量子力学基础习题思考题

.量子力学基础习题思考题

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习题

22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，

222240E c p m c =+ 可得

224222400011()K p E m c E m c m c c c =

-=+-2

2012K K E m c E c

=+ 2202K K

h ch

p

E m c E λ=

=+

834

61923182619

310 6.6310(1010 1.610)29.110(310)1010 1.610

----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

131.210m -=⨯

（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：

341527619

h 6.63109.110m p 22 1.67101010 1.610h mE λ----⨯=

===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为

kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式：

m

meU h mE h 123

193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：

4

20222c m c p +=E

eU E E k ==-20c m

m eU eU c m h

mE

h 122

20107.722p

h

-⨯=+=

==

）

（λ

22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72

-⨯=d ，中子的动能

eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.

解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：

34

112719h 6.6310 1.410p 22 1.6710 4.2 1.610

h m mE λ----⨯====⨯⨯⨯⨯⨯⨯

再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…

11

11

1.410sin 0.095227.3210

k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=o 22-4．以速度m/s 1063

⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长ο

A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？

解：34

103119h 6.6310110p 229.110 1.610h m mE U

λ----⨯====⨯⨯⨯⨯⨯

可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。

22-5．设电子的位置不确定度为ο

A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为

keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34

2410

1.0510 5.2510220.110

h p x ---⨯∆===⨯∆⨯⨯ 由波长关系式：E

c

h =λ 可推出： E E c h ∆=∆λ

2

151.2410E E E J hc pc

λ-∆∆=

==⨯∆ 22-6．氢原子的吸收谱线ο

A 5.4340=λ的谱线宽度为ο

A 102

-，计算原子处在被激发态上的平均寿命。 解：能量hc

E h νλ

==

，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两者

之间的关系为：2

hc

E λ

λ∆=∆

由测不准关系，/2,E t ∆∆≥g h 平均寿命τ=Δt ，则

22224t E hc c λλτλπλ=∆===∆∆∆h h 102112108

(4340.510)510s 4 3.141010310

----⨯=

=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67

-⨯=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19

-，计算

该信号的波长宽度λ∆。

解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ∆=∆

22

24x x p λλπλλ

∆==≈∆∆∆h

72

2

389

(6.310) 1.32310nm 31010

c t λλ---⨯∆===⨯∆⨯⨯

22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥∆∆θ，式中L ∆为粒

子角动量的不确定度，θ∆为粒子角位置的不确定度。

证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ∆=∆ 而做圆周运动时： θ∆=∆r x

利用：h x P ≥∆•∆ 代入，可得到：h L ≥∆∆θ。

22-9．计算一维无限深势阱中基态粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率。设粒子的势能分布函数为：

⎩

⎨⎧><∞=<<=L x x x U L x x U 和0,)(0,0)( 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0

化的波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><=ψ<<=

ψL x x x L x x l

n l x n

n 和0,0)(0,sin 2)(π

概率密度为： L x x l

n l x P n <<=0,sin 2)(2π

粒子处在0=x 到3/L x =区间的几率：3

2sin 2131sin 2)(230

πππn n x l n l x P l

n -==⎰

如果是基态，n=1，则3

20

2112()sin sin 0.195323

l

n P x x l l πππ=

=-=⎰

22-10．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽m 1014

-=L 。

（1）质子的零点能量有多大？

（2）由2=n 态跃迁到1=n 态时，质子放出多大能量的光子？

解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：2

28n ma h E n = n=1时为零点能量：。J ma

h E n 132

1029.38-⨯== （2）由n=2态跃迁到n=1态时，质子放出光子的能量为：

。）（J ma

h E E E 132

121087.9814-⨯=-=-=∆

22-11．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算3=n 时氢原子可能具有的轨道角动量。 解：当n=3，l 的可能取值为：0，1，2。 而轨道角动量h l l L ）（1+= 所以 L 的取值为：0，h 2，6h