。
第三部分将介绍矩阵位移法的优点。
相比于传统的力方法，矩阵位移法具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点。
这是因为矩阵位移法可以通过矩阵运算将结构的受力分析转化为代数运算，减少了繁琐的计算过程，并且可以应用于各种不规则结构。
第四部分将介绍矩阵位移法的局限性。
矩阵位移法虽然具有很多优点，但也有一些限制。
首先，矩阵位移法对结构的刚度矩阵的求取较为复杂，需要通过精确和谐振数法等途径进行求解。
其次，矩阵位移法不能用于解决非线性和动力问题。
总结起来，矩阵位移法是一种重要的结构力学分析方法，通过将结构的受力分析转化为矩阵运算，可以有效地求解复杂结构的位移和应力分布。
它具有计算简单、准确性高、适用范围广等优点，但也有一些局限性。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，矩阵位移法的进一步研究和发展也是一个非常重要的方向。
位移法的知识点总结
位移法的知识点总结一、基本原理1. 位移法的基本原理位移法是以位移为基本变量进行分析的一种结构分析方法。
它的基本原理是根据结构受力状态和边界条件，通过对结构各部分的变形进行分析，推导出结构的位移场。
根据结构力学的基本原理，结构的受力和变形是密切相关的，因此通过分析结构的位移场，可以获得结构的受力分布和变形情况，为结构的设计和分析提供重要参考。
2. 位移的重要性在结构力学中，位移是描述结构变形的基本形式之一，它直接反映了结构受力的情况。
在进行结构分析时，通常可以通过计算结构的位移场来获得结构的受力分布和变形情况。
因此，位移是结构分析的重要变量，在位移法中被广泛应用。
3. 位移法的实质位移法的实质是通过假设结构各部分的变形是线性的，即受到外力作用后，结构的变形与受力成线性关系。
这一假设是位移法能够简化结构分析的基础，使得结构分析更加方便和实用。
二、应用范围1. 适用范围位移法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、板、桁架、壳体等。
它可以用于解决结构在受力作用下的位移和变形问题，对于复杂结构的受力分析和设计具有广泛的适用性。
2. 适用条件位移法的应用条件包括结构受力状态和边界条件的明确，结构各部分的变形可线性假设，结构受力和变形之间存在较强的相关性等。
在满足这些条件的情况下，位移法可以有效地用于解决各种结构受力和变形问题。
三、操作步骤1. 结构建模首先需要对结构进行建模，确定结构的几何形状、受力条件和边界条件等。
通过建模可以获得结构的刚度矩阵和载荷向量，为后续的分析提供基础数据。
2. 变形分析根据结构的刚度矩阵和载荷向量，可以建立结构的位移方程。
通过对位移方程进行分析，可以获得结构的位移场，揭示结构受力和变形的关系。
3. 反演求解根据结构的位移场，可以反演求解结构的受力分布和变形情况。
通过求解可以获得结构各部分的受力情况，评估结构的受力状况和安全性。
4. 结果分析最后需要对求解结果进行分析，评估结构的受力和变形情况。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第10章 矩阵位移法【圣才出品】
二、单元刚度矩阵（见表 10-1-2） ★★★★★ 表 10-1-2 单元刚度矩阵
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三、单元刚度矩阵的坐标转换（见表 10-1-3） ★★★★★ 表 10-1-3 单元刚度矩阵的坐标转换
6．结构的总刚度方程的物理意义是什么？总刚度矩阵的形成有何规律？其每一程的物理意义：尚未进行支承条件处理的表示所有结点外力与 结点位移之间的关系的平衡方程。
（2）总刚矩阵的形成规律：把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码逐一
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台
4．为何用矩阵位移法分析时，要建立两种坐标系？
答：在利用矩阵位移法分析结构的时候，要进行单元分析和整体分析，单元分析是为
了建立每个单元的单元刚度矩阵，整体分析是为了建立整体结构的刚度方程。在单元分析
的过程中，以各单元的轴线为局部坐标系的 x 轴，以垂直轴线的方向为局部坐标系的 y 轴，
台
送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上去，就可得到结构原始刚度矩阵，即各单
刚子块“对号入座”形成总刚。
（3）每一元素的物理意义：当其所在列对应的结点位移分量等于 1（其余各结点位移
分量均为零）时，所引起的其所在行对应的结点外力分量的数值。例如 Kij 表示第 j 号位置
3．矩阵位移法中，杆端力、杆端位移和结点力、结点位移的正负号是如何规定的？ 答：杆端力沿局部坐标系的、的正方向为正，杆端弯矩逆时针为正；杆端位移的正负 号规定同杆端力和弯矩。结点力沿整体坐标系 x、y 的正方向为正，结点力偶逆时针为正； 结点位移的正负号规定同结点力和力偶。
(完整)结构力学(二) 教案
第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。
它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。
1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。
为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。
只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。
(a)(b)2。
结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。
对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。
结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。
矩阵位移法
⎤ ⎧δ1② ⎫ k ⎥⎨ ②⎬ k ⎦ ⎩δ 2 ⎭
② 12 ② 22
② ⎡ k11 =⎢ ② ⎣ k21 ② k12 ⎤ ②⎥ k22 ⎦
k①
① ⎡ k22 =⎢ ① ⎣ k32
① k23 ⎤ ①⎥ k33 ⎦
k②
23 / 42
第十章 矩阵位移法
② ② F1 = k11 Δ1 + k12 Δ 2 ② ① ② ① F2 = k21 Δ1 + (k22 + k22 )Δ 2 + k23 Δ 3 ① ① F3 = k32 Δ 2 + k33 Δ 3
