第一至十届全国大学生数学竞赛初赛初赛《数学专业》竞赛试题

（数学类）试卷

第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，

3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.

第二题：(20分)设n n

C ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空

间，

12100

010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝

⎭

. (1)假设111212122212

n n n n nn a

a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；

(2)求n n

C

⨯的子空间{}

()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.

第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.

第四题：(10分)设{}

()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上满足()n

f x M '≤.（1）证明{}

()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；

（2）设()lim ()n n f x f x →∞

=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上处处可导, 为什么？

第五题：(10分)设3

20

sin d sin n nt a t t t π=

⎰

，证明11

n

n a ∞

=∑发散.

第六题：(15分)(,)f x y 是{

}

2

2

(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足

22222

2

f f x y x y ∂∂+

=∂∂，

计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()

0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点

(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()

0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.

（数学类）试卷

一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞

=

存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.

二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.

三、（本题共10分）设2

D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.

注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立

12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.

四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,

f =(1)f a '=. 证明：1

20

lim ()d .n n n x f x x a →+∞

=-⎰

五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：

(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).

A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？

六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置）

，且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，

当T 0xAy ≠时有T

T 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T

0.

vA β

=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥

⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何

0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，

()()().f x g x dx

β

αε-<⎰

八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足

0lim (),t t ϕ+

→=+∞且10

()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰

⎰

其中1ϕ-表示

ϕ的反函数. 求证：3

2

2

120

01()d ()d .2

t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤

⎡⎤+≥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

⎰

⎰