全参数方程与极坐标(精华版)
高中数学选修44极坐标与全参数方程知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1) 极坐标系： 如图 4－4－1 所示，在平面内取一个定点 O ，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位 ( 往常取弧度 ) 及其正方向 ( 往常取逆时针方向 ) ，这样就成立了一个极坐标系．(2) 极坐标： 平面上任一点 M 的地点能够由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画，这两个数构成的有序数对 ( ρ ，θ) 称为点M 的极坐标．此中 ρ 称为点 M 的极径， θ 称为点 M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标 (x ， y)极坐标 (ρ， θ)互化 公式题型一 极坐标与直角坐标的互化1、已知点 P 的极坐标为 ( 2,) ，则点 P 的直角坐标为 （ ）4A.（ 1，1）B. （1，-1 ）C. （-1 ，1）D.（-1 ，-1）2、设点 P 的直角坐标为 ( 3,3) ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴成立极坐标系(02 ) ，则点 P 的极坐标为（ ）A ． (32,3 )B ．(32,5)C ．(3,5)D ．(3,3)44 4 43．若曲线的极坐标方程为 ρ ＝ 2sin θ ＋4cos θ ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴 成立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ________．4．在极坐标系中，过点 (1,0) 而且与极轴垂直的直线方程是 ( )A ．ρ ＝cos θB ． ρ ＝ sin θC ． ρcos θ＝ 1D．ρ sin θ＝ 15．曲线 C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－ 2x ＝0，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．π6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线 θ＝ 4( ρ>0) 所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，假如不可以直接用极坐标解决，可先转变成直角坐标方程，而后求解．ππ3与极1. 在极坐标系中，已知圆 C经过点 P(2，4 ) ，圆心为直线ρsinθ－3＝－2轴的交点，求圆 C 的直角坐标方程．π2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 4，3，则|CP| ＝________.π3.在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为ρ sin θ＋4＝1，圆 C的圆心的极坐标π是 C 1，4，圆的半径为 1.(i)则圆 C的极坐标方程是 ________； (ii) 直线 l 被圆 C所截得的弦长等于 ________．π4. 在极坐标系中，已知圆C：ρ＝ 4cos θ被直线 l ：ρsinθ－6＝a截得的弦长为2 3，则实数 a 的值是 ________．二、参数方程1．参数方程和一般方程的互化(1)曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不一样形式．一般地，能够经过消去参数而从参数方程获得一般方程．(2)假如知道变数 x， y 中的一个与参数t 的关系，比如x＝f(t)，把它代入一般方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，x＝ f t ，就是曲线的参数方程．y＝ g t2．常有曲线的参数方程和一般方程点的轨迹一般方程直线y－ y0＝ tan α(x－x0 )圆x2＋ y2＝r 2椭圆x2y2a2＋b2＝ 1(a>b>0)参数方程x＝x0＋ tcos α(t 为参数 )y＝y0＋ tsin αx＝ rcos θ( θ为参数 )y＝ rsin θx＝ acos φ(φ为参数 )y＝ bsin φ题型一参数方程与一般方程的互化【例 1】把以下参数方程化为一般方程：1 x＝3＋cos θ，x＝1＋2t ，(1)(2)3 y＝2－sin θ；y＝5＋t.2题型二直线与圆的参数方程的应用1、已知直线 l 的参数方程为x＝ 1＋ t，x＝ 2cos θ＋ 2，(参数 t∈R)，圆 C 的参数方程为(参y＝ 4－ 2t y＝ 2sin θ数θ∈ [0,2π，])求直线 l 被圆 C 所截得的弦长．2、曲线 C的极坐标方程为：ρ =acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线 C与直线 l 的一般方程；（2）若直线 l 与曲线 C相切，求 a 值．3、在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为，（α 为参数），以原点O为极点， x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的一般方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设 P 为曲线 C1上的动点，求点P 到 C2上点的距离最小值．综合应用1、曲线x25t(t为参数 ) 与坐标轴的交点是（）y12tA(0,2、1B1、1,0)C(0,4)、(8,0)D(0,5 、) (,0)(0,) () (8,0) 52529x2sin2（为参数）化为一般方程为（）3、参数方程sin2yA．y x2B． y x2C．y x2(2x3)D． y x2(0y 1)3．判断以下结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能成立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系 ()π(2)若点 P 的直角坐标为 (1 ，－ 3) ，则点 P的一个极坐标是（2，－3）()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是独一的()(4)极坐标方程θ＝π ( ρ≥0) 表示的曲线是一条直线 ()x t1）4.参数方程为t (t为参数 ) 表示的曲线是（y2A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线5．与参数方程为A ．x2y24C．x2y24x t(t为参数 ) 等价的一般方程为（）y 2 1 t1 B ．x2y21(0x1)41(0 y 2) D ．x2y21(0x1,0 y 2)415.参数方程x2为参数所表示的曲线是（）y tan cotA．直线B．两条射线 C ．线段D．圆16.以下参数方程（t 是参数）与一般方程y2x 表示同一曲线的方程是：()x tB．x2x tD ．x1cos2tA．t 2sin t C．y t1cos2ty y sin ty tant3. 由参数方程x 2 sec 21 为参数，给出曲线在直角坐标系下的方程y 2tan22是。
