第一至十届全国大学生数学竞赛初赛初赛《数学专业》竞赛试题

（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。

二、（本题10分）设12,,,n f f f 为0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的非负连续函数，求证：存在0,1ξ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()1011d .nnk k k k f f x x ξ==≤∏∏⎰三、（本题15分）设nF 是数域F 上的n 维列空间，:nn F F σ→是一个线性变换。

若()(),()(),n A M F A A V σασαα∀∈=∀∈，证明：id n F σλ=⋅，其中λ是F 中的某个数，id n F 表示恒同变换。

四、（本题10分）对于ABC ，求3sin 4sin 18sin A B C ++的最大值。

五、（本题15分）对于任何实数α，求证存在取值于{}1,1-的数列{}1nn a ≥满足32lim .n n k n α→+∞=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑ 六、（本题20分）设A 是数域F 上的n 阶方阵。

证明：A 相似于00B C ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中B 是可逆矩阵，C 是幂零阵，即存在m 使得0mC=.七、（本题15分）设()F x 是[0,)+∞上的单调递减函数，lim()0x F x →+∞=，且lim()sind 0n tF t t n+∞→+∞=⎰.证明：(i)lim()0x xF x →+∞=；(ii)()00lim()sin d 0.x F t xt t +∞→=⎰（数学类）试卷一、（15分）设 为椭圆抛物面2234 1.z x y =++从原点作 的切锥面。

求切锥面的方程。

二、（15分）设 为抛物线，P 是与焦点位于抛物线同侧的一点。

过P 的直线L 与 围成的有界区域的面积记作()A L 。

证明：()A L 取最小值当且仅当P 恰为L 被 所截出的线段的中点。

三、（10分）设1[0,),(0)0,()0,[0,).f C f f x x '∈+∞>≥∀∈+∞ 已知1d ()()x f x f x +∞<+∞'+⎰，求证01d .()x f x +∞<+∞⎰四、（10分）设,,A B C 均为n 阶正定矩阵，2(),()det ()P t At Bt C f t P t =++=，其中t 为未定元，det ()P t 表示()P t 的行列式。

若λ是()f t 的根，试证明：()Re 0λ<，这里()Re λ表示λ的实部。

五、（10分）已知()()31,||1,1n ii i x a x x n x ∞=+=<-∑为正整数，求1.n i i a -=∑六、（15分）设:0,1f R ⎡⎤→⎢⎥⎣⎦可微，1(0)(10,()d 0f f f x x ==⎰且()1,0,1f x x ⎡⎤'≠∀∈⎢⎥⎣⎦。

求证：对于任意正整数n ，有101.2n k k f n -=⎛⎫⎪< ⎪ ⎪⎝⎭∑ 七、（25分）已知实矩阵224,.231b A B a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明： (1)矩阵方程AX B =有解但BY A =无解的重要条件是42,.3a b ≠= (2)A 相似于B 的重要条件是23,.3a b ==(3)A 合同于B 的重要条件是2, 3.a b <=2013年第五届全国大学生数学竞赛初赛（数学类）试卷一、（本题15分）平面2R 上两个半径为r 的圆12,C C 外切于P 点，将圆2C 沿1C 的圆周（无滑动）滚动一周，这时2C 上的P 点也随2C 的运动而运动。

记 为P 点的运动轨迹曲线，称为心脏线。

现设C 为以P 的初始位置（切点）为圆心的圆，其半径为R 。

记{}{}22:R R γ∞→∞ 为圆C 的反演变换，它将{}2\Q R P ∈映成射线PQ 上的点Q '，满足2.PQ PQ R '⋅=求证：()γ 为抛物线。

二、（本题10分）设n 阶方阵()B t 和1n ⨯矩阵()b t 分别为()()()()1(),(),,(),Tij n B t b t b t b t b t == 其中()(),ij i b t b t 均为关于t 的实系数多项式，,1,2,,i j n = 。

记d()t 为()B t 的行列式，d ()i t 为用()b t 替代()B t 的第i 列后所得的n 阶矩阵的行列式。

若d()t 有实根0t ，使得()00()B t X b t =成为关于X 的相容线性方程组，试证明：()1d ,d (),,d ()n t t t 必有次数大于等于1的公因式。

三、（本题15分）设()f x 在区间[0,]a 上有二阶连续导数，(0)1,(0)0f f '''=≠且()0(),0,.f x x x a <<∈ 令()11(),0,.n n x f x x a +=∈(1)求证{}n x 收敛并求极限；(2)试问{}n nx 是否收敛？若不收敛，则说明理由；若收敛，则求其极限。

四、（本题15分）设1a >，函数()():0,0,f +∞→+∞可微，求证：存在趋于无穷的正数列{}n x 使得()(),1,2,.n n f x f ax n '<= 五、（本题20分）设:1,1f R ⎡⎤-→⎢⎥⎣⎦为偶函数，f 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又设g 是1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的凸函数，即对任意,1,1x y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦及()0,1t ∈有()()()()(1)1.g tx t y tg x t g y +-≤+-求证：1111112()()d ()d ()d .f x g x x f x x g x x ---≥⎰⎰⎰六、（本题25分）设n nR ⨯为n 阶实方阵全体，ij E 为(),i j 位置元素为1，其余位置元素为0的n 阶方阵，,1,2,,.i j n = 让r 为秩等于r 的n 阶实方阵全体，0,1,2,,r n = ，并让:n nn n RR φ⨯⨯→为可乘映照，即满足：()()(),,.n n AB A B A B R φφφ⨯=∀∈试证明：(1),r A B ∀∈，秩()A φ=秩()B φ。