最新二项分布的可加性与泊松分布的例题
医学统计学 4二项分布于泊松分布
n (1 )
n
(1 )
n
π常未知，用p作为π的估计值
二项分布的图形
n=7, π=0.2
n=7, π=0.5
n=25, π=0.2
二项分布的性质二
当π=0.5时，二项分布呈对称状态 ; 当n足够大，且π不太靠近0或1时，二项分
布逼近正态分布； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而
医学中Poisson分布
研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布
放射性物质在单位时间内放射出质点 数的分布
在单位空间中某些野生动物或昆虫数 的分布
在一定人群中某种低患病率的非传染 性疾病患病数或死亡数分布
C5X 0.4 X 0.65 X
本例的实验有以下三个特点： 每次摸球是彼此独立的 每次摸球只有两种可能的结果 每次摸球出现某种结果的概率不变
满足上述三个条件的随机试验称为Bernoulli试验。 本例进行了5次Bernoulli试验。
在n次Bernoulli试验中，事件A出现的概率为π， 设x为事件A出现的次数，则x是一个离散型随机变 量，它服从二项分布，记为B(n, π ),其概率函数
概率函数P(X=k)= ke
k!
k=0, 1, 2, …
P(X=k)>0，且
P(x k) ke 1
k0
k0 k!
poisson分布的性质
数学期望E（X）=方差D（X）=λ； 当λ足够大（如λ≥20）时，Poisson分布逼近 于正态分布； 如果相互独立的m个随机变量都服从Poisson分 布，则它们之和仍服从Poisson分布，且其均数 为k个随机变量的均数之和，这一性质称为 Poisson分布的可加性。
统计学：二项分布与泊松分布
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4.二项分布的数字特征
① 这里的数字特征主要指总体均数、方差、 标准差等参数。
② 随机变量X的数学期望 E（X）＝μ。 ③ 即指总体均数。μ＝nπ
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随机变量X的方差及标准差
③ 随机变量X的方差 D（X）＝σ2 ④ 随机变量X的标差为:
2 n(1)
医学本科生用
医学统计学
主讲 程 琮
泰山医学院预防医学教研室 zcheng@
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The teaching plan for medical students
MEDICAL STATISTICS
Professor Cheng Cong
Dept. of Preventive Medicine Taishan Medical College
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2. 则X的概率函数为：
P n(X )C n X X(1)n X
X=0,1,2,…,n
(7.1)
式中：0<π<1，C
X n
为组合数，公式（7.1）称随机变量X
服从参数为n,π的二项分布，则记为X～B(n,π)。
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情形一：治疗20例病人的疗效分析
（1）建立检验假设 H0：π＝π0＝0.80；H1: π＞ π0 ＝0.80 单侧α＝0.05
（2）计算概率值 根据二项分布有：
P ( X 1 ) P ( 1 9 ) P ( 2 9 ) C 2 1 0 ( 0 . 8 0 9 ) 1 ( 0 . 2 9 0 ) 1 C 0 2 2 ( 0 . 8 0 0 ) 2 ( 0 . 2 0 0 ) 00
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
最新二项分布及泊松分布PPT文档42页
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
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方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
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应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
2-4 二项分布与泊松分布
1 P( A1 ) = P( X = 1) = C 3 (0.08) (0.92) 2 = 0.2031
P( A2 ) = P( X = 2) = C (0.08) (0.92)
2 3 2
=0.0177
Pn (k > 10) =
K =11
∑C
p q
k
n−k
比较大时,计算很繁琐 当n比较大时 计算很繁琐 比较大时
(金融保险 金融保险) 金融保险 根据生命表知道， 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险， 人的概率。 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。 分析： 解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 人中死亡的人数， X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算 { X ≤ 60 } 。 需要计算P P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] □
0.2031× 0.8 + 0.0177× 0.3 = = 0.7582 0.2031+ 0.0177+ 0.0005
其中显然有 P(C|A3)=0
P( A3 ) = P( X = 3) = C (0.08) (0.92)
3 3 3
0
=0.0005
设 C 表示“可以保证灌溉”, 表示“可以保证灌溉” 则由全概率公式
P (C ) =
3
∑ P ( A ) P (C | A )
i=0 i i
= 1 × 0.7787 + 0.8 × 0.2031 + 0.3 × 0.0177 + 0 × 0.0005
二项分布及泊松分布
X可取值0,1,2,3,4.