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程
【实用版】
目录
一、极坐标的概念与基本公式
二、参数方程的概念与基本公式
三、极坐标与参数方程的转换关系
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
正文
一、极坐标的概念与基本公式
极坐标是一种平面直角坐标系的替代方法，用来表示平面上点的位置。
在极坐标系中，一个点的位置由一个长度（半径）和一个角度来表示。
半径表示点到原点（极点）的距离，角度表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标的基本公式如下：
x = ρ * cos(θ)
y = ρ * sin(θ)
其中，x 和 y 分别表示点的横纵坐标，ρ表示半径，θ表示角度。
二、参数方程的概念与基本公式
参数方程是一种用参数来表示曲线上点的方法。
参数方程由一组参数方程和一组普通方程组成。
参数方程表示曲线上某一点的位置，普通方程表示参数方程中参数的取值范围。
参数方程的基本公式如下：
x = x(t)
y = y(t)
其中，x(t) 和 y(t) 表示曲线上某一点的横纵坐标，t 表示参数。
三、极坐标与参数方程的转换关系
极坐标和参数方程之间可以互相转换。
从极坐标转换为参数方程，需要先求出极坐标的导数，然后将极坐标方程化为普通方程。
从参数方程转换为极坐标，需要先求出参数方程的极坐标方程，然后将普通方程化为极坐标方程。
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
极坐标和参数方程在实际问题中有广泛应用，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域。
它们可以简化问题的处理，使得问题更加直观和易于理解。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。
Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。
解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。
2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。
P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。
其中，t代表有向距离的几何意义。
需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。
直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。
只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。
因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。
例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。
高中数学公式——极坐标与参数方程
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。
2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。
3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=⎩ 圆22(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=⎩（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。
注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。
（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=||||MA MB +=1212121212||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
二、极坐标方程1.极坐标系的概念ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)点 直角坐标 极坐标互化公式3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =如()2R πθρ=∈，化为直角坐标方程：______注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。
高中极坐标与参数方程知识点总结
高中极坐标与参数方程知识点总结1. 极坐标与参数方程的概念极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的数学表示方法。
极坐标的表示方式是使用极径和极角来确定一个点的位置，而参数方程则是使用两个参数来表示一个点的横纵坐标。
在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）确定。
极坐标通常表示为(r,θ)，其中r表示极径，即点到极点的距离，而θ表示极角，即点与极轴的夹角。
参数方程则是使用参数来表示点的横纵坐标。
常见的参数方程形式是x=f(t)和y=g(t)，其中x和y表示点的横纵坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到点的坐标。
2. 极坐标的转换极坐标与直角坐标（笛卡尔坐标）之间可以相互转换。
下面是极坐标到直角坐标的转换公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是点在直角坐标系中的坐标，r是极径，θ是极角。
而直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中√表示开平方，arctan表示反正切函数。
3. 参数方程的性质参数方程可以用来描述一条曲线或图形。
通过改变参数的取值范围，可以观察到曲线的形态和特点。
•曲线方程：将参数方程解析为表达式形式，得到的就是曲线的方程。
例如，参数方程为x=f(t)和y=g(t)，将其解析为y=f(x)的形式，即可得到曲线方程。
•曲线的对称性：通过观察参数方程中各个参数的表达式，可以得到曲线的对称性。
例如，如果x=f(t)中含有关于t的奇函数，那么对应的曲线关于y轴对称；如果y=f(t)中含有关于t的偶函数，那么对应的曲线关于x轴对称。
