湘潭大学 现代控制理论第1章1

现代控制理论基础信息工程学院黄辉先huanghx05@本课程课时安排：理论教学48学时，实验课外完成本课程相关知识： 1. 高等数学 2. 线性代数3. 积分变换4. 电路理论参考书目：1. 刘豹，现代控制理论，机械工业出版社，第3版，20062. 胡寿松，自动控制原理，科学出版社，第五版，20073. 谢克明，现代控制理论基础，北京工业大学出版社，20054. 李先允，现代控制理论基础，机械工业出版社，2007学习要求： 1. 认真听好课2. 敢于提问、善于提问绪论一、古典理论的局限性二、现代控制理论的产生三、现代控制理论与古典理论的比较1. 适用对象2. 采用的数学工具3. 研究方法4. 系统分析与综合的差别5. 控制器的实现四、现代控制理论的主要内容1. 线性系统理论2. 建模和系统辩识3. 最优滤波理论4. 最优控制5. 自适应控制五、本课程所讨论的内容1. 控制系统的状态空间描述2. 线性控制系统的分析3. 线性控制系统的能控性和能观测性4. 控制系统的稳定性分析5. 系统的状态反馈和状态观测器第一章控制系统的状态空间描述1. 1 控制系统中状态的基本概念1. 2 控制系统的状态空间表达式1. 3 由物理系统建立系统的状态空间表达式1. 4 由系统的微分方程建立状态空间表达式1. 5 系统传递函数与状态空间表达式的相互转换1. 6 系统的状态空间表达式的特征标准型1. 7 由离散系统状态空间表达式求脉冲传递函数1. 1 控制系统中状态的基本概念1.状态：动力学系统的状态是表示系统最小一组变量(状态变量)，只要知道了系统在t=t0时刻的这组变量和t> t0时刻的输入，那么就完全能确定系统在任何t> t0的行为。

2. 状态变量：状态变量构成动力学系统状态的变量，是指能完全描述系统行为的最小变量组中的每一个变量。

如：完全描述控制系统行为的最小变量组为n 个变量x1(t),x2(t),…,x n(t),则系统具有n个状态变量x i(t)(i=1,2,…,n)3. 状态向量：如果完全描述一个给定系统的行为需要n 个状态变量，那么可将这些状态变量x1(t) , …, x n(t)看作是向量X(t)的各个分量，X(t)就称为状态向量。

记为：X(t) = [ x1(t) …x n(t) ] T4. 输入向量：如果一个给定系统的输入需要r 个变量来描述，那么可将这r 个输入变量u1(t) , …, u r(t)看作是向量U(t)的各个分量，U(t)就称为输入向量。

记为：U(t) = [ u1(t) …u r(t) ] T5. 输出向量：如果一个给定系统的输出需要m 个变量来描述，那么可将这m个输出变量y1(t) , …, y m(t)看作是向量Y(t)的各个分量，Y(t)就称为输出向量。

记为：Y(t) = [ y1(t) …y m(t) ] T系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式，称之为系统的输出方程。

[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(),...,(),();(),...,(),()(.............................................);(),...,(),();(),...,(),()();(),...,(),();(),...,(),()(2121212122212111===]),(),([)(t t U t X G t Y =：用向量矩阵方程表示为维向量函数。

维输出变量；系统的式中：m G m t Y ___][___)(o []Tm t g t g t g G )(),...,(),(][21=o 2. 输出方程：注意：系统的状态变量的选取不是唯一的，系统的状态变量的个数是唯一的，必须等于系统的阶数。

★1.2.2 状态空间表达式的一般形式对于具有r 个输入、m 个输出、n 个状态变量的系统，其状态空间表达式的一般形式如下：]),(),([)(t t U t X F t X=&状态方程：式中：[]T n n t x t x t x t x t x t x t X )(),....,(),()(.......)()()(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=X (t)为n ×1状态向量，X ∈Rn输出方程：]),(),([)(t t U t X G t Y =U (t )为r ×1状态向量，U ∈R rY (t )为m ×1状态向量，Y ∈Rm[]T r r t u t u t u t u t u t u t U )(),....,(),()(.......)()()(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=[]T m m t y t y t y t y t y t y t Y )(),....,(),()(.......)()()(2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Tn f f f F ],....,[][21=o Tm g g g G ],....,[][21=o ——G [▫]为m ×1函数向量——F [▫]为n ×1函数向量[]t t u t u t u t x t x t x g r n i );(),...,(),();(),...,(),(21211. 非线性时变系统]);(),...(),();(),...(),([2121t t u t u t u t x t x t x f r n i 非线性时变函数]),(),([)(t t U t X F t X =&状态方程：输出方程：]),(),([)(t t U t X G t Y =系统（性质）分类：线性系统、非线性系统定常系统、时变系统为常系数矩阵其中，D C B A ,,,, (21)2222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nr n n r r b b b b b b b b b B ..............................................212222111211,. (21)2222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c c c c c C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mr m m r r d d d d d d d d d D ..............................................212222111211其中，a ij 、b ij 、c ij 、d ij 均为标量元素⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t DU t CX t Y t BU t AX t X &：向量矩阵微分方程形式1.3 由系统的物理机理建立状态空间表达式一、步骤1. 确定系统的输入变量、输出变量和状态变量。

2. 根据系统变量应遵循的有关物理、化学定律，列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程。

3. 消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量的关系以及输出变量与状态变量输入变量的关系式。

4. 将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。

[例1.3]求下图所示网络的状态空间表达式，系统的输入为u1(t), u2(t),输出y(t)。

二、举例。

例1.5图1.3给出了双水槽液位调节系统。

设k 1, k 2分别为进水管阀门I 、II 的开度，u 1、u 2为输入液压，R 1、R 2分别为水管的液阻系数，h 1、h 2分别为I 、II 水槽的液位高度，C 1、C 2是规则形柱状水槽的横截面积。

图1.3 双水槽液位调节系统111222q k u q k u ==，111222//Q h R Q h R ==，解:根据题意得：单位时间的出水量2Q 注意：既是水槽Ⅱ的出水量，也是水槽Ⅰ的进水量。

要求：以u 1、u 2为输入变量，h 1、h 2为输出变量，试列写该双输入-双输出双水槽液位调节系统的状态空间表达式。

单位时间的进水量2图1.3 双水槽液位调节系统1.4 根据系统微分方程建立状态空间表达式一、微分方程中不含输入函数导数项输入函数中不含导数项时系统微分方程:bu y a ya ya yn n n n =++++−−&L 1)1(1)(上式可表示为：作为状态变量，取)1(21,,,−===n n y x y x y x L &bu x a x a x a x a xx xx xx xn n n n n n n +−−−−−====−−−11221113221L &&M&&写成向量矩阵形式：Bu Ax x+=&⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−1000,10000100001,121121M L L M M M MLL M B a a a a A x x x x x n n nn n 系统状态空间表达式为:⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x &[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==n x x x x y M 2110....001C=[1 0 0 …0]。