e Nj
F = − F sinα + F cosα
e xi e yi
M ie
e
i
Me j
M ie = M ie
F
e xi
e FNi M ie e FSi
y x
e ⎧ FNi ⎫ ⎡ cosα ⎪ e⎪ ⎢ e Fi = ⎨ FSi ⎬ = ⎢ −sinα ⎪M e ⎪ ⎢ 0 ⎩ i⎭ ⎣
sinα cosα 0
10 / 42
第十章 矩阵位移法
廏鞾條栒厱冟剶异昕穧 局部坐标系下平面杆单元分析
y
i
EA
e
j
x
u je
单元方向： i → j
⎧uie ⎫ ⎪ ⎪ δ e = ⎨ e⎬ 杆端位移： ⎪u j ⎪ ⎩ ⎭
uie
e FNi
i
EA
e
j Fe Nj
F
F
e Ni
EA EA e = ⋅ ui − ⋅ u je l l
矩阵位移法与矩阵力法之不同就在于选取 的基本未知量不同，因此计算次序不同
第十章 矩阵位移法
4、单位矩阵
单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 I = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
5、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若 此处 A-1 则 AB = C 称为矩阵 A 的逆矩阵。
-
12EI l3 6 EI - 2 l 0 12EI l3 6 EI - 2 l
为了程序的标 准化和通用性， 不采用特殊单 元，只用一般 单元，如果结 构有特殊单元， 可以通过程序 由一般单元来 形成.
4 EI M ie l = 2 EI M e j l
第10章 矩阵位移法
任 务
单元 分析 整体 分析
建立杆端力与杆端位
意 义
用矩阵形式表示
移间的刚度方程，形
成单元刚度矩阵 由变形条件和平衡条 件建立结点力与结点 位移间的刚度方程， 形成整体刚度矩阵
杆件的转角位移
方程 用矩阵形式表示 位移法基本方程
平面结构一般单元：
指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件 两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。
e
1
1
v1 = 0
e
2
2
一个或几个已
知为零，则该 单元称为特殊 单元，其刚度 方程是一般单 元刚度方程的 特例。
0 12EI l3 6 EI l2 0 12EI l3 6 EI l2
u2 = 0 v2 = 0
0 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l u1 v1 1 u 2 v2 2
结构力学：第十章 矩阵位移法
§10-2 单元刚度矩阵
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
Fxei 0 Fxej 0
EA
l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA l 0
EA
l 0
{δe} uie
vie
u
e j
v
e j
T
{Fe} Fxei
0
Fxej
Fxei
Hale Waihona Puke FyeiMe i
=
Fxej
Fyej
M
e j
EA l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
00
u
e i
12 l
EI
3
6EI l2
6EI
l2
2EI
6EI l2
2
F62
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23
6EI l2
3
F53
F33
4EI l
3
F63
2EI l
3
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14
EA l
4
F44
EA l
4
F35
6EI l2
5
F65
F55
12EI l3
5
F25
位移法
4iI D i
4m
D MP
5）解方程，求基本未知量；
D101iD11.152i/Di 2 1.7 0 D2i2D1 49.i8D92/i 41.7 0
3i
2i
A 3i B 4i
C
40 4210.k7N/m 41.7
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓1↓5↓k↓N↓/↓m28
16 4
15 2
448k2N7k
N
2
27 QBC
30 4
42864.531.51k6N.5
QB∑A Y==20278+46146.5+11526.45－ 1353×kN4－48
33 B 31.5
NAB
∑X=0 ∑Y=0
0 0
NBD NAB=0 NBD=－64.5
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
d 11
1 EI
l2 2
2l 3
l3 3 EI
D 1P
1 EI
1 3
ql 2 2
l
3l 4
ql 4 8 EI
X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 分别绘在结上，如图b 所示。
图17-12 返回 下一张 上一张 小结
• 第六节 矩阵位移法解题步骤
• 具体步骤如下：
• 1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。 • 2）选择结构坐标系及局部坐标系。 • 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e
j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• 2）在 B、C 两点没有附加约束的情况
• 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
• 大小相等方向相反的力和力矩，如图
• 7-10（c）所示。
• 3） （a）=（b）+（c）
• 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
• 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
• 和，但方向相反。
•
图7-10
返回 下一张 上一张 小结
x
位移法_图文19页PPT
位有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
位移法