•曲线的特殊点：通过令参数值为特定的数值，可以得到曲线上的特殊点。
例如，在参数方程x=f(t)和y=g(t)中，当t=a时，对应的点就是曲线上的一个特殊点。
4. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
参数方程与极坐标方程及应用(解析版)
参数方程与极坐标方程及应用一．极坐标1.(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．极坐标与直角坐标的互化：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0). 3．简单曲线的极坐标方程题型一：平面直角坐标系中的伸缩变换 1．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．[解] 由x ′＝12x ，y ′＝y ，得到x ＝2x ′，y ＝y ′. ①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1. 因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X ＝ax (a ＞0)，Y ＝by (b ＞0)，求a ，b 的值．[解] 由X ＝ax ，Y ＝by得x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.[规律方法] 伸缩变换后方程的求法，平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y ＝f (x )，得，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的点的坐标(x ′，y ′). 题型二：极坐标系与直角坐标系的互化【例1】 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．[解] (1)由ρcos θ－π3＝1得ρ12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0. 当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为0，233.所以P 点的直角坐标为 1，33， 则P 点的极坐标为233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． [规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.[题型训练]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2， 所以ρ2－22ρcos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin θ＋π4＝22. 题型三：极坐标方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用. [题型训练] 在极坐标系中，求直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长． [解] 由ρsin θ＋π4＝2，得22ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16， 圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3.故所求弦长为4 3. 课后练习1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α· sin α－π3＝2sin 2α－π3－32≤2＋3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . [解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1. 二：参数方程1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. 题型一：参数方程与普通方程的互化 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．[解] (1)∵ 1t 2＋ 1tt 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1.又x ＝1t，∴x ≠0.当t ≥1时，0＜x ≤1；当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中0＜x ≤1，0≤y ≤1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．[解] 圆的半径为12，记圆心为C 12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12c os 2θ＝cos 2θ， y P ＝12s in 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． [规律方法] 消去参数的方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解，如例1. 题型二：参数方程的应用【例1】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6. (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．[解] (1)由x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为 x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得1＋32t 2＋ 2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.[题型训练] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．[解] (1)由曲线C ：x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝ 8cos 2α－sin 2α＝8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403. 题型三：极坐标、参数方程的综合应用【例2】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－ 1022，即36k 21＋k 2＝904，整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153. 法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.