P{X k}C4k pk(1 p)4k, k0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率函数是：
P{
X
k}C3k
(
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个
二项分布
例5 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修工人 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问:
(1)若只配备一名工人，则设备发生故 障而不能及时维修的概率是多少？
(2)若配备两名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
互逆的结果：A或 A ， 或者形象地把两个互
逆结果叫做“成功”和“失败”. 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率
都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利 试验，简称贝努利试验或贝努利概型.
用X表示n重贝努利试验中事件A（成功） 出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证： （1）P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
当n=1时，
(3)此人多数会愤然离去的概率。
P(Y 5) 1 P(Y 5)
概率论三大分布例题
概率论三大分布例题概率论中，三大分布是指二项分布、泊松分布和正态分布。
这三种分布在实际应用中非常常见，下面我们来看看它们的例题。
1. 二项分布例题某工厂生产的产品中有 5% 是次品。
现在从这个工厂中随机抽取20 个产品，求其中恰好有 2 个次品的概率。
解：由于每个产品的质量独立，且每个产品有 5% 的概率是次品，因此该问题可以用二项分布来描述。
设 p 为每个产品是次品的概率，则有：P(恰好有 2 个次品) = C(20,2) * (0.05)^2 * (0.95)^18 其中，C(20,2) 表示从 20 个产品中选择 2 个的组合数。
计算可得：P(恰好有 2 个次品) ≈ 0.285因此，从这个工厂中随机抽取 20 个产品，恰好有 2 个次品的概率约为 0.285。
2. 泊松分布例题某地区每天平均发生 3 起交通事故，求该地区某天发生 5 起交通事故的概率。
解：由于交通事故的发生属于独立事件，且在单位时间内发生的次数符合泊松分布，因此该问题可以用泊松分布来描述。
设λ为每天发生交通事故的平均次数，则有：P(某天发生 5 起交通事故) = (e^-3 * 3^5) / 5!其中，e 表示自然对数的底数。
计算可得：P(某天发生 5 起交通事故) ≈ 0.1008因此，该地区某天发生 5 起交通事故的概率约为 0.1008。
3. 正态分布例题某次考试的总分数满分为 100 分，平均分数为 70 分，标准差为 10 分。
求得分在 60 分以上的考生所占的比例。
解：由于考试总分数满分为 100 分，平均分数为 70 分，标准差为 10 分，因此考试成绩近似服从正态分布。
设 X 为考试成绩，则有：P(X > 60) = P(Z > (60-70)/10) （其中 Z 表示标准正态分布）根据标准正态分布表可得：P(Z > -1) = 0.8413因此，得分在 60 分以上的考生所占的比例约为 0.8413。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在实际问题中的应用非常广泛，本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数X服从的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
二项分布的期望和方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用二项分布来描述产品合格率；在医学研究中，可以用二项分布来描述治疗成功率；在市场调研中，可以用二项分布来描述产品销售成功率等。
二、泊松分布泊松分布是指在一定时间或空间范围内，事件发生的次数X服从的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间或单位空间范围内事件的平均发生率。
泊松分布的期望和方差均为λ。
泊松分布的应用也非常广泛，例如在电话交换机中，可以用泊松分布来描述单位时间内电话呼叫的次数；在交通流量研究中，可以用泊松分布来描述单位时间内车辆通过的次数；在自然灾害研究中，可以用泊松分布来描述单位时间内地震发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的关系当n趋向于无穷大，p趋向于0，且np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