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
M AB 4i A 2i B 6i l (1) M BA 2i A 4i B 6i l
QAB
EI l
QBA
F mBA
ql 2 8
» 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角 位移方程）： 6i F M AB 4i A 2i B mAB
M BA
QAB
l 6i F 2i A 4i B mBA l
6i 6i 12i A B 2 QAB l l l
5
B M图
4i
θA=1
A
l
EI
B
M AB 3i
A 3i M图
2019/3/21
Q AB 3i / l QBA 3i / l
B
A 3i/l
Q图
B 3i/B △=1
M AB 3i / l
Q AB 3i / l 2 QBA 3i / l 2
3i/l A M图
2019/3/21
F QAB P/2 F QBA P / 2
B
M图
A Q图
B
P/2
2019/3/21 9
q A l/2 l/2 B
F M AB ql 2 /12 F M BA ql 2 /12
F QAB ql / 2 F QBA ql / 2
ql2/12
A M图
ql2/12 B
ql/2 A Q图 B ql/2
MBA
第十章 位移法-PPT精品文档
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
6i / l ql / 2
ql 2 / 8
R1P
ql 2 / 8
r21
r22
4i
R2P
Z1
3 23
ql3 i
7 ql2 Z2 92 i
M M1Z1 M2Z2 MP
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
二.位移法基本概念
解:
三.位移法基本结构与基本未知量
R1=0 R2=0
四.位移法典型方程 五.算例
r1115i/l2 r126i/l
r11
6i / l
4i
r12
R1P3q/l2r216i/l
r22 7i
R2P ql2/4
3i / l
ql
Z1
M2
2i Z2
M1
qql 2 / 8
R2P
6i / l
3i / l2
r11
12i / l2
3i
ql
R1P
r12
MP
ql 2 / 8
ql
第十章 位移法 (Displacement Method)
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
位移法基本概念
[举例] 例题9
C
基本概念
D
CH
C
DH D
A
B
BH
解：θC与θD是两个独立角位移，ΔCH=ΔDH=Δ1为C、D结点 的 侧移，另结点B也有水平位移ΔBH ，也是独立的位移变量。 所以，结构有四个位移法变量：θC 、θD 、Δ1 、ΔBH 。
[举例] 例题10
1.位移的种类 1）角位移 2）线位移 3）杆端相对侧移
基本概念
C B
BH
CH
B
A
图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同时 ，结点B还要产生转角。 在位移法中，以杆件为基本研究对象，位移变量取在杆端。
1） 角位移：θB ，C端虽然有转角，但不作为位移法变量。 角位移通常是刚结点的转角。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改的方法
基本思路
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂的作用只是阻止结点B的转动， 各杆的弯矩不能互相传递。
2)求杆端弯矩。由于各杆的弯矩不能互相 传递。所以AB杆与BC杆的弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支的超静定杆；而AB杆
A
B
AB
B
AB
A
A
A B
A
B
A B
B
基本概念
3.位移法基本结构与未知量的确定 ①基本假设------弹性小变形 * 受弯杆件受弯后，不改变杆件的长度。
A
B
*杆端侧移的方向垂直于杆轴线。
A
B A
B
基本概念
*忽略轴向变形与剪切变形。 其实，以上假设与力法中是相同的。
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R1=0
r11Z1+R1C=0
r11 8i R1c 3i / l Z1 3 / 8l
Z1
l
l 4i
l Z1=1 3i
i
M1
2i
R1C
3i / 2l
3i l
MC
M M1Z1 Mc
由结果可见：支座移动引起的位移与 EI大小无关，内力与EI大小有关
15i / 8l M
3i / 8l 3i / 4l
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
基本未知量为所有刚结点的转角
基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1
Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定举例
练习
练习
EI
练习
2EI EI
EI
练习
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
二.位移法基本概念
r22
Z1 0.044Pl 2 / i
8i
3i / l
12i / l
3i
4i
3i / l 2
3i
24i / l 2
8i
3i / l
Z2 0.036Pl / i R2P
M M1Z1 M2Z2 MP
12i / l
P
3i/l
Z1
r21
R1
12i/l
12i/l
3i/l
Z1=1 r11
M1
R2P
r12 P
Z2=1 r22
r11 34i / 3l 2 r12 4i / l R1P 3ql 2 / 4 r21 4i / l r22 10i
4i / l
r11
4i 3i
r12 R2P 0 Z1 45ql 2 / 584i
3i / l R2P
q
ql2 / 8
M1
2i M2
ql2 / 8
q R1P
r11 15i / l 2 r12 6i / l
6i / l
r11
4i
r12
R1P 3ql / 2 r21 6i / l
r22 7i
R2P ql 2 / 4
3i / l
ql
Z1
M1
q ql2 / 8
R2P
ql
R1P
ql2 / 8
MP
ql
M2
2i Z2
6i / l
3i / l 2
r11
12i / l 2
第十章 位移法 (Displacement Method)
位移法是计算超静定 结构的基本方法之一.