[规律方法] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[题型训练] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. 课后练习1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈ π4，π2或α∈ π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4. (2)l 的参数方程为x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α， 所以点P 的轨迹的参数方程是x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2αα为参数，π4＜α＜3π4.最新两年高考题选做1．(2021年高考全国甲卷理科)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y −+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ+ = （θ为参数），C 与1C 没有公共点．解析：（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin xy ρθρθ=代入可得22x y +，即(222x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mθθ AP =，())()1,22cos 2sin x y θθθθ∴−=+−=+−，则122cos 2sin x y θθ−=+−= 32cos 2sin x y θθ= ，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ= （θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3−，32−< ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点． 2．(2021年高考全国乙卷理科)在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．(1)写出C 的一个参数方程;(2)过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+ =+，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=−2cos()43πρθ−=+ 解析：（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y −+−=， 所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+ =+，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x −=−，即140kx y k −+−=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y −+−=330y +−−=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=−2cos()43πρθ−=3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t= = (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44． 【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t ==为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t= = 为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=1−，平方得1,01,01y x x y =−+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=， 曲线2C 直角坐标方程为41630x y −+=，联立12,C C方程141630y x x y =− −+=，整理得12130x −+=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ = = ，(θ为参数)，C 2：1,1x t ty t t=+ =−(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【答案】（1）1:4C x y +=；222:4C x y −=；（2）17cos 5ρθ=． 解析：（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t ty t t=+ =−得：2222221212x t t y t t =++ =+− ，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y −=．（2）由2244x y x y += −= 得：5232x y= =，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22253022a a −+−=，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y −+= ，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t =−− =−+(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点． (1)求||AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ−+=解析：（1）令0x =，则220t t +−=，解得2t =−或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A ． 令0y =，则2320t t −+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =−−=−，即(4,0)B −．AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k −==−−， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y −+=． 由cos ,sin xy ρθρθ=可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ−+=． 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题．。
