初中数式规律探索问题

数式规律探索问题

数式规律探索问题是考查学生创新能力的重要方式，其特点是：给出一组具有某种特定关系的

数、式，或是某一具体的问题情境，要求通过观察、分析、推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。

1、周期型

例.观察下列算式，用你所发现的规律得出22014的末位数字是（）

21=2，22=4，23=8，24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，…

A、2

B、4

C、6

D、8

解析：观察2n(n≥1)的末位数字，分别为2,4,8,6，四个数字为一个循环，即周期为4.

∵2014÷4=503……2（余数是2）

∴22014的末位数字经过了503个周期，处于第504个周期内的第2位，它的末位数字是4故选B。

方法总结：周期型的数字规律题通常与序号有关，解题时（1）根据题目中数或式反映出的循环规律

．．．．确定出周期；（2）明确待确定的这个数是第几个周期内的第几个数。

2、分数（式）型

例1.观察下列一组数：23，45，67，89，1011，……，

它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（）

A、n−1n

B、2n2n−1

C、2n2n+1

D、n+1n+2

解析：序号①②③④⑤……

分子246810→相邻偶数（偶数用2n表示）

分母357911→相邻奇数，并且最小奇数是3（最小奇数

是3时，用（2n+1）表示）

从分子、分母的角度认真观察归纳：分子是2n；分母是2n+1。故选C

例2、一组按规律排列的式子：-b2/a,b5/a2,-b8/a3,b11/a4,…(ab≠0),其中第7个式子是，第n个式子是.(n为正整数)

解析：序号①②③④……

符号-+-+→“+”“-”交替

分子b2b5b8b11→底数均为b，指数比序号的3倍少1

分母a a2a3a4→底数均为a，指数与序号保持一致

认真观察：

符号“-”“+”交替，序号是偶数时为“+”，所以符号由（-1）n确定；

分子为b3n-1,分母a n.

故答案是：-b20/a7，（-1）n b3n-1/a n

方法总结：分数（式）型的数字规律题经常要从“分子特点”、“分母特点”、“分子与分母间的联系”这些角度进行分析和归纳，分别找出各自的相同点和不同点，不同的地方要和序号结合考虑。当符号出现交替时，用（-1）n或（-1）n+1来调节。一般情况下，出现相邻偶数时用2n表示；出现相邻奇数时用(2n-1)或(2n+1)表示。

3、整式型

例1、一组按规律排列的多项式：a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b7,…,其中第10个式子是（）

A、a10+b19

B、a10-b19

C、a10-b17

D、a10-b21

解析：认真观察各多项式，所有多项式均由两项组成

序号①②③④……

第一项a,a2,a3,a4→底数均是a，指数与序号保持一致。

第二项+b,-b3,+b5,-b7→符号“+”“-”交替，奇数项为“+”,底数

均是b,指数比序号的2倍少1

所以第n项是a n+（-1）n+1b2n-1,故本题选B

例2、观察下面的单项式：a,-2a2,4a3,-8a4…,根据你发现的规律，第8个式子是

解析：认真观察各单项式

序号①②③④……

系数1，-2,4,-8→符号“+”“-”交替，绝对值是2的幂的形

式（底数是2，指数比序号小1）

字母及指数a,a2,a3,a4→底数均是a，指数与序号保持一致

所以第n项是（-1）n+12n-1a n,故本题答案是-128a8.

方法总结：整式型的数字规律题，需要认真分析各式的组成特点，分别找出式子之间的相同点和不同点，不同的地方要和序号结合考虑。

4、等式型

例1、一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23,33，和43分别可以“分裂”成2个、3个、4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；……

若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是

解析：认真观察各式

序号①②③……

左边233343

右边3+57+9+1113+15+17+19→等号左边的底数是几，右边就有几个连续奇数

相加，并且所有式子右边的奇数是相邻的∵53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41

∴本题答案是41.

例2、观察按下列顺序排列的等式：

9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=31

猜想：第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成

解析：认真观察各式

序号左边右边

①9×0+11

②9×1+211

③9×2+321

④9×3+431

……

↓↓↓↓

均比与个位数字都是1

为序号序号十位数字比序号小1

9小1一致

故答案是：9×(n-1)+n=10(n-1)+1

方法总结：等式型的数字规律题经常要从“左边特点”、“右边特点”、“左边与右边间的联系”这些角度进行分析和归纳，分别找出各自的相同点和不同点，不同的地方要和序号结合考虑。

5、与序号无关的数字规律题

除了上述常见类型外，我们还会遇上与序号无关的数字型规律题。

例1、按规律填数-5，-2,1，4，，，…，第个数是

解析：认真观察相邻两数的增减关系

∵-5+3=-2，-2+3=1,1+3=4,4+3=7，7+3=10，…(后一个数比前一个数大3)

∴答案是7，10，-5+3（n-1）

例2、按规律填数5，8，13，,21，（），55

解析：认真观察相邻三数的和差关系

∵5+8=13，8+13=21,13+21=34,21+34=55

∴答案是34

方法总结：当所给数列无法与序号结合分析时，不妨从相邻两项或三项之间的增减关系、倍数关系、和差关系等方面认真分析。

总之，数式规律探索问题无定法可循，无定论可记，要具体问题具体分析，要多角度多方位地观察、分析、归纳，发现寓于某些特例中的一般规律，并把特殊情况推广到一般情况。解答时要注意分析、归纳每一项与序号或序号的平方、立方、倍数，大小等关系，或分析各项间的增大、减小的规律等。