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
例1.作M图
5EI / 2 EI
Z2
R2
Z1
EI q l
q R1
1.5EI
l q EI
l/2 q
l
l
5EI / 2 EI
l q EI
EI 1.5EI
q
l
l/2 q
l
l
r21
Z1=1 3i
Z2
R2
Z1
q R1
4i
P Z1 R1
Pl
P
R1P
MP
pl P
pl / 8 pl / 2 M
3 pl / 8 pl / 4
例4.作M图，EI=常数
解:
R1=0 R2=0
l
l
P
P
P
l
l
r11Z1 r12Z2 R1P 0
ll
l
r21Z1 r22Z2 R2P 0 Z1
P
Z2
2i
解:
Z1=1 Z1
R1=0
l
r11
r11 18i / l 2 R1P 3ql / 8 Z1 ql 3 / 48i
M M1Z1 MP
EI
q
2EI
l
6i/l
12i / l 2
EI
EI1 l
M1
Z1=1
lq ql2 / 8 q
Z1
MP
6i / l 2 r11
3ql / 8 R1 P
练习4:
1)建立位移法基本 体系,列出典型方程
R2=0
P
P
Z2 4i
r21
l
2 2i
r11Z1 r12Z2 R1P 0
r21Z1 r22Z2 R2P 0
l
r11 (4 2 2 )i
3 2i / l
2i M1
1
=
+
r12 (3 2 6)i / l r12
R1P 0
6i / l
MA 0
r22 (12 6 2 )i / l 2
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
q
+
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql2 / 8
R1P
q
MP
Z1=1
r11
3i
3i
M1
----刚臂,限制转动的约束
R1=0
r R1= 11 Z1+ R1P =0
r11
3i
R1P
r11=6i
3i R1P ql 2 / 8
ql 2 Z1 ql 2 / 48i
8Байду номын сангаасM M1Z1 MP
ql2 / 16
作M图，EI=常数 R1=0
P l l
r11Z1 R1P 0 r11 11i
R1P Pl / 2
l/2 l
l l l/2
P/2
Z1 Pl / 22i Z1
M M1Z1 MP
Z1=1 6i 4i i
M1
2i
P/2
P/2 P/2
Pl / 2
MP
练习3:
作M图 R1=0 r11Z1 R1P 0
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移.
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
+
MP
Z1=1
r11
3i
位移法求解过程:
3i
M1
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
---位移法典型方程
r12
rij (i=j) 主系数>0
Z2
rij (i=j) 副系数
rij = rji 反力互等
刚度系数, 体系常数
RiP 荷载系数
ql
q
ql
q
R2 Z1
R1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
ql r32i2
Z2=1
R1 R2=0 R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
例2.作M图
EI
Z2
解:
EI
l
R2
EA
R1=0
P 2EI EI l P
R2=0
l
R1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 Z2=1
R2 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r22
r11 30i / l 2 r12 r21 9i / l r21
R1P P
r22 11i
R2P 0
M2
3i / l 3i / 4l
3i / 8l 2
3i / l 3i / l 2
M1
r11
3i / l 2
P
MP
3i / l 2 3i / l 2
r21
3i / l 2 3i / l 2
r22
12i / l 2 12i / l 2
练习1:
q
作M图，EI=常数
ql2 l
R1=0 r11Z1 R1P 0
Z2=1 1
r22
M2
3 2i / l
2/2
2/2
MA 0
R1P
r12
A
A
R2P P
P
R2P
Z1 0.013Pl / i
Z2 0.05Pl 2 / i
MP
r22 12i / l 2 P
6i / l
R2P
例5.作M图
解:
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r11
16i / 3l 2 3i / l 2 3i / l 2
r12
4i / l
MP
R1P
3ql 2 / 8 3ql 2 / 8
Z2 9ql 3 / 292i r22