(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
参数方程与极坐标(精华版)
参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即 ，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点⎩⎨⎧==)()(tfytfxM（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆： （为参数，的几何意义为圆心角），θθsincosryyrxx+=+=θθ特殊地，当圆心是原点时，θθsincosryrx==注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+θθt1y=3sin y=cos y=t2+θθ21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆： （为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）θθsincosbyax==θθ注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：θθsincosbyyaxx+=+=Eg ：求椭圆=1上的点到M （2,0）的最小值。
203622y x +3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线： （为参数，代表离心角），中心在θθtan sec b y a x ==θ（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）pt y pt x 222==直线方程与抛物线方程联立即可得到。
极坐标与参数方程
选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。
(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。
(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。
极坐标和参数方程
课 题极坐标与参数方程教学目标 理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。
重点、难点极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
考点及考试要求必考点教 学 内 容一、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系y x ,之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（00,y x ），倾角为α的直线： {ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）2．中心在（00,y x ），半径等于r 的圆：{θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3.中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆 ：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（00,y x ）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4.中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：{pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）
（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。
，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。
（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程极坐标与参数方程是数学中两种不同的表示方法，用于描述平面上的点的位置关系。
它们在解决问题时各有优势，对于不同类型的曲线和图形，选择合适的表示方法可以简化计算和推导的过程。
一、极坐标极坐标是一种以点到极点的距离和该点与极轴的角度来表示点的坐标系统。
在极坐标中，一个点的坐标表示为(r, θ)，其中r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴正方向的夹角。
使用极坐标可以方便地描述圆形和对称图形。
以圆形为例，极坐标下的圆心坐标为(r, θ)，其中r表示圆的半径，θ的取值范围是0到2π，对应着一个完整的圆周。
同时，通过极坐标的转换公式，可以将直角坐标系下的点的坐标表示转换为极坐标形式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y / x)二、参数方程参数方程是一种用参数表示自变量与函数关系的方法。
在参数方程中，自变量由一个参数(通常用t表示)来表示，通过给参数赋不同的值，可以得到曲线上的各个点坐标。
参数方程常用于描述曲线的形状和位置，尤其适用于非线性和复杂曲线的表示。
参数方程的一般形式为：x = f(t)y = g(t)在参数方程中，x和y表示点的坐标，f(t)和g(t)为关于参数t的函数。
通过给参数t赋不同的值，就可以得到对应的点的坐标。
参数方程常用于表示抛物线、椭圆、双曲线等曲线。
以抛物线为例，参数方程可以表示为：x = ty = t²通过给参数t赋予不同的值，可以得到抛物线上不同点的坐标。
三、极坐标与参数方程的应用极坐标与参数方程在不同的数学问题和工程领域中具有广泛的应用。
1. 极坐标可以用于描述天体运动中的轨迹，例如行星绕太阳的轨道。
由于行星绕太阳的轨道为椭圆形，使用极坐标可以简化对应的计算和分析过程。
2. 参数方程可以用于描述物体的运动轨迹，特别是包含加速度和速度变化的曲线运动。
例如，可以使用参数方程来描述抛体运动中的自由落体轨迹。
3. 极坐标和参数方程还被广泛应用于计算机图形学和计算机模拟领域。
(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结
极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。
，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。
（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。
极坐标和参数方程知识点总结大全
极坐标系有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．
