全参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标

参数方程知识回顾：

一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标

x 、y 都是某个参数t 的函数，

x f （t ）

即

y f （t ）

，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条

曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t

叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：

中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆:

{ x r cos

特殊地，当圆心是原点时，、

y r si n

注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。

Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0

上的动点，求:

（1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。 Eg2 :将下列参数方程化为普通方程

总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程:

中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆:

x x 0 rcos 〔y y o rsin

（为参数，

的几何意义为圆心角）

(1 ) x=2+3cos

y=3sin

1

(|3) x=t+ 一

t Y 2 1

I y=t 2+ ”

x=s in

y=cos

4、抛物线的参数方程:

顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：

x 2pt 2

y 2pt

（t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）

直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程

x a cos y bsin

（为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,

点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程:

X 。 a cos y

bsi n

x

Eg :求椭圆

36 y

=1上的点到 M (2,0)

20

的最小值。

3、双曲线的参数方程:

中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线:

a sec bta n

为参数，代表离心角） ，中心在

（x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线:

x x 0 asec y y 0 bta n

2

2

实用标准文案

过定点P o （X 0, y o ）,倾角为 的直线，P 是直线上任意一点，设 P o P=t , P o P 叫点P 到

.1

x x 0

t cos

定点P O 的有向距离，在P O 两侧t 的符号相反，直线的参数方程

y y

°

tsin

（ t

为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①

t 的符号相对于点

P o , 正负在P o 点两侧

②丨 P o P | = | t 1

「x

X o at

直线参数方程的变式：-

，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当

t 前面系

L

y y o bt

数的平方和是i 时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得

离。

Eg :求直线 x=-1+3t

y=2-4t ，求其倾斜角

极坐标知识回顾:

、定义：在平面内取一个定点

0，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度

单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）

。对于平面内的任意一点 M ，用p 表示线段0M

的长度表示从Ox 到0M 的角，p 叫做点M 的极径叫做点 M 的极角，有序数对（p ,

0）就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

y y o

a .a 2

b 2

(a 2 C 、a 2 b 2t)

b 2t)

，让a 2

b 2t 作为t ，则此时t 的几何意义是有向距

2

)

3

x

文档

2

)

3

练习：在同一直角坐标系中，画出以下四个点

3

A （1， ）

B （2，

） C （3，-—）

4 2

4

思考：上述点关于极轴以及极点的对称点

说明：（1 ）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位 ，即极径；④角度单位及它的

方向，即极角.

（2） 在极坐标系下，一对有序实数

、 对应唯一点P （,），但平面内任一个点

P 的极坐标不唯一，因为

具有周期•

（3） 如无特殊要求，则极径取正值 •

x 2

tan

极坐标（，）

直角坐标（x , y ）

练习1 ：将下列直角坐标化为极坐标

A (1 , -1 )

B (1 , n)

练习2 :将下列极坐标化为直角坐标

直角坐标与极坐标的互化:

直角坐标（x , y ） 极坐标（，）

L x= y=

cos sin