这是因为在这种情况下，二项分布的期望和方差均趋于λ，与泊松分布的期望和方差相等。
四、二项分布与泊松分布的应用举例1. 二项分布的应用举例：某工厂生产的产品合格率为0.95，每天生产100个产品。
求当天有90个产品合格的概率。
解：根据二项分布的概率质量函数，代入n=100，p=0.95，k=90，计算得到P(X=90)≈0.021。
2. 泊松分布的应用举例：某地区每小时平均发生3次交通事故。
泊松定理的典型例题
泊松定理的典型例题泊松定理是概率论中的一项重要定理，用于近似计算二项分布的概率。
下面是一个典型的例题，我们将从多个角度进行分析和回答。
假设某个事件发生的概率是0.1，并且我们进行了100次独立的重复试验。
现在我们想要计算恰好发生10次的概率。
从概率的角度来看，我们可以使用二项分布来描述这个问题。
二项分布是一种离散概率分布，用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功事件发生的次数。
在这个例题中，每次试验成功的概率为0.1，失败的概率为0.9。
我们可以使用二项分布的概率质量函数来计算恰好发生10次的概率。
从计算的角度来看，如果我们直接使用二项分布的概率质量函数进行计算，可能会涉及到大量的计算工作。
但是根据泊松定理，当试验次数很大，而每次试验成功的概率很小的时候，二项分布可以近似为泊松分布。
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一段固定时间或空间内事件发生的次数。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
在这个例题中，我们可以使用泊松定理来近似计算恰好发生10次的概率。
根据泊松分布的定义，λ的值等于试验次数乘以每次试验成功的概率。
因此，λ = 100 0.1 = 10。
我们可以使用泊松分布的概率质量函数来计算恰好发生10次的概率。
从实际应用的角度来看，泊松定理在很多领域都有广泛的应用。
例如，在排队论中，可以使用泊松过程来描述到达某个系统的请求的频率。
在信号处理中，泊松过程也被用于模拟随机事件的发生。
总结起来，泊松定理是概率论中的一项重要定理，用于近似计算二项分布的概率。
在计算恰好发生10次的概率时，我们可以使用二项分布的概率质量函数或者使用泊松定理来进行近似计算。
泊松定理在概率计算和实际应用中都有重要的作用。
二项分布近似泊松分布例题
二项分布近似泊松分布例题摘要：1.二项分布与泊松分布的定义与关系2.二项分布近似泊松分布的例题3.例题的解答过程正文：一、二项分布与泊松分布的定义与关系二项分布和泊松分布都是概率论中常见的离散型概率分布，它们有着密切的联系。
二项分布是指在n 次独立的伯努利试验中，成功的次数（0 或1）的概率分布。
其概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k) 是组合数，即从n 个不同的项中选取k 个的组合方式的数量，计算公式为：C(n, k) = n! / [(n-k)! * k!]，p 是每次试验成功的概率，k 是成功的次数。
泊松分布是指在固定时间或空间区间内，事件发生的次数的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，λ是事件的平均发生率，k 是事件发生的次数。
二项分布在n 较大、p 较小时，可以近似为泊松分布。
这是因为当n 较大、p 较小时，二项分布的概率质量函数值会变得非常小，难以计算。
此时，我们可以使用泊松分布来近似代替二项分布。
二、二项分布近似泊松分布的例题假设有一个产品，其合格率是99%，现在从生产线上随机抽取100 个产品，求至少有95 个产品合格的概率。
解：由于n=100，p=0.99，np=99，因此可以使用泊松分布来近似计算。
设X 为至少有95 个产品合格的产品数量，即X=95, 96, 97, 98, 99, 100，其概率分别为：P(X=95) = (e^(-99) * 99^95) / 95! ≈ 0.395P(X=96) = (e^(-99) * 99^96) / 96! ≈ 0.377P(X=97) = (e^(-99) * 99^97) / 97! ≈ 0.359P(X=98) = (e^(-99) * 99^98) / 98! ≈ 0.342P(X=99) = (e^(-99) * 99^99) / 99! ≈ 0.326P(X=100) = (e^(-99) * 99^100) / 100! ≈ 0.025因此，至少有95 个产品合格的概率为：P(X≥95) = P(X=95) + P(X=96) + P(X=97) + P(X=98) + P(X=99) ≈0.395 + 0.377 + 0.359 + 0.342 + 0.326 ≈ 1.799三、例题的解答过程以上例题的解答过程中，我们首先根据题目给定的参数，判断可以使用泊松分布来近似计算。