如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度（称为旋转角）。
圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，
它的参数方程为： 。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为 ，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方程是 其参数方程为 其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 ∈[0，2 ）。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
练习
1．若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．下列在曲线 上的点是（ ）
A． B． C． D．
极坐标与参数方程
一、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程1.直角坐标系与极坐标系可以互相转换。
在两个坐标系中取相同的长度单位，将直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴。
对于任意点M，其直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)，其中ρ表示点M到原点的距离，θ表示点M与极轴的夹角。
它们之间的关系是ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x（当x≠0时）。
2.直线的极坐标方程为ρsin(θ-α)=d，其中d为直线到极点的距离，α为极轴到直线的角度。
对于特殊位置的直线，如过极点的直线、过点M(a,0)且垂直于极轴的直线、过点M(b,π/2)且平行于极轴的直线，它们的极坐标方程分别为θ=α、ρcosθ=a、ρsinθ=b。
3.圆的极坐标方程为2ρ²-2ρr cos(θ-θ0)+r²=0，其中M(ρ,θ)为圆心，r为半径，θ0为极轴与圆心连线的角度。
对于特殊位置的圆，如圆心位于极点且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=r；圆心位于M(r,0)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2rcosθ；圆心位于M(r,π/2)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2r sinθ。
4.直线的参数方程为x=x0+t cosα，y=y0+t sinα，其中M(x0,y0)为直线上的一点，α为直线倾斜角，t为参数。
5.圆的参数方程为x=x0+r cosθ，y=y0+r sinθ，其中M(x0,y0)为圆心，r为半径，θ为参数，0≤θ≤2π。
6.椭圆的参数方程为x=a cosθ，y=b sinθ，其中a、b为长轴和短轴的长度；抛物线的参数方程为x=2pt²，y=2pt，其中p 为焦距的一半。
1.给定曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，在以极点为原点、x 轴正半轴为极轴的直角坐标系中，其参数方程为x=2cos(t)，y=2sin(t)。
2.给定曲线C的参数方程为x=t²，y=t，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，其极坐标方程为ρ=tan(θ)。
极坐标与参数方程知识讲解
极坐标与参数方程知识讲解参数方程和极坐标系（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变 数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（X o ，y o ），倾角为a 的直线：其中参数t 是以定点P （x o ，y o ）为起点，对 应于t 点M （x, y ）为终点的有向线段PM 的数量, 又称为点P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的 参数分别为 t A 和 t B ，则 |AB = |t^t A= J （tBYA ）' -4t A t B .2. 中心在（x o , y o ），半径等于r 的圆:知识要点X=X 0tcos ：y = y 0（t 为参数）（2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t Bx =X Q r COST y = y 0 rsin3 •中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的 椭圆： 沃 •为参数）（或 ）1y 二 bs iny = asi nr 丿中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上 的椭圆的参数方程x]xo：cos[ X-为参数）y = y 0 +bsi na.焦点在x 轴（或y 轴）上的2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③ 长度单位；④角度单位及它的方向.极坐标与直角 坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐 标系下，一对有序实数 —对应惟一点P （，）， 但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以 有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，PC'，） （极点除外）的全部坐标为C',r + 2k ：J 或（（2k l ）：）,（k Z ）.极点的极径为0,而极角任意取.若5. 线：顶点在原点， 焦点在X 轴正半轴上的抛物x =2pt 2y = 2pt （t 为参数， 4. 双曲线:（A 为参数） （或（二为参数） 中心在原点，P> 0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （X o, y°）,倾斜角为a的直线的参数方程是其阳瞌；（t为参数）.J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程极坐标和参数方程是数学中两种不同的表示函数关系的方式。
极坐标主要用于描述平面上的点的位置，而参数方程则常用于描述曲线的形状。
极坐标（Polar coordinates）是一种用极径和极角表示平面上点的坐标系统。
在极坐标系中，平面上的点被表示为(r, θ)，其中r为点到原点的距离，θ为该点与正方向x轴的夹角。
极坐标的转换公式为：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)极坐标系常用于描述圆形、扇形等几何图形，其特点在于方便描述对称性以及圆心对称等特殊性质。
此外，极坐标系还广泛应用于物理学、工程学等领域。
参数方程（Parametric equations）是用参数表示的函数关系式，常用于描述曲线的运动或形状。
参数方程中，自变量和因变量都是参数的函数，通常表示为：x = f(t)y = g(t)参数方程主要用于描述非线性曲线、曲面以及具有特殊性质的图像。
由于使用参数方程时可自由选择参数的取值范围，因此可以灵活地表示各种曲线。
参数方程的优点在于可以轻松地描述复杂的曲线，如椭圆、双曲线和螺旋曲线等。
此外，在物理学、计算机图形学等领域中也经常使用参数方程描述运动轨迹和形状。
综上所述，极坐标和参数方程是两种不同的数学表示方法，各自适用于不同的场景。
极坐标适用于描述平面上点的位置和几何图形，而参数方程则适用于描述曲线的形状和运动。
无论是在几何学、物理学还是工程学等领域，这两种方法都有着广泛的应用。
熟练掌握和灵活运用极坐标和参数方程，将有助于解决各种数学和科学问题的建模与求解。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程
极坐标系是一种两个参数的坐标系，用于将平面中的任意一点描述为一个给定的位置，称为极点。
它结合极轴，极点和极角来描述一个位置。
这个坐标系由一个中央极点（原点）以及一条极轴（放射线）定义。
从原点出发，假设极轴与通常的坐标系重合，极轴上的每一点可以用一对极坐标（（ρ，θ）表示，ρ是从原点出发到极点的线段距离，θ是极轴和ρ联系的射线之间的角度。
参数方程是一种表示曲线的方式，其中形状的参数和位置的参数被分开使用。
它通常以两个独立的参数表示，一个控制位置另一个控制形状。
曲线可以用参数方程表示出来，并且使用极坐标就可以给出一组相对于极点的不同位置的坐标。
参数方程中的参数可以是任何形式，但极坐标中的参数只有两种：极半径（ρ）和角度（θ）。
例如，可以用极坐标表示二次曲线：x2 = ρcosθ，y2 = ρsinθ。
在这种情况下，极半径ρ是控制曲线位置的参数，而角度θ则控制曲线的形状。
对于其他更复杂的曲线，也可以使用极坐标系表示参数方程。
极坐标系可以有效地将非常复杂的形状表示为一组定义现实中某一特定点的参数。
例如，它可以用来描述椭圆，双曲线和其他复杂几何形状等。
此外，由于内容可以以极坐标系表示，因此可以使用任意数目的参数来描述曲线，这可用于实现复杂的几何构造以及求解复杂人工智能问题。
极坐标有许多应用，它可以用于地图的分析和绘制，还可以用于控制器的设计，电机的控制，发射机的控制，数字信号处理等等。
由于它能够有效地表示任意位置，因此它也被用于机器人，机器视觉，图形学，物体检测等等。
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参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，x f （t ）即y f （t ），其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆:{ x r cos特殊地，当圆心是原点时，、y r si n注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。
Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求:（1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。
Eg2 :将下列参数方程化为普通方程总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程:中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆:x x 0 rcos 〔y y o rsin（为参数，的几何意义为圆心角）(1 ) x=2+3cosy=3sin1(|3) x=t+ 一t Y 2 1I y=t 2+ ”x=s iny=cos4、抛物线的参数方程:顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x 2pt 2y 2pt（t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。
三、一次曲线（直线）的参数方程x a cos y bsin（为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程:X 。
a cos ybsi nxEg :求椭圆36 y=1上的点到 M (2,0)20的最小值。
3、双曲线的参数方程:中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线:a sec bta n为参数，代表离心角） ，中心在（x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线:x x 0 asec y y 0 bta n22实用标准文案过定点P o （X 0, y o ）,倾角为 的直线，P 是直线上任意一点，设 P o P=t , P o P 叫点P 到.1x x 0t cos定点P O 的有向距离，在P O 两侧t 的符号相反，直线的参数方程y y°tsin（ t为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P o , 正负在P o 点两侧②丨 P o P | = | t 1「xX o at直线参数方程的变式：-，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系Ly y o bt数的平方和是i 时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得离。
Eg :求直线 x=-1+3ty=2-4t ，求其倾斜角极坐标知识回顾:、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点 M ，用p 表示线段0M的长度表示从Ox 到0M 的角，p 叫做点M 的极径叫做点 M 的极角，有序数对（p ,0）就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
y y oa .a 2b 2(a 2 C 、a 2 b 2t)b 2t)，让a 2b 2t 作为t ，则此时t 的几何意义是有向距2)3x文档2)3练习：在同一直角坐标系中，画出以下四个点3A （1， ）B （2，） C （3，-—）4 24思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1 ）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位 ，即极径；④角度单位及它的方向，即极角.（2） 在极坐标系下，一对有序实数、 对应唯一点P （,），但平面内任一个点P 的极坐标不唯一，因为具有周期•（3） 如无特殊要求，则极径取正值 •x 2tan极坐标（，）直角坐标（x , y ）练习1 ：将下列直角坐标化为极坐标A (1 , -1 )B (1 , n)练习2 :将下列极坐标化为直角坐标直角坐标与极坐标的互化:直角坐标（x , y ） 极坐标（，）L x= y=cos sin练习3 :分别求下列条件中AB中点的极坐标2；（2）（4，）（6，）3 3a⑸sin图5asinsin、直线的极坐标方程0 + nacosacosMacoscos sin三、圆的极坐标方程图4图52asin2asin四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）⑴M2 a cos2a cos图32acosMO----- e, -------------------- eMN p cos其中，当0<e<1为椭圆，e=1为抛物线，当考点一：直线参数方程中参数的意义.1 •已知直线I经过点P(1,1),倾斜角(1 )写出直线I的参数方程。
(2 )设I与圆X 4相交与两点A, B ,求点P到A,B两点的距离之积。
解：(1)直线的参数方程为tcos —6tsin621t2x (2)把直线2代入丄t22ep1 ecose>1为双曲线设OA =P仏2，则点P到代B两点的距离之积为2J10 2 22 .过点P（ ,0）作倾斜角为的直线与曲线x2 12y2 1交于点M ,N，求PM PN的值及相应的的值。
解：设直10 +tcos（t为参数），代入2tsin曲线并整理得(1 sin2)t2( .10cos )t则PM 小值为一，此时3 .直线【解析】：PN1 sin22tt （t为参数）被圆x22tx29得(1 2t)2(2t1 t2 -(t1 2t2)4t1t2所以当sin21时，即—,PM PN的最2,5tt)29截得的弦长为25，把直线％1 y59,5t2 8t 4 0(8)21652t代入tA Q—，弦长为5 t1512 .55x4 .直线解:-（t为参数）和圆x2泌t216交于A, B两点，则AB的中点坐标(1!t)23,3 16，得t2 8t 8 0, t1 t2 8,t1x中点为3、32考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定 x tcos 1 .直线 与圆 y tsi n 4 2cos 相切，则 2 .在极坐标系中，已知圆 值。
2sin 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切，求实数a 的考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题 1 .在极坐标系 中，曲线 2 sin 与 cos 1的交点的极坐标2.已知两曲线参数方程分别为' 5cos(0< v坐标为 sin4 (t t R),它们的交点极考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题 x1 .求直线l 1:y -(t 为参数)和直线l 2: x3t0的交点P 的坐标，及点P与Q(1, 5)的距离。
2 .已知直线11 : :』为参数)与直线S:2x4y 5相交于点B ,又点A(1,2),则AB x3 .直线 1 _t 21 t (t 为参数)被圆x2 y 2 4截得的弦长为二、距离最大最小问题1上找一点，使这一点到直线 x 2y 12 0的距离的最小值。
圆C 的方程为2-5sin 。
（I ）求圆C 的直角坐标方程；（H ）设圆C 与直线I 交于点A 、B ,若点P 的坐标为（3, '、5）,求 |PA|+|PB| 。
【解析】(I)由 ^5 sin 得 x 2 y 2 2- 5y 0,即 x 2 (y 、、5)2 5.（n ）将l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得（3?t ）2 （ ?t ）2 5 , 2 2即t 2 3、、2t 4 0,由于（3&）2 4 4 2 0，故可设『2是上述方程的两实根,2 24 •在椭圆—— 16 12解：设椭圆的参数方程为x 4cosy 2 \ 3 sin4cos 4、； 3 s in 12"cos 5,3sin 34、5 当 cos(1时，dmin才2cos(3) 3心，此时所求点为（2, 3）。
52x5 •点P 在椭圆一162y_91上，求点P 到直线3x 4y 24的最大距离和最小距离。
解：设 P(4cos ,3sin )，则 d12边任和24即d当 cos( —) 1 时d min等(2⑵。
d max 12(2 2)；当 cos( -) 1 时，考点五：极坐标方程与参数方程混合1 .在直角坐标系xoy 中，直线I 的参数方程为3丁（t 为参数）。
在极坐标系（与 .5刍2直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中,所以t l t 23'2,又直线I 过点P(3八5),故由上式及t 的几何意义得也4|PA|+|PB|=|t i |+|t 2|= t i +t 2= 3 2 。
射线3与C 2的交点B的极径为28叫。
所以 |AB| |21| 2-一3.x = 1 + tcos a,3.已知直线C1 :y = tsin a,x = cos 0（t 为参数），圆C2 :y = sin 0,n(1)当％=一时，求C 1与C 2的交点坐标;3⑵过坐标原点O 作C1的垂线，垂足为 A , P 为OA 的中点.当a 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.2 .在直角坐标系xoy 中，曲线C i 的参数方程为x 2cos y 2 2sin(为参数)，M 为C i 上的uuu 动点，P 点满足OP uuuu2OM ，点P 的轨迹为曲线C 2. (I )求C 2的方程;(II )在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为 B ，求|AB| .解：(I )设P(x , y)，则由条件知X YM( ,).由于M 点在C 1上，所以2 2x 小2 cos , 2 -2 2sin 2x 4cos 即 y 4 4si n从而C 2的参数方程为x 4cos （为参数）y 4 4sin(n)曲线C 1的极坐标方程为4sin ，曲线C 2的极坐标方程为8sin 。
射线3与C 1的交点A的极径为14sin3，寸时，C1的普通方程为y = -,；3（x — 1） , C2的普通方程为x 2 + y 2= 1.⑵ C 1 的普通方程为 xsin a —ycos a —s in a=0.A 点坐标为（sin 2 a,— cos a si n a ）,故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为1x = _sin 2 a ,21y = — — sin a cos a ,1 1 1 1 P点轨迹的普通方程为（x - 4）2+y2=石.故P 点轨迹是圆心为（4，0），半径为4的圆.解：⑴当a1解得C1与C2的交点为（1,0）,（-,（a 为参数）.x2 + y2 = 1 ,。